diagramas de fuerza contante y momento flector
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CAPTULOIV
FUERZACORTANTEYMOMENTOFLEXIONANTEENVIGAS
4.1CONCEPTOSBSICOS
Estecaptuloexplicacmolasdiversasfuerzasaplicadasaunavigalleganaproducirfuerza
cortanteymomentoflexionanteinternos.
En la primera escena se muestra una viga subsiguientemente se aplican fuerzas a ella
(Figura 4.1) y, debido a estas cargas, la viga sufre una deformacin. Para explicarle al
usuariolosqueocurreinternamenteenlavigaesnecesariorealizaruncorteenunaseccin
C(Figura4.2).
C
Figura 4.1Vigasometidaacargas
C
Figura4.2Flexindelavigadebidoacargas
Antesdepasaralcorteseleindicaalusuarioqueesnecesariorealizareldiagramadecuerpo
libreyencontrarlasreacciones.
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Hechoesto, laviga sedivideendospartesparaestudiar loqueocurreenel corte (Figura
4.3).Se realizauncambiodeperspectivapara favorecer la visinde lasacciones internas
(Figura 4.4 a) que equilibran al cuerpo con las fuerzas externas aplicadas y, entonces,
visualmenteaccioneslasfuerzasVyM.Posteriormentesedibujanlosesfuerzosquecausa
laflexinenlaviga(Figura4.4b)ycuyaobtencinseestudiarenelcaptulosiguiente.
C
Figura4.3Corteenlaviga
Figura4.4(a) Surgenlasfuerzasqueequilibranalelemento
Figura4.4(b) Esfuerzosproducidospormomentoflexionante
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Tambinseleproporcionainformacinalusuariodelautilidadynecesidaddesaberdnde
seubicanlosmomentosflexionantesycortantesmximos.Estoltimoseexplicaenescenas
msadelanteenlasecueladeclculo.
4.2CONVENCINDESIGNOS
Paraanalizarvigassometidasacargassehaadoptadounaconvencindesignosparaquelos
cortantes y momentos estudiados tengan significado. En el paquete didctico se dan los
ejemplosycircunstanciasenlosqueunmomentoseconsiderapositivoonegativo.
Seempiezaconunaescenadondeseobservandosvigassincargaalguna(Figura4.5).
Figura4.5Vigaslibredecargas
Posteriormenteacadaunaseleaplicanaccionesexternasdiferentes,unafuerzaverticalala
primeravigayalasegundamomentos.Conestoseobservaunadeformacincncavade
lasvigascomosemuestraenlasfigura4.6.
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Figura4.6Flexinpositiva
Siguiendo,secambiaelsentidodelasaccionesexternasyladeformacindelasvigassees
ahoraconvexa(Figura4.7).Cadadeformacinvaacompaadadesutextoindicandosiel
momentoespositivoonegativo.
Figura4.7Flexinnegativa
Al pasar a la siguiente escena se presenta la convencin de signos usada para la fuerza
cortante.Aqusepresentalaanimacindeunavigalibredecargasyselehaceuncortepor
lamitad.
Seleaplicancargasalaviga,deambosladosdelcorte,ylavigasecorta.Dependiendodel
sentidodelascargasaplicadas,lavigasecortadedosdiferentesmaneras.Alusuariosele
indicaqucargaslogranelcortepositivoyde igualformaculeselcortenegativo(Figura
4.8).
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Positivo
Negativo
Figura4.8Convencindesignosparacortante
4.2DIAGRAMADEFUERZACORTANTEYMOMENTOFLEXIONANTE
Para la secuela de clculo, el paquete rene tres casos de vigas, de diferentes claros,
diferenteubicacindeapoyos,ycondiferentestiposdecargasaplicadasaellas(puntuales,
distribuidas,triangulares).Conestosetratadeabarcarlosescenariosmscomunesenque
unavigaestsometidaafuerzas.
Encadaejemploseguaalusuarioconlametodologausualparadeterminarlosdiagramas
defuerzacortanteymomentoflexionante.
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4.2.1 Ejemplo1
Paraelprimerejemplosepresentaunvigasimplementeapoyadaenlosextremos,sometida
unacargapuntualyunadistribuidaparcial(Figura4.9).
Figura4.9Vigasometidaacargas
Sele indicaalusuarioqueelprimerpasoes ladeterminacinde lasreacciones. Conuna
animacin,losapoyossontransformadosenflechasindicandoelsentidodelareaccin.Este
diagramadecuerpolibresemantienealolargodetodalaescena.Secontinaestableciendo
unejedereferenciayposteriormenteseefectauncorteparaanalizarlasaccionesinternasa
unadistanciaxdelorigendelejedereferencia(Figura4.10).
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Figura4.10Primercorteaunadistanciaxdelextremoizquierdodelaviga
Seobtieneeldiagramadelcuerpolibredelladoizquierdodelcorteyseanalizartodaslas
fuerzas que se encuentran en ese lado por equilibrio se obtienen las ecuaciones para la
fuerzacortanteVyelmomentoflexionanteM(Figura4.11).
Figura4.11 EcuacionesparaVy Mobtenidasparaelprimercorte
Una vez obtenidas las ecuaciones, la placa (que representa la localizacin del corte) se
muevehacialaderechahastapasarlacargadelos10kN.Aquseleexplicaalusuarioqueel
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diagramadecuerpolibredelladoizquierdodelavigahacambiadodebidoalapresenciade
lanuevacargay,enconsecuencia,habrnuevasecuacionesparaVy M (Figura4.12).
Figura4.12EcuacionesparaVy Mobtenidasenelsegundocorte
Realizadoesto,laplacasemuevenuevamenteahoramsallde los3.5m.Aquaparecen
nuevas cargas que modifican el diagrama de cuerpo libre anterior. Entonces nuevas
ecuacionesparaVy Msonobtenidas.Paraexplicardemaneravisualcmoseconsideranlas
cargas distribuidas,mediante una animacin sta se transforma enuna cargapuntual y se
acotasudistanciaalcorte(Figura4.13).
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Figura4.13EcuacionesparaVyMobtenidaseneltercercorte
Se le explica al usuario que no es estrictamente necesario estudiar la viga de izquierda a
derecha,yque,enelcasodelltimocorte,resultamsconvenienteanalizareldiagramade
cuerpo libredel ladoderechodelcorte. Secambia el eje de referencia y se consiguen las
ecuaciones paraV yM. stas se comparan con las obtenidas inicialmente para elmismo
corte,notandounadisminucinconsiderabledeelementosenlasexpresiones(Figura4.14).
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Figura4.14Diagramadecuerpolibredelladoderechodeltercercorte
Deestamaneraseleexplicaalusuariolasconsideracionesquedebedetomarencuentaal
momentodedefinirelnmerodecortesnecesariosparaanalizarunaviga.Acontinuacinse
muestran grficamente los cortes que fueron necesarios para obtener las variaciones de
fuerzacortanteymomentoflexionantedeestavigaenparticular(Figura 4.15).
Figura4.15Cortesnecesariosparaenanlisisdelaviga
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Al haber terminado de establecer las ecuaciones de V yM para todas las secciones, se
procedeaobtenerlosdiagramasdefuerzacortanteymomentoflexionante.
Elprimerdiagramaagraficareseldefuerzacortante.Paraelloaparecedebajodeldiagrama
de cuerpo libre de la viga un eje de referencia necesario para el diagrama, con x como
abscisas y V en unidades de kN como ordenadas. Antes de que aparezca la grfica de
cortante,eneldiagramadecuerpolibrede laviga,apareceunaplaca transparente(Figura
4.16).
Figura4.16 Ejedecoordenadasparaeldiagramadefuerzacortante
En el extremo izquierdo de la pantalla aparecen las ecuaciones de V respectivas a cada
rango,ademsdetextoexplicativodecmoseobtienelagrfica.Despus,conayudadeuna
animacin,seconsigueeldiagrama:laplacatransparenteavanzaporlaviga(querepresenta
laposicinx,elcortedondeseestudialaviga)yenelejedereferenciasevangraficando
losvalorespara Vamedidaqueavanzalaplaca(Figura4.17).
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Figura4.16Diagramadecortantes
Unavezqueseconsigueeldiagramadecortante,seresaltaalgunacualidaddeldiagrama
paraesteejemplo,queelcortantemsgrandeseencuentraenlosapoyos.
Finalizada la obtencin del diagrama de cortante, se prosigue a encontrar el diagrama de
momentos.Sevuelveaempezarconlosmismoselementosconquecomenzeldiagramade
cortante.
Deigualforma,alaizquierdaaparecenlasecuaciones(ahorademomentoflexionante)para
los rangos yaconocidos.Loque sigue tiene lamismabasedeanimacinqueeldiagrama
anterior,peroaquaparecegraficadoeldiagramademomentos
Posterior a la obtencin del diagrama, un texto surge explicando algunos detalles de la
grfica.Enesteejemplo,sehaceverqueenlosapoyosdeunavigasimplementeapoyadael
momentosernulo.
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Tambinseleexplicaalusuarioqueeldiagramademomentosayudaaentenderlamanera
enquelavigaseflexiona.Paraesto,eldiagramadecuerpolibredelavigaseflexionacon
unaanimacinhastaelpuntoenque puedeverselarelacinentreladeflexinyeldiagrama
demomentos(Figura4.17).
Figura4.17DeflexindelavigayDiagramademomentos
4.2.2Ejemplo2
Enelsiguienteejemplosetieneunavigadediferentelongitud,conunacargaconcentraday
unadistribuida,unapoyosimpleenelextremoizquierdoyotrofijoa2metrosdelextremo
derecho(Figura4.19).
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Figura4.19Vigasometidaacargas
Paraesteejercicioseempiezaporobtener lasreacciones,establecerelejedereferencia y,
posteriormente,adeterminarelnmerodecortesnecesarios(Figura4.20).
Figura4.20Sonnecesarios4cortesparaesteejemplo
Lasecuenciadeclculossiguesiendolamismasinembargo,hayuncambioenlasecuencia
deanimaciones.Enesteejemplo,lasanimacionesnoseenfocanenobtenerlosdiagramasde
cuerpolibre,sinoentrabajarconlosintervalosparacadacorte.
El conseguir las ecuacionespara cortante ymomento se basa en elmismoprocedimiento
analticoexplicadoenelejemploanteriory,deigual manera,seexplicaenste.
Cuandoseobtienenlosdiagramasdecortante(Figura4.21)ydemomento,seobservaque
ellossonmuydiferentesalosdelotroejemplopueslaposicindelosapoyosinfluyemucho
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en los diagramas. Tambin se presenta una animacin al final donde la viga se deforma
dejandoveraslarelacinconeldiagramademomentos(Figura4.21).
Figura4.21Diagramadecortantes
Figura4.22DeflexindelavigayDiagramademomentos
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4.2.3Ejemplo3
Enesteejemplo sepresentaotrocaso,donde lavigaest sometidaaunacarga uniforme
trapezoidalyunapuntual(Figura4.23).
Figura(4.23) Vigasujetaacargas
Puestoquelacargatrapezoidalseencuentraenelextremoizquierdoyelanlisisdelaviga
serealizadeizquierdaaderecha,enelprimercorteesdndeseobservancambios.
La carga trapezoidal fue tratada de talmanera que se le di al usuario la herramienta de
lidiarconuncargarectangularyunatriangular,loquesucedealdescomponereltrapecioen
unrectngulo(unacargadistribuida)yuntringulo(cargatriangular)(Figura4.24).
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Figura(4.24) Descomposicindecargatrapezoidalenunatriangularydistribuida
EnelprimercorteaparecenlasecuacionesobtenidasparaVy M.Despusdeesto,apareceel
textoexplicandocmoesquedebeestudiarseunacargatriangular,queesdonderadicael
cambio en este ejemplo. Se indica que para concentrar la carga es necesario utilizar la
frmula de b*h/2 y debe dejarse expresado b en funcin de x, mediante tringulos
semejantes yexpresarhen funcindey .Elbrazodepalancaquedaexpresadoenx,que
indicaladistanciadelcortealcentroidedeuntringulo(1/3delabaserespectoalvrtice).
Se hace hincapi en que en la ecuacin de cortante resulta en una ecuacin de segundo
grado,mientrasqueenlademomentoseobtendrunaecuacindetercergradoconestetipo
decargas.
Lasecuacionesparaloscortessubsecuentessonobtenidasdeigualmaneraqueenlosotros
ejemplos,ydeformaafnseproporcionala informacin y lasanimacionesnecesariaspara
entendercmoseobtuvieronlasecuacionesrespectivas.
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Pasandoalaelaboracindelosdiagramasdecortanteymomento,secolocanlasecuaciones,
yaseandecortanteomomento,enlaizquierday,conbaseenlamismaanimacinusadaen
ejemplosanteriores,segraficanlosdiagramas(Figura4.25).
Figura4.25Diagramadecortante
Alterminarconlaobtencindeldiagramademomentos,continalaanimacindelaviga
flexionndosedeacuerdoaste(Figura4.26).
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Figura4.26DeflexindelavigayDiagramademomentos
4.3RELACIONENTRECARGA,CORTANTEYMOMENTO.
Enestaescenasepresentalademostracindelarelacinexistenteentremomento,cortante
ycarga.
Enunaviga(Figura4.27)seanalizaunelementodiferencialdeanchox.Esteelementose
asladelrestodelavigayseobserva,queenunlado,existenlasaccionesasinternasVyM,
y,delotro,estasaccionesmsunincrementodeMyV (Figura4.28)debidoaquelacarga
aplicadasevaincrementandocuandolavigaseestudiadeizquierdaaderecha.
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Figura4.27Vigasujetaacargas
Figura4.28Elementodiferencial consuscorrespondientesaccionesinternasycargas
Contandoconeldiagramadecuerpolibredelelementodiferencialseprosigueaestablecer
lasecuacionesdeequilibrioverticalydemomentos.Cadaunadeestasecuaciones,despus
de su manejo algebraico y de sustituciones explicadas en el paquete didctico, conduce
respectivamentealadeterminacindeque:
)(xwdxdV - = )(xVdx
dM - =
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Lardnerexplicaque:
Sisepiensaeneldiagramadecargacomounacurvadew(x)contrax,sevequelapendientedela
curvadelafuerzacortanteV(x)enelpunto xdeundiagramadecortanteesigualalnegativodelvalor
deq(x) en esepuntodeldiagrama.Asimismo, con baseen lasegunda ecuacinse concluyeque la
pendientedelacurvadelmomento flexionanteM(x)deundiagramademomento flexionanteenun
punto xesigualalnegativodelvalorV(x)eneldiagramadefuerzacortanteenesepunto(1996).