derivadas de definição
TRANSCRIPT
![Page 1: Derivadas de definição](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061417/5571fac84979599169931b3d/html5/thumbnails/1.jpg)
Derivadas
Nocao_derivada.gsp
![Page 2: Derivadas de definição](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061417/5571fac84979599169931b3d/html5/thumbnails/2.jpg)
Definição de derivada de uma função num ponto
Seja f uma função real, de variável real, e seja a um ponto do seu domínio. Chama-se derivada da função f, no ponto a, e representa-se por f’(a), ao limite (se existir)
x a
f x f alim
x a
![Page 3: Derivadas de definição](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061417/5571fac84979599169931b3d/html5/thumbnails/3.jpg)
Definição de derivada de uma função num ponto
Observação:
Designando x – a por h, a derivada de f, no ponto a, também se pode escrever.
h 0
f a h f alim
h
Resolver o exercício 352
![Page 4: Derivadas de definição](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061417/5571fac84979599169931b3d/html5/thumbnails/4.jpg)
Exercício 352
Usa a definição de derivada de uma função num ponto para calcular:
a) f ’(-1), sendo f(x) = 2 x3 + x + 1
b) g ’(1), sendo g(x) = e2x
c) h ’(0), sendo
d) r ’(2), sendo
e) s’(2), sendo s(x) = lnx
2xh x
x 1
r x 2x
![Page 5: Derivadas de definição](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061417/5571fac84979599169931b3d/html5/thumbnails/5.jpg)
Interpretação geométrica do conceito de derivada de uma função num ponto
Seja f uma função real de variável real, e seja a um ponto do seu domínio.
A derivada da função f, no ponto a, é o declive da recta tangente ao gráfico de f no ponto de coordenadas (a, f(a)).
f’(a) é o declive da recta r
Resolver o exercício 358
![Page 6: Derivadas de definição](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061417/5571fac84979599169931b3d/html5/thumbnails/6.jpg)
Exercício 358
Seja f(x) = 0,5x2 – x + 1
a) Escreve a equação reduzida da recta secante ao gráfico de f nos pontos de abcissa 0 e 2.
b) Escreve a equação reduzida da recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 0.
![Page 7: Derivadas de definição](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061417/5571fac84979599169931b3d/html5/thumbnails/7.jpg)
Interpretação física do conceito de derivada de uma função num ponto
Se, para cada valor de t, f(t) representar o espaço percorrido por um móvel até ao instante t, então a derivada da função f, no ponto a, é a velocidade do móvel no instante a.
Resolver o exercício 360
![Page 8: Derivadas de definição](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061417/5571fac84979599169931b3d/html5/thumbnails/8.jpg)
Exercício 360
Uma partícula move-se sobre uma recta de acordo com a lei e = 5t2 + 20t, sendo e a distância percorrida em metros ao fim de t segundos.
a) Calcula a velocidade média no intervalo [1,4].
b) Calcula a velocidade no instante t = 3.
![Page 9: Derivadas de definição](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061417/5571fac84979599169931b3d/html5/thumbnails/9.jpg)
Exercício 355
Pretendemos provar que a derivada de uma função par é uma função ímpar (e vice-versa).
Hipótese: f é par isto é
Tese: f´ é ímpar isto é
Demonstração: Calculemos e provemos
que é igual a .
ff x f x ,x D
f x f x
f x
f x
![Page 10: Derivadas de definição](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061417/5571fac84979599169931b3d/html5/thumbnails/10.jpg)
Exercício 355 (cont.)
h 0
f x h f xlim f x
h
h 0 h 0
f x h f xf x h f xf x lim lim
h h
Prove agora que a derivada de uma função ímpar é uma função par, seguindo um processo semelhante ao que acabámos de utilizar
![Page 11: Derivadas de definição](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061417/5571fac84979599169931b3d/html5/thumbnails/11.jpg)
Derivabilidade e continuidade
Se uma função tem derivada finita num ponto, então é contínua nesse ponto.
Hipótese: Existe
Tese: f é contínua em a. Demonstração:
x a
f x f alim
x a
x a x a
x a x a
f x f alim f x f a lim x a
x a
f x f alim lim x a f ' a 0 0
x a
![Page 12: Derivadas de definição](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061417/5571fac84979599169931b3d/html5/thumbnails/12.jpg)
Derivabilidade e continuidade
Logo se então
o que significa que f é
contínua em a
O recíproco não é verdadeiro: uma função pode ser contínua num ponto e não existir derivada finita nesse ponto.
Resolver o exercício 364
x al im f x f a 0
x al im f x f a
![Page 13: Derivadas de definição](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061417/5571fac84979599169931b3d/html5/thumbnails/13.jpg)
Derivabilidade e continuidade
Resolver o exercício 364
Se e o que se pode
dizer sobre a existência de ?
g 0 2 x 0lim g x 2
g 0
![Page 14: Derivadas de definição](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061417/5571fac84979599169931b3d/html5/thumbnails/14.jpg)
Derivadas laterais
Seja f uma função real, de variável real, e seja a um ponto do seu domínio.
Chama-se derivada lateral direita da função f, no ponto a, e representa-se por , ao limite (se existir)
f a
x a
f x f alim
x a
![Page 15: Derivadas de definição](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061417/5571fac84979599169931b3d/html5/thumbnails/15.jpg)
Derivadas laterais
Seja f uma função real, de variável real, e seja a um ponto do seu domínio.
Chama-se derivada lateral esquerda da função f, no ponto a, e representa-se por
, ao limite (se existir) f a
x a
f x f alim
x a
![Page 16: Derivadas de definição](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061417/5571fac84979599169931b3d/html5/thumbnails/16.jpg)
Interpretação geométrica das derivadas laterais
As derivadas laterais da função f, no ponto a, são os declives das semi-tangentes ao gráfico de f, nesse ponto.
é o declive da semi-recta r é o declive da semi-recta s
f a
f a
![Page 17: Derivadas de definição](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061417/5571fac84979599169931b3d/html5/thumbnails/17.jpg)
Interpretação geométrica das derivadas laterais
Como as duas semi-tangentes não estão no prolongamento uma da outra, têm declives diferentes, pelo que
f a f a
![Page 18: Derivadas de definição](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061417/5571fac84979599169931b3d/html5/thumbnails/18.jpg)
Interpretação geométrica das derivadas laterais
A função não tem, portanto, derivada no ponto a.
Dizemos que o ponto de coordenadas (a,f(a)) é um ponto anguloso do gráfico de f.
Resolver os exercícios 362, 367, 368, 369, 372 e 376
![Page 19: Derivadas de definição](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061417/5571fac84979599169931b3d/html5/thumbnails/19.jpg)
Resolver os exercícios 362, 367, 368, 369, 372, 375 e 376
362,
Seja f a função definida por
Justifique que f não é derivável em 0.
xe 1 se x 0f x ln x 1
se x 0x
![Page 20: Derivadas de definição](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061417/5571fac84979599169931b3d/html5/thumbnails/20.jpg)
Resolver os exercícios 362, 367, 368, 369, 372, 375 e 376
367.
Prove que a função f definida, em IR, por
é contínua no ponto de
abcissa 2 mas não tem derivada nesse
ponto.
f x x 2
![Page 21: Derivadas de definição](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061417/5571fac84979599169931b3d/html5/thumbnails/21.jpg)
Resolver os exercícios 362, 367, 368, 369, 372, 375 e 376
368. Seja f a função definida, em IR, por:
Determina a e b de modo que f seja derivável no ponto de abcissa 2.
2x b se x 2
f xax 3 se x 2
![Page 22: Derivadas de definição](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061417/5571fac84979599169931b3d/html5/thumbnails/22.jpg)
Resolver os exercícios 362, 367, 368, 369, 372, 375 e 376
369. Seja f a função representada graficamente
por:
Esboce o gráfico de f´.
![Page 23: Derivadas de definição](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061417/5571fac84979599169931b3d/html5/thumbnails/23.jpg)
Resolver os exercícios 362, 367, 368, 369, 372, 375 e 376
372.
Seja f de domínio definida por
Investiga se f é derivável no ponto de abcissa
0 e caracteriza f´(x).
0IR f x x
![Page 24: Derivadas de definição](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061417/5571fac84979599169931b3d/html5/thumbnails/24.jpg)
Resolver os exercícios 362, 367, 368, 369, 372, 375 e 376
375. Seja h a função definida por:
Define a função h´ e representa graficamente as funções h e h´.
2x se x 1
h x2x 1 se x 1
![Page 25: Derivadas de definição](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022061417/5571fac84979599169931b3d/html5/thumbnails/25.jpg)
Resolver os exercícios 362, 367, 368, 369, 372, 375 e 376
376. Seja f a função definida por:
Caracteriza f´e representa graficamente f e f´
2x se x 1
f x 1 se x 1
x se x 1