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1
Unidad 2. Determinantes BACHILLERATOMatemáticas II
Resuelve
Página 63
Determinantes de orden 2
■ Resuelve los siguientes sistemas y calcula el determinante de cada matriz de coeficientes:
a) x yx y
2 3 293 5–
+ ==
* b) x yx y
5 3 810 6 16
–– –
=+ =
* c) x yx y
4 175 2 19
+ =+ =
*
d) x yx y
9 6 76 4 11
––
=+ =
* e) x yx y
18 24 615 20 5
+ =+ =
* f ) x yx y
3 11 1288 7 46–
+ ==
*
a) x yx y
2 3 293 5–
+ ==4 2
331– = –11 ≠ 0 Solución: x = 4, y = 7
b) x yx y
5 3 810 6 16
–– –
=+ =
4 510
36––
= 0 Solución: x = 58
53+ λ, y = λ
c) x yx y
4 175 2 19
+ =+ =
4 45
12 = 3 ≠ 0 Solución: x = 5, y = –3
d) x yx y
9 6 76 4 11
––
=+ =
4 96
64–
– = 0 Sistema incompatible
e) x yx y
18 24 615 20 5
+ =+ =
4 1815
2420 = 0 Solución: x =
31
34– λ, y = λ
f ) x yx y
3 11 1288 7 46–
+ ==
4 38
117– = –109 ≠ 0 Solución: x =
1091 402 , y =
109886
BACHILLERATOUnidad 2. Determinantes
2
Matemáticas II
1 Determinantes de orden dos
Página 64
1 Siendo A una matriz 2 × 2, justifica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
a) Para que | A | = 0 es necesario que sus cuatro elementos sean 0.
b) Si los dos elementos de la segunda columna de A son 0, entonces | A | = 0.
c) Si las dos filas de A coinciden, entonces | A | = 0.
d) Si ac
bd = –15, entonces
ca
db = 15.
e) Si mn
37 = 43, entonces
mn
3070 = 430.
a) Falso, 11
00 = 0
b) Verdadero, porque en los dos sumandos del determinante aparece algún elemento de la segunda fila.
c) Verdadero, A = aa
aa
11
11
12
12f p → | A | = a11a12 – a11a12 = 0
d) Verdadero, ( ) ( )ca
db cb ad ad cb
ac
bd 15 15– – – – – –= = = = =
e) Verdadero, ( ) ·mn m n m n
mn
3070 70 30 10 7 3 10
37 10 43 430– –= = = = =
2 Calcula el valor de los siguientes determinantes y di por qué son cero algunos de ellos:
a) 134
62 b)
134
62– c)
111
00
d) 77
22
–– e)
321
1177 f )
14060
73
––
a) 134
62 = 2
b) 134
62– = –50
c) 111
00 = 0, porque tiene una columna de ceros.
d) 77
22
–– = 0, porque tiene sus dos filas iguales.
e) 321
1177 = 0, porque sus filas son proporcionales: (1.ª) · 7 = (2.ª)
f ) 14060
73
–– = 0, porque sus dos columnas son proporcionales: (2.ª) · (–20) = (1.ª)
BACHILLERATOUnidad 2. Determinantes
3
Matemáticas II
3 Sean A = ln
mp
f p y | A | = –13. Calcula:
a) nl
pm b)
ln
mp7 7 c) |3A | d)
nl
pm
33
55
a) n
l
p
mln
mp–= = –(–13) = 13
b) ·ln
mp
ln
mp7 7 7= = 7 · (–13) = –91
c) | 3A | = · ·ln
mp
ln
mp
33
33 3 3= = 9 · (–13) = –117
d) · · ( ) · ·n
l
p
m
n
l
p
mln
mp
33
55
3 5 1 15–= = = (–15) · (–13) = 195
BACHILLERATOUnidad 2. Determinantes
4
Matemáticas II
2 Determinantes de orden tres
Página 65
1 Calcula los siguientes determinantes:
a) 509
136
468
b) 91
0
012
301
–
a) 509
136
468
114–= b) 910
012
301
3– =
2 Halla el valor de estos determinantes:
a) 013
420
111
– b)
1000
47100
599110
a) 013
420
111
14–
= b) 1000
47100
599110
1000=
Página 67
3 Dados los determinantes
A = 583
416
999
B = 583
416
173–
C = 583
416
208
18
justifica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
a) A = 0 porque su tercera columna es suma de las dos primeras.
b) B = 0 porque su tercera columna es diferencia de las dos primeras.
c) C = 0 porque su tercera columna es producto de las dos primeras.
a) Verdadero por la propiedad 9 de los determinantes. Si una matriz tiene una línea que es combinación lineal de las demás paralelas, entonces su determinante es cero.
b) Verdadero por la propiedad 9 de los determinantes. Si una matriz tiene una línea que es combinación lineal de las demás paralelas, entonces su determinante es cero.
c) Falso, porque el producto de dos líneas no es una combinación lineal de ellas.
4 Justifica, sin desarrollar, estas igualdades:
a) 301
10
11
704
0–
= b) 428
192
7114
0– – –
= c) 72
27
49
94
17
710=
a) Tiene una fila de ceros (propiedad 2).
b) La 3.ª fila es proporcional a la 1.ª:
(3.ª) = (–2) · (1.ª) (propiedad 6)
c) La 3.ª fila es combinación lineal de las dos primeras:
(3.ª) = (1.ª) + 10 · (2.ª) (propiedad 9)
BACHILLERATOUnidad 2. Determinantes
5
Matemáticas II
5 Sabiendo que x y z51
01
31
1= , calcula sin desarrollar los siguientes determinantes:
a) x y z3
51
301
331
b) /x y z5
11
501
53 51
c) x
xx
yy
y
zzz
2 51
21
2 31
++ +
++
a) x y z x y z3
51
301
331
3 51
01
31
= = 3 · 1 = 3
b) /x y z5
11
501
53 51
= 5 · 51
x y z
51
01
31
= 1 · 1 = 1
c) x
xx
yy
y
zzz
2 51
21
2 31
++ +
++
= x y z
51
01
31
= 1
BACHILLERATOUnidad 2. Determinantes
6
Matemáticas II
3 Determinantes de orden cualquiera
Página 69
1 ¿Verdadero o falso?
En una matriz A, 4 × 4, sus 16 elementos son números positivos. Entonces:
a) En el desarrollo de | A | hay 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24 sumandos, todos positivos.
b) En el desarrollo de | A | hay 12 sumandos positivos y 12 negativos.
c) | A | es, con seguridad, un número positivo.
d) | –A | = | A |.
a) Falso, hay sumandos que corresponden a permutaciones impares, por lo tanto son negativos.b) Verdadero, porque podemos conseguir todas las permutaciones cambiando una vez por cada su-
mando dos elementos entre sí, es decir, pasando de permutación par a impar. Luego la mitad de las permutaciones son pares y la mitad impares, por tanto, hay 12 sumandos positivos y 12 negativos.
c) Falso, los sumandos con signo menos pueden sumar un número mayor que los sumandos con signo negativo.
d) Verdadero, porque usando la propiedad 5: “Si multiplicamos por el mismo número todos los elemen-tos de una línea (fila o columna) de una matriz cuadrada, su determinante queda multiplicado por ese número”.
| –A | = (–1)4 | A | = | A |
2 a) ¿Cuántos sumandos tiene el desarrollo del determinante | aij | de orden 5?
b) Comprueba que el producto a41 · a32 · a55 · a24 · a13 es uno de ellos. ¿Qué signo le corresponde?
a) Tiene 5! = 120 sumandosb) Es uno de los sumandos, porque en él aparece un elemento de cada fila y uno de cada columna. Para ver el signo que le corresponde, ordenamos los cinco factores por los índices de sus filas: a13 · a24 · a32 · a41 · a55
Los índices de las columnas son (3, 4, 2, 1, 5), que es una permutación de (1, 2, 3, 4, 5). Contamos sus inversiones: 3 está en inversión con 2 y 1 4 está en inversión con 2 y 1 2 está en inversión con 1 En total hay 5 inversiones, impar. Le corresponde el signo –.
3 Calcula el valor de los siguientes determinantes:
a)
4120
3146
141
2
279
3654
– b)
12
6126
04
7047
10
4104
03
1031
c)
4000
0003
0800
0010–
d)
1473
011
1
0014
0001
–– e)
6003
0800
0040
0500
a)
4120
3146
1412
2793654
– = 0, porque la última columna es nueve veces la segunda.
b)
12
6126
04
7047
10
4104
03
1031
= 0, porque la tercera fila es F3 = 100F4 + 10F1 + F2.
BACHILLERATOUnidad 2. Determinantes
7
Matemáticas II
c)
4000
0003
0800
0010–
En cada fila y en cada columna solo hay un elemento distinto de cero. Por tanto, de los 4! = 24 su-mandos solo uno de ellos es distinto de cero (pues en los restantes hay algún factor 0):
4 · (–3) · 8 · 1 = –96
Vemos qué signo le corresponde. Se trata del producto a11 · a24 · a32 · a43.
Los índices de las columnas son (1, 4, 2, 3), que es una permutación de (1, 2, 3, 4). Al contar sus inversiones, vemos que 4 está en inversión con 2 y 3.
En total hay 2 inversiones, par. Le corresponde signo +, es decir, mantiene el mismo valor.
4000
0003
0800
0010–
= –96
d)
1473
0111
0014
0001
––
El único sumando que no tiene ningún cero es: a11 · a22 · a33 · a44 = –1
Los índices de las columnas son (1, 2, 3, 4), que tiene 0 inversiones, luego:
1473
0111
0014
0001
–– = –1
e)
6003
0800
0040
0500
= 0, porque la primera fila es el doble de la cuarta.
4 Justifica que la regla de Sarrus para el cálculo de determinantes de orden 3 se ajusta a la definición general de determinante.
Sí, porque:
— En cada producto hay un factor de cada fila y uno de cada columna.
— Están todos los posibles productos con un factor de cada fila y uno de cada columna.
— La mitad de los sumandos tienen signo +, y la otra mitad signo –.
Comprobamos que los signos corresponden a la paridad de la permutación:
a11 · a22 · a33 par: signo +
a12 · a23 · a31 par: signo +
a13 · a21 · a32 par: signo +
a13 · a22 · a31 impar: signo –
a12 · a21 · a33 impar: signo –
a11 · a23 · a32 impar: signo –
BACHILLERATOUnidad 2. Determinantes
8
Matemáticas II
4 Menor complementario y adjunto
Página 70
1 Halla dos menores de orden dos y otros dos menores de orden tres de la matriz M.
M =
24540
361
10
12213
57654
–
–
f pMenores de orden dos; por ejemplo:
M =
24540
36110
12213
57654
–
–
f p ,24
36 0
21
65 4= =
Menores de orden tres; por ejemplo:
M =
24540
36110
12213
57654
–
–
f p ,245
361
122
68110
213
654
21–
– –= =
2 Halla el menor complementario y el adjunto de los elementos a12, a33 y a43.
A =
0214
21
16
4325
6537
–f p
α12 = 214
325
537
= –2; A12 = (–1)(1 + 2) · α12 = –1 · (–2) = 2
α33 = 024
216
657
– = 108; A33 = (–1)(3 + 3) · α33 = 1 · 108 = 108
α43 = 021
211
653
– = 16; A43 = (–1)(4 + 3) · α43 = –1 · 16 = –16
BACHILLERATOUnidad 2. Determinantes
9
Matemáticas II
5 Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea
Página 72
1 Calcula el siguiente determinante aplicando la regla de Sarrus y desarrollándolo por cada una de sus filas y cada una de sus columnas:
35
9
728
164
––
Comprueba que se obtiene el mismo resultado en los siete casos.
Aplicando la regla de Sarrus:
359
728
164
––
= 3 · 2 · 4 + (–5) · 8 · (–1) + 7 · 6 · 9 – (–1) · 2 · 9 – 6 · 8 · 3 – 7 · (–5) · 4 = 456
Desarrollando por la 1.ª fila:
359
728
164
––
= 3 28
64 7
59
64 1
59
28–
––
– = 3 · (– 40) – 7 · (–74) – 1 · (–58) = –120 + 518 + 58 = 456
Desarrollando por la 2.ª fila:
359
728
164
––
= 5 78
14 2
39
14 6
39
78
– ––+ = 5 · 36 + 2 · 21 – 6 · (–39) = 180 + 42 + 234 = 456
Desarrollando por la 3.ª fila:
359
728
164
––
= 9 72
16 8
35
16 4
35
72
–– –
––+ = 9 · 44 – 8 · 13 + 4 · 41 = 396 – 104 + 164 = 456
Desarrollando por la 1.ª columna:
359
728
164
––
= 3 28
64 5
78
14 9
72
16
– –+ + = 3 · (– 40) + 5 · 36 + 9 · 44 = –120 + 180 + 396 = 456
Desarrollando por la 2.ª columna:
359
728
164
––
= –7 59
64 2
39
14 8
35
16
– –– –
–+ = –7 · (–74) + 2 · 21 – 8 · 13 = 518 + 42 – 104 = 456
Desarrollando por la 3.ª columna:
359
728
164
––
= –1 59
28 6
39
78 4
35
72
–– –+ = –1 · (–58) – 6 · (–39) + 4 · 41 = 58 + 234 + 164 = 456
BACHILLERATOUnidad 2. Determinantes
10
Matemáticas II
2 Dada esta matriz:
35
9
728
164
––
f pa) Halla la suma de los productos de cada elemento de la 1.ª fila por el correspondiente adjunto de
la 3.ª fila.
b) Halla la suma de los productos de cada elemento de la 3.ª columna por el adjunto de los corres-pondientes elementos de la 2.ª columna.
c) Justifica por qué los dos resultados anteriores son cero.
a) a11 · A31 + a12 · A32 + a13 · A33 = 3 · 72
16–
+ 7 · (–1) · 35
16––
– 1 · 35
72– =
= 3 · 44 – 7 · 13 – 1 · 41 = 132 – 91 – 41 = 0
b) a13 · A12 + a23 · A22 + a33 · A32 = –1 · (–1) · 59
64
– + 6 ·
39
14–
+ 4 · (–1) · 35
16––
=
= 1 · (–74) + 6 · 21 – 4 · 13 = –74 + 126 – 52 = 0
c) Por la propiedad 12.
3 Calcula los siguientes determinantes:
a)
7431
0070
3461
4799
–
b)
3102
1430
11
20
3452
––
c)
0120
0102
3130
4051
d)
3508
1616
4237
0001
–
a)
7431
0070
3461
4799
–
=(1) –7 741
341
479
– = –7 · 290 = –2 030
(1) Desarrollando por la 2.a columna.
b)
3102
1430
1120
3452
––
=(1) –2 143
112
345
2310
143
112
––
––+ = –2 · 28 + 2 · 28 = 0
(1) Desarrollando por la 4.a fila. También podríamos haber observado que la 4.a columna es igual a la suma de las otras tres; y, por
tanto, el determinante vale cero.
c)
0120
0102
3130
4051
=(1) 120
102
051
4120
102
130
– = 3 · (–12) – 4 · (–2) = –36 + 8 = –28
(1) Desarrollando por la 1.a fila.
d)
3508
1616
4237
0001
–
=(1) 350
161
423
– = 83
(1) Desarrollando por la 4.a columna.
BACHILLERATOUnidad 2. Determinantes
11
Matemáticas II
6 Método para calcular determinantes de orden cualquiera
Página 73
1 Calcula los siguientes determinantes:
a)
4226
25
02
7348
163
0
–– b)
3415
5751
2830
227126
–
c)
10132
20013
011
01
31
200
43112– –
–
–
– d)
032
0
0014
1102
2031
––
a)
4226
2502
7348
1630
–– =
columnas(1.ª) – 3 · (2.ª)
(2.ª)
(3.ª) – 4 · (2.ª)
(4.ª)
21720
2502
12340
1630
––
–
– =(1) 2 · 2
172
1234
163
– –
– = 2 · 145 = 290
(1) Desarrollando por la 4.ª fila.
b)
3415
5751
2830
227126
–
=
columnas(1.ª) – 5 · (2.ª)
(2.ª)
(3.ª)
(4.ª) – 6 · (2.ª)
2831240
5751
2830
3215180
––
––– =(1)
283124
283
321518
––
––
= 0
(1) Desarrollando por la 4.ª fila.
c)
10132
20013
01101
31200
43112– –
–
–
– =
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) + (2.ª)
(4.ª)
(5.ª) + (2.ª)
filas
10132
20013
01000
31101
43415– –
–
–
= –
1132
2013
3101
4415– – –
=
=
filas(1.ª) – 3 · (2.ª)
(2.ª)
(3.ª)
(4.ª) + (2.ª)
–
2131
2013
0100
8419
–
– –
–
= 231
213
819
–
– –
– = –16
d)
0320
0014
1102
2031
––
=
filas(1.ª)
(2.ª)
(3.ª)
4 · (3.ª) + (4.ª)
0328
0010
1102
20313
038
112
2013
––
––
= =
= (1.ª)
(2.ª)
(–2) · (2.ª) + (3.ª)
columnas
– 038
112
029
38
29
–– –
–= = 27 – 16 = 11
BACHILLERATOUnidad 2. Determinantes
12
Matemáticas II
7 El rango de una matriz a partir de sus menores
Página 75
1 Calcula el rango de las siguientes matrices:
A =
1347
21
10
3033
0112
1101
4268
––
f p B =
426
12
235
10
1236
56
1223
358
16
f p C =
1101
01
01
0200
1100
1010
––
f p D =
2571
1120
033
2
178
2
––
–––f p
A =
1347
2110
3033
0112
1101
4268
––
f pTomamos el menor de orden 2:
13
21– = –7 ≠ 0. Las dos primeras filas son linealmente independientes.
La 3.ª fila es la suma de las dos primeras, y la 4.ª fila es la suma de la 2.ª y la 3.ª → ran (A ) = 2.
B =
42612
23510
1236
561223
35816
f pTomamos el menor de orden 2:
42
23 = 8 ≠ 0. Las dos primeras filas son linealmente independientes.
Tomamos menores de orden 3: 426
235
5612
= 8 ≠ 0 → Las 3 primeras filas son linealmente indepen-dientes.
Tomamos menores de orden 4:
42612
235
10
1236
561223
= 0 y
42612
23510
561223
35816
= 0 → ran (B ) = 3.
C =
1101
0101
0200
1100
1010
––
f pTomamos el menor de orden 2:
11
10–
= 1 ≠ 0. Las dos primeras filas son linealmente independientes.
Como 020
110
101
02
11
–= = –2 ≠ 0, y
0101
0200
1100
1010
020
110
101
––
––
= , entonces ran (C ) = 4.
D =
2571
1120
0332
178
2
––
–––f p
Tomamos el menor de orden 2: 25
11 = –3 ≠ 0. Las dos primeras filas son linealmente independientes.
Como 251
110
032– = –9 ≠ 0 y la 3.ª fila es la suma de las dos primeras, entonces ran (D ) = 3.
BACHILLERATOUnidad 2. Determinantes
13
Matemáticas II
8 Otro método para conseguir la inversa de una matriz
Página 78
1 Calcula la inversa de cada una de las siguientes matrices:
A = 112
105
133
––
– –
–f p B =
21
12
––
e o
Calculamos la inversa de la matriz A: | A | = –1 ≠ 0 → existe A –1
αij ⎯⎯→ Adj (A ) ⎯⎯→ (Adj (A ))t ⎯⎯→ A –1 = | |A1 (Adj (A ))t
8 8 8 A1583
952
531
1583
952
531
1595
853
321
1595
853
321
–
––
–
–
–––
–––
–––
–––
–––
–––
1–=f f f fp p p p
Calculamos la inversa de la matriz B: | B | = –3 ≠ 0 → existe B –1
αij ⎯⎯→ Adj (B ) ⎯⎯→ (Adj (B ))t ⎯⎯→ B –1 = | |B1 (Adj (B ))t
8 8 8 B21
12
21
12
21
12 3
1 21
12
––
– – ––
– ––
1–=e e e eo o o o
2 Calcula la inversa de estas matrices:
A =
1003
2122
3230
1011
–
–
– –
f p B =
1000
1100
0110
0011
f pCalculamos la inversa de la matriz A: | A | = –5 ≠ 0 →existe A –1
αij ⎯⎯→ Adj (A ) ⎯⎯→ (Adj (A ))t ⎯⎯→ A –1 = | |A1 (Adj (A ))t
8 8 8 A
5050
6382
3441
3611
5050
638
2
34
41
3611
56
33
034
6
58
41
0211
51
56
33
034
6
58
41
0211
–
–
–
–
–
–
–
––
–––
––
–
––
–––
–
––
–
––
–––
1–=f f f fp p p pCalculamos la inversa de la matriz B: | B | = 1 ≠ 0 → existe B –1
αij ⎯⎯→ Adj (B ) ⎯⎯→ (Adj (B ))t ⎯⎯→ B –1 = | |B1 (Adj (B ))t
8 8 8 B
1111
0111
0011
0001
1111
0111
0011
0001
1000
1100
1110
1111
1000
1100
1110
1111
–
––
–
––
–
–
––
–
–1–=f f f fp p p p
BACHILLERATOUnidad 2. Determinantes
14
Matemáticas II
Ejercicios y problemas resueltos
Página 79
1. Cálculo de un determinante de orden 4
Hazlo tú. Calcula el valor de este determinante en función del parámetro a:a
aaa
aa
aa
aaa
a
aaaa
22
22
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
a
22
22
2111
1211
1121
1112
4=
Sumamos las filas 2.ª, 3.ª y 4.ª a la 1.ª:
a a
5111
5211
5121
5112
5
1111
1211
1121
1112
4 4=
(1.ª)
(2.ª) – (1.ª)
(3.ª) – (1.ª)
(4.ª) – (1.ª)
= a a5
1000
1100
1010
1001
54 4=
El valor del último determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal principal, por corres-ponder a una matriz triangular.
2. Propiedades de los determinantes
Hazlo tú. Si apx
bqy
crz
= 7, calcula el valor de estos determinantes sin desarrollarlos:
a) a x
px p
b yq
y q
c zr
z r
2
2
2
2
2
2
+
+
+
+
+
+ b)
bqy
c br qz y
apx
555
–––
+++
a) a x
p
x p
b y
q
y q
c z
r
z r
2
2
2
2
2
2
+
+
+
+
+
+
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (2.ª)
= a x
p
x
b y
q
y
c z
r
z
2
2
2
2
2
2
+ + + =
= 2 a x
p
x
b y
q
y
c z
r
z
2 2 2+ + +
(1.ª) – 2 · (3.ª)
(2.ª)
(3.ª)
= 2 ap
x
bq
y
cr
z
= 14
b) bq
y
c br q
z y
ap
x
555
–––
+++
= 5 bq
y
c br q
z y
ap
x
bq
y
c br q
z y
ap
x
5–––
–+++
=+++
=(*) –5 bq
y
cr
z
ap
x
=(**) –5 ap
x
bq
y
cr
z
= –35
(*) 2.ª columna – 1.ª.
(**) Permutamos la 3.ª columna por la 2.ª y luego, la 2.ª columna por la 1.ª.
BACHILLERATOUnidad 2. Determinantes
15
Matemáticas II
3. Resolver una ecuación
Hazlo tú. Comprueba, sin calcular el valor del determinante, que la siguiente ecuación tiene tres soluciones:
xxx
1 1248
13
927
14
1664
0–
2
3
=
Esta ecuación es de grado 3, tiene como máximo 3 soluciones y tiene un número impar de soluciones reales.
x
x
x
1 1248
13927
141664
–2
3
columnas(1.ª)
(2.ª) – (1.ª)
(3.ª) – (1.ª)
(4.ª) – (1.ª)
= x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
1 0248
03
927
04
1664
–––
– –––
–––
2
3
2
3
2
3
2
3
=
= (2 – x)(4 – x) x
x
x
x
x x
x
x
x
x
x x
1 01
22 4
03
927
01
44 16
– –––
2
3 2
2
3 2+
+ ++
+ +
columnas(1.ª)
(2.ª)
(3.ª)
(4.ª) – (2.ª)
=
= (2 – x)(4 – x) x
x
x
x
x x
x
x
x x
1 01
22 4
03
927
002
2 12
0– –
––
2
3 2
2
3+
+ + +
=
Esta ecuación tiene al menos dos soluciones, por tanto tiene tres soluciones.
Página 80
4. Demostrar una igualdad
Hazlo tú. Demuestra que existe una matriz cuadrada A, de orden 2, simétrica y con | A | = –7 que verifica:
A 21
63
41
123– –
– –=e eo o
A = ab
bc
e o
ab
bc
21
63
41
123– –
– –=e e eo o o
a bb c
a bb c
22
6 36 3
41
123
––
––
– –=f ep o
, ,8 l l la bb c a b c
2 42 1 4
72
1– ––
–== = = + =3
| A | = l l l 8 l 8 A4
72
1 7 312
23
– – ––2+ = = =c em o
BACHILLERATOUnidad 2. Determinantes
16
Matemáticas II
5. Estudio del rango de una matriz que depende de un parámetro
Hazlo tú. Estudia el rango de las siguientes matrices según los valores del parámetro k :
a) M = k
k13 6
4
39
6
264
––
––
–
–f p b) N =
k
k
1012
1100
0123
5
3
–
––
f pa) El menor formado por las tres primeras columnas es:
k
k13 6
4
396
––
–– = 9k 2 – 36k + 36
9k 2 – 36k + 36 = 0 → k = 2 •Sik ≠ 2 → ran (M ) = 3 •Sik = 2 → ran (M ) < 3, porque la 3.ª y la 4.ª columnas son proporcionales.
Para k = 2: M = 132
264
396
264
––
––
–
–f p
Todas las columnas son porporcionales, luego ran (M ) = 1
b) 101
110
012
–
– = –3 ≠ 0 → ran (M ) ≥ 3
k
k
1012
1100
0123
5
3
–
––
= 20 – 2k
20 – 2k = 0 → k = 10 •Sik ≠ 10 → ran (M ) = 4 •Sik = 10 → ran (M ) = 3
Página 81
6. Propiedades de los determinantes y rango de una matriz
Hazlo tú. Si A y B son dos matrices cuadradas de orden 2, tales que ran (A) = 2 y ran (B ) = 1, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?:
a) ran (A + B ) = 3
b) ran (A + B ) ≤ 2
c) ran (A + B ) > 1
a) Falsa, porque A + B tiene dimensión 2 × 2, no tiene 3 filas ni 3 columnas.b) Verdadera, porque A + B tiene dimensión 2 × 2.c) Falsa:
A = 10
11–e o → ran (A ) = 2 B =
10
10
–e o → ran (B ) = 1
A + B = 10
11
10
10
00
01
– –+ =e e eo o o → ran (A + B ) = 1
BACHILLERATOUnidad 2. Determinantes
17
Matemáticas II
7. Cálculo de la matriz inversa
Hazlo tú. Dada esta matriz:
A = aa
104
0
1
13
–
–f p
a) Halla los valores de a para los cuales A es regular.
b) Para a = 2, halla la matriz inversa de A.
a) | A | = aa
104
0
1
13–
– = –a 2 + 4a – 3
–a 2 + 4a – 3 = 0 → a = 3, a = 1
A es regular para a ≠ 3 y a ≠ 1.
b) a = 2:
| A | = 1
A = 8 8 8 A104
021
131
712
1223
812
712
1223
812
712
8
121
232
–
–
– – – ––
–
––
–
–
–
–– 1–=f f f fp p p p
BACHILLERATOUnidad 2. Determinantes
18
Matemáticas II
Ejercicios y problemas guiados
Página 82
1. Propiedades de los determinantesSi c1, c2 y c3 son las columnas 1.ª, 2.ª y 3.ª de una matriz cuadrada de orden 3 tal que |c1 c2 c3 | = 7, calcular:
a) |c3 c1 c2 | b) | 3c1 c2 + c1 – c3 | c) |c1 + 2c3 c2 2c3 – c1 |
a) | c3 c1 c2 | = (–1)2 | c1 c2 c3 | = 7
b) | 3c1 c2 + c1 –c3 | = 3(–1) | c1 c2 + c1 c3 | = –3 | c1 c2 c3 | = –21
c) | c1 + 2c3 c2 2c3 – c1 | = | c1 c2 + c1 4c3 | = 4 | c1 c2 + c1 c3 | = 28
2. Resolver una ecuación con un determinanteEstudiar, según los valores de a, el número de soluciones reales que tiene la siguiente ecuación:
xaaa
axaa
aaxa
aaax
2
2
2
2
= 0
x a
x a
x a
x a
a
x
a
a
a
a
x
a
a
a
a
x
3333
0
2
2
2
2
2
2
2
++++
= → (x 2 + 3a)
axaa
aaxa
aaax
1111
02
2
2
= → (x 2 + 3a)
ax a
a
x a
a
x a
1000
00
0
0
00
––
–
2
2
2
= 0
(x 2 + 3a)(x 2 – a)3 = 0• Sia = 0 → x 8 = 0 → x = 0• Sia > 0 → (x 2 + 3a) = 0, no tiene solución → (x 2 – a)3 = 0 → x = – a , x = a• Sia < 0 → (x 2 – a)3 = 0, no tiene solución → (x 2 + 3a) = 0 → x = – a3– , x = a3–
3. Determinar los elementos de una matrizDadas las siguientes matrices:
A = 20
11
e o B = ba
c2
23–
+e o
determinar los valores de a, b y c de modo que | B | = 8 y AB = BA.
| B | = ba
c2
23–
+ = 3b – 2a + 2c – ab + 6 = 8
ba
c ba
c20
11
22
3 22
3 20
11
– –+ = +
e e e eo o o o
bb
a cc b
ab c
62
2 6 42 4
12
– –++
+= + + +
e eo o
8ba c a
c b cb
6 42 6 1
22– – –
+ =+ =
= + +=4
, ,8 8 8ba c ab a c ab
ba c
a c a
ba cc
a b c2
2 6 13 2 2 6 8
25
6 2 2 2 6 8
25
2 81 2 4
–– –
– –
–
– –
––
=+ =
+ + =
=+ =
+ + + =
=+ ==
= = =4 4 4
BACHILLERATOUnidad 2. Determinantes
19
Matemáticas II
4. Rango de una matriz que depende de dos parámetros
Estudiar el rango de esta matriz:
B = fa
b11
1
11
102
22
–– –
–p
ran (B ) ≤ 3
a
111
11
102
–– –
= a + 1
Si a ≠ –1 → ran (B ) = 3
b1
11
102
22
––
– = –2b – 4
Si b ≠ –2 → ran (B ) = 3
Si a = –1 y b = 3 → ran (B ) = 2
5. Resolver una ecuación matricial
Dada la matriz A = fm
m2
01
01
0
0
–
–p:
a) Calcular los valores de m para los que A tiene inversa.
b) Para m = 1, calcular la matriz X que verifica XA + X – 2A = 0.
a) m
m201
01
0
0
–
– = m 2 – 2m
m 2 – 2m = 0 → m = 0, m = 2
Si m ≠ 0 y m ≠ 2 → A tiene inversa.
b) XA + X – 2A = 0 → X (A + I ) = 2A → X = 2A (A + I )–1
Para comprobar que este paso es válido, veamos si (A + I )–1 existe.
A + I = 201
101
010
100
010
001
101
111
011
–
–
–
–+ =f f fp p p
| A + I | = –1, luego tiene inversa.
(A + I )–1 = 211
110
111
––
––f p
X = 22
01
101
010
211
110
111
622
200
220
–
–
––
––
–
–=f f fp p p
BACHILLERATOUnidad 2. Determinantes
20
Matemáticas II
Ejercicios y problemas propuestos
Página 83
Para practicar
Determinantes. Propiedades
1 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) a
311
411
51–
–
– = 0 b)
a
aa
10
1
16
2
130
–
–
–+ = 0 c)
a
202
123
122
= 0 d) a
aa
111
12
1
2
+ = 0
a) a
311
411
51–
–
– = 7 – 7a = 0 → a = 1
b) a
aa
10
1
16
2
130
–
–
–+ = a 2 + 2a – 3 = 0 → a = 1, a = –3
c) a
202
123
122
= 4a 2 – 12 = 0 → a = 3 , a = – 3
d) a
aa
111
12
1
2
+ = –a 3 – a 2 + 6a = 0 → a = –3, a = 0, a = 2
2 Halla el valor de los siguientes determinantes de orden 4:
a)
1040
0306
2000
0051
b)
2345
1102
3132
1011
–
–
a)
1040
0306
2000
0051
=(1) 2 040
306
051
= 2 · (–12) = –24
(1) Desarrollamos por la 3.ª columna.
b)
2345
1102
3132
10
11
–
–
=
filas(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (1.ª)
(4.ª) – (1.ª)
2323
1111
3161
1000
–
–
=(1) 0
(1) El determinante se anula, puesto que tiene dos filas iguales.
BACHILLERATOUnidad 2. Determinantes
21
Matemáticas II
3 Calcula el valor de los siguientes determinantes:
a)
1223
0341
1225
22
13
––
–
b)
1232
1111
2347
0130
–
c)
1213
2124
3241
4152
d)
1207
3258
21
109
1342
––––
–
–
a)
1223
0341
1225
2213
––
–
= –72 b)
1232
1111
2347
0130
–
= –18
c)
1213
2124
3241
4152
= 0 d)
1207
3258
21109
1342
––––
–
–
= 938
4 Si mp
nq = –5, ¿cuál es el valor de cada uno de los siguientes determinantes? Justifica las respues-
tas:
a) m n
np q
q3 3+ +
b) pq
mn c)
nq
mp
33
––
d) pq
mn
22 e)
/mp
n mmq
1 f )
mp
mp
55
a) m n
n
p q
q
3 3+ +
( )1=
m
n
p
q
( )2=
mp
nq = –5
b) p
q
m
n
p
m
q
nmp
nq–
( ) ( )2 3= = = –(–5) = 5
c) nq
mp
nq
mp
mp
nq
33 3 3
–– –
( ) ( )4 3= = = 3 · (–5) = –15
d) p
q
m
n
p
q
m
n
p
m
q
nmp
nq
22
2 2 2–( ) ( ) ( )4 2 3= = = = –2 · (–5) = 10
e) /
mpn mmq m
mmp
nq
mp
nq
1 1 ·( )4= = = –5
f ) mp
mp
55 = 0, pues las dos columnas son proporcionales.
(1) Si a una fila le sumamos otra multiplicada por un número, el determinante no varía.
(2) El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta.
(3) Si cambiamos de orden dos filas o dos columnas, el determinante cambia de signo.
(4) Si multiplicamos una fila o una columna por un número, el determinante queda multiplicado por ese número.
BACHILLERATOUnidad 2. Determinantes
22
Matemáticas II
5 Sustituye los puntos suspensivos por los números adecuados para que se verifiquen las siguientes igualdades:
a) 35
73
23
73
73– –
…… –= + b)
42
30
62
10 2 0
– – … …= +
a) 35
73
23
73
73
12– – –= + b)
42
30
62
10 2 0
10 4– – –= +
6 Sabiendo que ax
by
cz
1 1 1 = 5, calcula el valor de los siguientes determinantes:
a) / / /
ax
by
cz
17
2
17
2
17
2+ + + b) c a
z xb cy z
cz
0 0 1––
––
c) x
a xx
yb y
y
zc z
z
12
2
12
2
12
2
– – –+ + +
a) / / / / / / / / /
ax
by
cz
ax
by
cz x y z
ax
by
cz
17
2
17
2
17
2
1
2
1
2
1
2
172
172
172
21
1 1 10
21 5
25·
( ) ( )1 2+ + + = + = + = =
(1) Descomponemos el determinante en suma de dos.
(2) Sacamos 21 factor común de la 3.ª fila. El 2.° determinante es 0, pues las dos primeras filas son
proporcionales.
b) c az x
b cy z
cz
0 0 1––
––
= (1.ª) – (3.ª)
(2.ª) + (3.ª)
(3.ª)
columnas
ax
by
cz
ax
by
cz
1 1 1 1 1 15
–––
– –( )1= =
(1) Sacamos –1 factor común de la 1.ª columna.
c) x
a x
x
y
b y
y
z
c z
z
12
2
12
2
12
2
– – –+ + + =
(1.ª)
(2.ª) – (3.ª)
(3.ª)
filas
x
ax
y
by
z
cz
x
ax
y
by
z
cz
1
2
1
2
1
22
1 1 1– – – – – –( )1= =
= (1.ª) + (3.ª)
(2.ª)
(3.ª)
filas
ax
by
cz
21 1 1
= 2 · 5 = 10
(1) Sacamos factor común el 2 de la 3.ª fila.
7 Sabiendo que a b c
16
20
33 = 3 y utilizando las propiedades de los determinantes, calcula:
a) El determinante de la matriz fa b c
26
40
63p
4
. b) a b c
102
3
200
3
3013
c) a
aa
bb
b
cc
c
3 22
6
3 42
3 62
3
+
+
+ +
+
a) a b c a b c
26
40
63 2
16
20
33 6= =
a b c
26
40
63 6
4
4=
La solución es 64 = 1 296
BACHILLERATOUnidad 2. Determinantes
23
Matemáticas II
b) a b c a b c a b c a b c
1023
2003
3013
10123
203
31 10
31
163
203
333
1031 3
16
20
33 60
3· · ·= = = =
c) a
aa
bbb
cc
c
aa
a
bbb
cc
ca
abb
cc
3 22
6
3 42
3 62
32
3 2
6
3 4 3 6
32
2
6
4 6
3
+
+
+ +
+=
+
+
+ +
+=
+ +=
= · · · · ( )aa
bb
cc
a b ca b c
1
6
2 3
32 2 2 2
1
6
2
0
3
32 2 1
16
20
33 12– –
+ += = =
8 a) Resuelve la ecuación | A | = 0 siendo A = fa
aa
a
a0
01
0
20
––
–p.
b) Para a = 3, obtén el determinante de la matriz 2A.
a) a
aa
a
a0
01
0
20
––
–
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) + (1.ª)
= a
aa
a00
01
0
20– = a 2(a – 1) = 0 → a = 0, a = 1
b) a = 3
303
020
603– –
| 2A | = 23 | A | = 8 · 9 · 2 = 144
Rango de una matriz
9 Halla el rango de estas matrices:
a) A = f
3614
51005
12
10
–p b) B = f
141
250
360
123
114
–p c) C = f
2002
1020
0211
01
00
–
––
–p d) D = f
102
217
013
32
0––
– p
a) A =
3614
51005
1210
–f p Tomamos un menor de orden 2 distinto de cero:
05
10 = –5 ≠ 0 → ran (A ) ≥ 2
Las dos últimas filas son linealmente independientes.
Veamos si la 2.a fila depende linealmente de las dos últimas:
614
1005
210
– = 0 → La 2.a fila depende linealmente de las dos últimas.
BACHILLERATOUnidad 2. Determinantes
24
Matemáticas II
Veamos si la 1.a fila depende de las dos últimas:
314
505
110
= 10 ≠ 0. Por tanto, ran (A) = 3.
b) B = 141
250
360
123
114
–f p
Tomamos un menor de orden 2 distinto de cero: 41
50 = –5 ≠ 0
Las dos primeras columnas son linealmente independientes. Luego, ran (B ) ≥ 2.
Veamos si la 3.a columna depende linealmente de las dos primeras:
141
250
360
25
36= = –3 ≠ 0. Por tanto, ran (B ) = 3.
c) C =
2002
1020
0211
0100
–
––
–f p Calculamos | C |:
| C | =
2002
1020
0211
0100
–
––
– =
filas(1.ª)
(2.ª)
(3.ª)
(4.ª) – (1.ª)
2000
1021
0211
0100
2021
211
100
–
––
–––
–( )1= =
= 2(2 – 1) = 2 ≠ 0 → ran (C ) = 4
(1) Desarrollamos por la 1.a columna.
d) D = 102
17
013
320
2––
–f p
Tomamos un menor de orden 2 distinto de cero: 10
21 ≠ 0
Las dos primeras filas son linealmente independientes.
Veamos si la 3.a fila depende linealmente de las dos primeras:
102
217
013
––
= –3 – 4 + 7 = 0
102
217
32
0– = – 8 – 6 + 14 = 0
La 3.ª fila depende linealmente de las otras dos.
Por tanto, ran (D ) = 2
BACHILLERATOUnidad 2. Determinantes
25
Matemáticas II
10 Estudia el rango de las siguientes matrices según el valor del parámetro que aparece en ellas:
a) A = fa
213
111
02– p b) B = f
aa1
1
12
1
02
2–
–– p c) C = fa
a2
3
131
42
–
–p d) D = f a
a
111
1
1
11– p
a) | A | = a
213
111
02– = 2a – 6 + 4 – a = a – 2 = 0 → a = 2
•Sia = 2 → Como | A | = 0 y 111
2 = 1 ≠ 0 → ran (A ) = 2
•Sia ≠ 2 → | A | ≠ 0 → ran (A ) = 3
b) | B | = a
a11
121
022
––
– = 4a 2 – 2 – 2a + 2 = 4a 2 – 2a = 0 → 2a(2a – 1) = 0 a
a
0
21
=
=
Observamos que 11
02– = 2 ≠ 0 → ran (B ) ≥ 2
•Sia = 0 → | B | = 0 → ran (B ) = 2
•Sia = 21 → | B | = 0 → ran (B ) = 2
•Sia ≠ 0 y a ≠ 21 → | B | ≠ 0 → ran (B ) = 3
c) | C | = aa2
3
131
42
–
– = 12 – a 2 – 12 – 9a + 8 + 2a = –a 2 – 7a + 8 = 0 →
→ a = ±2
7 49 322
7 812
7 9– –
±–±+ = =
aa
81–=
=
Observamos que 31
42– = 10 ≠ 0 → ran (C ) ≥ 2
Por tanto:
•Sia = 1 → | C | = 0 → ran (C ) = 2
•Sia = – 8 → | C | = 0 → ran (C ) = 2
•Sia ≠ 1 y a ≠ – 8 → | C | ≠ 0 → ran (C ) = 3
d) | D | = aa
111
1
1
11– = –a 2 + 1 + 1 + a – 1 – a = –a 2 + 1 = 0
aa
11–
==
•Sia = 1 → D = 8111
111
111
11
11– –f p ≠ 0 → ran (D ) = 2
•Sia = –1 → D = 8111
111
111
11
11
––f p ≠ 0 → ran (D ) = 2
•Sia ≠ 1 y a ≠ –1 → | D | ≠ 0 → ran (D ) = 3
BACHILLERATOUnidad 2. Determinantes
26
Matemáticas II
Página 84
11 Halla los valores del parámetro m para los que el rango de A = fmm
mm
mm
1 1 12 2
2p es menor que 3.
( )mm
mm
mm
mm
m m m mm m
m m mm
m m1 1 1 1 0
0
0 1 0
0
011
– ––
– –2 2
2
2 2
2
2 2= = =
= ( ) ( ) ( )mm
m m m m mm
m m1 0
10
011
1 010
001
– – –2 2 2 2 2 2= =
(m 2 – m)2 = 0 → m = 1, m = 0Si m = 0 o m = 1, entonces ran (A ) < 3
12 Estudia el rango de estas matrices según el valor del parámetro a :
a) A = fa
11
1
1211
131
1
2812
––
––
–
p b) B = fa1
23
246
369
812
p c) C = a
a a11 1
2 1–– –
e o d) D = a
aa
a a2 1 2 1
2– – –e o
a) Si | A | = 0 → a = 2• Sia = 2 → ran (A ) = 3• Sia ≠ 2 → ran (A ) = 4
b) B = a1
23
246
369
812
f p• Sia = 4 → las cuatro filas son proporcionales → ran (B ) = 1
• Sia ≠ 4 → a3
6 8 ≠ 0 → ran (B ) = 2
c) C = 8a
a aa
a11 1
2 1 11–
– –––
e o = –a 2 + 1 = 0 aa
11–
==
• Sia = 1, queda:
C = 11
11
11
––
e o → ran (C ) = 1
• Sia = –1, queda:
C = 811
11
13
11
13
– ––
––
e o = 2 ≠ 0 → ran (C ) = 2
• Sia ≠ 1 y a ≠ –1 → ran (C ) = 2
d) D = 8a
aa
a aa
aa
a2 1 2 1
22 1 2– – – – –e o = a 2 – 2a – a + 2a 2 = 3a 2 – 3a = 0
aa
10
==
• Sia = 0 → D = 20
10
10
– –e o → ran (D ) = 1
• Sia = 1 → D = 11
11
12
– – –e o → Las dos filas no son proporcionales → ran (D ) = 2
• Sia ≠ 0 → ran (D ) = 2
BACHILLERATOUnidad 2. Determinantes
27
Matemáticas II
13 Estudia el rango de la matriz M según los valores de t.
a) M = f tt
111
2
8 3
333
122– –p b) M = f t
t
101
0
3
44
202– –p c) M = f t
t
t1
0
10
102
120
+p
a) M = f tt
111
2
8 3
333
122– –p
111
333
122
0–
=
( )tt
tt
tt
tt
111
2
8 3
122
100
22
6 3
113
23 6
13
23 2
13 0
– ––– –
––– –
––= = = = → ran (M ) < 3
Tomamos un menor de orden 2: 33
12 = 3 ≠ 0 → ran (M ) = 2, para cualquier t.
b) M = f tt
101
0
3
44
202– –p
t
101
44
202
0– –
=
t101
0
3
202
0– –
=
tt
t t0
3
44
202
2 8 24–
–2= +
2t 2 + 8t – 24 = 0 → t = 2, t = – 6 Si t ≠ 2 y t ≠ – 6 → ran (M ) = 3
Tomamos un menor de orden 2: 44
20 = – 8
Si t = 2 → ran (M ) = 2 Si t = – 6 → ran (M ) = 2
c) M = f tt
t1
0
10
102
120
+p
t
tt t
10
102
120
2 2 4–2+
= +
2t 2 + 2t – 4 = 0 → t = 1, t = –2
tt
t1
0
102
120
2 4–+
=
2t – 4 = 0 → t = 2 Como se anulan en puntos distintos, tenemos que ran (M ) = 3, para cualquier t.
BACHILLERATOUnidad 2. Determinantes
28
Matemáticas II
14 Estudia el rango de las siguientes matrices según los valores del parámetro a :
a) A = fa
aa a
12
1
2
325
01p b) B = fa
aa
1
1
11
1
220
21
1++ p
c) C = faa
a a a
11
0
101
12
1
12
2– – –
– –
–
–2
+
+p d) D = f
a
aa
a
aa
a a a
11 2
24
2 2 4
13
2 2
––
– –2 2 +p
a) A = a
aa a
12
1
2
325
01f p
Tomamos un menor de orden 2: 32
01 = 3 ≠ 0, luego ran (A ) ≥ 2.
aa a
1
2
325
01 = –3a 2 + 8a – 5 = 0 → a =
35 , a = 1
a
a12
325
01 = 2a 2 – 8a + 6 = 0 → a = 3, a = 1
Solo se anulan los dos menores de orden 3 si a = 1. •Sia ≠ 1 → ran (A ) = 3 •Sia = 1 → ran (A ) = 2
b) B = aa
a1
1
11
1
220
21
1++f p
Tomamos un menor de orden 2: 11
20 = –2 ≠ 0, luego ran (B ) ≥ 2.
aa
1
1
11
1
220+
= 2a 2 – 2 = 0 → a = –1, a = 1
a a1
1
220
21
1+ = 0
•Sia ≠ 1 y a ≠ –1 → ran (B ) = 3 •Sia = 1 → ran (B ) = 2 •Sia = –1 → ran (B ) = 2
c) C = aa
a a a
11
0
101
12
1
12
2– – –
– –
–
–2
+
+f p
Tomamos un menor de orden 2: 10
12– = –2 ≠ 0, luego ran (C ) ≥ 2.
aa
a a
11
0
101
12
1– – –
– –2
+ = a 3 – a = 0 → a = 1, a = 0, a = –1
a a a
101
12
1
12
2–– –
–
–2 + = –2a 2 + 4a – 2 = 0 → a = 1
•Sia ≠ 1 → ran (C ) = 3 •Sia = 1 → ran (C ) = 2
BACHILLERATOUnidad 2. Determinantes
29
Matemáticas II
d) D = a
aa
a
aa
a a a
11 2
24
2 2 4
13
2 2
––
– –2 2 +f p
Tomamos un menor de orden 2: 11
13 = 2 ≠ 0, luego ran (D ) ≥ 2.
a
aa
a a
11 2
12
2 22 + = a 2 + 2a = 0 → a = –2, a = 0
a
aa
a a a
11
24
2 2 4
13
2 2
––
– –2 + = –2a 2 – 2a + 4 = 0 → a = 1, a = –2
•Sia ≠ –2 → ran (D ) = 3
•Sia = 1 → ran (D ) = 2
Matriz inversa
15 Halla la matriz inversa de las siguientes matrices:
a) M = 25
24
––
e o
b) N = 35
02–
e o
a) | M | = 2 ≠ 0 → la matriz M tiene inversa. La calculamos:
αij ⎯⎯→ Adj (M ) ⎯⎯→ (Adj (M ))t ⎯⎯→ M –1 = | |M1 (Adj (M ))t
42
52
––e o ⎯→
42
52
– –e o ⎯→ 45
22
––e o ⎯→
21 4
522
––e o = M –1
M –1 = /2
5 211
––e o es la matriz inversa.
b) | N | = 6 ≠ 0 → la matriz N tiene inversa. La calculamos:
αij ⎯⎯→ Adj (N ) ⎯⎯→ (Adj (N ))t ⎯⎯→ N –1 = | |N1 (Adj (N ))t
20
53–e o ⎯→
20
53
e o ⎯→ 25
03
e o ⎯→ 1562 0
3e o = N –1
N –1 = / //
5 60
1 21 3e o es la matriz inversa.
BACHILLERATOUnidad 2. Determinantes
30
Matemáticas II
16 a) Calcula la inversa de cada una de las siguientes matrices:
A =f 102
210
103p B = f
202
111
031p
b) Resuelve las ecuaciones AX = B y XB = A siendo A y B las matrices del apartado anterior.
a) | A | = 102
210
103
= 1 ≠ 0 → Existe A –1
αij ⎯⎯→ Adj (A ) ⎯⎯→ (Adj (A ))t ⎯⎯→ | |
AA11– = (Adj (A ))t
361
010
24
1–
––f p ⎯→
361
010
241
––
–f p ⎯→
302
614
101–
– –f p ⎯→
302
614
101–
– –f p = A –1
| B | = 202
111
031
= 2 ≠ 0 → Existe B –1
αij ⎯⎯→ Adj (B ) ⎯⎯→ (Adj (B ))t ⎯⎯→ | |
BB11– = (Adj (B ))t
213
626
202
– – –f p ⎯→
213
626
202
––
–
–f p ⎯→
262
120
36
2
–
–
––f p ⎯→
/ /131
1 210
3 23
1
–
–
––f p = B –1
b) AX = B → A –1 AX = A –1B → X = A –1B
X = A –1B = 302
614
101
202
111
031
402
413
19313–
– –
–
– –=f f fp p p
XB = A → XBB –1 = AB –1 → X = AB –1
X = AB –1 = / / / /1
02
210
103
131
1 210
3 23
1
435
3 211
7 23
6
–
–
––
– –
––=f f fp p p
17 Calcula la inversa de esta matriz:
A = f111
210
011– –p
111
210
011– –
= –1
8 8 8 8 A111
210
011
122
011
121
122
011
121
101
212
211
101
212
211– –
–– –
–
–––
––
–––
–– –
– –1– =f f f ff p p p pp
BACHILLERATOUnidad 2. Determinantes
31
Matemáticas II
18 Dada la matriz A = f xx
104
0
1
13
–
–p, halla:
a) Los valores de x para los que la matriz A posee inversa.
b) La inversa de A para x = 2.
c) El valor de b ∈ Á para que la matriz bA tenga determinante 1.
a) xx
104
0
1
13–
– = –x 2 + 4x – 3 = 0 → x = 3, x = 1
A posee inversa si x ≠ 3 y x ≠ 1.
b) 104
021
132
–
– = 1
8 8 8 8 A104
021
132
712
1223
812
712
1223
812
712
8
121
232
712
8
121
232
–
–
– – – ––
–
––
–
–
–
––
–
–
–
––1– =f f f f fp p p p p
c) Suponemos x ≠ 3 y x ≠ 1:
| bA | = b 3 | A | = 1 → b 3 = | |A1
b = | |A x x1
4 31
– –3
23=
+
19 Dada la matriz A = f223
133
122– – –p:
a) Calcula A (2I – A ).
b) Justifica si existen las matrices inversas de A y 2I – A.
c) ¿Para qué valor de k se verifica A –1 = kI – A ?
a) A (2I – A ) = 223
133
122
2100
010
001
223
133
122
223
133
122
023
113
124
100
010
001– – –
–– – – – – –
–––
––= =f f f f f f fp p pp p p p
b) A (2I – A ) = I → A y 2I – A tienen inversa y cada una es la inversa de la otra. A –1 = 2I – A (2I – A )–1 = Ac) k = 2
20 Halla los valores del parámetro t para los cuales las matrices A y B no son regulares y calcula:
a) A –1 si t = 1. b) B –1 si t = 2.
A = f tt
101
0
3
44
–p B = f
t
t11
010
01p
a) | A | = t 2 + 4t – 12 = 0 → t = ± ± ±2
4 16 482
4 642
4 8– – –+ = = tt
26–
==
A no es invertible para t = 2 ni para t = – 6.
BACHILLERATOUnidad 2. Determinantes
32
Matemáticas II
Calculamos A –1 para t = 1:
A = 101
013
441–
f p → | A | = –7
αij ⎯⎯→ Adj (A ) ⎯⎯→ (Adj (A ))t ⎯⎯→ | |
AA11– = (Adj (A ))t
8 8 8 A11124
454
131
1112
4
454
131
114
1
1253
44
171
114
1
1253
44
1
–––
–
–
–
––
––
–
–– –
––
–
–– 1–=f f f fp p p p
b) | B | = 1 – t 2 = 0 tt
11–=
=
B no es invertible para t = 1 ni para t = –1. Calculamos B –1 para t = 2:
B = 112
010
201
f p → | B | = –3
αij ⎯⎯→ Adj (B ) ⎯⎯→ (Adj (B ))t ⎯⎯→ | |
BB11– = (Adj (B ))t
8 8 8 B102
132
201
102
132
201
112
030
221
31
112
030
221–
––
–
–
––
–––
–– –
––
1–=f f f fp p p p
Ecuaciones matriciales
21 Dada A = 21
32
e o, halla X tal que AXA = 12
13
e o.
AXA = 8 X A A12
13
12
13
1 1– –=e eo o
Calculamos A –1:
21
32 1=
8 8 821
32
23
12
23
12
21
32–
––
–e e e eo o o o = A –1
X = 21
32
12
13
21
32
11
21–
––
– – –=e e e eo o o o
22 Dadas las matrices A = 11
12–
–e o y B = 21
10
e o, encuentra la matriz X tal que AXB = 10
31–
e o.
AXB = 10
31–
e o → X = A –1 10
31–
e oB –1
Calculamos A –1:
11
12 1––
=
8 8 8 A11
12
21
11
21
11
21
11–
––
– 1–=e e e eo o o o
BACHILLERATOUnidad 2. Determinantes
33
Matemáticas II
Calculamos B –1:
21
10 1–=
8 8 8 8 B21
10
01
12
01
12
01
12
01
12–
––
––
1–=e e e e eo o o o o
X = 21
11
10
31
01
12
52
83– –
––=e e e eo o o o
23 Resuelve la ecuación AXB = C siendo:
A = 34
23
e o B = 21
32
e o C = 11
11
e o
AXB = C → A –1 · A · X · B · B –1 = A –1 · C · B –1 → X = A –1 · C · B –1
Calculamos A –1 y B –1 (| A | = 1 y | B | = 1 → existen A –1 y B –1):
αij ⎯⎯→ Adj (A ) ⎯⎯→ (Adj (A ))t ⎯⎯→ | |
AA11– = (Adj (A ))t
8 8 8 A32
43
32
43
34
23
34
23–
––
––
– 1–=f f e ep p o o
αij ⎯⎯→ Adj (B ) ⎯⎯→ (Adj (B ))t ⎯⎯→ | |
BB11– = (Adj (B ))t
8 8 8 B23
12
23
12
21
32
21
32–
––
––
– 1–=e e e eo o o o
Por tanto:
X = A –1 · C · B –1 = 34
23
11
11
21
32
11
11
21
32
11
11–
–· · – – – · –
––
––= =e e e e e eo o o o o o
24 Dadas las matrices:
A = 2
101
15
––
e o B = 31
01
10
–e o C = 13
21–
e o D = 82
––f p
halla la matriz X que verifica (AB t + C )X = D.
(AB t + C )X = D → (AB t + C )–1 (AB t + C )X = (AB t + C )–1D → X = (AB t + C )–1D
• SeaE = AB t + C = 21
01
15
301
110
13
21
72
20
13
21
61
01
––
––
––
––
––+ = + =e f e e e eo p o o o o
•Calculamos E –1 (| E | = 6 ≠ 0 → existe E –1):
αij ⎯⎯→ Adj (E ) ⎯⎯→ (Adj (E ))t ⎯⎯→ E –1 = | |E1 (Adj (E ))t
8 8 8 E10
16
10
16
11
06 6
1 11
06
––
– ––
–– –
–– –
1–=e e e eo o o o
• Portanto:
X = (AB t + C )–1D = E –1D = //6
1 11
06
4 310 3
82 6
1 820
–– –
–– = =e e e fo o o p
BACHILLERATOUnidad 2. Determinantes
34
Matemáticas II
25 Halla X tal que 3AX = B, siendo:
A = f101
010
211p B = f
111
001
211p
3AX = B → X = 31 A –1 · B
Calculamos A –1 (| A | = –1 ≠ 0 → existe A –1):
αij ⎯⎯→ Adj (A ) ⎯⎯→ (Adj (A ))t ⎯⎯→ A –1 = | |A1 (Adj (A ))t
8 8 8 A102
111
101
102
111
101
111
010
211
111
010
211–
––
–
–––
–
––
––
––
–
1–=f f f fp p p p
Por tanto:
X = ·//
/// /
31
111
010
211
111
001
211
31
110
211
001
1 31 30
2 31 31 3
00
1 3
––
– – –= =f f f fp p p p
Página 85
26 Dadas las siguientes matrices:
A = m00
420
441
f p B = 11
10
21
–e o C = 01
12
11–
e o
a) ¿Para qué valores de m existe A –1?
b) Para m = 1, halla la matriz X tal que XA + B = C.
a) | A | = mm00
2421
441
=
Existe A –1 si m ≠ 0.
b) XA + B = C → XA = C – B → X = (C – B )A –1
/100 1
100 1
420
44
21 20
42
––
1–
=f fp p
C – B = 01
12
11
11
10
21
10
22
12–
––
– ––=e e eo o o
X = (C – B )A –1 = /100
21 20
421
36
10
22
12
10 1
9–– –
– ––
– –=e f eo p o
BACHILLERATOUnidad 2. Determinantes
35
Matemáticas II
27 Sean las matrices A = k1
0 121–
e o y B = fk0
13
12p.
a) Determina para qué valores de k la matriz AB tiene inversa.
b) Resuelve la ecuación ABX = 3I para k = 0, donde I es la matriz unidad de orden 2.
a) AB = k k k k1
0211
013
12
62
2 41– =
+ +e f eo p o
8k k
k k6
22 4
1 3 2 032– – –
+ += = =
Existe (AB )–1 si k ≠ – 32
b) ABX = 3I → X = 3(AB )–1
k = 0
AB = 62
41
e o
62
41
1–
=e o /1 2
123
––
e o
X = / /
31 21
23
3 23
69
––
––= ee oo
Para resolver
28 Resuelve las ecuaciones siguientes:
a)
xx
xx
001
1
00
01
0
001 = 0 b)
aaa
bxb
ccx
= 0 c)
xx
xx
101
1
10
01
1
101
––
––
= 0 d)
xx x
xx
11
1
11
11
0
011
––
––
––
= 0
a) · 8
xx
xx
xx
xx
xx
x x x001
1
00
01
0
001 0
0
1
0
01
1
0
01
001
1 1 0– – –( ) ( )1 2 3 4= = = = x = ± 14
xx
11–
==
(1) Desarrollamos por la 1.ª columna.
(2) Son determinantes de matrices triangulares.
b) aaa
bxb
ccx
= (1.ª)
(2.ª) – (1.ª)
(3.ª) – (1.ª)
filas
a b
x bc
x c00 0
0––
= a(x – b )(x – c ) = 0 x cx b
==
(Suponemos que a ≠0).
BACHILLERATOUnidad 2. Determinantes
36
Matemáticas II
c) ( )
xx
xx
xxxx
xx
x
xx
xx
101
1
10
01
1
101
2222
1
10
01
1
101 2
1111
1
10
01
1
101
––
––
––––
––
–
––
––
( ) ( )1 2= = =
=
filas(1.ª)
(2.ª) – (1.ª)
(3.ª) – (1.ª)
(4.ª) – (1.ª)
x
xx
xx
xx
xx
1000
11
01
01
1
110
1
101
1
1
10
1
11
11
– –
––
–
– –
– –
––
–
– ––
– ––
–– –
( ) ( )3 4= = =
= –x 2(x + 2) = 0 xx
02–
==
(1) Sumamos a la 1.ª columna las demás. (2) Sacamos (2 – x) factor común de la 1.ª columna. (3) Desarrollamos por la 1.ª columna. (4) Desarrollamos por la 2.ª fila.
d) ( )
xx x
xx
xx
xx
xx
xx
11
1
11
11
0
011
1000
1
11
11
0
011 1 1
1
1
0
11
––
––
––
– –
––
––
– ––
–( ) ( )1 2= = =
= (x – 1)(x 3 + 1 + x – x) = (x – 1)(x 3 + 1) = 0 8
xx x
11 0 1–3
=+ = =
(1) Sumamos a la 1.ª columna la 2.ª. (2) Desarrollamos por la 1.ª columna.
29 Estudia el rango de las siguientes matrices según los valores del parámetro que contienen:
a) A = f
k kk
k351 0
1002
2001
––
p b) B = f k k1
1
3
3
333
11
0–– p
c) C = fk
kk
11
11
1
2
1
01– –
–p d) D = f a
a
aa
a a
111
033
42
10
2
––
–
2++ + +
p
a) | A | =
k kkk
351 0
1002
2001
–– –
=
filas(1.ª) – 2 · (4.ª)
(2.ª)
(3.ª)
(4.ª)
k kkk
k kkk
2351 0
5002
0001
235
500
––
––
––
( ) ( )1 2= =
= kk5
35–
– = – 40k = 0 → k = 0
(1) Desarrollamos por la 4.ª columna. (2) Desarrollamos por la 3.ª columna.
•Sik = 0 → A = ≠8
0351
0000
1002
2001
051
102
201
0
––f p → ran (A ) = 3
•Sik ≠ 0 → | A | ≠ 0 → ran (A ) = 4
BACHILLERATOUnidad 2. Determinantes
37
Matemáticas II
b) k k1
1
3
3
333
110––f p → Hacemos k k
1
1
3
3
333–
= 0 → 6k – 18 = 0 → k = 3
•Sik = 3 → B = 8131
333
333
110
131
333
110–
––
–f p ≠ 0 → ran (B ) = 3
•Sik ≠ 3 → ran (B ) = 3
Por tanto, ran (B ) = 3 para cualquier valor de k.
c) 8k
kk
11
111
2
1
01– –
–f p Hacemos
kk1
1
111
2
1– –
– = 0 → –k 2 + 1 = 0
kk
11–
==
•Sik = 1 → C = 8111
111
211
011
11
1
211
011
– ––
––
f p ≠ 0 → ran (C ) = 3
•Sik = –1 → C = 8111
111
211
011
111
111
011
– –––
–– –
–f p = 0 y
21
01
–– ≠ 0 → ran (C ) = 2
•Sik ≠ –1 → ran (C ) = 3
d) D = 8a
a
aa
a a
a
a
aa
a
111
0
34
2
10
2
111
033
42
3––
– ––
( )
2 2
1++ + +
++ +
=f p
( )aaa
a3
111
011
42
––
2= +
+ = (a + 3)(a 2 + a – 2) = 0 a
a
a23
1––
==
=
(1) Sacamos (a + 3) factor común de la 2.ª columna.
•Sia = 1 → D = 8111
044
133
103
044
133
103
– – – –f p ≠ 0 → ran (D ) = 3
•Sia = –2 → D = 8111
011
266
100
111
011
100
– –f p = 0 y
11
01 ≠ 0 → ran (D ) = 2
•Sia = –3 → D = 8111
000
3711
101
111
3711
101
–
–
–
–f p ≠ 0 → ran (D ) = 3
•Sia ≠ –2 → ran (D ) = 3
BACHILLERATOUnidad 2. Determinantes
38
Matemáticas II
30 Calcula el rango de estas matrices en función del parámetro t :
a) A = ft
t t22
1
1
1
1
212
2 p b) B = ft
t
tt t
t2
2 11
0
013
–– –+
+ p c) C = f
t
t
t
tt
32
12
3030
21
2
–– –
++ p
a) A = 8t
t tt
t t22
1
1
1
1
212
22
1
1
1
1
2 2f p = –t 3 + 3t 2 – 2t = 0 tt
t12
0==
=
•Sit = 0 → A = 8022
101
101
212
022
101
212
f p ≠ 0 → ran (A ) = 3
•Sit = 1 → A = 8122
111
111
212
122
111
212
f p ≠ 0 → ran (A ) = 3
•Sit = 2 → A = 8222
12
141
212
222
121
2121
f p = 0 y 22
12 ≠ 0 → ran (A ) = 2
•Sit ≠ 2 → ran (A ) = 3
b) B = | |8t
t
tt t
tB
t
t
tt t
t2
2 11
0
013
22 1
10
013
–– –
–– –+
+ =+
+f p = t (t 2 – 3t + 2) = 0 tt
t12
0==
=
•Sit = 0 → B = 8021
010
013
21
10–
–f p ≠ 0 → ran (B ) = 2
•Sit = 1 → B = 8123
120
004
23
20
–f p ≠ 0 → ran (B ) = 2
•Sit = 2 → B = 8225
230
015
22
23
–f p ≠ 0 → ran (B ) = 2
•Sit ≠ 0, t ≠ 1 y t ≠ 2 → ran (B ) = 3
c) C = 8
t
t
t
tt
t t
t
321
2
3030
21
2
321
303
21
2
–– –
–– –
++
+f p = –3(3t – 6) = 0 → t = 2
•Sit = 2 → C = 8
1214
3030
4142
124
300
412
– –– –f p = 0 y
12
30– ≠ 0 → ran (C ) = 2
•Sit ≠ 2 → ran (C ) = 3
BACHILLERATOUnidad 2. Determinantes
39
Matemáticas II
31 Comprueba aplicando las propiedades de los determinantes.
a) aa
aba b
bb2
1 121
2 2
+ = (a – b )3
b) aa
aaa
111
12 2
02 1
–– –
2
2
2 = (a 2 – 1)2
a) ( )aa
aba b
bb
a ab ba a b b
aba b
bb
a ab b aba b
bb2
1 121
22 2 2
1 2 1 121
200 1
21
––
–
–2 2 2 2 2 2 2 2
+ =+
+ ++
+ =+
+ =
( )( )a ab b ab
a bb abb a b
a b ab ba b b
bb
200 1
21 1
00
21 1
21
– ––
–
– ––
–
2 2 2 2 2 2
=+
+ + = + =
( )a b ab b
a bbb0
0 021
– ––
2 2 2
= = (a – b )2(a – b ) = (a – b )3
b) ( ) ( )aa
aaa
aa
aa
aa
aa
111
12 2
02 1 1
111
120
2 1 1101
110
1–– – – – – –
2
2
2
2
2
2
2= = =
( ) ( ) ( )aaaa
a aa
1101
110
111
1 1101
110
11
1–
–––
– –2
2
2= =+
=
( ) ( ) ( ) ( )a aa
a aa
1 1101
010
01
11 1
101
010
00
1– – – –2 2=
+=
+ =
= (a 2 – 1)(a – 1)(a + 1) = (a 2 – 1)2
32 Dada la matriz A = fx
xx
11
1
1
11
––
–p:
a) Resuelve la ecuación | A | = 0.
b) Calcula el rango de la matriz A según los valores de x.
a) x
xx
11
1
1
11
––
– = –x 3 + 3x + 2 = 0 → x = –1, x = 2
b) Si x = –1 → ran (A ) = 1
Si x = 2 → ran (A ) = 2
Si x ≠ –1 y x ≠ 2 → ran (A ) = 3
BACHILLERATOUnidad 2. Determinantes
40
Matemáticas II
33 Dada esta matriz de orden n :
An = f
111
1
191
1
119
1
111
1
111
9
––…–
–…–
…–
……………
…–
…p
calcula el determinante de A2, A3 y A5.
| A2 | = 11
19
10
110– = = 10
| A3 | = 111
191
119
100
1100
1210
–– –
= = 102 = 100
| A5 | = 104 = 10 000
34 a) Estudia para qué valores de a tiene inversa esta matriz:
A = fa
a
100
11
10p
b) Halla la inversa de A siempre que sea posible.
a) a
a
100
11
10 = a → Existe A –1 si a ≠ 0.
b) a ≠ 0
( ) ( ) /
/
/
/
a
aa
a aa
a a
a
a
a
100
11
10 1 0
0
1
1
101
100
111
10
1
– –
–
– – –
–
–1 2 2–
= =f f fp p p
35 Dada la matriz A = f110
010
001p:
a) Encuentra la expresión general de A n donde n es un número natural cualquiera.
b) Razona que A n tiene inversa para cualquier n ≥ 1 y calcula dicha matriz inversa.
a) A 2 = ·110
010
001
110
010
001
110
010
001
120
010
001
2
= =f f f fp p p p
A 3 = A 2 · A = ·120
010
001
110
010
001
130
010
001
=f f fp p p
A n = n1
0
010
001
f p
b) n1
0
010
001
= 1 ≠ 0 → A n tiene inversa.
n n1
0
010
001
1
0
010
001
–
1–
=f fp p
BACHILLERATOUnidad 2. Determinantes
41
Matemáticas II
36 Halla, en función de a, el valor de estos determinantes:
A1 =
aaaa
aa
aa
aa
aa
aaa
a
11
11
++
++
A2 =
a aa
aaa
aaaa
234
23 2
A1 =
aaaa
aa
aa
aa
aa
aaa
a
aaaa
aa
aa
aa
aa
aaa
a
11
11
4 14 14 14 1
11
1
( ) ( )1 2
++
++
=
++++
++
+
=
( )a
aa
aa
aa
aa
aaa
a
4 1
1111
11
1
= ++
++
=
filas(1.ª)
(2.ª) – (1.ª)
(3.ª) – (1.ª)
(4.ª) – (1.ª)
( )a
a a a
4 1
1000
100
010
001
( )3+ =
( )a4 1100
010
001
= + = (4a + 1) · 1 = 4a + 1
(1) Sumamos a la 1.ª columna las demás.(2) Sacamos (4a + 1) factor común, de la 1.ª columna.(3) Desarrollamos por la 1.ª columna.
A2 =
a aa
aaa
aaaa
234
23 2
=
filas(1.ª)
(2.ª) – (1.ª)
(3.ª) – (1.ª)
(4.ª) – (1.ª)
aaaa
a
aa
a a234
023
00
2 0
000
–
––– –
–( )1=
= aaaa
aa a
234
023
00
2–
–––
–– –
( )2= –a(2 – a)3 = a(a – 2)3
(1) Desarrollamos por la 4.ª columna(2) Es el determinante de una matriz triangular.
37 Prueba, sin desarrollarlos, que el valor de los siguientes determinantes es 0:
a) xxx
xxx
xxx
135
246
+++
+++
b) / / /
yz
x
xz
y
xy
z1
11
11
1
a) xxx
xxx
xxx
135
246
+++
+++
= (1.ª)
(2.ª) – (1.ª)
(3.ª) – (1.ª)
filas
x x x00
124
224
+ + = 0,
pues las dos últimas filas son proporcionales.
b) / / /
yz
x
xz
y
xy
zx y z
xyz
x
xyz
y
xyz
z11
11
11
1 1 1
1 1 10
( ) ( )1 2= =
(1) Sacamos factor común ,x y z1 1 1y en la 1.ª, 2.ª y 3.ª columnas.
(2) La 1.ª y 3.ª filas son proporcinales (xyz · 1.ª = 3.ª).
BACHILLERATOUnidad 2. Determinantes
42
Matemáticas II
Página 86
38 Considera la matriz A = faaa
bb
ccc
23 0
34
– p, donde a, b y c son no nulos.
a) Determina el número de columnas de A que son linealmente independientes.
b) Calcula el rango de A.
| A | = aaa
bb
ccc
abc23 0
34
123
110
134
– –= = abc · 0 = 0
Pero abb
a2 – = –ab + 2ab = ab ≠ 0, pues a y b son no nulos.
Por tanto:a) Hay dos columnas en la matriz A que son linealmente independientes.b) ran (A ) = 2.
39 Estudia el rango de la siguiente matriz para los distintos valores de a, b y c:
M = f ab c
ba c
ca b
5 5 5
+ + +p
| M | = ( )ab c
ba c
ca b
a b cb c
a b ca c
a b ca b
a b cb c a c a b
5 5 5 5 5 5 51
51
51 0
( ) ( ) ( )1 2 3
+ + += + +
++ +
++ +
+= + +
+ + +=
(1) Sumamos a la 2.ª fila la 3.ª(2) Sacamos (a + b + c ) factor común de la 2.ª fila.(3) Las dos primeras filas son proporcionales.Luego, ran (M ) ≤ 2. Tenemos que:
a b5 5
= 5b – 5a = 0 → b = a
b c5 5
= 5c – 5b = 0 → c = b
a c5 5
= 5c – 5a → a = c
Por tanto:•Sia = b = c → ran (M ) = 1•Enotrocaso→ ran (M ) = 2
40 Estudia el rango de esta matriz:
A = faa
aa
coscossensen
0 0
001
–p
| A | = aa
aa
aa
aa a a
coscos
coscos cossen
sen
sensen
sen0 0
001
1– –( )1 2 2= = + =
(1) Desarrollamos el determinante por la 3.ª fila o por la 3.ª columna.Por tanto, como | A | ≠ 0, tenemos que ran (A ) = 3.
BACHILLERATOUnidad 2. Determinantes
43
Matemáticas II
Cuestiones teóricas
41 ¿Verdadero o falso? Justifica las respuestas y pon ejemplos.
a) Si c1, c2 y c3 son las columnas 1.ª, 2.ª y 3.ª de una matriz cuadrada de orden 3 tal que |c1 c2 c3| = 5, en-tonces:
i) |c2 2c3 c1| = 10
ii) |c1 + c2 c2 – c1 c3| = 0
iii) |c1 + c3 c2 c3 + c1| = 5
iv) |–c2 2c1 – c3 c3 + c2| = 10
b) Si B es una matriz cuadrada de orden 3 cuyo determinante vale 4, entonces:
i) |5B | = 20 ii) | B 2| = 16 iii) | B –1| = 1/4
c) La única solución de x
xx
11
1
1
11
––
– = 0 es x = –1.
d) La matriz inversa de la matriz A = fa
a
100
11
10p es:
A –1 =
f
a
a aa0
0
1
1
101
–
–
–2 +p
, a ≠ 0
e) Si A es una matriz cuadrada tal que A 2 = 2A – I, entonces A es invertible y A –1 = 2I – A.
f ) Si A y B son dos matrices regulares que verifican que AXB = A + B, entonces X = A –1 + B –1.
a) i) Verdadero: ( )c c c c c c c c c2 2 1 2 10–2 3 1 2 3 1
21 2 3= = =
ii) Falso: c c c c c c c c c c c c c c c c2 2 2 10–1 2 2 1 3 1 2 2 3 1 2 2 3 1 2 3+ = + = + = = iii) Falso: c c c c c c c c 0 01 3 2 3 1 1 3 2+ + = + = iv) Verdadero: c c c c c c c c c c c c c c c2 2 2 2– – – – – –2 1 3 3 2 2 1 3 3 2 1 3 2 1 3+ = = = = ( ) ( )c c c c c c2 1 2 10– – –2 1 3 1 2 3= = =b) i) Falso: | 5B | = 53 | B | = 53 · 4 = 500 ii) Verdadero: | B 2 | = | B · B | = | B | | B | = 16 iii) Verdadero:
| B · B –1 | = | B | | B –1 | = 1 → | B –1 | = | |B1
41=
c) Falso:
x
xx
11
1
1
11 0
––
–=
–x 3 + 3x + 2 = 0 Las soluciones son: x = –1, x = 2
BACHILLERATOUnidad 2. Determinantes
44
Matemáticas II
d) Verdadero:
A –1 = / ( )
/
/
/
a a
a
a
aa
a aa
100
1 111
10
1
1 00
1
1
101
–
–
– –
–
–2 2+=f fp p
e) Verdadero: A 2 = 2A – I → A 2 – 2A = –I → A(A – 2I) = –I → A(2I – A ) = I Luego A es invertible con A –1 = 2I – A.f ) Verdadero: AXB = A + B → X = A –1(A + B )B –1 = (I + A –1B )B –1 = B –1 + A –1
42 Prueba que el determinante de una matriz cualquiera de orden 3 es igual que el de su traspuesta.
Si A =
a
a
a
a
a
a
a
a
a
11
21
31
12
22
32
13
23
33
f p , entonces A t =
a
a
a
a
a
a
a
a
a
11
12
13
21
22
23
31
32
33
f p .Aplicando la definición de determinante, obtenemos que | A t | = | A |. Lo vemos:| A | = a a a a a a a a a a a a a a a a a a– – –11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 11 23 32 12 21 33+ +| A t | = a a a a a a a a a a a a a a a a a a– – –11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 11 23 32 12 21 33+ +
Luego | A | = | A t |.
43 ¿Sabrías decir cuál de estos dos productos puede formar parte del desarrollo de un determinante de orden 4?:
a) a12 · a23 · a31 · a42 b) a14 · a41 · a23 · a32
Solo podría ser b), puesto que en cada producto ha de aparecer un factor de cada fila y uno de cada columna.
44 Si A es una matriz cuadrada de orden 4, ¿puedes saber el valor de a21 A11 + a22 A12 + a23 A13 + + a24 A14 sin conocer los elementos de la matriz?
El resultado es 0, pues tenemos un producto de los elementos de una fila (la 2.ª) por los adjuntos de otra (la 1.ª).
45 Si la matriz A = am
bn
cp
f p tiene rango 2, ¿qué rango tendrá la matriz B = fam
m a
bn
n b
cp
p c– – –p?
Observamos que la 3.ª fila de B (la que hemos añadido respecto a A ), es combinación lineal de las dos primeras (se obtiene restando la 2.ª menos la 1.ª). Por tanto, B tendrá el mismo rango que A, es decir, ran (B ) = 2.
46 Dadas las matrices A y B de orden 4 con | A | = 3 y | B | = 2, calcula |A –1|, | B t A | y |(AB –1) t |.
| A –1 | = | |A1
31= (1)
| B t · A | | | | | | | | |B A B A 2 3 6· · ·( ) ( )t2 3= = = =
|( ) | | | | | | | | || | | |
| |AB AB A B AB B
A123· ·
( ) ( )t1 1 13 2– – –= = = = =
(1) El determinante de la inversa de una matriz es el inverso del determinante de la matriz.(2) Tenemos en cuenta que | A · B | = | A | · | B |.(3) El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta.
BACHILLERATOUnidad 2. Determinantes
45
Matemáticas II
47 a) Define a qué se llama rango de una matriz.
b) Indica, razonando la respuesta, cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas:
i) ran (A) = ran (–A) (–A es la matriz opuesta de A).
ii) ran (A) = ran (At ) (At es la matriz traspuesta de A).
iii) ran (A + B ) = ran (A) + ran (B )
iv) ran (A 2) = [ran (A)]2
v) ran (A) = ran (A –1) si A tiene inversa (A –1 es la matriz inversa de A).
a) El rango de una matriz es el número de filas (o de columnas) linealmente independientes. También podemos definirlo como el máximo orden de sus menores no nulos.
b) i) Verdadera. El hecho de cambiar de signo los elementos de A, solo afectará al signo de los me-nores; pero el máximo orden de los menores no nulos (el rango) no se ve influido.
ii) Verdadera. El número de filas y el número de columnas linealmente independientes es el mis-mo. En A t solo hemos cambiado filas por columnas.
iii) Falsa. Por ejemplo:
A = 12
23
e o B = 12
23– –
e o → A + B = 20
40
e o
ran (A ) = ran (B ) = 2 (pues | A | ≠ 0 y | B | ≠ 0) y ran (A + B ) = 1.
iv) Falsa. Por ejemplo, si A es una matriz de orden 2 y con ran (A ) = 2, A 2 también será de orden 2; luego ran (A 2) ≤ 2, y [ran (A )]2 = 22 = 4 (si A 2 es de orden 2 no puede tener rango 4).
v) Si A es una matriz cuadrada de orden n, y existe su inversa, entonces | A | ≠ 0 (y | A –1 | ≠ 0). Luego ran (A ) = ran (A –1 ) = n. Por tanto, la igualdad es verdadera.
48 Sea A una matriz cuadrada tal que A 2 = A. Demuestra que det (A) = 0 o det (A) = 1.
| A 2 | = | A · A | = | A | · | A | = | A |2 = | A | → | A |2 – | A | = 0 → | A | (| A | – 1) = 0 | || |AA
01
==
(Hemos tenido en cuenta que | A · B | = | A | · | B |).
49 Escribe dos matrices A y B de orden 2 tales que:
a) det (A + B ) ≠ det (A) + det (B )
b) det (A + B) = det (A) + det (B )
a) Por ejemplo:
A = ; ;B A B21
21
31
52
50
80– –= + =e e eo o o
| A | = 7; | B | = –11; | A + B | = 0 ≠ | A | + | B | = – 4
b) Por ejemplo:
; ;A B A B24
36
12
12
36
48= = + =e e eo o o
| A | = 0; | B | = 0; | A + B | = 0 = | A | + | B |
BACHILLERATOUnidad 2. Determinantes
46
Matemáticas II
Para profundizar
50 Demuestra, sin desarrollar el determinante, que:
aa
aba b
bb2
1 121
2 2
+ = (a – b )3
aa
aba b
bb2
1 121
2 2
+ =(1.ª) – (3.ª)
(2.ª) – (3.ª)
(3.ª)
columnas
a ba b
ab ba b
bb2 2
0 021
––
––
2 2 2 2
= ( ) ( )
( )( )
( )a b a b
a bb a b
a bbb2
0210
––
––
( )2
1+
=
( ) ( )a ba b b b
b a ba b b
20
10
21
2 1– –( )2
22 2=
+=
+= (a – b )2 (a + b – 2b ) = (a – b )2 (a – b ) = (a – b )3
(1) Sacamos (a – b ) factor común de la 1.ª y de la 2.ª columna.(2) Desarrollamos por la 3.ª fila.
51 Demuestra, sin desarrollar, que abc
abc
bcacab
abc
abc
111
2
2
2
3
3
3
2
2
2= .
En el segundo miembro, multiplica y divide la 1.ª fila por a ; la 2.ª, por b, y la 3.ª, por c.
bcacab
abc
abc
abc
bcaacbabc
abc
abc
abcabc
abc
abc
abc
abc
1111
111
2
2
2
2
2
2
3
3
3
2
2
2
3
3
3
2
2
2
3
3
3= = =
52 Prueba que aa
bb
cc
1 1 1
2 2 2 = (b – a)(c – a)(c – b ).
Este determinante se llama de Vandermonde.
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
aa
bb
cc
aa
b ab a
c ac a
a
a
b a
b a b a
c a
c a c a
1 1 1 1 0 0 1 0 0––
––
–
–
–
–2 2 2 2 2 2 2 2 2
= =
+ +
=
= (b – a)(c – a) a b a c a
11
01
01
2 + + = (b – a)(c – a)(c + a – b – a) = (b – a)(c – a)(c – b)
Página 87
53 Determina las matrices cuadradas de orden 2 cuyos elementos sean números enteros, con deter-minante igual a –1, y tales que su inversa coincida con su traspuesta.
Haz A · A t = I y |A | = –1. Hay 4 soluciones.
Si A = ac
bd
e o , entonces A t = ab
cd
c m . Si A t = A –1, ha de ser:
A · A t = I → 8ac
bd
ab
cd
a bac bd
ac bdc d
a bac bdac bdc d
110
01
001
2 2
2 2
2 2
2 2
=
=++
++
=
++ =+ =+ =
e c f eo m p o *Como a, b, c y d son enteros, tenemos solo cuatro soluciones: ; ; ;
01
10
0 10
10
01
10
011–
––
–e e e eo o o o
BACHILLERATOUnidad 2. Determinantes
47
Matemáticas II
54 Escribe una matriz con 3 filas y 3 columnas, que tenga 3 elementos nulos y tal que ninguno de sus menores de orden 2 sea nulo.
Por ejemplo: 011
101
110
f p
Ya que: ≠ , ≠ , ≠ ≠ .01
10 0
01
11 0
10
11 0
11
10 0y
55 Demostración de que |A · B | = |A | · |B | para determinantes de orden 2:
|AB | = aa
aa
bb
bb·11
21
12
22
11
21
12
22=e fo p
a b a ba b a b
a b a ba b a b
11 11 12 21
21 11 22 21
11 12 12 22
21 12 22 22
++
++ =
= a ba b
a ba b
a ba b
a ba b
11 11
21 11
11 12
21 12
11 11
21 11
12 22
22 22+ +
a ba b
a ba b
a ba b
a ba b
12 21
22 21
11 12
21 12
12 21
22 21
12 22
22 22+
(1) (2) (3) (4)
a) Comprueba que los determinantes (1) y (4) son ambos cero.
b) En (2) y en (3) saca factor común los elementos bij. Llegarás a |A | · |B |, como se quería demostrar.
a) (1) a ba b
a ba b a b a b a b a b a a b b a a b b 0– –
11 11
21 11
11 12
21 1211 11 21 12 11 12 21 11 11 21 11 12 11 21 11 12= = =
(4) a ba b
a ba b a b a b a b a b a a b b a a b b 0– –
12 21
22 21
12 22
22 2212 21 22 22 12 22 22 21 12 22 21 22 12 22 21 22= = =
b) (2) | |a ba b
a ba b b b
aa
aa b b A
11 11
21 11
12 22
22 2211 22
11
21
12
2211 22= =
(3) | |a ba b
a ba b b b
aa
aa b b
aa
aa b b A– –
12 21
22 21
11 12
21 1221 12
12
22
11
2121 12
11
21
12
2221 12= = =
Por tanto, queda:
| | | | | | | | ( ) | | | | · | |AB b b A b b A A b b b b Abb
bb A B0 0– –11 22 21 12 11 22 21 12
11
21
12
22= + + = = =
56 Considera la matriz A = f232
101
041
–p.
a) Halla la matriz (Aij ). b) Prueba que A · (Aij )t = f| |
| || |
AA
A00
0
0
00 p.
c) ¿Qué relación hay entre |A | y |(Aij )|?
a) A = 232
101
041
–f p → A
01
41 4–11 = = A
32
41 5–12 = = A
32
01 313 = =
A11
01 1–
–21 = = A
22
01 222 = = A
22
11 4––
–23 = =
A10
04 4
––31 = = A
23
04 8– –32 = = A
23
10 3–
33 = =
(Aij ) = 4
14
528
34
3
–
– ––f p
BACHILLERATOUnidad 2. Determinantes
48
Matemáticas II
b) | A | = – 8 – 8 + 3 = –13
A · (Aij )t = · ·232
101
041
414
528
34
3
232
101
041
453
124
48
3
– –
– ––
– –
–
––
t
= =f f f fp p p p
= | |
| || |
AA
A
1300
0130
0013
00
0
0
00
––
–=f fp p
c) | (Aij ) | = 169 = (–13)2 = | A |2
57 Sea A una matriz cuadrada de orden 3 con |A | ≠ 0. Busca la relación que existe entre |A | y |(Aij )|. Para ello, ten en cuenta el apartado b) del problema anterior y que |A · B | = |A | · |B |.
• Sabemosqueeldeterminantedeunamatrizcoincideconeldesutraspuesta:
| Aij | = | Aji |
• Porotraparte,tenemosque(suponemosqueexisteA –1):
| |
( ) | || | | |
· | | | |· | |8AA
A AA A
A AA1 1 1ji jiji
1 13
13
– – –= = ==e o
•Tambiénsabemosque:
· | | · | | | | | || |
8 8A A I A A I AA
1 11 1 1– – –= = = =
•Uniendolasdosigualdadesobtenidas,tenemosque:
| | | |
· | | | | | |8A A
A A A1 1ij ij3
2= = (A de orden 3 × 3)
58 Si A es una matriz cuadrada de orden n, da el valor de |(Aij )| en función de |A |.
Con el mismo razonamiento que hemos seguido en el ejercicio anterior, llegamos a que si A es n × n:
| || |
| |
| || |
| | | |8A
AA
AA
A A
1
1
n ij
ijn
1
1
1
–
–
–=
==4
BACHILLERATOUnidad 2. Determinantes
49
Matemáticas II
Autoevaluación
Página 87
1 Halla el valor de a que hace que la matriz A no sea regular.
A = fa
1101
1012
01
11
222
–
––
–
p
8
a
a a
1101
1012
0111
222 2 4 0 2
–
––
–
–= = =+
A no es regular para a = –2.
2 Calcula el valor de este determinante, dando el resultado factorizado:
A =
aa
aa
101
1
10
01
1
101
( ) ( )
aa
aa
a aa
a
a
a
a
aa
aa
aa
aa
101
1
10
01
1
101
2101
2
10
21
1
201 2
1101
1
10
11
1
101 2
1101
01
11
00
0
011
1
–
–
–
–
=
+ + + +
= + = + =
= ( ) ( ) ( ) ( )a aa
a a aa a
a a a a a21
111 2
21
21 2 2
11
11
––
––
––
–– – – –+ = + = + =
= ( ) ( ) ( ) ( )a a a a a a a2 210
12 2– –2+ = +
3 Dadas las siguientes matrices:
A (x) = fxxx
22 34 4
432
666
+++
p B (y) = fyyy
3 52 33 4
732
1266
+++
p
a) Calcula el determinante de la matriz 3A (x) y obtén el valor de x para que ese determinante valga 162.
b) Demuestra que la matriz B (y) no tiene inversa para ningún valor de y.
a) | A (x)| = xxx
xxx
xxx
x x2
2 34 4
432
666
24
432
666
234
432
666
24
432
666
124
432
666
6+++
= + = = =
| 3A (x) | = 33 | A (x) | = 33 · 6x = 162x
| 3A (x) | = 162 → x = 1
b) | B | = · ,y
y
y
y
y
y
y
y
y
y y
3 52 33 4
732
1266
323
732
1266
534
732
1266
323
732
1266
323
732
1266
0 0+++
= + = = = =
luego B no tiene inversa.
BACHILLERATOUnidad 2. Determinantes
50
Matemáticas II
4 a) Estudia el rango de M según los valores de a y b.
M = fa baa
b ab a
2 0
0
00––
+p
b) Halla M –1 en el caso a = 1, b = –1.
a) Veamos para qué valores de a y b el determinante de M se hace cero:
| M | = (2a + b)(b – a)2 = 0 → 8a b b a
b a2 0 2–+ = =
=*
•Sib = a, M = aaa
3 000
000
f p
•Sib = –2a, M = aa
aa
0 030
003
––
f p y a
a30
03
–– = 9a 2
Por lo tanto:
•Sia = b = 0, ran (M ) = 0
•Sia = b ≠ 0, ran (M ) = 1
•Sib = –2a ≠ 0, ran (M ) = 2
•Sia ≠ b y b ≠ –2a, ran (M ) = 3
b) Para a = 1 y b = –1, M = 111
020
002
––
f p
M t = 100
12
0
102
––
f p Adj (M t ) = 422
02
0
002
––
f p | M | = 4
Así, M –1 = //
//
1 01 20
001 2
1 21 2
––
f p
5 Si c1, c2, c3 son los vectores columna de una matriz tal que |c1 c2 c3| = 5, calcula:
a) |c1 – 3c2 c2 c3|
b) |c1 c2 2c3|
c) |c1 c1 – c2 c3|
a) c c c c c c c3 5–1 2 2 3 1 2 3= =
b) c c c c c c2 2 101 2 3 1 2 3= =
c) c c c c 5– –1 1 2 3 =
BACHILLERATOUnidad 2. Determinantes
51
Matemáticas II
6 Estudia el rango de N según los valores del parámetro a:
N = fa
aa
aaa
111
11
1
11
1
++
+p
Buscamos los valores que anulen el determinante formado por las tres primeras filas y las tres primeras columnas:
aa
a
111
11
1
11
1
++
+ = (a + 1)3 + 1 + 1 – (a + 1) – (a + 1) – (a + 1) =
= (a + 1)3 – 3(a + 1) + 2 = a 3 + 3a 2 + 3a + 1 – 3a – 3 + 2 = a 3 + 3a 2 = 0 aa
03–
==
• Sia = 0 → N = 111
111
111
000
f p Las tres primeras filas son iguales y la 4.ª son ceros → ran (N ) = 1
• Sia = –3 → N = 211
121
112
333
––
–
–––
f p Buscamos algún menor de orden 3 distinto de cero:
211
12
1
333
32
11
121
111
––
–––
––
–( )1= = –3 · 9 = –27 ≠ 0 → ran (N ) = 3
(1) Sacamos –3 como factor común de la 3.ª columna.• Sia ≠ 0 → ran (N ) = 3
7 Considera la matriz A = ft
t31
1
0
401–
–p.
a) Determina para qué valores de t la matriz A es regular.
b) Para t = 1, halla la matriz X que verifica AXA –1 = B siendo B = f110
010
001p.
a) t
tt
tt
tt
31
1
0
401
31
1
0
430
1 43
–
–
–
––
–=
+=
+ = –(–3 – 4t – t 2) = t 2 + 4t + 3 = 0 → t = –1, t = –3
A tiene inversa si t ≠ –1 y t ≠ –3.
b) AXA –1 = B → X = A –1BA
A –1 = 81
131
151
4124
––
f p
X = ///
///
///
81
131
151
4124
110
010
001
131
110
401
81
951
131
42012
9 85 81 8
1 83 81 8
1 25 23 2
––
–
– –
–
–
–= =f f f f fp p p p p
X = ///
///
///
9 85 81 8
1 83 81 8
1 25 23 2
–
–f p