DESCRIVERE E PREVEDERE: la DESCRIVERE E PREVEDERE: la struttura delle teorie scientifiche struttura delle teorie scientifiche nel’esempio del moto dei pianetinel’esempio del moto dei pianeti

Scienze, Matematica e Fisicaa.s. 2011/2012

L’inizio: la ricerca matematica nel L’inizio: la ricerca matematica nel XVII secoloXVII secolo

Si individuano in modo deciso e si sviluppano due capitoli della matematica: la geometria analitica, l’analisi infinitesimale

Tre diverse culture matematiche: italiana (Bonaventura Cavalieri (1591-1647), Evangelista Torricelli (1608-1647)), francese (Pierre de Fermat (1601-1678), Guillaume François de l’Hopital (1661-1704), Michel Rolle (1652-1719)), inglese (John Napier (1550-1617), Henry Briggs (1561-1630), Isaac Barrow (1630-1677))

Graduale avvicinarsi della matematica ai problemi infinitesimali

L’inizio: la ricerca matematica L’inizio: la ricerca matematica nel XVII secolonel XVII secolo …nella terza giornata dei “Discorsi” Galileo dimostra che s=1/2at2 per il

moto uniformemente accelerato

L’inizio: la ricerca matematica L’inizio: la ricerca matematica nel XVII secolonel XVII secolo

…regola per determinare massimi e minimi di una funzione secondo Fermat

Supponiamo ad esempio si vogliano trovare i massimi ed i minimi della funzione y=x(b-x). La regola di Fermat prescrive innanzitutto di calcolarne il valore quando l’argomento x sia accresciuto di E; così facendo otteniamo: (x+E)(b-x-E) che svolto e semplificato da xb-x2-2xE+Eb-E2.Ora scriviamo l’uguaglianza proposta da Fermat: x(b-x)= xb-x2-2xE+Eb-E2. Svolte tutte le semplificazioni possibili si trova 0=-2x+b-E e se poniamo E=0 otteniamo la soluzione x=b/2ID COMPARO TAMQUAM ESSENT AEQUALIA, LICET REVERA AEQUALIA NON SINT, ED HUJUSMODI COMPARATIONEM VOCAVI ADAEQUALITATEM

ISAAC NEWTON: principi matematici ISAAC NEWTON: principi matematici della filosofia naturaledella filosofia naturale

(La forza insita della materia è la disposizione a resistere, per effetto della quale) ciascun corpo, per quanto sta in esso, persevera nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme.

Il cambiamento di moto è proporzionale alla forza motrice impressa, ed avviene lungo la linea retta secondo la quale la forza è stata impressa.

Ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria: ossia, le azioni di due corpi sono sempre uguali tra loro e dirette verso parti opposte.

+ Libro terzo: Sistema del mondo

Descrivere il moto: la derivazione

Per descrivere il moto occorre dare le funzioni del tempo r=r(t), v=v(t) a=a(t)

Conoscendo r=r(t) possiamo stabilirne le altre caratteristiche v=v(t) (velocità=spostamento nell’unità di tempo), a=a(t) (accelerazione =variazione della velocità nella unità di tempo)

La operazione matematica che ci fa passare dalla conoscenza della posizione a quella della velocità, dalla conoscenza della velocità a quella della accelerazione si chiama derivazione.

Lo spostamento infinitesimo si indica con dr, la variazione di velocità infinitesima si indica con dv, la variazione infinitesima del tempo si indica con dt

v=dr/dt, a=dv/dt

Prevedere il moto: la integrazione

f(t)=f(t0)+f’(ξ)(t-t0) per un particolare ξ che appartiene all’intorno (t0;t) (teorema di Lagrange 1736-1813)

Facendo tendere t ad t0 la quantità t-t0 tende a 0, f(t)-f(t0) tende a 0 e ξ tende a t0

Se in (t0;t) lf’(t’)l<M cioè se la funzione varia di poco nell’intervallo dato possiamo scrivere f(t)~f(t0)+f’(t0)(t-t0)

Possiamo calcolare l’errore massimo che si commette facendo questa approssimazione infatti:

f(t)=f(t0)+f’(ξ)(t-t0) f’(ξ)=f’(t0)+f’’(μ)(ξ-t0) da cui f(t)=f(t0)+f’(t0)(t-t0)+f’’(μ)(ξ-t0)(t-t0)

Prevedere il moto: Newton (1687), il personal computer (1984) e noi (2011)

1) a=-(GM/r3)r, ri, vi

2) vf=vi+ai(tf-ti)3) rf=ri+vi(tf-ti)4) assegna a ri il valore rf e a vi il valore vf

5) ricomincia dal punto 2) In questo modo si producono le tre successioni {ri}, {vi}, {ai}

che rappresentano rispettivamente le funziono r=r(t), v=v(t), a=a(t) ai tempo ti

Questa approssimazione non è stabile dal punto di vista fisico perché non conserva l’energia del sistema e può essere corretta, ad esempio, da un algoritmo che sostituisca il passo 3) con il passo

3 bis) rf=ri+(vf+vi)(tf-ti)/2 Metodi diversi ed anche più sofisticati di integrazione non

implicano complessità di calcolo superiori a quelle individuate da questo algoritmo.

Prevedere il moto: Newton (1687), il personal computer (1984) e noi (2011)

La precedente approssimazione era al primo ordine in tf-ti, una approssimazione al secondo ordine in tf-ti si può avere dalle relazioni:

1) a=-(GM/r3)r, ri, vi

2) vf=vi+ai(tf-ti)-(GM/2ri3)vi(tf-ti)2

3) rf=ri+vi(tf-ti)+(1/2)ai(tf-ti)2

4) assegna a ri il valore rf e a vi il valore vf

5) ricomincia dal punto 2) notiamo che questa approssimazione consegue dalla

precedente considerando anche l’accelerazione media e escludendo termini che dipendono da potenze superiori a tre di tf-ti

Notate la simmetria della soluzione! Approssimazioni successive conseguono dalla possibilità di

risolvere equazioni algebriche di grado superiore al secondo.

Prevedere il moto: vari ordini di approssimazione per il calcolo del moto armonico in Pascal

PRIMO ORDINE VXf:=VXi+up*Xi*dt; Xf:=Xi+VXi*dt;SECONDO ORDINE VXf:=VXi+up*Xi*dt+0.5*up*VXi*sqr(dt); Xf:=Xi+VXi*dt+0.5*up*Xi*sqr(dt);TERZO ORDINE VXf:=VXi+up*Xi*dt+0.5*up*VXi*sqr(dt)

+(1/6)*sqr(up)*Xi*dt*sqr(dt); Xf:=Xi+VXi*dt+0.5*up*Xi*sqr(dt)+(1/6)*up*VXi*dt*sqr(dt);QUARTO ORDINE VXf:=VXi+up*Xi*dt+0.5*up*VXi*sqr(dt)

+(1/6)*sqr(up)*Xi*dt*sqr(dt)+(1/24)*sqr(up)*VXi*sqr(sqr(dt));

Xf:=Xi+VXi*dt+0.5*up*Xi*sqr(dt)+(1/6)*up*VXi*dt*sqr(dt)+

(1/24)*sqr(up)*Xi*sqr(sqr(dt));

Prevedere il moto: vari ordini di approssimazione per il calcolo del moto armonico in PascalRUNGE-KUTTAfunction f1(x,v:real):real; begin f1:=v; end;function f2(x,v:real):real; begin f2:=-(k/m)*x; end; k1:=dt*f1(xi,vxi); q1:=dt*f2(xi,vxi); k2:=dt*f1(xi+0.5*k1,vxi+0.5*q1); q2:=dt*f2(xi+0.5*k1,vxi+0.5*q1); k3:=dt*f1(xi+0.5*k2,vxi+0.5*q2); q3:=dt*f2(xi+0.5*k2,vxi+0.5*q2); k4:=dt*f1(xi+k3,vxi+q3); q4:=dt*f2(xi+k3,vxi+q3); k0:=(1/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4); q:=(1/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4); xf:=xi+k0; vxf:=vxi+q;

Equazioni differenziali ordinarie Equazioni differenziali ordinarie Equazione differenziale del primo ordine

x: variabile indipendente y: variabile dipendente solo da x

L’equazione è ordinariaordinaria

La funzione y tale che

descrive una famiglia (infinita) di soluzioni

= f(x,y)dx dy

Esempio Esempio Per l’equazione differenziale ordinaria

una famiglia di soluzioni è data da

con c costante arbitraria

y0

x0 x

y’ = yy

EsempioEsempio Per l’equazione differenziale ordinaria

una famiglia di soluzioni è data da

con C costante arbitraria

3.5

0

Il problema di CauchyIl problema di Cauchy Definisce la forma generale dei problemi ai valori

iniziali (IVPIVP Initial Value ProblemInitial Value Problem)

con: condizione iniziale y(x0)=y0

intervallo di integrazione [a,b]

Metodi numerici Per la soluzione numerica di equazioni differenziali si suppone che il

problema sia ben posto (i.e. esista unica la soluzione) e che dipenda con continuita’ dai dati iniziali (hp. cruciale dal punto di vista numerico). Tali condizioni sono verificate, per esempio, se la funzione f e’ uniformemente lipschitziana rispetto a y.

Tutti i metodi sono basati sull’idea di discretizzare l’intervallo di integrazione [a,b], mediante un insieme di rete IN={xnε[a,b]: xn= xn-1+

hn, xn=b}, e di approssimare la soluzione mediante una funzione di rete {yn, n=0,…N}

I vari metodi numerici si distinguono per come costruiscono la funzione di rete {yn}. Essi possono essere raggruppati in 2 classi principali:

1. Metodi one-step: il valore yn+1 viene calcolato utilizzando solo yn.

2. Metodi multistep il valore yn+1 viene calcolato utilizzando k approssimazioni precedenti yn, yn-1,…, yn-k+1.

La derivata prima fornisce direttamente la pendenza nel punto xi

dove f(xi,yi) è l’equazione differenziale valutata in (xi,yi) Pertanto la formula di Eulero è:

Si calcola un nuovo valore di yi+1 servendosi della pendenza (uguale alla derivata prima calcolata nel punto di partenza xi) per estrapolare linearmente lungo l’intervallo h

Il metodo di Eulero Il metodo di Eulero

vero

y

h

xi xi+1

x

stimatoerrore}

Errore di troncamento Per valutare la bonta’ di un metodo si introduce l’errore di

troncamento: Definizione: si definisce errore di troncamento locale la quantita’:

ovvero la quantita’ a meno della quale la soluzione continua soddisfa il metodo discreto. Si definisce poi l’err. di troncamento unitario ti+1=1/h τi+1

Per i metodi one-step espliciti si puo’ dare una semplice interpretazione geometrica dell’errore di troncamento locale.

Posto

1 1 1( ) ( ) ( , ( ), ( ), )i i i i i iy x y x h x y x y x h

1 1 1 1( ) ( , ( ), ) ( )i i i i i i iy z x h x z x h z x y

'( ) ( , ( ))

( )i i

z x f x z x

z x y

Errore globale di discretizzazione

L’errore globale di discretizzazione e’ definito come

il termine (*) e’ la differenza tra due soluzioni del PVI esso dipende da quanto le soluzioni si discostano tra loro ( dipende da come si sono propagati gli errori locali di troncamento introdotti ai passi precedenti)

Il termine (**) e’ dato dall’errore di troncamento locale e rappresenta l’errore introdotto al passo (i+1)-esimo.

Definizione: un metodo e’ consistente se limh 0tn+1=0. Esso ha poi ordine p se tn+1=o(hp)

Per la convergenza occorre che l’accumulo degli errori locali non esploda quando h diventa piccolo stabilita’ (zero stabilita’)

CONVERGENZA = CONSISTENZA +STABILITA’

1 1 1

(*) (**)

1 11 1[]( ) [ ]( )( ) ( )i i ii ii i

y x y ye z xy x z x

I metodi di RungeI metodi di RungeKutta (RK) Kutta (RK) 1 1 I metodi RK sono tutti esprimibili attraverso la formula

dove (xi,yi,h) è detta funzione incrementofunzione incremento e può essere interpretata come la pendenza media della funzione nell’intervallo di integrazione

La funzione può essere espressa nella forma generale

in cui ai sono costanti e ki sono definite da

1

r

j jj

a k

1

1

1

( , )

( , )

i i

j

j i j ij ii

k f x y

k f x b h h c k

I metodi di RungeI metodi di RungeKutta (RK) Kutta (RK) 2 2 Il numero di valutazioni della funzione f, r, e’ chiamato

numero degli stadi Si possono ottenere diversi tipi di metodi RK utilizzando un

numero differente r Il metodo RK del primo ordine è il metodo di Eulero (r1,

a11)

Dopo aver scelto r, i valori delle quantità ai, bi, cij possono essere calcolati uguagliando opportunamente i termini della formula generale con i corrispondenti termini della serie di Taylor

RungeRungeKutta del 2Kutta del 2° ° ordineordine Vediamo come…

La versione del secondo ordine della formula RK è

dove

Per determinare i valori di a1, a2, b, e c, si ricordi che la serie di Taylor che esprime yi+1 in termini di yi troncata al 2oordine, è data da

con

1

2 1

( , )

( , )i i

i i

k f x y

k f x b h y hc k

'( , ) ( , ) ( , ) ( , )i i x i i y i i i if x y f x y f x y f x y

I metodi di RungeI metodi di RungeKutta (RK) Kutta (RK) 4 4 Pertanto si ottiene

Le due espressioni ottenute per yi+1 possono quindi essere eguagliate ma, per far ciò, occorre preventivamente sviluppare in serie di Taylor l’espressione di k2 in un intorno di (xi,yi)

2

1

1 1 2

( , ) [ ( , ) ( , ) ( , )]2

( ( , ) ( , ( , ))

i i i i x i i y i i i i

i i i i i i i i

hy y h f x y f x y f x y f x y

y y h a f x y a f x b h y hc f x y

2

1 2 2

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( ) ( , ) [ ( , ) ( , ) ( , )]

i i x i i y i i i i

i i x i i y i i i i

k f x y hb f x y hc f x y f x y

a a f x y a h b f x y hc f x y f x y

1 2 2 2

1 11, ,

2 2a a a b a c

Il sistema di tre equazioni in quattro incognite appena descritto non ammette soluzione unica

Non esiste un solo metodo del secondo ordine, ma un’intera famiglia di metodi

Aumentando il numero degli stadi si costruiscono metodi di ordine superiore.

In realta’ Butcher ha dimostrato che solo per metodi di ordine fino a 4 c’e’ coincidenza tra numero di stadi e ordine del metodo. Poi le cose vanno leggermente peggio:

I metodi di RungeI metodi di RungeKutta (RK) Kutta (RK) 6 6

4

5,6 1

7,8 2

9 3

r p r

r p r

r p r

r p r