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Desarrollo de Competencias Matemáticas II

DESARROLLO DE COMPETENCIAS

MATEMÁTICAS II:

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

Autores:

David Benítez Mojica

Noelia Londoño Millán


ii

INTRODUCCIÓN

El presente libro de texto titulado Desarrollo de Competencias Matemáticas II:

geometría y trigonometría, fue diseñado y elaborado con el objeto de contribuir al

desarrollo de competencias de los estudias de matemáticas II de la preparatoria,

desde un enfoque distinto a los libros de texto tradicionales, ya que se proponen

una serie de actividades mediante las cuales el alumno explora, conjetura,

argumenta, redacta, resuelve problemas, comunica sus ideas matemáticas de una

manera espontánea y natural, etc.

El libro consta de 30 hojas de trabajo en las cuales se exponen los temas del

curso de matemáticas II. Cada hoja de trabajo fue diseñada con un encabezado

que identifica la unidad a desarrollar, el tema y el subtema que se trabajara en

cada una, así como también aparecen declaradas las competencias disciplinares

que se quieren alcanzar.

Así mismo cada hoja de trabajo tiene un diagnóstico con el cual se pretende

indagar sobre lo que conoce cada alumno, una motivación o introducción al tema,

también contiene conceptos y habilidades básicas, en donde se expone en

condensada los subtemas. La sección en acción es una actividad que el alumno

debe realizar sobre la misma hoja de trabajo, mientras que la evaluación viene a

hacer parte de trabajo extraclase, que el alumno debe desarrollar en sus

respectivos cuadernos.

Esperamos que el presente documento contribuya de manera significativa al

desarrolla de las competencias matemáticas de los alumnos, así como también

sea un apoyo importante para el maestro en su quehacer docente.

Los autores.


iii

DESARROLLO DE COMPETENCIAS MATEMÁTICAS II:

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

COMPETENCIAS GENERALES

Transita entre las representaciones algebraicas, gráficas y verbales, a través el uso de

lenguaje verbal y escrito; para la comprensión conceptual, la construcción de conjeturas,

la comunicación de ideas matemáticas y la solución de problemas geométricos.

Construye propiedades geométricas, a través de la exploración doblando papel, con

estuche de geometría y con apoyo de la geometría dinámica, para la búsqueda de

invariantes y la construcción de ideas matemáticas generales.

Redacta nuevos problemas geométricos, a partir de la modificación de las hipótesis de los

problemas ya resueltos, para el desarrollo del pensamiento espacial, la resolución de

nuevos problemas y la formulación de contra-ejemplos.

Sigue un conjunto de pasos de construcciones geométricas, a través de la conexión entre

las representaciones verbales y visuales de los ángulos externos, para la visualización de

propiedades.

Argumenta las ideas geométricas a través de cadenas de razonamientos para la

resolución de problemas.


iv

TABLA DE CONTENIDO

PAG.

UNIDAD 1. ÁNGULOS

1.1. Sistemas de Medidas de ángulos.

1.1.1. Sistema Sexagesimal 1

1.1.2. Sistema Circular 8

1.2. Clasificación de los ángulos

1.2.1. Clasificación de los ángulos de acuerdo a su medida 17

1.2.2. Clasificación de los ángulos de acuerdo a su posición con relación a otros

ángulos.

22

1.3. Ángulos entre paralelas cortadas por una secante 29

UNIDAD 2. TRIÁNGULOS

2.1. Clasificación y construcción de Triángulos.

2.1.1. Clasificación de los triángulos de acuerdo a la medida de sus lados 38

2.1.2. Clasificación de los triángulos de acuerdo a la medida de sus ángulos

interiores

44

2.2. Rectas y puntos notables en un triángulo.

2.2.1. Bisectrices e incentro 50

2.2.2. Mediatrices y circuncentro 55

2.2.3. Medianas y baricentro 61

2.2.4. Alturas y ortocentro 66

2.2.5. propiedades del ortocentro, baricentro y circuncentro 72

2.3. Propiedades y Teoremas aplicables a triángulos.

2.3.1. Principales teoremas de los triángulos:

2.3.1.1. Teorema de los ángulos interiores 76

2.3.2.2. Teorema de los ángulos exteriores 81

2.3.2.3. Teorema del ángulo externo 91

2.3.2.4. Teorema de Pitágoras 95

2.3.2. Principales propiedades de los triángulos:

2.3.2.1 La altura correspondiente a la base de un triángulo isósceles 102

2.3.2.2. La medida de los ángulos de la base en un triángulo isósceles 111

2.3.2.3. En todo triángulo, a mayor lado se opone el ángulo mayor

2.3.2.4. Postulados de la semejanza de triángulos 118

2.3.2.5. Postulados de la congruencia de triángulos 134

UNIDAD 3. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

3.1. Triángulos Rectángulos

3.1.1. Funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo 145

3.1.2. Cálculo de Funciones de ángulos de cualquier medida mediante el uso de la

calculadora.

145

3.1.3 Funciones trigonométricas en el plano cartesiano 151

3.1.3.1. Funciones trigonométricas de ángulos especiales. (45º, 30º y 60º) 165


v

3.1.3.2. Funciones trigonométricas en los límites de los cuadrantes. 165

3.1.4 Identidades Trigonométricas. 175

3.1.4.1. Identidades Fundamentales.

3.1.4.2 Recíprocas.

3.1.4.3. Cociente.

3.1.4.4. Pitagóricas

3.1.4.5. Comprobación de las identidades en cualquier triángulo rectángulo.

3.2. Resolución de Triángulos Oblicuángulos.

3.2.1. Ley de Senos 189

3.2.2. Ley de Cosenos. 196

3.2.3. Resolución de triángulos oblicuángulos usando figuras.

3.2.4. Aplicaciones diversas.

UNIDAD 4. TEMAS PRELIMINARES DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

4.1. Perímetro y área de las principales figuras geométricas triangulo,

rectángulo, polígonos regulares

206

4.2. Coordenadas de un punto que divide a un segmento en una razón dada.

Punto medio. Puntos de trisección. Puntos en cualquier posición.

212

4.3. Ángulo de inclinación y pendiente de una recta. 218

4.4. Ángulo entre dos rectas 224

4.5 Paralelismo y Perpendicularidad Paralelismo Perpendicularidad 224

BIBLIOGRAFIA 230


6

DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS

Competencias Específicas

Reconoce la escritura en el sistema sexagesimal de medida de ángulos, a

través de la realización de ejercicios que impliquen su uso.

Convierte minutos y segundos a grados, mediante el uso de las equivalencias

respectivas.

Usa las conversiones de grados a minutos y a segundos en las situaciones

donde sea necesario para hacer operaciones en el sistema sexagesimal de

medidas.

Construye ángulos de medidas diferentes usando el transportador, el compás

y la regla, o la geometría dinámica, de tal manera que le permita copiar

modelos reales.

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS

a. Primero debes contestar el examen diagnóstico, después hazle preguntas a tu maestro sobre aquellos conocimientos o habilidades que tengas duda.

b. En la parte final debes usar regla, compás y transportador para rehacer y copiar en forma fiel algunas construcciones que impliquen ángulos.

c. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la discusión y hazle saber tus puntos de vista al profesor y a tus compañeros.

Unidad uno: Ángulos Tema: sistema de medida de ángulos

Sub-tema Sistema sexagesimal

Hoja de Trabajo No. 1

Materiales: pluma y geogebra, regla y

compás

Fecha: ________


7

DIAGNÓSTICO

a. Redacta con tus propias palabras lo que significa para ti la palabra ángulo.

b. Escribe y dibuja los nombres de todos los ángulos que te acuerdes.

c. Nombra cinco objetos reales que contengan ángulos y márcalos.

d. ¿Sabes marcar un ángulo usando geogebra? Si ( ) No ( ) e. Dibuja un ángulo con sus partes.

f. Escribe formas distintas de nombrar los ángulos.


8

MOTIVACIÓN

Los ángulos son de mucha utilidad en la cotidianidad, por ejemplo se utilizan en

topografía, arquitectura e ingeniería civil para medir la extensión de terrenos,

hacer construcción de carreteras, puentes, casas y edificios.

También se utilizan en la aeronavegación para orientar a los pilotos en el rumbo

que deben seguir los aviones, para seguir la ruta adecuada y llegar al destino

correcto.

En esta lección aprenderás a manejar los diferentes sistemas de medidas de

ángulos, realizarás operaciones con ellos y construirás propiedades sobre los

ángulos con ayuda de material concreto y con el apoyo de las computadoras.

Esta lección es muy divertida y contribuirá al desarrollo de tus habilidades

matemáticas.

CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS

Para medir ángulos se puede usar cualquiera de los siguientes sistemas: el

sistema sexagesimal, que utiliza grados minutos y segundos sexagesimales; el

sistema circular cuya unidad de medida es el radian y el sistema centesimal que

usa los gradianes.

En el sistema sexagesimal se divide la circunferencia en 360 partes iguales y

cada una de estas partes corresponde a un grado. Su símbolo es (°). Cada grado

está compuesto por 60’ (minutos) y cada minuto lo componen 60’’ (segundos).

El transportador es el instrumento para medir los grados sexagesimales

Medida de ángulos

Sistema sexagesimal

Grados, minutos y segundos

Sistema circular

Radianes

Sistema centesimal

Gradianes


9

Usando las equivalencias se pueden expresar los grados de tal forma que se empleen grados minutos y segundos. Veámoslo:

135° = 134° 60’

A los grados le restamos uno, el grado que falta son 60 minutos.

Pero si lo queremos hasta segundo:

135° = 134° 59’ 60’’

A los grados le restamos uno, el grado que falta son 60 minutos. Pero a 60 le

restamos uno, y este minuto que falta lo reemplazamos por 60’’

Otro ejemplo:

Escribir 30º es equivalente a tener 29º59’60’’

Si se tiene 39° 245’ 87’’ no es una forma correcta de escribir empleando

grados, minutos y segundos, porque los minutos y los segundos no deben ser

mayores o iguales a 60, en este caso se procede de la siguiente manera:

Primero dividimos 87 entre 60 esto da 1 y sobran 27’’, por lo que a los minutos le

sumamos uno.

39° 245’ 87’’ = 39° 246’ 27’’

Aquí no termina, porque en los minutos hay un número mayor que 60, por tanto

hay que repetir el proceso, dividimos 246’ entre 60 esto da 4 y sobran 6’

39° 245’ 87’’ = 39° 246’ 27’’ = 43 ° 6’ 27’’

Operaciones con ángulos en el sistema sexagesimal En este sistema de medida de ángulos se pueden hacer las operaciones básicas

como es la suma, la resta, la multiplicación y división. Para hacer alguna de las


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dos primeras se debe operar entre las mismas unidades, es decir, grados con

grados minuto con minutos y segundos con segundos.

Es aquí donde utilizarás lo aprendido en las actividades anteriores:

Halla el resultado de 180° – 15° 35’ 55’’ debes usar la equivalencia:

180° = 179° 59’ 60’’

179° 59’ 60’’ – 15° 35’ 55’’ el resultado da 164° 24’ 5’’

Para nombrar los ángulos se emplean tres letras ABC en el entendido que el vértice es el punto B (en el medio).

Pero también puede emplearse letras griegas que se escriben a continuación, con sus respectivos nombres:

EN ACCIÓN

Mide cada uno de los siguientes ángulos usando el transportador:

Encuentra la suma de los cuatro ángulos. Expresa esta suma usando grados,

minutos y segundos.


11

EVALUACIÓN

1. Halla el resultado de las siguientes operaciones:

a. 59° 25’ 54’’ + 234° 21’ 13’’ b. 12° 5’ 44’’ + 24° 25’ 33’’

c. 193’’32’ 19’’+ 170° d. 67° 12’ 45’’ - 33° 7’ 39’’

e. 178° 18’26’’- 12° 35’ 49’’ f. 29° 36’ 11’’- 11° 45’ 34’’

2. Calcula cual el ángulo que hay entre cada número de un reloj.

3. Cuál es la medida del menor ángulo que forman las manecillas del reloj cuando

estas marquen la 4:32.

4. Se observó un reloj que empezó a moverse a las doce en punto y han

transcurrido 8 horas y 25 minutos

a. ¿Cuántas vueltas completas ha dado el minutero b. ¿Cuántos grados ha recorrido en total el minutero? c. ¿Cuántos grados ha recorrido en total el horario?

5. Una pareja de ángulos son complementarios si la suma de ellos es 90º y una pareja de ángulos son suplementarios si la suma de ellos es de 180º.

a. Halla los ángulos complementarios a los siguientes ángulos:

a. 34º 11’ 56’’ b. 7º 9’ 47’’ c. 68 º 23’ 11’’ d. 60 º 13’ 1’’

b. Halla los ángulos suplementarios a los siguientes ángulos:

1)177º 23’ 32’’

2) 123º 34’ 3) 30º 20’ 15’’


12

6. Un cuadrilátero es cíclico cuando todos los vértices pertenecen a la misma

circunferencia. Por ejemplo, el siguiente cuadrilátero es cíclico:

Realiza las siguientes actividades:

a. Sobre una hoja dibuja varios cuadriláteros cíclicos.

b. Marca los ángulos internos de cada cuadrilátero (en cada caso, debes usar

la misma abertura del compás).

c. En cada cuadrilátero ilumina las parejas de ángulos internos opuestos,

usando el mismo color para cada pareja de ángulos opuestos.

d. Recorta los ángulos internos.

e. Junta los recortes por parejas de ángulos internos opuestos.

f. En el siguiente espacio en blanco construye una conjetura sobre los

ángulos internos de un cuadrilátero cíclico.

7. ¿Todos los cuadriláteros se pueden inscribir en una circunferencia? Explica.

a. Si ( ) b. No ( ) c. No sé


13


Sub-tema Sistema circular


Materiales: lápiz, pluma y geogebra,

regla compás, transportador, e hilo

Fecha: ________



Entiende la definición de radian, a través de la construcción geométrica para

emplearlos en situaciones reales.

Reconoce la escritura en el sistema circular de medida de ángulos, a través

de la realización de ejercicios que impliquen su uso.

Realiza conversiones del sistema sexagesimal al sistema circular y viceversa,

usando las equivalencias respectivas, para aplicarlos en las solución de

ejercicios y problemas


a. Primero debes contestar el examen diagnóstico, este te servirá para conocer sobre los prerrequisitos del tema.

b. En la parte final debes usar regla, compás y transportador y/o

geogebra para rehacer y copiar en forma fiel algunas construcciones que impliquen ángulos en el sistema circular.

c. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la

discusión y da a conocer tus puntos de vista al profesor y a tus compañeros.


14

DIAGNÓSTICO

1. Escribe como haces para construir una circunferencia usando geogebra,

2. Describe el procedimiento que sigues cuando deseas transferir una medida

sobre una recta y sobre una circunferencia.

MOTIVACIÓN

Vas a hacer la siguiente construcción usando papel, regla, compás, transportador e hilo.

a. Construye una circunferencia del radio arbitrario y con centro en el punto

C.

b. Ubica un punto en la circunferencia y llámalo A.

c. Traza un radio de la circunferencia.

d. Con una cuerda de hilo, mide el radio de la circunferencia, y sin modificar

su medida, transfiérela sobre la circunferencia a partir del punto A.

e. Al punto donde quedó la transferencia llámale B.

f. Traza un ángulo ACB y mídelo.

g. Escribe en el sistema sexagesimal cuánto es el valor de este ángulo.

_________________________

h. Repite cada uno de los pasos de la actividad anterior ahora con dos

circunferencias de radios diferentes al anterior.

i. ¿Cuánto mide el nuevo ángulo ACB que se forma en cada circunferencia?

Medida del Ángulo ACB en la 1ª circunferencia

Medida del Ángulo ACB en la 2ª circunferencia


15


Radian

Para que aprendas el concepto de radian debes realizar las siguiente actividad.

1. Abre en geogebra el archivo RAD.ggb. Allí encontrarás una figura similar a la siguiente:

2. Mide los segmentos a, b, el arco f y el ángulo (en radianes). Registra las medidas en la siguiente tabla. Luego modifica el radio (arrastrando el punto B) y completa la tabla:

Medida del segmento a

Medida del segmento b

Medida del arco f

Medida del

ángulo

3. El ángulo central tiene por medida un radian. Usa la construcción anterior para elaborar una definición de radian de acuerdo a lo que has observado.


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Relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro

A continuación realizarás otra actividad para que conjetures otra propiedad de la circunferencia.

1. Dibuja cuatro circunferencias de distinto radio.

2. En cada circunferencia traza un diámetro.

3. Mide la longitud de cada diámetro.

4. Mide la longitud de cada circunferencia.

5. Completa la siguiente tabla.

Longitud del diámetro Longitud de la circunferencia

6. A partir de los resultados de la tabla anterior, construye una conjetura.


17

Longitud de un arco de circunferencia.

A continuación encontrarás una relación entre la medida del ángulo central, el arco que subtiende y el radio de la circunferencia

Abre el archivo Angulo-Arco-Radio.ggb, allí encontrarás una figura como la siguiente:

En cada caso mide la longitud del arco, del radio y del ángulo central. Completa la siguiente tabla:

Medida del radio Medida del ángulo Central (en radianes)

Medida del arco

a) Compara las medidas de la tabla anterior y establece una conjetura:


18

A partir de la actividad anterior, pudiste establecer la relación entre la medida de

un ángulo central, el radio y el arco que subtiende.

Sea una circunferencia de radio r, sea el ángulo central (medido en radianes) y

s la longitud del arco que subtiende.

Entonces se cumple que:

Por ejemplo, en la siguiente circunferencia de radio 3 m, se pide calcular la

longitud del arco subtendido por un ángulo central de 2 radianes.

Para calcular la longitud del arco, utilizamos la expresión:


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Conversión de medidas angulares de radianes a grados

En esta sección aprenderás a realizar conversión de medidas angulares, entre el sistema circular y sexagesimal. Para ello debes realizar las siguientes actividades:

a. Sobre cada una de las siguientes semicircunferencias dibuja un radian. A continuación de este radián dibuja otro y así hasta completar la media vuelta.

b. Completa la siguiente tabla:

¿Cuántas veces es posible marcar un radian sobre cada semicircunferencia?

semicircunferencia de la izquierda

semicircunferencia del centro

semicircunferencia de la derecha

Como puedes ver en cada arco de semicircunferencia caben tres radianes y una fracción. A continuación vamos a estimar dicha fracción. Para cumplir con este objetivo, trazamos cuatro semicircunferencias, sobre cada una de ellas, medimos la longitud de su arco y la longitud de su radio:

Usaremos la expresión para calcular la longitud del arco de circunferencia:


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De esta expresión se puede despejar el ángulo central:

Usando esta expresión y la medida de los arcos de semicircunferencia y la

medida de los radios, completaremos la siguiente tabla:

Longitud de la semicircunferencia

Longitud del radio

10.79394 3.43582 3.1415906…

8.24682 2.62504 3.1415906…

5.0896 1.62007 3.1415906…

9.56905 3.04592 3.1415906…

De esta manera, podemos establecer que la medida del ángulo central que

subtiende un arco de una semicircunferencia es equivalente a π radianes. Y como

un ángulo llano es el ángulo central en una semicircunferencia, se establece la

siguiente relación:

π radianes equivale a 180º.

EN ACCIÓN

1. Convierte en el sistema de radianes los siguientes grados sexagesimales: 23°, 34°, 15°, 270°

2. Las escuadras usadas en dibujo técnico tienen las combinaciones 45° y 30°, 60°, convierte estos grados sexagesimales a radianes.

3. Completa la siguiente tabla: (puedes usar regla de tres simple directa, sabiendo que π rad equivale a 180º).

Grados sexagesimales

35° 540° 100° 11°

Radianes 3

2

7

8

5


21

EVALUACIÓN

1. Con ayuda de los conocimientos y habilidades que desarrollaste en la

presente hoja de trabajo, deduce una fórmula para calcular la longitud de

una circunferencia de radio r.

2. Una correa conectada a dos poleas, una de radio 25 cm y otra de radio

10 cm . Si la polea grande da un giro completo ¿Cuál es el ángulo que

girará la polea pequeña?

3. Un aspersor funciona con un mecanismo que produce un movimiento

circular de ida y vuela barriendo un ángulo de 60º . Si el aspersor tiene un

alcance de 3 metros, ¿Cuál es la medida del arco que barre el aspersor?

http://images.google.com.co/imgres?imgurl=http://www.rafagar-poleasyacoples.com/Poleas.JPG&imgrefurl=http://www.rafagar-poleasyacoples.com/Conoce-poleas-industriales-y-acoples-flexibles.html&h=503&w=705&sz=28&hl=es&start=1&um=1&tbnid=K6wFi498enDaKM:&tbnh=100&tbnw=140&prev=/images?q=poleas&um=1&hl=es&sa=N


22


Sub-tema Clasificación de

ángulos de acuerdo a su medida



compás

Fecha: ________



Comprende la clasificación de los ángulos de acuerdo a su medida, mediante

la visualización de ejemplos concretos, para que resuelva problemas

geométricos.

Recuerda los nombres de los ángulos de acuerdo a su medida para que

pueda identificarlos y clasificarlos en diferentes figuras geométricas



b. En la parte final debes usar regla, compás y transportador y/o

geogebra para rehacer y copiar en forma fiel algunas construcciones que impliquen ángulos en el sistema circular.


discusión y da a conocer tus puntos de vista al profesor y a tus compañeros.


23

DIAGNÓSTICO 1. Haz una lista de todos los nombres de los ángulos que te acuerdes

2. Realiza una clasificación de los ángulos de acuerdo a su medida.

3. Realiza una clasificación de los ángulos de acuerdo a su posición.

MOTIVACIÓN

La clasificación de ángulos de acuerdo a su medida, es un tema muy útil en

geometría porque con este recurso se clasifican los triángulos de acuerdo a la

medida de los ángulos que posea.

Clasificar es una habilidad central del pensamiento matemático, porque se

agrupan objetos en clases o familias generales de acuerdo a un atributo común.

En la presente hoja de trabajo se clasifican los ángulos de acuerdo a su medida.

Conocerás las diferentes familias de ángulos, aprenderás a clasificarlos,

construirás dibujos de cada familia y resolverás problemas interesantes.


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En la siguiente tabla se presenta una clasificación de los ángulos de acuerdo a su

medida, se da una definición y se presenta un dibujo de cada tipo de ángulo.

Nombre el Ángulo Definición Dibujo

Agudo Un ángulo agudo es aquel que mide menos de 90º.

Recto Un ángulo recto es aquel cuya medida es de 90°.

Obtuso Ángulos obtusos son

aquellos que miden más de 90° y menos que 180°.

llano Un ángulo llano mide 180º.

EN ACCIÓN

a. Clasifica el siguiente conjunto de ángulos:

Tipo de ángulo Ángulos

Agudos

Rectos

Obtusos

Llanos


25

EVALUACIÓN 1. Dibuja y nombra los ángulos cuyas dimensiones son las siguientes:

=10° 36° 179° 57° 91°

125° 14° 159° 180° 90

2. Clasifica los ángulos anteriores en agudos, llanos, obtusos y rectos. Anótalos en una tabla

3. La siguiente construcción corresponde a La Alhambra, Granada, en ella aparecen varios ángulos debes señalar un total de diez ángulos en los cuales debes incluir las distintas clases vistos en la presente lección.

4. Debes completar la sucesión teniendo en cuenta lo siguiente: En un triángulo equilátero que es un polígono regular de tres lados y tres

ángulos iguales, cada ángulo interior mide 60°

En un cuadrado cada ángulo interior mide 90°.

En un pentágono regular cada ángulo interior mide 108°. Esta información se

escribió en la tabla siguiente.

Número de lados del polígono regular

3 4 5 6 7 8 9 10 n

Medida de un ángulo interior

60° 90° 108°


26

5. Encuentra una relación del número de lados del polígono con la medida de sus

ángulos interiores. Explica la técnica utilizada, debes explicarla en el pizarrón

para todos los de tu clase.

6. En el siguiente polígono irregular marca todos los ángulos interiores teniendo en cuenta de señalar con rojo los agudos, con verde los obtusos, los llanos con amarillo y con azul los rectos.


27


Sub-tema Clasificación de los ángulos de acuerdo a su posición con relación a otros ángulos.


Materiales: lápiz, compás, regla y

geogebra

Fecha: ________



Clasifica los ángulos de acuerdo a su posición con relación a otros ángulos. Mediante el doblado de papel y el uso de geometría dinámica para resolver problemas que impliquen su uso.

Recuerda los nombres de los ángulos de acuerdo a su posición para que

pueda identificarlos y clasificarlos en diferentes figuras geométricas.

Identifica las distintas clases de ángulos de acuerdo a la posición en

construcciones geométricas complejas.



b. Tendrás la oportunidad de utilizar el doblado de papel para la identificación de ángulos de acuerdo a la posición con otros ángulos.


discusión en forma respetuosa y da a conocer tus puntos de vista tanto al profesor como a tus compañeros.


28

DIAGNÓSTICO

1. Haz una lista de todos los nombres de los ángulos que te acuerdes

2. Ahora de esa lista haz una clasificación de acuerdo a su medida.

3. De la misma lista del enciso 1. Haz una clasificación de acuerdo a su posición.

MOTIVACIÓN

1. Sobre un papel realiza un dibujo similar al siguiente:

a. Recorta cada pareja de ángulos opuestos por el vértice. b. Compara la medida de cada pareja de ángulos opuestos por el vértice. c. En tu cuaderno construye una conjetura sobre la medida de los ángulos

opuestos por el vértice.


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Los ángulos se pueden clasificar de acuerdo a la posición con otros ángulos en:

a. Ángulos adyacentes.

b. Ángulos complementarios.

c. Ángulos suplementarios.

d. Ángulos conjugados.

e. Ángulos opuestos por el vértice

Los ángulos adyacentes son aquellos ángulos en los que se comparte un lado y el vértice. Un ejemplo de ellos son los ángulos BAC y CAD, como los de la figura, el lado común es AC. Y el vértice común es A.

Los ángulos opuestos por el vértice se forman por dos rectas que se cortan, en

este caso se generan dos pares de ángulos opuestos por el vértice. Los ángulos

opuestos por el vértice tienen el mismo vértice. En la gráfica aparece sombreados

la pareja de ángulos CDA y BDE.


30

El complemento de un ángulo que mide 76° es 14°, el complemento de un ángulo que mide 6° es 84° en general: Una pareja de ángulos son complementarios si la suma de sus medidas da 90°

¿Cuál es el complemento de un ángulo que mide 37° 19’ 35’’? Aquí es necesario expresar 90° usando grados minutos y segundos:

90° = 89° 59’ 60”

89° 59’ 60’’- 37° 19’ 35’’ = 52° 40’ 25’’

Gráficamente se puede visualizar cuando dos ángulos son complementarios, dado que es fácil ver si entre los dos suman un ángulo recto.

En la figura se puede ver que los ángulos CAD y DAB son complementarios, la suma de los dos da el ángulo CAB que es un ángulo recto.

Una pareja de ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas da 180°

1. Si el ángulo mide 30° su suplemento es 150°, pero si el ángulo mide 123° 17’ 55’’ su suplemento será 56° 29’ 5’’ ¿Cómo obtener estos resultados?

2. Para el primero 180°- 30° = 150°

3. Ya el segundo ejemplo como tiene grados, minutos y segundos se debe expresar 180° en grados minutos y segundos:

180° = 179° 59’ 60”

Ahora si se hace la diferencia:

179° 59’ 60’’ - 123° 17’ 55’’ = 56° 29’ 5’’

4. Sin usar medidas también se puede identificar los ángulos suplementarios sólo basta ver que al sumar los ángulos de una línea recta.


31

El conjugado de un ángulo es igual a lo que le falta para completar la

circunferencia es decir para ser igual a 360°. Por el ejemplo si se tiene un ángulo

de 35° su conjugado será igual a 325° que se obtiene de hacer 360° - 35° = 325°.

Si los ángulos están expresados en grados minutos y segundos se debe utilizar la

equivalencia de:

360° = 359° 59’ 60’’

EN ACCIÓN

2. Dibuja un ángulo adyacente al ángulo dado

3. En la siguiente gráfica dibuja otra pareja de ángulos opuestos por el vértice, marca la pareja de ángulos CDB y ADE, usando lápiz de color.

4. Utiliza el archivo OP.ggb de geogebra para refutar o para afirmar la siguiente idea “No siempre se cumple que todos los ángulos opuestos por el vértice tiene la misma medida”

5. Mide los ángulos y mueve el punto G. Compara cada vez las medidas de los dos ángulos opuestos por el vértice.

6. ¿La afirmación es cierta?____ ¿La afirmación es falsa? _____ Explica.

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________


32

7. Dibuja un pareja de ángulos, con vértice en A tal que la suma dé el ángulo MAN.

8. Dibuja un ángulo con vértice en B de tal manera que sea el complemento del

ángulo CBE.

9. Dibuja un ángulo suplementario de CAB

9. Dibuja el ángulo y su respectivo conjugado de: = 30°, 45°, 270°,

87°, 98°. Usa marcas diferentes del ángulo y su conjugado.

10. Sin dibujar halla el ángulo conjugado de 12° 24’ 31’’, 133° 24’ 57’’,

90 =314° 35’


33

EVALUACIÓN

1. Las rectas GI y CH se intersecan en el punto A, las cuales forman diferentes ángulos de acuerdo a la posición. Completa una tabla con el nombre de los ángulos según corresponda. Nota el ángulo EAC = EAH y son rectos.

Parejas de Ángulos

Opuestos por el vértice

Adyacentes Suplementarios Conjugados Complementarios

2. Cuáles de las parejas anteriores cumplen con las dos condiciones a la vez: de

ser: complementarios y adyacentes: 3. Adyacentes y suplementarios: 4. Adyacentes y rectángulos. 5. En tu cuaderno halla el complemento, el suplemento y el conjugado de cada

uno de los siguientes ángulos. (donde se pueda)

=88°, 16°, 225°, 57°, 191° 11’ 5’’, 25°, 4° 16’

37’’, 197° 32’ 50’’.

6. Las rectas L, M y T se cortan en el punto S. el ángulo que forman las rectas T

y M es de 90º, y el ángulo que forman las rectas L y T es de 37º, halla la

medida de todos los ángulos que generan alrededor del punto S. haz un dibujo

para ilustrar lo que se plantea.

7. De la situación anterior

a. ¿Cuánto mide el conjugado del ángulo que forman las rectas L y M?

b. ¿Cuánto mide el complemento del ángulo que forman las rectas L y M?

c. ¿Cuánto mide el suplemento del ángulo que forman las rectas L y M?


34


Sub-tema Ángulos entre paralelas cortadas por una secante.


Materiales: pluma y geogebra

Fecha: ________



Reconoce las propiedades de los distintos ángulos cuando dos rectas

paralelas se cortan por una secante transversal, a través de la interacción con

el software de geometría dinámica, para argumentar en forma precisa algunos

teoremas.

Usa las propiedades de los ángulos entre paralelas y una secante para hallar

los valores de las medidas de otros ángulos en la solución de ejercicios. Sin

necesidad de hacer mediciones concretas.

Identifica cuando es posible usar las propiedades de los ángulos entre

paralelas a través de contraejemplos, para reafirmar el conocimiento y usarlos

en la solución de problemas.


a. Primero debes contestar el examen diagnóstico, esto te permitirá retroalimentar tus conocimientos sobre ángulos.

b. En la parte final debes negar las hipótesis para refutar o afirmar si se

siguen cumpliendo las propiedades. c. Cuando el profesor realice la fase de socialización, participa en la

discusión y hazle saber tus puntos de vista al profesor y a tus compañeros.


35

MOTIVACIÓN

a. Sobre papel realiza un dibujo similar al siguiente, ten en cuenta que dos

rectas son paralelas y la tercera es transversal. Los ángulos resaltados son

alternos internos:

Recorta los ángulos . Compara su medida y saca una conclusión

general.

b. Sobre papel realiza un dibujo similar al siguiente, ten en cuenta que dos


alternos externos entre paralelas:

Recorta los ángulos resaltados. Compara su medida y saca una conclusión

general.

c. Sobre papel realiza un dibujo similar al siguiente, ten en cuenta que dos


correspondientes entre paralelas:

Recorta los ángulos resaltados. Compara su medida y saca una conclusión

general.


36

DIAGNÓSTICO

1. Haz una lista de todos los nombres de los ángulos que te acuerdes

2. Ahora de esa lista haz una clasificación de acuerdo a su medida.

3. De la misma lista del enciso 1. Haz una clasificación de acuerdo a su posición.

4. De la misma lista del enciso 1. Realiza una nueva lista que corresponda ángulos cortados por una secante transversal.


Al cortar dos paralelas con una secante transversal se generan en total 8 ángulos,

pero por la posición se pueden agrupar en las clases siguientes:

a. Alternos internos

b. Alternos internos

c. Opuestos por el vértice

d. correspondientes


37

Ángulos alternos internos: son aquellos que se hallan a distintos lados de la transversal pero dentro de las paralelas.

En las gráficas los ángulos y son alternos internos, al igual que la pareja

y

Otra clase ángulos que se genera es la de alternos externos: son aquellos que se encuentran en lados distintos de la transversal pero fuera de las paralelas, también son dos parejas.

Los ángulos correspondientes son aquellos que se hallan sobre el mismo lado de la trasversal pero uno dentro y otro fuera de las paralelas. Veamos el ejemplo:


38

EN ACCIÓN a. En el siguiente dibujo marca dos parejas de ángulos alternos internos.

Colócales nombres con letras griegas e ilumina cada pareja de ángulos con el mismo color.

b. En el siguiente dibujo marca dos parejas de ángulos alternos externos. Colócales nombres con letras griegas e ilumina cada pareja de ángulos con el mismo color.

c. Teniendo en cuenta la definición de ángulos correspondientes entre paralelas. ¿Cuántas parejas de ángulos correspondientes puedes marcar en el dibujo siguiente? ________ márcalos empleando diferentes colores para cada pareja.


39

EVALUACIÓN

Deduce algunas propiedades:

1. En la siguiente figura se han dibujado las rectas L y M, que son paralelas y la

recta T, que es transversal. Se han dibujado los ángulos adyacentes .

a. ¿Cuál es la suma de los ángulos ?__________________

b. Sobre la figura anterior dibuja otras parejas de ángulos adyacentes. Cada pareja ilumínala del mismo color.

2. En la siguiente figura se han dibujado las rectas L y M, que son paralelas y la recta T, que es transversal. Se han dibujado ocho ángulos. Se han resaltado los ángulos SFE y EFN.

a. Utilizando papel y calca los ángulos SFE y EFN. Recorta estos ángulos b. Compara la medida de estos ángulos, con los otros seis ángulos restantes. c. Ilumina con el mismo color los ángulos que tienen la misma medida.


40

3. Usa el archivo llamado PARALELAS.ggb y haz lo siguiente:

a. Mide los ángulos alternos internos y que aparecen dibujados

b. Mueve el punto H, de tal manera que se modifiquen las medidas de los ángulos.

c. Completa la tabla a medida que vayas modificando los resultados

Medida del ángulo

Medida del ángulo

d. Compara los valores de los dos ángulos y ¿Cómo son las medidas?

________________ ¿Siempre? _____________________.

e. Redacta a tu manera la propiedad que acabas de encontrar sobre la medida de dos ángulos alternos internos.

4. Usa el archivo llamado PARALELAS.ggb y haz lo siguiente:

a. Borra los ángulos alternos internos y dibuja una pareja de ángulos alternos externos.

b. Mide los ángulos alternos externos y anota las medidas en la tabla. c. Mueve el punto H, de tal manera que se modifiquen las medidas de los

ángulos. d. Completa la tabla a medida que vayas modificando los resultados


41

Medida del ángulo

Medida del ángulo

e. Compara los valores de los dos ángulos y ¿Cómo son las medidas?

________________ ¿Siempre? _____________________.

f. Redacta a tu manera la propiedad que acabas de encontrar sobre la medida de dos ángulos alternos externos.

5. En la siguiente figura las rectas S y R son paralelas, L y M son perpendiculares en el punto F, es decir el ángulo mide 90°. Si el ángulo

mide 47° encuentra el valor de los otros 12 ángulos.

6. Usa tu cuaderno para hacer lo siguiente: a. Traza un triángulo, el que tú quieras, b. Traza una recta que sea paralela a uno de los lados y que pase por el

vértice opuesto, el dibujo te ayudará. La recta que pasa por el vértice B es paralela al lado AC del triángulo


42

c. Los ángulos y ¿Tienen la misma medida? __________ justifica tu

respuesta. ¿Cómo se llaman los ángulos y de la figura?

d. Sobre el mismo triángulo ¿se pueden construir otra pareja de ángulos de la misma clase? ___________ Explica tu respuesta.

7. En la siguiente figura se han dibujado las rectas L y M, que son paralelas y la recta T, que es transversal. Se han dibujado ocho ángulos. Se da el valor del

ángulo y se pide el valor de los demás ángulos.

i

8. En la siguiente construcción no hay rectas paralelas. Hallar el valor de los ángulos que puedas si el ángulo dado mide 70°

Explica como obtienes la medida de los ángulos.


43

Unidad Dos: Triángulos

Tema: Clasificación y

construcción de Triángulos

Sub-tema Clasificación de los

triángulos de acuerdo a la medida

de sus lados



compás

Fecha: ________________



Identifica las clases de triángulos de acuerdo a la medida de sus lados

mediante el uso de mediciones y clasificaciones.

Reconoce las clases de triángulos a partir de una representación gráfica, o

representación verbal y lo relaciona con conocimientos anteriores.

Estrategias didácticas

a. Debes contestar el examen diagnóstico

b. Luego debes realizar cada una de las actividades que se proponen.

c. En la parte final debes identificar las distintas clases de triángulos

d. En la fase de socialización, debes participar activamente, para que puedes reafirmar tus conocimientos y aclarar cualquier tipo de dudas.


44

DIAGNÓSTICO

1. Escribe el nombre de todos los triángulos que te acuerdes.

2. Ahora de la lista anterior clasifica de acuerdo a la medida de sus lados.

3. Encierra en un círculo todos los triángulos que consideres que se pueden clasificar de acuerdo a la medida de sus lados. Explica cual es la clasificación. Usa las herramientas que desees.


45

MOTIVACIÓN

Trazos sencillos con regla y compas:

1. Traza tres segmentos de diferente longitud.

Espacio para dibujar los segmentos

2. Usa el compás para construir dos circunferencias concéntricas con centro en el punto T, usando como radios los segmentos de menor tamaño. (Las circunferencias deben tener el mismo centro T).

3. Ubica un punto S en la circunferencia de radio menor.

4. Traza una nueva circunferencia con centro en S y radio lo que mida el segmento mayor.

5. Marca el punto de intersección de entre las circunferencias de mayor radio.

Llámalo R. 6. Construye un triángulo que pase por los puntos R, S y T

7. ¿Pudiste construir el triángulo? ___________

8. Piensa y responde ¿para que tamaño de los segmentos no se formaría un triángulo? Escribe las dimensiones.

9. ¿Es posible que exista un triángulo si todos los segmentos iniciales tienen la

misma longitud? Da un ejemplo.


46


Clasificación de triángulos de a cuerdo a la medida de los lados

1. Mide los lados de cada uno de los siguientes triángulos:

2. Usa los números de las figuras que se presentaron en el punto anterior y las medidas de los lados de los triángulos, para completar la siguiente tabla:

Triángulos de tres lados de la misma

longitud

Triángulos de dos lados de la misma

longitud

Triángulos de tres lados desiguales


47

Usa las siguientes definiciones para realizar una nueva clasificación de las

figuras.

a. Triángulo equilátero: Es aquel que tiene tres lados de la misma longitud. b. Triángulo isósceles: Es aquel que tiene dos lados de la misma longitud. c. Triángulo escaleno: Es aquel que tiene todos los lados de diferente

longitud.

EN ACCIÓN

Usa las definiciones anteriores y los números de las figuras del punto número 1

para completar la siguiente tabla:

Triángulos equiláteros Triángulos isósceles Triángulos escalenos.

Utiliza tu regla, compás y tu escuadra para realizar los siguientes trazos:

a. Dibuja un segmento de cualquier longitud. A los extremos llámalos A y B b. Con centro en A y radio AB traza una circunferencia. c. Con centro en B y radio AB traza otra circunferencia. d. Ubica los puntos de intersección de las circunferencias. Llámalos C y D. e. Traza una recta por los puntos C y D. Esta es la recta mediatriz al

Segmento AB

Espacio para realizar los trazos


48

EVALUACIÓN 1. Construyendo propiedades de la mediatriz.

a. Ubica el punto de intersección de la recta mediatriz con el segmento AB. Llámalo M.

b. Mide las distancias AM y MB. ¿Qué puedes concluir? c. Mide los ángulos CMA y CMB. ¿Qué puedes concluir?

2. Construyendo una familia de triángulos.

a. Ubica tres puntos arbitrarios sobre la recta mediatriz. Llámalos E, F y G. b. Construye los triángulos ABE, ABF y ABG. c. ¿Qué clase de triángulos son ABE, ABF y ABG?

3. Utiliza tu regla, compás y tu escuadra para realizar los siguientes trazos:

a. Dibuja un segmento de cualquier longitud. A los extremos llámalos A y B

b. Con centro en A y radio AB traza una circunferencia. c. Con centro en B y radio AB traza otra circunferencia. d. Ubica uno de los puntos de intersección de las circunferencias. Llámalo C e. Traza el triángulo ABC. f. Mide las distancias AB y AC y BC. ¿Qué relación existe entre estas

medidas? g. Mide los ángulos ABC BAC y BCA. ¿Qué relación existe entre estas

medidas? ¿Qué clase de triángulo es ABC? 4. Utiliza lo aprendido en la presente hoja de trabajo para dibujar un triángulo

isósceles, un triángulo equilátero y un triángulo escaleno.

5. Abre el archivo TRIÁNGULO.ggb y haz lo siguiente: a. Los segmentos representan los lados de un triángulo, cambia las

dimensiones de cada uno de los segmentos, date cuenta que a medida que modificas las dimensiones de los segmentos se forma o no un triángulo. Y escríbelas en una tabla.

Lado mayor

Suma de los lados menores

¿Existe triángulo?

b. Compara la medida del lado más grande con la suma de las medidas de los lados pequeños. Y responde ¿existe triángulo?

c. Expresa con tus propias palabras que se debe cumplir en las medidas de los lados de los triángulos para este exista.

6. Si cada terna de números representa los tres lados de un triángulo indica con cuales de ellas es posible que exista un triángulo.

1, 2, 3 11, 17, 4 5, 7, 9, 3, 1, 3 5, 5, 1 1, 1, 5 7, 6, 2 3, 4, 5 5, 5, 7 9, 1, 7 6, 2, 5 3, 21, 25


49


Tema: Clasificación y

construcción de Triángulos

Sub-tema Clasificación de los

triángulos de acuerdo a la medida de sus ángulos



compás transportador

Fecha: ________________



Identifica las clases de triángulos de acuerdo a la medida de sus ángulos internos

mediante el uso de mediciones y clasificaciones.

Reconoce las clases de triángulos de acuerdo a la medida de sus ángulos a partir

de una representación gráfica, o representación verbal y lo relaciona con

conocimientos anteriores.




c. En la parte final debes identificar las distintas clases de triángulos.

d. En la fase de socialización, debes participar activamente, para que puedas reafirmar tus conocimientos y aclarar cualquier tipo de duda.


50

DIAGNÓSTICO

1. Escribe el nombre de todos los triángulos que te acuerdes.

2. Ahora de la lista anterior clasifica de acuerdo a la medida de sus ángulos.

3. Encierra en un círculo todos los triángulos que consideres que se pueden clasificar de acuerdo a la medida de sus ángulos. Explica cual es la clasificación. Usa las herramientas que desees.


51

MOTIVACIÓN

1. Usa tu transportador para medir cada uno de los siguientes ángulos y anota este valor cerca de cada ángulo.

2. Escribe el nombre de cada ángulo según corresponda

Ángulo acutángulo Ángulo rectángulo Ángulo rectángulo

3. Escribe cuales debes juntar para formar un ángulo obtuso, ¿es posible formar

un ángulo rectángulo, con cuales? ¿Cuántos ángulos son agudos? ___

4. ¿Con cuales ángulos de la figura se puede construir un triángulo?


52


Clasificación de triángulos de a cuerdo a la medida de los ángulos y

Construcción de triángulos

1. Mide los ángulos internos de cada uno de los siguientes triángulos:

2. Usa los números de las figuras que se presentaron en el punto anterior y las medidas de los ángulos internos de los triángulos, para completar la siguiente tabla:

Triángulos un ángulo recto

Triángulos que tienen todos los ángulos

agudos

Triángulos que tienen un ángulo obtuso


53

3. Usa las siguientes definiciones para realizar una nueva clasificación de las figuras.

a. Triángulo acutángulo: Es aquel que tiene todos sus ángulos internos agudos.

b. Triángulo rectángulo: Es aquel que un ángulo interno recto.

c. Triángulo obtusángulo: Es aquel que tiene un ángulo interno obtuso.

EN ACCIÓN

Usa estas definiciones y los números de las figuras del punto número 1 para

completar la siguiente tabla:

Triángulos rectángulos Triángulos acutángulos Triángulos obtusángulos.

EVALUACIÓN

1. Utiliza tu regla, compás y tu escuadra para realizar los siguientes trazos:

Trazos básicos

a. Traza una circunferencia.

b. Traza un diámetro de la circunferencia (recta que divide la circunferencia en dos semicircunferencias)

c. Ubica un punto M sobre la circunferencia que no sean los puntos de corte del diámetro y la circunferencia.


54

d. Ahora construye un triángulo tomando como lado todo el diámetro de la circunferencia y vértice el punto M.

e. ¿Qué clase de triángulo se forma? f. Describe otra forma posible de construir esta clase de triángulo.

2. Defienda o refute la siguientes afirmaciones:

a. Todo triángulo equilátero es acutángulo.

b. Todo triángulo rectángulo es isósceles.

c. Todo triángulo escaleno es obtusángulo

3. Utiliza lo aprendido en la presente hoja de trabajo para dibujar un triángulo isósceles un triángulo equilátero y un escaleno.


55


Tema: Puntos y rectas notables del

triángulo

Sub-tema Bisectrices y el incentro.

Hoja de trabajo No. 8

Materiales: lápiz, geogebra, regla y

compás

Fecha ______________________



Construye propiedades sobre las bisectrices de los ángulos internos de un

triángulo, a través de la exploración doblando papel, con construcción con regla y

con apoyo de la geometría dinámica para la búsqueda de invariantes y la

construcción de ideas matemáticas generales.

Redacta nuevos problemas sobre bisectrices, a partir de la modificación de los

problemas ya resueltos para el desarrollo de la creatividad.

Argumenta las ideas matemáticas sobre las bisectrices, mediante el uso de

lenguaje verbal y geométrico para resolver problemas geométricos.


a. Primero debes contestar el examen diagnóstico, después hazle preguntas a tu maestro sobre aquellos conocimientos o habilidades que tengas duda.

b. Luego debes usar geogebra para construir las bisectrices y el incentro de un triángulo.

c. Después de cada construcción debes encontrar y comunicar algunas propiedades matemáticas que tienen las bisectrices y el incentro.

d. En la parte final debes usar regla y compás para construir el incentro y las bisectrices de algunos triángulos.

e. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la discusión y hazle saber tus puntos de vista al profesor y a tus compañeros


56

DIAGNÓSTICO 1. Redacta con tus propias palabras lo que significa para ti la palabra bisectriz.

2. Dibuja un ángulo y construye una bisectriz.

3. ¿Recuerdas un procedimiento con doblado de papel para hacer una bisectriz? Si ( ) No ( )

Espacio para describir el procedimiento

4. ¿Recuerdas un procedimiento con regla y compás para hacer una bisectriz? Si ( ) No ( )


5. ¿Sabes usar el comando bisectriz de geogebra? Si ( ) No ( )


57

MOTIVACIÓN

Actividad con doblado de papel

a. Construye una forma triangular.

b. Construye las bisectrices de cada ángulo interno del triángulo

c. En el siguiente espacio en blanco dibuja la figura resultante.


1. Traza un triángulo ABC. 2. Trazar las bisectrices de cada ángulo interno del triángulo (de acuerdo a

las herramientas disponibles puedes utilizar el comando de bisectriz o regla y compás).

3. Realiza los dos pasos anteriores nuevamente. 4. ¿Qué puedes afirmar sobre las tres bisectrices?

Espacio para redactar una conjetura


58

5. Al punto de corte de las Bisectrices llámalo I.

6. Por I traza perpendiculares a cada uno de los lados del triángulo. 7. Encuentra el punto de intersección de cada perpendicular con el lado del

triángulo. Llama a estos puntos M, N y O. 8. Encuentra las distancias IM, IN e IO. Arrastra los vértices del triángulo

para que contestes la siguiente pregunta: ¿Qué puedes decir sobre las distancias IM, IN e IO?

9. Construye una circunferencia tomando como centro el punto I y radio IM.

10. La circunferencia pasa por M. ¿También pasa por I y por N? Justifica.

El punto I se llama incentro porque es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo dado.


59

EN ACCIÓN

a. Usa regla y compás para trazar el incentro de los siguientes triángulos:

b. Traza la circunferencia inscrita al siguiente triángulo:

EVALUACIÓN

1. ¿El punto de corte de las bisectrices puede estar en el interior del triángulo? 2. ¿El punto de corte de las bisectrices puede estar en la frontera del triángulo? 3. ¿El punto de corte de las bisectrices puede estar en el exterior del triángulo? 4. ¿El incentro está a la misma distancia de los vértices del triángulo? 5. ¿Las bisectrices de los ángulos internos de un cuadrilátero también concurren

en un punto?


60


Tema: Puntos y rectas notables del

triángulo

Sub-Tema: Mediatrices y el circuncentro.



compás

Fecha: _________________



Comunica las propiedades de las mediatrices de los lados de un triángulo, a

través del doblado de papel y con apoyo de la geometría dinámica para la

búsqueda de invariantes y la construcción de ideas matemáticas generales.

Redacta nuevos problemas sobre mediatrices, a partir de la modificación de los



a. La primera aproximación a las propiedades de las mediatrices de los lados de un triángulo, es a través del doblado de papel.

b. Luego debes usar geogebra para construir las mediatrices y el circuncentro de un triángulo.

c. Después de cada construcción debes encontrar y comunicar algunas propiedades matemáticas que tienen las mediatrices y el circunscentro.

d. En la parte final debes usar regla y compás para construir las mediatrices y el circuncentro de algunos triángulos.

e. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la discusión y hazle saber tus puntos de vista al profesor y a tus compañeros.


61

DIAGNÓSTICO

1. Redacta con tus propias palabras lo que significa para ti la palabra mediatriz.

2. Dibuja un segmento, usa regla y compás para encontrar su punto medio

3. Dibuja un segmento y construye una mediatriz


62

4. ¿Recuerdas un procedimiento con doblado de papel para hacer una mediatriz? Si ( ) No ( )


5. ¿Recuerdas un procedimiento con regla y compás para hacer una mediatriz?

Si ( ) No ( )


6. ¿Sabes usar el comando mediatriz de geogebra? Si ( ) No ( )


63

MOTIVACIÓN

1. Traza un triángulo ABC. 2. Trazar las mediatrices de cada lado del triángulo (puedes utilizar el comando

de mediatriz). 3. ¿Qué puedes afirmar sobre las tres mediatrices?

4. ¿El punto de corte de las mediatrices puede estar en el interior del triángulo? ¿En la frontera? ¿En el exterior?

5. Al punto de corte de las Mediatrices llámalo M

6. Encuentra las distancias MA, MB y MC. Arrastra los vértices del triángulo. A partir de estas observaciones, redacta una conjetura sobre las distancias MA, MB y MC.


64

7. En el siguiente espacio en blanco dibuja una circunferencia tomando como centro el punto M y radio MA.

8. La circunferencia pasa por A. ¿También pasa por B y por C? Justifica.


El punto M se llama circuncentro porque es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo dado.

EN ACCIÓN

1. Usa regla y compás para trazar el circuncentro de los siguientes triángulos:


65

2. Traza la circunferencia circunscrita al siguiente triángulo:

EVALUACIÓN

1. Tres ciudades cercanas A, B y C quieren construir un centro de abastecimiento de combustible de gasolina en un punto que esté a la misma distancia de las tres ciudades. Describe dónde pondrías el centro de abastecimiento y justifica tu respuesta.

2. Usa Geogebra, regla y compás o doblado de papel para realizar las siguientes exploraciones: a. ¿En dónde se encuentra el Circuncentro de un triángulo acutángulo? b. ¿En dónde se encuentra el Circuncentro de un triángulo rectángulo? c. ¿En dónde se encuentra el Circuncentro de un triángulo obtusángulo?

3. ¿Las bisectrices de los lados cualquier cuadrilátero se cortan en un punto?

4. A partir del problema anterior, redacta un nuevo problema


66


Unidad Dos:

Triángulos

Tema: Puntos y rectas

notables del triángulo

Sub - Tema: Medianas y

el baricentro.

Hoja de

Trabajo No. 10

Materiales: pluma y

geogebra, regla y

compás

Fecha:


Construye propiedades sobre las medianas de los lados de un triángulo, a

través de la exploración doblando papel, con construcción con regla y con

apoyo de la geometría dinámica, para la búsqueda de invariantes y la


Redacta nuevos problemas sobre medianas, a partir de la modificación de los


Argumenta las ideas matemáticas sobre las medianas, mediante el uso de

lenguaje verbal y geométrico para resolver problemas geométricos.


a. Primero debes usar geogebra para construir las Medianas y el baricentro de

un triángulo.

b. Después de cada construcción debes encontrar y comunicar algunas

propiedades matemáticas que tienen las Medianas y el baricentro.

c. En la parte final debes usar regla y compás para construir las Medianas y el

baricentro de algunos triángulos.

d. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la discusión y

hazle saber tus puntos de vista al profesor y a tus compañeros.


67

DIAGNÓSTICO

1. Redacta con tus propias palabras lo que significa para ti la palabra mediana.

2. Dibuja un triángulo y construye una mediana sobre uno de sus lados.

3. ¿Recuerdas un procedimiento con doblado de papel para hacer una mediana? Si ( ) No ( )


4. ¿Recuerdas un procedimiento con regla y compás para hacer una mediana? Si ( ) No ( )


5. ¿Sabes dibujar una mediana usando geogebra? Si ( ) No ( )


68

MOTIVACIÓN

1. Traza un triángulo ABC.

2. Traza los puntos medios de los lados del triángulo ABC. 3. En el dibujo anterior, traza las tres medianas del triángulo 4. ¿Qué puedes afirmar sobre las tres medianas del triángulo?

5. Al punto de corte de las Medianas llámalo G y es el gravicentro o baricentro del triángulo.


69

6. Diseña un procedimiento para comparar las distancias de AG con GE; de BG con GF y de CG con GD.

Espacio para comunicar el procedimiento utilizado

7. Construye una conjetura sobre las medidas de los lados AG Y GE.

8. Construye una conjetura sobre las medidas de los lados BG Y GF.

9. Construye una conjetura sobre las medidas de los lados CG Y GD.


70

EN ACCIÓN

Usa regla y compás para trazar el Baricentro del siguiente triángulo:

EVALUACIÓN

1. Usa Geogebra para realizar las siguientes exploraciones y responde: 2. ¿El punto de corte de las medianas puede estar en el interior del triángulo?

¿En la frontera? ¿En el exterior?

3. ¿Cómo puedes encontrar el baricentro de un cuadrilátero (polígono de cuatro lados)?

4. ¿Qué ocurre con el baricentro, el incentro y el baricentro de los triángulos equiláteros?

5. Tienes un polígono irregular, ¿Ese polígono irregular tiene baricentro?_____ 6. Redacta un procedimiento para hallar el baricentro de las siguientes figuras


71


Competencias específicas

Construye propiedades sobre las alturas de de un triángulo, a través de la

exploración doblando papel, con construcción con regla y con apoyo de la

geometría dinámica para la búsqueda de invariantes y la construcción de ideas

matemáticas generales.

Argumenta las ideas matemáticas sobre las alturas de un triángulo, mediante el

uso de lenguaje verbal y geométrico para resolver problemas geométricos.


a. Primero debes usar geogebra para construir las alturas y el ortocentro de un

triángulo.


propiedades matemáticas que tienen las alturas y el ortocentro.

c. En la parte intermedia debes usar regla y compás para construir las alturas y el

ortocentro de algunos triángulos.

d. En la parte final debes usar Geogebra para realizar exploraciones sobre el

ortocentro.

e. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la discusión y


Unidad Dos:

Triángulos



Sub - Tema:

Alturas y el ortocentro

Hoja de

Trabajo No. 11

Materiales: pluma y

geogebra, regla compás

y escuadras

Fecha:


72

MOTIVACIÓN

En esta hoja de trabajo trabajaremos con algunas propiedades que tienen las

alturas que se construyen sobre los lados de un triángulo.

Para empezar a motivar el estudio de estas propiedades, vamos a introducir el

tema con una actividad sobre el papel:

a. Recorta una forma triangular. De preferencia el triángulo debe ser

acutángulo.

b. Dobla el papel, de tal manera que traces rectas que pasen por cada uno de

los vértices y que sean perpendiculares a cada uno de los lados del

triángulo,.

c. En el siguiente espacio en blanco dibuja la figura que obtuviste después de

hacer todos los dobleces.

d. En el siguiente espacio en blanco construye una propiedad general sobre

las las tres rectas que trazaste.


73

DIAGNÓSTICO

1. Redacta con tus propias palabras lo que significa para ti la palabra altura.

2. Dibuja triángulo y construye una altura

3. ¿Recuerdas un procedimiento con doblado de papel para hacer una altura?

Si ( ) No ( )



74

4. ¿Recuerdas un procedimiento con regla y compás para hacer una altura?

Si ( ) No ( )


5. ¿Sabes usar el comando altura de geogebra? Si ( ) No ( )


1. Traza un triángulo ABC.


75

2. Traza la altura a cada lado del triángulo. Lo puedes hacer con una recta perpendicular a cada lado que pase por su vértice opuesto.

Por ejemplo, en la siguiente figura se traza una perpendicular al lado AB que

pase por su vértice opuesto que es el punto C.

Debes hacer el procedimiento similar para los otros dos lados del triángulo

3. ¿Qué puedes afirmar sobre las tres alturas del triángulo?

Al punto de corte de las Alturas llámalo O y es el ortocentro del triángulo. Se

llama así porque es el corte de rectas perpendiculares, también llamadas

ortogonales.

EN ACCIÓN

1. Usa regla y compás para trazar el Baricentro de los siguiente triángulos:


76

EVALUACIÓN

Usa Geogebra para realizar las siguientes exploraciones:

1. ¿En dónde se encuentra el ortocentro de un triángulo acutángulo? Dibuja y explica

2. ¿En dónde se encuentra el ortocentro de un triángulo rectángulo? Dibuja y explica.

3. ¿En dónde se encuentra el ortocentro de un triángulo obtusángulo? Dibuja y explica.


77



Unidad Dos:

Triángulos



Sub - Tema: propiedades

del ortocentro, baricentro

y circuncentro

Hoja de

Trabajo No. 12

Materiales: pluma y

geogebra, regla,

compás y escuadras

Fecha:

Construye propiedades sobre el baricentro, el ortocentro y el circuncentro de

un triángulo, a través del doblado de papel, con construcción con regla y con

apoyo de la geometría dinámica para la búsqueda de invariantes y la


Argumenta las ideas matemáticas sobre la configuración espacial de algunos

puntos notables, mediante el uso de lenguaje verbal y geométrico para

resolver problemas geométricos.

Realiza consultas sobre puntos y rectas notables, a través del uso de internet,

para la reconstrucción geométrica y la visualización de las propiedades.


a. Primero debes usar geogebra, estuche de geometría o doblado de papel,

para construir el ortocentro, baricentro y circuncentro de un triángulo de un

triángulo.


propiedades que tienes estos puntos notables.

c. En la parte intermedia debes usar regla y compás para construir el

ortocentro, baricentro y circuncentro de un triángulo de un triángulo.

d. En la parte final debes usar Internet para consultar sobre algunos temas

interesantes de geometría.




78

DIAGNÓSTICO

1. ¿Conoces leyes que relacionen el ortocentro, con el baricentro y el circuncentro del triángulo?

Si ( ) No ( )

2. ¿Conoces la recta de Euler? Explica Si ( ) No ( )

3. ¿Todos los triángulos tienen su respectiva recta de Euler?


79


En esta sección vas a construir propiedades que relacionan el circuncentro, el

ortocentro y el baricentro de un triángulo.

Para poder explorar estas propiedades, puedes usar geogebra o hacer una

construcción sobre el papel.

1. Dibuja un triángulo. 2. En este mismo dibujo, traza el ortocentro O (corte de alturas), baricentro G

(corte de medianas) y el circuncentro M (corte de mediatrices) del triángulo ABC.

3. ¿Qué relación puedes encontrar entre el Ortocentro O, Baricentro G, y circuncentro M del triángulo ABC?

4. Mide las distancias del ortocentro al baricentro y del baricentro al circuncentro.

5. En el siguiente espacio en blanco, escribe una relación entre las distancias

del ortocentro al baricentro y del baricentro al circuncentro.


80

EN ACCIÓN

Usa regla y compás, para que verifiques las propiedades que ha construido en la presente hoja de trabajo, en el siguiente triángulo:

EVALUACIÓN

Usa Geogebra para realizar las siguientes exploraciones:

1. ¿Pueden coincidir el baricentro, ortocentro y el circuncentro? Justifica 2. ¿El incentro, el baricentro, el circuncentro y el ortocentro de cualquier triángulo

están alineados? Justifica 3. En Internet consulta cuál es la recta de Simson. Utiliza Geogebra para

reconstruirla. 4. En Internet consulta cuál es la circunferencia de los nueve puntos. Utiliza

geogebra para reproducirla.


81


Tema: Teoremas aplicables a triángulos

Sub - Tema: propiedades de los ángulos internos

de todo triángulo


Materiales: Cartulina, compás, regla , tijeras y

geogebra

Fecha:



Construye propiedades sobre los ángulos internos de un triángulo, a través de la

exploración doblando papel, con regla y compás y con apoyo de la geometría

dinámica para la búsqueda de invariantes y la construcción de ideas matemáticas

generales.

Argumenta las ideas matemáticas la suma de ángulos internos rectángulo,

mediante el uso del lenguaje verbal y geométrico PARA resolver problemas

geométricos.

Redacta nuevos problemas sobre ángulos internos, a partir de la modificación de

los problemas ya resueltos para el desarrollo de la creatividad.


a. En la primera parte utilizarás cartulina, regla y tijeras para construir una

propiedad sobre los ángulos internos de un triángulo.

b. En la segunda parte usarás geogebra para que generalices la propiedad que

hallaste en la primera parte.

c. Debes comunicar la conjetura que emerge

d. En la parte final debes dejar de usar el geogebra para resolver únicamente con

lápiz y papel algunos ejercicios relacionados con los ángulos internos de un

triángulo.




82

DIAGNÓSTICO

a. Dibuja un triángulo y señala sus ángulos internos

b. Realiza la suma de los siguientes ángulos: 20º 30` 50`` con 5º 29` 22``

c. Si a 180º le restas 25º 15’ ¿Cuál es el resultado? _________________________

MOTIVACIÓN

1. Toma una cartulina y dibuja formas triangulares de diferentes tamaños.

2. Utiliza el compás para marcar los tres ángulos internos de cada triángulo. Haces un arco de circunferencia del mismo radio sobre cada vértice del triángulo. Ten en cuenta que el radio de la circunferencia es arbitrario, sin embargo en el mismo triángulo no debes cambiar el tamaño del radio.


83

3. Toma un triángulo y corta los sectores circulares y júntalos. Haz lo mismo con los otros dos triángulos. Observa el tipo de ángulo que se forma en cada caso.

4. A partir de lo que observaste en el punto anterior, escribe una ley sobre la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo.


1.- Completa la tabla haciendo lo siguiente: utilizando Geogebra dibuja diferentes

triángulos, mide sus ángulos interiores y suma con el comando calcular las

medidas. Registra todo lo que realizas en la tabla.

Dibujo del Triángulo Medida de los

Ángulos internos

Suma/

Operación

Total


84

Dibujo del Triángulo Medida de los

Ángulos internos

Suma/

Operación

Total

5.-Construye una regla (propiedad) para la suma de las medidas de los ángulos

interiores de cualquier triángulo.

EN ACCIÓN

SIN UTILIZAR Geogebra, encuentra la medida del ángulo interno faltante, en cada uno de los siguientes triángulos.

Operaciones


85

Operaciones

Operaciones

EVALUACIÓN

1. ¿Cuánto deben sumar los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo?

Justifica. 2. ¿Dos ángulos internos del mismo triángulo puedes ser obtusos? Justifica.

3. En tu cuaderno redacta nuevos problemas sobre los ángulos internos en otros polígonos, partir de la modificación de los problemas ya resueltos.


86


Unidad Dos:

Triángulos

Tema: Teoremas

aplicables a triángulos

Sub - Tema: propiedades de

los ángulos externos de todo

triángulo

Hoja de Trabajo

No. 14

Materiales: Cartulina,

compás, regla , tijeras

y geogebra

Fecha:


Construye propiedades sobre los ángulos externos de un triángulo, a través de la

exploración doblando papel, con regla y compás y con apoyo de la geometría

dinámica, para la búsqueda de invariantes y la construcción de ideas matemáticas

generales.

Redacta nuevos problemas sobre ángulos externos en otros polígonos, a partir de

la modificación de los problemas ya resueltos para el desarrollo de la creatividad,

la resolución de nuevos problemas y la formulación de contra-ejemplos.

Sigue un conjunto de pasos, a través de la conexión entre las representaciones

verbales y visuales de los ángulos externos, para la visualización de propiedades.


a. En la primera parte utilizarás cartulina, regla y tijeras para construir una

propiedad sobre los ángulos externos de un triángulo.

b. En la segunda parte usarás geogebra para que generalices la propiedad que

hallaste en la primera parte.

c. Debes comunicar la conjetura que emerge.

d. En la parte final debes dejar de usar el geogebra para resolver únicamente con

lápiz y papel algunos ejercicios relacionados con los ángulos externos de un

triángulo.




87

DIAGNÓSTICO

a. Dibuja un triángulo y sobre él dibuja un ángulo externo.

b. ¿Conoces alguna propiedad sobre los ángulos externos de un triángulo?


88

MOTIVACIÓN

a. Toma una cartulina y dibuja formas triangulares de diferentes tamaños.

b. Prolonga un lado cualquiera del triángulo. Por ejemplo vamos a prolongar el lado AC con una recta. Usa tu compás para marcar el ángulos que se forman entre la prolongación del lado AC y el lado contiguo AB ( ) y el

ángulo que se forma entre la prolongación de AB con BC ( ). A este tipo

de ángulos se les llama ángulos externos. Veamos:


89

c. Ahora vas a prolongar el lado AB para construir todos los ángulos exteriores, como en la siguiente figura:

d. . Recorta los ángulos externos y júntalos

e. ¿Cuánto suman los ángulos exteriores de un triángulo?



90

f. En el siguiente espacio en blanco justifica la conjetura que redactaste en el punto número 6.



91


1. Abre el archivo exteriores.ggb, allí encontrarás una figura similar a la

siguiente:

En el archivo encontrarás un triángulo ABC, sus tres ángulos interiores

(marcados en color rojo) y los tres ángulos exteriores (arcados en color

verde).

2. Mide cada uno de los ángulos que aparecen en la figura y completa las

siguientes tablas:


92

3. Observa los resultados de las tablas anteriores ¿Cuánto suma la medida de

un ángulo externo y la medida del ángulo interno adyacente?



93

4. Ve al archivo exteriores.ggb y toma datos de los ángulos exteriores para completar la siguiente tabla:

5. ¿Cuánto suman los ángulos exteriores de un triángulo?



94

EN ACCIÓN

SIN UTILIZAR Geogebra, encuentra la medida de cada uno de los ángulos externos de los siguientes triángulos.

Operaciones

Operaciones

Operaciones


95

EVALUACIÓN

1. ¿Cuánto debe medir un ángulo externo en un triángulo equilátero? Justifica. 2. En el siguiente espacio en blanco realiza una deducción de una fórmula

general para calcular la medida de un ángulo externo de un triángulo

rectángulo que no sea adyacente al ángulo recto.

3. En el siguiente espacio en blanco, redacta por lo menos tres problemas nuevos, relacionados con los temas y habilidades tratadas en la presente hoja de trabajo.

4. Selecciona uno de los problemas que acabas de redactar. Resuélvelo y entrégale un reporte a tu profesor.


96


Unidad Dos:

Triángulos

Tema: Teoremas


Sub - Tema: propiedades

del ángulo externo

Hoja de Trabajo

No. 15

Materiales: geogebra y

pluma

Fecha:


Construye propiedades sobre los ángulos externos e internos de un triángulo,

a través de la exploración doblando papel, con regla y compás y con apoyo

de la geometría dinámica, para la búsqueda de invariantes y la construcción

de ideas matemáticas generales.

Redacta nuevos problemas sobre ángulos externos e internos en otros

polígonos, a partir de la modificación de los problemas ya resueltos para el

desarrollo de la creatividad, la resolución de nuevos problemas y la

formulación de contra-ejemplos.

Sigue un conjunto de pasos, a través de la conexión entre las

representaciones verbales y visuales de los ángulos externos, para la

visualización de propiedades.

Argumenta las ideas geométricas sobre ángulos internos a través de cadenas

de razonamientos para la resolución de problemas.


a. En la primera parte usarás geogebra para medir el ángulo externo y dos

ángulos internos no adyacentes a él.

b. Debes comunicar la conjetura que emerge

c. En la parte final debes dejar de usar el geogebra para resolver únicamente

con lápiz y papel algunos ejercicios relacionados el ángulo externo.

d. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la discusión

y hazle saber tus puntos de vista al profesor y a tus compañeros.


97

DIAGNÓSTICO

a. Dibuja un triángulo y sobre él dibuja un ángulo externo y los dos ángulos

externos no adyacentes a él.

b. ¿Conoces alguna ley que relacione un ángulo externo de un triángulo, con los ángulos externos no adyacentes? _______________


1. Abre el archivo externo.ggb, allí encontrarás una figura similar a la siguiente:


98

En el archivo encontrarás un triángulo ABC, un ángulo externo (marcado en

color verde) y dos ángulos internos no adyacentes a él (marcados en color

rojo).

2. Mide cada uno de los ángulos que aparecen en la figura y completa la

siguiente tabla:

3. Observa los resultados de la tabla anterior ¿Qué relación encuentras entre

los ángulos?


EN ACCIÓN

En cada caso, debes encontrar el ángulo faltante


99

EVALUACIÓN

1. Argumenta porqué es válida la ley que formulaste en la presente hoja de

trabajo.

2. Construye dos problemas relacionados con el problema que estamos

abordando en la presente hoja de trabajo.

3. Explora alguno de estos nuevos problemas y construye nuevas conjeturas.

4. En la siguiente figura se ha dibujado un triángulo ABC, un ángulo externo y dos

internos no adyacentes a él. Utiliza lo que aprendiste en la presente hoja de

trabajo para verificar si las medidas de los ángulos indicados son correctas.


100



Construye propiedades sobre las áreas de los cuadrados construidos sobre

los lados de un triángulo rectángulo, a través de la exploración doblando

papel, con regla y compás y con apoyo de la geometría dinámica, para la

búsqueda de invariantes y la construcción de ideas matemáticas generales.

Redacta nuevos problemas con variantes y extensiones del teorema de

Pitágoras, a partir de la modificación de una configuración dada, para el

desarrollo de la creatividad, la resolución de nuevos problemas y la

formulación de contra-ejemplos.

Sigue un conjunto de pasos de una construcción geométrica, a través de la

conexión entre las representaciones verbales y visuales, para la visualización

de propiedades.

Argumenta las ideas geométricas sobre las áreas de los cuadrados

construidos en los lados de un triángulo rectángulo, a través de cadenas de

razonamientos para la resolución de problemas.


a. Primero usarás papel e instrumentos de geometría para visualizar una propiedad.

b. Luego usarás geogebra para medir, arrastrar y encontrar y generalizar una propiedad que tienen los triángulos rectángulos.

c. Debes comunicar la conjetura que emerge. d. En la parte final debes dejar de usar el geogebra para resolver

únicamente con lápiz y papel algunos ejercicios relacionados el teorema involucrado en la presente hoja de trabajo.

e. En la fase de socialización, participa en la discusión y hazle saber tus puntos de vista al profesor y a tus compañeros.

Unidad Dos:

Triángulos

Tema: Teoremas


Sub - Tema: Teorema

relacionado con los

triángulos rectángulos

Hoja de Trabajo

No. 16

Materiales: geogebra y

pluma, regla, escuadras,

papel y tijeras

Fecha:


101

DIAGNÓSTICO

1. ¿Cómo se calcula el área de un cuadrado de lado L?

2. ¿Cómo se traza una recta paralela a una recta dada por un punto dado? (puedes usar regla, compas o escuadras).


3. ¿Cómo se traza una recta perpendicular a una recta dada por un punto dado? (puedes usar regla, compas o escuadras)

Espacio para redactar el procedimiento


102

MOTIVACIÓN

1. Con cartulina construye un triángulo rectángulo. 2. Construye un cuadrado sobre cada lado del triángulo. 3. Selecciona uno de los cuadrados construidos sobre los catetos. 4. Encuentra el centro de este cuadrado. 5. Traza una paralela a la hipotenusa que pase por dicho centro. 6. Traza una perpendicular esta recta que pase por el mismo centro. 7. Después de haber realizado los trazos anteriores obtendrás una figura

similar a la siguiente:

8. Recorta los cuatro polígonos que se generaron en el cuadrado.

9. Recorta el cuadrado que está en el otro cateto.

10. Utiliza estas cinco piezas para rellenar el cuadrado que se construyó sobre la hipotenusa.

11. Redacta una propiedad sobre las áreas de los cuadrados utilizados en la presente actividad.


103

CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES BÁSICAS

1. Abre el archivo rectángulo1.ggb, allí encontrarás una figura similar a la

siguiente:

2. Explora el archivo, esto quiere decir que puedes medir longitud de segmentos,

medida de ángulos, arrastrar, etc. Contesta las siguientes preguntas:

a. ¿Qué clase de triángulo es PAQ?

Espacio para argumentar


104

b. ¿Qué clase polígono es AQGF?


c. ¿Qué clase polígono es QPOD?


d. ¿Qué clase polígono es APIH?



105

3. Mueve el punto M que está sobre el deslizador hasta el extremo derecho. En el

siguiente espacio en blanco redacta una conjetura sobre las áreas de los

polígonos que se involucran en el problema.

Espacio para escribir la conjetura

4. Ahora abre el archivo rectángulo2.ggb. Allí encontrarás una figura similar a la

siguiente:


106

En el archivo encontrarás un triángulo rectángulo PAQ y tres cuadrados

construidos sobre los catetos y sobre la hipotenusa del triángulo.

5. Mide los lados los lados de los cuadrados. Calcula las áreas de los cuadrados área para completar la siguiente tabla. Ten en cuenta que en la cuarta columna debes escribir la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

ÁREA de APIH ÁREA de

GQAF

ÁREA de

DOPQ

A(APIH)+A(GQAF)

6. En el siguiente espacio en blanco redacta una conjetura sobre las áreas de los

polígonos que se involucran en el problema.

Espacio para escribir la conjetura


107

EN ACCIÓN

1. Sin utilizar geogebra realiza el cálculo de la incógnita. Ten en cuenta que en

cada caso te damos un triángulo rectángulo y algunas de las medidas de sus

lados.

EVALUACIÓN

1. ¿Es posible que las medidas de los lados de un triángulo rectángulo sean 7,

11 y 15?

3. Completa la siguiente tabla. En la primera columna está la el valor de un cateto de un triángulo rectángulo, en la segunda columna otro cateto, en la tercera columna ubicamos el valor de la hipotenusa.

Cateto 1 Cateto 2 Hipotenusa

3 5

8 10

5 9

25

100

3. ¿Cuántas soluciones admiten los dos últimos incisos del punto anterior?

4. En el siguiente espacio en blanco, redacta un problema similar al que estamos

abordando en la presente hoja de trabajo.


108


Tema: Propiedades y

Teoremas aplicables a triángulos

Sub-tema Propiedades del la

altura en un triángulo isósceles



compás

Fecha: ________________



Identifica algunas propiedades que posee la altura de los triángulos isósceles

mediante el uso de construcciones con lápiz, papel y geometría dinámica para

usarlas en las argumentaciones geométricas.

Reconoce las propiedades de la altura en un triángulo isósceles y aplica esas

propiedades en la resolución de problemas geométricos.




c. En la parte final debes identificar las distintas propiedades que tiene la altura de un triángulo isósceles.



109

DIAGNÓSTICO

Para recordar

1. Escribe todas las clases de triángulos que recuerdes.

2. ¿Qué es un triángulo isósceles?

3. ¿Conoces algunas propiedades que tienen los triángulos isósceles?


110

MOTIVACIÓN

Usa tu estuche de geometría para resolver las siguientes actividades.

1. Mide los lados de cada uno de los siguientes triángulos. También mide los ángulos internos.

2. De acuerdo a las medidas que obtuviste en el punto anterior: ¿Cada una de las tres figuras qué clase de triángulos representa?



111

3. Compara la medida de los lados con la medida de los ángulos opuestos. ¿A qué conclusión puedes llegar?



En esta sección utilizarás el entorno de geometría dinámica para explorar algunas

propiedades geométricas.

1. Abre el archivo base.ggb. Allí encontrarás una figura similar a la siguiente:


112

2. ¿Qué clase de triángulo representa la figura que contiene el archivo?


3. Mide cada uno de los ángulos internos y los lados del triángulo. Arrastra los vértices del triángulo. En el siguiente espacio en blanco dibuja algunos de esos triángulos con sus medidas de lados y ángulos


113

4. Compara la medida de los lados con la medida de los ángulos opuestos. ¿A qué conclusión puedes llegar?


Propiedades de la altura de un triángulo isósceles

1. Ahora abre el archivo altura.ggb. Allí encontrarás una figura similar a la siguiente:

2. En el archivo encuentras un triángulo isósceles y la altura con respecto al lado desigual.


114

3. Mide los segmentos AD Y DB. Arrastra los vértices del triángulo y completa la siguiente tabla:

AD DB

4. Ahora mide los ángulos CDA y CDB. Arrastra los vértices del triángulo. 5. En el siguiente espacio en blanco describe las características que encontraste

sobre la altura del triángulo isósceles.

6. Mide los ángulos ACD Y DCB. Arrastra los vértices del triángulo y completa la siguiente tabla:

ACD DCB

7. En el siguiente espacio en blanco describe la característica más sobre la altura del triángulo isósceles.


115

EN ACCIÓN

Encuentra la medida de cada uno de los ángulos faltantes en la siguiente figura:

EVALUACIÓN

1. Encuentra el valor de los ángulos y los segmentos en la siguiente figura:

2. Encuentra el valor de los ángulos y los segmentos en el siguiente triángulo

equilátero:


116


Tema: Propiedades y


Sub -Tema: relación entre medida de

ángulos y medida de lados en un triángulo

Hoja de Trabajo No.18


compás

Fecha: _______________



Identifica la propiedad que tienen los triángulos al relacionar la medida de los

lados y los ángulos opuestos mediante el llenado de tablas comparativas.

Reconoce las propiedades que tienen todos los triángulos mediante la

utilización del software de geometría dinámica para utilizarlas en la resolución

de problemas geométricos.




c. En la parte final debes tener claridad sobre las propiedades fundamentales de los triángulos.



117

DIAGNÓSTICO

1. Enuncia cinco postulados de la geometría plana que te acuerdes:

2. Enuncia dos teoremas de la geometría plana, donde se mencione los lados de

los triángulos.

3. Enuncia dos teoremas de la geometría plana, donde se mencione los ángulos

de un triángulo

4. Enuncia dos teoremas o postulados, que tú te acuerdes, en los cuales se

menciones los lados y los ángulos internos de un triángulo


118

MOTIVACIÓN

Propiedades de los triángulos

Primera parte: Con lápiz y papel

1. Mide los lados de cada uno de los siguientes triángulos. También mide los ángulos internos.

2. De acuerdo a las medidas que obtuviste en el punto anterior: ¿Cada una de las tres figuras qué clase de triángulos representa?



119

3. En el siguiente espacio en blanco compara el tamaño de la medida de los lados con el tamaño de la medida de los ángulos opuestos.

Figura No 1

Figura No 2

Figura No 3


Propiedades de los triángulos

Segunda parte: Con Geogebra

1. Abre el archivo lados-ángulos.ggb. Allí encontrarás una figura similar a la siguiente:


120

2. ¿Qué clase de triángulos representan la figuras que contiene el archivo?


3. Mide cada uno de los ángulos internos y los lados del triángulo. Arrastra los vértices del triángulo. En el siguiente espacio en blanco dibuja algunos de esos triángulos con sus medidas de lados y ángulos


121

4. Compara la medida de los lados con la medida de los ángulos opuestos en cada figura. ¿A qué conclusión puedes llegar?


EN ACCIÓN

1. ¿Los ángulos internos de un triángulo escaleno pueden ser 30º, 30 º y 120º?



122

2. ¿Las medidas de los ángulos internos de un triángulo isósceles pueden ser 20º, 30º y 130º?


EVALUACIÓN

1. Discute sobre el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

a. Los triángulos escalenos tienen todos sus ángulos internos congruentes.

b. Los triángulos equiláteros tienen dos y solo dos ángulos internos

congruentes.

c. En un triángulo isósceles todos los ángulos internos tienen diferente

medida.


123


Tema: Propiedades y


Sub -Tema: Postulados de la

semejanza de triángulos



compás

Fecha: ________________



Identifica la semejanza de triángulos, mediante la medición de cada uno de sus

elementos para aplicarla en la argumentación de las ideas geométricas.

Construye triángulos semejantes a partir de las propiedades que conoce, y las

compara con figura semejantes de mayor número de lados.




c. En la parte final debes tener claridad sobre los postulados de semejanza de los triángulos.


DIAGNÓSTICO


124

1. Escribe lo que tú entiendas por semejanza de triángulos.

2. Conoces los postulados de semejanza de triángulos si ___ no ___. Escríbelos

3. Escribe lo que entiendas por lados homólogos.

4. Conoces el significado de la palabra proporcional si _____ no____

5. Escribe lo que entiendas por proporcionalidad.


125

6. Encierra en un círculo las figuras que sean semejantes al primer rectángulo. Explica porque haces esa elección.

MOTIVACIÓN

1. Dibuja un triángulo acutángulo, uno obtusángulo y otro rectángulo, en la tabla. 2. Debajo de cada uno de ellos dibuja otro triángulo de la misma clase, pero de

tamaño diferente (triángulo 2).

Triángulo acutángulo

Triángulo obtusángulo Triángulo rectángulo

Triángulo 1

Triángulo 2

3. Mide cada uno de sus lados y cada uno de sus ángulos anota las medidas. 4. Divide la medida de los lados de cada pareja de triángulos, teniendo en cuenta

de hacerlo así: lado mayor del triángulo 1 entre lado menor del triángulo 2.


126

5. Escribe los resultados de esas divisiones.

Resultados de las divisiones

6. Si los resultados de las divisiones son iguales los lados son proporcionales.

7. Ahora dibuja parejas de triángulos con lados proporcionales.

Triángulo acutángulo

Triángulo obtusángulo

Triángulo rectángulo

Triángulo 1

Triángulo 2



127

Semejanza de triángulos

Algunas definiciones.

En esta parte de la actividad comprenderás lo que significan varios términos muy

usados en el estudio de la geometría, por ejemplo, razón, proporción y semejanza

de polígonos.

a. Razón: Es la división entre dos magnitudes.

Por ejemplo la razón del lado menor entre el lado mayor del siguiente

rectángulo es 3

4. Veamos:

b. Proporción: Es la igualdad entre dos razones. Una proporción puede escribirse de tres maneras. Veamos:

, : : , : :: :a c

a b c d a b c db d

La primera forma se lee “a sobre b es igual a c sobre d”; las otras formas se leen

“a es a b como c es a d”. Sin embargo, todas representan lo mismo: la igualdad

entre dos razones.

Por ejemplo, los lados de los siguientes rectángulos son proporcionales:


128

Se dice que los lados son proporcionales porque la razón entre los lados de la

primera figura es 3

4, mientras que en la segunda figura es

6

8 y cómo:

3

4=

6

8

Los lados de los dos rectángulos son proporcionales.

c. Semejanza entre polígonos. Dos polígonos son semejantes cuando cumplen que:

Los ángulos homólogos son iguales y que los lados homólogos son

proporcionales.

Para que entiendas mejor esta definición, vas a realizar varias actividades:

1. Abre el archivo semejanza1.ggb. allí encontrarás un archivo similar al siguiente:


129

Hay dos polígonos y un deslizador llamado r.

2. Usando Geogebra, mide cada uno de los ángulos interiores de los dos polígonos. Arrastra los vértices del polígono de la izquierda. Compara las medidas de los ángulos internos en los dos polígonos.

Los lados homólogos son los que forman los mismos ángulos en los dos

polígonos. Por ejemplo, el ángulo formado por los lados AB y BC en el primer

polígono, es igual al ángulo formado por los lados FG y GI, en el segundo

polígono, por tanto una pareja de lados homólogos es FG y AB, otra es GI y BC.


130

3. En el siguiente espacio en blanco realiza la división entre parejas de lados homólogos:

4. Cambia una vez el valor de la razón, dando un clic sobre el punto r y deslizándolo. En el siguiente espacio en blanco realiza nuevamente la división entre parejas de lados homólogos:

5. ¿Los dos polígonos que están en el archivo son semejantes? (Sugerencia nuevamente repasa la definición de semejanza que te dimos en el punto uno antes de contestar la pregunta)



131

6. Abre el archivo semejanza2.ggb , allí encontrarás dos triángulos como los siguientes:

Como puedes ver en el archivo, los ángulos internos homólogos son iguales.

7. Primero identifica cuales las parejas de lados homólogos. En el siguiente espacio en blanco realiza la razón entre las medidas de los lados homólogos.


132

8. ¿Los triángulos que estás explorando son semejantes? Justifica tu respuesta.


Como puedes ver en el archivo, los lados homólogos son proporcionales.


133

10. Mide los ángulos internos de los dos triángulos. Arrastra los vértices libres y en el siguiente espacio en blanco saca una conclusión sobre la medida de los ángulos.

11. ¿Los triángulos que estás explorando son semejantes?



134

Como puedes ver en el archivo, dos parejas de lados homólogos son

proporcionales y los ángulos comprendidos entre ellos también son iguales.

13. ¿Los triángulos que estás explorando son semejantes?

Espacio para argumentar la respuesta

14. De acuerdo a lo que aprendiste en la presente hoja de trabajo. Resume en un párrafo todos los casos que estudiaste sobre la semejanza de triángulos.

Espacio para redactar la conjetura


135

EN ACCIÓN

1. En el triángulo ABC, se traza DE || BC. Calcular la medida del segmento EC,

sabiendo que:

=9cm, =6cm, =15cm

2. Encuentre la medida del segmento AC conociendo que DE||BC, la medida del

ángulo EDA=90º,

=2cm, =3cm y =18cm

3. Los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes. Si a = 25 cm., b = 10 cm., c = 30 cm., a’ = 30 cm., y b’ = 12 cm. Determina c’.


136

EVALUACIÓN

1. ¿Son semejantes todos los triángulos isósceles? Justifica tu respuesta.

2. Los lados de un triángulo miden 36 cm., 42 cm., y 54 cm. Si en un triángulo semejante a este, el lado homólogo del primero mide 24 cm. Hallar la medida de los otros dos lados de este triángulo.

3. Los lados de un triángulo rectángulo miden 6 cm., 8 cm. y 10 cm.,

respectivamente. ¿Cuánto medirán los catetos de un triángulo semejante al primero, si su hipotenusa mide 15 cm?

4. Demostrar que el triángulo OAB es semejante al triángulo OCD, sabiendo que L1 // L2.

5. En la figura siguiente, AD BC y CE AB. Demostrar que CE · AB = AD · BC

6. CD bisectriz del ángulo ACB y <ABE <ACD. Demostrar que AD · BC = CD · BE.


137

7. Juan quiere medir el alto de un árbol. Aprovecha la sombra que proyecta y se

ubica en un punto sobre el piso, de tal manera que el extremo de la sombra

del árbol, coincide con el extremo de su sombra, como en la siguiente figura:

a. ¿Qué medidas realizarías tú para estimar la altura del árbol?

b. ¿Cómo puedes utilizar la semejanza de triángulos para estimar la altura del

árbol?

c. Juan ahora quiere medir el alto de un árbol, usando un espejo que puso en

un punto sobre el piso. Caminó hasta ver en el espejo el extremo superior

del árbol, como en la siguiente figura:

a. ¿Qué medidas realizarías para estimar la altura del árbol?

b. ¿Cómo puedes utilizar la semejanza de triángulos para estimar la altura del

árbol?


138


Tema: Propiedades y


Sub -Tema: Postulados de la congruencia de

triángulos



compás

Fecha: ________________



Identifica la congruencia de triángulos, mediante la medición de cada uno de

sus elementos para aplicarla en la argumentación de las ideas geométricas.

Construye triángulos congruentes a partir de las propiedades que conoce, y las

compara con figura semejantes de mayor número de lados.




c. En la parte final debes tener claridad sobre los postulados de congruencia de los triángulos.



139

DIAGNÓSTICO

1. Escribe lo que tu entiendas por congruencia de triángulos

2. Conoces los postulados de congruencia de triángulos si ___ no___. Escríbelos

3. Escribe lo que entiendas por lados homólogos

4. Escribe lo que entiendas por ángulos homólogos.


140

5. Encierra en un círculo las figuras que sean congruentes al primer rectángulo Explica porque haces esa elección.

MOTIVACIÓN

1. Construye un polígono exactamente igual a los polígonos que aparecen

dibujados. Explica que procedimiento utilizas para hacerlo.

Original Copia Explicación del procedimiento

2. Dado un polígono ABCDEF y una recta L. Por cada vértice del polígono se

trazan rectas perpendiculares a L. Se Ubican los puntos A´, B´, C´, D´, E´y F´

sobre cada perpendicular, de tal manera que las distancias de los vértices


141

originales a la recta L, son iguales a las distancias de la recta a cada uno de

estos puntos. Por ejemplo, la distancia de A a L es la misma que de L a A´:

¿El polígono ABCDEF es congruente al A´B´C´D´E´F ´? Justifica tu respuesta.


142


Algunas Definiciones sobre congruencia de triángulos

Congruencia entre polígonos. Dos polígonos son congruentes cuando cumplen

que:

Los ángulos respectivos son iguales y los lados respectivos son iguales.

Para que entiendas mejor esta definición, vas a realizar varias actividades

1. Abre el archivo congruencia1.ggb. allí encontrarás un archivo similar al siguiente:

2. Usando Geogebra, mide cada uno de los ángulos interiores de los dos polígonos. Arrastra los vértices del polígono de la izquierda. Compara las medidas de los ángulos homólogos internos en los dos polígonos.


143

3. Mide los lados de cada polígono. Compara las medidas de los lados homólogos de los dos polígonos.

4. ¿Los dos polígonos que están en el archivo son congruentes? (Sugerencia nuevamente repasa la definición de semejanza que te dimos en el punto uno antes de contestar la pregunta)



144

En esta sección utilizarás la computadora para explorar un criterio de

congruencia de triángulos:

1. Abre el archivo congruencia2.ggb , allí encontrarás dos triángulos como los siguientes:

Como puedes ver en el archivo, los ángulos internos homólogos son iguales.

2. Mide los lados de cada polígono. Compara las medidas de los lados homólogos de los dos polígonos.


145

3. ¿Los triángulos que estás explorando son congruentes?


Como puedes ver en el archivo, los lados homólogos son iguales.


146

5. Mide los ángulos internos de los dos triángulos. Arrastra los vértices libres y en el siguiente espacio en blanco saca una conclusión sobre la medida de los ángulos.

6. ¿Los triángulos que estás explorando son congruentes?

En esta sección vas a explorar otro criterio de congruencia. Para ello realiza las

siguientes actividades.



147

Como puedes ver en el archivo, dos parejas de lados homólogos son iguales y los

ángulos comprendidos entre ellos también son iguales.

2. ¿Los triángulos que estás explorando son congruentes? _______ Justifica tu respuesta

Espacio para argumentar la respuesta

3. De acuerdo a lo que aprendiste en la presente hoja de trabajo. Haz un resumen sobre todos los casos que estudiaste sobre la congruencia de triángulos.

Espacio para el resumen

EN ACCIÓN

1. Dados los siguientes triángulos, determinar cuáles son congruentes.

a. Sólo 1) y 2) b. Sólo 1) y 2) c. Sólo 2) y 3) d. 1), 2) y 3) e. Ninguno


148

2. Dado el cuadrado ABCD, demostrar que el triángulo ABC es congruente al

triángulo DCB

EVALUACIÓN

1. En la siguiente figura, el CDE es isósceles. C es punto medio de AD y D es

punto medio de CB. Demostrar que el ACE BDE

2. Para demostrar que los triángulos AOB y COD de la figura, son congruentes,

es necesario saber que:

a) AB DC b) BAO DCO c) AB //CD

d) AO DO y AB CD e) BO CO y AO DO

3. Suponga que conoce la longitud de la altura desde la base de un triángulo isósceles y la medida de un ángulo entre la base y otro de los lados. ¿Esta información es suficiente para determinar un triángulo o existen diferentes triángulos posibles?

a) ¿Te ayuda dibujar las alturas y ángulos particulares, y tratar de formar más de un triángulo con las propiedades dadas?

b) ¿Crees que es posible hacer más de un triángulo? ¿Por qué? c) ¿Puedes usar la suma de ángulos internos en triángulos para ayudar a

explicar por qué? d) ¿Puedes usar la conjetura del triángulo isósceles para ayudar a explicar

por qué?


149

e) ¿Puedes usar los postulados de congruencia para ayudar a explicar por qué?

f) ¿Puedes usar la conjetura de la bisectriz del ángulo del vértice para explicar por qué?

g) ¿Qué sucede si el triángulo no es isósceles? 4. En la siguiente figura se da la media de un ángulo externo en un triángulo isósceles, calcula la medida de los otros ángulos.

5. Dada la siguiente figura, demuestra que El segmento AB es congruente al segmento CB .

6. Dada la siguiente figura, demuestra que El segmento AB es congruente al segmento BC


150

Unidad tres: Resolución de

triángulos

Tema: Funciones

trigonométricas de un triángulo rectángulo

Sub-tema Relación seno,

coseno, tangente, secante y cosecante.



compás

Fecha: ________________



Identifica los elementos que conforman un triángulo rectángulo. Usando para

ello las distintas definiciones de estos elementos.

Soluciona problemas que involucran triángulos rectángulos empleando las

relaciones trigonométricas.

Usa la calculadora científica para hallar el valor de los ángulos en un triángulo

rectángulo


a. Primero debes contestar el examen diagnóstico,

b. Luego debes usar la calculadora y las relaciones trigonométricas para hallar los ángulos de triángulos rectángulos.


d. Debes solucionar todos los problemas propuestos en la sección de evaluación.


151

DIAGNÓSTICO

1. De cada uno de los siguientes triángulos, encierra aquellos que correspondan a triángulos rectángulos.

2. Ilumina con un color amarillo el lado opuesto al ángulo dado en cada triángulo rectángulo.

3. Ilumina con un color rojo el cateto adyacente al ángulo dado en cada triángulo rectángulo.

4. Ilumina con un color verde la hipotenusa en cada triángulo rectángulo.


152

MOTIVACIÓN

En la unidad anterior viste el teorema de Pitágoras que sirve para hallar la medida

de los lados de triángulos rectángulos. Pero un triángulo aparte de lados también

tiene ángulos. Por lo que es necesario conocer otras herramientas que te permitan

obtener lados y ángulos de triángulos rectángulos.

En el triángulo que se te da, mide cada lado anótalo

Luego halla todos los cocientes entre los lados. En total deben ser seis.

a. AClado

ABlado = = b.

AClado

BClado = = c.

BClado

ABlado = =

d. ABlado

AClado = = e.

BClado

AClado = = f.

ABlado

BClado = =


Las relaciones antes obtenidas reciben el nombre de relaciones trigonométricas del

ángulo . Sus nombres son: a. seno, b. coseno, c. tangente, d. cosecante,

e. secante y f. cotangente.

Puedes ver que las tres últimas relaciones son las inversas multiplicativas de las

tres primeras. Por tanto a continuación se define en forma general las relaciones

seno, coseno y tangente.


153

hipotenusa

opuestocatetoSen

hipotenusa

adyacentecatetoCos

adyacentecateto

opuestocatetoTan

1. Dibuja un triángulo rectángulo con catetos de un centímetro, de acuerdo con el teorema de Pitágoras la hipotenusa es:

Espacio para hallar la medida de la hipotenusa.

Hallando la hipotenusa se tienen los tres lados. Falta la medida de los ángulos

agudos.

2. Para hallar uno de los ángulos agudos se elige una de las relaciones trigonométricas anteriores, te conviene usar seno, coseno o tangente, ya que están en forma directa en la calculadora, por comodidad, para el ejemplo se usará la tangente:

adyacentecateto

opuestocatetoTan = 1

1

1Tan

Aquí se usa la calculadora científica


154

Ya que te permite calcular el ángulo , en la calculadora será: INV Tan (1) = 45°

ó 2nd Tan (1) = 45°

Por tanto = 45°

3. Ya se tiene un ángulo de 90° y = 45° ¿Cuánto mide el ángulo agudo que

falta? __________ recuerda el teorema: “la suma de los ángulos interiores de un triángulo suman 180°”. Ya encontrando los seis elementos (3 lados y 3 ángulos) queda solucionado el triángulo.

EN ACCIÓN

4. Ahora repite el mismo proceso para hallar la medida del ángulo pero

usando:

a. el Seno

b. el Coseno

EVALUACIÓN

1. Halla todas las relaciones trigonométricas de un ángulo agudo en cada uno de

los siguientes triángulos rectángulos:


155

2. Usa relaciones las trigonométricas para que halles los elementos que hagan falta para solucionar el triángulo rectángulo que aparece en la siguiente figura:

3. Para calcular la altura de una torre se midió el ángulo que forma la visual al punto más alto con la horizontal, obteniendo un resultado de 34º. Al acercarnos 15 m hacia la torre, obtenemos un nuevo ángulo de 57º. ¿Cuánto mide la altura de la torre? Haz un dibujo de la situación.

4. Un árbol y un observador se encuentran en orillas opuestas de un río. El observador mide el ángulo que forma la visual con el punto más alto del árbol y obtiene 43º; retrocede 10 m y mide el nuevo ángulo, obteniendo un resultado de 17º. ¿Qué altura tiene el árbol?

5. Calcular la altura de un poste sabiendo que la visual dirigida al punto más alto

por un observador de 1.76 m de altura, que se encuentra a 48 m de distancia del pie del poste, forma un ángulo de 46,67º con la horizontal.

6. Escribe cinco problemas en los cuales la solución involucre triángulos

rectángulos


156

Unidad tres: resolución de

triángulos

Tema: Funciones

trigonométricas en el plano cartesiano

Sub-tema Función seno,

coseno, tangente, secante y cosecante.



compás

Fecha: ________________



Explora las funciones trigonométricas a través de la interacción con software

computacional en los cuales puede usar distintos registros de representación.

(tablas, gráficas y pseudoalgebra).

Reconoce las funciones trigonométricas como funciones circulares de dominio

real, con periodo 2 .

Identifica los puntos máximos y mínimos de las funciones trigonométricas

mediante la observación de graficas y tablas, para aplicarlos en la solución de

problemas.



b. Luego debes usar Excel y las relaciones trigonométricas para hallar




157

DIAGNÓSTICO

Encierra el número de la gráfica que consideres que es una función.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14.

15. 16. 17.

18. 19. 20.


158

MOTIVACIÓN

1. Gráfica de la función seno y la función coseno.

Usa la hoja electrónica de cálculo para realizar una tabla y una gráfica de la

función seno. Ejecuta las siguientes instrucciones:

a. Vas a construir una tabla con tres columnas con los siguientes nombres: Contador, ángulo y seno del ángulo:

b. En la primera columna vas a escribir los números entre -12 y 12. Lo puedes hacer de manera automática escribiendo el número -12 y luego arrastras hasta 12.

c. En la segunda columna vas a escribir múltiplos de 6

. La sintaxis en Excel

es la siguiente: =A2*PI()/6.Luego arrastras para completar la columna. En la hoja electrónica se verá así:


159

d. En la tercera columna calcularás el seno del ángulo. La sintaxis es: =SENO(B2). Luego arrastras para completar la columna. En la hoja electrónica de cálculo se verá así:

e. Después de hacer la tabla, seleccionas la segunda y tercera columnas y haces una gráfica de dispersión. Reproduce la gráfica en el siguiente sistema de coordenadas cartesianas.


Utilizando la gráfica o la tabla, responde las siguientes pregunta:

a. Escribe dos ángulos para los cuales la función seno sea nula.


160

b. ¿Para qué ángulos el seno es máximo?

c. ¿Para qué ángulos el seno es mínimo?

¿Para qué ángulos el seno es negativo?

EN ACCIÓN

1. Realiza un archivo en Excel similar al de la función seno, ahora para graficar la función coseno. Copia la figura a continuación.


161

2. Utiliza la gráfica o la tabla, para responder las siguientes preguntas:

a. Encuentra dos ángulos cuyo coseno sea nulo

b. ¿Para qué ángulos el coseno es máximo?

c. ¿Para qué ángulos el coseno es mínimo?

c. ¿Para qué ángulos el coseno es positivo?

EVALUACIÓN

Representaciones gráficas de las funciones trigonométricas usando el geogebra.

1. Abre geoegebra y grafica la función seno. Activa los ejes, la cuadrícula y escribe en la entrada f(x)=sin(x). En el siguiente sistema de ejes, reproduce el gráfico que aparece en la pantalla:


162

2. Abre geoegebra y grafica la función coseno. Activa los ejes, la cuadrícula y escribe en la entrada f(x)=cos(x). En el siguiente sistema de ejes, reproduce el gráfico que aparece en la pantalla:

3. Abre geoegebra y grafica la función tangente. Activa los ejes, la cuadrícula y escribe en la entrada f(x)=tan(x). En el siguiente sistema de ejes, reproduce el gráfico que aparece en la pantalla:


163

4. Abre geoegebra y grafica la función cosecante. Activa los ejes, la cuadrícula y

escribe en la entrada 1

( )( )

f xsin x

En el siguiente sistema de ejes, reproduce

el gráfico que aparece en la pantalla:

5. Abre geoegebra y grafica la función secante. Activa los ejes, la cuadrícula y


( )cos( )

f xx




164

6. Abre geoegebra y grafica la función cotangente. Activa los ejes, la cuadrícula y


( )tan( )

f xx



7. Teniendo en cuenta las gráficas de las funciones trigonométricas responde:

¿Entre que valores para el eje y hay grafica de la función seno y de la función

coseno? ____________ ___________________

¿Pueden las funciones trigonométricas tomar valores en valores negativos para el

eje x?

8. Sustente o refute la siguiente afirmación: toda función trigonométrica tiene

como recorrido los números reales. Justifica tu respuesta.


165

Unidad tres: Solución de triángulos

Tema: Funciones

trigonométricas de ángulos especiales.

Sub-tema Funciones

trigonométricas para 45º, 30º, 60º, 0º, 90º,

180º, 270º y 360º



compás

Fecha: ________________



Construye las funciones trigonométricas para ángulos cuyas medidas son 45º,

30º y 60º. Mediante el uso del software dinámico.

Deduce las funciones trigonométricas para ángulos de 0º, 90º, 180º, 270º y

360º en el plano cartesiano, usando las propiedades del círculo unitario.







166

DIAGNÓSTICO

1. Escribe la definición de triángulo isósceles

2. Escribe dos propiedades que poseen los triángulos isósceles

3. Escribe una forma de construir un triángulo isósceles usando regla y compás.

4. Escribe la definición de triángulo equilátero

5. Escribe las propiedades que poseen los triángulos equiláteros

6. Escribe una forma de construir un triángulo equilátero usando regla y compás.


167

MOTIVACIÓN

¿Cómo construir un triángulo isósceles que sea rectángulo? Usa el geogebra para

hacer la siguiente construcción.

a. Si trazas un segmento AB y su mediatriz, cualquier triángulo que tenga

como lado el segmento AB y un punto en la mediatriz es isósceles, pero no

es rectángulo. veamos

b. El lado AC es igual al lado BC,

c. Pero el triángulo ADC si es rectángulo. Por ser CD mediatriz de AB.

d. Usa esa propiedad para dibujar el triángulo rectángulo isósceles.

e. Traza un triángulo isósceles ADC´, es decir, haz que AD =DC´.

f. Usa una circunferencia con centro en D y radio AD.

g. Halla la intersección C’ de la circunferencia y la recta mediatriz.

h. El triángulo ADC’ es un triángulo isósceles y además es rectángulo.


Funciones trigonométricas para ángulos especiales


168

Si recuerdas las propiedades de un triángulo isósceles a los lados iguales se

oponen ángulos iguales, pero el triángulo es rectángulo eso significa que cada

ángulo agudo mide 45º.

Para deducir las funciones trigonométricas de un ángulo de 45º se usará un

triángulo rectángulo isósceles especial, donde el par de lados iguales (catetos)

mide uno, como se muestra en la figura.

Usando el teorema de Pitágoras se obtiene la medida de la hipotenusa. “la

hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los catetos al cuadrado”. Ya con

estos datos procedemos a calcular las funciones trigonométricas:

racionalizando queda

racionalizando queda

Segunda construcción

1. Construye un triángulo equilátero de lado 2, usando regla y compás.

2. Como se muestra en la figura.


169

3. Traza una mediatriz a uno de los lados.

4. Y se forman dos triángulos rectángulos

5. Ahora se deben hallar las dimensiones del triángulo rectángulo BEC

Usa el teorema de Pitágoras.

Lado BE= 1 lado EC = ? lado BC = 2

6. Mide el valor de todos los ángulos.

7. ¿Cuánto miden los ángulos agudos del triángulo rectángulo BEC?

____________


170

8. Ahora calcula las funciones trigonométricas para cada uno de los ángulos

agudos del triángulo BEC. Y completa las tablas. Escribe fracciones donde sea

posible

Angulo

agudo

Angulo

agudo

Tercera construcción

a. Construye una circunferencia de radio uno, y centro en el origen de

coordenadas.

b. Cualquier radio de esta circunferencia mide uno.

c. Ubiquemos las coordenadas de la circunferencia para un ángulo de cero

grados, esto es, el radio vector AB cuyas coordenadas del punto B son:

(1,0)

d. Veamos las funciones trigonométricas en este punto.

Si

e. Al hacer lo propio con un radio

vector que forme 90º con la

parte positiva del eje horizontal

se tiene:


171

EN ACCIÓN

1. Halla todas las funciones trigonométricas para un ángulo de 180º

2. Escribe en forma decimal con el mayor número de cifras decimales cada una

de las funciones trigonométricas para un ángulo de 45º.


172

3. Escribe en forma decimal con el mayor número de cifras decimales cada una

de las funciones trigonométricas para los ángulos de 30º y 60º.

4. Para un ángulo de 180º las coordenadas del punto en la circunferencia unitaria

son: _______

EVALUACIÓN

1. Construye en geogebra un triángulo rectángulo isósceles cualquiera, mide

cada uno de los lados.

a. ¿Cuánto miden los ángulos agudos? _________________

b. Halla todas las funciones trigonométricas para el ángulo agudo, y completa

la tabla.

Triángulo 1

c. Ahora cambia las dimensiones del triángulo, pero que sea isósceles y

rectángulo, halla de nuevo las relaciones trigonométricas y registra los

valores en la tabla.

Triángulo 2

d. Repite varias veces lo que hiciste en el enciso c. y completa las tablas.

Triángulo 3

Triángulo 4

Triángulo 5


173

e. Observa y compara cada uno de los resultados obtenidos en las tablas y

saca una conclusión de esa comparación.

Espacio para escribir tu conclusión

2. Construye en geogebra un triángulo equilátero de lado cualquiera.

a. Repite cada uno de los pasos que realizaste con regla y compás.

b. Mediatriz, marcar un triángulo rectángulo, medir lados y ángulos.

c. Ahora saca las funciones trigonométricas para los ángulos agudos este

nuevo triángulo y registra los valores en la tabla.

Angulo agudo

Angulo agudo

d. Modifica las dimensiones del triángulo equilátero, y vuelve a completar las

tablas.

Angulo agudo

Angulo agudo


174

e. Compara los valores obtenidos en las tablas para el ángulo , saca una

conclusión al respecto.

f. Compara los valores obtenidos en las tablas para el ángulo , saca una

conclusión al respecto.

3. Definición: en la siguiente tabla aparecen relacionadas cada función con su

respectiva cofunción.

a. Compara los valores que obtuviste de las funciones para el ángulo con el

valor que obtuviste en las cofunciones de ángulo en las tablas anteriores.

b. ¿Qué puedes concluir de esta comparación?

4. Halla todas las funciones trigonométricas para un ángulo de 270º


175

Unidad tres: Identidades

trigonométricas

Tema: Identidades

fundamentales

Sub-tema identidades

pitagóricas y de cociente



compás

Fecha: ________________



Deduce las identidades trigonométricas de cociente a través del uso las

relaciones trigonométricas válidas para triángulos rectángulos con hipotenusa

igual a uno.

Deduce las identidades trigonométricas pitagóricas a través del uso del

teorema de Pitágoras en un triángulo cuya hipotenusa mide uno.

Distingue una identidad trigonométrica de una ecuación trigonométrica,

usando para ello la sustitución de ángulos.

Identifica cuando una igualdad trigonométrica es una identidad trigonométrica.







176

DIAGNÓSTICO

1. A continuación encontrarás una serie de igualdades en las que intervienen expresiones trigonométricas. Escribe frente a cada una de ellas la letra que tú consideres de acuerdo a lo siguiente:

E = ecuación trigonométrica

I = identidad trigonométrica

F = función trigonométrica

a. _____

b. _____

c. _____

d. _____

e. _____

f. _____

g.

h. _____

i. _____

j. _____

2. A continuación aparecen una serie de situaciones y unos procesos a seguir, tú

debes identificar el proceso que es correcto y encerrarlo.

a.


177

b.

c.

MOTIVACIÓN

Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas, verificables para cualquier valor permitido de la variable (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones).

En la siguiente figura se construyó una circunferencia unitaria con centro en A, sobre un sistema de ejes de coordenadas. Se ubicó un punto B sobre esta circunferencia. Se trazó el segmento BD, perpendicular al eje horizontal. Todas las funciones trigonométricas de un ángulo θ pueden ser construidas geométricamente en términos de un círculo Unitario centrado en el punto A.

Teniendo como referencia la figura anterior, se pueden deducir varias identidades. Para tal deducción es útil la definición de las relaciones trigonométricas y el teorema de Pitágoras. Por ejemplo, en el triángulo ADB el sen(θ) se puede calcular con la razón entre el segmento BD y la hipotenusa (AB), como la

http://es.wikipedia.org/wiki/Funciones_trigonom%C3%A9tricas

http://es.wikipedia.org/wiki/Funciones_trigonom%C3%A9tricas

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo


178

hipotenusa de dicho triángulo mide uno, el sen(θ) queda representado geométricamente por el segmento BD.

Estas identidades son útiles siempre que se requiera simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas.

En el cálculo diferencial las identidades son muy útiles para el estudio de las funciones trigonométricas, para la deducción de propiedades del límite de dichas funciones y para la deducción de sus derivadas.

Mientras que en cálculo integral, las identidades se utilizan para calcular las integrales de funciones no trigonométricas, se suele usar una regla de sustitución con una función trigonométrica, y se simplifica entonces la integral resultante usando identidades trigonométricas.


1. Consideremos un triángulo rectángulo ADC, recto en D. Los catetos del

triángulo son X e Y y la hipotenusa d = 1.Veamos:

Sobre este triángulo podemos calcular todas las relaciones trigonométricas para el

ángulo :

XX

1cos (1)

YY

sen 1

(2)


179

x

Ytan (3)

Si reemplazamos las ecuaciones (1) y (2) en (3), obtenemos:

costan

sen (4)

Análogamente, podemos calcular la cotangente:

Y

Xan cot

senan

coscot (5)

Ahora si calculamos la secante, se obtiene:

X

1sec

cos

1sec (6)

Por último, encontremos una expresión para la cosecante:

Y

1csc

sen

1sec (7)


180

EN ACCIÓN

5. Abre el archivo tri.ggb. Allí encontrarás una figura similar a la siguiente:

Primero debes calcular el valor de las relaciones trigonométricas para el ángulo

utilizando la definición de cada una.

Ahora comprueba los valores que acabas de encontrar, usando las identidades

trigonométricas que dedujeron en el apartado anterior.


181

Ahora comprueba las identidades para otro valor del ángulo .

ACTIVIDAD DOS

Recordemos el teorema de Pitágoras, en él se cumple que para todo triángulo

rectángulo:

222 bac


182

Siendo a y b los catetos del triángulo y c la hipotenusa.

Para el estudio de las identidades se trabajará con un triángulo rectángulo, cuya

hipotenusa sea siempre uno. Y los catetos estén sobre los ejes X, Y.

En este caso el teorema de Pitágoras quedará:

2221 yx

221 yx (1)

Pero si hallamos las relaciones trigonométricas para seno y coseno del ángulo

serán:

Sen = 1

y que es equivalente a Sen = y (2)

Cos = 1

x que es equivalente a Cos = x (3)

Al introducir estos dos resultados (2) y (3) en la ecuación (1) se tiene:

221 CosSen


183

Esta identidad es conocida como identidad Pitagórica fundamental.

¿Si tiene toda la apariencia de una ecuación por qué recibe el nombre de

Identidad?

Usa la identidad pitagórica fundamental para explorar en varias medidas de

ángulos y completa la tabla.

Medida del ángulo Resultado de la identidad 22 CosSen

= 36°

=17°

= 90

= 56°

=156°

=3°

=

=

=

¿Para qué clase de ángulos se cumple la identidad fundamental? Explica


184

ACTIVIDAD TRES

1. Si en la identidad anterior 221 CosSen la dividimos por Sen2 ,

exceptuando cuando Sen2 dé cero. Tendremos

2

2

2

2

2

1

sen

Cos

Sen

Sen

Sen

Simplificando y utilizando las identidades recíprocas se tiene:

22 1 CtgCsc

2. Ahora tu divide la identidad pitagórica fundamental entre Cos2 simplifica,

reemplaza por las reciprocas y encuentra la tercera identidad pitagórica.

Algunas recomendaciones para demostrar identidades trigonométricas.

Primero verifica que estas frente a una identidad, así no harás procesos en vano, si no lo es identidad no intentes demostrar.

Comienza a resolver el problema con el lado donde haya mayor información.

Reescribe sumas o diferencias de cocientes como un solo cociente.


185

Reescribe toda la expresión en términos de seno y coseno.

Mantén tu objetivo en mente. Cuando manipules una de las expresiones ponte atento(a) al contenido de lo que se encuentra en el lado contrario.

Ten a la mano las identidades fundamentales que ya conoces, estas se pueden reemplazar.

Usa los distintos procedimientos que aprendiste en algebra para demostrar las identidades.

A continuación aparecen resueltas algunas identidades para que tú revises y

pongas en práctica los procedimientos.

a. Demostrar que:

Veamos si es identidad reemplazamos el ángulo por cualquier ángulo, por

ejemplo º

Para este valor del ángulo la igualdad se mantiene.

Veamos la demostración:

Partimos del lado izquierdo.

Reemplazamos las identidades y por sus

equivalentes:

Simplificando esto es 1, que es lo que se quería demostrar.

Veamos otros ejemplos.

b. Demostrar:


186

c. Demostrar:

Se inicia por donde hay mayor información en este caso el

lado derecho de la identidad.

EVALUACIÓN

1. Dadas las siguientes expresiones comprueba cuales de ellas son identidades y cuáles no.


187

a. 22

11

1

SecCsc

b.

Sen

CosCosSen

31*

c. CscCosCtgSen *

d.

Sen

Sen

Cos

11

2

e. 2)1(*)1( TanSecSec

f.

Cos

Cos

Sec

Tan

1

1

2

2. De la lista anterior selecciona las que si son identidades para hacer su respectiva comprobación. No olvides que partes del lado donde tengas mayor información.

En los puntos 3, 4 y 5 se han desarrollado en forma incompleta cada una de las

identidades. Escribe en cada enciso el proceso que falta.

3.

a.

b.

c.

d.

e.

f.

4. Demuestra la identidad:

a.

b.


188

c.

d.

e.

f.

g.

5.

a.

b.

c.

d.

e.

Algunos de los procesos algebraicos desarrollados en las siguientes identidades

(6 y 7) es incorrecto descubre el error y corrígelo.

6.

a.

b.

c.

d.

e.

f.

7.

a.

b.

c.

d.

e.

f.


189

Unidad tres: Solución de triángulos

Tema: Solución de triángulos

Oblicuángulos.

Sub-tema Ley de senos



compás

Fecha: ________________



Construye el teorema del seno, mediante la manipulación de la geometría

dinámica, usando habilidades como observación de invariantes y la conjetura.

Reconoce el teorema del seno como una herramienta útil en la solución de

triángulos que no son rectángulos y lo aplica en la resolución de problemas.







190

DIAGNÓSTICO

1. Escribe con tus propias palabras lo que entiendes por una razón

2. Escribe con tus propias palabras lo que entiendes por una proporción.

3. Halla una razón que sea equivalente a la razón dada.

a. b. c. d.

4. El valor de x que hace que hace que la expresión sea correcta es:

a. 1.369 b. 0.016 c. 8.9444 d. 59.142

5. La manera correcta de obtener el valor de x en la expresión es:

a. b. c. d.

6. La forma correcta de despejar el ángulo en la ecuación trigonométrica

es:

a. b. c. d.

7. Otras formas distintas de escribir la igualdad y que se conserve la

igualdad es:

a. b. c. d.


191

MOTIVACIÓN

En lecciones anteriores se han visto herramientas para solucionar triángulos

rectángulos ahora se aprenderá como solucionar triángulos oblicuángulos, en los

cuales no aplica ni las relaciones trigonométricas ni el teoremas de Pitágoras.

Usa el archivo SEN.ggb para explorar las siguientes relaciones.

Mide todos los lados y todos los ángulos de los triángulos.

Usa la calculadora para realizar los cálculos y completar la tabla siguiente:

Triángulo ABC

AB

Sen =

AC

Sen =

CB

Sen =

¿Cómo son los cocientes en este triángulo? _________

Triángulo MNO

ON

Sen =

ON

Sen =

ON

Sen =

¿Cómo son estos cocientes en este triángulo? ____

Desoculta las instrucciones que aparecen en el archivo. Y completa la tabla

¿Cómo son los cocientes en el triángulo? _______

¿Cómo son los cocientes en el triángulo?_____


192

Escribe con tus propias palabras la propiedad que acabas de explorar

Espacio para que redactes la propiedad


La ley que acabas de encontrar recibe el nombre de ley de senos, te permite

hallar los seis elementos de un triángulo cualquiera. Veamos un ejemplo.

En el triángulo ABC se tiene la medida de dos ángulos y un lado opuesto a uno de

los ángulos conocidos

Para hallar la medida del ángulo se usa el teorema de la suma de los ángulos

interiores de un triángulo. º180 Por tanto = 32.76


193

Para hallar la medida de los otros lados se usa el teorema del seno como sigue:

AC

Sen =

BC

Sen

Se reemplazan los datos que proporciona el ejercicio

AC

Sen )º86.94(=

08.10

)38.52(Sen

Luego se resuelve la ecuación AC = )º86.94(*08.10

)º38.52(

Sen

Sen

De lo cual resulta que el laco AC = 12.68 cm

Falta hallar el lado AB: usa el teorema del seno para hallarlo, puedes utilizarlo de

la de la siguiente manera:

Sen

BC

Sen

AB

Espacio para hallar el lado AB

Otra opción es que te den dos lados y un ángulo opuesto a uno de los lados,

veamos:

Se aplica el teorema del Seno de la forma siguiente:

BC

Sen

AB

Sen


194

Despejando Sen :

BC

SenABSen

*

Reemplazando los datos se tiene:

19

)º49.109(*46.5 SenSen

Despejando el ángulo

19

)º49.109(*46.51 SenSen

En la calculadora se hará:

19

)º49.109(*46.5 SenSeninv Ó

19

)º49.109(*46.52

SenSennd

Dando como resultado

= 15.72º

Para hallar el tercer ángulo se usa:

º180

EN ACCIÓN

Halla el valor del ángulo y el valor del lado AC.

Espacio para hallar el lado AC y el ángulo


195

EVALUACIÓN

1. Un asta bandera está sembrado perpendicularmente al piso y proyecta una

sombra de 12.5 metros. Los rayos solares forman con el piso horizontal un

ángulo de elevación de 055 ¿Cuál es la altura del asta bandera?

2. Un bote se mueve hacia el sur a 40 Km. por hora y el viento lo está empujando

hacia el este a 3 Km. por hora halla la velocidad y la dirección reales del bote.

3. ¿En qué dirección debe dirigirse una lancha que desarrolla una velocidad de

20km por hora si quiere viajar directamente hacia el oeste cuando soplan

vientos hacia el sur de 4 km por hora? ¿Cuál es la velocidad resultante?

4. Un poste se mantiene en posición vertical mediante un alambre tenso que

forma un ángulo de 20° con el poste y que ejerce una fuerza F= 300 kg.

Sobre el extremo superior del mismo. Encuentra las componentes horizontal y

vertical de F.


196

Unidad tres: Resolución de

triángulos

Tema: Resolución de

triángulos oblicuángulos

Sub-tema Ley del coseno



compás

Fecha: ________________



Comprueba el teorema del coseno, mediante la manipulación de la geometría

dinámica, explorando en diferentes triángulos.

Reconoce el teorema del coseno como una herramienta útil en la solución de

triángulos que no son rectángulos y lo aplica en la resolución de problemas.







197

DIAGNÓSTICO

1. El valor de x en la ecuación cuadrática es:

a. b. c. d.

2. La forma correcta de despejar el ángulo en la ecuación trigonométrica

es:

a.

b.

c.

d.

3. Si se reemplazan los valores de en la ecuación

los valores que se obtienen para son:

a. c.

b. d.

4. Al despejar en la ecuación se obtiene:

a.

b. –

c.

d. –

5. Al despejar en la ecuación se obtiene

a.

b.

c.

d.


198

MOTIVACIÓN

El Teorema de Pitágoras lleva este nombre porque se atribuye el descubrimiento a

la escuela pitagórica. Recordemos que el teorema establece lo siguiente: en un

triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los

cuadrados de los dos catetos.

Este teorema es válido cuando construimos cuadrados sobre los lados de un

triángulo rectángulo. ¿Qué ocurre si construimos cuadrados sobre los lados de un

triángulo que no sea rectángulo? ¿Se sigue cumpliendo el teorema de Pitágoras

en este caso?

En esta sección estudiaras un teorema muy importante que te ayudará a contestar

estas preguntas.

El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras en los

triángulos no rectángulos que relaciona un lado de un triángulo con los otros dos y

con el coseno del ángulo formado por estos dos lados.

http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_rect%C3%A1ngulo

http://es.wikipedia.org/wiki/Hipotenusa

http://es.wikipedia.org/wiki/Cateto

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras

http://es.wikipedia.org/wiki/Coseno

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo


199


Ley de Cosenos

La ley de cosenos establece la siguiente igualdad en la que se incluyen los lados y

un ángulo de cualquier triángulo.

Por la comodidad de la escritura se le llamará b al lado AC del triángulo: el

teorema quedará así:

cos***2222 cacab

Utiliza el archivo LEYCOSENO.ggb para explorar este teorema. Dejando visible la

parte algebraica, para que compruebes el teorema y lo compares con la medida

del lado b.

Mueve un vértice del triángulo, (puede ser A o C), y completa la tabla, la parte

derecha de la tabla se completa usando el resultado del teorema de lo

algebraico.

Medida del lado b tomada del gráfico Resultado del teorema


200

¿Se cumple el teorema para triángulos oblicuángulos? ____

Espacio para expliques tu respuesta

¿Se cumple el teorema para triángulos acutángulos? ____

Espacio para que expliques tu respuesta

En un archivo nuevo construye un triángulo rectángulo, (para que no pierda la

propiedad de rectángulo, puedes usar cualquiera de las siguientes opciones:

perpendicular, mediatriz o inscribes un triángulo en media circunferencia). Usa la

entrada algebraica para aplicar el teorema del coseno en un triángulo rectángulo.

¿Se cumple el teorema del coseno para triángulos rectángulos? _________

Espacio para que expliques tu respuesta (es necesario que elabores el archivo)


201

Este teorema es válido siempre que el ángulo que se tiene esté comprendido entre

los lados conocidos.

Solucionando el ejemplo que aparece al inicio en forma algebraica quedará así:

)º82.112cos(*98.14*64.6*298.1464.6 222 b

b=18.6 cm.

Se tienen los tres lados, (a, b y c) falta hallar los otros ángulos, usaremos de

nuevo el teorema del coseno como sigue: es el ángulo opuesto al lado c.

cos***2222 babac

Despejando

Se tiene que

ba

bac

**2cos

2221 se reemplaza en la calculadora y

47.88°

Por tanto el tercer ángulo mide: 19.40°

Soluciona el siguiente triángulo rectángulo

Solución


202

Actividad en el cuaderno.

Aplica el teorema del coseno (donde se pueda), para solucionar los siguientes

triángulos

Donde no se pueda explica por qué no. y soluciónalo empleando el teorema del

seno.


203

EVALUACIÓN

Utiliza el teorema del coseno para solucionar las siguientes situaciones:

1. Los vectores u y v representan dos fuerzas que forman entre si un ángulo de

40.65°. Halla la fuerza resultante de las dos fuerzas. El dibujo de la derecha

muestra como queda la solución grafica.

2. Se tienen los vectores = 5cm y b

= 10cm, que forman ángulos de 90° y 60°

con la horizontal, respectivamente.

a. Dibuja los vectores y b

y el vector suma.

b. Halla

3. En qué dirección debe viajar una avión, que alcanza una velocidad de 500 Km.

por hora como máximo, si desea llegar exactamente hacia el sur, cuando soplan

vientos de 25 Km. por hora hacia el Oeste

a. Haz una gráfica de la situación planteada

b. ¿Cuál es la velocidad resultante?

Resolver un triángulo cualquiera consiste en calcular todos sus elementos: sus tres lados y sus tres ángulos. Para resolver un triángulo debemos conocer, al menos, tres de sus elementos, uno de los cuales necesariamente debe ser un lado.

1. Abre el archivo triángulos.ggb. Allí encontrarás una figura similar a la siguiente:


204

En el archivo encuentras un ángulo y un segmento g, a los cuales les puedes

cambiar su medida arrastrando los vértices libres. También encuentras el

triángulo rectángulo JKM con un ángulo interno y un cateto m=g.

Cambia la medida de y de g y resuelve el triángulo resultante:

Dibujo de los triángulos Espacio para hacer cálculos

5. Usa las relaciones trigonométricas y el teorema de la suma de los ángulos internos de un triángulo, para calcular los elementos que faltan en los siguientes triángulos.


205

Representación gráfica Espacio para hacer cálculos

Representación gráfica Espacio para hacer cálculos


206

Unidad cuatro:

Introducción a la

Geometría Analítica

Tema:

Distancia entre dos

puntos

Subtema:

Cálculo de área y

perímetro

Hoja de trabajo No. 27

Hojas de papel

milimétrico



Deduce la formula de la distancia entre dos puntos usando puntos en el plano cartesiano, para hallar el perímetro y el área de polígonos. Aplica el modelo matemático de la ecuación de la distancia entre dos puntos para la resolución de problemas.

Propone nuevos problemas que impliquen la idea de distancia entre dos puntos, a través del diseño de los mismos, para reafirmar los conocimientos adquiridos y contribuir al desarrollo de la creatividad.

Estrategias Didácticas.

a. Lee detenidamente la sección diagnóstico y contesta cada una de las preguntas que allí se te hacen.

b. En caso que tengas dudas, debes hacer las preguntas al maestro.

c. Después lee la sección de motivación.

d. El profesor realizará la deducción de la fórmula de la distancia entre dos

puntos del plano.

e. Deberá contestar las actividades para que resuelvas ejercicios y problemas donde apliques la distancia entre dos puntos.

f. Cuando el maestro lo indique, debes participar activamente en la fase de

socialización de las ideas.


207

DIAGNÓSTICO

1. ¿Sabes calcular la distancia entre dos puntos del plano? Si ( ) No ( )

Espacio para explicar

2. ¿Recuerdas el enunciado del Teorema de Pitágoras? Si ( ) No ( ) escríbelo.

3. Ubica los siguientes puntos en el plano cartesiano: A (1,5) y B (-2,3) encuentra la distancia entre ellos.


208

MOTIVACIÓN

En esta sección aprenderás varios conceptos y habilidades que te ayudarán a

resolver problemas. Por ejemplo, al final de la hoja de trabajo estarás en

capacidad de encontrar la distancia entre dos puntos, encontrar propiedades de

algunos puntos notables del triángulo, graficar figuras geométricas y encontrar su

perímetro.

Tener dominio sobre estos conceptos y habilidades es básico en las matemáticas

de preparatoria y de la universidad. Por ejemplo, este tema se aplica en

geometría plana para encontrar propiedades del triángulo y los cuadriláteros.

Una extensión de la distancia entre dos puntos, genera una aplicación en ll Global

Positioning System (GPS) o Sistema de Posicionamiento Global (más conocido

con las siglas GPS), permite determinar en todo el mundo la posición de un objeto,

una persona, un vehículo o una nave aérea, con una precisión hasta de

centímetros.

El GPS funciona mediante una red de 27 satélites (24 operativos y 3 de respaldo)

en órbita sobre el globo, a 20.200 km, con trayectorias sincronizadas para cubrir

toda la superficie de la Tierra. Cuando se desea determinar la posición, el receptor

que se utiliza para ello localiza automáticamente como mínimo tres satélites de la

red, de los que recibe unas señales indicando la posición y el reloj de cada uno de

ellos. Con base en estas señales, el aparato sincroniza el reloj del GPS y calcula

el retraso de las señales; es decir, la distancia al satélite. Por triangulación calcula

la posición en que éste se encuentra. La triangulación en el caso del GPS, se basa

en determinar la distancia de cada satélite respecto al punto de medición.

http://es.wikipedia.org/wiki/Sat%C3%A9lite_artificial

http://es.wikipedia.org/wiki/Tierra

http://es.wikipedia.org/wiki/Triangulaci%C3%B3n


209

Conocidas las distancias, se determina fácilmente la propia posición relativa

respecto a los tres satélites. Conociendo además las coordenadas o posición de

cada uno de ellos por la señal que emiten, se obtiene la posición del punto de

medición.


1. Deducción de la fórmula de la distancia entre dos puntos.

Sean A 1 1( , )x y y B 2 2( , )x y dos puntos en el plano. Unimos los puntos con un

segmento AB . Ubicamos el punto C 2 1( , )x y y se traza el triángulo rectángulo

ACB, como en la siguiente figura:

Podemos utilizar el teorema de Pitágoras para calcular la distancia del punto A al

punto B. Para lograrlo, identificamos que el triángulo es recto en C, que la

hipotenusa es AB y los catetos son AC y CB . Por tanto:

2 2 2

AB AC CB

2 2

2 1 2 1( ) ( )AB x x y y


210

Esta fórmula nos permite calcular la medida del segmento AB , conociendo las

coordenadas de los puntos A y B.

EN ACCIÓN

Realiza las siguientes actividades:

a. Dibuja en geogebra los polígonos regulares de 3, 4, 5, 6 y 7 lados. Ubicando los vértices en puntos del plano.

b. Usa la fórmula de distancia entre dos puntos para calcular el perímetro de cada figura.

c. Señala el baricentro de cada figura. d. Traza un segmento desde el baricentro hasta el pie de la perpendicular. A este

segmento le seguiremos llamando apotema. Calcula su medida. e. Con las herramientas de geogebra mide el área de cada figura.

Figura Longitud del

apotema

Perímetro Perímetro*Apotema Área


211

f. En el siguiente espacio en blanco redacta una conjetura sobre la relación que existe entre el perímetro, el apotema y el área de un polígono regular de cualquier cantidad de lados.

Espacio para construir la conjetura

EVALUACIÓN

1. Representa cada pareja de puntos en el sistema de coordenadas cartesianas y calcula la distancia entre las siguientes parejas de puntos. Usa hojas de papel milimétrico. a. P(3,4) y Q(6,8) b. M(-2,5) y N(3,-4)

c. 2 1 1

,1 ,3 6 4

A y B

2. ¿Qué clase de triángulo es el polígono que tiene las siguientes coordenadas? A (2,2), B (5,8) y C (7,6)

3. ¿Cuál es el perímetro del polígono A(1,1), B(1,6), C(3,6) y D(8,2)?

4. ¿Qué valor puede tener la x para que los puntos A(1,1), B(2,3) y C(x,7) sean

coloniales, es decir que estén sobre la misma recta? 5. Dos vértices de un triángulo equilátero son A(1,3) y B (5,3). Encuentra las

posibles coordenadas del tercer vértice.


212

Unidad Cuatro: Introducción a la

geometría analítica

Tema: División de un

segmento en una razón dada

Sub -Tema: Coordenadas del punto medio, del

punto de trisección



compás

Fecha: ________________



Analiza situaciones problemáticas que impliquen el uso la división de puntos en

una razón dada, a través del uso de varias representaciones para la resolución de

problemas.

Aplica el modelo matemático de la división de puntos en una razón dada para la

resolución de problemas.

Propone nuevos problemas que impliquen la división de puntos en una razón

dada, a través del diseño de los mismos, para reafirmar los conocimientos

adquiridos y contribuir al desarrollo de la creatividad.


a. Lee detenidamente la deducción de la fórmula de las coordenadas de un punto que divide a un segmento en una razón dada.

b. En caso que no entiendas la deducción o la manera de aplicar la fórmula, pregúntale a tu maestro.

c. En forma individual, aplica la fórmula de las coordenadas de los puntos que dividen a un segmento en una razón dada, para contestar las preguntas que contiene la hoja de trabajo.

d. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la discusión y hazle saber tus puntos de vista al profesor y a tus compañeros.

e. Si no pudiste resolver alguna actividad le puedes preguntar al maestro o alguno de tus compañeros.


213

DIAGNÓSTICO

1. ¿Sabes calcular el punto medio de dos puntos del plano? Si ( ) No ( )

Espacio para explicar

2. Ubica los siguientes puntos en el plano cartesiano: A (1,1) y B (3,5) y encuentra el punto medio entre ellos.


214


Deducción de la fórmula de la distancia entre dos puntos.

Sean los puntos A 1 1( , )x y y B 2 2( , )x y dos puntos en el plano. Unimos los puntos

con un segmento AB . Sea P ( , )x y un punto que está sobre el segmento AB , y

que divide a dicho segmento en la razón AP

rPB

.

En esta hoja de trabajo deduciremos las coordenadas del punto P y las usaremos

para resolver ejercicios y problemas.

Sobre la figura anterior, se trazan perpendiculares a los ejes de coordenadas por

los puntos A, P y B, para formar los triángulos rectángulos ACP y PDB.


215

Los triángulos rectángulos ACP y PDB, son semejantes, esto implica que:

AP AC

PB PD

Haciendo las sustituciones respectivas, obtenemos:

1

2

x xr

x x

Despejando x se obtiene la siguiente expresión:

(1)

Nuevamente, de la semejanza de los triángulos, ACP y PDB, se obtiene:

AP CP

PB DB

Haciendo las sustituciones respectivas, obtenemos:

1

2

y yr

y y

Despejando y se obtiene la siguiente expresión:

(2)

Por ejemplo, si usamos las fórmulas (1) y (2) para encontrar las coordenadas de

un punto P que divide al segmento que tiene por extremos A(x1,y1) y B(x2,y2) en la

razón , obtenemos lo siguiente:

1 2

1

x rxx

r

1 2

1

y ryy

r


216

X =

Y =

EN ACCIÓN

1. Usa las fórmulas (1) y (2) para encontrar las coordenadas de un punto P que

divide al segmento que tiene por extremos A(1,2) y B(7,5) en la razón 2

3r .

2. Usa las fórmulas (1) y (2) para encontrar las ecuaciones de las coordenadas

del punto medio de un segmento AB. A 1 1( , )x y y B 2 2( , )x y . Ten en cuenta que

en este caso la razón de semejanza es .


217

EVALUACIÓN

Usa las fórmulas (1) y (2) para encontrar las ecuaciones de las coordenadas del

punto de trisección de un segmento AB. A 1 1( , )x y y B 2 2( , )x y . El punto de

trisección es aquel que divide al segmento en tres partes de tal manera que el

segmento de menor longitud es la tercera parte de la longitud total. Ten cuenta

que en este caso 1

2r .

3. Considera un triángulo ABC de A 1 1( , )x y y B 2 2( , )x y C 1 1( , )x y . Encuentra las

coordenadas del baricentro (corte de las medianas). (SUGERENCIA: observa el siguiente gráfico y recuerda que las medianas se trazan desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto, es decir el punto M es el punto medio

de BC y que el baricentro (G) corta al segmento AM en los segmentos

AG y GM cuya razón es .


218

Unidad cuatro: Temas

preliminares de geometría analítica

Tema: Introducción a la

línea recta

Sub - Tema: Angulo de inclinación y pendiente de una recta


Materiales: Pluma, regla y geogebra

Fecha:



Reconoce el cambio de la pendiente de una recta, mediante el cambio de parámetros, usando la geometría dinámica. Transitar entre diferentes representaciones de la línea recta, y los aplica para solución de problemas. Soluciona problemas que impliquen el uso de la pendiente de una recta y el ángulo de inclinación de la misma en situación de contexto real.




c. Después lee la sección de motivación.

d. A través de la interacción con el software y el registro de información en la

tabla tú puedes deducir los cambios de la pendiente de una recta. e. Deberá contestar las actividades para que resuelvas ejercicios y problemas

donde apliques lo que aprendiste de pendiente de una recta.


219

DIAGNÓSTICO A continuación aparecen algunas gráficas de rectas, frente a cada una de ellas escríbele: la ecuación y la pendiente que le correspondan.

Gráfica Ecuación Pendiente


220

MOTIVACIÓN 1. Abre el archivo recta1.ggb. Allí encontrarás una figura similar a la siguiente:

2. Mueve el deslizador de la figura para valores mayores que cero, iguales a

cero, y menores que cero. Observa los cambios de la recta y completa la

siguiente tabla

Gráfica con a > 0 Gráfica con a < 0


221

Gráfica con a < 0

3. Describe el comportamiento que tiene la gráfica a medida que cambian los

valores del deslizador en los intervalos señalados.

4. Ahora marca y mide el ángulo que forma la recta con el eje positivo de las x.

5. Haz que se forme un ángulo agudo.

6. Ahora calcula la relación tangente del ángulo.

7. Compara el valor de la tangente del ángulo y el valor del deslizador. Y saca

una conclusión.



222

La pendiente de una recta se define como la tangente del ángulo que se forma

entre la recta y el eje positivo de las x. Al calcular la tangente en el triángulo ACB,

rectángulo en B se tiene:

Si las coordenadas de los puntos son A(x1,y1); B(x2,y2) la relación tangente queda:

Por tanto formula de la pendiente m de una recta es

Siendo la forma de la ecuación de la recta

EN ACCIÓN

Dibuja una recta de pendiente 0, una recta de pendiente positiva y una recta de

pendiente negativa.

EVALUACIÓN

1. Dibuja las siguientes rectas:

a. b. c. d.

e.

2. Encuentra el ángulo de inclinación de cada una de las rectas anteriores.

3. Busca en un libro de texto o en internet lo que representa el termino

independiente de la ecuación


223

4. Escribe tres situaciones de la vida diaria donde se emplee la ecuación de una

recta.

5. Halla la pendiente de las rectas AB que aparecen a continuación :


224

Unidad cuatro: Temas

preliminares de geometría analítica

Tema: Introducción a la

línea recta

Sub - Tema: Angulo entre dos rectas,

rectas paralelas y perpendiculares


Materiales: Pluma, regla y geogebra

Fecha:



Deduce el ángulo entre dos rectas usando la geometría dinámica, para aplicarlos en la solución de problemas. Identifica las ecuaciones de dos o más rectas paralelas y rectas perpendiculares.




c. Después lee y desarrolla la sección de motivación.

d. A través de la interacción con el software y el registro de información en la

tabla tú puedes deducir las características de las ecuaciones de dos rectas paralelas y dos rectas perpendiculares.


225

DIAGNÓSTICO

1. Escribe la fórmula que se usa para obtener el ángulo entre dos rectas.

2. ¿Qué características tienen las pendientes de dos rectas que son paralelas?

3. ¿Qué relación se establece entre las pendientes de dos rectas

perpendiculares? Explica.

MOTIVACIÓN

Realiza en geogebra la siguiente construcción:

a. Traza dos rectas que se corten en un punto.

b. Marca y mide cada uno de los ángulos que se forman en la intersección de

las rectas.

c. ¿Qué características tienen estos ángulos?

d. Cómo se llaman las parejas de ángulos que se forman?


226

CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS Ángulo entre dos rectas (Deducción de la fórmula)

Sean L1 y L2 dos rectas cuyos ángulos de inclinación son y ,

respectivamente. Sea el ángulo que forman al cortarse las rectas en el punto C.

Las pendientes de las rectas son 1 2m y m

En esta sección se deduce la manera de encontrar el ángulo .

Las rectas y el eje X forman el triángulo ABC. Los ángulos y son interiores al

triángulo, mientras que es un ángulo exterior. Por los teoremas estudiados

anteriormente en el curso, sabemos que:

(1)

Es decir:

Por tanto:

2 1

2 1

tan tan( )

tan tantan

1 tan tan

tan1

m m

m m

Actividad uno:

1. Abre el archivo líneas.ggb. Allí encontrarás una figura similar a la siguiente:


227

En el archivo encuentras dos líneas rectas, sus ecuaciones y tres puntos libres A,

B y D los cuales se pueden arrastrar.

2. Completa la tabla ubicando al punto A en diferentes posiciones (en la parte positiva del eje Y, en la parte negativa de este eje y en el origen de coordenadas) Para que sea más fácil la exploración, pon el punto en coordenadas enteras.

Ecuaciones que reporta GeoGebra

Ecuaciones de la rectas despejando y

3. En el siguiente espacio en blanco debes describir con palabras los rasgos comunes (regularidades) que observaste de las ecuaciones de las rectas.

Actividad dos:


228

1. Abre el archivo líneas2.ggb. Allí encontrarás una figura similar a la siguiente:

En el archivo encuentras dos líneas rectas, sus ecuaciones y dos puntos libres A,

B los cuales se pueden arrastrar.

4. Completa la tabla ubicando al punto A en diferentes posiciones (en la parte positiva del eje Y, en la parte negativa de este eje y en el origen de coordenadas) Para que sea más fácil la exploración, pon el punto en coordenadas enteras.

Ecuaciones que reporta GeoGebra

Ecuaciones de la rectas despejando y

2. En el siguiente espacio en blanco debes describir con palabras los rasgos

comunes (regularidades) que observaste de la ecuación de las rectas

EN ACCIÓN


229

1. Escribe dos ecuaciones de rectas que sean paralelas al eje x

2. Escribe dos ecuaciones que sean perpendiculares al eje x.

EVALUACIÓN 1. Dibuja el triángulo cuyos vértices son A (1,1), B(3,0) y C(2,-2). Usa la fórmula

de ángulo entre dos rectas para calcular los ángulos internos del triángulo.

2. Sobre el plano de coordenadas cartesianas dibuja un rombo y demuestra que

las diagonales son perpendiculares y que se cortan en el punto medio.

3. ¿Las rectas 3 1 ; 2 1y x y x son paralelas? Explica.

4. Escribe la ecuación de una recta que sea paralela a 5 1y x .

5. Escribe las ecuaciones de un par de rectas paralelas y grafícalas.


230

BIBLIOGRAFÍA

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