dibujo basico y geometria plana

DOCUMENTO DE APOYO GEOMTRIA BSICA

JUSTIFICACIN1l dibujo como una forma de lenguaje proporciona la libre expresin de ideas de una forma creativa, ldica, experimental, lo que conlleva a la creacin y desarrollo de nuevos artefactos tiles para el ser humano, generando nuevas alternativas de vida. Con esta gua te proponemos introducirte en el fantstico mundo de la creatividad como un paso de entrada a la transformacin del medio en que vives, adems te generara pautas para que crees o mejores algunos artefactos que puedan darle una solucin econmica y/o social viable a tus proyectos.OBJETIVOS GENERALES 1. Estimular mediante las actividades creativas el desarrollo de destrezas y habilidades en el campo tecnolgico de acuerdo con los intereses grupales e individuales de los dicentes del SENA. 2. Fomentar la prctica de actividades tecnolgicas integrndolas creativamente al quehacer cotidiano. 3. Desarrollar elementos de identidad con el dibujo de modo tal que los dicentes comprendan la importancia del dibujo de ingeniera, as como los fundamentos del dibujo a travs de la computadora y software CAD, CAM, CIM entre otros.

E

1

Documento preparadp por MARUBOGA. Inga metalurgica especialista en gerencia

1


INTRODUCCIN

D

esde tiempos remotos el hombre a empleado el dibujo para comunicar sus ideas a los congneres, as como almacenar sus ideas a fin de no olvidarlas. Las formas ms primitivas de escritura, tales como los jeroglficos egipcios, fueron formas pictricas. Inicialmente estos dibujos cumplieron con una necesidad elemental de expresin mucho antes del desarrollo de la escritura. Sin embargo, el dibujo se libero gradualmente de su uso primitivo cuando se desarroll la escritura y vino a ser utilizado principalmente por artistas y diseadores de ingeniera como un medio para dar a conocer ideas sobre la construccin de trabajos terminados como las pirmides, carros de guerra, entre otros. La palabra GRFICO significa comunicacin de ideas por medio de lneas o signos impresos sobre una superficie. Un dibujo es una representacin grfica de una cosa real. Por consiguiente el dibujo es un lenguaje grfico, ya que emplea imgenes para comunicar pensamientos e ideas. Debido a que estas imgenes las entienden todas las personas de diferentes nacionalidades, se dice que el dibujo es un Lenguaje universal. El dibujo se ha desarrollado en dos formas diferentes, cada una de las cuales sirve a un propsito diferente. Al dibujo artstico le concierne la expresin de ideas, historias y emociones en forma pictrica, utilizando color y lnea para producir imgenes. El dibujo de ingeniera se ocupa principalmente de reproducir con precisin ideas tcnicas de naturaleza prctica. Este mtodo de dibujo se utiliza en muchos campos de la ingeniera, como la mecnica, la civil, la elctrica, la electrnica, la arquitectnica y la construccin. Por esta razn, el dibujo de ingeniera se considera como el LENGUAJE DE LA INDUSTRIA. Para el dibujo de ingeniera adems de la capacidad de dibujar, es necesario poseer fundamentos slidos de tecnologa, matemticas y ciencias fsicas, cierto grado de habilidad creativa, conocimientos especializados y adiestramiento en el rea particular en la empresa.

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REAS REPRESENTATIVA S DEL DIBUJO DE INGENIERA MECNICO

ACTIVIDADES

PRODUCTOS

REAS DE ESPECIALIZACIN

Diseo Pruebas Manufactura Mantenimiento Construccin

Materiales Mquinas Dispositivos

Transporte Manufactura Energa

ARQUITECTNICO

Planeacin Diseo Supervisin

Edificios Medio ambiente Paisaje

Formas espaciales

ELCTRICO

Diseo Desarrollo Supervisin Programacin

Computadoras Electrnica Energa

Energa Transporte Iluminacin Comunicaciones Instrumentacin Aerodinmica Diseo estructural Instrumentacin Sistemas de propulsin materiales pruebas de confiabilidad mtodos de produccin.

AEROESPACIAL

Planeacin Diseo Pruebas

Aviones Satlites Proyectiles

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REAS REPRESENTATIVA S DEL DIBUJO DE INGENIERA ILUSTRACIN TCNICA

ACTIVIDADES

PRODUCTOS

REAS DE ESPECIALIZACIN

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Promocin Diseo Ilustracin

Catlogos Revistas Escarapelas

Productos nuevos Instrucciones de ensamble Presentaciones Proyectos comunales Programas de renovacin

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En general el dibujo como una forma de lenguaje proporciona la libre expresin de ideas de una forma creativa, ldica, experimental, lo que conlleva a la creacin y desarrollo de nuevos artefactos tiles para el ser humano, generando nuevas alternativas de vida.

CONTENIDO1. GEOMETRA BSICA 1.1 PERPENDICULARIDAD 1.2 PARALELISMO 1.3 NGULOS 1.4 TRINGULOS 1.5 CUADRILTEROS 1.6 CIRCUNFERENCIA 1.7 POLGONOS REGULARES 2. CONSTRUCCIN DE EMPALMES 3. CONSTRUCCIN DE CURVAS ESPECIALES BIBLIOGRAFA

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1Lnea recta

GEOMETRA BSICA

En general se distinguen dos clases de lneas: la lnea recta y la lnea curva

Lnea curva

Dos rectas que estn ubicadas en un mismo plano pueden ocupar diferentes posiciones relativas a saber:

Si tienen un punto en comn, estn generando una interseccin, donde los ngulos pueden ser diferentes o iguales. Si los ngulos son iguales a 90 las rectas reciben el nombre de perpendiculares A P D B C Punto en comn

Si no tienen un punto en comn, las rectas reciben el nombre de paralelas. Debemos adems tener en cuenta los siguientes conceptos:

a. La mnima distancia entre dos puntos es la lnea recta. b. Dos puntos definen una recta, ya que slo hay una recta que pasa por dichos puntos. c. La porcin comprendida puntos se segmento. de recta entre dos denomina

A s

r

B t u

5


A d. La mnima distancia, o la distancia de un punto a una recta, es la perpendicular a dicha recta que pasa por el punto dado.

o r s t m

u

e. Por un punto slo pasa una perpendicular a una recta dada.

90

f. Si una recta es perpendicular a otra recta, tambin lo es a su paralela.

r P

g. La distancia entre rectas paralelas es la perpendicular trazada a ambas por un punto cualquiera

s

h. La distancia entre arcos concntricos, es la normal (radio) trazada a ambos por un punto cualquiera.

s r C

s-r

6


i. La mnima distancia de un punto a una circunferencia, est sobre la recta que une dicho punto con el centro de la circunferencia, esta recta, es la normal o perpendicular trazada desde el punto (P) a la circunferencia.

C

r

P

j. Por un punto slo pasa una normal o perpendicular a una circunferencia k. La mnima distancia del centro de una circunferencia o arco a una recta es la perpendicular trazada desde el centro a la recta, realizando todas las deducciones podemos obtener la mnima distancia entre la circunferencia y la recta.

C

r t A

B

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1.1

PERPENDICULARIDAD C

PERPENDICULAR A UNA RECTA POR EL PUNTO MEDIO DE LA MISMA El conjunto de puntos cuyas distancias a los extremos de un segmento es la misma, es una lnea recta perpendicular al segmento. Esta recibe el nombre de MEDIATRIZ. Como la mediatriz de un segmento es perpendicular a dicho segmento y pasa por su punto medio, la podemos definir tambin como la perpendicular de un segmento trazado por su punto medio. Y se construye as: E A B

D

1. Se traza la recta deseada y se nombra. 2. Con centros en los extremos de la recta y un mismo radio, trazar arcos que se corten en dos puntos exteriores a ella. 3. Unir estos dos centro de marca y dar como resultado la perpendicular en el punto medio de la recta inicial.

TRAZAR LA PERPENDICULAR POR UN PUNTO CUALQUIERA DE UNA RECTA r

1. Se traza la recta deseada y se nombra. 2. Se ubica un punto cualquiera (por donde se desea que pase la perpendicular) 3. Con centro en el punto elegido y con un radio cualquiera trazar un arco que corte la recta (nombrar los puntos) 4. Con el mismo radio y con centro en los punto de corte, trace un arco que corta en un punto (marcarlo), el arco anteriormente realizado. 5. Con centro en el punto anterior y el mismo radio trazar una marca de arco. 8


6. Realizar la misma operacin al lado contrario. 7. Unir estos dos centro de marca y dar como resultado la perpendicular a la recta inicial. G G

F C A

E B

F A

E B

PERPENDICULAR A UNA RECTA POR UN PUNTO EXTERIOR C Trazar la lnea deseada. Ubicar el punto exterior a la recta y nombrarlo. Con centro en el punto exterior trazar un arco que corte la recta en dos puntos y nombrarlos. Con centro en los puntos de corte (entre el arco y la recta) y con radio mayor que la distancia AB, trazar marcas y nombrar el punto (P). La recta que une el punto C y el Punto P ser la perpendicular pedida.

s

B

t r A t P

PERPENDICULAR POR EL EXTREMO DE UN SEGMENTO Conocido un segmento AB, se puede trazar una perpendicular por uno de sus puntos extremos A o B, o sea, una recta que forme un ngulo recto con el segmento dado.

9


Sabiendo que cualquier ngulo que tenga su vrtice en la circunferencia y los lados pasen por los extremos de un dimetro, mide 90. Trazar una circunferencia de cualquier dimetro que pase por el extremo donde se desee la perpendicular (A o B).

D

C A E

B Se traza un dimetro que una el centro C con la interseccin de la circunferencia y el segmento AB, (se nombran los puntos extremos) se obtiene el dimetro DCE, Se traza un segmento que una al dimetro generado y la lnea AB, siendo el segmento AD perpendicular al AB

1.2

PARALELISMO

TRAZAR LA PARALELA A UNA ENTRE ELLAS F

RECTA r CONOCIDA LA DISTANCIA G

A

C

D

B

1. Se traza la recta deseada y se nombra. 2. Se ubican dos puntos cualquiera (nombrar los puntos). 3. Con centro en los puntos elegidos y con un radio igual a la separacin entre las dos lneas a construir, trazar dos arcos que corten la recta. 4. La recta tangente a los arcos trazados anteriormente ser la paralela pedida.

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PARALELA A UNA RECTA Y QUE PASE POR UN PUNTO C EXTERIOR A ELLA.

Primer mtodo:Trazar la recta y ubicar el punto exterior por donde a de pasar la paralela. Con centro en el punto C y con un radio arbitrario, trazar un arco que corte le recta AB en un punto D. F A

C r r D

E

B

Con centro en el punto D y con el mismo radio anterior, trazar un arco que corte le recta AB en un punto F. A partir del punto D, sobre el arco respectivo, trasladar la distancia DE igual a la distancia FC La recta que pasa por los puntos C y E, ser la paralela pedida.

Segundo mtodo:Trazar la recta y ubicar el punto exterior por donde a de pasar la paralela. Con centro en un punto cualquiera (C) perteneciente a la recta r, trazar un arco que corte la recta en los puntos A y B. Sobre el arco y a partir de A, pasar la distancia PB igual a la distancia AQ. La recta que pasa por los puntos P y Q, ser la paralela pedida. A C B

Q

P

r

EN GENERAL: Si se tiene la recta r y el punto P y se traza un arco de circunferencia cualquiera con centro sobre la recta r y que pase por el punto P y Q, determinamos los puntos A y B.

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La distancia PB debe ser igual a la distancia QA, ya que en una circunferencia a arcos iguales corresponden cuerdas iguales, por lo que tomando dicha distancia con el comps buscamos el punto Q, que unido con el punto P, nos definir la paralela. Tambin lo podemos hacer por el procedimiento anterior, teniendo en cuanta que el punto B de la figura anterior es, en esta caso, un dato.

DIVIDIR UNA RECTA AB EN UN NMERO CUALQUIERA DE PARTES IGUALES

Existen 2 mtodos a saber: Primer mtodo: Trazar la recta a dividir. Trazar dos rectas paralelas entre s, formando un ngulo cualquiera (diferente de 0) en los extremos de la recta a dividir. Dividir las rectas paralelas en tantos segmentos iguales y consecutivos como divisiones se desee obtener sobre la recta. Numerar los extremos de los segmentos

b 5 4 3 2 1 A C D E F G 5 4 3 2 1 a B

Unir entre s los puntos de igual nmero, por medio de rectas para localizar los puntos de corte que dividirn a la recta dada en partes iguales y proporcionales.

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Segundo mtodo: Trazar la recta a dividir y nombrar sus extremos. Con centro en A y B, respectivamente y con radio AB trazar dos arcos (nombrar el punto resultante C). Unir los puntos A y B con el punto C. A partir de C, sobre las rectas CA y CB o sus prolongaciones, llevar tantos segmentos iguales y consecutivos como divisiones se deseen obtener en la recta AB. C

A

1

2

3

4

5

B

D

E

Unir los extremos DE. Sobre dicha reta transportar en forma consecutiva los segmentos iguales a los trazados en DC y EC. Unir cada uno de los puntos de divisin de la recta DE con el punto C, quedando as la recta dada en la forma solicitada.

1.3

NGULOS

BISECTRIZ DE UN NGULO a. El conjunto de puntos cuyas distancias a los lados del ngulo es la misma, es una lnea recta que recibe el nombre de BISECTRIZ del ngulo. b. Como la BISECTRIZ equidista de los lados del ngulo, tambin podemos definirla como la recta que divide al ngulo en dos partes iguales. Para trazar una bisectriz de un ngulo dado se procede as:

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Con centro en V Trazar el arco ED con radio arbitrario. Con un radio mayor que la distancia ED, y haciendo centro en los puntos E y D respectivamente, trazar los arcos que se cortan en el punto F La recta que une los puntos V y F, ser la bisectriz del ngulo dado.

D

F V

E

BISECTRIZ DE UN NGULO DE VRTICE INACCESIBLE

A distancias iguales y paralelas a los lados del ngulo (mtodo ya conocido), trazar dos rectas que se corten en un punto M interior del ngulo. Realizando el proceso para la construccin de la bisectriz se procede a determinar la bisectriz del ngulo interior formado. La bisectriz resultante ser la misma, ya que si equidista de t y de u tambin equidistar de r y s, que son paralelos y situados a la misma distancia.

r

t

u s

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TRAZAR UN NGULO IGUAL A OTRO DADO Sea BAC el ngulo dado y AB el lado a partir del cual se desea trazar el ngulo. Con centro en A y A, con igual radio arbitrario, trazar los arcos DE y DE, respectivamente. Desde el punto E y sobre el arco respectivo, marcar la distancia DE igual a DE. La recta AE formar, con la recta AB, un ngulo igual al dado. AA D E

C

B

C E

B D

DIVIDIR UN NGULO RECTO EN TRES NGULOS IGUALES Con centro en el ngulo recto, trazar el arco ED con radio arbitrario. Con centro en E y D, respectivamente y con el mismo radio utilizado en el paso anterior, trazar los arcos que cortan el arco DE en los puntos F y G. Trazar las rectas Desde el vrtice a G y a F que dividirn el ngulo en tres ngulos iguales. E G

F

V

D

DIVIDIR UN NGULO CUALQUIERA EN TRES PARTES IGUALES Construir el ngulo y nombrar sus puntos extremos. Trazar la bisectriz del ngulo BAC.

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Sobre la bisectriz trazada AG y a partir del vrtice pasar la distancia AG igual a la distancia DE Con centro en el vrtice, trazar la semicircunferencia EFD con radio arbitrario. Trazar la recta DG que corta a la semicircunferencia en el punto I. Sobre el arco FE, a partir de I, pasar la distancia IJ igual a FI. Trazar las rectas AJ y AI, que dividen el ngulo BAC en tres ngulos, aproximadamente iguales G C I

F

J

D

A

E

B

NGULOS CENTRALES E INSCRITOS NGULO CENTRAL: Es el que tiene su vrtice en el centro de una circunferencia, su media es la misma que la del arco correspondiente. Todo ngulo central mide lo mismo que el arco limitado por sus lados. NGULO INSCRITO: Es el que tiene su vrtice en una circunferencia, su media es la mitad que la del arco que abarca sus lados. Todo ngulo inscrito en la misma circunferencia y que abarque el mismo arco medir lo mismo. ARCO CAPAZ: Es el arco que contiene todos los vrtices de los ngulos inscritos cuyos lados abarcan el mismo arco. En una misma circunferencia, a ngulos centrales o inscritos iguales corresponden arcos y cuerdas iguales.

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1.4

TRINGULOS

a. Tringulo es la figura formada por tres ngulos. b. Los vrtices se designan con letra mayscula y los lados con la misma letra que el vrtice opuesto, pero con minscula. c. Cuando mayor es un ngulo, mayor es el lado opuesto a este ngulo y viceversa. d. La suma de los ngulos internos de un tringulo es 180. e. Los tringulos que tienen tres lados iguales reciben el nombre de EQUILTEROS. f. Los tringulos que tienen dos lados iguales reciben el nombre de ISSCELES. g. Los tringulos que NO tienen ESCLENOS. lados iguales reciben el nombre de

h. Los tringulos que tienen un ngulo obtuso reciben el nombre de OBTUSNGULOS. i. Los tringulos que tienen un ngulo recto reciben el nombre de RECTNGULOS. j. Los tringulos que tienen los tres ngulos agudos reciben el nombre de ACUTNGULOS.

RECTAS NOTABLES DEL TRINGULO ALTURAS. ORTOCENTRO: La altura de un tringulo, es la perpendicular trazada a la base desde el vrtice opuesto. Dado que cada uno de los lados puede ser considerado base, todos los tringulos tienen tres bases y tres alturas.Las alturas de un tringulo, siempre se cortan en un punto llamado ORTOCENTRO, que puede estar situado dentro o fuera del tringulo, segn este 17


sea acutngulo u obtusngulo; en el caso del tringulo rectngulo, el ortocentro coincidir con el vrtice del ngulo recto.

BISECTRICES. INCENTRO: Sitrazamos las bisectrices de los tres ngulos de un tringulo, siempre se cortarn en un punto interior del tringulo llamado INCENTRO, porque es el centro de un circunferencia inscrita en el tringulo. Recordemos que la bisectriz es el conjunto de puntos que equidistan de los lados del ngulo; el valor de la distancia entre PI, QI y IR es el valor del radio de la circunferencia inscrita.

B

Q P

C R A

MEDIATRICES. CIRCUNCENTRO: Si trazamoslas mediatrices de los tres lados del tringulo, siempre se cortarn en un punto interior o exterior del tringulo llamado CIRCUNCENTRO, porque es el centro de un circunferencia circunscrita al tringulo. Recordemos que la Mediatriz es el conjunto de puntos que equidistan de los extremos de un segmento del ngulo; el valor de la distancia entre CD, CE y CF son iguales entre si, siendo el valor de esta distancia el radio de la circunferencia circunscrita. F C

E D

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F

MEDIANAS.

BARICENTRO:P Q B

La recta que une el punto medio de un lado con el vrtice opuesto se llama MEDIANA. Un tringulo tiene tres medianas que se cortan en un punto llamado BARICENTRO, que es el centro de gravedad del tringulo. El BARICENTRO est ubicado a 2/3 de la mediana a partir del vrtice D correspondiente, as la distancia DB es 2/3 de DQ, EB = 2/3 EP y FB = 2/3 FR.

R

E

TRAZAR UN TRINGULO EQUILTERO CONOCIENDO UN LADO C

Trazar el lado conocido y nombrar sus puntos finales. Con centro en los puntos finales (A y B), respectivamente, y con radio igual a la distancia AB, trazar dos arcos que se cortan en un tercer punto (C). Trazar las rectas AC y BC, con lo cual se obtiene la figura pedida. A

B

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TRAZAR UN TRINGULO EQUILTERO CONOCIENDO LA ALTURA E A F

Trazar la altura conocida y nombrar sus puntos extremos. Por los puntos A o B trazar una recta perpendicular a la altura dada. Por el otro punto A o B trazar una paralela a la perpendicular antes trazada. Con centro en A y radio arbitrario, trazar la semicircunferencia EF. Con centro en los puntos EF y con el mismo radio anterior trazar marcas de arcos que cortarn la semicircunferencia en los puntos G y H.

G

H

E

B

D

Trazar la recta AG prolongndola hasta C y AH prolongndola hasta D, con lo cual se obtiene el ngulo pedido.

TRAZAR UN TRINGULO CONOCIENDO SUS TRES LADOS C Trazar el lado de mayor valor, nombrando sus extremos. Con centro en A y radio igual a la distancia del lado menor trazar un arco. Con centro en B y radio igual a la distancia del tercer lado, trazar un arco que corte al anterior y marcar el punto.

A

B

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Trazar las rectas AC y CB, obteniendo as el tringulo pedido.

TRAZAR UN TRINGULO RECTNGULO CONOCIENDO SUS CATETOS C Sean AB y AC los catetos dados. Trazar el cateto AB y, por el extremo A, levantar una perpendicular a la recta. A partir de A, sobre la perpendicular anteriormente trazada, marcar la distancia AC. Trazar la recta CB, obteniendo as el tringulo pedido.

A

B

TRAZAR UN TRINGULO RECTNGULO CONOCIENDO LA HIPOTENUSA Y UN CATETO Sean AB la hipotenusa y Ac el cateto conocido. Trazar la hipotenusa y determinar en ella su punto medio (mtodo ya visto). A P B C

Con centro en el punto P, trazar la semicircunferencia AB

Con centro en A y radio igual a la distancia del cateto AC, trazar un arco que corte al anterior y marcar el punto. Trazar las rectas AC y CB, obteniendo as el tringulo pedido

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TRAZAR UN TRINGULO RECTNGULO CONOCIENDO LA HIPOTENUSA Y UN NGULO AGUDOC Sean AB la hipotenusa del tringulo y A el ngulo dado. Trazar la hipotenusa AB y determinar en ella su punto medio (mtodo ya visto). A P B Con centro en el punto medio y radio igual a la distancia media de la hipotenusa (PA) trazar la semicircunferencia AB

En el extremo A de la hipotenusa trazar un ngulo igual al dado (mtodo ya visto), prolongando el lado hasta cortar en C la semicircunferencia. Trazar la recta CB, obteniendo as el tringulo pedido.

1.5 CUADRILTEROS

a. Toda figura plana limitada por cuatro lados es un cuadriltero. b. Los cuadrilteros se dividen en: Paralelogramos, trapecios, y trapezoides. c. PARALELOGRAMO, es aquel cuadriltero que tiene sus lados paralelos dos a dos. d. TRAPECIO, es aquel cuadriltero que slo tienen una pareja de lados paralelos entre s. Los lados paralelos se denominan bases. e. TRAPEZOIDE, es aquel cuadriltero que NO tiene ningn lado paralelo.

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CLASIFICACIN DE LOS PARALELOGRAMOS

CUADRADO: Tienen los cuatro ladosiguales, cuatro ngulos rectos, diagonales iguales que se cortan perpendicularmente en su punto medio, adems dichas diagonales son bisectrices de sus ngulos. l

90

l l

45 l

90 RECTNGULO: Tienen los lados iguales dos a dos, cuatro ngulos rectos, diagonales m iguales que se cortan en un punto medio. m

l

A/2

ROMBO: Tienen los cuatro lados igualesentre s, ngulos iguales dos a dos, diagonales perpendiculares que se cortan en un punto medio y que tambin son bisectrices de sus ngulos.

l

l

A/2 l m l

ROMBOIDE: Tienen los lados iguales dos a dos, ngulos iguales dos a dos, y sus diagonales se cortan en su punto medio.

l

l m

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CLASIFICACIN DE LOS TRAPECIOSSe llama base media de un trapecio a la paralela que equidista de las bases, su magnitud es la media aritmtica de las mismas, es decir, la mitad de la suma de las bases mayor y menor. Cuando no esta clasificado en las dos categoras siguientes puede slo nombrarse como trapecio.

Base media

ISSCELES: Es el que tienen los ladosno paralelos iguales, las diagonales tambin son iguales entre s, as como los ngulos contiguos de la base mayor y los de la base menor.

A

A

B

B

RECTNGULO: Es el que tienen dos ngulos rectos.

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1.6

CIRCUNFERENCIA

Comnmente el trmino circulo y circunferencia se utilizan como sinnimos, pero esto es un error, distingmoslos:

Circunferencia

Circulo

Como puedes observar LA CIRCUNFERENCIA es una lnea curva cuyos puntos equidistan de un punto interior llamado centro. El CRCULO es la superficie plana limitada por la circunferencia. En la circunferencia distinguimos bsicamente los siguientes elementos: a. Dimetro: es la recta que une dos puntos de la circunferencia y la divide en dos partes iguales. d. b. Radio: Es la recta trazada desde el centro del circulo, a cualquier punto de la circunferencia. r. c. Cuerda: Es la recta que sin pasar por el centro del circulo, une dos puntos de la circunferencia. c.

a se rd

T

c s

d. Sagita: Es el segmento perpendicular trazado desde la mitad de un arco a la cuerda que lo limita. s

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e. Arco: Es una parte cualquiera de la circunferencia, comprendida entre dos puntos. a. f. Secante: Es la recta que corta una circunferencia en dos puntos. se. g. Tangente: Es la recta que toca una circunferencia en un solo punto. T. h. Longitud de circunferencia, como la longitud del segmento de recta que corresponde a la circunferencia extendida sobre un plano.

SUPERFICIES CIRCULARESSEMICIRCULO

SEGMENTO CIRCULAR: Es la porcin delcirculo limitada por una cuerda y el arco respectivo. El dimetro divide al crculo en dos segmentos circulares iguales llamados semicrculos. SEMICIRCULO

SECTOR CIRCULAR: Es la porcin de crculo comprendida entre dos radios consecutivos y el arco correspondiente.

SECTOR CIRCULAR

CUADRANTE CIRCULAR

CUADRANTE CIRCULAR: Es la porcin de crculo comprendida entre dos radios consecutivos perpendiculares y el arco correspondiente.

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CORONA CIRCULAR

CORONA CIRCULAR: Es la porcin de crculo comprendida entre dos circunferencias que tienen el mismo centro.

TRAPECIO CIRCULAR: es una porcin de la corona circular limitada por dos radios.

TRAPECIO CIRCULAR

CIRCUNFERENCIAS CONCNTRICAS: Tienen el mismo centro

CIRCUNFERENCIAS EXCNTRICAS: son las que estando una dentro de la otra tienen centros diferentes.

TRAZAR UNA CIRCUNFERENCIA DE RADIO CONOCIDO R QUE PASE POR DOS PUNTOS DADOSsean A y B los puntos dados. A Con centros en A y en B y con radio R, trazar arcos que se cortan, marcar el punto. Con centro en el punto y con radio R, trazar la circunferencia pedida.

B 27


TRAZAR UNA CIRCUNFERENCIA QUE PASE POR TRES PUNTOS NO COLINEALESSean A, B y C los puntos dados. Trazar las rectas AB y BC. Por los puntos medios de las rectas anteriormente trazadas levantar las respectivas perpendiculares, que se cortarn en un punto, marcarlo. Con centro en O y radio OA trazar la circunferencia pedida. B A O C

DETERMINAR EL CENTRO DE UNA CIRCUNFERENCIADeterminar tres puntos cualesquiera A, B y C sobre la circunferencia dada. C O Trazar las rectas AB y BC. Por los puntos medio de las rectas AB y BC, levantar las respectivas perpendiculares que se cortan en el punto O, centro de la circunferencia dada. B

A

TRAZAR LA RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO DADO A

Trazar la lnea radial OA. Por el extremo A de la recta OA, trazar la perpendicular AD, que ser la tangente pedida.B

O

AC

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TRAZAR LA RECTA TANGENTE A UN ARCO EN UN PUNTO DADO AD S

C B R

Desde un punto cualquiera B, perteneciente al arco y con radio BA, trazar el arco RS, que corta al arco en un punto C. Desde A y con radio AC, trazar un arco que corta el arco RS en el punto D. Trazar la recta DA para obtener la tangente pedida.

A

1.7

POLGONOS REGULARES

a. Un polgono regular es aquel que tiene todos sus lados y ngulos iguales. b. Pueden nombrarse segn la cantidad de lados. c. El permetro es la suma de sus lados. d. Cualquier polgono regular se puede dividir en tringulos issceles iguales, uniendo el centro del polgono con cada uno de sus vrtices. e. Apotema es la altura de todos y cada uno de los tringulos issceles obtenidos al dividir el polgono. f. Cualquier polgono regular lo podemos inscribir o circunscribir en una circunferencia.

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DIVIDIR UNA CIRCUNFERENCIA EN CUALQUIER NMERO DE PARTES IGUALES (MTODO GENERAL)Trazar el dimetro de la circunferencia, nombrar sus extremos y dividirlo en tantas partes iguales como divisiones se quieran obtener (por ejemplo, 10 partes). Con centro en los extremos y el mismo radio de la circunferencia, trazar los arcos que se cortarn en un punto cualquier C.

A1 2 3 4 5 6 7 8 9

C

Unir el punto C, con la segunda divisin del dimetro prolongando la recta hasta interceptar la circunferencia en el punto D.

B

La distancia AD, llevada en forma sucesiva a partir del punto A, divide la circunferencia en el nmero de partes pedidas. NOTA: Si en lugar de conocer el radio de la circunferencia circunscrita, sabemos, el radio de la inscrita, o sea, apotema del polgono, lo podemos hacer todo igual, pero en ves de unir las divisiones de la circunferencia, trazar por estas divisiones perpendiculares a las apotemas. Tambin podemos hacer la divisin de la circunferencia; en partes iguales; dividiendo sus 360 entre el nmero de lados del polgono, construyendo sus ngulos centrales una vez obtenido el valor de los mismos, estos ngulos los podemos trazar con el transportador de ngulos.

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DIVIDIR UNA CIRCUNFERENCIA EN TRES PARTES IGUALES E INSCRIBIR EN ELLA UN TRINGULO EQUILTEROTrazar el dimetro de la circunferencia y nombrar sus extremos. Con centro en D y el mismo radio de la circunferencia, trazar el arco que corta la circunferencia en los puntos B y C. Los puntos A, B y C as localizados, dividen la circunferencia en tres partes iguales, que determinan los vrtices del tringulo pedido. B A

O C

D

DIVIDIR UNA CIRCUNFERENCIA EN CUATRO PARTES IGUALES E INSCRIBIR EN ELLA UN CUADRADOA Trazar un dimetro de la circunferencia y nombrar sus extremos. Trazar la perpendicular (mtodo ya visto) por el punto medio del dimetro y cortar la circunferencia en dos puntos B y C. Los puntos A, B, C y D as localizados, dividen la circunferencia en cuatro partes iguales, que determinan los vrtices del cuadrado pedido. D

B

O

C

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DIVIDIR UNA CIRCUNFERENCIA EN CINCO PARTES IGUALES E INSCRIBIR EN ELLA UN PENTGONO REGULARA Trazar dos dimetro de la circunferencia, perpendiculares entre si (mtodo ya visto) y nombrar sus extremos. Dividir el radio OC en dos partes iguales (mtodo ya visto), nombrar el punto de intercesin. Con centro en E y radio EA, trazar el arco AF. Con centro en A y radio AF, trazar el arco GFH. J D I

G O B F E

H C

En forma consecutiva y a partir de A, marcar sobre la circunferencia la distancia AH, determinando as los puntos A, G, J, I y H que dividen la circunferencia en cinco partes iguales y son los vrtices del pentgono regular.

DIVIDIR UNA CIRCUNFERENCIA EN SEIS PARTES IGUALES E INSCRIBIR EN ELLA UN HEXGONO REGULAR

A

Trazar un dimetro de la circunferencia y nombrar sus extremos. F Con centros en A y D, trazar dos arcos de radio igual al de la circunferencia, estos arcos cortarn la circunferencia en 4 puntos diferentes. Los puntos A, B, C, D, E y F as localizados, dividen la circunferencia en seis partes iguales, que determinan los vrtices del hexgono regular.

B O

C

E

D 32


DIVIDIR UNA CIRCUNFERENCIA EN SIETE PARTES IGUALES E INSCRIBIR EN ELLA UN HEPTGONO REGULARI Trazar el dimetro de la circunferencia, y nombrar sus extremos. Con centro en D y radio igual al de la circunferencia, trazar el arco que corta a la misma en dos puntos C y B. Trazar la cuerda BC que corta el dimetro en el punto R. J O GA

H

B

R F ED

C

A partir de B, marcar la distancia CP en forma sucesiva sobre la circunferencia, determinando as los puntos B, E, F, G, H, I y J que dividen la circunferencia en siete partes iguales y son los vrtices del heptgono regular.

DIVIDIR UNA CIRCUNFERENCIA EN OCHO PARTES IGUALES E INSCRIBIR EN ELLA UN OCTGONO REGULAR

A B H

Trazar los dimetros de la circunferencia y nombrar sus extremos. Trazar las bisectrices de los cuatro ngulos centrales, quedando as la circunferencia dividida en 8 partes iguales los puntos A, B, C, D, E, F, G y H localizados, dividen la circunferencia en ocho partes iguales, que determinan los vrtices del octgono regular.

C

O

G

D E

F

33


DIVIDIR UNA CIRCUNFERENCIA EN NUEVE PARTES IGUALES E INSCRIBIR EN ELLA UN ENEGONO REGULARA

Trazar el dimetro de la circunferencia, y nombrar sus extremos. Con centro en D y radio igual al de la circunferencia, trazar el arco que corta a la misma en dos puntos C y B. Trazar la cuerda BC que corta el dimetro en el punto R. Con centro en R y radio igual al de la circunferencia, trazar un arco que corte la prolongacin de la recta BC en el punto F.O

F

B

R

C

E D

G

Con centro en F y el mismo radio, trazar un arco que corte el anterior en el punto G. Unir con una recta el punto G y el centro de la circunferencia que corta a la misma en el punto E. A partir de B, marcar la distancia BE en forma sucesiva sobre la circunferencia, determinando as los puntos que dividen la circunferencia en nueve partes iguales y son los vrtices del enegono regular.

34


DIVIDIR UNA CIRCUNFERENCIA EN DOCE PARTES IGUALES E INSCRIBIR EN ELLA UN DODECGONO REGULARA B L

C

K

Trazar los dimetros perpendiculares entre s. Con centros en los extremos de los vrtices y con radio igual al de la circunferencia, trazar arcos que cortan a la misma, quedando esta dividida en doce partes iguales, que determinan los vrtices del dodecgono regular.

D

O

J

E

I

F G

H

2

EMPALMES Y CONSTRUCCIN DE CURVAS

EMPALMAR DOS RECTAS PERPENDICULARES MEDIANTE UN ARCO DE RADIO r Se traza las rectas perpendiculares deseadas y se nombran. Con centro en el vrtice del ngulo recto y radio igual a r, trazar el arco que cortara las dos rectas anteriores. Con centro en los puntos de corte y con el mismo radio, trazar arcos que se corten en el centro de marca. Con centro en la marca de arco y el mismo radio, trazar el arco de empalme

C D

r r r r

A

E

B

35


EMPALMAR DOS RECTAS QUE FORMAN UN NGULO MENOR DE 90 MEDIANTE UN ARCO DE RADIO r Se traza las rectas formando el ngulo deseado y se nombran. A una distancia igual al radio de empalme trazar dos rectas paralelas a las anteriores, utilizando el mtodo anteriormente visto para paralelas. Con centro en el vrtice del ngulo formado por las paralelas y radio igual a r, trazar el arco que cortara las dos rectas C r r A r E r r B EMPALMAR DOS RECTAS QUE FORMAN UN NGULO MAYOR DE 90 MEDIANTE UN ARCO DE RADIO r Se traza las rectas formando el ngulo deseado y se nombran. Con el mtodo visto para el trazado de perpendiculares realizar el trazo de la bisectriz A una distancia igual al radio de empalme, trazar una recta paralela (mtodo visto) a uno de los lados del ngulo, esta recta paralela cortara la bisectriz en un punto dado. A r r F D

r B

D C

Con centro en este punto de interseccin y con igual radio, trazar el arco de empalme.

36


EMPALMAR DOS RECTAS PARALELAS MEDIANTE DOS ARCOS DE IGUAL RADIO r Se traza las rectas deseadas y se nombran AB, CD respectivamente. Trazar la recta que une los puntos de empalme BC. Determinar el punto medio de la recta de empalme (E). Determinar los puntos medios entre los segmentos (BE y EC) formados y trazar las perpendiculares respectivas. Por los puntos finales (B y C) de la recta de empalme, trazar perpendiculares a las rectas trazadas en el numeral 1 (AB y CD). Con radio igual a la distancia de la perpendicular del numeral anterior y centro en los puntos de interseccin (H y K), trazar los arcos de empalme.

D

K E H F C

G B

A

CONECTAR LOS EXTREMOS DE DOS RECTAS MEDIANTE UN ARCO DE RADIO r Los puntos extremos de dos rectas se pueden conectar, bien sea, con arcos cncavos o convexos. NOTA: la conexin de dos rectas mediante un arco, no implica que el arco sea necesariamente tangente a las mismas. Se traza las rectas deseadas y se nombran AB, CD respectivamente. Hacer centros en los puntos extremos de las rectas y con radio r, trazando centros de marca, para determinar el centro de conexin.

37


r r r A

C r

D

r r B

TRAZAR LOS ARCOS DE EMPALME CONTINUO POR LOS VRTICES DE UNA POLIGONAL DADA. Sean A, B, C, D, E y F los vrtices de la poligonal. Trazar las perpendiculares a los puntos medios de los segmentos AB, BC, CD, DE, EF (recordar el mtodo visto). Marcar la interseccin entre las rectas perpendiculares de los segmentos AB, BC (punto 1), centro del arco ABC. A partir del punto 1 trazar una recta que una, este punto con el punto C y que intercepte la perpendicular del segmento CD (punto 2), centro del arco CD. Trazar la recta desde D al punto 2, hasta cortar la perpendicular que pasa por el segmento DE, la interseccin entre las dos rectas dar origen al punto 3, centro del arco DE De igual forma se procede para empalmar los dems tramos de la poligonal A

B

1

C 2 D

3 E 4

F

EMPALMAR UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA Y UNA RECTA MEDIANTE UN ARCO DE RADIO CONOCIDO.

Trazar la recta y el arco deseado, nombrarlas 38


Sea C el centro del arco de radio R1 AB la recta da y R el radio de empalme. Trazar una paralela a la recta AB (mtodo visto) a una distancia igual al R. Con centro en A y radio igual a la diferencia entre los radios R1 y R, trazar un arco que corte la paralela en un punto (D). Con centro en D y con radio R, trazar el arco de empalme.R

R R

R1 - R

R1

EMPALMAR UNA CIRCUNFERENCIA Y UNA RECTA MEDIANTE UN ARCO DE RADIO CONOCIDO.

R1 R A R1 + R R R

Trazar la circunferencia y la recta deseada. Nombrarlas. Sea A el centro de la circunferencia, R1 su radio y R el radio de empalme. Trazar una paralela a la recta a una distancia igual al radio del empalme. Con centro en A y con un radio igual a la suma de R1 y R, trazar un arco que corte a la paralela en un punto.

39


Con centro en este punto y radio igual al del empalme, trazar el arco de empalme.

EMPALMAR DOS ARCOS DE CIRCUNFERENCIA MEDIANTE UN ARCO DE RADIO CONOCIDO.

D A R1 - R R

R1 E

R2

R2 - R

B

Trazar los arcos de circunferencia deseados. Nombrar sus centros. Sea A el centro de la circunferencia, R1 y B el centro de la circunferencia R2. Con centro en A y radio igual a la diferencia entre R1 y R, trazar la marca de arco. Con centro en B y radio igual a la diferencia entre R2 y R, trazar la marca de arco que corta al arco generado anteriormente. Trazar las rectas prolongadas AC y BC, que determinan sobre los arcos los puntos de tangencia E y D. Con centro en C y radio igual a R, trazar el arco de empalme.

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EMPALMAR DOS CIRCUNFERENCIA DE RADIO R1 y R2 MEDIANTE UN ARCO EXTERIOR DE RADIO CONOCIDO.

R F R1 R2 A B C R R1 R R2 E D G

CASO N 1: R mayor o igual que la mitad de la distancia entre los puntos extremos de las circunferencias A y D Trazar las circunferencias deseadas. Nombrar sus centros (B y C). Con centro en B y radio igual a la diferencia entre R y R1, trazar la marca de arco. Con centro en C y radio igual a la diferencia entre R y R2, trazar la marca de arco. Ubicadas en la interseccin de las marcas de arco trazar las rectas prolongadas EB y EC para determinar los puntos de empalme F y G. Desde la misma interseccin trazar el arco con radio R entre los dos puntos de empalme. En este caso las circunferencias dadas son tangentes interiores al arco de empalme.

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CASO N 2: R menor o igual que la mitad de la distancia entre los puntos extremos de las circunferencias A y D

R1 R2 A B C R + R1 F G R R + R2 E D

1. 2. 3. 4.

Trazar las circunferencias deseadas. Nombrar sus centros (B y C). Con centro en B y radio igual a la suma entre R y R1, trazar la marca de arco. Con centro en C y radio igual a la suma entre R y R2, trazar la marca de arco. Ubicadas en la interseccin de las marcas de arco trazar las rectas prolongadas EB y EC para determinar los puntos de empalme F y G. 5. Desde la misma interseccin trazar el arco con radio R entre los dos puntos de empalme.

En este caso las circunferencias dadas son tangentes exteriores al arco de empalme.

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CASO N 3: R menor o igual que la semisuma de la distancia HK (separacin entre circunferencias) y el dimetro de la circunferencia menor. R

HK + R 2 2

G R1 A B H R K C F R2 D

R - R2 R + R1 E

1. Trazar las circunferencias deseadas. Nombrar sus centros (B y C). 2. Con centro en B y radio igual a la suma entre R y R1, trazar la marca de arco. 3. Con centro en C y radio igual a la diferencia entre R y R2, trazar la marca de arco. 4. Ubicadas en la interseccin de las marcas de arco trazar las rectas prolongadas EB y EC para determinar los puntos de empalme F y G. 5. Desde la misma interseccin trazar el arco con radio R entre los dos puntos de empalme. En este caso las circunferencias dadas B y C sern tangentes exterior e interior respectivamente al arco de empalme.

3La circunferencia.

CURVAS ESPECIALES

Las lneas curvas que se presentan en un plano pueden ser abiertas o cerradas. Son curvas cerradas especiales:

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El ovoide. El ovalo. A. TRAZAR UN OVOIDE CONOCIENDO LOS EJES MAYOR Y MENOR Un ovoide es una curva plana, continua y cerrada, posee dos ejes, uno mayor y uno menor, es ms ancha en un extremo del eje mayor y esta parte corresponde a una semicircunferencia. La parte angosta del ovoide se construye por el empalme de tres arcos de circunferencia.

1. Trazar las dos rectas (eje mayor AB, eje menor CD) perpendiculares entre s. Marcar el punto de corte E. A 2. Con radio igual a la mitad del eje menor CD y ubicadas en el punto E, trazar la circunferencia que determina sobre los ejes los puntos D, A, C y F. E D C 3. Tomar la medida entre F y B. J K Trazar las rectas CB y DB, con la medida FB dividir el segmento R R CB y DB partiendo de los puntos C y D, los puntos F resultantes de la divisin sern G y H. G O 4. Trazar las perpendiculares prolongadas a los puntos medios R1 (mtodo ya visto) de los L M segmentos GB y HG respectivamente, el punto de interseccin ser O. B 5. Prolongar el eje menor e interceptar con las prolongaciones anteriores, los puntos originados sern J y K. 6. Con centro en O y radio igual al segmento OB (R1), trazar el arco entre las prolongaciones del numeral 4. Los puntos generados sern M y L 7. Con centros en los puntos J y K, y radio igual a la distancia CJ, trazar los arcos CM y DL. 44


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dibujo basico y geometria plana

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