determination of power system voltage stability using modal analysis

7/25/2019 Determination of Power System Voltage Stability Using Modal Analysis

1/7

POWERENG 2 0 0 7 , A p r i l 1 2 - 1 4 , 2 0 0 7 , S e t u b a l , P o r t u g a l

D e t e r m i n a t i o n

of

Power System V o l t a g e

S t a b i l i t y Using

Modal

Analysis

C h a n d r a b h a n

S h a r m a ,

S e n i o r

M e m b e r , I E E E ,

a n d M a r c u s

G .

G a n n e s s

A b s t r a c t - - V o l t a g e i n s t a b i l i t y w i t h i n t h e p o w e r s y s t e m h a s

s e v e r e

c o n s e q u e n c e s

i n c l u d i n g

a w i d e - s p r e a d

l o w

v o l t a g e

p r o f i l e

a n d

s y s t e m

b l a c k o u t . The

d e v e l o p m e n t

a n d u s e

o f a c cu r a t e

m e t h o d s

t o

p r e d i c t i n c i p i e n t v o l t a g e i n s t a b i l i t y

i s c r u c i a l i n

p r e v e n t i n g

s u c h

v o l t a g e c o l l a p s e

s i t u a t i o n s . A

c o m p a r i s o n

o f

t h e common

s t e a d y - s t a t e

m e t h o d s

f o r

v o l t a g e

s t a b i l i t y

a n a l y s i s

was

u n d e r t a k e n ,

a l o n g

w i t h a

b r i e f e x a m i n a t i o n

i n t o

t h e

d y n a m i c

a p p r o a c h . S p e c i a l

a t t e n t i o n i s

g i v e n t o

t h e m o d a l

a n a l y s i s

t e c h n i q u e

p r e s e n t e d

i n

[ 2 ] ,

w h i c h

p r o v i d e s

b o t h a r e l a t i v e

p r o x i m i t y o f

t h e

s y s t e m t o i n s t a b i l i t y ,

a s

w e l l

i d e n t i f i e s t h e k e y

c o n t r i b u t i n g

f a c t o r s t o i n s t a b i l i t y .

A

P C - b a s e d

MATLAB

p r o t o t y p e

a p p l i c a t i o n

w a s

d e v e l o p e d

t o a s s i s t

p o w e r

s y s t e m

o p e r a t o r s

i n

t h e a s s e s s m e n t a n d

a n a l y s i s

o f t h e

v o l t a g e s t a b i l i t y

o f

a

p o w e r

n e t w o r k , a t a n y

g i v e n

o p e r a t i n g

p o i n t , u s i n g

t h e

m o d a l

a n a l y s i s t e c h n i q u e ,

i n

a d d i t i o n t o u s e f u l f e a t u r e s s u c h

a s

p o w e r

f l o w

a n a l y s i s

a n d t r a d i t i o n a l

V - P N V - Q a n a l y s i s . U s i n g m u l t i p l e

p r a c t i c a l

t e s t c a s e s

o n

t h e IEEE 3 0

b u s

s y s t e m

t h e m o d a l a n a l y s i s

t e c h n i q u e

was

s h o w n t o p r o v i d e a n

a c c u r a t e

e s t i m a t e

o f t h e

s y s t e m p r o x i m i t y

t o t h e

v o l t a g e

s t a b i l i t y

l i m i t ,

a n d t o

c o n s i s t e n t l y

a n d

c o r r e c t l y

p r e d i c t

t h e c r i t i c a l b u s e s a n d t h e w e a k e s t b r a n ch e s

i n t h e t r a n s m i s s i o n

s y s t e m .

T h e s e

r e s u l t s c l e a r l y d e m o n s t r a t e t h e

s u i t a b i l i t y

o f m o d a l

a n a l y s i s

t e c h n i q u e

a s

a p p l i e d

t o

v o l t a g e

s t a b i l i t y

a n a l y s i s ,

a n d t h e n e e d f o r c l o s e r

a n a l y s i s , p o s s i b l e

r e f i n e m e n t t o t h e m e t h o d a n d

i n c o r p o r a t i o n

i n t o more

c o m m e r c i a l

a n a l y s i s p a c k a g e s .

I n d e x

T e r m s - v o l t a g e s t a b i l i t y , v o l t a g e i n s t a b i l i t y , v o l t a g e

c o l l a p s e ,

s t e a d y

s t a t e

v o l t a g e s t a b i l i t y a n a l y s i s ,

m o d a l

a n a l y s i s , Q -

V c u r v e .

I .

INTRODUCTION

The i n c r e a s i n g

n u m b e r

o f

p o w e r s y s t e m

b l a c k o u t s

i n

m a n y

c o u n t r i e s

i n r e c e n t

y e a r s ,

i s

a

m a j o r

s o u r c e o f c o n c e r n . P o w e r

e n g i n e e r s

a r e

v e r y

i n t e r e s t e d i n

p r e v e n t i n g

b l a c k o u t s a n d

e n s u r i n g

t h a t

a c o ns t a n t a n d r e l i a b l e

e l e c t r i c i t y s u p p l y

i s

a v a i l a b l e t o a l l c u s t o m e r s .

I n c i p i e n t

v o l t a g e

i n s t a b i l i t y ,

w h i c h

may

r e s u l t

f r o m

c o n t i n u e s l o a d

g r o w t h

o r

s y s t e m

c o n t i n g e n c i e s ,

i s

e s s e n t i a l l y

a l o c a l

p h e n o m e n o n . H o w e v e r ,

s e q u e n c e s

o f

e v e n t s

a c c o m p a n y i n g

v o l t a g e

i n s t a b i l i t y

may

h a v e

d i s a s t r o u s e f f e c t s , i n c l u d i n g

a r e s u l t a n t

l o w - v o l t a g e

p r o f i l e

i n

a

s i g n i f i c a n t

a r e a o f t h e

p o w e r n e t w o r k ,

k n o w n

a s

t h e

v o l t a g e c o l l a p s e p h e n o m e n o n .

S e v e r e i n s t a n c e s o f

v o l t a g e

c o l l a p s e , i n c l u d i n g

t h e

A u g u s t

2 0 0 3 b l a c k o u t i n N o r t h

E a s t e r n

U . S . A

a n d

C a n a d a ,

h a v e

h i g h l i g h t e d

t h e

i m p o r t a n c e

o f

c o n s t a n t l y

m a i n t a i n i n g

a n

a c c e p t a b l e

l e v e l o f

v o l t a g e

s t a b i l i t y .

T h e

d e s i g n

a n d

a n a l y s i s

o f a c c u r a t e

m e t h o d s

t o

e v a l u a t e

t h e

v o l t a g e

s t a b i l i t y

o f a

p o w e r

s y s t e m

a n d

p r e d i c t

i n c i p i e n t v o l t a g e i n s t a b i l i t y ,

a r e

t h e r e f o r e o f

s p e c i a l

i n t e r e s t i n

t h e f i e l d o f

p o w e r

s y s t e m

p r o t e c t i o n

a n d

p l a n n i n g .

T h e v o l t a g e

s t a b i l i t y

o f

a

p o w e r

s y s t e m

r e f e r s t o i t s

a b i l i t y t o

p r o p e r l y m a i n t a i n

s t e a d y , a c c e p t a b l e v o l t a g e

l e v e l s

a t a l l

b u s e s

i n t h e n e t w o r k a t a l l

t i m e s ,

e v e n a f t e r

b e i n g

s u b j e c t e d t o

a d i s t u r b a n c e

o r c o n t i n g e n c y .

A

p o w e r

s y s t e m

may e n t e r a

c o n d i t i o n

o f

v o l t a g e

i n s t a b i l i t y w h e n

t h e

s y s t e m i s

s u b j e c t e d t o

a

s t e a d y i n c r e a s e

i n

l o a d d e m a n d o r

a

c h a n g e

i n

o p e r a t i n g c o n d i t i o n s , o r

a d i s t u r b a n c e

( l o s s

o f g e n e r a t i o n

i n a n

a r e a ,

l o s s o f

m a j o r

t r a n s f o r m e r o r

m a j o r

t r a n s m i s s i o n

l i n e ) .

T h i s

c a u s e s a n i n c r e a s e d d e m a n d i n

r e a c t i v e

p o w e r .

V o l t a g e

i n s t a b i l i t y i s

c h a r a c t e r i z e d b y g r a d u a l l y d e c r e a s i n g v o l t a g e

l e v e l s

a t o n e o r m o r e n o d e s i n t h e p o w e r s y s t e m .

B o t h

s t a t i c

a n d

d y n a m i c

a p p r o a c h e s

a r e

u s e d

t o

a n a l y z e

t h e

p r o b l e m

o f

v o l t a g e s t a b i l i t y . D y n a m i c a n a l y s i s p r o v i d e s t h e m o s t

a c c u r a t e

i n d i c a t i o n o f t h e

t i m e

r e s p o n s e s o f t h e s y s t e m

[ 1 ] .

D y n a m i c

a n a l y s i s

i s

t h e r e f o r e e x t r e m e l y u s e f u l f o r f a s t v o l t a g e c o l l a p s e

s i t u a t i o n s ,

f o l l o w i n g l a r g e

d i s t u r b a n c e s s u c h a s l o s s

o f

g e n e r a t i o n

a n d

s y s t e m

f a u l t s , w h e n

s p e c i f i c i n f o r m a t i o n

c o n c e r n i n g

t h e

c o m p l e x

s e q u e n c e o f e v e n t s l e a d i n g t o


i s r e q u i r e d .

D y n a m i c

s i m u l a t i o n s

h o w e v e r ,

f a i l t o

p r o v i d e i n f o r m a t i o n

s u c h a s t h e s e n s i t i v i t y o r d e g r e e

o f

s t a b i l i t y .

More

i m p o r t a n t l y ,

d y n a m i c

s i m u l a t i o n s

a r e

e x t r e m e l y

t i m e

c o n s u m i n g

i n

t e r m s

o f C PU

a n d e n g i n e e r i n g

r e s o u r c e s r e q u i r e d

f o r

t h e c o m p u t a t i o n a n d a n a l y s i s

o f

t h e

s e v e r a l d i f f e r e n t i a l a n d

a l g e b r a i c

e q u a t i o n s

n e e d e d

f o r

q u a n t i f i c a t i o n

o f

t h e

p h e n o m e n o n .

I n m o s t

c a s e s , t h e s y s t e m d y n a m i c s

a f f e c t i n g

v o l t a g e

s t a b i l i t y

a r e

u s u a l l y q u i t e

s l o w a n d m u c h

o f

t h e

p r o b l e m

c a n

b e

e f f e c t i v e l y

a n a l y s e d u s i n g

t h e

s t a t i c

a p p r o a c h e s

t h a t

e x a m i n e

t h e

v i a b i l i t y o f

a

s p e c i f i c

o p e r a t i n g

p o i n t o f

t h e p o w e r

s y s t e m .

S t a t i c

a n a l y s i s

m e t h o d s ,

i n a d d i t i o n t o

p r o v i d i n g

i n f o r m a t i o n

s u c h a s

s e n s i t i v i t y o r

d e g r e e

o f

s t a b i l i t y , i n v o l v e

t h e

c o m p u t a t i o n

o f

o n l y a l g e b r a i c e q u a t i o n s

a n d

a r e much

m o r e e f f i c i e n t a n d f a s t e r t h a n

d y n a m i c a p p r o a c h e s .

T h e s t a t i c

a n a l y s i s a p p r o a c h

i s

m o r e

a t t r a c t i v e

t h a n

t h e

d y n a m i c

m e t h o d ,

a n d w e l l s u i t e d t o

v o l t a g e s t a b i l i t y a n a l y s i s o f

p o w e r

s y s t e m s

o v e r

a

w i d e

r a n g e o f s y s t e m

c o n d i t i o n s

[ 1 ] , [ 2 ] .

Many

s t a t i c

a p p r o a c h e s

f o r

v o l t a g e

s t a b i l i t y a n a l y s i s

a r e

p r e s e n t e d

i n

t h e

l i t e r a t u r e ,

m o s t

u t i l i z i n g a

v a r i a t i o n

o f

t h e

s a m e

common

p r i n c i p l e .

Some

p o p u l a r

s t a t i c m e t h o d s a r e

s u m m a r i z e d

a n d c o n t r a s t e d i n

t h i s

d o c u m e n t . T h e m o d a l

a n a l y s i s

o f t h e l o a d f l o w

J a c o b i a n

p r e s e n t e d b y G a o ,

M o r i s s o n

a n d K u n d u r i n

1 9 9 2 , i s

o f

p a r t i c u l a r

i n t e r e s t . T h i s

m e t h o d ,

i n

a d d i t i o n t o

p r o v i d i n g

a n

a c c u r a t e

e s t i m a t e o f t h e

s y s t e m

p r o x i m i t y

t o i n s t a b i l i t y

u s i n g

t h e

s y s t e m e i g e n v a l u e s ,

i d e n t i f i e s

t h e

e l e m e n t s o f

t h e

p o w e r s y s t e m c o n t r i b u t i n g

t h e

m o s t

t o w a r d s

i n c i p i e n t v o l t a g e i n s t a b i l i t y

( c r i t i c a l

l o a d

b u s e s ,

b r a n c h e s a n d

g e n e r a t o r s ) .

A

p r o t o t y p e

p a c k a g e

f o r

p r e d i c t i n g

i n c i p i e n t

v o l t a g e

s t a b i l i t y

i s

d e v e l o p e d i n c o r p o r a t i n g

m o d a l

1 - 4 2 4 4 - 0 8 9 5 - 4 / 0 7 / 2 0 . 0 0

C

2 0 0 7

I E E E

3 8 1


2/7

2

a n a l y s i s

a s w e l l

a s

t r a d i t i o n a l

V - P ,

V - Q

a n a l y s i s

f e a t u r e s .

T h i s

i s u s e d

t o i n v e s t i g a t e

t h e e f f e c t i v e n e s s o f t h e

m o d a l a n a l y s i s

t e c h n i q u e b y

a n

a p p l i c a t i o n t o

t h e

I E E E

3 0 b u s s t a n d a r d

s y s t e m .

I I .

S T A T I C

ANALYIS METHODS

S t a t i c a n a l y s i s

m e t h o d s

o f v o l t a g e

s t a b i l i t y u t i l i z e

a

' s n a p s h o t '

o f

t h e

s y s t e m

a t

a

p o i n t

i n

t h e

t i m e

d o m a i n

t r a j e c t o r y

[ 3 ] a n d d e t e r m i n e s t h e o v e r a l l

s t a b i l i t y

o f t h e s y s t e m

a n d / o r

t h e p r o x i m i t y a n d

m a r g i n

t o

u n s t a b l e

o p e r a t i o n

a t t h i s

s p e c i f i c o p e r a t i n g p o i n t .

E q u a t i o n 1

r e p r e s e n t s t h e l i n e a r i z e d

m o d e l o f t h e p o w e r s y s t e m a t s u c h

a n

o p e r a t i n g p o i n t .

F a P

a O ]

L A P ]

a o a v F O1A 1)

L A Q ]

8 Q Q

L A V ]

L a o

a v i

w h e r e

A P ,

AQ

a r e

m i s m a t c h

a c t i v e a n d r e a c t i v e

p o w e r

v e c t o r s

A

V , A0

a r e u n k n o w n

v o l t a g e

m a g n i t u d e

a n d

a n g l e

c o r r e c t i o n

v e c t o r s

e P

a P

0 0

oV

i s t h e J a c o b i a n m a t r i x o f

p a r t i a l

d e r i v a t i v e s .

a Q 8 Q

a o

a v ]

S t a t i c m e t h o d s

u s u a l l y

i n v o l v e

d e t e r m i n i n g p o w e r m a r g i n s

t i l l

n o n - c o nv e r g en ce o f t h e p o w e r f l o w , d e t e r m i n i n g t h e d i s t a n c e

o f t h e

p o w e r

f l o w

J a c o b i a n

m a t r i x t o

s i n g u l a r i t y ( b i f u r c a t i o n

p o i n t ) ,

o r

s o m e

f o r m o f

s p e c t r a l a n a l y s i s

o f

t h i s

J a c o b i a n

m a t r i x . [ 4 ]

A . V - P c u r v e s

T h e V - P c u r v e f o r a b u s i s o b t a i n e d b y i n c r e a s i n g t h e

t o t a l

l o a d

a t

t h e b u s o r a r e a a n d

p e r f o r m i n g

s u c c e s s i v e

p o w e r

f l o w

c a l c u l a t i o n s ,

w h i l s t

m a i n t a i n i n g

a c o n st a nt

p o w e r

f a c t o r .

T h e

v o l t a g e

a t t h e b u s i s

p l o t t e d

a s a f u n c t i o n o f t h e

t o t a l

a c t i v e

p o w e r l o a d , u s i n g

c o n v e n t i o n a l

p o w e r - f l o w p r o g r a m s

u n t i l t h e

b i f u r c a t i o n

p o i n t

o r ' n o s e '

p o i n t

i s

r e a c h e d a t c r i t i c a l

l o a d i n g .

T h e

p o i n t s a b o v e

t h e ' n o s e '

c o r r e s p o n d

t o

v o l t a g e

s t a b l e

o p e r a t i o n .

C o n t i n u a t i o n

p o w e r - f l o w

p r o g r a m s

c a n b e

u s e d

t o

o b t a i n s o l u t i o n s

b e l o w t h e b i f u r c a t i o n

p o i n t ,

b u t t h i s

i s n o t

u s u a l l y

n e c e s s a r y

[ 5 ] . G e n e r a t i n g

V - P c u r v e s

v i a a u t o m a t i o n

o f

p o w e r

f l o w

s i m u l a t i o n s c a n b e

i m p l e m e n t e d r e l a t i v e l y

e a s i l y .

As t h e s i z e

o f

t h e

p o w e r

n e t w o r k i n c r e a s e s

h o w e v e r ,

t h e

p r o c e s s i n g

t i m e

r e q u i r e d

t o

g e n e r a t e

V-P

c u r v e

i n c r e a s e s ,

d u e t o t h e i n c r e a s e

i n

p r o c e s s i n g

t i m e t o

p e r f o r m

a

s i n g l e

p o w e r

f l o w

s o l u t i o n .

F o r

l a r g e

n e t w o r k s , p r o c e s s i n g

t i m e c a n

b e

r e l a t i v e l y l a r g e .

More

i m p o r t a n t l y ,

V - P

c u r v e s

a t s e v e r a l

b u s e s

m u s t b e

g e n e r a t e d

b e f o r e a

s y s t e m - w i d e p e r s p e c t i v e

o f

v o l t a g e

s t a b i l i t y e m e r g e s ,

s i n c e

t h e r e i s n o

way

o f

i d e n t i f y i n g

b e f o r e h a n d t h e b u s e s

t h a t

a r e c r i t i c a l . F o r l a r g e p o w e r

n e t w o r k s

t h i s

c a n b e t i m e - c o n s u m i n g

a n d c o n f u s i n g .

V - P

c u r v e s a l s o g i v e n o u s e f u l i n s i g h t i n t o t h e

c a u s e

o f t h e

v o l t a g e

s t a b i l i t y

p r o b l e m i n t h e n e t w o r k [ 6 ]

B . Q - V

c u r v e s

Many p o w e r s y s t e m p l a n n e r s s t i l l u t i l i z e Q-V c u r v e s i n

a n a l y z i n g p e r f o r m a n c e c r i t e r i a [ 5 ] . S u c h

c u r v e s i n d i c a t e

t h e

s e n s i t i v i t y

a n d

v a r i a t i o n

o f b u s

v o l t a g e s

w i t h

r e s p e c t

t o

r e a c t i v e p o w e r

i n j e c t i o n s

a n d a b s o r p t i o n s . T h e Q-V

c u r v e

a t a

t e s t b u s

i s g e n e r a t e d b y p l a c i n g

a v a r i a b l e

r e a c t i v e p o w e r

s o u r c e

w i t h

i n f i n i t e l i m i t s

a t t h e

b u s . S u c c e s s i v e

p o w e r

f l o w s

a r e

p e r f o r m e d f o r d i f f e r e n t

s c h e d u l e d v a l u e s o f b u s

v o l t a g e ,

a n d t h e r e q u i r e d r e a c t i v e p o w e r i n j e c t i o n i s m e a s u r e d . Q-V

c u r v e s c a n

t h e r e f o r e g i v e t h e r e a c t i v e p o w e r

l o a d

m a r g i n a t

a

b u s f r o m a s t a b l e

o p e r a t i n g p o i n t t o t h e

p o i n t

o f v o l t a g e

i n s t a b i l i t y . S u c h

c u r v e s g i v e

n o i n s i g h t h o w e v e r

i n t o

t h e

c a u s e s o f t h e v o l t a g e

s t a b i l i t y ,

s u c h a s

p a r t i c i p a t i n g

n o d es a n d

b r a n c h e s .

As w i t h

V - P

c u r v e s ,

Q-V

c u r v e s a t s e v e r a l b u s e s

n e e d t o b e

d r a w n

t o o b t a i n a s y s t e m - w i d e p e r s p e c t i v e

o f

t h e

s t a b i l i t y p r o b l e m

a n d

d e c i p h e r

w h i c h b u s e s i n t h e s y s t e m h a v e

t h e s m a l l e s t

s t a b i l i t y

m a r g i n s ,

s i n c e t h e r e

i s n o

way

o f

i d e n t i f y i n g

b e f o r e h a n d w h i c h b u s e s

a r e

c r i t i c a l . A l t h o u g h


c a n b e

e a s i l y i m p l e m e n t e d

o n s o f t w a r e ,

p r o c e s s i n g t im e c a n

b e

q u i t e l a r g e f o r p r a c t i c a l n et w o r k s w i t h

s e v e r a l

h u n d r e d

b u s e s .

C . Minimum

s i n g u l a r

v a l u e

A

v o l t a g e

s t a b i l i t y

i n d e x p r o p o s e d i n [ 7 ] u s i n g t h e m i n i m u m

s i n g u l a r

v a l u e o f

t h e

p o w e r

f l o w J a c o b i a n

m a t r i x ,

c a n b e

u s e d

t o i n d i c a t e

t h e

r e l a t i v e d i s t a n c e b e t w e e n

t h e

s t u d i e d

o p e r a t i n g

p o i n t

a n d

t h e s t e a d y s t a t e v o l t a g e

l i m i t

S i n g u l a r

v a l u e

d e c o m p o s i t i o n

i s

u s e d

t o d e t e r m i n e

t h e

r a n k o f a m a t r i x

w h i c h

i s

e q u a l

t o t h e

n u m b e r o f i t s

s i n g u l a r v a l u e s [ 8 ] .

I n

s t a t i c

v o l t a g e

c o l l a p s e

a n a l y s i s ,

i t i s u s e d t o

m o n i t o r

t h e

s m a l l e s t

s i n g u l a r

v a l u e

u p

t o t h e

p o i n t

i t b e c o m e s

z e r o [ 7 ] .

T h e

m i n i m u m

s i n g u l a r

v a l u e

o f

t h e p o w e r

f l o w

J a c o b i a n

i s a

r e l a t i v e m e a s u r e

o f

t h e p r o x i m i t y o f t h e s y s t e m t o t h e s t a b i l i t y

l i m i t

[ 8 ] .

T h e m e t h o d s t i l l

d o e s n o t

i n d i c a t e

s p e c i f i c

c a u s e s

o f

v o l t a g e


s u c h a s

h i g h l y

l o a d e d


l i n e s

a n d

g e n e r a t o r s

r e a c h i n g

r e a c t i v e l i m i t s .

A l t h o u g h

t h e

m i n i m u m s i n g u l a r v a l u e

p r o v i d e s

a m e a s u r e

o f t h e

r e l a t i v e

p r o x i m i t y

o f t h e s y s t e m t o


i t

c a n n o t

p r o v i d e a n

a b s o l u t e

o r

l i n e a r

m e a s u r e . T h i s i s

s i m p l y

d u e t o t h e f a c t

t h a t

t h e

a p p r o a c h

o f

t h e

s y s t e m

f r o m a

s t a b l e

o p e r a t i n g p o i n t

t o

b i f u r c a t i o n

i s

n o n - l i n e a r .

H e n c e

p r a c t i c a l

m o n i t o r i n g

o f

v o l t a g e

s t a b i l i t y

u s i n g

t h i s

m e t h o d ,

m u s t

b e

u s e d

i n

c o n j u n c t i o n

w i t h

V - P , Q - V ,

o r

V PQ

c u r v e s .

D .

Q- V

M o d a l

a n a l y s i s

Q-V

m o d a l

a n a l y s i s

m e t h o d i s

p r o p o s e d

i n

[ 2 ]

a s

f o l l o w s a n d u s e s

t h e

r e d u c e d J a c o bi a n m a t r ix

J R

t o

a n a l y z e

t h e

s y s t e m

a n d

p r o v i d e

b o t h a

r e l a t i v e


t h e

s y s t e m

t o

v o l t a g e


a s w e l l a s t h e m e c h a n i s m

o r

k e y

c o n t r i b u t i n g f a c t o r s

t o

i n s t a b i l i t y .

3 8 2


3/7

3

I f a c t i v e p o w e r

P

i s

k e p t c o n s t a n t i n

e q u a t i o n 1

t h e n

0

J P O J P v [ A O ]

( 2 )

L A Q -

J Q O

J Q V

_ L A V -

A Q

=

J R A V

3 )

w h e r e J R

i s

t h e

r e d u c e d

J a c o b i a n

s y s t e m

m a t r i x

a n d

J R

Lv

- J Q

J P O

- 1 J P V ]

T h e

m o d e s

o f

t h e

p o w e r

n e t w o r k c a n

b e

d e f i n e d

b y

t h e

e i g e n v a l u e s a n d

e i g e n v e c t o r s

o f

J R

A s s u m e

J R =A7

w h e r e

;

i s

t h e

r i g h t e i g e n v e c t o r

m a t r i x

o f

J R

C 7

i s t h e l e f t

e i g e n v e c t o r

m a t r i x o f

J R

A

i s

t h e

d i a g o n a l e i g e n v a l u e

m a t r i x

o f

J R

R - =A1 ( 4 )

I n c r e m e n t a l

c h a n g e s

i n r e a c t i v e

p o w e r

a n d

v o l t a g e

a r e

r e l a t e d

b y

e q u a t i o n

3 .

S u b s t i t u t i n g

e q u a t i o n

4 ,

t h e n

AV

AA1

Q

o r

AV

=

E

A Q

5 )

i

A i

w h e r e

2 i

i s

t h e

i t h

e i g e n v a l u e

X

i s t h e

i t h

c o l u m n

r i g h t e i g e n v e c t o r

o f

J R

a n d

i i

i s t h e i t h r o w l e f t

e i g e n v e c t o r

o f

J R .

A i

I

d i ,

a n d

7 i

d e f i n e t h e i t h m o d e o f t h e

s y s t e m .

T h e r e f o r e , t h e i t h m o d a l

r e a c t i v e

p o w e r

v a r i a t i o n i s

A Q m i

=

k i , i

w h e r e k

i

i s a

n o r m a l i z a t i o n f a c t o r s u c h

t h a t

k i

2

y j i

=1

w i t h

j i

t h e

j t h

e l em en t o f

X i

T h e

i t h

m o d a l

v o l t a g e

v a r i a t i o n

c a n t h e r e f o r e b e w r i t t e n

A V m i A Q m i

6 )

A i

From

e q u a t i o n

6 ,

t h e

s t a b i l i t y

o f a m o d e i w i t h

r e s p e c t

t o

r e a c t i v e

p o w e r

c h a n g e s

i s

d e f i n e d

b y

t h e m o d a l

e i g e n v a l u e

A i

L a r g e

v a l u e s

o f

2 A i

s u g g e s t

s m a l l

c h a n g e s

i n

t h e m o d a l

v o l t a g e

f o r r e a c t i v e

p o w e r c h a n g e s .

As

t h e

s y s t e m

i s

s t r e s s e d ,

t h e

v a l u e o f

A

b e c o m e s

s m a l l e r a n d

t h e m o d a l

v o l t a g e b e c o m e s

w e a k e r . I f

t h e

m a g n i t u d e

o f

A i

i s

e q u a l

t o

z e r o , t h e

c o r r e s p o n d i n g

m o d a l

v o l t a g e c o l l a p s e s

s i n c e i t

u n d e r g o e s

i n f i n i t e c h a n g e s

f o r

r e a c t i v e

p o w e r

c h a n g e s .

A

s y s t e m i s

t h e r e f o r e d e f i n e d

a s

v o l t a g e

s t a b l e

i f a l l t h e

e i g e n v a l u e s

o f

J R a r e

p o s i t i v e .

T h e b i f u r c a t i o n o r

v o l t a g e

s t a b l e l i m i t

i s

r e a c h e d w h e n a t l e a s t

o n e

e i g e n v a l u e

r e a c h e s

z e r o ; t h a t

i s ,

o n e

o r

m o r e m o d a l

v o l t a g e

c o l l a p s e s .

I f

a n y o f

t h e e i g e n v a l u e s a r e

n e g a t i v e ,

t h e

s y s t e m

i s u n s t a b l e .

T h e

m a g n i t u d e o f

t h e

e i g e n v a l u e s p r o v i d e s

a r e l a t i v e m e a s u r e

o f

t h e


t h e

s y s t e m

t o


T h e

c r i t i c a l

m o d e s

( a s s o c i a t e d

w i t h m i n i m u m

e i g e n v a l u e s )

a r e

o f m a j o r

i m p o r t a n c e

i n

t h e

v o l t a g e s t a b i l i t y a n a l y s i s .

T h e l e f t

a n d

r i g h t e i g e n v e c t o r s


t o

t h e

c r i t i c a l m o d e s

i n

t h e

s y s t e m

c a n

p r o v i d e

i n f o r m a t i o n

c o n c e r n i n g

t h e

m e c h a n i s m o f

v o l t a g e


b y

i d e n t i f y i n g t h e

e l e m e n t s


i n

t h e s e m o d e s . T h e

b u s

p a r t i c i p a t i o n

f a c t o r

m e a s u r i n g

t h e


o f

t h e

k t h b u s

t o t h e i t h m o d e

c a n

b e

g i v e n

a s

7 )

B u s


f a c t o r s


t o

t h e c r i t i c a l m o d e s

c a n

p r e d i c t

a r e a s o r n o d e s i n t h e

p o w e r s y s t e m s u s c e p t i b l e

t o

v o l t a g e i n s t a b i l i t y .

B u s e s w i t h

l a r g e p a r t i c i p a t i o n f a c t o r s

t o

t h e c r i t i c a l

m o d e

c o r r e s p o n d

t o t h e m o s t c r i t i c a l

s y s t e m

b u s e s .

F o r

a

c h a n g e

i n

r e a c t i v e

p o w e r

i n j e c t i o n

A Q m j ,

t h e

r e s u l t i n g

v o l t a g e

v a r i a t i o n i s

A V m i ,

a n d t h e i t h m o d a l

a n g l e v a r i a t i o n ,

f r o m

e q u a t i o n

2

i s

A O m i

=-Jp

- I

A

V m i

( 8 )

W i t h

AV,AO

k n o w n ,

t h e l i n e a r i z e d r e a c t i v e l o s s v a r i a t i o n

a c r o s s

a t r a n s m i s s i o n b r a n c h

l j ,

A Q O , i

c a n

b e o b t a i n e d .

A s s u m e

A Q i m a i

=

M A X j

( A Q j i )

T h e n

t h e


f a c t o r o f b r a n ch

l j

t o

m o d e

i

c a n b e

d e f i n e d a s

A Q j j

( 9 )

A Q I

m a x

i

B r a n c h e s w i t h

l a r g e p a r t i c i p a t i o n

f a c t o r s

t o


m o d e s

c o n s u m e

t h e

m o s t r e a c t i v e

p o w e r f o r

i n c r e m e n t a l

c h a n g e s

i n

r e a c t i v e

l o a d ,

a n d l e a d t o

p r o b l e m s

c o n c e r n i n g v o l t a g e

s t a b i l i t y .

[ 2 ]

I I I . P E R F O R M I N G

COMPLETE

VOLTAGE S T A B I L I T Y

ASSESMENTS

I t

i s

u s e f u l

t o

e s t a b l i s h a n d

f a c i l i t a t e a

s y s t e m a t i c

a n d

c o m p l e t e

m e t h o d f o r

v o l t a g e s t a b i l i t y

a n a l y s i s

a n d

p r e d i c t i o n

o f

i n c i p i e n t

v o l t a g e i n s t a b i l i t y

i n

t h e

p o w e r

n e t w o r k . As s e e n

p r e v i o u s l y V - P / Q - V

c u r v e s c a n n o t

b e

u s e d

a l o n e i n

l a r g e

p r a c t i c a l

n e t w o r k s

s i n c e t h e r e i s n o

w a y

t o

p r e c i s e l y

d e t e r m i n e

b e f o r e h a n d ,

f o r

many

d i f f e r e n t

o p e r a t i n g

p o i n t s

a n d

c o n t i n g e n c i e s ,

e x a c t l y

w h i c h n o d e s

a n d

a r e a s a r e

s u s c e p t i b l e

3 8 3

P k i

k i

7 7 i k


4/7

4


i . e .

a t w h a t

b u s e s

c u r v e s

n e e d

t o

b e

d r a w n ) .

M e t h o d s s u c h

a s

t h e

m i n i m u m

s i n g u l a r

v a l u e d o

n o t

r e a d i l y

p r o v i d e i n f o r m a t i o n i n t o t h e m a i n f a c t o r s

c o n t r i b u t i n g

t o

v o l t a g e


T h e m o d a l

a n a l y s i s

t e c h n i q u e

h o w e v e r c a n

b e s e e n

a s

e x t r e m e l y

u s e f u l

s i n c e i t

p r o v i d e s

a

r e l a t i v e


t h e

s y s t e m

t o v o l t a g e i n s t a b i l i t y ,

a s w e l l a s

t h e

k e y c o n t r i b u t i n g f a c t o r s


s u c h

a s t h e w e a k e s t

o r

c r i t i c a l

b u s e s a n d


b r a n c h e s .

A

s i m p l e s y s t e m a t i c

t e c h n i q u e

f o r

i n i t i a l

a s s e s s m e n t

o f

v o l t a g e

s t a b i l i t y

i n c o r p o r a t i n g m o d a l

a n a l y s i s a s

w e l l

a s

t r a d i t i o n a l

V - P / Q -

V/VPQ c u r v e s

c a n b e c o nd u c t e d

a s f o l l o w s :

1 . P e r f o r m

a

p o w e r f l o w


t o

e s t a b l i s h

c o n d i t i o n s a t

t h e

s p e c i f i c o p e r a t i n g

p o i n t a n d g e n e r a t e s y s t e m

J a c o bi a n m a t r ix

2 . P e r f o r m m o d a l

a n a l y s i s

t o

o b t a i n

a

r e l a t i v e

m e a s u r e

o f

t h e

s y s t e m

d i s t a n c e t o

b i f u r c a t i o n , i d e n t i f y

t h e w e a k e s t

s y s t e m

b u s e s ,

a n d

i d e n t i f y

t h e w e a k e s t

s y s t e m

b r a n c h e s

3 .

G e n e r a t e

V - P / Q - V / V P Q

c u r v e s a t w e a k

n o d e s

i d e n t i f i e d i n m o d a l

a n a l y s i s

t o f u r t h e r

i n v e s t i g a t e

s p e c i f i c

s t a b i l i t y m a r g i n s .

4 .

I m p l e m e n t s t a b i l i t y s o l u t i o n s

s u c h a s

s i z i n g

a n d

p l a c e m e n t

o f r e a c t i v e

c o m p e n s a t i o n

d e v i c e s a t

c r i t i c a l

b u s e s

i d e n t i f i e d ,

a n d

e n h a n c e m e n t

o f

w e a k e s t t r a n s m i s s i o n

b r a n c h e s

i d e n t i f i e d .

t h e r e a c t a n c e o f t h e

h i g h e s t p a r t i c i p a t i n g

b r a n c h w a s

d e c r e a s e d a n d

V - Q

c u r v e s

r e g e n e r a t e d

a t t h e c r i t i c a l b u s e s .

T h i s p r o c e s s w a s r e p e a t e d ,

d e c r e a s i n g

a m e d i u m


b r a n c h a n d

t h e

l o w e s t


b r a n c h

b y

t h e

s a m e

p e r c e n t a g e .

T h e i n c r e a s e s i n

r e a c t i v e

s t a b i l i t y

m a r g i n s

a t t h e c r i t i c a l b u s e s

f o r e a ch o f

t h e t h r e e

c a s e s w e r e

c o m p a r e d ,

i n o r d e r t o

q u a n t i f y t h e

e f f e c t o f

t h e

r e l e v a n t

b r a n c h

t o s y s t e m


A . T e s t C a s e 1

TABLE

I

THREE

LOWEST

SYSTEM EIGEENVALUES F OR

T E S T

CASE 1

( C R T I C I A L

F T C - T F N V T ATTF=

1

Q 6 A V

TABLE 2

COMPARISON

OF

8 MO S T

C R I T I C A L

BSUES I D E N T I F I E D

BY

MOD L

ANALYSIS

AND

V-0

S T A B I L I T Y

MARGINS ( T E S T

CASE

1 )

3 0 . 0 6 0

1 8

3 . 6 3

1 9

0 . 0 5 7 2 9 2 . 8 3

1 8

0 . 0 5 6

1 9

3 . 0 5

A

p r o t o t y p e a p p l i c a t i o n o n t h e

MIATLAB

p l a t f o r m

c a l l e d

t h e Power

S y s t e m

S t a b i l i t y

A n a l y z e r

( P S S A )

w a s

d e v e l o p e d

t o

p e r f o r m

s u c h

a n a l y s e s .

I V .

EVALUATING THE MODAL A N A L Y S I S

T E C H N I Q U E

I n o r d e r

t o

d e m o n s t r a t e

t h e

u s e f u l n e s s o f m o d a l

a n a l y s i s ,

t h r e e

s e p a r a t e

t e s t

c a s e s ,

r e p r e s e n t i n g

t h r e e d i f f e r e n t

s t a b l e

o p e r a t i n g

p o i n t s

o f

t h e

IEEE 3 0

b u s

t e s t

s y s t e m

w e r e

u s e d .

T h e

r e s u l t s a r e

g i v e n

i n T a b l e s 1 t o 1 3 b e l o w .

F o r

e a c h

o p e r a t i n g

p o i n t ,

t h e


o f t h e

r e d u c e d J a c o b ia n m a t r ix

w e r e f i r s t

g e n e r a t e d

t o

o b t a i n

t h e

r e l a t i v e

p r o x i m i t y

o f

t h e

s y s t e m

t o


T h e

b u s


f a c t o r s

w e r e t h e n

g e n e r a t e d

f o r


mode

t o

p r e d i c t

t h e

c r i t i c a l

b u s e s

i n

t h e

s y s t e m

( b u s e s

w i t h

t h e

s m a l l e s t

m a r g i n s

t o

i n s t a b i l i t y ) .

I n o r d e r t o

v e r i f y

t h a t

t h e

b u s e s

p r e d i c t e d

a s c r i t i c a l

w e r e

c o r r e c t ,

V-Q

c u r v e s w e r e

g e n e r a t e d

t o

o b s e r v e

a n d

c o m p a r e

t h e

r e a c t i v e

s t a b i l i t y

m a r g i n s

a t e a c h

s y s t e m

b u s .

( V - Q

c u r v e s a r e c h o s e n s i n c e

r e a c t i v e

p o w e r

t r a n s f e r i s

c l o s e l y

a s s o c i a t e d

t o

v o l t a g e


N e x t

t h e b r a n c h


f a c t o r s

f o r

t h e

c r i t i c a l

mode w e r e

g e n e r a t e d

t o

p r e d i c t

t h e c r i t i c a l t r a n s m i s s i o n l i n e s

i n t h e

s y s t e m

( l i n e

w i t h

l a r g e s t

c o n t r i b u t i o n s t o

v o l t a g e


I n o r d e r

t o

v e r i f y

t h a t

t h e s e r e s u l t s w e r e

c o r r e c t ,

3 8 4

TABLE

3

E I G H T

H I G H E S T P A R T I C I P A T I N G

BRANCHES

( T E S T

C A S E

1 )

* - r h

J P p

l

3 5 1 . 0 0

1 1

0 3 7

1 3

0 . 3 0

1 7

0 . 2 7

3 4 0 . 2 0

2 7 0 . 1 5

1 4

0 . 1 1

2 9 0 . 1 1

TABLE 4

COMPARING

THE

E F F E C T S O F BRANCHES WITH VARYING P A R T I C I P A T I O N

F A C T O R S ON

SYSTEM

S T A B I L I T Y

( T E S T

C A S E

1 )

I


5/7

5

0

B .

T e s t

C a s e

I I

C .

T e s t

C a s e I I I

TABLE

5

THREE LOWEST SYSTEM

EIGEENVALUES

FOR

T E S T

CASE

2

( C R T I C I A L

EIGENVLAUE=

1 . 1 6 1 )

7 1 . 1 6 1

8

3 8 9 8

9

8 . 4 9 9

TABLE

6

COMPARISON

O F

8

MOST

C R I T I C A L

BSUES I D E N T I F I E D

B Y

MODAL ANALYSIS

Awn

V

n

RT

ATT TTV

X4AR

TNTQ

TP,T

tAF

TABLE

7

E I G H T

H I G H E S T P A R T I C I P A T I N G BRANCHES

( T E S T

CASE

2 )

B r

h

I

P a w r i c i p o

3 5

1 . 0 0 0

3 4

0 . 4 0 2

1 1

0 . 3 9 3

1 3

0 . 3 2 7

1

7

0 . 2 8 0

2 7

0 . 2 6 8

2 9 0 . 1 6 8

1 4

.

1 2 0

TABLE

9

THREE LOWEST SYSTEM

EIGEENVALUES

FOR T E S T

CASE 3

( C R T I C I A L

EIGENVLAUE= 0 . 4 4 2 )

Mode

E i g e n v a l u

1 3

0 . 4 4 2

1 9

1 . 3 8 8

2 0

2 . 5 7 8

TABLE 1 0

COMPARISON

O F

8 MOST C R I T I C A L

BSUES I D E N T I F I E D B Y MODAL

ANALYSIS

ANT

V - ( )

T A l I T J I T V

M A R P C A N T

( T F V T

C A ( . F

3 )

T A B LE

1 1

E I G H T H I G H E S T

P A R T I C I P A T I N G BRANCHES

( T E S T

CASE

3 )

1

B r a n t h

4 aripai

3 4

1 . 0 0 0

3 3 0 . 7 7 5

3 5 0 . 4 1 2

4 0

0 . 2 9 8

3 0

0 . 2 6 2

2 9

0 . 2 4 8

3 2 0 . 2 0 2

2 7

0 . 1 9 4

TABLE

8

COMPARING

T HE

E F F E C T S OF BRANCHES WITH VARYING PARTICIPATION

F A C T O R S

ON SYSTEM S T A B I L I T Y

( T E S T

CASE

1 )

TABLE

1 2

COMPARING

T HE

EFFECTS OF

BRANCHES WITH VARYING PARTICIPATION

FACTORS ON

SYSTEM

S T A B I L I T Y

( T E S T

CASE

3 )

3 8 5


6/7

6

2 5

0 . 2 1

2 4

0 . 2 S

2 3

0 . 3 5

1 )

1 )

n

s o

u . u z

0 . 0 3

0 . 0 5

0 . 1 4

A l

1 9

n

V .

D I S C U S S I O N

F o r t h e

f i r s t

t e s t c a s e , t h e

t h r e e

l o w e s t s y s t e m

e i g e n v a l u e s a r e

d i s p l a y e d

i n t a b l e 1 a n d

a r e

a b o v e

z e r o ,

c o n f i r m i n g

t h a t

t h e s y s t e m i s

s t a b l e a n d

t h e b i f u r c a t i o n p o i n t

h a s n o t

y e t

b e e n r e a c h e d . T h e

m i n i m u m o r c r i t i c a l

e i g e n v a l u e

i s 1 . 9 6 3

a n d

t h e c o r r e s p o n d i n g

m o d e

i s 8 . B u s p a r t i c i p a t i o n

f a c t o r s t o t h i s c r i t i c a l

m o d e

a r e

g e n e r a t e d

t o p r e d i c t t h e c r i t i c a l

b u s e s i n

t h e

s y s t e m .

T h e

b u s e s

w i t h h i g h e s t


f a c t o r s w e r e

e x p e c t e d

t o

b e

t h e

m o s t

c r i t i c a l

b u s e s o r b u s e s

c l o s e s t

t o


T a b l e 2

v e r i f i e s

t h a t

t h e

b u s e s

w i t h

t h e

h i g h e s t

p a r t i c i p a t i o n f a c t o r s

h a v e t h e l o w e s t r e a c t i v e

s t a b i l i t y

m a r g i n s

i n

t h e

s y s t e m

a n d

t h e r e f o r e c o r r e c t l y

c o r r e s p o n d

t o

c r i t i c a l

s y s t e m

b u s e s .

T h e s e

i n c l u d e b u s

2 6 , 2 5 ,

2 4

a n d 2 3 .

M o r e o v e r ,

t h e t a b l e s h o w s

t h a t

p a r t i c i p a t i o n f a c t o r s

p r e d i c t

t h e

5

m o s t c r i t i c a l

s y s t e m

b u s e s i n

t h e e x a c t s a m e o r d e r

t h e y

a r e

r a n k e d

b y

t h e

a c t u a l

V - Q

c u r v e

r e a c t i v e

s t a b i l i t y m a r g i n s .

T h e 8 h i g h e s t b r a n c h


f a c t o r s a r e

d i s p l a y e d

i n

t a b l e

3 , s h o w i n g

l i n e 3 5 a s

h a v i n g

t h e

h i g h e s t


f a c t o r .

A s

s h o w n i n t a b l e

4 , s l i g h t l y r e d u c i n g

t h e r e a c t a n c e o f

b r a n c h

3 5 ,

i n c r e a s e s t h e

s t a b i l i t y m a r g i n

a t t h e 5

m o s t

c r i t i c a l

b u s e s

b y

a n

a v e r a g e

o f 0 .

1 4 p . u . T h e

s a m e

p e r c e n t a g e

r e d u c t i o n

i n

r e a c t a n c e

h o w e v e r ,

o f

a

l o w e r


b r a n ch s u c h

a s

b r a n c h 3 4 i n c r e a s e s

t h e s t a b i l i t y

m a r g i n s

a t t h e b u s e s

b y

a

m u c h

l e s s a v e r a g e

o f

0 . 0 7 p . u .

T h e

s a m e

r e d u c t i o n i n

r e a c t a n c e f o r t h e

l o w e s t


b r a n c h

2 2 ,

g i v e s n o

i n c r e a s e

i n

s t a b i l i t y m a r g i n

w h a t s o e v e r . T h e r e s u l t s

v e r i f y

t h a t

b r a n c h e s

i d e n t i f i e d

w i t h

h i g h e r p a r t i c i p a t i o n

f a c t o r s

a r e

b r a n c h e s w i t h

h i g h e r

c o n t r i b u t i o n s

t o

s y s t e m v o l t a g e


F o r

t h e

s e c o n d

t e s t c a s e a l l


a r e s t i l l a b o v e

z e r o , c o n f i r m i n g

t h a t

t h e

s y s t e m

i s s t i l l

s t a b l e .

T h e c r i t i c a l

e i g e n v a l u e

h o w e v e r ,

h a s now d e c r e a s e d

t o

1 . 1 6 1 . O n c e

a g a i n

a s s h o w n i n t a b l e

6 ,

t h e b u s e s w i t h t h e

h i g h e s t


f a c t o r s

h a v e t h e

l o w e s t

r e a c t i v e

s t a b i l i t y

m a r g i n s

i n

t h e

s y s t e m

a n d

c o r r e c t l y

c o r r e s p o n d

t o

c r i t i c a l

s y s t e m

b u s e s .

I n

a d d i t i o n ,

t h e


f a c t o r s p r e d i c t

t h e

8 m o s t

c r i t i c a l

b u s e s i n

t h e e x a c t s a m e

o r d e r

t h e y

a r e

r a n k e d

b y

t h e

a c t u a l

V - Q

c u r v e

r e a c t i v e

s t a b i l i t y

m a r g i n s .

B r a n c h

3 4

i s i d e n t i f i e d a s

h a v i n g

t h e

l a r g e s t p a r t i c i p a t i o n

f a c t o r a n d t a b l e 8 s h o w s

t h a t

s l i g h t l y

r e d u c i n g

t h e r e a c t a n c e

o f

b r a n c h

3 4 ,

i n c r e a s e s t h e

s t a b i l i t y

m a r g i n

a t t h e 5 m o s t c r i t i c a l

b u s e s

b y

a n

a v e r a g e

o f

0 . 1 8 p . u . T h e

s a m e r e d u c t i o n i n r e a c t a n c e

h o w e v e r ,

o f a l o w e r


b r a n c h s u c h

a s

b r a n c h 1 7 i n c r e a s e s t h e

s t a b i l i t y

m a r g i n s

a t

t h e

b u s e s

b y

a much

l e s s

a v e r a g e

o f

0 . 0 8 p . u

a n d a

r e d u c t i o n

i n r e a c t a n c e

f o r

t h e l o w e s t


b r a n c h

2 2 ,

g i v e s n o i n c r e a s e i n s t a b i l i t y m a r g i n w h a t s o e v e r . O n c e a g a i n ,

t h e

r e s u l t s

v e r i f y

t h a t

t h e

b r a n c h e s

i d e n t i f i e d

w i t h

t h e h i g h e s t

p a r t i c i p a t i o n f a c t o r s r e p r e s e n t t h e

b r a n c h e s

c o n t r i b u t i n g t h e

m o s t t o s y s t e m v o l t a g e i n s t a b i l i t y . T h e o v e r a l l p a t t e r n

i s

c o n t i n u e d i n t h e t h i r d t e s t c a s e , w i t h t h e b u s p a r t i c i p a t i o n

f a c t o r s a n d b r a n c h


f a c t o r s

r e l i a b l y p r e d i c t i n g

t h e w e a k

b u s e s

a n d t r a n s m i s s i o n b r a n c h e s .

A t t h e f i r s t t e s t

o p e r a t i n g p o i n t ,

a l l e i g e n v a l u e s a r e

a b o v e

z e r o

a n d

t h e

m i n i m u m

e i g e n v a l u e

i s

1 . 9 6 3 .

A t

t h e

s e c o n d


a l l

t h e e i g e n v a l u e s

a r e s t i l l

a b o v e

z e r o

h o w e v e r ,

t h e m i n i m u m

e i g e n v a l u e

i s

r e d u c e d f r o m

1 . 9 6 3

t o

1 . 1 6 1 .

A t

t h e t h i r d


t h e m i n i m u m

e i g e n v a l u e

i s

e v e n c l o s e r

t o

z e r o

a t

0 . 4 4 2 .

T h i s

s u g g e s t s

t h a t

t h e t h i r d t e s t

c a s e o p e r a t i n g p o i n t i s c l o s e s t

t o

t h e v o l t a g e

s t a b i l i t y l i m i t ,

f o l l o w e d b y t h e s e c o n d o p e r a t i n g p o i n t , w i t h t h e f i r s t b e i n g

t h e f u r t h e s t

o r

m o s t s t a b l e t e s t c a s e o p e r a t i n g

p o i n t .

T h i s i s

v e r i f i e d b y

o b s e r v i n g

t h e r e a c t i v e

s t a b i l i t y m a r g i n s

a t

t h e

c r i t i c a l

b u s e s

f o r e a c h

o p e r a t i n g

p o i n t

( t a b l e s 2 ,

6 a n d

1 1 ) .

A t

t h e

f i r s t


t h e

r e a c t i v e

l o a d

m a r g i n s

t o

i n s t a b i l i t y f o r

t h e 3 m o s t

c r i t i c a l

s ys t em b u s es a r e 1 . 4 4

p . u ,

2 . 6 6

p . u .

a n d 2 8 3

p . u .

A t

t h e

s e c o n d

o p e r a t i n g

p o i n t ,

t h e

r e a c t i v e s t a b i l i t y m a r g i n s

f o r

t h e

3 m o s t

c r i t i c a l

b u s e s a r e

l o w e r e d

t o 0 . 6 2

p . u ,

0 . 8 6

p . u .

a n d

1 . 1 2

p . u .

F o r t h e t h i r d


t h e

m a r g i n s

a r e

d r a s t i c a l l y

r e d u c e d

t o 0 . 0 5

p . u ,

0 . 1 2

p . u .

a n d

0 . 2 1 p . u .

I t i s c l e a r

t h a t

t h e t h i r d

t e s t

c a s e

o p er a t i ng p o in t

i s t h e c l o s e s t t o t h e

v o l t a g e s t a b i l i t y l i m i t ,

f o l l o w e d

b y

t h e

s e c o n d

a n d t h e n

t h e f i r s t

t e s t

c a s e , e x a c t l y

a s

p r e d i c t e d b y t h e

m a g n i t u d e

o f t h e

e i g e n v a l u e s .

V I .

CONCLUSION

T h e

p a p e r

r e - e x a m i n e s t h e

p r o b l e m

o f

v o l t a g e


i n

p o w e r s y s t e m s a n d t h e

n e e d f o r e f f e c t i v e

a n a l y s i s

t e c h n i q u e s

t o

d e t e c t i n c i p i e n t

c a s e s

o f


a n d

p r e v e n t

p o s s i b l e

e s c a l a t i o n

i n t o

w i d e - s p r e a d v o l t a g e

c o l l a p s e .

Common

s t e a d y

- s a t e a n a l y s i s m e t h o d s

a r e

r e v i e w e d

i n c l u d i n g

m o d a l

a n a l y s i s .

T h e m o d a l

a n a l y s i s

f e a t u r e

w a s

t e s t e d o n t h e

IEEE

3 0 - b u s

t e s t

s y s t e m .

T h e

t e c h n i q u e

w a s

d e m o n s t r a t e d a s

a n

e x t r e m e l y

u s e f u l

m e t h o d

f o r

s t e a d y

s t a t e

v o l t a g e s t a b i l i t y a n a l y s i s , p r o v i d i n g

a

r e l a t i v e m e a s u r e

o f t h e

s y s t e m

t o t h e

s t a b i l i t y

l i m i t ,

a n d

c o r r e c t l y

p r e d i c t i n g

t h e

c r i t i c a l

b u s e s

a n d

w e a k

t r a n s m i s s i o n b r a n c h e s i n t h e

p o w e r

n e t w o r k . T h e

p a p e r

t h e r e f o r e f u r t h e r r e i n f o r c e s

p r e v i o u s

w o r k s

s u c h

a s

[ ]

w h i c h

h a v e

s u c c e s s f u l l y a p p l i e d

t h e m o d a l

a n a l y s i s

m e t h o d t o t e s t n e t w o r k s . T h e m e t h o d c a n b e

i n c o r p o r a t e d

i n t o

u s e r - f r i e n d l y

d i a g n o s t i c

t o o l s

w h i c h

c a n

b e

a p p l i e d

t o

p r a c t i c a l

p o w e r

s y s t e m s

a n d

u t i l i z e d

b y

p o w e r

s y s t e m

o p e r a t o r s

a n d

p l a n n e r s

t o a s s e s s

v o l t a g e

s t a b i l i t y

a t

v a r i o u s

o p e r a t i n g

c o n d i t i o n s ,

a s

w e l l

a s

d e t e r m i n e

s u i t a b l e

r e m e d i a l

a c t i o n s f o r


a n d

c o l l a p s e .

V I I . REFERENCES

[ 1 ] G a o , B . , K u n d u r , P . ,

M o r i s s o n ,

G . K . ,

T o w a r d s

t h e

D ev e l o p me nt o f

a

S y s t e m a t i c

A p p r o a c h

f o r

V o l t a g e S t a b i l i t y A s s e s s m e n t o f L a r g e - S c a l e

Power

S y s t e m s ,

IEEE

T r a n s a c t i o n s o n

P o w e r

S y s t e m s ,

v o l .

1 1 ,

n o .

3 ,

p p

1 3 1 4 - 1 3 1 9 ,

( A u g u s t 1 9 9 6 ) . ( 3 )

3 8 6


7/7

7

[ 2 ]

G a o , B . ,

K u n d u r , P . , M o r i s s o n , G . K ,

V o l t a g e

S t a b i l i t y E v a l u a t i o n

U s i n g

M o d a l

A n a l y s i s , IEEE

T r a n s a c t i o n s

o n P o w e r S y s t e m s , v o l . 7 ,

n o . 4 , p p .

1 4 2 3 - 1 5 4 3 ,

( N o v e m b e r

1 9 9 2 ) .

( 1 5 )

[ 3 ]

K u n d u r , P . , P o w e r S y s t e m S t a b i l i t y a n d C o n t r o l , Mc-Graw H i l l , New-

Y o r k , 1 9 9 4 , p p

9 6 0 - 9 7 1 . ( 1 )

[ 4 ] G u b i n a ,

F . ,

S t r m c n i k , B . , V o l t a g e

C o ll a p s e P r o xi m i t y I n d e x

D e t e r m i n a t i o n

u s i n g V o l t a g e P h a s o r s A p pr o a c h ,

IEEE

T r a n s a c t i o n s

o n

P o w e r

S y s t e m s , v o l . 1 0 ,

n o . 2 ,

p p 7 8 8 - 7 9 2 ,

( M a y

1 9 9 5 ) . ( 6 )

[ 5 ] A l v a r a d o , F . ,

D o b s o n ,

I . , G r e e n e ,

S . , C o n t i n g e n c y

R a n k i n g f o r

V o l t a g e

C o l l a p s e

v i a

s e n s i t i v i t i e s f r o m a

s i n g l e

n o s e

c u r v e ,

S u b m i s s i o n t o IEEE

f o r

p o s s i b l e

p u b l i c a t i o n ,

1 9 9 7 . ( 9 )

[ 6 ] B a l a m o u r o u g a n , V . , S a c h d e v ,

M . S . , S i d h u ,

T . S . ,

T e c hn i qu e f o r

o n l i n e

p r e d i c t i o n o f

v o l t a g e

c o l l a p s e ,

IEEE P r o c e e d i n g s

G e n e r a t i o n ,

T r a n s m i s s i o n a n d

D i s t r i b u t i o n , v o l . 1 5 1 , n o .

4 ,

p p . 4 5 3 - 4 6 0 , ( J u l y

2 0 0 4 ) ( 1 0 )

[ 7 ] A n d e r s o n , C . ,

H i l l ,

D . J . , L o f ,

P . A . ,

S m e d , T . ,

F a s t

C a l c u l a t i o n o f

a

V o l t a g e S t a b i l i t y I n d e x , IEEE T r a n s a c t i o n s o n P o w e r S y s t e m s , v o l . 7 ,

n o . 1 , p p . 5 4 - 6 4 , ( F e b r u a r y 1 9 9 2 ) . ( 1 4 )

[ 8 ]

D a n i e l ,

J . W . ,

N o b l e , B . ,

A p p l i e d

L i n e a r

A l g e b r a , P r e n t i c e - H a l l ,

New-

Y o r k , 1 9 9 8 ( 1 3 )

V I I I . B I O G R A P H I E S

C h a n d r a b h a n

Sharma

D r S h a r m a

i s a s e n i o r l e c t u r e r w i t h

t h e

F a c u l t y o f E n g i n e e r i n g ,

T h e

U n i v e r s i t y

o f W e s t

I n d i e s ,

T r i n i d a d

T o b a g o .

He i s

t h e

H e a d

o f

t h e

C e n t r e

f o r

E n e r g y

S t u d i e s .

He i s a m e m b e r o f t h e B o a r d

o f

D i r e c t o r s

o f

t h e l o c a l

E l e c t r i c U t i l i t y

a n d

a l s o a m e m b e r o f t h e B o a r d o f D i r e c t o r s

o f

t h e

l a r g e s t

b a n k

i n

t h e

c o u n t r y . P r i o r

t o

j o i n i n g

t h e A c a d e m i c s t a f f

a t

t h e

U n i v e r s i t y ,

h e

w a s

a t t a c h e d t o

t h e

p e t r o c h e m i c a l

i n d u s t r y

i n

T r i n i d a d . H i s i n t e r e s t s a r e

i n

t h e

a r e a o f

p o w e r s y s t e m o p e r a t i o n s

a n d

c o n t r o l .

Marcus G a n n e s s

M a r c u s G a nn es s

i s a f i n a l

y e a r

s t u d e n t

u n d e r g r a d u a t e

s t u d e n t a t t h e

U n i v e r s i t y

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T h e

W e s t

I n d i e s .

He

i s

e x p e c t e d

t o

g r a d u a t e

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M ay

2 0 0 7 .

3 8 7

determination of power system voltage stability using modal analysis

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