dica matematica afa

AFA – Resumo Teórico

Matemática

(19) 3251-1012

www.elitecampinas.com.br RESUMO TEÓRICO – MATEMÁTICA – AFA 2007/2008

1

MATEMÁTICA – FRENTE 1

CONJUNTOS

1 - Noções Básicas

Conjunto: é uma coleção de elementos. a) vazio: não possui elementos b) unitário: possui um único elemento c) universo: conjunto que possui todos os elementos

Relação de pertinência: se x é um elemento do conjunto A Ax∈⇒ . Caso contrário, Ax∉ .

Subconjunto: se todos os elementos de um conjunto A pertencem a um conjunto B então A é subconjunto de B, ou seja, BA ⊂ .

Operações com conjuntos:

a) união: }BxouAx,x{BA ∈∈=∪ b) intersecção: }BxeAx,x{BA ∈∈=∩ c) diferença: }BxeAx,x{BA ∉∈=−

Complementar: se BA ⊂ então o complementar de A com relação à B é o conjunto ABCB

A −= .

União de dois conjuntos: )BA(n)B(n)A(n)BA(n ∩−+=∪

Conjunto das partes: dado um conjunto A, o conjunto das partes de A, P(A), é o conjunto de todos os possíveis subconjuntos de A. Se A possui n elementos, então P(A) possui 2n elementos.

2 – Conjuntos Numéricos

Números naturais: N = {0, 1, 2, 3, ...}

Números inteiros: Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Números racionais: Q = {a/b, com a,b ∈ Z e b ≠ 0}

Obs: o conjunto dos números racionais é formado por todas as frações e por dízimas periódicas.

Números irracionais: são todos os números que não podem ser escritos como uma fração de dois números inteiros. É o conjunto I.

Obs: todas as dízimas não-periódicas são irracionais.

Números reais: R = {x, x é racional ou x é irracional}.

TEORIA BÁSICA DE FUNÇÕES

Definição: dados dois conjuntos A e B, uma relação f:A→B é chamada função quando associa a cada elemento de A um único elemento de B. O domínio de f é o conjunto A, o contra-domínio de f é o conjunto B e a imagem de f é o subconjunto de B formado por todos os elementos que estão em correspondência com os elementos de A.

Classificações

a) sobrejetora: conjunto-imagem = contradomínio.

b) injetora: se x1,x2 ∈A, com x1≠x2, então f(x1)≠f(x2).

c) bijetora: função injetora e sobrejetora

d) função par: f(x) = f(-x)

e) função ímpar: f(x) = -f(-x)

obs: existem funções que não são nem pares nem ímpares.

Função composta: chama-se função composta, ou função de uma função, à função obtida substituindo-se a variável independente x por uma outra função.

Função inversa: se f:A→B é uma função bijetora, então existe uma função f-1:B→A tal que se f(x)=y ⇒ f-1(y)=x.

Obs: para determinar a função inversa, escreve-se y = f(x), e troca-se x por y e y por x na expressão. Isolando-se y obtemos então a expressão da função inversa de f.

Função composta com a inversa: se f é uma função inversível então x)x)(ff( 1 =− .

FUNÇÕES E EQUAÇÒES

1- Função do 1o grau

Definição: f(x) = a.x + b, com a ≠ 0. Seu gráfico sempre é uma reta.

Função crescente

Função decrescente

Zero da função do 1o grau: valores onde f(x) = 0.

abx0bax −

=⇒=+

2- Função do 2o grau

Definição: f(x) = a.x2 + b.x + c, com a ≠ 0. Seu gráfico é uma parábola.

Zeros da função do 2o grau: ax2+bx+c=0

a.2bx

c.a.4b2

Δ±−=

−=Δ

Aqui, temos:

a) se ∆>0: duas raízes reais (o gráfico de f corta o eixo x em dois pontos distintos).

b) se ∆=0: uma raiz real (o gráfico de f tangencia o eixo x)

c) se ∆<0: duas raízes complexas conjugadas (o gráfico de f não passa pelo eixo x).

Vértice: ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ Δ−−a4

;a2b .

3- Função modular

Definição: f(x) = |x|

⎩⎨⎧

<−≥

=0xx

0xxxf

,,

)(

Equação modular: uma equação modular é uma equação do tipo )x(g)x(f = , onde f(x) e g(x) são funções. Para resolver tais equações

esse tipo de equações devemos estudar o sinal de f e aplicar a definição de módulo:

⎩⎨⎧

<−≥

=0)x(fquando),x(f

0)x(fquando),x(f)x(f

⎩⎨⎧

<=−≥=

⇒=0)x(fquando),x(g)x(f

0)x(fquando),x(g)x(f)x(g)x(f

4- Função exponencial

Definição: f(x) = ax, onde a é constante positiva.

a) a > 1

f é crescente

x2>x1 ⇒ y2>y1

Imagem = IR+

b) 0<a<1

f é decrescente

x2>x1 ⇒ y2<y1

Imagem = IR+

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Equação exponencial: são equações que possuem termos com expoentes. Observe que se a > 0 então é impossível existir solução para a equação ax = 0.

5- Função logaritmo

Logaritmo: se a > 0, a ≠ 1 e b > 0 então baxblog xa =⇔= .

Propriedades dos logaritmos

1) clogblogc.blog aaa += 2) blog.mblog am

a =

3) clogblogcblog aaa −=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ 4) alogblog

blogc

ca =

Definição: f(x) = loga x.

a) a>1:

f é crescente

Imagem = IR

Domínio = IR+

b) 0<a<1:

f é decrescente

Imagem = IR

Domínio = IR+

Condição de existência do logaritmo: a função log só existe quando a base é positiva e diferente de 1 e quando x > 0.

Equação logarítmica: equação do tipo )x(g)x(floga = . Deve ser resolvida a partir das propriedades de logaritmos.

Observação: resolver uma equação é o mesmo que encontrar os zeros de uma função. Normalmente, as equações são mistas, ou seja, são misturas de várias funções diferentes, o que torna difícil montar um modo de resolução específico para cada equação.

SEQÜÊNCIAS

1- Progressão aritmética

Definição: seqüência na qual a diferença entre dois termos consecutivos é sempre constante.

Termo geral: r).1n(aa 1n −+=

Soma dos n primeiros termos: 1( ).2

nn

a a nS +=

2- Progressão geométrica

Definição: seqüência na qual o quociente entre dois termos consecutivos é sempre constante.

Termo geral: 1n1n qaa −=

Soma dos n primeiros termos: 1(1 )1

n

na qS

q−

=−

NÚMEROS COMPLEXOS

Definição: são todos os números na forma z = a + b.i, com a,b ∈ IR e i é a unidade imaginária, com i2 = -1. Também são representados na forma z = (a, b), como um par ordenado de números reais.

Obs: se b = 0, o número z é um número real; se a = 0 e b ≠ 0, o número z é chamado imaginário puro.

Conjugado: i.baz −=

Módulo: 2 2| |z a b= +

Forma trigonométrica: )sen.i.(coszz α+α=

Obs: o ângulo α é chamado argumento do número complexo, e é medido a partir do eixo real no sentido anti-horário.

Forma exponencial: α= ie.zz

Operações com números complexos

Sejam z1 = a + b.i e z2 = c + d.i:

22

21

2

1

21

21

21

z.zz.z

zz

i)bcad()bdac(zzi).db()ca(zzi).db()ca(zz

=

++−=−+−=−+++=+

dica: use a propriedade distributiva na multiplicação

Multiplicação e divisão na forma trigonométrica

)sen.i(coszz

)sen.i(coszz

β+β=

α+α=

22

11

)](sen.i).[cos(zz

zz

)](sen.i).[cos(z.zz.z

β−α+β−α=

β+α+β+α=

2

1

2

1

2121

Potenciação e radiciação: se z = |z|.(cos θ+ i. sen θ) e n é um número inteiro então:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ π+θ+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ π+θ=

θ+θ=

nksen.i

nkcos.zz

)]n(sen.i)n[cos(zz

nn

nn

22

Obs: encontrar a raiz n-ésima de um número complexo z é resolver a equação rn = z. Essa equação é de grau n, logo, possui n raízes. Assim, fazendo k = 0, 1, 2, ..., n - 1 na equação acima, encontramos, para cada k, uma raiz diferente.

POLINÔMIOS E EQUAÇÕES ALGÉBRICAS

Definição de polinômio: seja n um número natural. Um polinômio de grau n é toda expressão do tipo

nnxaxaxaaxP ++++= ...)( 2

210 ,

onde os valores a0, a1, ..., an são constantes.

Polinômios idênticos: dois polinômios são idênticos quando seus termos correspondentes são iguais.

Polinômio identicamente nulo: um polinômio é identicamente nulo quando P(x) = 0, independente do valor de x. Nesse caso, todos os coeficientes de P são nulos.

Equação polinomial ou algébrica: uma equação algébrica é um polinômio igualado a zero, ou seja:

0...2210 =++++ n

n xaxaxaa .

Assim, resolver uma equação algébrica é o mesmo que encontrar as raízes de um polinômio.

Teorema fundamental da álgebra: se P(x) é um polinômio de grau n então ele possui n raízes (reais ou complexas), e pode ser fatorado em:

))...()(()( 21 nn rxrxrxaxP −−−=

onde r1, ..., rn são as n raízes desse polinômio.

Teorema das raízes complexas: se P(x) é um polinômio com coeficientes reais e o número complexo a + b.i é raiz de P(x) então seu conjugado a – b.i também é raiz.

Divisão de polinômios: dividir um polinômio P(x) por um polinômio D(x) significa encontrar dois polinômios Q(x) (quociente) e R(x) (resto) que satisfaçam a condição P(x) = Q(x).D(x) + R(x).

)( R(x)

D(x) )(

xQ

xP

Dispositivo prático de Briot-Ruffini: receita de bolo para a divisão de P(x) por (x-a):

..... 1

011

−

−

+ nnn

nn

aaaaaaaaa

Passo 1: escrever todos os coeficientes ordenadamente, conforme o esquema acima;

Passo 2: copia-se o primeiro coeficiente;

Passo 3: multiplica-se o primeiro coeficiente pela raiz e soma-se com o segundo coeficiente; Passo 4: faz-se a mesma coisa com o número obtido no passo anterior, até o último coeficiente;

Passo 5: o último número obtido é o resto da divisão, enquanto os outros são os coeficientes do polinômio Q(x).

Teorema do resto: o resto da divisão de P(x) por (x-a) é igual a P(a).

Teorema das raízes racionais: seja P(x) um polinômio de grau n com coeficientes inteiros. Se P adimite uma raiz racional p/q, com p e q primos entre si, então p é divisor de a0 e q é divisor de an.

Relações de Girard

a) ax2+bx+c=0 b) ax3+bx2+cx+d=0

acP

abS =

−=

adP

acS

abS −

==−

= 2

c) anxn +an-1xn-1 +...+a1x +a0=0

n

n

n

pnpp

n

n

n

n

aa

P

aa

Sa

aS

aa

S

0

22

1

)1(

)1(

−=

−==−

= −−−

Obs: aqui, Sp indica a soma dos produtos das raízes tomadas p a p.

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MATEMÁTICA BÁSICA

1- Potenciação

Definição: seja n um número inteiro diferente de zero. Assim, dado um número real a, temos

vezesn

n a...aaa ×××= .

Propriedades

1) se 1a0a 0 =⇒≠

2) nn

a1a =−

3) nnn b.a)b.a( =

4) n

nn

ba

ba

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

5) mnmn aa.a +=

6) mnm

na

aa −=

7) m.nmn a)a( =

2- Radiciação

Definição: radiciação é a operação inversa da potenciação. Assim, se n é um inteiro tal que n > 1, temos:

nn abab =⇒=

Propriedades

1) nn1

aa = (raiz escrita na forma de potência)

2) n mp.n p.m aa =

3) nnn b.ab.a =

4) nmm n a = a ⋅

Racionalização de denominadores: a racionalização de denominadores consiste em transformar um denominador irracional, indicado por um radical, em um denominador racional, sem alterar sua fração.

1 11) .n nn p n p

n n np p n p

a aaa a a

− −

−= =

( ) ( )2 2

1 1 b 2) = = = a - b a - b a -

a b a a ba bb a b

+ + +⋅

−+

( ) ( )2 2

1 1 - - b - 3) = = = a + b a + b a - -

a b a a ba bb a b

⋅−

3- Produtos Notáveis 2 2

2 2 2

2 2 2

3 3 2 2 3

3 3 2 2 3

3 3 2 2

3 3 2 2

( )( )( ) 2. .( ) 2. .( ) 3. . 3. .( ) 3. . 3. .

( )( )( )( )

a b a b a ba b a a b ba b a a b ba b a a b a b ba b a a b a b b

a b a b a ab ba b a b a ab b

− = + −

+ = + +

− = − +

+ = + + +

− = − + −

− = − + +

+ = + − +

4- Aritmética

Teorema fundamental da aritmética: todo número inteiro pode ser decomposto como produto de seus fatores primos.

Máximo divisor comum: maior número inteiro que divide simultaneamente uma série de números dados.

Mínimo múltiplo comum: menor número que é múltiplo simultaneamente de uma série de números dados.

Propriedade: )b;a(mmc).b;a(mdcb.a =

5- Regra de Três

Grandezas diretamente proporcionais: duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando-se ou diminuindo-se uma delas, a outra aumenta ou diminui na mesma proporção.

X KY

=

Grandezas inversamente proporcionais: duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra

diminui na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra aumenta na mesma proporção.

KY.X =

Regra de três simples direta: uma regra de três simples direta é uma forma de relacionar grandezas diretamente proporcionais.

ZWK

YX

==ZW.YX

ZW

YX

=⇒=⇒

Regra de três simples inversa: uma regra de três simples inversa é uma forma de relacionar grandezas inversamente proporcionais.

D.CKB.A == BC

DAD.CB.A =⇒=

Regra de três composta: regra de três composta é um processo que relaciona grandezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou uma mistura dessas situações

Situação Grandeza 1

Grandeza 2 ........... Grandeza

n 1 A1 B1 ........... X1 2 A2 B2 ........... X2

Aqui, temos dois casos:

1) se todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza n, basta resolvermos a proporção:

.....2D.2C.2B.2A.....1D.1C.1B.1A

2X1X=

2) se algumas das grandezas são inversamente proporcionais à grandeza n, basta invertermos a posição dessa grandeza. Suponha, por exemplo, que a grandeza 2 é inversamente proporcional à grandeza n:

.....2D.2C.1B.2A.....1D.1C.2B.1A

2X1X=

6- Matemática financeira

Aqui, j simboliza juros, i simboliza a taxa de juros, t é o tempo, C é o capital aplicado e M é o montante final (capital + juros).

Juros Simples: somente o capital inicial aplicado rende juros.

jCt.i.cCMt.i.Cj

+=+==

Juros Compostos: após cada período, os juros são incorporados ao capital, proporcionando juros sobre juros.

CMj)i1.(CM t

−=+=

BINÔMIO DE NEWTON

Fatorial: 1.2)...2)(1(! −−= nnnn

Obs: 0! = 1 e 1! = 1

Número binomial: )!pn(!p

!npn

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Triângulo de Pascal:

146411331

12111

1

Obs: a soma dos elementos da linha n é igual a n2 .

Relação de Stifel: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1p1n

1pn

pn

Binômios de Newton: são todas as potências da forma (a+b)n, com n natural.

iinn

i

n bain

ba −

=∑ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+

0)(

Termo geral do binômio

ppnp ba

pn

T −+ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=1

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ANÁLISE COMBINATÓRIA

Permutações:

!nPn = Permutações circulares:

)!1( −= nPn Permutações com elementos repetidos:

!...!.!,...,

banP ba

n =

Arranjos:

)!(!

, pnnA pn −

=

Combinações:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−=

pn

pnpnC pn )!(!!

,

PROBABILIDADE

Espaço amostral: conjunto de todos os resultados possíveis de um determinado experimento. O total de elementos do espaço é dado por n(E).

Evento: qualquer subconjunto do espaço amostral. O número de elementos de um evento A é dado por n(A).

Definição de probabilidade: a probabilidade de um determinado evento A acontecer é:

⎩⎨⎧

−−

=amostralespaçoE

eventoAonde

)E(n)A(n)A(P

Probabilidade condicional: probabilidade de um evento A ocorrer, dado que um outro evento B ocorreu antes. Aqui, como B já ocorreu, ele se torna nosso novo espaço amostral. Assim:

)()(

)()()/(

BpBAp

BnBAnBAp ∩

=∩

=

União de eventos:

)BA(p)B(p)A(p)BA(p ∩−+=∪

Eventos independentes: dois eventos A e B são independentes quando a ocorrência de A não interfere na ocorrência de B. Nesse caso, temos )B(p).A(p)BA(p =∩ .

Eventos mutuamente excludentes: dois eventos A e B são mutuamente excludentes quando a ocorrência de A faz com que o evento B não aconteça, e vice-versa. Nesse caso, temos 0)BA(p =∩ e )B(P)A(p)BA(p +=∪ .

TRIGONOMETRIA

Trigonometria no triângulo retângulo

opostocatetosenohipotenusa

= ,

cos cateto adjacentesenohipotenusa

=

oposto

catetotagentecateto adjascente

=

Lei dos Senos

R2Csen

c

Bsen

b

Asen

a===

∧∧∧

Lei dos Cossenos

a2 = b2 + c2 – 2bc . cos ∧

A

Principais relações trigonométricas

2 2cos 1sen α α+ =

( ) .cos cos . .sen sen senα β α β α β+ = +

( ) cos .cos . .cos sen senα β α β α β+ = −

( )1 .tg tgtg

tg tgα βα β

α β+

+ =−

. . 2. . .cos.2 2

p q p qsen p sen q sen + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

. . 2.cos .cos.2 2

p q p qcos p cos q + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

MATRIZES

Definição: uma matriz n x m é uma tabela numérica com n linhas e m colunas. Se m = n, a matriz é chamada quadrada de ordem n.

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

nmn

m

aa

aaA

1

111

Multiplicação por um número: seja x um número qualquer. Quando fazemos x.A, multiplicamos todos os elementos de A por x:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=⇒

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

nmn

m

nmn

m

axax

axaxAx

aa

aaA

..

...

1

111

1

111

Soma de matrizes: quando A=(aij) e B=(bij) são matrizes de mesma ordem (n x m), então:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

++

++=+

nmnmnn

mm

baba

babaBA

11

111111

Multiplicação de matrizes: para que exista o produto de duas matrizes A e B, o número de colunas de A tem de ser igual ao número de linhas de B. Se C = A.B, então:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

++++

++++=

nnnnnnnnn

nnnnnn

babababa

babababaC

........

.........

1111111

1111111111

Obs: se a matriz A tem ordem m x n e a matriz B tem ordem n x q , a matriz produto C tem ordem m x q.

Matriz inversa: dada uma matriz quadrada A, dizemos que a possui uma inversa quando existe B de mesma ordem tal que A.B = B.A = I. Nesse caso, B = A-1.

Matriz transposta (At): matriz formada trocando-se as linhas pelas colunas e vice-versa.

Matriz simétrica: uma matriz é chamada simétrica quando A = At.

Matriz anti-simétrica: uma matriz é chamada anti-simétrica quando A = - At.

DETERMINANTES

Menor complementar: chamamos de menor complementar relativo a um elemento aij de uma matriz M, quadrada e de ordem n>1, o determinante Dij , de ordem n - 1, associado à matriz obtida de M quando suprimimos a linha e a coluna que passam por aij.

Cofator ou complemento algébrico: número relacionado com cada elemento aij de uma matriz quadrada de ordem n dado por Aij = (-1)i+j .Dij.

Teorema de Laplace: O determinante de uma matriz M, de ordem n≥2, é a soma dos produtos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores.

Cálculo do determinante para ordens 1 e 2

( )

bcaddcba

Adcba

A

aaAaA

−==⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

==⇒=

det

det

Propriedades

1) somente as matrizes quadradas possuem determinantes. 2) det(A) = det(At). 3) o determinante que tem todos os elementos de uma fila iguais a zero, é nulo. 4) se trocarmos de posição duas filas paralelas de um determinante, ele muda de sinal. 5) o determinante que tem duas filas paralelas iguais ou proporcionais é nulo. 6) det(A-1) = 1/det A. 7) det(A.B) = det A.det B 8) se A é matriz quadrada de ordem n e k é real então det(k.A) = kn. det A

Existência da matriz inversa: Uma matriz A só possui inversa se tem determinante não-nulo.

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SISTEMAS LINEARES

Sistemas lineares: são sistemas de equações onde o maior expoente é 1:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++

=+++=+++

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

...

......

2211

22222121

11212111

A solução de um sistema linear é uma n-upla (r1, r2, ..., rn) que satisfaz as m equações acima.

Forma matricial

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

nnmnmm

n

n

b

bb

x

xx

aaa

aaaaaa

2

1

2

1

21

22221

11211

...

...

...

Sistema Homogêneo: o sistema é chamado homogêneo quando b1=b2=...=bn=0.

Classificação de sistemas lineares

a) possível e determinado: só possui 1 solução;

b) possível e indeterminado: possui infinitas soluções;

c) impossível: não possui soluções.

Obs: se m≠n, o sistema jamais será possível e determinado.

Sistemas equivalentes: sistemas que possuem o mesmo conjunto-solução.

Propriedades:

1) trocando de posição as equações de um sistema, obtemos outro sistema equivalente;

2) multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número real K≠0 obtemos um sistema equivalente ao anterior.

Escalonamento: método para resolver sistemas lineares de qualquer ordem. Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento:

a) Fixamos como 1º equação uma das que possuem o coeficiente da 1º incógnita diferente de zero.

b) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais equações.

c) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado.


GEOMETRIA PLANA

1- Triângulos

Teorema de Tales

r//s//t

EF

DE

BC

AB=

Semelhança de Triângulos

⇔ΔΔ '''~ VBAABC

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=====

⇔∧∧

∧∧

∧∧

'cc

'bb

'aae

'CC'BB'AA

Razão entre linhas homólogas: admitindo que k é a razão de semelhança, temos:

ΔABC~ΔA’B’C’

k'c'b'acba

'mm

'hh

'cc

'bb

'aa

=++++

=====

Teorema fundamental

ABC~ADEBC//DE ΔΔ⇒

Base média do triângulo

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⇒

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=

=

2BCMNBC//MN

NCANe

BMAM

Relações Métricas no Triângulo Retângulo

a2 = b2 + c2

b2 = a . n

c2 = a . m

b . c = a . h

h2 = m . n

Área do Triângulo

2h.aS =

2α sencbS ••

=

( )( )( )cpbpappS −−−= ;

2cbap ++

=

R4abcS =

a,b,c – lados do triângulo

R - raio da circunferência circunscrita

rp2

rcbaS .).(=

++=

a,b,c – lados do triângulo

p – semiperímetro

r – raio da circunferência inscrita

2- Quadriláteros

Base média do trapézio

2

baMN

+=

Área dos Paralelogramos: a área de qualquer paralelogramo é dada por: S = (base) . (altura)

Paralelogramo Qualquer

S = a • h

Retângulo

SR = a • b

Losango

..2

D dS h= =

(19) 3251-1012


6

Quadrado

2S =

Trapézio

2

h).ba(S

+=

Área do Círculo e de Suas Partes

Obs: O comprimento da circunferência é dado por S = 2πr

Círculo

S = πr2

Coroa Circular

S = π.(R2 – r2)

Setor Circular

2o

r360

S π•α

=2

rS

•=

Áreas de Figuras Semelhantes

Se, em duas figuras semelhantes, a razão entre as linhas homólogas é igual a k, a razão entre as áreas é igual a k2.

GEOMETRIA ANALÍTICA

Ponto Médio e Distância de Dois Pontos

2A B

Mx xx +

= 2

bam

yyy

+=

( ) ( )2BA

2BAAB YYXXd −+−=

Equação Da Reta - Coeficiente Angular

m = tg θ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π≠θ

2

BA

BA

XXYY

m−−

=

Formas da Equação da Reta

Equação geral: ax+by+c=0

Equação reduzida: y = mx + q

m é o coeficiente angular

q é o coeficiente linear

11 01

A A

B B

x yx yx y

=

Distância de Ponto a Reta

( )0 0

, 2 2p r

ax by cd

a b

+ +=

+

Retas Paralelas

r// s ⇒ mr = ms

Retas Perpendiculares

mr.ms= -1

Equação Da Circunferência

(x – xc)2 + (y – yc)2 = r2

Obs: uma equação redutível à forma x2 + y2 + αx + βy + γ representa uma circunferência de centro C = (xC; yC) e raio r, onde

γyxr e 2β y,

2αx 2

C2CCC −+=−=−= , desde que 02

cy2cx >γ−+

Área do Triângulo

2SABC

Δ= , onde

111

A A

B B

C C

x yx yx y

Δ =

GEOMETRIA ESPACIAL

1- Prismas

Cubo

3ad =

Área Total = 6a2

V = a3

Paralelepípedo reto retângulo

Área Total = 2(ab+bc+ac)

V = abc

2c2b2ad ++=

Prisma regular: o prisma regular é reto e sua base é um polígono regular. O volume de qualquer prisma é dado pela fórmula:

V = (área da base).(altura)

2- Piramides

Volume: o volume de qualquer pirâmide é dado por

)altura).(basedaárea(31V =

Pirâmide regular: a base é um polígono regular e a projeção ortogonal do vértice sobre a base é o centro da mesma.

Tetraedros notáveis

Tetraedro tri-retângulo

Tetraedro regular (todas as arestas

são congruentes) 3- Cilindro

Cilindro oblíquo (g – geratriz)

Cilindro reto

Volume: o volume de qualquer cilindro é dado pela fórmula:

V = (área da base).(altura)

Obs: de um cilindro circular reto é possível calcular a área lateral e a área total:

St = 2πrh St = 2πr(h + r)

(19) 3251-1012


7

4- Cone

Cone oblíquo

Cone reto Volume: o volume de qualquer cone é dado por:

)altura).(basedaárea(31V =

Área lateral: num cone reto, a planificação da superfície lateral é um setor circular cujo raio é a geratriz.

Área lateral = πrg

Área Total = πr(g + r)

gr2π

=θ (θ em radianos)

5- Esfera

área = 4πr2

3E r

34V π=

6- Sólidos semelhantes

São sólidos que possuem lados homólogos (correspondentes) proporcionais. A razão de semelhança k entre esses sólidos é a razão entre dois elementos lineares homólogos. Assim:

2 31 1

2 2

A Vh k k kH A V

= = =

Onde:

h, A1, V1 – altura, área, volume do menor sólido;

H, A2, V2 – altura, área, volume do maior sólido.

7- Relação de Euler: V – A + F = 2

dica matematica afa

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