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Licenciatura em ciências · USP/ Univesp
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DERIVADA DIRECIONAL E PLANO TANGENTE8
Gil da Costa Marques
8.1 Diferencial total de uma função escalar8.2 Derivada numa Direção e Máxima Derivada Direcional8.3 Perpendicular a uma superfície8.4 Plano tangente a uma superfície por um ponto
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Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TERRA
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8.1 Diferencial total de uma função escalarA diferencial total de uma função de três variáveis V = V(x,y,z) é definida como
8.1
Exemplos
• ExEmplo 1:
Seja ( ) 2 21,3
V x y x y= . Utilizando a diferencial da função V, vamos encontrar um valor aproximado
para a variação ΔV quando passamos do ponto (1,2) para o ponto (1,03;2,01); em seguida, vamos
avaliar o erro cometido nessa aproximação. Temos:
8.2
e, portanto,
8.3
Fazendo x = 1, y = 2, dx = 0,03 e dy = 0,01, temos
8.4
Por outro lado,
8.5
Fazendo x = 1, y = 2, dx = 0,03 e dy = 0,01, obtemos
8.6
o que nos leva à conclusão de que se trata de uma boa aproximação quando dizemos que ΔV é bem aproximado por dV.
( ) ( ) ( ), , , , , ,V x y z V x y z V x y zdV dx dy dz
x y z∂ ∂ ∂
+ +∂ ∂ ∂
2 22 2 e 3 3
V Vxy x yx y
∂ ∂= =
∂ ∂
2 22 23 3
dV xy dx x ydy= +
0,09dV ≅
2 2 2 21 1( ) ( )3 3
V x dx x dy x y∆ = + + −
0,09V∆ ≅
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• ExEmplo 2:Vamos calcular um valor aproximado para (1,02)2,01. Em primeiro lugar, consideremos a função V(x, y) = xy e então temos:
8.7
8.8
e, portanto,
8.9
Fazendo x = 1, y = 2, dx = 0,02 e dy = 0,01, temos
8.10
Por outro lado,
8.11
• ExEmplo 3: Calcule aproximadamente 2,01.4,02.1,97Vamos considerar a função ( , , )V x y z xyz= e suas derivadas parciais:
8.12
8.13
8.14
e, portanto,
8.15
1. yV y xx
−∂=
∂(fazendo y constante)
e lnyV x xy
∂=
∂ (fazendo x constante)
1. ln y ydV y x dx x x dy−= +
0,04dV =
2,01 2(1,02) 1 1,0406 1 0,0406V∆ = − = − =
2V yzx xyz
∂=
∂
2V xzy xyz
∂=
∂
2V xyz xyz
∂=
∂
2 2 2yz xz xydV dx dy dzxyz xyz xyz
= + +
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Fazendo x = 1, y = 4, z = 2, dx = 0,01, dy = 0,02 e dz = -0,03 temos
8.16
(Verifique!)Logo,
8.17
8.2 Derivada numa Direção e Máxima Derivada Direcional
Consideremos uma direção e sentido especificados pelo versor:
8.18
isto é, um vetor que tem módulo unitário (para esses vetores colocamos um acento circunflexo
a fim de denotar tal fato). Assim,
8.19
Um vetor derivado desse mediante a multiplicação por uma constante h,
8.20
tem a mesma direção e sentido do versor a, se h > 0, e tem sentido contrário se h < 0.
O módulo desse vetor é, evidentemente, igual a |h|, uma vez que |a| = 1.
0,01dV = −
2,01.4,02.1,97 3,99≅
x y za a i a j a k= + +
( ) ( ) ( )22 21 1x y za a a a a= ⇒ + + =
x y zha ha i ha j ha k= + +
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Sendo V = V(x, y, z), (x0, y0, z0) um ponto do domínio de V, e h tal que os pontos
(x0 + axh, y0 + ayh, z0 + azh) também pertencem ao domínio de V, definimos a derivada
direcional de V, no ponto (x0, y0, z0) e na direção de
8.21
como
8.22
se tal limite existe e é finito.
Denotamos a derivada direcional definida acima como
8.23
Se a função V e suas derivadas parciais forem contínuas então a derivada direcional definida
em 8.23 é dada por:
8.24
8.25
Observamos assim que a derivada direcional de V, no ponto (x0, y0, z0) e na direção de a é igual ao produto escalar do vetor ˆ
x y za a i a j a k= + +
pelo vetor cujas componentes são as
derivadas parciais da função V no ponto (x0, y0, z0). Este último vetor é denominado vetor
gradiente da função V no ponto (x0, y0, z0) e é indicado com a seguinte notação:
8.26
Assim, escrevemos
8.27
x y za a i a j a k= + +
( ) ( )0 0 0 0 0 0
0
, , , ,lim x y z
h
V x a h y a h z a h V x y z
h→
+ + + −
0 0 0 0 0 00 0 0 0
( , , ) ( , , )( , , ) lim x y z
a h
V x a h y a h z a h V x y zD V x y z
h→
+ + + −=
a x y zV V VD V a a a a Vx y z
∂ ∂ ∂= + + ≡ ∇
∂ ∂ ∂
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0ˆ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )a x y z
V V VD V x y z a x y z a x y z a x y z a Vx y z
∂ ∂ ∂= + + = ∇
∂ ∂ ∂
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0( , , ) ( , , ). ( , , ). ( , , ).V V VV x y z x y z i x y z j x y z kx y z
∂ ∂ ∂∇ = + +
∂ ∂ ∂
ˆ 0 0 0 0 0 0ˆ( , , ) ( , , )aD V x y z a V x y z= ⋅∇
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Consequentemente, a derivada direcional de uma
função pode ser escrita em função do ângulo θ entre
o vetor unitário a e o gradiente da função (definido
em 8.26), como:
8.28
E, assim, a direção e sentido, para os quais a deri-
vada direcional de uma função V é máxima, são os do
vetor gradiente de V, pois nesse caso cosθ = 1.
Lembrando que a variação infinitesimal do vetor de
posição ou, ainda, o vetor deslocamento infinitesimal
é dado pela expressão:
8.29
podemos observar que a variação infinitesimal de uma função escalar V, sua diferencial, pode
ser escrita sob a forma do produto escalar de dois vetores:
8.30
pois o vetor gradiente V∇
é, por definição,
8.31
Exemplos
• ExEmplo 4: Encontre o vetor u∇
no ponto (5,3,−1), sendo u(x, y, z) = 3x2 − 3y2 + z2.Temos
8.32
Figura 8.1: O gradiente de uma função determina a normal à superfície associada a valores constantes da mesma.
cosa
D V V a V= ∇ = ∇ θ
dr dxi dyj dzk= + +
( ), ,dV x y z V dr= ∇
V V VV i j kx y z
∂ ∂ ∂∇ = + +
∂ ∂ ∂
6 , 6 e 2u u ux y zx y z∂ ∂ ∂
= = − =∂ ∂ ∂
136
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Como
8.33
temos
8.34
• ExEmplo 5:Sendo V(x, y, z) = x2 + y2 + z2, vamos encontrar a derivada direcional 0 0 0( , , )aD V x y z em (x0, y0, z0) = (1, 2, 3) na direção do vetor 2 2 2 13 u i j k= + −
.Sabemos que
8.35
Temos
8.36
Logo,
8.37
Como a é um vetor unitário, versor do vetor u dado, vamos encontrar o módulo do vetor u:
8.38
Assim,
8.39
Logo,
8.40
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0( , , ) ( , , ). ( , , ). ( , , ).u u uu x y z x y z i x y z j x y z kx y z∂ ∂ ∂
∇ = + +∂ ∂ ∂
(5,3, 1) (5,3, 1). (5,3, 1). (5,3, 1). 30 18 2u u uu i j k i j kx y z∂ ∂ ∂
∇ − = − + − + − = − −∂ ∂ ∂
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )a x y zV V VD V x y z a x y z a x y z a x y zx y z
∂ ∂ ∂= + +
∂ ∂ ∂
2 , 2 e 2V V Vx y zx y z
∂ ∂ ∂= = =
∂ ∂ ∂
(1,2,3) 2, (1,2,3) 4 e (1,2,3) 6V V Vx y x
∂ ∂ ∂= = =
∂ ∂ ∂
| | 4 8 13 5u = + + =
2 2 2 13ˆ 5 5 5
a i j k= + −
ˆ2 2 2 13 4 8 2 6 13(1,2,3) 2 4 65 5 5 5aD V + −
= ⋅ + ⋅ − ⋅ =
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• ExEmplo 6: Sendo
8.41
determine o vetor em que a derivada direcional no ponto (1,1,1) é máxima e encontre esse valor máximo.Em primeiro lugar, temos o vetor gradiente
8.42
e, portanto, como
8.43
8.44
A direção e sentido, segundo os quais a derivada direcional da função V é máxima, são os do vetor gradiente de V; logo, segundo o versor,
8.45
Como
8.46
o valor máximo procurado da derivada direcional é 6.
• ExEmplo 7: Seja f(x,y) = 3x2 − 2y2. Encontre a derivada direcional de f no ponto (1,1) na direção que forma um ângulo de 120° com o eixo horizontal.Sendo f(x,y) = 3x2 − 2y2, temos:
8.47
Logo,
8.48
2( , , )V x y z xyz=
2 2 2 V V VV i j k yz i xz j xyz kx y z
∂ ∂ ∂∇ = + + = + +
∂ ∂ ∂
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0( , , ) ( , , ). ( , , ). ( , , ).V V VV x y z x y z i x y z j x y z kx y z
∂ ∂ ∂∇ = + +
∂ ∂ ∂
(1,1,1) 2V i j k∇ = + +
(1,1,1) 1 1 2ˆ6 6 6 6
Va i j k∇= = + +
ˆˆ ˆ| | . | | | |aD V V a V a V= ∇ = ∇ = ∇
6 4 f ff i j x i y jx y∂ ∂
∇ = + = −∂ ∂
(1,1) 6 4 f i j∇ = −
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Um vetor unitário que tenha a direção que forma um ângulo de 120° com o eixo horizontal é
8.49
Logo,
8.50
e, portanto, como
8.51
8.52
8.3 Perpendicular a uma superfícieConsideremos uma função escalar de três variáveis
8.53
A equação
8.54
onde wi é uma constante, para cada i é a equação de uma superfície.
Sendo wi uma constante, sua diferencial é nula. Escrevemos:
8.55
ˆ cos120 sen120a i j= ° + °
1 3ˆ2 2
a i j= − +
ˆˆ
aD f f a= ∇
ˆ1 3ˆ(1,1) (1,1) 6. ( 4). 3 2 32 2aD f f a
= ∇ = − + − = − −
( , , )W W x y z=
( , , )iw W x y z=
0i
i W wdw W dr
== ∇ =
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Tendo em vista que o vetor deslocamento pertence à superfície aludida, definida por 8.54
concluímos, de 8.55, que o gradiente de uma função escalar da forma 8.53 é tal que ele é
perpendicular à superfície definida em 8.54.
Assim, podemos dizer que a normal tem a direção do vetor
8.56
Em cada ponto P0 = (x0, y0, z0) pertencente a uma superfície,
podemos determinar o vetor normal a ela passando pelo ponto P0.
Esse vetor é dado por:
8.57
8.4 Plano tangente a uma superfície por um pontoDada a função
8.58
que admite derivadas parciais contínuas no ponto P0 = (x0, y0), o plano de equação
8.59
é denominado plano tangente à superfície, que é o gráfico de f, no ponto (x0, y0, f(x0, y0)). Convém observar que a equação do plano tangente acima pode ser entendida como o
resultado do produto escalar
8.60
Figura 8.2: Normal, em cada ponto de uma superfície.
iW wn W
== ∇
( ) ( )0 0 0 0 0 0, , , ,iW w
n x y z W x y z=
= ∇
( , )z f x y=
0 0 0 0 0 0 0 0( , ) ( , )( ) ( , )( )f fz f x y x y x x x y y yx y∂ ∂
− = − + −∂ ∂
( )0 0 0 0 0 0 0 0( , ). ( , ). ( ). ( ). ( ( , ). 0f fx y i x y j k x x i y y j z f x y kx y
∂ ∂+ − − + − + − = ∂ ∂
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onde o vetor 0 0 0 0( , ). ( , ).f fx y i x y j kx y
∂ ∂+ − ∂ ∂
é o vetor normal à superfície no ponto
(x0, y0, f(x0, y0)).No caso de W = W(x, y, z), já vimos que 0 0 0( , , )W x y z∇
é normal à superfície de nível
8.61
no ponto (x0, y0, z0). O plano que passa por esse ponto e é perpen-
dicular ao vetor 0 0 0( , , )W x y z∇
denomina-se plano tangente à
superfície W(x, y, z) = wi no ponto (x0, y0, z0).A equação desse plano é obtida tomando o produto escalar
8.62
Exemplos
• ExEmplo 8: A equação do plano tangente à superfície dada por z = f(x, y) = x2 − y2 no ponto (x0, y0, f(x0, y0)) = (1, 2, −3) é:
8.63
isto é,
8.64
Agora
8.65
Logo,
8.66
Figura 8.3: Plano tangente a uma superfície.
( , , ) iW x y z w=
( )0 0 0 0 0 0( , , ) ( , , ) ( , , ) 0W x y z x y z x y z∇ − =
0 0 0 0 0 0 0 0( , ) ( , )( ) ( , )( )f fz f x y x y x x x y y yx y∂ ∂
− = − + −∂ ∂
3 (1,2).( 1) (1,2).( 2)f fz x yx y∂ ∂
+ = − + −∂ ∂
(1,2) 2 e (1,2) 4f fx y∂ ∂
= = −∂ ∂
3 2.( 1) 4.( 2)z x y+ = − − −
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de onde z − 2x + 4y − 3 = 0 é a equação do plano tangente à superfície dada no ponto (1,2,-3).Por outro lado, 2 4n i j k= − −
é o vetor normal à superfície no ponto (1, 2, -3). Logo, a equação da reta normal é:
8.67
ou seja,
8.68
que são as equações paramétricas da reta normal procurada.
• ExEmplo 9:
Suponha que z = z(x, y) é uma função contínua que admite derivadas parciais contínuas e que é
dada implicitamente pela equação 2 2 2
2 2 2 1x y za b c
+ + = . Mostre que 0 0 02 2 2 1x x y y z z
a b c+ + = é a equação
do plano tangente no ponto (x0, y0, z0), z0 ≠ 0.Vejamos:
8.69
acarreta, por derivação implícita, que:
8.70
derivando implicitamente com relação a x;
8.71
derivando implicitamente com relação a y.Mas, então,
8.72
( , , ) (1,2, 3) (2, 4, 1)x y z = − + λ − −
1 22 43
xyz
= + λ = − λ = − − λ
2 2 2
2 2 2 1x y za b c
+ + =
2 2
2 2 0x z za c x
∂+ ⋅ =
∂
2 2
2 2 0y z zb c y
∂+ ⋅ =
∂
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 e 2 2
z x c c x z y c c yx a z a z y b z b z∂ ∂
= − ⋅ = − ⋅ = − ⋅ = − ⋅∂ ∂
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Logo, a equação do plano tangente no ponto (x0, y0, z0) é:
8.73
ou seja,
8.74
de onde
8.75
isto é,
8.76
e, portanto,
8.77
2 20 0
0 0 02 20 0
( ) ( )x yc cz z x x y ya z b z
− = − ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ −
2 20 0
0 0 02 20 0
( ) ( )x yc cz z x x y ya z b z
− = − ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ −
20 0 0 0
0 02 2 2 2
. ( ) ( )z z z x yx x y yc c a b
− = − − − −
2 2 20 0 0 0 0 0
2 2 2 2 2 2
. . .z z z x x x y y yc c a a b b
− = − + − +
2 2 20 0 0 0 0 0
2 2 2 2 2 2
. . . 1 pois 1z z x x y y x y zc a b a b b
+ + = + + =