determinates en matematicas

TEMA 4 Ejercicios / 1

TEMA 4:RESOLUCIN DE SISTEMAS MEDIANTEDETERMINANTES.

1. Tenemos un sistema homogneo de 5 ecuaciones y 3 incgnitas:a. Es posible que sea incompatible?. Por qu?b. Es posible que sea compatible determinado?. Por qu?c. Es posible que sea compatible indeterminado con grado de indeterminacin dos?.

Por qu?

SOLUCIN:a. No es posible, porque un sistema homogneo siempre es compatible.b. Si, porque el rango de la matriz de coeficientes , puede ser 3.c. Si, porque el rango de la matriz de coeficientes puede ser 1 (todas las filas proporcionales), y

en tal caso el sistema sera compatible indeterminado, con grado de indeterminacin 2.

2. Discute segn el valor de a y resuelve en los casos de compatibilidad el sistema siguiente:

8x 2y + 4z = 4x 5y 2z = 94x + y 2z = a

SOLUCIN:

La matriz del sistema ser:8 2 41 5 24 1 2

49a

Si calculamos el determinante de la matriz de coeficientes, tendremos:

8 2 41 5 24 1 2

= 80 + 4 + 16 + 80 16 4 = 0

Como hay menores 2x2 distintos de cero, el ranA = 2 (Independientemente del valor delparmetro a)En cuanto al rango de la matriz ampliada:

Partiendo del menor8 21 5

0 y orlando, tenemos los menores de orden tres siguientes:

Isabel Rodrguez Fernndez


8 2 41 5 24 1 2

= 0

8 2 41 5 94 1 a

= 42a 84 = 0 a = 2

Luego los casos a discutir sern:

Si a 2 ranA|b = 3ranA = 2

SISTEMA INCOMPATIBLE (SI)

Si a = 2 ranA|b = 2ranA = 2

SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO (SCI)

Para resolver el sistema en este ltimo caso, como tenemos el menor8 21 5

= 42 0,

eliminamos en el sistema la ltima ecuacin, por ser combinacin lineal de las dos primeras,y a z lo tomamos como parmetro en las soluciones.Tenemos:8x 2y + 4z = 4x 5y 2z = 9

z = 8x 2y = 4 4x 5y = 9 + 2

Resolvemos utilizando la regla de Cramer:

x =

4 4 29 + 2 5

42 =2 + 24

42 =121 +

47

y =

8 4 41 9 + 2

42 =76 12

42 =3821

27

z =

3. Discute e indica cmo se resuelve, en los casos en que sea posible, el sistema siguiente segnlos valores de a

x + y z = a 2ax 3y + z = 3a + 13x ay + z = 3a + 1

SOLUCIN:



La matriz del sistema es A|b =1 1 1a 3 13 a 1

a 23a + 13a + 1

Empezamos calculando el determinante de la matriz A:|A| = 3 + a2 + 3 9 + a a = a2 9 = 0 a = 3Los casos que se presentan son:

Si a 3 |A| 0 ranA = 3

ranA|b = 3SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO

(SCD).Para resolver utilizamos la regla de Cramer:

x =

a 2 1 13a + 1 3 13a + 1 a 1

a2 9=

13a + 4a2 + 3a2 9

=4a 1a + 3

y =

1 a 2 1a 3a + 1 13 3a + 1 1

a2 9=

4a2 + 13a 3a2 9

= 4a 1a + 3

z =

1 1 a 2a 3 3a + 13 a 3a + 1

a2 9=

9a 18 + 2a2 a3a2 9

= a + 2 Si a = 3

La matriz ampliada es A|b =1 1 13 3 13 3 1

11010

Como podemos crompobar las dos ltimas filas son iguales luego a efectos del rangopodemos suprimir la tercera fila y comprobamos que:

ranA = 2ranA|b = 2

SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO (SCI).

Para resolverlo, nos quedamos con las dos primeras ecuaciones del sistema (la tercera esigual a la segunda), y tomamos a z como parmetro.

x + y z = 13x 3y + z = 10

z = x + y = 1 +

3x 3y = 10 + Segn la regla de Cramer:

x =

1 + 110 + 3

6 =13 4

6 =136 +

23



y =

1 1 + 3 10 +

6 =7 26 =

76 +

13

z = Si a = 3

La matriz ampliada es: A|b =1 1 13 3 13 3 1

588

Como en la matriz A hay dos columnas iguales (la primera y la segunda), el rango de A esmenor de 3.

Como por otro lado el menor1 13 1

0, tenemos que el ranA = 2

En cuanto a la matriz ampliada, si analizamos el menor de orden 31 1 53 1 83 1 8

= 78 0, luego ranA|b = 3

Por tanto al ser ranA ranA|b, el sistema es INCOMPATIBLE.

4. En un sistema de igual nmero de ecuaciones que de incgnitas, det (M)=0. Puede tenersolucin el sistema?. Se puede aplicar la regla de Cramer?. Razona las respuestas.

SOLUCIN:Si |M| = 0, entonces el rango de la matriz M (matriz de coeficientes), no ser el mximo, pero elsistema puede ser COMPATIBLE, ya que el rango de la matriz ampliada puede ser igual alrango de la matriz de coeficientes.Si el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada, pero menor queel nmero de incgnitas, el sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo podemosutilizar la regla de Cramer:Si el valor de los rangos de M y M|b es r, entonces existir en la matriz M, un menor de orden rdistinto de cero. Las ecuaciones que no intervienen en este menor, las eliminamos (soncombinacin lineal de las r ecuaciones del menor), y las incgnitas cuyos coeficientes no estnen el menor de orden r distinto de cero, las tomamos como parmetros.De esta forma el menor de orden r ser la matriz de coeficientes, del sistema equivalente alinicial, obtenido por el procedimiento que acabamos de exponer, dicho sistema ser de Cramer ypor tanto podremos utilizar la regla de Cramer para resolverlo.

5. Discute las soluciones de los siguientes sistemas aplicando el teorema de Rouch-Frbeniusy resuelve mediante la regla de Cramer cuando sean compatibles:



a.x + 2y 4z = 12x y 5z = 1x y z = 2

b.2x + 10y 8z + 6t = 2

x y + z t = 2x + 15y 12z + 9t = 0

c.

x 5y + z = 42x + y z = 1

x + 6y 2z = 34x 9y + z = 9x 16y + 4z = 8

SOLUCIN:a. SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO.

Solucin: x = 3,y = 0, z = 1b. SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO

Solucin: x = 32 ,y =2 + 3

2 , z = 2 + 2, t = c. SISTEMA INCOMPATIBLE

6. Dado el sistema de dos ecuaciones con tres incgnitas

x + 2y + z = 3ax + a + 3y + 3z = 1

donde a es un parmetro, se pide:a. Estudia si para algn valor de a el sistema es incompatibleb. Para cada valor del parmetro a, para el que el sistema sea compatible, escribe la

expresin general de todas sus soluciones.

SOLUCIN:

La matriz ampliada es: A|b =1 2 1a a + 3 3

31

Si los menores1 2a a + 3

y1 1a 3

se anulan a la vez, el rango de la matriz A ser 1. Si

alguno de los menores es distinto de cero el rango ser 2.Como:

1 2a a + 3

= a + 3 = 0 a = 3



1 1a 3

= 3 a = 0 a = 3

Luego:

Si a 3 existirn menores de orden dos no nulos, luego el rango de la matriz A ser dos y elde la matriz ampliada tambin (el nmero de incgnitas 3). El sistema ser COMPATIBLEINDETERMINADO y la solucin ser:

x + 2y + z = 3ax + a + 3y + 3z = 1

z = x + 2y = 3

ax + a + 3y = 1 3

x =

3 21 3 a + 3

a + 3 =3a + 7 a + 3

a + 3 =3a + 7 + a + 3

a + 3 =3a + 7a + 3 +

y =

1 3 a 1 3a + 3 =

1 3 3a + aa + 3 =

1 3a a + 3a + 3 =

1 3aa + 3

z = Si a = 3 los dos menores de orden dos son nulos, luego el rango de la matriz A es 1.

En cuanto a la matriz ampliada el menor formado por las columnas tercera y cuarta es

distinto de cero1 33 1

= 8 0

Luego el rango de la matriz ampliada es 2.Como ranA ranA|b el sistema es INCOMPATIBLE

7. Discute y resuelve, en los casos en que sea posible, el sistema:

x + my + z = m + 2x + y + mz = 2m + 1

mx + y + z = m

SOLUCIN:

La matriz ampliada es A|b =1 m 11 1 mm 1 1

m + 22m + 1m

Si calculamos el determinante de la matriz de coeficientes:|A| = 1 + 1 + m3 m m m = m3 3m + 2 = 0

Para resolver esta ecuacin descomponemos en factores el polinomio pm = m3 3m + 2 yobtenemos

m3 3m + 2 = m + 2m 12



Las soluciones de la ecuacin m + 2m 12 = 0, son m = 2 y m = 1

Si m 2 y m 1 |A| 0 ranA = 3

ranA|b = 3SISTEMA COMPATIBLE

DETERMINADOLa solucin del sistema en este caso ser:

x =

m + 2 m 12m + 1 1 mm 1 1

m + 2m 12=

2m + m2 + m3m + 2m 12

=mm + 2m 1m + 2m 12

=m

m 1

y =

1 m + 2 11 2m + 1 mm m 1

m + 2m 12=

4 + 3m2 + m3m + 2m 12

=m 1m + 22

m + 2m 12=

m + 2m 1

z =

1 m m + 21 1 2m + 1m 1 m

m + 2m 12=

2m + 4 4m2 2m3m + 2m 12

=2m 1m + 2m + 1

m + 2m 12=

2m + 1m 1

Si m = 2La matriz ampliada es:

A|b =1 2 11 1 22 1 1

022

El rango de la matriz A tiene que ser menor de 3 (|A| = 0). Como el menor1 21 1

= 3 0, podemos afirmar que ranA = 2.

En cuanto al rango de la matriz ampliada, como1 2 01 1 22 1 2

= 0, tendremos que

ranA|b = 2

Por tantoranA = 2

ranA|b = 2SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO

Para encontrar la solucin en este caso, trabajamos con el sistema equivalente:

x 2y + z = 0x + y 2z = 2

Tomando a z como parmetro de la solucin z =



x 2y = x + y = 2 + 2

La solucin del sistema es:

x =

22 + 2 1

3 =3 + 4

3 =43 +

y =

1 1 2 + 2

3 =2 + 3

3 =23 +

z = Si m = 1

La matriz ampliada es:

A|b =1 1 11 1 11 1 1

341

Como las tres filas de la matriz A son proporcionales el ranA = 1.Como en la matriz ampliada hay dos columnas no proporcionales el ranA|b = 2Por tanto el sistema es INCOMPATIBLE.

8. Discute el siguiente sistema segn los valores de m y n

x + my z = m2x y + nz = n

SOLUCIN:La matriz del sistema es

A|b =1 m 12 1 n

mn

Si en la matriz A|b se anulan los menores1 m2 1

y1 12 n

el rango de A ser 1, y si

alguno de ellos es distinto de cero, el rango de A ser 2.Como

1 m2 1

= 1 2m = 0 m = 12

1 12 n

= n + 2 = 0 n = 2



Tendremos:

Si m = 12 y n = 2La matriz ampliada ser

A|b =1 12 1

2 1 2

12

2

El ranA = 1 (las dos filas de A son proporcionales)El ranA|b = 2 (las dos filas de la ampliada no son proporcionales, el menor1 122 2

0)

Luego SISTEMA INCOMPATIBLE Si m 12

En este caso, tanto si n = 2 como si n 2, tendremos que el ranA = 2El rango de la ampliada ser por tanto tambin ranA|b = 2Luego SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO

Si n 2En este caso, tanto si m = 12 como si m

12 , tendremos que el ranA = 2

El rango de la ampliada ser por tanto tambin ranA|b = 2Luego SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO

9. Dado el sistema homogneo

2x my + 4z = 0x + y + 7z = 0

mx y + 13z = 0

Calcula m para que tenga solucin distinta de la trivial. Resuelve el sistema para estosvalores de m.SOLUCIN:

10. Halla m para que el sistema lineal homogneo

y + 2z = 03y + z = 0my + z = 0

tenga soluciones distintas de la trivial y resuelve el sistema en ese caso.

SOLUCIN:La matriz ampliada es



A|b =1 23 1m 1

000

El rango de A es 2 (1 23 1

0) independientemente del valor de m

Por tanto, independientemente del valor del parmetro m, el sistema es siempre compatibledeterminado y la nica solucin es y = z = 0

11. Discute y resuelve, si es posible, el siguiente sistema:

2y z = a3x 2z = 11

y + z = 62x + y 4z = a


A|b =

0 2 13 0 20 1 12 1 4

a116a

Como0 2 13 0 20 1 1

= 9 0 ranA = 3

El rango de la ampliada depende de su determinante0 2 1 a3 0 2 110 1 1 62 1 4 a

= 2a 12 = 0 a = 6

Luego:

Si a = 6 ranA|b = 3 = ranA SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADOResolvemos en tal caso el sistema equivalente al inicial



2y z = 63x 2z = 11

y + z = 6

La solucin es:

x =

6 2 111 0 26 1 1

9 =459 = 5

y =

0 6 13 11 20 6 1

9 =369 = 4

z =

0 2 63 0 110 1 6

9 =189 = 2

Si a 6 ranA|b = 4ranA = 3

SISTEMA INCOMPATIBLE

12. Estudia, segn los valores de a, el siguiente sistema de ecuaciones:

ax + y + z = 1x + ay + z = 1x + y + az = 1

SOLUCIN:

13. Dado el sistema siguiente:

kx + 2z = 0ky z = k

x + 3y + z = 5

Halla los valores de k: Para que el sistema sea incompatible. Para que el sistema sea compatible indeterminado.

SOLUCIN:

14. Calcula el valor de a, para que el sistema homogneo que sigue admita otras solucionesdistintas de la trivial:



a.x + ay z = 0x 2y + z = 0

12x 3y 2z = 0

b.2x 5y + 3z = 0

x y + z = 03x + ay + z = 0

SOLUCIN:

15. Discute y resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

a.x + y + z = 1

x 2y + 3z = 2x + z = 5

b.x + y = 2x + 3y = 42x + 4y = 7

c.

x + y = 1x + z = 2

x + y + z + t = 4x + 2t = 1

4x + 2y + 2z + 3t = 8

d.x + y + z = 1x + 3y = 2

e.x + y + z = 0

x y = 0x + 3y + 2z = 0

SOLUCIN:a. SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO.

La solucin es x = 212 ,y = 4, z = 112

b. SISTEMA INCOMPATIBLEc. SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO

La solucin es x = 13 ,y =43 , z =

73 , t =

23

d. SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADOLa solucin es x = 1 32 ,y =

1 + 2 , z =

e. SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO



La solucin es x = 2 ,y =2 , z =

16. Discute en funcin de k y resuelve en los casos en que sea posible:

a.x y + 2z = 3

kx + 5y 4z = 13x + 2y z = 1

b.x + 2y + z = k + 2

x + y + kz = 2k + 1kx + y + z = k

c.kx + y + z = 1x + ky + z = kx + y + kz = k2

SOLUCIN:

17. Determina los valores de a y b que hacen compatible el sistema y calcula la solucin

x by + z = 0x + y z = 02x + y + z = 0

ax 2y 5z = 0

SOLUCIN:Como el sistema es homogneo, independientemente de a y de b es siempre compatibleLa matriz del sistema es

A|b =

1 b 11 1 12 1 1a 2 5

0000

Como el menor1 12 1

= 1 0, el rango de A|b depender de los dos menores 3x3 que

podemos formar orlando el menor anterior1 b 11 1 12 1 1

= 1 + 1 + 2b 2 + 1 + b = 3b + 1 = 0 b = 13



1 1 12 1 1a 2 5

= 5 + 4 + a + a + 2 + 10 = 2a + 11 = 0 a = 112

Si a = 112 y b = 13 ranA = 2 = ranA|b SISTEMA COMPATIBLE

INDETERMINADOResolvemos el sistema equivalente formado por la 2a y 3a ecuacin

x + y z = 02x + y + z = 0

z = x + y =

2x + y =

La solucin es:

x =

1 11 =

21 = 2

y =

1 2 1 =

31 = 3

z = Si a 112 b

13 ranA = 3 = ranA|b SISTEMA COMPATIBLE

DETERMINADOLa solucin es x = y = z = 0

1. Determina a para que el sistema sea compatible y calcula la solucin

2y z = a3x 2z = 11

y + z = 62x + y 4z = a

SOLUCIN:

2. Determina si el siguiente sistema es compatible o incompatible:

x + y = 5x + z = 6y + z = 7

x + y + 2z = 132x + y + z = 132x + y + z = 11




A|b =

1 1 01 0 10 1 11 1 22 1 12 1 1

567131311

El rango de la matriz A es 3 (1 1 01 0 10 1 1

0)

Para calcular el rango de la matriz ampliada, orlamos sucesivamente este menor con la 4acolumna y las filas 4a, 5a y 6a, hasta obtener un menor 4x4 distinto de cero:

1 1 0 51 0 1 60 1 1 71 1 2 13

=0

1 1 0 51 0 1 60 1 1 72 1 1 13

= 4 0

Como existe un menor 4x4 distinto de cero el rango de la matriz ampliada es 4.Por tanto el sistema es INCOMPATIBLE.

3. Discute y resuelve el sistema segn los valores de los parmetros

x + y = a3x y = a b

x y = 4


A|b =1 1 a3 1 a b1 1 4

El rango de A es 2 ya que sus dos columnas son linealmente independientes.



El rango de la matriz ampliada puede ser 3, depende del valor de su determinante|A|b| = 4 3a + a b + a + a b 12 = 2b 16 = 0 b = 8

Si b 8 ranA|b = 3Como el rango de A es 2 el sistema ser INCOMPATIBLE

Si b = 8 ranA|b = 2Como el rango de A es 2 el sistema ser COMPATIBLE DETERMINADOResolvemos el sistema equivalente

x + y = ax y = 4

x + y = a2y = a 4

y = a2 2

x = a y = a a2 2 =a2 + 2

La solucin es:x = a2 + 2

y = a2 2

4. Dado el sistema de ecuaciones lineales

x + y = 1ty + z = 0

x + 1 + ty + tz = t + 1

Determina t de modo que:a. El sistema tenga solucin nicab. El sistema tenga infinitas solucionesc. El sistema no tenga solucinSOLUCIN:

5. Discute en funcin de los parmetros ,,v, el sistema de ecuacionesx + y = 1y + z = 1vx + vz = 1


A|b = 00 0

111

Si calculamos el determinante de A tendremos:



|A| = + = 2

Si 0 y 0 y 0 |A| 0 ranA = 3En tal caso ser tambin ranA|b = 3Luego SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO

Si alguno de los parmetros vale 0, tendremos una ecuacin del tipo 0 = 1 luego SISTEMAINCOMPATIBLE

6. Discute y resuelve cuando sea posible el sistemaax y + z = 2x + ay z = 1

x z = 0SOLUCIN:


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