PÉNDULO SIMPLE

Objetivo:

Determinar la relación que hay entre la longitud de un péndulo simple y su periodo.

Material:

1 cronómetro digital marca Pasco Scientific con fotocompuerta. 1 plomada.Hilo para colgar la plomada.

Introducción:

Llamamos péndulo simple a un ente ideal constituido por una masa puntual suspendido de un hilo inextensible y sin peso, capaz de oscilar libremente en el vacío y sin rozamiento. Al separar la masa de su posición de equilibrio, oscila a ambos lados de dicha posición, realizando un movimiento armónico simple. En la posición de uno de los extremos se produce un equilibrio de fuerzas, según observamos en el gráfico.

El peso de la bola se descompone en dos componentes: una primera componente que se equilibra

con la tensión del hilo, de manera que:

T = mg cos θ

La segunda componente, perpendicular a la anterior, es la que origina el movimiento oscilante:

F = -mg sen θ

Sin embargo, para oscilaciones de valores de ángulos pequeños, se cumple:

sen θ ≈ θ

Por consiguiente, podremos escribir, teniendo en cuenta, el valor del seno del ángulo: F = -mg

sen θ = -mg θ = -mg

F = -mω2 x F = -mg

Con la ecuación obtenida anteriormente:

F = -mg

Vemos que: ω2 = y teniendo en cuenta: ω =

Donde T es el periodo, es decir el tiempo utilizado en realizar una oscilación completa, así llegamos a:

T = 2π

Desarrollo:

Se registran las características de los instrumentos de medición a utilizar.

Características de los instrumentos de mediciónNombre Flexómetro SMART TIMERMarca Truper PASCO

Modelo FM-5 ME-8930Resolución 0,1cm 0,1ms

Incertidumbre asociada ±0,05cm ±0,1msUnidades Cm SegundoAlcance 500 cm

Se alimenta, con energía eléctrica, el cronómetro a través de su eliminador. Es necesario tener cuidado, ya que los eliminadores no son intercambiables entre los modelos.

El selector de función se coloca en modo “PEND”.

Se coloca la fotocompuerta de tal forma que su plano esté en posición vertical.

Se cuelga la plomada de una pinza, la cual, primero, se monta en un soporte universal. Es necesario tener cuidado de que el nudo del péndulo no se mueva mientras este oscila.

La longitud del péndulo se incrementa de 10 cm en 10 cm. El ángulo inicial de oscilación debe de ser menor a 5º y debe de ser el mismo en todo el experimento (¿qué aproximación se está utilizando? ¿en que intervalo de ángulo es valida esta aproximación?)

Se recomienda practicar algunas veces con el sistema antes de iniciar la toma de datos. Los datos se concentran en la siguiente tabla:

Longitud(cm)

t1

(s)

t2

(s)

t3

(s)

t

(s)

st

(s)

t2

(s2)2 *ts

(s2)

10 0,6313 0,6322 0,6323 0,6319 0,0005 0,3993 0,000620 0,8936 0,8927 0,8933 0,8932 0,0004 0,7978 0,000730 1,0945 1,0957 1,0951 1,0951 0,0006 1,1992 0,001340 1,2681 1,2673 1,2681 1,2678 0,0005 1,6073 0,001350 1,4176 1,4176 1,4182 1,4178 0,0003 2,0101 0,000860 1,5537 1,5544 1,5536 1,5539 0,0004 2,4146 0,001270 1,6786 1,6788 1,6782 1,6785 0,0003 2,8174 0,001080 1,7920 1,7925 1,7925 1,7923 0,0003 3,2123 0,001190 1,9057 1,9061 1,9058 1,9059 0,0002 3,6324 0,0008

100 2,0064 2,0080 2,0079 2,0074 0,0009 4,0296 0,0036110 2,1082 2,1081 2,1079 2,1081 0,0001 4,4441 0,0004120 2,1991 2,1996 2,1992 2,1993 0,0003 4,8369 0,0013130 2,2925 2,2918 2,2912 2,2918 0,0006 5,2523 0,0027140 2,3787 2,3793 2,3784 2,3788 0,0004 5,6587 0,0019150 2,4592 2,4587 2,4591 2,4590 0,0003 6,0467 0,0015160 2,5356 2,5344 2,5341 2,5347 0,0008 6,4247 0,0040170 2,6148 2,6166 2,6190 2,6168 0,0021 6,8476 0,0109180 2,6906 2,6942 2,6928 2,6925 0,0018 7,2495 0,0097190 2,7495 2,7468 2,7468 2,7477 0,0015 7,5498 0,0082200

2* 2 tts ts=

Análisis de datosGráfica de periodo al cuadrado en función de la longitud

X (cm) Y (s2) XY (cm s) X2 (cm2)10 0,3993 3,9930 10020 0,7978 15,9560 40030 1,1992 35,9760 90040 1,6073 64,2920 160050 2,0101 100,5050 250060 2,4146 144,8760 360070 2,8174 197,2180 490080 3,2123 256,9840 640090 3,6324 326,9160 8100

100 4,0296 402,9600 10000

110 4,4441 488,8510 12100120 4,8369 580,4280 14400130 5,2523 682,7990 16900140 5,6587 792,2180 19600150 6,0467 907,0050 22500160 6,4247 1027,9520 25600170 6,8476 1164,0920 28900180 7,2495 1304,9100 32400190 7.5498 1434,4620 36100

Σx 1900 Σy 76,4303Σxy 9932,3930 (Σx)2 3610000

(Σx2) 247000 N 19M 0.0402 B 0,0062

∑ ∑

∑ ∑ ∑

= =

= =

−

−=

n

1i

2n

1ii

2i

n

1i

n

1iiiii

xxn

yxyxn

m m =

m = 0,0402 s2/cm

Ordenada al origen

n n n n2

i i i iii 1 i 1 i 1 i 1

2n n2i i

i 1 i 1

y x x yb=

n x x

x= = = =

= =

−

−

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑b =

b = 0,0062 s2

Valor de la aceleración de la gravedad

T = 2π T2 = m= g =

g = 982,0503 cm/s2

Experimentalg = 9,82 m/s2

En la ciudad de México g= 9,78 m/s2

Incertidumbre

Yexp (s) X (cm) ycalc=mx+b (yexp - ycal)2

0,3993 10 0,4082 0,00010,7978 20 0,8102 0,00021,1992 30 1,2122 0,00021,6073 40 1,6142 0,00002,0101 50 2,0162 0,00002,4146 60 2,4182 0,00002,8174 70 2,8202 0,00003,2123 80 3,2222 0,00013,6324 90 3,6242 0,00014,0296 100 4,0262 0,00004,4441 110 4,4282 0,00034,8369 120 4,8302 0,00005,2523 130 5,2322 0,00045,6587 140 5,6342 0,00066,0467 150 6,0362 0,00016,4247 160 6,4382 0,00026,8476 170 6,8402 0,00017,2495 180 7,2422 0,00017,5498 190 7,6442 0,0089

Σ(yexp - ycal)2 0,0113Sy 0,0256

Sm 0,0001 Sb 0,0122

Syi = 0,0256 s 2

Sm = 0,0001 s 2 /cm

S(b) = 0,0122 s 2 cm

Δm = S(m) Δm = 0, 0001 s 2 /cm

Δg =

Δg = (0,0001)

Δg = 2,44 s 2 /cm

Análisis de datosGráfica del logaritmo del periódo en función del logaritmo de la longitud

X (m) Y (s) XY (ms) X2 (m2)- 1,00 - 0,1994 0,1994 1,00 - 0,70 - 0,0491 0,0343 0,49 - 0,52 0,0395 - 0,0206 0,27 - 0,40 0,1031 - 0,0410 0,16 - 0,30 0,1516 - 0,0456 0,09 - 0,22 0,1914 - 0,0425 0,05 - 0,15 0,2249 - 0,0348 0,02 - 0,10 0,2534 - 0,0246 0,01 - 0,05 0,2801 - 0,0128 0,00

0 0,3026 0 00,04 0,3239 0,0134 0,00 0,08 0,3423 0,0271 0,01 0,11 0,3602 0,0410 0,01 0,15 0,3764 0,0550 0,02 0,18 0,3908 0,0688 0,03 0,20 0,4039 0,0824 0,04 0,23 0,4178 0,0963 0,05 0,26 0,4302 0,1098 0,07 0,28 0,4390 0,1224 0,08

Σx -1,91 Σy 5Σxy 0,6279 (Σx)2 3,67(Σx2) 2,41 N 19

M 0,51 B 0,314

Pendiente

∑ ∑

∑ ∑ ∑

= =

= =

−

−=

n

1i

2n

1ii

2i

n

1i

n

1iiiii

xxn

yxyxn

m

m =

m = 0,51 s/m

Ordenada al origenn n n n

2

i i i iii 1 i 1 i 1 i 1

2n n2i i

i 1 i 1

y x x yb=

n x x

x= = = =

= =

−

−

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑b =

b = 0,314 s

Valor de la aceleración de la gravedad

T = 2π log T = log(2πg-1/2) + 1/2logλ b= log (2πg-1/2)

g = 9,29 Experimentalg = 9,29 m/s2

En la ciudad de México g= 9,78 m/s2

Incertidumbre

Yexp (s) X (m) ycalc=mx+b (yexp - ycal)2

-0,1994 - 1,00 - 0,1960 0,0000-0,0491 - 0,70 - 0,0430 0,00000,0395 - 0,52 0,0488 0,00010,1031 - 0,40 0,1100 0,00000,1516 - 0,30 0,1610 0,00010,1914 - 0,22 0,2018 0,00010,2249 - 0,15 0,2375 0,00020,2534 - 0,10 0,2630 0,00010,2801 - 0,05 0,2885 0,00010,3026 0 0,3140 0,00010,3239 0,04 0,3344 0,00010,3423 0,08 0,3548 0,00020,3602 0,11 0,3701 0,0001

0,3764 0,15 0,3905 0,00020,3908 0,18 0,4058 0,00020,4039 0,20 0,4160 0,00010,4178 0,23 0,4313 0,00020,4302 0,26 0,4466 0,00030,4390 0,28 0,4568 0,0003

Σ(yexp - ycal)2 0,0025

Sy 0,0121Sm 0,0081 Sb 0,0029

Syi = 0,0121 s

Sm = 0,0081 s/m

S (b) = 0,0029 s Δb = S(b) + Inc. del instrumento Δb = 2,9ms + ±0,1msΔb = 3,0 ms

*ms(milisegundo)

Δg =

Δg =

Δg = 0,006s

Conclusiones Esta práctica nos permitio calcular experimentalmente el valor de la aceleración de la gravedad,

el valor teórico de esta en la ciudad de México es de 9,78m/s2, y nuestro valor más cercano fue de 9,82m/s2, mientras que el otro fue de 9,29m/s2; a pesar que estos dos valores experimentales difieren no es tan grande esa diferencia y ambos se acercan al valor teórico.

Bibliografía:

http://usuarios.multimania.es/pefeco/pendulo.htm