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DESIGUALDAD DEMINKOWSKI

ContenidosArtículos

Desigualdad de Minkowski 1Hermann Minkowski 2Espacios Lp 4Espacio vectorial 5Norma vectorial 18Dependencia e independencia lineal 20Desigualdad triangular 23Desigualdad de Hölder 27Número cardinal 28Función convexa 31Espacio-tiempo de Minkowski 35

ReferenciasFuentes y contribuyentes del artículo 37Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 38

Licencias de artículosLicencia 39

Desigualdad de Minkowski 1

Desigualdad de MinkowskiEn análisis matemático, la desigualdad de Minkowski, debida a Hermann Minkowski, establece que los espacios Lp

son espacios vectoriales con una norma vectorial. Sea S un espacio medible, sea 1 ≤ p ≤ ∞ y sea f y g elementos deLp(S). Entonces f + g es de Lp(S), y se tiene

con la igualdad para el caso1 < p < ∞ si y sólo si f y g son positivamente linealmente dependientes (que significa quef = g o g = f para algún ≥ 0).La desigualdad de Minkowski es la desigualdad triangular en Lp(S).Igual que la desigualdad de Hölder, la desigualdad de Minkowski se puede especificar para sucesiones y vectoreshaciendo:

para todos los números reales (o complejos) x1, ..., xn, y1, ..., yn y donde n es el cardinal de S (el número deelementos de S).

DemostraciónPrimero se demuestra que f+g tiene una p-norma finita sobre f y g ambas la tienen , esto se sigue de,

En efecto, aquí se hace servir el hecho de que es una función convexa sobre (para más grandeque 1) y por lo tanto, si a y b son positivos entonces,

Lo cual significa que,

Ahora, se puede hablar legítimamente de . Si es zero, entonces se cumple la desigualdad deMinkowski. ahora , suponiendo que no es zero. haciendo servir la desigualdad de Hölder

Se obtiene la desigualdad de Minkowski multiplicando por ambos lados .

Desigualdad de Minkowski 2

Referencias• Hardy, G., Littlewood J.E., Polya, G. (1999). Inequalities, Cambridge Mathematical Library, Cambridge

University Press. ISBN 0-521-05206-8• H. Minkowski, Geometrie der Zahlen , Chelsea, reprint (1953)•• M.I. Voitsekhovskii (2001), "Minkowski inequality", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics,

Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4

Hermann Minkowski

Hermann Minkowski

Hermann MinkowskiNacimiento 22 de junio de 1864

Kaunas, Lituania (antiguamente Aleksotas (Imperio Ruso))

Fallecimiento 12 de enero de 1909

Residencia Alemania

Campo Matemáticas

Instituciones Universidades de Bonn, Göttingen, Königsberg y Zúrich

Alma máter Universidad de Königsberg

Conocido por Desarrollar la teoría geométrica de los números.Colaboraciones en la teoría especial de la relatividad

Premiosdestacados

Premio de matemáticas de la Academia de Ciencias Francesa (1883)

Hermann Minkowski (22 de junio de 1864 - 12 de enero de 1909) fue un matemático ruso de origen lituano quedesarrolló la teoría geométrica de los números. Sus trabajos más destacados fueron realizados en las áreas de lateoría de números, la física matemática y la teoría de la relatividad.Minkowski nació en Aleksotas, Rusia (actualmente Kaunas, Lituania), y cursó sus estudios en Alemania en lasuniversidades de Berlín y Königsberg, donde realizó su doctorado en 1885. Durante sus estudios en Königsberg en1883 recibió el premio de matemáticas de la Academia de Ciencias Francesa por un trabajo sobra las formascuadráticas. Minkowski impartió clases en las universidades de Bonn, Göttingen, Königsberg y Zúrich. En Zúrichfue uno de los profesores de Einstein.Minkowski exploró la aritmética de las formas cuadráticas que concernían n variables. Sus investigaciones en estecampo le llevaron a considerar las propiedades geométricas de los espacios n dimensionales. En 1896 presentó sugeometría de los números, un método geométrico para resolver problemas en teoría de números.

Hermann Minkowski 3

En 1902 se incorporó al departamento de matemáticas de las universidad de Göttingen colaborando de cerca conDavid Hilbert.En 1907 se percató de que la teoría especial de la relatividad, presentada por Einstein en 1905 y basada en trabajosanteriores de Lorentz y Poincaré, podía entenderse mejor en una geometría no-euclideana en un espaciocuatridimensional, desde entonces conocido como espacio de Minkowski, en el que el tiempo y el espacio no sonentidades separadas sino variables íntimamente ligadas en el espacio de cuatro dimensiones del espacio-tiempo. Eneste espacio de Minkowski la transformación de Lorentz adquiere el rango de una propiedad geométrica del espacio.Esta representación sin duda ayudó a Einstein en sus trabajos posteriores que culminaron con el desarrollo de larelatividad general.En su discurso de inauguración de la 80 reunión de la Asamblea general alemana de científicos naturales y físicos el21 de septiembre de 1908 pronunció una frase que ahora es célebre:

Las ideas sobre el espacio y el tiempo que deseo mostrarles hoy descansan en el suelo firme de la físicaexperimental, en la cual yace su fuerza. Son ideas radicales. Por lo tanto, el espacio y el tiempo porseparado están destinados a desvanecerse entre las sombras y tan sólo una unión de ambos puederepresentar la realidad.

El asteroide (12493) Minkowski recibe su nombre en su honor.

Enlaces externos• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Hermann MinkowskiCommons.• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «Biografía de Hermann Minkowski [1]» (en inglés), MacTutor History

of Mathematics archive, Universidad de Saint Andrews.

Referencias[1] http:/ / www-history. mcs. st-andrews. ac. uk/ Biographies/ Minkowski. html

Espacios Lp 4

Espacios LpLos espacios son los espacios vectoriales normados más importantes en el contexto de la teoría de la medida yde la integral de Lebesgue. Reciben también el nombre de espacio de Lebesgue por el matemático Henri Lebesgue.

DefiniciónConsideremos un espacio de medida. Se define el espacio vectorial:

Como el espacio de todas las funciones medibles que cumplen:

Asimismo, se define el espacio como el espacio de las funciones medibles que verifican:

Es decir, aquellas funciones medibles acotadas excepto en un conjunto de medida nula. Una norma natural paradefinir en estos espacios sería:

, si , y

Sin embargo, una aplicación así definida no resulta norma, ya que no se cumple , puescualquier función que sea igual a la función nula, salvo en un conjunto de medida nula, tendrá norma cero.Así, se define la siguiente relación de equivalencia sobre : . Se prueba queefectivamente es una relación de equivalencia, y se defina , i.e., el espacio vectorial cuyos elementosson las clases de equivalencia de la relación . Considerando entonces sobre las normas anteriormentedefinidas (donde es cualquier representante de la clase de equivalencia), se prueba que resulta ser norma yque su valor no depende del representante de la clase de equivalencia escogido. Usualmente no se hace distinciónentre función y clase de equivalencia en este contexto.

Propiedades1. es un espacio de Banach.

2. es un Espacio de Hilbert, dotado del producto interno .

3. Si , entonces se tiene que .4. Si es reflexivo.5. Si denotamos por al espacio de las funciones simples, se cumple que es denso en .

6. Si , el dual topológico de es donde es tal que .

7. Si el espacio de medida es -finito, entonces el dual de se identifica con .8. Si es un espacio topológico localmente compacto separado, y es una medida regular, entonces

(el espacio de las funciones continuas a soporte compacto) es denso en con .9. El espacio de las funciones infinitamente derivables en un abierto a soporte compacto y que están en

con , es denso en , es decir .

Espacio vectorial 5

Espacio vectorialEste artículo está orientado a proporcionar un tratamiento riguroso y abstracto del concepto de espaciovectorial. Para una introducción más accesible al concepto, véase Vector

Representación artística de un espacio vectorial.

En álgebra abstracta, un espacio vectorial es una estructura algebraicacreada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamadasuma, definida para los elementos del conjunto) y una operaciónexterna (llamada producto por un escalar, definida entre dichoconjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo ), con 8 propiedadesfundamentales.

A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a loselementos del cuerpo, escalares.

Historia

Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espaciosvectoriales modernos se remontan al siglo XVII: geometría analítica,matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Los espacios vectoriales se derivan de la geometría afín, a través de laintroducción de coordenadas en el plano o el espacio tridimensional. Alrededor de 1636, los matemáticos francesesDescartes y Fermat fundaron las bases de la geometría analítica mediante la vinculación de las soluciones de unaecuación con dos variables a la determinación de una curva plana. Para lograr una solución geométrica sin usarcoordenadas, Bernhard Bolzano introdujo en 1804 ciertas operaciones sobre puntos, líneas y planos, que sonpredecesores de los vectores. Este trabajo hizo uso del concepto de coordenadas baricéntricas de August FerdinandMöbius de 1827.

La primera formulación moderna y axiomática se debe a Giuseppe Peano, a finales del siglo XIX. Los siguientesavances en la teoría de espacios vectoriales provienen del análisis funcional, principalmente de los espacios defunciones. Los problemas de Análisis funcional requerían resolver problemas sobre la convergencia. Esto se hizodotando a los espacios vectoriales de una adecuada topología, permitiendo tener en cuenta cuestiones de proximidady continuidad. Estos espacios vectoriales topológicos, en particular los espacios de Banach y los espacios de Hilberttienen una teoría más rica y elaborada.El origen de la definición de los vectores es la definición de Giusto Bellavitis de bipoint, que es un segmentoorientado, uno de cuyos extremos es el origen y el otro un objetivo. Los vectores se reconsideraron con lapresentación de los números complejos de Argand y Hamilton y la creación de los cuaterniones por este último(Hamilton fue además el que inventó el nombre de vector). Son elementos de R2 y R4; el tratamiento mediantecombinaciones lineales se remonta a Laguerre en 1867, quien también definió los sistemas de ecuaciones lineales.En 1857, Cayley introdujo la notación matricial, que permite una armonización y simplificación de las aplicacioneslineales. Casi al mismo tiempo, Grassmann estudió el cálculo baricéntrico iniciado por Möbius. Previó conjuntos deobjetos abstractos dotados de operaciones. En su trabajo, los conceptos de independencia lineal y dimensión, asícomo de producto escalar están presentes. En realidad el trabajo de Grassmann de 1844 supera el marco de losespacios vectoriales, ya que teniendo en cuenta la multiplicación, también, lo llevó a lo que hoy en día se llamanálgebras. El matemático italiano Peano dio la primera definición moderna de espacios vectoriales y aplicacioneslineales en 1888.Un desarrollo importante de los espacios vectoriales se debe a la construcción de los espacios de funciones por Henri Lebesgue. Esto más tarde fue formalizado por Banach en su tesis doctoral de 1920 y por Hilbert. En este momento,

Espacio vectorial 6

el álgebra y el nuevo campo del análisis funcional empezaron a interactuar, en particular con conceptos clave talescomo los espacios de funciones p-integrables y los espacios de Hilbert. También en este tiempo, los primerosestudios sobre espacios vectoriales de infinitas dimensiones se realizaron.Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemática, la ciencia y la ingeniería. Se utilizan enmétodos como las series de Fourier, que se utiliza en las rutinas modernas de compresión de imágenes y sonido, oproporcionan el marco para resolver ecuaciones en derivadas parciales. Además, los espacios vectorialesproporcionan una forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geométricos y físicos, tales comotensores, que a su vez permiten estudiar las propiedades locales de variedades mediante técnicas de linealización.

NotaciónDado un espacio vectorial sobre un cuerpo , se distinguen.Los elementos de como:

se llaman vectores.Caligrafias de otras obras

Si el texto es de física suelen representarse bajo una flecha:

Los elementos de como:

se llaman escalares.

Definición de espacio vectorialUn espacio vectorial sobre un cuerpo (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es unconjunto no vacío, dotado de dos operaciones para las cuales será cerrado:

operación interna tal que:1) tenga la propiedad conmutativa, es decir

2) tenga la propiedad asociativa, es decir

3) tenga elemento neutro , es decir

4) tenga elemento opuesto, es decir

y la operación producto por un escalar:

operación externa tal que:5) tenga la propiedad asociativa:

6) sea elemento neutro del producto:

Espacio vectorial 7

7) tenga la propiedad distributiva del producto respecto a la suma de vectores:

8) tenga la propiedad distributiva del producto respecto a la suma de escalares:

ObservacionesLa denominación de las dos operaciones no condiciona la definición de espacio vectorial por lo que es habitualencontrar traducciones de obras en las que se utiliza multiplicación para el producto y adición para la suma, usandolas distinciones propias de la aritmética.Para demostrar que un conjunto es un espacio vectorial:

• Lo es si sus dos operaciones, por ejemplo y admiten una redefinición del tipoy cumpliendo las 8 condiciones exigidas.

• Si supiésemos que es un grupo conmutativo o abeliano respecto la suma ya tendríamos probados los apartados1, 2, 3 y 4.

• Si supiésemos que el producto es una acción por la izquierda de tendríamos probados los apartados 5 y 6.•• Si no se dice lo contrario:

.

PropiedadesUnicidad del vector neutro de la propiedad 3:

supongamos que el neutro no es único, es decir, sean y dos vectores neutros, entonces:

Unicidad del vector opuesto de la propiedad 4:supongamos que el opuesto no es único, es decir, sean y dos vectores opuestos de , entonces,como el neutro es único:

Unicidad del elemento en el cuerpo :supongamos que 1 no es único, es decir, sean y dos unidades, entonces:

Unicidad del elemento inverso en el cuerpo :

supongamos que el inverso de a, no es único, es decir, sean y dos opuestos de , entonces,como el neutro es único:

Producto de un escalar por el vector neutro:

Producto del escalar 0 por un vector:

Espacio vectorial 8

Si

• Si es cierto.• Si entonces:

Notación

.Observación

• Si • Si

Primer ejemplo con demostración al detalle

Se quiere probar que es un espacio vectorial sobre Si juega el papel de y el de :Los elementos:

son, de forma genérica:

es decir, pares de números reales. Por claridad se conserva la denominación del vector, en este caso u, en suscoordenadas, añadiendo el subíndice x o y para denominar su componente en el eje x o y respectivamenteEn se define la operación suma:

donde:

y la suma de u y v sería:

donde:

esto implica que la suma de vectores es interna y bien definida.La operación interna suma tiene las propiedades:1) La propiedad conmutativa, es decir:

Espacio vectorial 9

2) La propiedad asociativa:

3) tiene elemento neutro :

4) tenga elemento opuesto:

La operación producto por un escalar:

El producto de a y u será:

donde:

esto implica que la multiplicación de vector por escalar es externa y aun así está bien definida.5) tenga la propiedad asociativa:

Esto es:

6) sea elemento neutro en el producto:

Que resulta:

Que tiene la propiedad distributiva:7) distributiva por la izquierda:

En este caso tenemos:

Espacio vectorial 10

8) distributiva por la derecha:

Que en este caso tenemos:

Queda demostrado que es espacio vectorial.

Ejemplos de espacios vectoriales

Los cuerposTodo cuerpo es un espacio vectorial sobre él mismo, usando como producto por escalar el producto del cuerpo.• es un espacio vectorial de dimensión uno sobre .Todo cuerpo es un espacio vectorial sobre su subcuerpo, usando como producto por escalar el producto del cuerpo.• es un espacio vectorial de dimensión 2 sobre .• es un espacio vectorial de dimensión infinita sobre .

Sucesiones sobre un cuerpo El espacio vectorial más conocido notado como , donde n>0 es un entero, tiene como elementos n-tuplas, esdecir, sucesiones finitas de de longitud n con las operaciones:

(u1, u2, ..., un)+(v1, v2, ..., vn)=(u1+v1, u2+v2, ..., un+vn).a(u1, u2, ..., un)=(au1, au2, ..., aun).

Las sucesiones infinitas de son espacios vectoriales con las operaciones:(u1, u2, ..., un, ...)+(v1, v2, ..., vn, ...)=(u1+v1, u2+v2, ..., un+vn, ...).a(u1, u2, ..., un, ...)=(au1, au2, ..., aun, ...).

El espacio de las matrices , , sobre , con las operaciones:

También son espacios vectoriales cualquier agrupación de elementos de en las cuales se defina las operaciones suma y producto entre estas agrupaciones, elemento a elemento, similar al de matrices , así por ejemplo

Espacio vectorial 11

tenemos las cajas sobre que aparecen en el desarrollo de Taylor de orden 3 de una función genérica.

Espacios de aplicaciones sobre un cuerpo

El conjunto de las aplicaciones , un cuerpo y un conjunto, también forman espaciosvectoriales mediante la suma y la multiplicación habitual:

Los polinomios

Suma de f(x)=x+x2 y g(x)=-x2.

El espacio vectorial K[x] formado por funciones polinómicas,veámoslo:

Expresión general:,donde

los coeficientes , considérese.

,donde y ,

.Las series de potencias son similares, salvo que se permiteninfinitos términos distintos de cero.

Funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas forman espacios vectoriales, con las siguientes operaciones:

Expresión general:

,

.

Espacio vectorial 12

Los sistemas de ecuaciones lineales homogéneas

Sistema de 2 ecuaciones y 3 variables

o equivalentemente

simplificado como Un sistema de ecuaciones lineales homogéneas( ecuaciones lineales en las que es siempre una solución, esdecir, ) posee soluciones que forman un espacio vectorial, se puede ver en sus dosoperaciones:

Si Si .

También que las ecuaciones en sí, filas de la matriz notadas como una matriz , es decir,, son un espacio vectorial, como se puede ver en sus dos operaciones:

Si Si .

Definición de subespacio vectorialSea un espacio vectorial sobre y no vacío, es un subespacio vectorial de si:

Consecuenciashereda las operaciones de como aplicaciones bien definidas, es decir que no escapan de , y como

consecuencia tenemos que es un espacio vectorial sobre .Con cualquier subconjunto de elementos seleccionados en los espacios vectoriales anteriores, no vacío, se puedengenerar subespacios vectoriales, para ello seria útil introducir nuevos conceptos que facilitarán el trabajo sobre estosnuevos espacios vectoriales.

Espacio vectorial 13

Resultados internosPara detallar el comportamiento interno de todos los espacios vectoriales de modo general es necesario exponer unaserie de herramientas cronológicamente vinculadas entre ellas, con las cuales es posible construir resultados válidosen cualquier estructura que sea espacio vectorial.

Combinación lineal

Cada vector u es combinación lineal de forma única

Dado un espacio vectorial , diremos que un vector ues combinación lineal de los vectores de

si existen escalarestales que

Notaremos como el conjunto resultante de todaslas combinaciones lineales de los vectores de .

Proposición 1

Dado un espacio vectorial y un conjuntode vectores, el conjunto es el subespaciovectorial más pequeño contenido en y que contiene a .

Demostración

Si se supone lo contrario, que existe uno más pequeño contradicción, ya que u está generadopor elementos de a causa de la buena definición de las dos operaciones, por tanto .

Nota. En este caso se dice que es un sistema de generadores que genera a .

Independencia lineal

Diremos que un conjunto de vectores es linealmente independiente si el vector 0 no sepuede expresar como combinación lineal no nula de los vectores de , es decir:

Si .Diremos que un conjunto de vectores es linealmente dependiente si no es linealmente independiente.

Proposición 2

son linealmente dependientes

Demostración

Linealmente dependientes

tomando .

Si donde y por tanto linealmente dependientes.

Espacio vectorial 14

Base de un espacio vectorialLas bases revelan la estructura de los espacios vectoriales de una manera concisa. Una base es el menor conjunto(finito o infinito) B = {vi}i ∈ I de vectores que generan todo el espacio. Esto significa que cualquier vector v puedeser expresado como una suma (llamada combinación lineal) de elementos de la base

a1vi1 + a2vi2 + ... + anvin,donde los ak son escalares y vik (k = 1, ..., n) elementos de la base B. La minimalidad, por otro lado, se hace formalpor el concepto de independencia lineal. Un conjunto de vectores se dice que es linealmente independiente sininguno de sus elementos puede ser expresado como una combinación lineal de los restantes. Equivalentemente, unaecuación

a1vi1 + ai2v2 + ... + anvin = 0sólo se consigue si todos los escalares a1, ..., an son iguales a cero. Por definición de la base cada vector puede serexpresado como una suma finita de los elementos de la base. Debido a la independencia lineal este tipo derepresentación es única. Los espacios vectoriales a veces se introducen desde este punto de vista.

Base formalmente

v1 y v2 son base de un plano, si hubiese dependencialineal(alineados) la cuadrícula no podría generarse

Dado un sistema de generadores, diremos que es una base si sonlinealmente independientes.

Proposición 3. Dado un espacio vectoriales una base

.

Proposición 4. Dado un espacio vectoriallinealmente independiente y

eslinealmente independiente.

Teorema de la base de generadores

Todo sistema de generadores tiene una base.

Teorema Steinitz

Toda base de un espacio vectorial puede ser cambiada parcialmente por vectores linealmente independientes.Corolario. Si un espacio vectorial tiene una base de vectores cualquier otra base posee vectores.

ObservaciónTodo espacio vectorial tiene una base. Este hecho se basa en el lema de Zorn, una formulación equivalente delaxioma de elección. Habida cuenta de los otros axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, la existenciade bases es equivalente al axioma de elección. El ultrafilter lemma, que es más débil que el axioma de elección,implica que todas las bases de un espacio vectorial tienen el mismo "tamaño", es decir, cardinalidad. Si el espacio esgenerado por un número finito de vectores, todo lo anterior puede demostrarse sin necesidad de acudir a la teoría deconjuntos.

Espacio vectorial 15

DimensiónDado un espacio vectorial sobre :• Si tiene base finita, diremos dimensión al número de elementos de dicha base.• Si tiene base no finita, diremos que es de dimensión infinita.

Notación

Dado un espacio vectorial y un subespacio , tenemos que:

• Si tiene dimensión lo indicaremos como .• Si tiene dimensión como subespacio de lo indicaremos como .

Intersección de subespacios vectoriales

Dado dos subespacios vectoriales , la intersección es subespacio vectorial contenido en estos y lonotaremos como:

.Observaciones. Para la intersección sucesiva de espacios vectoriales se procede, inductivamente, de dos endos.

La unión de subespacios vectoriales no es en general un subespacio vectorial.

Suma de subespacios vectoriales

Dado dos subespacios vectoriales , la suma es un subespacio vectorial que contiene a estos y lanotaremos como:

.Observación. Para la suma sucesiva de espacios vectoriales se procede, inductivamente, de dos en dos.

Teorema Fórmula de Grassmann

Dado dos subespacios vectoriales de dimensión finita, tenemos el resultado siguiente:

.

Suma directa de subespacios vectoriales

Dado dos subespacios vectoriales , diremos que es una suma directa si y lonotaremos como:

.

Cociente de espacios vectorialesDado un espacio vectorial y un subespacio vectorial .

Dados diremos que están relacionados modulo si .• La relación anterior es una relación de equivalencia.

Se nota por a la clase de modulo .

Llamaremos conjunto cociente o espacio cociente al conjunto de las clases de equivalencia anterior:

Se nota por a dicho espacio cociente.El espacio es un espacio vectorial con las operaciones siguientes:

Espacio vectorial 16

Construcciones básicasAdemás de lo expuesto en los ejemplos anteriores, hay una serie de construcciones que nos proporcionan espaciosvectoriales a partir de otros. Además de las definiciones concretas que figuran a continuación, también secaracterizan por propiedades universales, que determina un objeto X especificando las aplicaciones lineales de X acualquier otro espacio vectorial.

Suma directa de espacios vectoriales

Dado dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo , llamaremos suma directa al espacio vectorial, veamos que están bien definidas las dos operaciones:

,.

Espacios vectoriales con estructura adicionalDesde el punto de vista del álgebra lineal, los espacios vectoriales se comprenden completamente en la medida enque cualquier espacio vectorial se caracteriza, salvo isomorfismos, por su dimensión. Sin embargo, los espaciosvectoriales ad hoc no ofrecen un marco para hacer frente a la cuestión fundamental para el análisis de si una sucesiónde funciones converge a otra función. Asimismo, el álgebra lineal no está adaptada per se para hacer frente a seriesinfinitas, ya que la suma solo permite un número finito de términos para sumar. Las necesidades del análisisfuncional requieren considerar nuevas estructuras.

Espacios normadosUn espacio vectorial es normado si está dotado de una norma.

Espacio métricoUn espacio métrico es un espacio vectorial dotado de una aplicación distancia.

Proposición 5. Un espacio normado es un espacio métrico, donde la distancia viene dada por:

Toda distancia inducida por la norma es una distancia.

Espacios vectoriales topológicosDada una topología sobre un espacio vectorial donde los puntos sean cerrados y las dos operaciones delespacio vectorial sean continuas respecto dichas topología, diremos que:• es una topología vectorial sobre ,• es un espacio vectorial topológico.

Proposición 6.. Todo espacio vectorial topológico dotado de una métrica es espacio normado.Proposición 7.. Todo espacio normado es un espacio vectorial topológico.

Espacio vectorial 17

Espacios de BanachUn espacio de Banach es un espacio normado y completo.

Espacios prehilbertianos

Un espacio prehilbertiano es un par , donde es un espacio vectorial y es un producto aescalar.

Espacios de HilbertUn espacio de Hilbert es un espacio prehilbertiano completo por la norma definida por el producto escalar.

Morfismos entre espacios vectorialesSon aplicaciones entre espacios vectoriales que mantienen la estructura de los espacios vectoriales, es decir,conservan las dos operaciones y las propiedades de éstas de uno a otro de dichos espacios.

Aplicaciones lineales

Dado dos espacios vectoriales y , sobre un mismo cuerpo, diremos que una aplicación eslineal si:

,.

Referencias

Notas

Referencias históricas• Banach, Stefan (1922) (en francés). Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux

équations intégrales (On operations in abstract sets and their application to integral equations). 3. FundamentaMathematicae. ISSN 0016-2736 (http:/ / worldcat. org/ issn/ 0016-2736).

• Bolzano, Bernard (1804) (en alemán). Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie(Considerations of some aspects of elementary geometry) (http:/ / dml. cz/ handle/ 10338. dmlcz/ 400338).

• Bourbaki, Nicolas (1969) (en francés). Éléments d'histoire des mathématiques (Elements of history ofmathematics). Paris: Hermann.

• Grassmann, Hermann (1844) (en alemán). Die Lineale Ausdehnungslehre - Ein neuer Zweig der Mathematik(http:/ / books. google. com/ books?id=bKgAAAAAMAAJ& pg=PA1& dq=Die+ Lineale+ Ausdehnungslehre+ein+ neuer+ Zweig+ der+ Mathematik).

• Hamilton, William Rowan (1853) (en inglés). Lectures on Quaternions (http:/ / historical. library. cornell. edu/cgi-bin/ cul. math/ docviewer?did=05230001& seq=9). Royal Irish Academy.

• Möbius, August Ferdinand (1827) (en alemán). Der Barycentrische Calcul : ein neues Hülfsmittel zuranalytischen Behandlung der Geometrie (Barycentric calculus: a new utility for an analytic treatment ofgeometry) (http:/ / mathdoc. emath. fr/ cgi-bin/ oeitem?id=OE_MOBIUS__1_1_0).

• «The axiomatization of linear algebra: 1875–1940», Historia Mathematica 22 (3): 262–303, 1995, ISSN 0315-0860

(http:/ / worldcat. org/ issn/ 0315-0860)• Peano, Giuseppe (1888) (en italiano). Calcolo Geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann

preceduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva. Turin.

Espacio vectorial 18

Bibliografía• Castellet, M.; Llerena, I. (1988). «IV espais vectorials» (en catalán). Àlgebra lineal i geometría. Publ. UAB.• Lang, S. (1976). Álgebra Lineal. Fondo Educativo Interamericano.• Queysanne, M., Álgebra Básica, Vicens-Vives. 1973.• Rudin, w., Análisis Funcional (Definición axiomática de espacios vectoriales topológicos introductivamente),

Reverté.

Enlaces externos• Juega con vectores (http:/ / www. frontiernet. net/ ~imaging/ vector_calculator. html)• Weisstein, Eric W. « Espacio vectorial (http:/ / mathworld. wolfram. com/ VectorSpace. html)» (en inglés).

MathWorld. Wolfram Research.• A lecture (http:/ / ocw. mit. edu/ courses/ mathematics/ 18-06-linear-algebra-spring-2010/ video-lectures/

lecture-9-independence-basis-and-dimension/ ) about fundamental concepts related to vector spaces (given atMIT)

• A graphical simulator (http:/ / code. google. com/ p/ esla/ ) for the concepts of span, linear dependency, base anddimension

Norma vectorialUn vector es un elemento de un espacio vectorial del que, en ocasiones, especialmente en física y geometría, interesaconocer su longitud. Para ello se hace necesario definir un operador norma que determine la longitud o magnituddel vector bajo consideración ya que este acto, pese a lo que pudiéramos creer, no es un problema trivial;especialmente desde la aparición de las geometrías no euclídeas para las que aparece, asociada al concepto delongitud, la noción de geodésica. Para ampliar estas ideas conviene conocer la geometría riemanniana y la geometríadiferencial.Por tanto, basándonos en las propiedades básicas que la determinación de la longitud tiene en el espacio euclídeohabitual, definimos matemáticamente qué condiciones mínimas debe satisfacer un operador que actúe sobre unvector para poder ser considerado un operador norma en cualquier geometría. De esta forma, aparecen variasposibilidades que han sido muy fructíferas en diversos campos entre los que cabe destacar la Astrofísica y laCosmología.En espacios vectoriales es sinónimo de longitud de un vector.

Definición de norma euclídeaEn un espacio euclídeo ordinario los vectores son representables como segmentos orientados entre puntos de dichoespacio. Dado un vector de un espacio vectorial euclídeo, la norma de un vector se define como la distancia euclídea(en línea recta) entre dos puntos A y B que delimitan dicho vector. De hecho, en un espacio euclídeo la norma de unvector coincide precisamente con el módulo del vector .•• En dos dimensiones:

siendo y y O el origen de

coordenadas de dicho espacio.•• Extendiendo lo anterior al espacio euclídeo de tres dimensiones, es también elemental que:

siendo y

Norma vectorial 19

• En el caso general de un espacio euclídeo de n dimensiones se tiene:

siendo y

.De lo anterior se sigue que, fijada una base ortonormal en la que un vector viene dado por sus componentes enesta base, , entonces la norma de dicho vector viene dada por:

Definición matemática generalLa definición general de norma se basa en generalizar a espacios vectoriales abstractos la noción de módulo de unvector de un espacio euclídeo. Recuérdese que en un espacio no euclídeo el concepto de camino más corto entre dospuntos ya no es identificable necesariamente con el de la línea recta; por ello, se utilizan las propiedadesoperacionales de la norma euclídea definida más arriba para extraer las condiciones que debe cumplir la "longitud deun vector", o norma vectorial, en un espacio vectorial cualquiera. Estas condiciones básicas son:•• Siempre es no negativa e independiente del sentido (orientación) de la medición.•• La longitud debe ser directamente proporcional al tamaño (es decir, doble -o triple- de tamaño significa doble -o

triple- de longitud).• La longitud entre dos puntos será siempre menor o igual que la suma de longitudes desde esos mismos dos puntos

a un tercero diferente de ellos (desigualdad triangular: la suma de dos lados de un triángulo nunca es menor que eltercer lado, también generalizada en la desigualdad de Cauchy-Schwarz).

Esto genera la siguiente definición matemática:

Sea un espacio vectorial sobre un cuerpo y un vector del espacio. Se dice que es unoperador que define la norma de , y escribimos , si cumple:1. Para todo de su norma ha de ser no negativa, y será cero si y sólo si es el vector cero: si

y .2. Para todo de y para todo k de se satisface que · 3. Para todos e de se cumple que (desigualdad triangular).Cualquier operador que cumpla estas tres condiciones, y en cualquier geometría, será un operador norma.

EjemplosA continuación se muestran algunos ejemplos de posibles operadores norma, que satisfacen la definición matemáticageneral:

• Para un vector se define la norma-p como:

Así, para el caso se obtiene , y para el caso se obtiene lanorma euclídea explicada más arriba.• Otro operador norma sería, la norma del máximo:

Donde . Para un espacio de dimensión infinita numerable se podría escribir:

La elección del subíndice para esta norma se debe al hecho de que:

Norma vectorial 20

• En un espacio vectorial dotado de producto escalar o Espacio prehilbertiano existe una norma asociada alproducto escalar definida como (La coma indica producto interno):

donde x* es el complejo conjugado de x

Si dicho espacio es un espacio de Hilbert entonces el espacio con la norma asociada al producto escalar es un espaciode Banach.

Dependencia e independencia linealEn álgebra lineal, un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito conuna combinación lineal de los restantes. Por ejemplo, en R3, el conjunto de vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) eslinealmente independiente, mientras que (2, −1, 1), (1, 0, 1) y (3, −1, 2) no lo es, ya que el tercero es la suma de losdos primeros.

DefiniciónDado un conjunto finito de vectores , se dice que estos vectores son linealmente dependientes siexisten números , no todos iguales a cero, tales que:

Nótese que el símbolo a la derecha del signo igual no es cero, sino que simboliza al vector nulo . El conjunto devectores nulos forma la matriz nula. Si tales números no existen, entonces los vectores son linealmenteindependientes. La definición anterior también puede extenderse a un conjunto infinito de vectores, concretamenteun conjunto cualquiera de vectores es linealmente dependiente si contiene un conjunto finito que sea linealmentedependiente.Utilizando conceptos de espacios vectoriales podemos redefinir la independencia lineal así:

Un conjunto de vectores de un espacio vectorial es linealmente independiente si

Esta idea es importante porque los conjuntos de vectores que son linealmente indepedientes, generan un espaciovectorial y forman una base para dicho espacio. Entre las propiedades de los vectores linealmente dependientes eindependientes encontramos:1.1. Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solamente si alguno de los vectores es combinación

lineal de los demás.2.2. Si un conjunto de vectores es linealmente independiente cualquier subconjunto suyo también lo es. Obviamente,

si tenemos un conjunto de vectores tales que ninguno de ellos es combinación de los demás, escogiendosolamente unos cuantos, no podrán ser combinación de los otros.

3.3. Si un conjunto de vectores es linealmente dependiente, también lo es todo conjunto que lo contenga.4.4. Un conjunto de vectores son linealmente dependientes si y sólo si son paralelos.5. Un conjunto de vectores son linealmente dependientes si los componentes entre ellos son proporcionales, bien sea

directa o inversamente proporcional. Ya que un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solo si tienealgún vector que es combinación lineal de los demás, si metemos este conjunto de vectores en otro más grande,seguimos teniendo el vector que es combinación lineal de otros, por tanto, el conjunto más grande serálinealmente dependiente.

Dependencia e independencia lineal 21

Significación geométricaGeométricamente, dos vectores son independientes si no tienen la misma dirección. Esta definición supone que elvector nulo tiene todas las direcciones, en otras palabras este debe generar un área.Tres vectores son independientes si y solo si no están contenidos en el mismo plano vectorial, o sea si ninguno deellos es una combinación lineal de los otros dos (en cuyo caso estaría en el plano generado por estos vectores) enotras palabras este debe generar un volumen.El espacio generado por un sistema de vectores es el conjunto de todas las combinaciones lineales de estos vectores.Es un espacio vectorial. El espacio generado por un vector no nulo es la recta vectorial dirigido por este vector. Elespacio generado por dos vectores independientes es el plano que los contiene. Resulta fácil comprobar que elespacio generado por un sistema de vectores es el menor (por la inclusión) espacio vectorial que los contiene a todos.Se le denomina vect A, donde A es el sistema de vectores. Si n vectores son independientes, el espacio generado esde dimensión n (dimensión en el sentido usual: 0 para un punto, 1 para una recta, 2 para un plano...).

EjemploEn el espacio tridimensional usual:• u y j son dependientes por tener la misma dirección.• u y v son independientes y definen el plano P.• u, v y w son dependientes por estar los tres contenidos en el mismo

plano.• u, v y k son independientes por serlo u y v entre sí y no ser k una

combinación lineal de ellos o, lo que es lo mismo, por no pertenecer al plano P. Los tres vectores definen elespacio tridimensional.

• Los vectores o (vector nulo, cuyas componentes son iguales a cero) y k son dependientes ya que o = 0 ·kEjemplo del uso de la fórmula f:¿Son los tres vectores siguientes independientes?

Buscamos tres valores x, y y z que satisfagan la ecuación:

Lo que equivale al sistema de ecuaciones siguiente:

Dado que la única solución es la trivial (x = y = z = 0), los tres vectores son independientes.

Dependencia e independencia lineal 22

Método alternativo usando determinantesUn método alternativo usa el hecho que n vectores en Rn son linealmente independientes si y solo si el determinantede la matriz formada por estos vectores como columnas es distinto de cero.Dados los vectores:

La matriz formada por éstos es:

El determinante de esta matriz es:

Ya que el determinante es no nulo, los vectores (1, 1) y (−3, 2) son linealmente independientes.

Ejemplo IISea V = Rn y consideremos los siguientes elementos en V:

Entonces e1, e2,..., en

son linealmente independientes. Estos vectores constituyen la base canónica en R.

DemostraciónSupongamos que a1, a2,..., an son elementos de R tales que:

Sustituyendo e1, e2,..., en resulta:

Multiplicando:

Sumando coordenadas:

Por lo que se obtiene: Así que:

Además:

Pero 0 es un vector, entonces: Por lo que ai = 0 para todo i en {1,..., n}.Entonces los vectores son linealmente independientes

Dependencia e independencia lineal 23

Ejemplo IIISea V el espacio vectorial de todas las funciones a variable real. Entonces las funciones et y e2t en V son linealmenteindependientes.

DemostraciónSupongamos que a y b son dos números reales tales que:

aet + be2t = 0Para todos los valores de t. Necesitamos demostrar que a = 0 y b = 0. Para hacer esto dividimos por et (que es unnúmero real diferente de cero, sea cual sea t) y restando obtenemos:

bet = −a

En otras palabras, la función bet debe ser independiente de t, lo cual ocurre únicamente cuando b = 0. Por lo tanto, aes cero.

Temas relacionados• Combinación lineal, Sistema generador• Base (álgebra), Base Ortogonal, Base Ortonormal•• Dependencia funcional

Desigualdad triangular

Desigualdad del triángulo.

La desigualdad del triángulo es un teorema de geometríaeuclidiana que establece:

En todo triángulo la suma de las longitudes de dos ladoscualquiera es siempre mayor a la longitud del lado restante.

Este resultado ha sido generalizado a otros contextos mássofisticados como espacios vectoriales. Definidomatemáticamente, cualquier triángulo cumple la siguientepropiedad:

donde a, b y c son los lados.

Desigualdad triangular 24

Camino euclidiano de mínimo recorrido

Desigualdad del triángulo tendiendo hacia laigualdad mientras reduce su altura.

En geometría euclidiana (y en algunas otras geometrías[1]) ladesigualdad triangular es un teorema importante acerca de las medidasy las distancias. Siguiendo en geometría euclidiana, dicha desigualdaden triángulos rectángulos, es una consecuencia del teorema dePitágoras, y para los triángulos en general una consecuencia de la leyde los cosenos, aunque ésta puede ser probada sin esos teoremas. Ladesigualdad se puede ver intuitivamente ya sea en ℝ² o ℝ³ (aunquetambién es válida para ℝn). La figura de la derecha muestra tresejemplos progresivos partiendo de una clara desigualdad (triángulomás alto) hasta acercarse tanto como se quiera a la igualdad (triángulomás bajo). Advierta que se logra tanta más aproximación a la igualdad,cuanto más se aproxima el vértice Z (el opuesto al lado z) a cualquierpunto del segmento que conforma al lado z de la base del triángulo, yesto con total independencia del camino que se utilice.

El teorema de la desigualdad triangular solo menciona los casos de desigualdad (no podría ser se otra maneradebido a su enunciado) y así evita el tratar con el caso límite de si tres vértices colineales siguen o no definiendo untriángulo, (aún si se conviene en que sí, estaríamos ante un caso de figura geométrica degenerada y éstas conducenen general a soluciones espurias, aunque particularmente en éste caso, no es así).Siendo h la altura del triángulo y tomando límite con , la polémica se soslaya y se adquiere el derecho aextender la fórmula inicial a una más general.Si (x, y, z) son las respectivas denominaciones de los lados de un tiángulo cualquiera y h la altura correspondiente allado z, entonces podremos reconocer dos casos:1) Aceptado h>0. Implica quedarnos con las tres desigualdades tradicionales del teorema:

2) Aceptado h≥0. En éste segundo caso logramos tres desigualdades más generales que las del teorema porqueincluyen el caso que más nos interesa, el cual es el caso límite de igualdad :

En geometría euclídea, sólo se obtiene el caso límite de igualdad cuando el triángulo (aunque degenerado) tengaaltura h=0 (sobre el lado que se ha denominado z) y además el vértice Z pertenezca al segmento xy (o sea al lado z),llegando entonces los tres vértices, a ser colineales, como se muestra en el ejemplo (línea base).

Como el vértice Z puede estar en cualquier lugar (del plano al que pertenece el triángulo), pero en la desigualdadtriangular solo se logra el caso límite de igualdad cuando dicho vértice se encuentra en un lugar tal que pertenece alsegmento constituyente del lado z, y como por otra parte la mínima longitud que puede tener la suma x+ycumpliendo con ser mayor o igual a la longitud del lado z es justamente la longitud del lado z, se concluye entoncesque para el caso límite de x+y=z estamos ante una longitud de mínimo recorrido posible entre los vértices X e Y dez, (en definitiva entre dos puntos cualquiera, por ser z un lado genérico), lo cual demuestra que la línea recta es elcamino de menor longitud posible entre ellos.Por todo lo anterior es posible afirmar que:

En geometría euclidiana la distancia más corta entre dos puntos es una línea recta.Es importante registrar que la desigualdad triangular euclídea en ℝ² o ℝ³ es una idea de gran simplicidad. Luego en matemáticas más avanzadas se podrá ver que la “idea” de la desigualdad (ya no triangular) se puede generalizar también a polígonos de cuatro o más lados. Luego sabiendo que los polígonos al tender su número de lados a infinito

Desigualdad triangular 25

( ) se convierten en curvas, en las que aún vale una versión con similitudes a la “idea” de desigualdad. Además enalgunos casos puede generalizarse el concepto a algunos espacios no euclidianos (con solo reemplazar el conceptode recta por el de línea geodésica).

Espacios vectoriales normadosEl teorema puede generalizarse a espacios vectoriales normados, obteniéndose la siguiente versión de la desigualdadtriangular:

En todo espacio vectorial normado Es decir, que La norma de la suma de dos vectores es siempre menor o igual a la suma de las normas de los dosvectores.En el caso particular de considerar la recta real como espacio vectorial normado con el valor absoluto como normaobtenemos la siguiente versión del teorema:

Para cualquiera dos números a y b se cumple: cuya demostración es:

Demostración(Ámbito → ℝ). Haciendo uso de las propiedades del valor absoluto, es posible escribir:

Sumando ambas inecuaciones:

A su vez, usando la propiedad de valor absoluto si y solo si en la línea de arriba queda:

Generalización de la desigualdad triangularLa desigualdad triangular puede generalizarse a un número arbitrario de sumandos:

,es decir:

donde n es un número natural, y los son números reales.

Demostración

Desigualdad triangular 26

La demostración es un ejemplo clásico de prueba por inducción matemática.Como casos iniciales observamos que para n=1:

puesto que el símbolo es una disyunción lógica (menor o igual) que contempla ya el caso deigualdadCuando n=2, obtenemos la desigualdad triangular clásica

Supongamos ahora que la condición se ha verificado hasta un cierto valor k de n. Esto es, asumimosque se ha verificado

Queda por demostrar que la afirmación es cierta también para el siguiente valor, k+1.Partimos de la siguiente expresión:

y observando que es un número real y es otro, podemos aplicar la desigualdad triangular

para dos sumandos:

Aplicamos ahora la afirmación para n=k sumandos

la cual habíamos supuesto como cierta y la sustituimos para obtener

Sin embargo, esta última expresión es precisamente

de manera que hemos demostrado

y por medio de inducción matemática, el resultado queda establecido para cualquier valor de n.

Notas[1] En geometría esférica el concepto de línea recta es reemplazado por el de geodésica, la cual es la distancia más corta entre dos puntos dados

de la misma y ésta es siempre una línea que debe pertenecer a una circunferencia máxima (también llamada maximal). Las circunferenciasmáximas son las líneas de intersección entre la superficie esférica y cualquier plano que pase por el centro de la misma, con estas restriccionesse puede hablar aún de triángulos de lados geodésicos. Los triángulos esféricos no cumplen con que la suma de sus ángulos internos sea 180°,sin embargo la desigualdad triangular sigue vigente en geometría esférica.

Desigualdad de Hölder 27

Desigualdad de HölderEn análisis matemático la desigualdad de Hölder, llamada así debido a Otto Hölder, es una desigualdadfundamental entre integrales y una herramienta indispensable para el estudio de los espacios Lp.Sea (S, Σ, μ) un espacio de medida y sea 1 ≤ p, q ≤ ∞ con 1/p + 1/q = 1. Entonces, para toda función medible devalores reales o complejos f y g sobre  S, se tiene que

Los números p y q expresados arriba se dice que son conjugados de Hölder uno del otro. El caso especial p = q = 2se reduce a la conocida desigualdad de Cauchy-Schwarz.La desigualdad de Hölder se cumple incluso si ||fg ||1 es infinita, siendo para el miembro derecho de la desigualdadinfinito en ese caso. En particular, si f está en Lp(μ) y g está en Lq(μ), entonces fg está en L1(μ).Para 1 < p, q < ∞, f ∈ Lp(μ) y g ∈ Lq(μ), la desigualdad de Hölder se convertirá en una igualdad si y sólo si |f |p y |g |q

son linealmente dependientes en L1(μ), lo que significa que existen dos números reales α, β ≥ 0, siendo alguno deellos distinto de 0, tales que α |f |p = β |g |q μ-casi en todas partes.La desigualdad de Hölder es usada para demostrar la desigualdad de Minkowski, la cual es una generalización de ladesigualdad triangular en el espacio Lp(μ), y también para establecer que Lq(μ) es el espacio dual de Lp(μ) para1 ≤ p < ∞.La desigualdad de Hölder fue descubierta por primera vez por Rogers (1888), y descubierta independientemente porHölder (1889).

Referencias• Hardy, G.H.; Littlewood, J.E.; Pólya, G. (1934), Inequalities, Cambridge University Press, ISBN 0521358809

• Hölder, O. (1889), «Ueber einen Mittelwerthsatz [1]», Nachrichten von der Königl. Gesellschaft derWissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen Band 1889 (2): 38–47 (en alemán). Disponibleen Digi Zeitschriften [2].

• Kuptsov, L.P. (2001), «Hölder inequality [3]», en Hazewinkel, Michiel (en inglés), Encyclopaedia of Mathematics,Springer, ISBN 978-1556080104

• Rogers, L J. (1888), «An extension of a certain theorem in inequalities», Messenger of Mathematics 17: 145–150.• Kuttler, Kenneth (2007), An introduction to linear algebra [4], Online e-book en formato PDF, Brigham Young

University• Lohwater, Arthur (1982), Introduction to Inequalities [5], Online e-book en formato PDF

Referencias[1] http:/ / www. digizeitschriften. de/ index. php?id=166& ID=468392[2] http:/ / www. digizeitschriften. de/ index. php?id=64& L=2[3] http:/ / www. encyclopediaofmath. org/ index. php?title=H%C3%B6lder_inequality& oldid=23328[4] http:/ / www. math. byu. edu/ ~klkuttle/ Linearalgebra. pdf[5] http:/ / www. mediafire. com/ ?1mw1tkgozzu

Número cardinal 28

Número cardinalEl cardinal indica el número o cantidad de elementos de un conjunto, sea esta cantidad finita o infinita. Los númeroscardinales constituyen una generalización interesante del concepto de número natural, permitiendo comparar lacantidad de elementos de conjuntos infinitos. Dado un conjunto , el cardinal de este conjunto se simbolizamediante , , o . Por ejemplo: si A tiene 3 elementos el cardinal se indica así: |A| = 3.

HistoriaEl concepto de número cardinal fue desarrollado y propuesto por Georg Cantor, en 1874, quien lo amplió aconjuntos infinitos, ya que para conjuntos finitos el concepto de cardinal es trivial.Primero estableció el concepto de cardinalidad como una herramienta para comparar conjuntos finitos. Por ejemplo,los conjuntos {1,2,3} y {2,3,4} son distintos pero ambos tienen cardinalidad 3.Cantor definió el conteo usando la correspondencia biunívoca, la cual mostraba fácilmente que dos conjuntos finitostenían la misma cardinalidad si había una relación biyectiva entre sus elementos. Esta correspondencia uno a uno lesirvió para crear un concepto de conjunto infinito, el cual posee todos sus elementos relacionados de forma biyectivacon el conjunto de números naturales (N = {1, 2, 3, ...}).Nombró el cardinal de : . Incluso probó que varios conjuntos infinitos formados por naturales (como lospares) tienen cardinalidad , debido a que era posible establecer la relación biunívoca con N.

Propiedades del cardinal de un conjuntoLos conjuntos pueden ser divididos en clases de equivalencia definidas en función de la relación de equivalencia queincluye a un par de conjuntos si y sólo si entre éstos existe una biyección. Cardinalidad de un conjunto sería la clasede equivalencia a la cual éste pertenece. Tener dos conjuntos con la misma cardinalidad (o sea, quepertenezcan al mismo cardinal) se denota:

o bien La existencia de una función inyectiva entre dos conjuntos también define una relación de orden entre sus cardinales;es decir:

La relación excluye la posibilidad que los cardinales sean iguales.Es posible demostrar que si

y esto implica que El cardinal del conjunto vacío se denota convencionalmente como 0 (cero) y contiene al único conjunto vacío:

El primer cardinal infinito (en el sentido de que sus representantes son conjuntos infinitos) es el cardinal de losnaturales, y se denota usualmente por . Se puede también demostrar que existe una función biyectiva entre losordinales y los cardinales de conjuntos infinitos, tal que preserva el orden en ambos conjuntos (el orden de losordinales y el -orden en los cardinales). Esta función, llamada , induce un buen orden en los cardinales, y deaquí proviene la notación para el primer cardinal infinito, para el siguiente, etc.

Número cardinal 29

Cardinal del conjunto potenciaExiste una relación entre el cardinal de un conjunto y el conjunto de partes o conjunto potencia:

Donde es el cardinal del conjunto de partes.

Cardinales transfinitosLos números cardinales de algunos conjuntos se representan con símbolos especiales:

• El cardinal de los números reales: ;• El cardinal de los números naturales: (Alef-0).• El cardinal inmediatamente superior a : Usando los axiomas de Zermelo-Fraenkel (ZF) puede comprobarse que los tres cardinales anteriores cumplen

. La hipótesis del continuo afirma que de hecho . Gödel probó en 1938 que esta hipótesis esconsistente con los axiomas ZF, y por tanto puede ser tomado como un axioma nuevo para la teoría de conjuntos. Sinembargo, en 1963 Paul Cohen probó que la negación de la hipótesis del continuo también es consistente con losaxiomas ZF, lo cual prueba que dicha hipótesis es totalmente independiente de los axiomas ZF. Es decir, puedenconstruirse tanto "teorías de conjuntos cantorianas" en las que la hipótesis del continuo es una afirmación cierta,como "teorías de conjuntos no cantorianas" en las que la hipótesis del continuo sea falsa. Esta situación es similar ala de las geometrías no euclídeas.

Definición formal de cardinalEn teoría de conjuntos se emplean definiciones un poco más abstractas de cardinal, que requieren de la definición delos ordinales. En ese contexto se define la cardinalidad de un ordinal como:

Como cualquier conjunto de ordinales es siempre un conjunto bien ordenado, siempre existirá un mínimo con esadefinición un cardinal es un ordinal que cumple que:

Todos los cardinales forman una clase dentro de los ordinales. De hecho, en cierta manera la clase de todos loscardinales es una clase de "ordinales iniciales" en el sentido de que un cardinal es un ordinal tal que no existe ningúnotro ordinal del mismo tamaño. En particular todos los ordinales regulares son cardinales.

Ejemplos de cálculo del cardinal de un conjunto

Conjuntos finitosEl cardinal conjunto finito A = {2,4,5} es 3. Resulta trivial demostrar que esta función es inyectiva: f: {2,4,5} →{1,2,3}:

Número cardinal 30

Conjuntos infinitos

Números naturales

El cardinal del conjunto infinito P = {x ∈ / x es par } formado por los números pares es . Para demostrarlobasta con definir las funciones:

Demostrando la inyectividad de ambas, concluimos que f es biyectiva. La cardinalidad del conjunto es . Estoconcluye la demostración. Aunque este resultado puede parecer contrario a la intuición, ya que se puede pensar quehay más naturales que pares (porque, por ejemplo, el 1 es natural y no está incluido en los pares), pero demostramosque estos conjuntos son equipotentes.El conjunto de pares (o más generalmente de n-tuplas) de números naturales tiene un cardinal . Esto se puedeprobar numerando los pares de números naturales anti-diagonalmente. Otro modo de demostrar es que tieneel mismo cardinal que un subconjunto infinito de los naturales:

Al ser 3 y 2 números primos, para cada par x, y obtendremos un número distinto. Entonces g es inyectiva y

Números racionales

El conjunto de los Números racionales tiene un cardinal igual a . Este resultado desafía un poco la intuiciónporque de un lado el conjunto de los racionales es "denso" en que tiene cardinal , de hecho estudiando unpoco la topología de los números reales, tenemos que entre dos números reales existe siempre un número racional, yentre dos racionales un real irracional. Eso podría hacer pensar que y son comparables según el número deelementos, pero resulta que sólo tiene tantos elementos como , siendo el número de elementos de uninfinito muy superior al número de elementos de .Para comprobar que en efecto el conjunto es numerable, y por tanto, tiene el mismo cardinal que los naturalespodemos ver que existe una función inyectiva . Si un número racional q es igual a r/s siendo estos dos númerosprimos relativos entre sí entonces definimos:

Esto demuestra que y como y los naturales sonasimilables a un conjunto de los racionales tenemos la cadena de desigualdades:

Por lo tanto:

Aritmética de cardinalesDados dos conjuntos disjuntos y con cardinales respectivos y se define el principio de la suma y elprincipio del producto para la suma y multiplicación de cardinales como:

Cuando los dos conjuntos son finitos la aritmética de cardinales se reduce a la aritmética de números naturales. Sinembargo cuando alguno de los dos conjuntos es infinito se tiene una extensión consistente de la aritmética denúmeros naturales. Existen algunas relaciones aritméticas interesantes entre cardinales transfinitos:

el cardinal de la unión de dos conjuntos coincide con el mayor cardinal.El cardinal del producto cartesiano coincide con el mayor cardinal.

Número cardinal 31

La exponenciación de cardinales se define a partir del conjunto de funciones de entre los dos conjuntos y :

Con las definiciones anteriores es inmediato comprobar que:

Enlaces externos• Weisstein, Eric W. «Cardinal Number [1]» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.

Referencias[1] http:/ / mathworld. wolfram. com/ CardinalNumber. html

Función convexa

Función convexa en un intervalo [x,y].

En matemática, una función real fdefinida en un intervalo (o en cualquiersubconjunto convexo de algún espaciovectorial) se llama función convexa ocóncava hacia arriba, si está definidasobre un conjunto convexo C y paracualesquiera dos puntos x, y miembrosde C, y para cada t en [0,1], se cumpleque:

En otras palabras, una función esconvexa sí y sólo si su epigrafo (elconjunto de puntos situados en o sobreel grafo) es un conjunto convexo.

Una función estrictamente convexaes aquella en que

para cualquier t en (0,1) y Una función es cóncava si la función es convexa.

Función convexa 32

Propiedades

Una función (en azul) es convexa si y sólo si laregión sobre su grafo (en verde) es un conjunto

convexo.

Una función convexa f definida en un intervalo abierto C es continuaen C y diferenciable en todos los puntos menos en un conjuntonumerable. Si C es cerrado, f puede no ser continuo en los puntoscríticos o finales de C.

Una función es punto-medio convexa (midpoint convex) en un intervalo"C" si

para todo x e y en C. Esta condición es sólo ligeramente más relajadaque la de convexidad. En particular, una función continua que espunto-medio convexa será también convexa.

Una función diferenciable de una variable es convexa en un intervalo síy sólo si su derivada es monótonamente no-decreciente en eseintervalo.

Una función continuamente diferenciable de una variable es convexa en un intervalo si y sólo si la función seencuentra por encima de todas sus tangentes: f(y) ≥ f(x) + f '(x) (y − x) para todo x e y en el intervalo. En particular, sif '(c) = 0, luego c es un mínimo absoluto de f(x).

Una función doblemente diferenciable de una variable es convexa en un intervalo si y sólo si su segunda derivada esno negativa en ese intervalo; esto proporciona una prueba práctica para verificar convexidad. Si la segunda derivadaes positiva, entonces es estrictamente convexa, pero la doble implicación no se cumple, como podemos ver porejemplo en f(x) = x4.En general, una función continua doblemente diferenciable de muchas variables es convexa en un conjunto convexosi y sólo si su matriz Hessiana is definida positiva en el interior de ese conjunto convexo.Cualquier mínimo local de una función convexa es también un mínimo absoluto. Una función estrictamente convexatendrá a lo más un mínimo absoluto.Para una función convexa f, los conjuntos de nivel {x | f(x) < a} y {x | f(x) ≤ a} con a ∈ R son conjuntos convexos.Sin embargo, una función cuyos conjuntos de nivel son conjuntos convexos puede no resultar ser convexa; unafunción de este tipo se llama función cuasi-convexa.La inecuación de Jensen se aplica a toda función convexa f. Si es una variable aleatoria que toma valores en eldominio de f, entonces (Aquí denota la esperanza matemática.)

Cálculo de función convexa• Si y son funciones convexas, entonces también lo son y

• Si y son funciones convexas y es creciente, entonces es convexa.• La convexidad es invariante bajo mapeamientos afines; es decir, si es convexa, con , entonces

también lo es , donde • Si es convexa en y es un conjunto convexo no vacío, entonces es

convexa en siempre que para algún

Función convexa 33

Ejemplos• La función tiene en todos los puntos, luego f es una función (estrictamente)

convexa.• La función valor absoluto es convexa, incluso a pesar de que no es derivable en el punto x = 0.• La función para 1 ≤ p es convexa.• La función f con dominio [0,1] definida por f(0)=f(1)=1, f(x)=0 para 0<x<1 es convexa; es continua en el intervalo

abierto (0,1), pero no en 0 ni en 1.• La función x3 tiene segunda derivada 6x; luego ella es convexa en el conjunto donde x ≥ 0 y cóncava en el

conjunto donde x ≤ 0.• Toda transformación lineal con dominio en es convexa, pero no estrictamente convexa, pues si f es lineal,

luego Esto también se aplica si reemplazamos "convexo" por "cóncavo".• Toda función afín con dominio en , es decir, cada función de la forma , es al mismo

tiempo convexa y cóncava.• Toda norma vectorial es una función convexa, por la desigualdad triangular.• Si es convexa, la función perspectiva es convexa para • Las funciones y son monótonamente crecientes pero no convexas.• Las funciones y son convexas pero no monótonamente crecientes.• La función f(x) = 1/x2, con f(0)=+∞, es convexa en los intervalos (0,+∞) y (-∞,0), pero no es convexa en (-∞,+∞),

debido al punto x = 0.

Teoremas sobre funciones convexasEl siguiente teorema generaliza un resultado bien conocido en a cualquier espacio normado sea de dimensiónfinita o infinita:

(Condición necesaria de mínimo local) Sea una función definida sobre un conjunto convexode un espacio vectorial normado. Si el punto es un mínimo local de la función y si la función

es diferenciable (en sentido de Fréchet) en el entorno de dicho punto, entonces

La desigualdad anterior se denimina desigualdad de Euler.El teorema anterior es válido para cualquier función sea convexa o no, mientras que el siguiente es válido sólo parafunciones convexas:

(Convexidad y derivada) Sea una función definida sobre un conjunto convexo de unespacio normado, entonces:

a) La función es convexa en su dominio si y sólo si:

b) La función es estrictamente convexa en su dominio si y sólo si:

El significado geométrico del teorema anterior es claro, el teorema implica simplemente que la función en todopunto está por encima del plano tangente en un punto. El siguiente teorema es válido para funciones convexas queson dos veces diferenciables (y por tanto admiten una forma bilineal que generaliza la matriz hessiana):

(Convexidad y segunda derivada) Sea una función definida sobre un conjunto convexo deun espacio normado y que sea dos veces diferenciable, entonces:

a) La función es convexa en su dominio si y sólo si:

Función convexa 34

b) Si

La función es estrictamente convexa en su dominio.Nótese que en este último caso el recíproco de la afirmación b) no es cierto en general, por ejemplo considérese

cuya segunda derivada en el origen se anula y, sin embargo, la función sigue siendoestrictamente convexa.El último teorema impone restricciones sobre el número de mínimos que puede tener una función convexa y sunaturaleza:

(mínimos de funciones convexas) Sea una función definida sobre un conjunto convexo deun espacio normado, entonces:

a) Cualquier mínimo local de la función de hecho es un mínimo aboluto (aunque no todo mínimoabsoluto es un mínimo local).b) Si es estrictamente convexa, tiene como mucho un único mínimo, y es un mínimo estricto.

c) Si es un conjunto abierto, entonces un punto es un mínimo si y solo si

Referencias• Rockafellar, R. T. (1970). Convex analysis. Princeton: Princeton University Press.• Luenberger, David (1984). Linear and Nonlinear Programming. Addison-Wesley.• Luenberger, David (1969). Optimization by Vector Space Methods. Wiley & Sons.• Bertsekas, Dimitri (2003). Convex Analysis and Optimization. Athena Scientific.• Thomson, Brian (1994). Symmetric Properties of Real Functions. CRC Press.•• Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste, y Lemaréchal, Claude. (2004). Fundamentals of Convex analysis. Berlin: Springer.• Krasnosel'skii M.A., Rutickii Ya.B. (1961). Convex Functions and Orlicz Spaces. Groningen: P.Noordhoff Ltd.•• Borwein, Jonathan, and Lewis, Adrian. (2000). Convex Analysis and Nonlinear Optimization. Springer.

Enlaces externos• Stephen Boyd y Lieven Vandenberghe, Convex Optimization [1] (PDF)

Referencias[1] http:/ / www. stanford. edu/ ~boyd/ cvxbook/

Espacio-tiempo de Minkowski 35

Espacio-tiempo de MinkowskiEn física matemática, el espacio de Minkowski (o espacio-tiempo de Minkowski) es una variedad lorentziana decuatro dimensiones y curvatura nula, usada para describir los fenómenos físicos en el marco de la teoría especial dela relatividad de Einstein.En el espacio de Minkowski pueden distinguirse tres dimensiones espaciales ordinarias y una dimensión temporaladicional, de tal manera que todas juntas forman una 4-variedad y así representar al espacio-tiempo.

DefiniciónEl espacio-tiempo de Minkowski es una variedad lorentziana de curvatura nula e isomorfa a dondeel tensor métrico puede llegar a escribirse en un sistema de coordenadas cartesianas como:

(1)

O en forma matricial explícita, respecto a la misma base:(2)

De todas maneras es común renombrar a las coordenadas en términos de las coordenadas espaciales y el tiempousados en la mecánica newtoniana es decir: con lo cual el tensor métrico seescribe simplemente como:

(3)

Propiedades

Contenido materialEl tensor de curvatura de Riemann del espacio-tiempo de Minkowski es idénticamente nulo, razón por la cual se diceque el espacio-tiempo es plano. Así el resto de tensores y escalares de curvatura resultan nulos, siendo también nuloel tensor de Einstein que es igual al contenido material. Por tanto, el espacio-tiempo de Minkowski representa ununiverso vacío.Físicamente el espacio-tiempo de Minkowski puede emplearse como una aproximación local del espacio-tiempo enregiones razonablemente pequeñas y en presencia de materia, siempre que esta no llegue a gravitar por sí misma.Este hecho queda recogido en el Principio de equivalencia.

Espacio-tiempo de Minkowski 36

GeodésicasCualquier línea recta constituye una geodésica, ya que el tensor de curvatura se anula. Tomando coordenadascartesianas las geodésicas vienen dadas simplemente por:

(5)

Que corresponden a líneas rectas:(6)

Donde:

son las componentes de la velocidad de una partícula., es el tiempo propio de la partícula que viaja según la geodésica.

Grupo de isometríaEl grupo de isometría del espacio-tiempo de Minkowski es precisamente el grupo de Poincaré, que admite diversossubgrupos entre ellos:• El grupo de Lorentz• El grupo de rotaciones• El grupo de traslaciones que es isomorfo a , en particular cualquier campo vectorial constante es un vector

de Killing, que genera un grupo uniparamétrico de isometrías.

Representación pseudoeuclídeaEl espacio-tiempo de Minkowski admite un tratamiento pseudoeuclídeo, eso significa que bajo la aplicación sobrelos complejos dada por:Y tratando las coordenadas resultantes como vectores de un espacio euclídeo de cuatro dimensiones se reproducenlos resultados geométricos típicos del espacio-tiempo de Minkowski. Si en esa representación se trata todo comoescalares complejos y se construyen a partir del producto escalar euclídeo las magnitudes escalares de la teoría, estasresultan invariantes. Además se cumple que:

(7)Es más todos los cuadrivectores y cuadritensores antisimétricos de segundo orden admiten una representacióncompleja de ese tipo, con similares propiedades de invariancia a (4):

Fuentes y contribuyentes del artículo 37

Fuentes y contribuyentes del artículoDesigualdad de Minkowski  Fuente: https://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=68388036  Contribuyentes: Albert11235, Jorge c2010, Manuel Valadez Sánchez, Sabbut, 2 ediciones anónimas

Hermann Minkowski  Fuente: https://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=64427679  Contribuyentes: Bunchi, Cansado, Ceancata, Cesaranieto, CommonsDelinker, Copydays, Desdeluego, ElMegaloco, Fran89, GermanX, Gusgus, Heimy, Ikertza, Jorge c2010, Mpagano, Tano4595, Toolserver, Veremos, Wricardoh, 8 ediciones anónimas

Espacios Lp  Fuente: https://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=65158969  Contribuyentes: Alberto5000, Correogsk, Davius, Juan Mayordomo, MarceloTapiaGaete, Raulshc, Spyglass007, 9ediciones anónimas

Espacio vectorial  Fuente: https://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=72172426  Contribuyentes: .José, 80.224.97.xxx, A ntiyanki, Acratta, Adverick, Amo de las supercuerdas, Amoceann,AnthonnyAG, BRPC, Banfield, Barymar, Bostador, Camilo, Cinabrium, Comae, Danielba894, Davius, DefLog, Diegusjaimes, Dnu72, Eduardosalg, Er Komandante, Felipealvarez, Folkvanger,FrancoGG, Fsd141, GTubio, GermanX, Gusbelluwiki, Götz, HUB, Helene Schopenhauer, Hflores, Hprmedina, Igna, Ingenioso Hidalgo, Ivn, JacobRodrigues, Javierito92, Jerowiki, Jkbw, Jorgec2010, Jorgechp, Joseaperez, Juan Marquez, Juan Mayordomo, Juanfquim, Julie, Julio grillo, Kadellar, Kender00, Kiroh, Kved, LP, Laura Fiorucci, Linkedark, Lualalsa, Magister Mathematicae,Malguzt, ManuelMore, Marianov, Martinwilke1980, Matdrodes, Maveric149, Moriel, Morthylla, Natofe, Numbo3, Orgullomoore, Orly01, Paintman, Perky Pat, Pirenne, Poco a poco, Raulshc,Ricardo Oliveros Ramos, Ricardogpn, Ricardos, Robertg, Rojasyesid, Romanm, Rαge, SMP, Sauron, Savh, Silvae, Sittsam, SuperBraulio13, Taichi, Tano4595, Troodon, Tuncket, Txuspe,Vitamine, Vivero, Wesisnay, Wewe, Wikiwa1, Wrcdriver, Youandme, conversion script, 197 ediciones anónimas

Norma vectorial  Fuente: https://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=69329634  Contribuyentes: Acratta, Agualin, Biasoli, Coins, Davius, Diegusjaimes, Focojoaco, GermanX, Gusbelluwiki,Ingenioso Hidalgo, Jorge c2010, Juan Marquez, Juan Mayordomo, Leonpolanco, ManuelMore, Netito777, Niksfish, Ogai, Raulshc, Taragui, 39 ediciones anónimas

Dependencia e independencia lineal  Fuente: https://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=70070424  Contribuyentes: Aladiah, Ascánder, Camilo, Davius, FedeBosio, Fsd141, Gilberto ChávezMartínez, Götz, H4l9k, HUB, Hecktorzr, JA Galán Baho, Jerowiki, Jhajha, Jorge c2010, Kiroh, Leonpolanco, Linkedark, Mahadeva, Manwë, Matdrodes, Neodop, R2D2!, Rdaneel, Richy, Rsg,Sanbec, SergioVares, Tano4595, UA31, Vic Fede, Wewe, 86 ediciones anónimas

Desigualdad triangular  Fuente: https://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=71005290  Contribuyentes: Ajraddatz, Alejandrocaro35, Banfield, BetoCG, Davius, Er Komandante, Euclides,Farisori, GermanX, Gusbelluwiki, Humberto, JMCC1, Joseaperez, Juan Mayordomo, Magister Mathematicae, Moriel, Nahuelgq, Raulshc, Revoluc, Sanbec, 39 ediciones anónimas

Desigualdad de Hölder  Fuente: https://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=65293479  Contribuyentes: Grillitus, Raulshc

Número cardinal  Fuente: https://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=71231202  Contribuyentes: 100% puma, Acratta, Alhen, Andres ernesto guzman, Antur, Cassilia, Cusell, Davius,Diegusjaimes, Domaniom, Dorieo, Drake 81, Er Komandante, Fibonacci, Fsd141, GermanX, Greek, Helmy oved, HiTe, Igna, Jkbw, Joseaperez, Kabri, Kender00, Kismalac, Lopenovi2, Moriel,Mpagano, Opinador, Pólux, Raulshc, Rdaneel, Resped, Sabbut, Stifax, Tfeliz, Tirithel, Tomatejc, 83 ediciones anónimas

Función convexa  Fuente: https://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=69225234  Contribuyentes: Davius, Farisori, Hu12, Jerowiki, Juan Mayordomo, Mcapdevila, 7 ediciones anónimas

Espacio-tiempo de Minkowski  Fuente: https://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=72278876  Contribuyentes: .José, Alfredo bsc, Alhen, Davius, Fmercury1980, Fran89, GermanX,Gerwoman, Gilwellian, Gökhan, Juan Marquez, Kismalac, Leonpolanco, Physmann, Rrecillas, SakalojZorakj, Sürrell, Tano4595, 16 ediciones anónimas

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 38

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Licencia 39

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