der graphikfähige taschenrechner (gtr) im mathematikunterricht des beruflichen gymnasiums
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Der graphikfähige Taschenrechner (GTR) im Mathematikunterricht des Beruflichen Gymnasiums. Rechtliche Grundlagen. Vorschläge zur Einführung. Unterrichtlicher Mehrwert Sek. II GTR oder CAS. Finanzierungs- modelle. Einsatz des GTR in der Sek. II. Funktionalitäten des GTR. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Berufliches Gymnasium 1
Der graphikfähige Taschenrechner (GTR) im Mathematikunterricht des Beruflichen Gymnasiums
UnterrichtlicherMehrwert
Sek. II
GTRoderCAS
UnterrichtlicherMehrwert
Sek. II
GTRoderCAS
Funktionalitätendes GTR
Funktionalitätendes GTR
Fortbildungs-möglichkeiten
Fortbildungs-möglichkeiten
FachübergreifendeMöglichkeiten
FachübergreifendeMöglichkeiten
Finanzierungs-modelle
Finanzierungs-modelle
RechtlicheGrundlagen
RechtlicheGrundlagen
Einsatzdes GTR
in der Sek. II
Einsatzdes GTR
in der Sek. II
Vorschläge zur Einführung
Vorschläge zur Einführung
Übersicht2
Der graphikfähige Taschenrechner unterstützt den Erwerb mathematischer Kompetenzen.
Unterrichtlicher Mehrwert in der S II
Entdecken mathematischer
Zusammenhänge
Verständnis-förderung durch Visualisierung
Reduktion schematischer
Abläufe
Verarbeitung größerer
Datenmengen
Kontrolle von Ergebnissen
Konzentration auf den mathe-
matischen Kern eines Problems
Experimentieren und Erkunden
Unterstützung von begriffsbildendem
Arbeiten
3
Rechtliche Grundlagen
Übersicht
Übersicht
Verpflichtung zum Einsatz eines graphikfähigen Taschenrechners (GTR) für Schülerinnen und Schüler, die ab dem Schuljahr 2014/15 in die Einführungsphase eintreten (Erlass vom 27.6.2012).
• in der gymnasialen Oberstufe (Gymnasium, Gesamtschule, Weiterbildungskolleg, Waldorfschule)
• im Beruflichen Gymnasium (Erziehung und Soziales, Gestaltung, Informatik, Technik, Wirtschaft und Verwaltung; Anl. D 1 bis D 28)
Alternativ ist weiterhin der Einsatz eines Computer-Algebra-Systems (CAS) möglich.
Rechtliche Grundlagen
4
6
Rechtliche Grundlagen- Berufliches Gymnasium -
Übersicht
Übersicht
Konsequenzen für das Zentralabitur
• verpflichtender Einsatz des GTR ab dem Zentralabitur 2017
• alternativ weiterhin CAS als Hilfsmittel in GK und LK zugelassen
• Einführung eines hilfsmittelfreien Aufgabenteils in Mathematik- Grund- und Leistungskursen ab dem Zentralabitur 2017 geplant
• im GK nur noch ein gemeinsamer Aufgabensatz für GTR und CAS
Rechtliche Grundlagen - Berufliches Gymnasium -
7
Übersicht
Technologie
• GTR-Erlass verpflichtet zur Einführung eines GTR-Handheld
• GTR-Software-Lösungen sind nicht zulässig
• Schulen können statt eines GTR auf freiwilliger Basis ein CAS-Handheld oder eine CAS-Software einführen
• Entscheidung zwischen GTR und CAS in Verantwortung der Schule
Rechtliche Grundlagen - Berufliches Gymnasium -
8
Übersicht
Besondere Bedingungen bei Einsatz einer CAS-Software
• Die Anschaffung einer CAS-Software (ggf. mit entsprechender Hardware) statt eines GTR ist freiwillig. Das Finanzierungsmodell enthält eine soziale Komponente.
• Schülerinnen und Schüler des Beruflichen Gymnasiums müssen ständigen Zugriff auf die (gleiche) CAS-Software haben, d.h. in allen relevanten Fächern, bei Hausaufgaben und in den Schulferien.
• In Prüfungssituationen muss von der Schule sichergestellt werden, dass der Zugriff nur auf die CAS-Software erfolgt und Zugriffe auf andere Programme, eigene Dateien, Internet oder Netzwerke aller Art unterbunden werden.
• Das CAS-Software-Konzept muss der oberen Schulaufsicht formlos angezeigt werden. Die Schulleitung oder Bildungsgangleitung bestätigt die Einhaltung dieser Bedingungen durch Unterschrift.
Rechtliche Grundlagen - Berufliches Gymnasium -
9
Übersicht
Verpflichtung zur Anschaffung des GTRin der gymnasialen Oberstufe und am Beruflichen Gymnasium
• Taschenrechner sind keine Lernmittel, sondern Gegenstände der persönlichen Ausstattung der Schülerinnen und Schüler.
• Die Anschaffung obliegt damit grundsätzlich den Erziehungs- berechtigten bzw. den volljährigen Schülerinnen und Schülern.
Empfehlung: Erarbeitung eines tragfähigen Finanzierungsmodells mit sozialer Komponente auf der Basis umfassender Information und Beteiligung der schulischen Mitwirkungsgremien.
Rechtliche Grundlagen
10
Übersicht
Taschenrechnermodelle• Kein Zulassungsverfahren für Taschenrechnermodelle • Eingeführter Taschenrechner muss durch Graphikfähigkeit und
weitere Funktionalitäten dem Einsatz im Unterricht und in Prüfungen gerecht werden.
• Die innerhalb einer Lerngruppe verwendeten Geräte müssen in ihrer Funktionalität vergleichbar sein.
• Die vollständige Integration in die unterrichtliche Arbeit wird durch ein einheitliches Taschenrechnermodell erleichtert.
• Die Verpflichtung zur Anschaffung von Taschenrechnern bezieht sich jedoch nur auf die Funktionalitäten und nicht auf ein bestimmtes Modell.
Rechtliche Grundlagen
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12
Vorschläge zur Einführung von GTR/CAS an der
Schule
Übersicht
Übersicht
Mögliche Entscheidungswege und Zeitplan
Ab Frühjahr 2013:• Beratungen der Fachschaft Mathematik zur Auswahl eines GTR-Modells oder der Einführung eines CAS-Konzepts
– Beachtung der geforderten GTR-Funktionalitäten– Preisvergleich und Vergleich der Lieferbedingungen der
Hersteller/Händler – Längerfristige Nutzung eines Modells (Verlässlichkeit,
Wiederverkaufsmöglichkeit, Aufbau eines Gerätepools)– ggf. Abstimmung mit kooperierenden Schulen der Sek. I
(z.B. Sekundarschulen)
• Einbeziehung weiterer Fachschaften zur Abstimmung fachübergreifender Nutzungsmöglichkeiten
Vorschläge zur Einführung von GTR/CAS
13
Übersicht
• Erarbeitung eines tragfähigen Finanzierungsmodells in einem Arbeitskreis (Schulleitung, evtl. weitere Vertreterinnen und Vertreter der Lehrerkonferenz, Mitglieder der Schulpflegschaft, der Schülervertretung und des Fördervereins)
• Beschluss der Fachkonferenz Mathematik und danach der Bildungsgangkonferenz als Empfehlung zur Einführung des ausgewählten GTR-Modells bzw. CAS-Konzepts
• Erstellung einer Vorlage für die schulischen Gremien
• Planung der Fortbildungsmaßnahmen zum GTR/CAS-Einsatz
Vorschläge zur Einführung von GTR/CAS
14
Übersicht
Ab September 2013:• Information und Beteiligung der Mitwirkungsgremien• Wahrnehmung der Fortbildungsmaßnahmen• Methodische und didaktische Überlegungen zum GTR/CAS-Einsatz
im Mathematikunterricht
Zum Beginn des Schuljahres 2014/15:• Nutzung des GTR/CAS im Rahmen des erarbeiteten
Finanzierungsmodells und der verhandelten Konditionen
Vorschläge zur Einführung von GTR/CAS
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16
Funktionalitäten des GTR
Übersicht
Übersicht
Anforderungen an die Funktionalität eines GTR in der S II
I. Wertetabellen und Listen• Erstellen und bearbeiten von Tabellen und Listen• graphische Darstellung von Werten einer Tabelle (z. B. als
Punktwolke)
II. Analysis• Graphische Darstellung von
o Funktioneno Tangenten an einen Funktionsgraphen an einer Stelleo Integralfunktionen
• Variieren von Parametern von Funktionstermen
Funktionalitäten des GTR
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Übersicht
• Ermitteln von Koordinaten ausgewählter Punkte, auch durch Abfahren der Graphen (Trace-Modus), Kontrolle rechnerischer Ergebnisse (z. B. lokale Extremstellen, Wendestellen, Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen)
• Numerische Berechnungen o Ableitung einer Funktion an einer Stelleo bestimmte Integrale o Lösen von Gleichungen
Funktionalitäten des GTR
18
Übersicht
III. Lineare Algebra
Lineare Gleichungssysteme (mind. mit 6 Unbekannten)
• Bestimmung der Lösungsmenge von Gleichungssystemen • Lösungsmengen auch von unterbestimmten linearen
Gleichungssystemen z.B. mithilfe der reduzierten Zeilenstufenform einer erweiterten Koeffizientenmatrix
Analytische Geometrie/Matrizen (mind. bis zur Dimension 6 x 6)• Elementare Rechenoperationen mit Vektoren und Matrizen• Matrizenmultiplikation• Potenzieren quadratischer Matrizen
Funktionalitäten des GTR
19
Übersicht
IV. Stochastik• Berechnen von Kennzahlen statistischer Daten (Mittelwert,
Standardabweichung)• Wahrscheinlichkeitsverteilungen
– Erstellen von Histogrammen– Variieren der Parameter– Berechnen von Kennzahlen (Erwartungswert,
Standardabweichung)• Berechnen von Wahrscheinlichkeiten bei binomial- und
normalverteilten Zufallsgrößen• Berechnen von kumulierten Wahrscheinlichkeiten• Generieren von Listen mit Zufallszahlen
Funktionalitäten des GTR
20
Übersicht21
Finanzierungsmodelle
Übersicht
Finanzierungsmodelle
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Kauf Miete Mix
Soziale Komponente
Übersicht
Kaufmodell• Sammelbestellung über die Schule (Beteiligung freiwillig)
– vergünstigte Konditionen– Nutzung von Sozialprogrammen der Hersteller möglich– Freigeräte
• Freigeräte werden bedürftigen Schülerinnen und Schülern zur Verfügung gestellt
• Schule hält ggf. zusätzliche Geräte zur Ausleihe bereit• Option: Nach einem Durchgang wird eine Börse für gebrauchte
GTR eingerichtet (z. B. Weiterverkauf der GTR von Abiturienten)
Finanzierungsmodelle
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Beispiel 1: Variante eines Kaufmodells
Übersicht
Mietmodell• Schule schafft einen Satz GTR zur Vermietung an
– vergünstigte Konditionen– Freigeräte
• Anschubfinanzierung durch den Förderverein• Festlegung eines angemessenen Mietpreises für den GTR• Schriftliche Nutzungsvereinbarung zwischen Schule und
Erziehungsberechtigten• Bei bedürftigen Schülerinnen und Schülern übernimmt der
Förderverein den Mietpreis oder es wird unentgeltlich ein GTR ausgeliehen.
Finanzierungsmodelle
24
Beispiel 2: Variante eines Mietmodells
Übersicht
Finanzierungsmodelle
25
Übersicht
Wahlmöglichkeit zwischen drei Optionen:• Kauf des Gerätes über Sammelbestellung der Schule• Mieten des Gerätes von der Schule• Anschaffung des Gerätes in eigener Verantwortung
Für bedürftige Schülerinnen und Schüler übernimmt der Förderverein der Schule die Mietkosten.
Anschubfinanzierung durch den Förderverein (Sponsoren, Darlehen)
Finanzierungsmodelle
26
Beispiel 3: Mischmodell
Übersicht27
Unterrichtlicher Mehrwert in der S II
28
Übersicht über die Beispiele
1 EFModellieren mit Exponentialfunktionen
5EF, Q1Extremwertprobleme
9Q1Lage von Gerade und Ebene zueinander(LGS lösen)
2Q1Ein Weg zurlinearen Regression
6Q1Berechnen von Integralen (mit/ohne Bilanzierung)
10Q2Arbeiten mit Übergangsmatrizen
3EFEntdecken derPotenzregel
7Q1Untersuchung von Integralfunktionen
11Q1, Q2Ein Weg zurNormalverteilung
4EFElemente einerKurvendiskussion
8Q1, Q2Ein Weg zur e-Funktion
12Q2Ein Weg zum Vertrauensintervall
Übersicht
Beispiel 1
EFModellieren mit Exponentialfunktionen
Zu einer offenbar nicht linearen Entwicklung wird ein neues, nicht quadratisches Modell gesucht, z.B.:
Der GTR …
• nimmt die Daten auf (Tabelle),
• zeigt die Punktwolke (Streudiagramm),
• zeigt Graph zu neuem Modell (nicht linear, nicht quadratisch),
• übernimmt weitere Rechnungen („Wie lange dauert es, bis …“)
29
Bierschaum-zerfall
Schoko-linsen-abnahme
Abkühlungs-prozesse
Übersicht Beispiele Übersicht
Beispiel 1
EFModellieren mit Exponentialfunktionen
Zu einer offenbar nicht linearen Entwicklung wird ein neues, nicht quadratisches Modell gesucht, z.B.:
Der GTR …
• nimmt die Daten auf (Tabelle),
• zeigt die Punktwolke (Streudiagramm),
• zeigt Graph zu neuem Modell (nicht linear, nicht quadratisch),
• übernimmt weitere Rechnungen („Wie lange dauert es, bis …“)
30
Bierschaum-zerfall
Schoko-linsen-abnahme
Abkühlungs-prozesse
Übersicht Beispiele Übersicht
1.Die experimentellermittelten Daten
als Liste
3.Ein mögliches
Modell:Funktionsterm
5.Ziel: Zeit bis„Höhe“ 0,5
2.Der Datensatzals Punktplot
(Streudiagramm)
4.Ein mögliches
Modell:Graph
6.Wertetabelle
zu Y1
31 Übersicht Beispiele Übersicht
1.Die experimentellermittelten Daten
als Liste
3.Ein mögliches
Modell:Funktionsterm
5.Ziel: Zeit bis„Höhe“ 0,5
2.Der Datensatzals Punktplot
(Streudiagramm)
4.Ein mögliches
Modell:Graph
6.Wertetabelle
zu Y1
32 Übersicht Beispiele Übersicht
Beispiel 2
EFEin Weg zur linearen Regression
Zu einem bivariaten Datensatz (z.B. Körpergröße – Schuhgröße o.ä) wird ein lineares Modell gesucht, das diesen Datensatz „optimal“ beschreibt.
Der GTR
• zeigt das Streudiagramm und die Lage der ersten Modelle,
• berechnet Qualitätskriterien,
• berechnet die Parameter für die optimale Ausgleichsgerade (m, b),
• zeigt den optimalen Graphen, und
• berechnet Residuen bzw. Abweichungssummen.
33 Übersicht Beispiele Übersicht
Beispiel 2
EFEin Weg zur linearen Regression
Zu einem bivariaten Datensatz (z.B. Körpergröße – Schuhgröße o.ä) wird ein lineares Modell gesucht, das diesen Datensatz „optimal“ beschreibt.
Der GTR
• zeigt das Streudiagramm und die Lage der ersten Modelle,
• berechnet Qualitätskriterien,
• berechnet die Parameter für die optimale Ausgleichsgerade (m, b),
• zeigt den optimalen Graphen und
• berechnet Residuen bzw. Abweichungssummen.
34 Übersicht Beispiele Übersicht
1.Die originalen
Daten
3.Ein erster
Versuch für eineAusgleichsgerade
5.Ein besseres
Modell(oder
GTR-Regression)
2.Das Streudiagramm
4.Eine ersteEvaluation:
Quadratsumme
6.Eine weitereEvaluation
35 Übersicht Beispiele Übersicht
1.Die originalen
Daten
3.Ein erster
Versuch für eineAusgleichsgerade
5.Ein besseres
Modell(oder
GTR-Regression)
2.Das Streudiagramm
4.Eine ersteEvaluation:
Quadratsumme
6.Eine weitereEvaluation
36 Übersicht Beispiele Übersicht
Beispiel 3
EFEntdeckung der Potenzregel
Kann man Regelmäßigkeiten entdecken, wenn man zu Potenzfunktionen (z.B. x2 bis x4) mittlere Änderungsraten berechnet (z.B. mit h = 0,1) und graphisch darstellt?
Der GTR …
• berechnet (z.B.) zu f(x) = x4 in einem ausgewählten Intervall 10 – 12 mittlere Änderungsraten,
• plottet diese Daten zusammen mit der Potenzfunktion,
• Als Modell für die Änderungsraten bietet sich an f*(x) = 4x3.
Weitere Gruppen untersuchen y = x2 usw. Im Vergleich ergibt sich eine belastbare Vermutung zur Potenzregel. Anschließen wird sich der algebraische Beweis.
37 Übersicht Beispiele Übersicht
Beispiel 3
EFEntdeckung der Potenzregel
Kann man Regelmäßigkeiten entdecken, wenn man zu Potenzfunktionen (z.B. x2 bis x4) mittlere Änderungsraten berechnet (z.B. mit h = 0,1) und graphisch darstellt?
Der GTR …
• berechnet (z.B.) zu f(x) = x4 in einem ausgewählten Intervall 10 – 12 mittlere Änderungsraten,
• plottet diese Daten zusammen mit der Potenzfunktion,
• Als Modell für die Änderungsraten bietet sich an f*(x) = 4x3.
Weitere Gruppen untersuchen y = x2 usw. Im Vergleich ergibt sich eine belastbare Vermutung zur Potenzregel. Anschließen wird sich der algebraische Beweis.
38 Übersicht Beispiele Übersicht
1.Der Graph zu
f(x) = x4
4.Der Plot der
Änderungsraten
2.Die Stützstellen
5.Bildungsgesetz für die
Änderungsraten(1. Versuch: x3)
3.Die Änderungsraten
6.(2. Versuch: 4x3)
39 Übersicht Beispiele Übersicht
1.Der Graph zu
f(x) = x4
4.Der Plot der
Änderungsraten
2.Die Stützstellen
5.Bildungsgesetz für die
Änderungsraten(1. Versuch: x3)
3.Die Änderungsraten
6.(2. Versuch: 4x3)
40 Übersicht Beispiele Übersicht
Beispiel 4
EFElemente einerKurvendiskussion
Eine Funktion bzw. ihr Graph soll auf lokale Eigenschaften, z.B.
• Nullstellen
• Hoch-/Tiefpunkte
• Wendepunkte
hin untersucht werden.
Der GTR …
• liefert eine erste wertemäßige Übersicht (Ablaufen mit „Trace“),
• berechnet Nullstellen und Ableitungen an isolierten Stellen,
• zeigt die Ableitungsfunktion,
• berechnet die (lokalen) Extremstellen und die Wendestellen,
• zeigt ggf. Tangenten, u.a. die (den Graphen schneidende!) Wendetangente.
41 Übersicht Beispiele Übersicht
Beispiel 4
EFElemente einerKurvendiskussion
Eine Funktion bzw. ihr Graph soll auf lokale Eigenschaften, z.B.
• Nullstellen
• Hoch-/Tiefpunkte
• Wendepunkte
hin untersucht werden.
Der GTR …
• liefert eine erste wertemäßige Übersicht (Ablaufen mit „Trace“),
• berechnet Nullstellen und Ableitungen an isolierten Stellen,
• zeigt die Ableitungsfunktion,
• berechnet die (lokalen) Extremstellen und die Wendestellen,
• zeigt ggf. Tangenten, u.a. die (den Graphen schneidende!) Wendetangente.
42 Übersicht Beispiele Übersicht
1.Der Graph
4.Die Ableitung anisolierten Stellen
7.Der Hochpunkt
2.Das Ablaufen
mit „Trace“(erste Näherung)
5.Der Ableitungs-
befehl
8.Die Wende-
stellen
3.Die Nullstellen
6.Der Ableitungs-
graph
9.Die Wende-tangente(n)
43 Übersicht Beispiele Übersicht
1.Der Graph
4.Die Ableitung anisolierten Stellen
7.Der Hochpunkt
2.Das Ablaufen
mit „Trace“(erste Näherung)
5.Der Ableitungs-
befehl
8.Die Wende-
stellen
3.Die Nullstellen
6.Der Ableitungs-
graph
9.Die Wende-tangente(n)
44 Übersicht Beispiele Übersicht
Beispiel 5
EF, Q1Extremwertprobleme
Zu einem Sachproblem soll eine optimale Lösung gefunden und evaluiert werden.
Der GTR …
• zeigt den Graphen der Zielfunktion,
• berechnet ein (numerisches) Optimum.
Direkt am Graphen erkennt man, inwieweit die Randwerte für die Lösung des Sachproblems von Bedeutung sind.
45 Übersicht Beispiele Übersicht
Beispiel 5
EF, Q1Extremwertprobleme
Zu einem Sachproblem soll eine optimale Lösung gefunden und evaluiert werden.
Der GTR …
• zeigt den Graphen der Zielfunktion,
• berechnet ein (numerisches) Optimum.
Direkt am Graphen erkennt man, inwieweit die Randwerte für die Lösung des Sachproblems von Bedeutung sind.
46 Übersicht Beispiele Übersicht
47
1.Das Problem
2.Die Zielfunktion
3.der Graph
und sein Hochpunkt
Übersicht Beispiele Übersicht
48
1.Das Problem
2.Die Zielfunktion
3.der Graph
und sein Hochpunkt
Übersicht Beispiele Übersicht
49
Beispiel 6
Q1Berechnen von Integralen(mit/ohne Bilanzierung)
In einer Sachsituation sollen anhand der Modellfunktion Berechnungen durchgeführt werden, bei denen die Orientierung der Flächen eine Rolle spielt, z. B.• „Veränderung der Wassermenge
im Becken“ vs.• „Menge an gepumptem Wasser“
Der GTR …
• berechnet die Bilanz der beteiligten Flächen („Veränderung im Becken“)
• berechnet mithilfe der Betragsfunktion die „echte/bilanzfreie“ Fläche („Menge gepumpten Wassers“),
• zeigt anhand des Graphen eine Veranschaulichung dieser beiden Standardsituation.
Übersicht Beispiele Übersicht
50
Beispiel 6
Q1Berechnen von Integralen(mit/ohne Bilanzierung)
In einer Sachsituation sollen anhand der Modellfunktion Berechnungen durchgeführt werden, bei denen die Orientierung der Flächen eine Rolle spielt, z. B.• „Veränderung der Wassermenge
im Becken“ vs.• „Menge an gepumptem Wasser“
Der GTR …
• berechnet die Bilanz der beteiligten Flächen („Veränderung im Becken“)
• berechnet mithilfe der Betragsfunktion die „echte/bilanzfreie“ Fläche („Menge gepumpten Wassers“),
• zeigt anhand des Graphen eine Veranschaulichung dieser beiden Standardsituation.
Übersicht Beispiele Übersicht
1.Der Funktionsterm
2.Der Graph:
„Zufluss/Abfluss“(Änderungsrate)
3.„Die Veränderungnach 5 Minuten“
4.Der neue Term
5.Der neue Graph
6.„In den 5 Minuten
bewegteWassermenge“
51 Übersicht Beispiele Übersicht
1.Der Funktionsterm
2.Der Graph:
„Zufluss/Abfluss“(Änderungsrate)
3.„Die Veränderungnach 5 Minuten“
4.Der neue Term
5.Der neue Graph
6.„In den 5 Minuten
bewegteWassermenge“
52 Übersicht Beispiele Übersicht
53
Beispiel 7
Q1Untersuchung von Integralfunktionen
Integralfunktionen sind als Objekte schwerer zu greifen als die bestimmten Integral, die gut veranschaulicht werden können.
Die Integralfunktion kann genutzt werden, …
• um die Bilanzierungseigenschaft des Riemann-Integrals zu vertiefen,
• ggf. den Hauptsatz vor- oder nachzubereiten,
• Grenzen für ein Integral (bei vorgegebener Fläche bzw. Bilanz) zu berechnen.
Übersicht Beispiele Übersicht
54
Beispiel 7
Q1Untersuchung von Integralfunktionen
Integralfunktionen sind als Objekte schwerer zu greifen als die bestimmten Integral, die gut veranschaulicht werden können.
Die Integralfunktion kann genutzt werden, …
• um die Bilanzierungseigenschaft des Riemann-Integrals zu vertiefen,
• Grenzen für ein Integral (bei vorgegebener Fläche bzw. Bilanz) zu berechnen,
• ggf. den Hauptsatz vor- oder nachzubereiten.
Übersicht Beispiele Übersicht
1.Der Randgraph
4.„Ist es schon 1?“
Flächeninhaltvon 0 bis b sei 1
2.Eingabe der
Integralfunktion,Start bei a = 0
5.Lösung mittelsSchnittpunktenvon Funktionen
3.Der Graph derIntegralfunktion(a = 0, a = -1)
6.Lösung mittelsWertetabelle
55 Übersicht Beispiele Übersicht
1.Der Randgraph
4.„Ist es schon 1?“
Flächeninhaltvon 0 bis b sei 1
2.Eingabe der
Integralfunktion,Start bei a = 0
5.Lösung mittelsSchnittpunktenvon Funktionen
3.Der Graph derIntegralfunktion(a = 0, a = -1)
6.Lösung mittelsWertetabelle
56 Übersicht Beispiele Übersicht
57
Beispiel 8
Q2Ein Weg zur e-Funktion
Gesucht wird (zunächst) nach einem Zusammenhang zwischen einer Exponentialfunktion und ihren Ableitungen.
Der GTR …
• berechnet für y = 2x (und y = 3x) an ausgewählten Stellen mittlere Änderungsraten,
• führt mithilfe einerTabellierung zu der Vermutung f‘(x) = f‘(0) f(x),
• ermöglicht mittels einer graphischen Darstellung eine erste Näherung für e:Suche f mit f‘(x) = 1 f(x).
Übersicht Beispiele Übersicht
58
Beispiel 8
Q2Ein Weg zur e-Funktion
Gesucht wird (zunächst) nach einem Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und ihren Ableitungen.
Der GTR …
• berechnet für y = 2x (und y = 3x) an ausgewählten Stellen mittlere Änderungsraten,
• führt mithilfe einer Tabellierung zu der Vermutung f‘(x) = f‘(0) f(x),
• ermöglicht mittels einer graphischen Darstellung eine erste Näherung für e:Suche f mit f‘(x) = 1 f(x).
Übersicht Beispiele Übersicht
1.Stützstellen,
Funktionswerte,Änderungsraten
für f(x) = 2x
3.Der Graph zu
f(x) = 2x und dieÄnderungsraten
5.b = 3Graph
2.Quotienten-
probe
4.Variation der Basis:
b = 3Quotientenprobe
6.gezielte Suche:
b = 2.7
59 Übersicht Beispiele Übersicht
1.Stützstellen,
Funktionswerte,Änderungsraten
für f(x) = 2x
3.Der Graph zu
f(x) = 2x und dieÄnderungsraten
5.b = 3Graph
2.Quotienten-
probe
4.Variation der Basis:
b = 3Quotientenprobe
6.gezielte Suche:
b = 2.7
60 Übersicht Beispiele Übersicht
61
Beispiel 9
Q1Lage von Gerade und Ebene zueinander (LGS lösen)
Gegeben sind die beiden Parameterformen zu den drei möglichen Fällen. Bekannt sei das algebraische Verfahren:Lösen eines LGS mit dem Gauss-Algorithmus.
Der GTR …
• übernimmt die (normierte) Koeffizientenmatrix
• berechnet zu der Koeffizienten-matrix die zugehörige Dreiecks- bzw. Diagonalmatrix.
Letztere ermöglicht das direkte Ablesen der drei möglichen Fälle. Zudem liefert sie, falls ein Schnittpunkt existiert, die benötigten Parameter.
Übersicht Beispiele Übersicht
62
Beispiel 9
Q1Lage von Gerade und Ebene zueinander (LGS lösen)
Gegeben sind die beiden Parameterformen zu den drei möglichen Fällen. Bekannt sei das algebraische Verfahren:Lösen eines LGS mit dem Gauss-Algorithmus.
Der GTR …
• übernimmt die (normierte) Koeffizientenmatrix
• berechnet zu der Koeffizienten-matrix die zugehörige Dreiecks- bzw. Diagonalmatrix.
Letztere ermöglicht das direkte Ablesen der drei möglichen Fälle. Zudem liefert sie, falls ein Schnittpunkt existiert, die benötigten Parameter.
Übersicht Beispiele Übersicht
63
1.Die drei Fälle
2.g schneidet E
(in genau einem Punkt)
3.g ist echt parallel
zu E
4.g liegt in E
Übersicht Beispiele Übersicht
64
1.Die drei Fälle
2.g schneidet E
(in genau einem Punkt)
3.g ist echt parallel
zu E
4.g liegt in E
Übersicht Beispiele Übersicht
65
Beispiel 10
Q2Arbeiten mit Übergangsmatrizen
Eine bekannte Übergangsmatrix soll genutzt werden, um den ebenfalls gegebenen Systemzustand kurzfristig, langfristig oder rückwirkend zu modellieren und ggf. einen Fixvektor zu bestimmen.
Der GTR …• führt die Potenzbildung für kleine
und große Intervalle durch,• berechnet mittels der inversen
Matrix zurückliegende Zustände,• nutzt die Einheitsmatrix, um den
Fixvektor zu berechnen.
Übersicht Beispiele Übersicht
66
Beispiel 10
Q2Arbeiten mit Übergangsmatrizen
Eine bekannte Übergangsmatrix soll genutzt werden, um den ebenfalls gegebenen Systemzustand kurzfristig, langfristig oder rückwirkend zu modellieren und ggf. einen Fixvektor zu bestimmen.
Der GTR …• führt die Potenzbildung für kleine
und große Intervalle durch,• berechnet mittels der inversen
Matrix zurückliegende Zustände,• nutzt die Einheitsmatrix, um den
Fixvektor zu berechnen.
Übersicht Beispiele Übersicht
1.Die Übergangsmatrix
4.Die Verteilung
am Ende der Woche
7.Fixvektor,Schritt I
2.Die Verteilung
zu Beginn
5.Die Verteilungnach 1 Monat
8.Fixvektor,Schritt II
3.Die Verteilung
nach 1 Tag
6.Hatte die
Startverteilungeinen Vorlauf?
9.Fixvektor,Schritt III
67 Übersicht Beispiele Übersicht
1.Die Übergangsmatrix
4.Die Verteilung
am Ende der Woche
7.Fixvektor,Schritt I
2.Die Verteilung
zu Beginn
5.Die Verteilungnach 1 Monat
8.Fixvektor,Schritt II
3.Die Verteilung
nach 1 Tag
6.Hatte die
Startverteilungeinen Vorlauf?
9.Fixvektor,Schritt III
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x1 - 0.91x4 = 0…
x1 + x2 + x3 + x4 = 1Þ x4 0,42
x1 0,39, x2 0,1, x3 0,09
Übersicht Beispiele Übersicht
Beispiel 11
Q1, Q2Ein Weg zurNormalverteilung
Wichtige Kenngrößen für den Werteverlauf einer binomialverteilten Zufallsgröße sind µ und σ. Kann man diese beiden Werte für eine „Normierung“ nutzen?
Ja! Es ergibt sich eine „Normierung“, wenn man den Graphen
• um µ Einheiten nach links verschiebt,
• dann mit σ in x-Richtung staucht und
• zur Kompensation in y-Richtung mit σ streckt.
Als Modellfunktion bietet sich an
69
2
2
1
4,0)(x
exf
Übersicht Beispiele Übersicht
Beispiel 11
Q1, Q2Ein Weg zurNormalverteilung
Wichtige Kenngrößen für den Werteverlauf einer binomialverteilten Zufallsgröße sind µ und σ. Kann man diese beiden Werte für eine „Normierung“ nutzen?
Ja! Es ergibt sich eine „Normierung“, wenn man den Graphen
• um µ Einheiten nach links verschiebt,
• dann mit σ in x-Richtung staucht und
• zur Kompensation in y-Richtung mit σ streckt.
Als Modellfunktion bietet sich an
70
2
2
1
4,0)(x
exf
Übersicht Beispiele Übersicht
1.Die Grunddatenund Kenngrößen
3.Die neu berechneten
Werte
5.Ein weiteres Beispiel
mit neuen Wertenfür n und p
2.Die Werte der
Verteilung
4.Die graphische
Darstellung
6.Die Modellfunktion
71 Übersicht Beispiele Übersicht
1.Die Grunddatenund Kenngrößen
3.Die neu berechneten
Werte
5.Ein weiteres Beispiel
mit neuen Wertenfür n und p
2.Die Werte der
Verteilung
4.Die graphische
Darstellung
6.Die Modellfunktion
72 Übersicht Beispiele Übersicht
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Beispiel 12
Q1, Q2Ein Weg zum Vertrauensintervall
Im Vorfeld einer Wahl erhält eine Partei bei einer Umfrage
621 Stimmen von1200 Befragten.
Kann die Partei „halbwegs sicher“ sein, bei der Wahl 50% der Stimmen zu bekommen?
Der GTR
• berechnet mit Hilfe der σ-Regeln, für welche Werte von p die gegebene Häufigkeit in der 2σ-Umgebung liegt,
• unterstützt mit einer graphischen Darstellung vertiefende Analysen, z. B. zu algebraischen Modellen (Funktionen) für die Ellipse.
Übersicht Beispiele Übersicht
74
Beispiel 12
Q1, Q2Ein Weg zum Vertrauensintervall
Im Vorfeld einer Wahl erhält eine Partei bei einer Umfrage
621 Stimmen von1200 Befragten.
Kann die Partei „halbwegs sicher“ sein, bei der Wahl mindestens 50% der Stimmen zu bekommen?
Der GTR
• berechnet mit Hilfe der σ-Regeln, für welche Werte von p die gegebene Häufigkeit in der 2σ-Umgebung liegt,
• unterstützt mit einer graphischen Darstellung vertiefende Analysen, z. B. zu algebraischen Modellen (Funktionen) für die Ellipse.
Übersicht Beispiele Übersicht
1.µ und σ
für 0.45 ≤ p ≤ 0.55
2.die 2σ-Umgebungenfür 0.45 ≤ p ≤ 0.55
und …
3.… die „plausiblen“
Wahrscheinlichkeiten
4.graphischeDarstellung
für 0.45 ≤ p ≤ 0.55
5.graphischeDarstellungfür 0 ≤ p ≤ 1
6.Rekonstruktion
mit Wurzelfunktionenund Schnittpunkten
75 Übersicht Beispiele Übersicht
1.µ und σ
für 0.45 ≤ p ≤ 0.55
2.die 2σ-Umgebungenfür 0.45 ≤ p ≤ 0.55
und …
3.… die „plausiblen“
Wahrscheinlichkeiten
4.graphischeDarstellung
für 0.45 ≤ p ≤ 0.55
5.graphischeDarstellungfür 0 ≤ p ≤ 1
6.Rekonstruktion
mit Wurzelfunktionenund Schnittpunkten
76 Übersicht Beispiele Übersicht
Ein GTR im Mathematikunterricht unterstützt u.a.:
Beispiele
Exploratives und entdeckendes Arbeiten38
Potenzregele , e-Funktion
Begriffsbildendes Arbeiten2
12RegressionVertrauensintervall
Wechsel zwischen Darstellungsformen:Term (Algebra), Werte (numerisch), Graph
71
IntegralfunktionExponentialfunktion
Reduktion von Routine-Algorithmen:mehr Zeit für vertiefendes Verständnis
469
10
KurvendiskussionIntegrationLGSÜbergangsmatrizen
Modellieren,außer- und innermathematisch
511
ExtremwerteNormalverteilung
77 Übersicht Beispiele Übersicht
ÜbersichtBerufliches Gymnasium78
GTR oder CAS ?
Vorgaben Zentralabitur bei Auswahl des CAS Vorschlags
• Algebraische Ausdrücke vereinfachen und vergleichen• Gleichungen symbolisch und numerisch lösen• Lineare Gleichungssysteme lösen und
Matrizenberechnungen durchführen• Funktionen symbolisch und numerisch differenzieren
und integrieren• Funktionen und Daten zweidimensional graphisch
darstellen• Werte der Binomialverteilung und Normalverteilung
bestimmen
Funktionalitäten CAS
Berufliches Gymnasium79 Übersicht
GTR oder CAS ?
GTR CAS
Wertetabellen identisch
Graphische Darstellung von Funktionsgraphen
identisch
Lösen von LGS mit Matrizen Lösen von LGS
--- Lösen beliebiger GS
--- Vereinfachung und Vergleich von
algebraischen Ausdrücken
Gleichungen numerisch lösen Gleichungen algebraisch lösen
numerische Bestimmung des Ableitungswertes an einer Stelle
Funktionen algebraisch
differenzieren
Berufliches Gymnasium80 Übersicht
GTR oder CAS ?
GTR CAS
---Bestimmung von Extremwerten mit Parameter
numerische Bestimmung der
Flächenmaßzahl
Funktionen algebraisch integrieren
Matrizenberechnungen durchführen(inkl. Inverse, reduz. Diagonalform)
identisch
Binomialverteilung (auch kumuliert) identisch
Normalverteilung identisch
Bestimmung von Statistik-Größen identisch
Bestimmung Regressionsfunktionen identisch
näherungsweise Bestimmung von Grenzwerten
Berufliches Gymnasium81 Übersicht
GTR oder CAS ?
GTR
GTR CAS
CAS
Berufliches Gymnasium82 Übersicht
Handheld oder Software?
GTR oder CAS
als Handheld
Netbook/Laptop/PC/Tablet mit
CAS-Software ( Bedingungen!)
• leichterer Schutz vor
Täuschungsversuch• überall leicht verfügbar• läuft relativ stabil
• Dokumentation der Lösung auf
Papier
• Schutz vor Täuschungsversuch
deutlich aufwendiger • aufwendigere Organisation
(Computerraum, Stromversorgung,
Internet-/Netzwerkkontrolle)• Dokumentation im Programm möglich,
Ausdruck von Lösungen möglich • Nutzung weiterer Programme
(andere Fächer, digitale Schulbücher)
Berufliches Gymnasium83 Übersicht
Einheitliche Lösung
Innerhalb eines AHR-Bildungsgangs soll ein einheitliches
Konzept implementiert werden.
• Möglichkeiten des Austauschs von Unterrichtsmaterialien
• Wiederholer-Problematik
• Wechsel des Bildungsganges (z.B. Quereinstieg Stufe 12)
• Vertretungsunterricht
• Fortbildung
• CAS: Es wird empfohlen, die Schülerinnen und Schüler
eine Einverständniserklärung zu dem CAS-Konzept
unterschreiben zu lassen (bei Schul-Anmeldung).
• Bei verschiedenen AHR-Bildungsgängen an einem
Berufskolleg ist ein einheitliches Konzept von Vorteil.Berufliches Gymnasium84
Übersicht
Übersicht85
Fachübergreifende Möglichkeiten
Beispiel 1
Physik:Speicherung elektrischer Energie, Kondensator
Der Kondensator bietet eine gute Möglichkeit zum Einsatz von Schülerexperimenten in der Sek II. Untersucht werden kann z.B. der Entladevorgang.
Nutzung des GTR•Eingabe/Aufnahme der Messwerte•Graphische Darstellung der Punktwolke•Bestimmung einer Regressions- kurve•Bestimmung von Gesetzmäßigkeiten bei der Kondensatorentladung
86
Kondensator
Übersicht
1.Der Versuchsaufbau
(Schaltplan)
3.Ein Beispielgraph
2.Erfassung der
Messwerte
87
Übersicht
Beispiel 2
Chemie:Erstellen einer Eichkurve, Konzentrationsbestimmung
Bei der Bestimmung der Konzentration von Natriumchlorid in Meerwasser soll eine Eichkurve erstellt werden.
Nutzung des GTR•Eingabe/Aufnahme der Messwerte•Graphische Darstellung der Punktwolke•Bestimmung der Eichkurve als Funktion
Eichkurve
88 Übersicht
1.Versuchsaufbau
3.Messwertabelle
2.Auswählen der
Sensoren
4.Eichkurve
89 Übersicht
Beispiel 3
Technik:Kennlinie einer Solarzelle
Bei der Untersuchung einer Solarzelle stellt sich die Frage nach einem optimalen Betriebspunkt, dazu wird eine Kennlinie erstellt.
Nutzung des GTR• Eingabe/Aufnahme der Messwerte• Graphische Darstellung der
Punktwolke• Berechnung der Leistung;• Graphische Darstellung der
Kennlinie• Bestimmung des optimalen
Betriebspunktes
90
Solarzelle
Übersicht
1.Die experimentellermittelten Datenals Liste
3.Die berechnete Leistung
2.Der Datensatzals Punktplot(Streudiagramm)
4.Ein möglichesModell:Graph
91
Übersicht
Beispiel 4
Sport/Biologie:Trainingslehre und Stoffwechselphysiologie
Zur Verknüpfung von Theorie und Praxis wird der Puls vor, während und nach einer Belastung gemessen und anschließend hinsichtlich der Fragestellung nach der Sauerstoffversorgung ausgewertet.
Nutzung des GTR• Eingabe/Aufnahme der Messwerte• Graphische Darstellung• Bestimmung und Vergleich der
Flächen zu Beginn und nach der Belastung hinsichtlich der Sauerstoffversorgung
92
Übersicht
1.Die experimentellermittelten Datenals Liste
3.Vergleich der Flächen
2.Der Datensatzals Punktplot(Streudiagramm)
93
„Sauerstoffdefizit“ „Sauerstoffschuld“
Übersicht
Beispiel 5
Eine ökonomische Situation mit
angegebener Kostenfunktion K und
Erlösfunktion E soll untersucht werden.
Denkbare mathematische Schwer-
punkte:• Wendepunkt der Kostenfunktion• Schnittpunkte der Graphen
von E und K • Nullstellen der Gewinnfunktion G• lokaler Hochpunkt von G• Minimumstelle der Stückkosten-
funktion (Betriebsoptimum)
Nutzung des GTR
• liefert die graphische Darstellung von K und E
• zeichnet den Graphen von G und gibt eine Wertetabelle an
• gibt Wertezusammenhänge an
• berechnet Nullstellen, lokale Extrema und Ableitungen sowie Wendepunkte an isolierten Stellen
• zeichnet den Graphen der Stückkostenfunktion und gibt die Koordinaten des Tiefpunktes an
• gibt die Koordinaten des Schnitt- punktes von k und K‘ an
Übersicht
1.
... liefert die graphischeDarstellung von
K und E
3.
... gibt Wertezusammen-hänge an
2.
... zeichnet den Graphen von G und gibt Wertetabellen an
4.
... berechnet Nullstellenund lokale Extrema an isolierten Stellen
Übersicht
5.
... berechnet die Ableitung und Wendepunkte an isolierten
Stellen
7.
... gibt die Koordinaten des Tiefpunktes an
6.
... zeichnet Graphen der Stückkostenfunktion
8.
... gibt Schnittpunkt-koordinaten an
Übersicht
Übersicht97
Fortbildungs-möglichkeiten
- Angebote zur Unterrichtsentwicklung durch
die Bezirksregierungen ab Sj. 2013/2014
- Angebote zur Geräte-/Software-Bedienung
und -Anwendung durch Hersteller und
Anbieter
- …
Fortbildung
Übersicht
Berufliches Gymnasium 99
Der graphikfähige Taschenrechner (GTR) im Mathematikunterricht des Beruflichen Gymnasiums
UnterrichtlicherMehrwert
Sek. II
GTRoderCAS
UnterrichtlicherMehrwert
Sek. II
GTRoderCAS
Funktionalitätendes GTR
Funktionalitätendes GTR
Fortbildungs-möglichkeiten
Fortbildungs-möglichkeiten
FachübergreifendeMöglichkeiten
FachübergreifendeMöglichkeiten
Finanzierungs-modelle
Finanzierungs-modelle
RechtlicheGrundlagen
RechtlicheGrundlagen
Einsatzdes GTR
in der Sek. II
Einsatzdes GTR
in der Sek. II
Vorschläge zur Einführung
Vorschläge zur Einführung
Impressum: MSW, Ref. 312, Roebers, 10.04.2013