Διεθνές Πανεπιστήμιο Ελλάδας

Τμήμα Επιστήμης Τεχνολογίας

Σημειώσεις Φυσικής

Διάλεξη VI

Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας *

2 Δεκεμβρίου 2020

1 Παροχή ρευστού και εξίσωση συνέχειας

Μπορούμε να μετρήσουμε την ποσότητα ενός ρευστού που κινείται μέσα σε ένα

σύστημα μέσω:

Την παροχή όγκου: τον όγκο του ρευστού που διέρχεται από μια

διατομή στη μονάδα του χρόνου και δίνεται από την σχέση:

Q = A · u, (1)

όπου A το εμβαδό της διατομής και u η μέση ταχύτητα της ροής και

μετριέται σε m3

s.

Την παροχή βάρος: το βάρος του ρευστού που διέρχεται από μια

διατομή στη μονάδα του χρόνου και δίνεται από την σχέση:

W = γQ, (2)

όπου γ το ειδικό βάρος του ρευστού, Q η παροχή του όγκου και μετριέται

σε Ns.

*email:jmaay@physics.auth.gr, website: http://jomaaita.wordpress.com

1

Σημειώσεις Φυσικής Διάλεξη VI

Την παροχή μάζας: την μάζα του ρευστού που διέρχεται από μια

διατομή στη μονάδα του χρόνου και δίνεται από την σχέση:

M = ρQ, (3)

όπου ρ η πυκνότηα του ρευστού, Q η παροχή του όγκου και μετριέται σεkgs.

Με βάση την Αρχή της Συνέχειας η ποσότητα του ρευστού που περνά

από κάθε διατομή είναι σταθερή ώστε να έχουμε μόνιμη ροή άρα:

M1 = M2. (4)

Από την παραπάνω αρχή προκύπτει η εξίσωση συνέχειας. Γενικά για κάθε

ρευστό ισχύει:

ρ1 · A1 · u1 = ρ2 · A2 · u2 (5)

ενώ για τα υγρά

A1 · u1 = A2 · u2. (6)

2 Εξισώσεις κίνησης ιδανικού ρευστού- Ο-

λοκλήρωμα Bernouli

Ιδανικο ρευστό είναι ένα υποθετικό ρευστό το οποίο έχει ιξώδες μηδέν

και άρα κάνει άτριβη ροή. Το βασικό γνώρισμα της άτριβης ροής είναι ότι σε

αυτήν δεν αναπτύσσονται διατμητικές τάσεις. ΄Ετσι, υιοθετόντας το μοντέλο

του ιδανικού ρευστού δεχόμαστε ότι τόσο κατά την κίνηση όσο και κατά την

ισορροπία του ρευστού δεν εμφανίζονται διατμητικές τάσεις. Αυτό σημαίνει ότι

δύο γειτονικά στρώματα του ρευστού μπορούν να βρίσκονται σε σχετική κίνηση

χωρίς να εμφανίζονται εσωτερικές τριβές.

Οι εξισώσεις κίνησης ιδανικού ρευστού δίνονται από τις σχέσεις:

2

Σημειώσεις Φυσικής Διάλεξη VI

ρdu1dt

= ρf1 −∂p

∂x1,

ρdu2dt

= ρf2 −∂p

∂x2,

ρdu3dt

= ρf3 −∂p

∂x3, (7)

όπου u1, u2, u3 οι συνιστώσες της ταχύτητας του ρευστού, f1, f2, f3 οι συνι-

στώσες της πυκνότητας των δυνάμεων μάζας, ρ η πυκνότητα του ρευστού και p

η υδροστατική πίεση. Οι παραπάνω εξισώσεις ονομάζονται εξισώσεις Euler.

2.1 Δύο περιπτώσεις κίνησης ιδανικού ρευστού

Η κίνηση ενός ιδανικού ρευστού περιγράφεται από την εξίσωση συνέχειας και τις

τρεις εξισώσεις Euler. ΄Εχουμε 4 γνωστές εξισώσεις κίνησης όμως το πρόβλημα

βρίσκεται στο γεγονός ότι οι άγνωστες συναρτήσεις είναι 5: πυκνότητα, πίεση

και οι τρεις συνιστώσες της ταχύτητας.

Η λύση στο παραπάνω πρόβλημα δίνεται με τη βοήθεια ειδικών καταστατικών

εξισώσεων.

2.1.1 Ασυμπίεστο ρευστό

Πολλές φορές μπορούμε να υποθέσουμε ότι η πυκνότητα σε ένα σωματίδιο

δεν μεταβάλλεται, με άλλα λόγια ότι το ιδανικό ρευστό είναι ασυμπίεστο. Η

μαθηματική περιγραφή της παραπάνω υπόθεσης δίνεται με τη σχέση

dρ

dt= 0. (8)

Η εξίσωση (8) είναι η πέμπτη εξίσωση που χρειαζόμαστε για να επιλύσουμε το

σύστημα.

2.1.2 Βαροτροπική μεταβολή

Στην περίπτωση αυτή υπάρχουν ιδανικά ρευστά που σε ένα σημείο τους η πίεση

τους εξαρτάται από την πυκνότητα στο σημείο αυτό. Η μαθηματική περιγραφή

3

Σημειώσεις Φυσικής Διάλεξη VI

της παραπάνω υπόθεσης δίνεται με τη σχέση

p = f(ρ), (9)

η οποία είναι η πέμπτη εξίσωση που χρειαζόμαστε για να επιλύσουμε το σύστη-

μα.

2.2 Το ολοκλήρωμα κίνησης του Bernouli

Στην περίπτωση που έχουμε βαροτροπική ροή στην οποία δυνάμεις μάζας προ-

έρχονται από δυναμικό (είναι συντηρητικές), η ροή είναι αστρόβιλη και μόνιμη

υπάρχει ολοκλήρωμα της κίνησης που ονομάζεται ολοκλήρωμα κίνησης του Ber-

nouli και δινεται από τη σχέση

1

2u2 + Ω +

∫dp

ρ(p)= constant, (10)

όπου ū η ταχύτητα του ρευστού, Ω το δυναμικό ανά μονάδα μάζας, ρ η πυ-

κνότητα του ρευστού και p η υδροστατική πίεση.

Στην περίπτωση ομογενούς ρευστού το ολοκλήρωμα κίνησης του Bernouli

γίνεται1

2u2 + Ω +

p

ρ= constant. (11)

Μεταξύ δύο σημείων στην ροή ενός ρευστού η Εξίσωση του Bernouli

παίρνει την μορφή:p1γ

+ z1 +v212g

=p2γ

+ z2 +v222g. (12)

3 Η γενική εξίσωση ενέργειας

Η γενική εξίσωση ενέργειας είναι επέκταση της εξίσωσης Bernouli όταν έχουμε

ενεργειακές απώλειες και όταν στο σύστημα υπάρχουν υδροδυναμικές συσκευές

μεταξύ των δύο σημείων τα οποία προσθέτουν ή αφαιρούν ενέργειας.

4

Σημειώσεις Φυσικής Διάλεξη VI

Η γενική εξίσωση της ενέργειας δίνεται από την σχέση:

p1γ

+ z1 +u212g

+ hA − hR − hL =p2γ

+ z2 +u222g, (13)

όπου p η πίεση, γ το ειδικό βάρος, z το ύψος του σημείου που μελετάμε, u η

ταχύτητα, g η επιτάχυνση της βαρύτητας, hA η ενέργεια που προστίθεται στο

ρευστό από μια μηχανική συσκευή (π.χ. αντλία), hL η ενέργεια που χάνεται

από το ρευστό λόγω τριβής σε σωλήνες και λόγω εντοπισμένων απωλειών και

hR η ενέργεια που αφαιρείται από το ρευστό και προσφέρεται σε μια μηχανική

συσκευή.

΄Οπως παρατηρούμε από την εξίσωση (13) στην γενική εξίσωση ενέργειας

όπως και στην εξίσωση του Bernouli έχουμε μετασχηματίσει την ενέργεια στο

αντίστοιχο ῾῾ύψος ᾿᾿. Ουσιαστικά κάθε όρος της εξίσωσης αναπαριστά μια πο-

σότητας ενέργειας ανά μονάδα βάρους του ρευστού. Η βασική μονάδα του με-

γέθους αυτού είναι το μέτρο m.

4 Ασκήσεις

1. ΄Ενας σωλήνας έχει σε στην αρχή του εσωτερική διατομή 50mm και στο

τέλος του 100mm. Από το σωλήνα διέρχεται νερό θερμοκρασίας 70o και

στη πρώτη διατομή κινείται με ταχύτητα 8m/s. Να υπολογίσετε: 1. Την

ταχύτητα στο δεύτερο σημείο. 2. Την παροχή όγκου. 3. Την παροχή

βάρους και 4. την παροχή μάζας.

2. Μια κυλινδρική δεξαμενή διαμέτρου D = 1m, περιέχει νερό μέχρι ύψους

h = 2.5m. Κοντά στη βάση της δεξαμενής υπάρχει μια μικρή οπή, δια-

μέτρου d = 0.1m, από την οποία εξέρχεται το νερό στην ατμόσφαιρα με

ομοιόμορφη ταχύτητα. Οι απώλειες ενέργειας λόγω τριβών θεωρούνται

αμελητέες. Να υπολογιστεί ο ρυθμός εκροής του νερού από τη δεξαμενή.

3. Η εικόνα (΄Ασκηση 3) εμφανίζει ένα σιφόνι που απομακρύνει νερό από

μια πισίνα. Ο σωλήνας της διάταξης έχει εσωτερική διάμετρο 40mm

και καταλήγει σε ένα ακροφύσιο 25mm. Υπό την παραδοχή ότι στο

5

Σημειώσεις Φυσικής Διάλεξη VI

Σχήμα 1: ΄Ασκηση 3

σύστημα δεν υπάρχουν ενεργειακές απώλειες ζητούνται η παροχή όγκου

που διέρχεται από το σιφόνι και η πίεση στα σημεία B και F .

4. Ο μετρητής της εικόνας (΄Ασκηση 4) συνδέεται σε νερό θερμοκρασίας

60oC. Αν η ειδική βαρήτητα του μανομετρικού ρευστού είναι 1.25, να

υπολογίσετε την ταχύτητα της ροής στη διατομή Α και την παροχή όγκου

του νερού.

6

Σημειώσεις Φυσικής Διάλεξη VI

Σχήμα 2: ΄Ασκηση 4

7

Σημειώσεις Φυσικής Διάλεξη VI

Σχήμα 3: ΄Ασκηση 5

5. Να υπολογίσετε την πίεση που πρέπει να ασκηθεί πάνω από το νερό, εντός

της δεξαμενής της εικόνας (΄Ασκηση 5) ώστε αυτό να σχηματίσει δέσμη

σε στάθμη 40ft πάνω από το ακροφύσιο.

6. Από μια μεγάλη δεξαμενή παραλαμβάνεται νερό παροχής 34Lsμέσω του

συστήματος σωληνώσεων του σχήματος (΄Ασκηση 6). Να υπολογίσετε

τη συνολική ποσότητα της ενέργειας που χάνεται από το σύστημα λόγω

των βαλβίδων, των γωνιών των σωληνώσεων και της τριβής.

7. Μέσω της αντλίας του σχήματος (΄Ασκηση 7) διακινούνται 0.014m3 λαδιο-

ύ ειδικής βαρύτητας 0.86. Να υπολογίσετε την ενέργεια που προσδίδεται

8

Σημειώσεις Φυσικής Διάλεξη VI

Σχήμα 4: ΄Ασκηση 6

στο λαδί από την αντλία ανά μονάδα βάρους του λαδιού. Το ύψος των

ενεργειακών απωλειών λόγω τριβής και των εντοπισμένων απωλειών έχει

υπολογιστεί αθροιστικά και ίσο με 1.86m.

Σχήμα 5: ΄Ασκηση 7

9