diapositivas teorÍa de conjuntos ii
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TEORÍA DE CONJUNTOS
NOCIÓN DE CONJUNTO. DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE CONJUNTOS CLASES DE CONJUNTOS. OPERACIÓN ENTRE CONJUNTOS. PROBLEMAS DE APLICACIÓN.
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NOCIÓN DE CONJUNTO• NOCION DE CONJUNTO: Intuitivamente se dice que es una lista, una colección, una clase o reunión
de objetos abstractos o concretos (elementos) bien definidos, que guardan una característica común.
Ejemplos: - Los días de la semana. - Los países de América del Sur - Los números impares - Los distritos de la provincia de Chiclayo
• NOTACION DE CONJUNTO Generalmente se denota a un conjunto con letras mayúsculas y a sus
elementos mediante letras minúsculas separados por comas y encerrados con llaves.
Ejemplos: C = { x / P(x) }
B = {cara, sello} Mayúsculas Propiedades que define al conjunto
Minúsculas llaves
u,o,i,e,aA
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DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO
• Consiste en precisar correctamente que elementos forman parte del conjunto. Puede hacerse de dos formas:
• Por Extensión (forma tabular) Cuando se nombran a todos y
cada uno de los elementos. Ejemplos:
El orden en el cual son listados los elementos del conjunto no afecta el hecho de que pertenezcan a él. Así, po ejemplo:
• Por Comprensión (forma constructiva)
Cuando se enuncia una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto, de tal manera que cada objeto que goza de la propiedad pertenece al conjunto y todo elemento del conjunto goza de la propiedad mencionada.
• Ejemplos:
A = {n/n es una vocal} B = {los números pares menores
que 13} C = {n2 - 1 / n es entero 1 n 7}
• Esquema general:
C = { x / P(x) }Mayúsculas Propiedades que define al conjunto
Llaves Minúsculas
u,o,i,e,aA
8,6,4,2D
e,i,u,o,au,o,i,e,aA
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Números Naturales ( N ) N={1;2;3;4;5;....}
Números Enteros ( Z ) Z={...;-2;-1;0;1;2;....}
Números Racionales (Q) Q={...;-2;-1; ;0; ; ; 1; ;2;....}
Números Irracionales ( I ) I={...; ;....}2; 3;
Números Reales ( R )
R={...;-2;-1;0;1; ;2;3;....}2; 3
12
15
12
43
Números Complejos ( C )
C={...;-2; ;0;1; ;2+3i;3;....}2; 312
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N
ZQ
I
RC
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EJEMPLOS:
Expresar por extensión los siguientes conjuntos:
A ) 2P x N /x 9 0
B )
C )
D ) T x Q /(3x 4)(x 2) 0
E ) B x I /(3x 4)(x 2) 0
2Q x Z /x 9 0 2F x R /x 9 0
P={3}Q={-3;3}
F = { }
4T
3
B 2
RESPUESTAS INDICE
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RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
1. RELACION DE PERTENENCIA Se establece esta relación sólo de
elemento a conjunto y expresa si el elemento indicado forma parte o no del conjunto considerado.
Si un elemento está en un conjunto, se dice que: “. . . pertenece a. . .”
: Si no está en un conjunto, se dice que: “. . . no pertenece a. . .” :
• Ejemplo: Sea * 2 C * 8 C * {1; 2} C
2. RELACIÖN DE INCLUSION (): Se dice que A está incluido en otro
conjunto B, si todos los elementos de A pertenecen a B.
Se denota: A B Se lee: “A está incluido en B” “A está contenido en B” “A es subconjunto de B” Representación:
• Se lee: “A” está incluido en “B”, si y sólo si, para cualquier “x” que pertenece a “A”, éste también pertenece a “B”
Gráficamente:
Ejemplos: 1) A = {p, q} B = {p, q, r, s}
2) D = {2, 4, 6} E = {1, 2, 3, 5} Se observa que D no está contenido
en E, en ese caso se denota:
6 ; 5 ; 2,1 ; 2 ; 1C
A B x A: x A x B
A
B
A B .p
.q
A
B
.r
.s
D E D
E
.4
.6.2
.1.3
.5
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RELACIONES ENTRE CONJUNTOS2. RELACIÖN DE INCLUSION
(): PROPIEDADES: Propiedad reflexiva: A A propiedad antisimétrica: Si: A B B A A = B Propiedad transitiva: Si: A B B C A C
NOTA: En el caso que A B y por lo menos un elemento de B no es de A, entonces A es un subconjunto propio de B.
3. RELACIÓN DE IGUALDAD(=) Se dice que dos conjuntos son
iguales cuando ambos poseen los mismos elementos.
Ejemplo: A = {3n+2 / n Z 1 n 4} B = {5, 14, 8, 11} se observa: A = B
Se define como:
Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si, A es subconjunto de B y B es subconjunto de A.
• PROPIEDADES: Propiedad reflexiva: A = A Propiedad simétrica: A = B
implica B =A Propiedad transitiva: A= B y B= C
implica A = C
A B
.5
.8
.14
.11
A = B A B B A
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RELACIONES ENTRE CONJUNTOS4.CONJUNTO POTENCIA O
CONJUNTO DE PARTES: Dado un conjunto A, el conjunto
potencia de A está formado por toda la familia de subconjuntos de A.
Notación: P (A) Ejemplo: A = {a, b} todos los subconjuntos de este
conjunto son: P(A) = { {a}; {b}; {a, b}; }
n [ P (A) ] = 23 = 8 El número de elementos de P(A) o
número de subconjuntos de A, está dado por:
Los subconjuntos propios de A son aquellos subconjuntos diferentes al conjunto A, entonces:
• Ejemplo: Si A = {m, a, r}; Entonces:
P(A) = { {m} , {a} , {r} , {m, a} , {m, r} ,
{a, r}, {m, a, r}, } n[P(A)] = 23 = 8 subconjuntos. n[ subconjuntos propios de “A”] = 23–
1=7
• problemas de aplicación: Dado: A = {5; {7}; 9; {2}}. Indicar
(V) o (F) según corresponda: i) {5} A( ) iii) {9} A
( )ii) {7} A( ) iv) {5; {2}}
A ( )
a) FVVF b) FVFV c) FVVV
d) VFFV e) VVFF
nAPn 2
# de subconjuntos propios de A = 12n
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REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE CONJUNTOS
1.Diagrama de Venn – Euler: Es una forma ilustrativa y muy práctica para comprender intuitivamente las relaciones entre conjuntos y se ase uso de figuras geométricas en su representación:
• Ejemplo.: Sea: A = {2; 3; 5; 7}; B = {2; 3; 4; 5; 6} y U = {1; 2; 3; 4; 5; 6;
7; 8; 9} Entonces:
Su interpretación sería: - {7} sólo pertenece a “A” - {2; 3; 5} pertenecen a “A” y a “B” - {4; 6} sólo pertenece a “B” - {1; 8; 9} no pertenecen a los conjuntos
“A” y “B”
2. Diagrama de Lewis Carroll: Se usa generalmente para representar conjuntos disjuntos.
Hombres Mujeres Fuman
No fuman
Se observa que: Hombres que fuman Mujeres que no fuman
3.3. DIAGRAMA LINEAL:DIAGRAMA LINEAL: Se utiliza para conjuntos comparables,
es decir, para aquellos que cumple: A B
Ejemplo A = {1; 2; 3} :
B = {4; 5; 6}
C = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
23 5
7 4
6
A B
1 8U
9
C
A B
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CLASES DE CONJUNTOS.• Los conjuntos se clasifican teniendo en
cuenta la cantidad de elementos diferentes que poseen, según esto tenemos:
1. FINITO Si posee una cantidad limitada de
elementos, es decir el proceso de contar sus diferentes elementos termina en algún momento.
• Ejemplo:* K = {3n + 2 / n Z 1 n 4}
K es finito pues n(K) = 4 * L = {x/x es un día de la semana} L es finito pues n(L) = 7
2. INFINITO Si posee una cantidad ilimitada de
elementos es decir el proceso de contar sus diferentes elementos no termina nunca. Ejemplo:
M = {x/x Q 1 x 2} M es infinito pues n(M) = . . . . ? Z+ = {1, 2, 3, 4, 5, . . .} Z+ es infinito pues n(Z+) = . . . . ?
3.CONJUNTO NULO O VACIO Es aquel conjunto que carece de
elementos.• Ejemplo: A = {x/x es el actual INCA del Perú} B = {x/x N 7 < x < 8} Notación: “” ó { }• Nota: El conjunto vacío “” es subconjunto
de todo conjunto.
4.CONJUNTO UNITARIO O SINGLETON Es aquel conjunto que tiene un solo
elemento. Ejemplo: A = {x/x Z 10 < x < 12} = {11} B = {2, 2, 2, 2,. . .} = {2} C = {x/x N; 5 < x < 7} = {6} puesto que “6 N” es el único
comprendido entre 5 y 7
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CLASES DE CONJUNTOS.5. CONJUNTO UNIVERSAL (U) Es un conjunto referencial para el
estudio de una situación particular, que contiene a todos los conjuntos considerados. No existe un conjunto universal absoluto.
Ejemplo: A = {1, 3, 5} B = {2, 4, 5, 6} Podrían ser conjuntos universales U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} U = {x/x N} * Gráficamente el conjunto universal se
representa generalmente mediante el rectángulo.
Ejemplo: A = {x/x es peruano} B = {x/x es colombiano} C = {x/x es mexicano} U = {x/x es americano}
6. Subconjunto Propio: Se dice que A es subconjunto propio de B si y solo si.
A B y A B Número de subconjuntos propios de A: 2n(A) – 17. Disjuntos: Dos conjuntos son
disjuntos cuando no tienen ningún elemento común. Su gráfica es:
8. Diferentes: Aquellos que, teniendo distintos elementos tienen por lo menos un elemento común (pero no todos). Su gráfica es:
A B
9. Comparables: Dos conjuntos A y B son comparables si y solo si A B ó B A. Su gráfica es:
.1
.3.5
.2
.4.5
.6
U = N
A B
A B =
A B
AA
B
B
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OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
a)Unión o Reunión (A B): Es aquel conjunto que tiene como elementos a aquellos que pertenecen al conjunto A y/o a B
Gráficas de unión de conjuntos
• Propiedades. * A B = B A * A A = A * A (AB) * A = A * B (AB) * A U = U
b) Intersección (A B): Es aquel conjunto que tiene como elementos a aquellos que pertenecen al conjunto A y B (son elementos comunes o ambos)
Gráficas de intersección de conjuntos
A B =
A B x/x A ó x B
A
A
AB
B
B
A B = x/x A x B
A
A
AB
B
B
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OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSc) Diferencia ( A – B ): Es aquel conjunto
cuyos elementos pertenecen a "A" pero no al conjunto "B“
Gráficas:
A-B B-A A-B B-A
A-B B-A =• Propiedades: A-B = B-A * A-A = (A-B) A * A - = A (B-A) B * - A = (A-B) (A B) = A A - B = = B - A A = B
• Diferencia Simétrica (A B ): La diferencia simétrica de A y B es el conjunto de elementos que pertenecen a A ó B pero no a ambos conjuntos.
A B = x /x A ó x B; x ( A B)
También: A B = (A-B) (B-A) A B = (AB) - (AB) Gráficas:
• Propiedades: A A = A = A A B = B A Si: A y B son conjuntos disjuntos,
entonces A B = AB Si: B está incluida en A, entonces: A B = A - B
A - B = x / x A x B
A
A
AB B
A
B
A
A
AB
B
B
A
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OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSd) Complemento (A') (Aº) : Es aquel
conjunto cuyos elementos pertenecen al universo pero no al conjunto A.
Gráficas:
• Propiedades: * A A' = U * A A = * (A')' = A * ' = U Leyes de Morgan: (AB)' = A' B' (A B)' = A' B'
• NÚMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO:
1. Si A B = n(A U B ) = n(A) + n(B)
1. Si A y B son dos conjuntos cualesquiera: n (A – B) = n(A) – n(A B
1. Si A y B son conjuntos tales que A B =
n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A B )
A' = x / x U A x A
A AB B
A
B
A
B
A B
A B
U
A B
U
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NÚMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO:
4. Si: A B C = n( A U B UC ) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A B) – n(A C) - n(B C) + n(A B )
A B
C
EJEMPLOS: Determinar por extensión al conjunto "A“ Si: A = / n = 2m+1 , m = r -2, r2, 5, r Z Solución: Valores de "r" : 2, 3, 4 Valores de "m" : 0, 1, 2 Valores de "n" : 1, 3, 5 Valores de "3n+1/2" : 2, 5, 8
A = 2, 5, 8 Rpta
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Problemas de aplicación• Dados los conjuntos unitarios: A = a2 + 1 ; 3a - 1 B = 3x + y ; x - y
+ 8 Calcular: S = a + x + y ; si: a, x e y son
números enteros. Dar como respuesta la suma de los
valores de S Solución: Si "A" es unitario * Si "B" es
unitario a2 + 1 = 3a – 1 3x + y = x
- y + 8 a2 - 3a + 2 = 0 2x + 2y =
8 (a - 1) (a - 2) = 0 x + y = 4 a = 1 ó a = 2 Luego: Para a = 1 S = 1 + 4 = 5 Para a = 2 S = 2 + 4 = 6 La suma de los valores de S,
es: 5 + 6 = 11
Rpta
• El conjunto A tiene 2 elementos menos que el conjunto B, que por cierto posee 768 subconjuntos más que A. Si tales conjuntos son disjuntos. Hallar: n (A B)
Solución: n (A) = x n (B) = x + 2 Además: n P( B ) = n P( A ) + 768 n P( B ) - n P( A ) = 768 2x+2 - 2x = 768 2x (22 - 1) = 768 2x = 768/3 2x = 256 2x = 28 x = 8 n (A) = 8 y n (B) = 10• Luego: Si A y B son disjuntos: n ( A B ) = n(A) + n(B) n ( A B ) = 8 + 10 = 18 Rpta
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Prob. Sea: N = 1, 2, 3, …., Si: A = x N / x es impar y x 25 y B = x N / x 20 Entonces, se tiene que: i) A es conjunto finito ii) n (A B) = 10 iii) P (A B) = 211iV) A y B son disjuntos ¿Cuántos son verdaderos?
• Solución
• A = 1, 3, 5, 7, ….., 19, 21, 23
• B = 1, 2, 3, 4, ….., 17, 18, 19
• P (A B ) = , 2, 6 ….…. • Luego: n P(AB) = 211 .P( A B ) =
211 … falso
• A y B tienen elementos comunes. A y B no son conjuntos disjuntos A y B son disjuntos ….….……….
Falso
• Luego:• A es conjunto finito ………
verdadero• A B = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,
16, 18, 21, 23• n ( A B ) = 11 n ( A B )
= 10 ………. Falso
• En conclusión es verdadero: solamente i
Rpta. i
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Prob. Para dos conjuntos A y B incluidos en el universo U, tal que:• n (A') = 12 • n ( A B ) = 3 • n (B) = 11 • n () = 20 Calcular: n ( A B )
• Solución:i. Graficando con los datos del
problema
iii. Por dato también se tiene:• n (U) = a + b + c + 3 = 20• a + 12 + 3 = 20 a = 5
ii. Por datos tenemos:• n (A') = b + c = 12• n (B) = b + 3 = 11 b = 8 c = 4
iv. Luego:• n (AB) = a + b• n (AB) = 13
• Rpta. 13
A B
a 3 b
U
c
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Prob. De 100 alumnos del pre - UMB, 53 no estudian Razonamiento Matemático, 49 no estudian Matemática I. Si 27 no estudian Razonamiento Matemático ni Matemática I. ¿Cuántos estudian exactamente uno de los cursos?
• Solución
i. Utilizando el diagrama de Venn - Euler
Para: Raz. Matemático: RM Matemática I : M
iii. Luego tenemos:• Estudian exactamente uno
de los cursos: x + z = 48
ii.Según los datos tenemos:• 53 no estudian RM z + 27 = 53 z = 26• 49 no estudian M x + 27 = 49 x = 22
• Rpta. 48
x y z27
100RM M
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Prob. De un grupo de turistas que visitó Chiclayo, Piura y Trujillo, se tiene la siguiente información: todos los que visitaron Trujillo también visitaron Chiclayo, 16 visitaron Trujillo, 28 visitaron Piura pero no Chiclayo, 72 visitaron Chiclayo o Piura, 6 visitaron Chiclayo y Piura pero no Trujillo.El número de turistas que visitó sólo Chiclayo es el doble de los que visitó Trujillo y Piura. ¿Cuántos visitaron sólo Trujillo y Chiclayo?
• SOLUCIÓNi. Utilizando el diagrama de Venn-Euler
Sea: n → # de personas que visitaron sólo Trujillo y Chiclayo
iii. De la figura tenemos: 28 + 6 + 16 + 2x = 72 50 + 2x = 72 2x = 72 – 50 2x = 22 x = 11
28 6
T=16
x n 2x
P
CHP
CH
CH
28 6
T=16
X n 2X
ii) Según datos: 72 visitaron Chiclayo o Piura
x + n = 16
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Prob. De 25 personas que tienen sólo 20 ó 30 años; 6 mujeres tienen 20 años y 11 personas tienen 30 años. ¿Cuántas hombres
tienen 20 años?
iii. De la tabla se tiene: Las personas que tienen 20
años: 25 - 11 = 14
iv. Los hombres que tienen 20 años:
14 – 6 = 8
• Rpta. 8
HombreMujeres Total
20 años
30 años
Total
i. De los datos tenemos:
Solución
6
11
25
HombresMujeres Total
20 años
30 años
Total 25
6
11
148
ii. Completando tabla: