der aufbau einer höheren logik

DEP~ A U F B A U E I N E R H ( S H E R E N L O G I K

Von WILHELM ACKERMANN 1"

w 1. E i n l e i t u n g . Das S y s t e m Z z

Der Aufbau einer hSheren Logik, die fiber den Priidikatenkalkiil der ersten Stufe hinausgeht, die Einschr~nkungen der Typentheorie vermeidet und weir genug ist, dem Fregeschen Ideal niiher zu kommen, ist noch immer ein Pro- blem. Zwischen den Axiomensystemen der Mengenlehre und derartigen Lo- giken besteht eine gewisse Parallelit~t, so dab in der Regel ein l~bergang vom einen zu der anderen mSglich ist. Gegen sine Logik, die sich auf die gut ausge- bildete mengentheoretische Axiomatik stfitzt, kann man vom logischen Standpunkt aus einwenden, dal3 ein einfaches und durchsichtiges Prinzip zu deren Aufbau fehlt. Hier wird versucht ein derartiges Prinzip zu finden.

Ieh gehe wieder aus yon der Cantorschen Definition der Menge: ,,Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens - welche die Elemente der Menge genannt werden - zu einem Ganzen." Ich hatte, gestiitzt auf eine gewisse In- terpretation dieser Definition seiner Zeit (vgl. [1]) ein relativ einfaches Axio- mensystem ffir die iVlengenlehre angegeben, dessen Zuverliissigkeit inzwisehen yon A. Ldvy durch einen Widerspruchsfreiheitsbeweis relativ zur fiblichen mengentheoretischen Axiomatik gezeigt und dessert Tragweite in interessan- ten Arbeiten yon A. Ldvy und R. Vaught n~her untersucht wurde. Doch ist bier davon nieht dis Rede.

Versuchen wir vielmehr, die obige Cantorsche Definition ins rein Logische zu fibersetzen. Da sich ,,Menge" und ,,Pr~dikat" entsprechen, kSnnten wir folgendermal~en sagen: ,,Ein eigentliches Pr~dikat (d. h. ein Pr~dikat, mit dem uneingeschriinkt nach allen Regeln des gewShnlichen Pr~i~likatenkalkfils operiert werden kann) ist t in solehes, bei dem je zwei Dinge, die unter das Pr~dikat fallen, wohlunterschieden sind." Was kSnnen wir mit dieser Defi- nition anfangen ? Soll sie bedeuten, dab wir yon je zwei konkreten Dingen, auf die das Pr~dikat zutrifft, faktisch entscheiden kSnnen, ob sie gleich oder verschieden sind ? Dann wfirde unsere Logik, von d e r wir doeh erwarten, dab sie uns eine Art Fregeschen Aufbau der Mathematik liefert, nicht diesen Er- wartungen geniigen kSnnen, da wir ja ffir zwei etwa durch Grenzwerte deft- nierte reelle Zahlen nicht generell entseheiden kSnnen, ob sie gleich oder verschieden sind, so dab es kein eigentliches Pr~dikat ,,reelle Zahl" g~be. Es

Eingegangen am 15.6. 1962.

1 ,

6 Wi l he l m A c k e r m a n n

bleibt also nur iibrig anzunehmen, dab fiir je zwei Dinge x und y, die muter ein eigentliches Prgdikat fallen, immer , ,x --~ y v x :# y " zu beweisen wgre. Das ist aber ffir eine Logik mit gewShnlichem Aussagenkalkiil fiir beliebige Dinge x und y der Fall, so dab dann das Prinzip vollkommen nichtssagend wgre. Es bleibt also nut die MSglichkeit, eine andersartige Logik zugrunde zu legen. Die intuitionistische Logik kommt dafiir nicht in Frage, sehon des- halb weft sie mit dem Gedanken der Typenfreiheit, den wit bier brauchen, nieht vertr~glieh ist, und auch aus mehreren anderen Griinden.

Von K . Schi i t te und mir sind nun eine Reihe yon nachweislieh widerspruehsfreien Systemen der typenfreien Logik aufgestellt worden, die nicht oder nur in eingeschrgnktem Ylabe den Satz yore ausgeschlossenen Dritten verwenden. Diese Systeme werden nach K. Schiitte (vgl. [7]) als aussagenlogisch unvoll- stgndig, aber als aussagenlogisch regulgr bezeiehnet. Die weitestgehenden davon geniigen fiir einen widerspruehsfreien Aufbau der verzweigten Analy- sis, wobei bei diesen der Satz yore ausgeschlossenen Dritten fiir gewisse me- talogische Pr~dikate benutzt wurde. Da wir weitergehende Ziele verfolgen, bei denen eine Einfiihrung des ,,tertium non datur" in dieser Weise nut stSren wiirde, beziehe ieh reich hier aufdas erste derartige, yon mir in [2] aufgestellte System, das den Satz vom ausgeschlossenen Dritten auch nieht in schwgch- ster Form enthglt und das dann dureh die oben genannte Umdeutung des Cantorschen Gedankens erggnzt werden soll; nur auf diese Weise kommt dann der Satz yore ausgesehlossenen Dritten hinein. (Es sei hier bemerkt, dab die logische Interpretierung des Canterschen Gedankens auch schon in [3], [4] und [5] benutzt wurde, ohne dab es ausdriicklich hervorgehoben wurde. In [4] konnte damit die logische Begriindung der ldassischen Zahlentheorie gegeben werden; doch ist das in [3] aufgestellte Axiomensystem unnStig ein- gesehrgnkt und sehwerFallig in der Handhabung, so dab der ~bergang zu dem System yon [2] eine wesent]iche Erleiehterung bedeutet.)

Besehreiben wir nun das System yon [2] ! Die Primforme]n sind die For- meln der Form {y} (x), {y} (x, z) . . . . . x ~ y usw., aus denen sieh mit Hilfe yon ,, ̂ " , ,, v", ,,--7", ,,->", den Quantoren und dem X-Operator die weiteren l%r- mein und Terme in der fibliehen Weise bilden lassen. {y} (x) bedeutet: (das Pr~idikat) y trifft au fx zu, (y} (x, z) : y trifft auf das geordnete Paar (x, z) zu, usw. In den einfachen Fgllen, in denen y, x, z usw. keine mit X gebildeten Terme sind, sehreiben wir einfacher yx , y x z usw. Stat t des in [2] benutzten Zeichens ,,-->" schreiben wir fibrigens hier ,,~-". ,,~I -~ ~ " hatte ngmlich nieht die Bedeutung ,,aus 9J folgt ~ " , sondern ,,aus der Beweisbarkeit yon folgt die Beweisbarkeit yon ~" , so dab bei der Verwendung des Zeichens ,,-->" Verwechslungen mit der gew6hnlichen Implikation vorgekommen sind. Zur Interpretation des Systems vergleiche im iibrigen [2]! ])as in [2] ange- gebene System hatte nun mit unwesentlichen Modifika~ionen die folgende Gestalt:

1. !~ ~-- !~

3a . 9,Ih ~ - - g J

4a . ~ - - ~ v ~

5. ~IA ( ~ A g ) ~ - - ~ V ( ~ V g)

Der Aufbau einer hSheren Zogik

I . Grund/ormeln des Aussagenkallci~ls.

2. ( / ' ~ - ~) ~ ( ~ ~ - ~ ^ ~ )

4 b . !~ ~-- ~ v !~

6. ( ~ - ~ ) ^ ( ~ g ) ~ ( ~ A r

7. (~,I ~-- ~) A ( ~ ~--- ~) ~-- (9,I V ~ ~ ~)

8. ( ~ ~ ) A ( ~ - - ~) ~ (~ ~ g)

9. ( / ' ~ ) ~ ( ~ - - ~ )

10. ( / ' ~ ~ V ~ ) ~ ( / ' ~ ~) V (P~-- ~)

11. ( F ~ - ~ I ) ~ - ~ 12. ~ [ ^ - ~ ! ~ - ! 3

13a. 9J ~-- - 7 - - , 92 13b. --7 --1 !~ ~-- 9J

14a. - 7 9j v - ~ !3 ~ - - 7 (~[ ^ ~ ) 14b. ~ ( 2 ^ ~ ) ~ - - - 7 ~ v --7 !3

15a . - -7 9,I A--7 ~ ~ - - ~ (!~I v ~ ) 1 5 b . - ~ (~ v ~ ) ~----7 9,I v - - -

16. (r ~ ~) ^ (~ ~-- - -F) ~ - - ~ ( ~ ~ ~ )

17. ~ (~ ~-- ~ ) ~ - ( / ' ~-- !~I) A ( ~ ~ - - - 7 / ' )

I I . Grund/ormeln des Prddi]catenkallciils.

1. (x) 9.I(x) ~- 9.I(a) 2. ~(a) ~- (Ex) 9j(x)

3. (x) (~ v-- ~ ( x ) ) ~-- (9.I ~-- (x) ~3(x) )

4. (x) (9.1(x) ~- ?3) v-- ( (Ex) ~(x) ~-- ~ )

5. (x) (~ v ~ ( x ) ) ~-- A v (x) ~ ( x )

6. A ^ (Ex) ~ ( x ) ~- (Ex) (~I A ~ ( x )

7. (F v-- (Ex) ~ ( x ) ) ~-- (Ex) ( r ~- ~ ( x ) )

8a . (Ex) - -7 ~(x) ~ - - 7 (x) ~(x) 8b . ~ (x) ~I(x) ~- ( E x ) ~ 9g(x)

9~. ( x ) - 7 Oj(x) ~-- -7 (Ex) ~i(x) 9 b . ~ (Ex) ~(x) ~- ( x ) - 7 ~i(x)

10a. ~I(a I . . . . , an) ~- {~[x~... xn ~i(x~ . . . . . Xn)} (a~ . . . . . an)

10b. {~x~.. . xn ~ ( x i . . . . . Xn)} (a~ . . . . . an) ~-- 2(a1 . . . . . a~)

l l a . ~ ~(a~ . . . . . an) ~- - -7 {2x~. . . xn ~(x~ . . . . . Xn)} (a~ . . . . . an)

l i b . - 7 {~x~ . . . . xn ~i(x~ . . . . . xn)} (a~ . . . . . an) ~- - -7 ~(a~ . . . . . an)

I I I . Grundformeln ]i~r die Identitdt.

1. a = a 2. a = I) ^ ~(a) ~-- ~.I(~) 3. ~(a) A - 7 ?g(I)) ~ - - -7 Ca = fi).

t t i e r s ind 2 , !3, ~ bel iebige F o r m e l n , a, ~, r usw. bel iebige Te rme . Die G r u n d - fo rme ln I I , 3; I I , 5; I I , 6 s ind so zu ve r s t ehen , d~B 92 n i c h t die Var i ab le x

8 Wilhelm Ackermann

enthalten darf; ebenso daf t bei I I , 4 x nieht in !~ vorkommen./" ist eine Ab- kiirzung fiir die beweisbare Formel . . . . I , 17 ist dem System auf Grund einer Kri t ik yon R. Harrop hinzugefiigt worden. In I I , 10a- I I , 11 b enth~lt 92 (al . . . . . an) nieht die Variablen x 1 . . . . . xn.

A bleitungsregeln

A. Umbenennungsregel fiir gebundene Variablen, B. der SchluB yon 92 und 92 ~- !D auf ~ , C. der SehluB von 92 au f / " ~- 92, D. der SchluB yon !~I(x) auf (x) 92(x).

Das System enth~lt noch einen SchSnheitsfehler. Es sei ~ eine sinnlose Formel, etwa {~ -7 xx} (~--7 xx). I s t nun 92 eine beweisbare F o m e l , so l~Bt sich mit Hflfe yon I , 4a 92 v ~ ableiten. Das ist zwar nicht gefahrlich, wie der fiir [2] friiher gefiihrte Widerspruchsfreiheitsbeweis zeigt, aber es ist natfirlich zu verlangen, entspreehend dem Charakter yon v, ^, - 7 als Wahrheitsfunk- tionen, dab eine Aussagenverbindung mit diesen Verknfipfungen nur dann abgeleitet werden kann, wenn die verkniipften Teilformeln wahr oder falsch sind. Daher lassen wir I, 4a und I, 4b fort und fiigen dafiir die Grundfor- meln I , 4c: 92 ~- 92 1 hinzu. Hierbei bedeutet die Beziehung zwisehen 92 und !~t, dab 1) ~ 92 v 92 1 eine Tautologie mit den Verknfipfungen--7, v, ^, des Aus- sagenkalkfils ist, 2) dab auch alle Primbestandtefle yon 921 unter den Prim- bestandteilen von 92 enthalten sind. Die Primbestandteile einer Formel werden folgendemaBen definiert: H a t ~ nieht eine der F o m e n - - - ~t, (~ ^ 2J, (~ v ~, so ist ihr einziger Primbestandtefl sie selbst. Die iibrigen F o m e l n haben als Primbestandteil die Formeln, die nicht eine der Formen--7 (~, (~ ^ ~, @ v J) haben und aus denen sieh ~ allein mit Hilfe y o n - 7 , v, ^ zu- sammensetzt. Durch die Aufnahme der Grundformeln, I , 4c werden die Grundformeln I, 1 ; I , 3 a ; I , 3 b ; I , 5 ; I , 13a ; I , 13b; I, 14a;I , 14b;I , 15a;I , 15b iiberfliissig, da sie als Spezialfalle in I, 4 c enthalten sind. Dagegen gehen wir nieht so welt zu verlangen, dab 92 ~- ~ nur dann gebraucht werden darf, wenn ~ und ~ sinnvolle F o m e l n sind, wie es in [3] gefordert wurde. Dies entsprieht der Bedeutung yon 92 ~- !D; denn auch aus der Beweisbarkeit einer sinnlosen F o m e l kann man auf die Beweisbarkeit anderer Formeln sehlieBen. Die fibrigen Grundformein bleiben also bestehen, aber es muB

n o c h eine Einschr~nkung im Gebrauch des Allzeichens hinzukommen. (x) 92(x) wiirde bedeuten, dab fiir beliebige T e m e a !~(a) der Fall ist. Es ist aber nicht gesagt, dab 92(a) fiir alle Terme a eine siunvolle Formel darstellt. Das w~re zwar der Fall fiir Formeln !~(a) ~- ~(a), aber nieht aUgemein. Wit definieren daher eine Klasse yon Formeln, die sich aus Formeln der Form !~ ~-- !D und a ~-- 5 durch Anwendung yon ^, v,--7, Quantifizierung und ~- Abstraktion zusammensetzen. Eine Formel (x) 92(x) wollen wir auch als Tefl- formel nur daun zulassen, wenn 92(x) zu der genaunten Klasse yon Formeln gehSrt. Der Gebrauch yon (Ex) 92(x) wird aber nieht eingesehr~nkt; denn -"7 (Ex) 92(x) bedeutet keineswegs dasselbe wie (x) - 7 ~I(x), auBer fiir den

Der Aufbau einer hSheren Logik 9

Fall, da$ (x ) -7 2[(x) zulKssig ist. - 7 (Ex) 2[(x) wiirde unserer bier ver t re tenen Auffassung nach nur bedeuten, da$ innerhalb des Definit ionsbereichs yon 2[(x), d. h. des Bereiches der Dinge x, fiir die 2[(x) wahr oder falsch ist, 2[(x) immer falsch ist. Dieser Definitionsbereich b rauch t aber nicht alle Te rme zu nmt~assel]. Dami t haben ~ r d~s grundlegende Axiomensys tem beschrieben, das wit for tan mi t ~1 bezeichnen.

w 2. E i n z w e i t e s g q u i v a l e n t e s A x i o m e n s y s t e m

u n d d e s s e n E r w e i t e r u n g e n

Wi t stellen ein zu ~1 ~quivalentes Axiomensys tem auf, das leichter zu handhaben ist und in der Haup t sache aus l~egeln besteht . Die Einschr~nkungen im Gebrauch des Allzeichens gelten natfirlich auch fiir dieses System.

I . Grund/ormeln

Grundformeln sind alle Formeln a = a und 2[ ~--F.

I I . Ableitungsregeln

2[ (2[ ~- ~ ) ^ (2[ ~- g) (2[ ~- g) ^ ( ~ ~ g) 1) 2i-- ~ 2) 2[ ~- 2~ ^ g 3) 2[ v 2~ ~-

4) (!~I ~-- !3) ^ ( ~ F- ~) 5) F ~- 2[ v ~ 6) F ~-- 2[ ~ - g ( F ~ ) v ( F ~ - ~ )

^ - 7 ~ (F ~ - ~ ) ^ ( ~ ~ - - 7 F ) 7) S)

--7 ( ~ ~ - ~ )

-7 (~ ~- ~) (x) ~(x) ~(~) 9) 10) - - 11)

(P ~- 2[) ^ (~ ~- - 7 F) ~(a) (Ex) ~(x)

(x) (~ ~- ~(x)) (x) (~(x) ~- ~) (x) (~ v ~ (x)) 12) 13) 14)

2[ ~- (x) ~(x) (Ex )2[(x) ~-- ~ 2[ v (x) ~ (x )

~I ^ (Ex) ~ (x ) F ~-- (Ex) 2[(x) (Ex) - 7 ~(x) 16) 17) . 15) (Ex) (~ ^ ~(x) ) (Ex) (P ~- ~(x) ) - 7 (x) ~(x)

--7 (x) ~(x) (x)--7 ~(x) --7 (Ex) ~(x) 18) 19) 20)

(Ex)-- , ~(x) -7 (Ex) ~(x) (x)--7 ~(x)

{~t X l . . . x , 2[(x~ . . . . . x, ,)} (% . . . . . a,~) 21)

22) { ~ xl"'" xn 2[{x I . . . . . xl,t)} (r 1 . . . . . II,a)

10 W i l h e l m A c k e r m a n n

23) "-7 91 (111 . . . . . an)

- - " {;~ X~ . . . X, 91(~:1 . . . . . )} ( a l . . . . . a , ' )

--7 {21 X l . . . ~tI 91(5g I . . . . . ~tI)} (a I . . . . . ~I'i$) 24)

- 7 9 1 ( a l . . . . , a , )

26) - -7 (a = ~)

91 ~ 91(x) 28) - - 29)

91A!~

25)

27) Umbenennungsregel fiir die gebundenen Variablen

91 (x) 91(z) 3 o ) / ' ~ 91

31) Ferner kommt die folgende Regelhinzu:

Liil]t sich, fails man 91 als zus~tzliche Grundformel nimmt, daraus unter Zu- hilfenahme eventuell yon sonstigen Grundformeln ~ ableiten, wobei jedoeh nur die Regeln 1)-28) verwendet werden diirfen, falls yon 91 abhiingige For- meln als Pr~missen vorkommen, so soil auch 91 ~-- ~} ableitbar sein.

Zeigen wit nun die Xquivalenz der beiden Systeme. Zun~chst sind alle For- meln yon 2:1 auch jetzt ableitbar. Das gilt zuniichst ffir die Grundformeln I, 2: (F ~- 91) e - (!8 ~- 9I ^ !8). Beweis: Aus F ~- 91 und der Grundformel

~--F erh~lt man nach 28) (~ ~--F) h (T ~- 91) und nach 4) ~ F- 91. ~Tach 31) erh~lt man mit Hilfe yon 1) !D ~- ~ . Mit Hilfe yon 28) und 2) erh~lt man !6 ~-- 91 h ~ , also nach 31) die obige Formel. Beweis der Grundformeln I, 9: (F ~- 91) ~- (!~ e-- 91). Beim vorigen Beweis war gezeigt worden, dal3 man ausF ~- 91 auch ~ ~- 9/erh~lt, so dab die Formel sich nach 31) ergibt. Alle fibrigen Grundformeln yon ~1 sind wie ~ = a auch jetzt Grundformeln, oder sie sind sofort mit Hilfe yon 31) zu gewinnen, da ilmen jetzt eine entsprechende Regel gegenfibersteht. Die Ableitungsregeln yon Z 1 gelten auch jetzt direkt mit Ausnahme des Schlusses yon ~ und 91 ~- ~ auf ~ . Diesen bekommt man hier so: Aus 91 erh~lt man naeh Regel 30)F ~-- 9i, naeh Regel 28) (F ~- 91) A (9/~-- ~), nach Regel 4)1" ~- !3 und nach Regel 6) !3.

Zeigen wir nun umgekehrt, dal~ auch alle Formeln unseres jetzigen Sy- stems in 2:1 ableitbar sind. Zu diesem Zweek beweisen wir die folgenden beiden S~tze {lurch simultane Induktion.

I . Eine ableitbare Formel unseres jetzigen Systems ist auch in 271 ableitbar.

I I . Es sei aus 2 mit eventueller Hflfe yon iibrigen Grundformeln in unserem jetzigen System ~ abgeleitet, wobei aber fiir die von 91 abh~ngigen Formeln die Regeln 29), 30) und 31) nieht gebraueht werden. Dann ist 91 ~-- !3 in Z x ableitbar. Die Induktion geht nach der Anzahl der Formeln, die zum Beweise yon ~3 gehSren, a) Diese Anzahl sei 1. I betrifft die Grundformeln unseres jetzigen Systems. Dies braucht nur fiir die Formeln 9/~--/ ' gezeigt zu werden. Nun ist P ~ - F Grundformel yon ~71- Mit Hflfe einer Grundformel I, 9 und der Regel B erhalten wir 91 ~ -F . Fails bei I I der Beweis nur aus einer einzigen Formel be-

Der Aufbau einer hSheren I, ogik 11

steht, enth/ilt er nur die Formel ~. ~j ~-- 9J ist aber in 2:1 herleitbar, b) Die An- zahl sei n. Falls der Beweis ffir !D aus weniger als n Formein besteht, sei die Richtigkeit yon I u n d I I sehon gezeigt. Beweis von I . ~ komme aus einer Formel ~1 naeh 1)-27) zustande. ~1 ist nach Voraussetzung in 271 ableitbar. !D 1 ~-- ~ ist eine Grundformel yon Z1, so dab man naeh der Regel B yon ~1 !D erh~lt. Auch die Rege128) ist in Z 1 ableitbar. Denn wir haben in 2:1 die Grund- formel (F e - ~J) ~- (~ ~-- ~[ ^ ~). Aus !~ erh~lt m a n F ~- ~ nach Rege lCvon Z1, nach der Regel B yon ~1 ~ ~- 91 ^ ~ und wieder nach der Regel B ~ AID. Die Regeln 29) und 30) sind aueh in 2:1 vertreten. Nun habe ~ die Fo rm @ ~- und ein Beweis yon ~ aus ~ mit den entspreehenden Bedingungen gehe voraus. Da dieser Beweis weniger als n Formeln enth~lt, ist gem~B der Vor- aussetzung ffir Satz I I ~ ~-- 3~ in 271 herleitbar. Beweis yon I I . 76 komme aus einer Formel ~31 nach 1)-27) zustande. Nach Voraussetzung ist ~ ~- !31 in 2:1 herleitbar. Da ~1 ~-- ~ Grundformel von 2:1 ist, erhalten wir !~I ~-- !3. Oder ~ habe die Form ~ ^ @ und entstehe naeh 28) aus ~ und 3~. Wir unter- scheiden hier zwei FKlte. 1) Beide Formeln @ und ~ hangen yon ~I ab. Nach Voraussetzung sind ~ ~-- @ und ~ ~-- ~ in 2:1 herleitbar, so dab man mit Hilfe der ja auch in 271 giiltigen Regel 28) (~ ~- @) ^ (9i ~- ~) erh~lt und mit Hilfe yon I, 6 und der Regel B yon ~1 !~i ~- (~ ^ ~. 2) Nur eine der beiden Formeln etwa @, h~nge yon ~[ ab. Naeh Voraussetzung (Satz I und I I ) sind ~ ~- und @ in 271 herleitbar, nach Regel C yon 2:1 a u c h F ~- ~ , so dab man in der bekannten VVeise ~ ~- (~ A 3~ erh~lt. Naeh 29), 30) und 31) kann ~ gem~B den Bedingungen yon Satz I I nieht zustande kommen.

Wir gehen jetzt daran, unser letztes System im Sinne des zu Anfang dieser Arbeit entwickelten Gedankens zu erweitern. (Diese Erweiterung h~tte iibri- gens auch in entspreehender Weise fiir das System 2:1 vorgenommen werden kSnnen.) Es seizJ (~) eine Abkfirzung fiir (Ex) ~ (x) A (x) (y) (91 (x) ^ 9.i (y) x ~ y v - 7 (x = y) ). A (~) sagt also aus, dab 91 ein eigentliches Pr~dikat im Sinne yon w 1 ist. S ta t t ( (ul) . . . (u~) (~ (ul) ^ .. . ~[ (uk) ~- ~ (u I . . . . . u~) v - 7 ~ (u I . . . . . uk) verwenden wir die Abkfirzung Tu~l...~ (~ (u 1 . . . . . uk);

(u 1 . . . . . uk) ). T O (~) sol lF ~- ~ v - 7 ~ bedeuten. Eine neue Regel, die dem in w 1 erw~hnten Grundgedanken entspricht, he is t nun

32)

q~m+n ( ~ ( x I . . . . Xm, Yn)) A (~) ^ ~:~l "'" Xm' Yl"'" Yn Y l , ' ' ' , yn ) ; ~ (Xl . . . . . Xm, Yl . . . .

T~I "'" Yn (~(Yl . . . . . Yn) ; (Ex]) ... (Exm) (~(Xl, ... , Xm) h ~ (x I . . . . . Xm, Yl . . . . . Yn) )

(m ~ O; n _> O)

Diese Regel bedeutet folgendes: Fails ~ t in eigentliches Pr/~dikat ist und innerhalb des Bereiches der Dinge, fiir die ~I richtig ist, fiir ein gewisses PrK- dikat der Satz vom ausgeschlossenen Dri t ten gilt, so gilt er auch entsprechend, falls vor dieses Pr/~dikat Existenzzeichen gesetzt werden, die sieh aber (~hnlich wie Sortenvariable) nur auf den Bereich yon ~I beziehen. Mit Hilfe

12 Wilhe lm Ackermann

dieser Regel ist es mSglich, im Bereiche yon ~I den klassischen Pr~idikaten- kalkiil zu begriinden, wie wir bei der Anwendung noch sehen werden.

Wir ffigen weiter eine Extensionalit~tsregel hinzu, die wit in derselben vor- sichtigen Weise formulieren.

33) Die Pr~misse dieser Regel ist die folgende:

A (9,I) A (Ey) (Ez) (Txl...n xn (~l(xl,. .. xn; y x l . . , xn) h Tnxi. . . Xn ( ~ ( X 1 . . . . x n ;

Z X l . . . Xn) h -'--I ( E X l . . . Xn) (-~(X 1 . . . . Xn) A ( ( y x l . . . Xn A --7 ZXl . . . Xn) V ('-7 y X l . . . X n V Z X l . . . x n ) ) A a -~ ~, X l . . . Xn (~(X 1 . . . . . Xn) V yx i . . .Xn ) ^ I) = ]tX,1...X n

(~(~1; . . . . Xn) ^ Z g l" '* =n))

Die Konklusion ist a ~ ~. Diese beiden Regeln geniigen fiir die meisten Anwendungen, ffir die Ablei- tung der ldassischen Zahlentheorie bereits 32). Falls in irgendeiner Weise ein Auswahlaxiom gebraucht werden sollte, formulieren wir noch zwei Regeln ffir die Einfiihrung der Hilbertschen e-Funktion, ex ~ (x) gilt dabei allgemein als Term.

(9~) ^ T 1 (9~(x); ~(x)) ^ (Ex) (9.l(x) ^ f~(x)) 34)~t (e~ (gj(x) ^ ~ ( x ) ) ) ^ ~ (e~ (~ (x ) ^ ~ ( x ) ) )

A (gj) ^ Tl (~I (x) ; ~ ( x ) ) A T 1 e~ (~(x) ^ ~)(x)) =

35) (~(x); ~(x) ) ^- - - (Ex)( (9~(x) ^ ~ ( x ) ^ - ~ ~ ( x ) v (9~(x) ^ - ~ ( x ) ^ ~(x) ) )

= e~ (9J(x) ^ ~ ( x ) )

Nach der Hinzuffigung yon 32)-35) miissen wit die Rege131) folgendermal]en erg~nzen: L~l]t sieh, falls man ~I als zus~tzliche Grundformel nimmt, daraus unter Zl~hilfenahme eventuell yon iibrigen Grundformeln ~ ableiten, wobei jedoch fiir die yon ~I abh~ngigen Formeha, die bei Regeln als Pr~missen vorkommen, nut die Regeln 1)-28), 32)-35) verwendet werden, so soll aueh 9~ ~-- ~ ableitbar sein. - Einen derartigen Beweis yon ~ aus 9J wollen wit einen ~ormalbeweis nennen. Die Ableitbarkeit yon ~I ~-- ~ bedeutet often- bar genau dasselbe, wie dal3 man ~ aus 9~ durch einen Blormalbeweis erhalten kann. Das im vorigen erweiterte System bezeiehnen wir mit 2: 3.

w H e r l e i t u n g d e r k l a s s i s e h e n ( a x i o m a t i s c h e n ) A n a l y s i s

Essei ~ (a) eineAbkiirzung ffir (y) ( ( l " l - - yo ) ^ (x) ( y x ~ - - - y x l ) ~ - ( F ~ - - y a ) ) . H ~ ' b e i sei 0 eine Abkiirzung fiir ~ x - - , (x ~ x), a I eine solehe ffir ~ x (a x ^ x ~ a). Es l~Bt sich dann (x) (y) (~ (x) ^ ~ (y) ~- x = y ^ - 7 (x = y) ) beweisen tmd natiirlieh, da ~ (0) ableitbar ist, aueh (Ex) ~ (x), mithin also A (~). Diesen Beweis wollen wit hier nieht geben, da er in [4] mit dem engeren Axio-

Der Aufbau einer hSheren Zogik 13

mensystem yon [3] durchgeffihrt worden ist. Man mug die dor t eingefiihrte Relat ion 92 (x t . . . . . xn) zt... x----~ 2~ (x 1 . . . . . xn ) durch die grSBere Bewegungsfreiheit gestat tende Relation (xl).. . (xn) (92(xl .. . . . Xn) v- ~(x 1 ... . . xn) unseres jetzigen Axiomensystems ersetzen, wobei die Beweise zum Teil sich vereinfachen lassen. Da A (3) herleitbar ist, ist die MSglichkeit der Anwendung der Regel 32) yon 222 gegeben. In [4] wurde mi t Hflfe der 32) entsprechenden Regel gezeigt, dab man die klassisehe Zahlentheorie entwickeln kann, wobei diese mi t den Verkniipfungen ^, v, --7 und (Ex) allein aufgebaut wird. Genauer haben wir folgendes gezeigt: Es sei ein zahlentheoretiseher Formalismus Z gegeben yon folgender A r t : 1. Zahlenterme sind 0 und die Zahlenvariablen x l, Yl, zl usw. ; ferner erh~lt man aus jedem Zahlenterm a einen weiteren a t. 2. Sind a, b, c Zahlenterme, so sind a = b, A(a, b, r und M(a, b, c) Zahlenformeln (Primformeln). 3. Aus den Primformeln bauen sich in der iiblichen ~Veise dureh Anwendung yon - % A nnd den Existenzzeichen die iibrigen Zahlenformeln auf. (92 ^ ~ kann als Abkfirzung ffir--- (--7 92 v - 7 ~) angesehen werden). Grund/ormeln sind a) alle Zahlenformeln, die aus allgemeingfiltigen Formeln des Aussagenkalkiils dureh Einsetzung entstehen, ferner die folgenden For- me lnb) a = a; c ) ~ (a = b) v - ~ 92(a) v 92(b); d ) ~ ( a ' ~ 0); e ) - 7 (a' ~ b l) v a = b; f)---~ A(a, b, c) v --7 A(a, b, b) v r = b; g) A(a, O, a); h) --7 A (a, b, c) v A(a, b I, 0); i)--" M(a ,b , c) v - 7 M(a, b, b) v c = b; j) M(a, 0, 0); k ) - 7 M(a, b, c) v --7 A(a, c, b) v M(a, b, I l)); 1) ~ 92(0) v (Ex 0 (92(Xl) v . - - 92(x~')) v 92(a).

A bleitungsregeln

I. 92 --7 92 v ~ II . 92 v ~ (a) I I I . 92 v - 7 ~ (x~)

92 V (EXl) ~ (Xl) 92 v ~ (EXl) ~ (Xl)

Bei I I I da f t 92 nicht die Variable x 1 enthalten. Sta t t x 1 da f t in der Unterfor- reel bei I I und I I I , in der Oberformel bei I I I und in der Grundformel 1) auch eine andere Variable stehen. - Fiir diesen FormMismus haben wir folgendes gezeigt: Es lassen sich in 22 2 M, A, 0 mad a I (die letzten beiden wie oben angegeben) so definieren, dab ffir jede in Z ableitbare Formel in 222 die In terpre ta- t ion dieser Formel herleitbar ist. Die In terpre ta t ion einer zahlentheoretischen F o m e l wird folgendermaBen konstruier t : I n der Formel ersetzen wir, bei den innersten Existenzzeiehen beginnend, jede Teilformel (Ext) 2~(xl) dutch (Ex) (3(x) ^ 2~(x)), usw. entspreehend fiir andere Variable. Naehdem bei einer Zahlenformel diese Vergnderungen durchgefiihrt sind, ist die Inter- pretat ion fertig, falls in der Formel keine freien Zahlenvariablen vorkommen. H a t sonst die vergnderte Formel e twa die Fo rm !~I(xt, Yt, zl), wobei xl, Yl, zl die einzigen freien Variablen sind, so wird zum SehluB noch 92 (Xl, Yt, z0 durch 3(x) ^ 3(Y) ^ 3(z) ~- 92(x, y, z) ersetzt. Es sei nun P(x, n) eine Abkiirzmag fiir (Eu) (~(u) ^ 92(x, 0 l, u) ^ M(O I~, n, u), N(x, n) eine solehe

14 Wilhelm Ackermann

fiir (Eu) (~(u) ^ A (u, 0 n, x) h M (014, n, u). (P(x, n) und N(x , n) entsprechen offenbar auf Zahlen angewandt den t)rfi~ikaten x --~ 2n - - 1 und x ~-- 2n ~- 2). - I n Zukunf t sehreiben wit x ~= y fiir--- (x ---- y) ; mehrere aufeinanderfo|gende Existenzzeichen oderAllzeichen schreiben wit (E x yz), (x yz) , usw. ; f'fir ~(xl) ^ . . . ^ ~ (xa) schreiben wit ~(x 1 . . . . . xu). Ferner sei Ad(x, y, z) eine Abkiir- zung fi ir--- ( E m n v ) (~(m, n, v) ^ P(x, m) ^ P(y, n) ^ A(m, n, v) ^ --, P(z, v)) ^ (x:~ o v y = z ) A (y 4 :0 V x---- z) ^ - - - ' ( E m n v ) (~ ( m , n , v ) ^ N ( x , m ) ^ N ( y , n ) ^ A ( m , n , v ) ^ - -7 N(z,v)) ^ - 7 (En ) (~ (n ) A ( ( P ( x , n ) A N ( y , n ) ) v (N(x ,n) ^ P ( y , n ) ) ) ^ z 4- o) ^ - 7 ( E m n v ) (~(m,n ,v) ^ ( (P(x ,n ) ^ N ( y , m ) ) v (N(x, m) ^ P(y, n ) ) ) ^ A(ra, v, n) ^ - - , P ( z , v)) ^ - - 7 ( E m n v ) (~(m, n , v ) ^ ( (P (x ,n ) ^ N { y , m ) ) v ( N ( x , m ) ^ P ( y , n ) ) ) ^ A(n , v, m) ^ - - , N ( z , v ) ) . A d (x, y, Z) defmiert die Addit ion im Bereiche der positiven und negat iven Zahlen einschlieBlich 0, wobei die positiven Zahlen durch 2 n - -1 , die negati- yen Zahlen dutch 2n -~ 2 vertreten werden. Entsprechend sei MP (x, y, z) eine Abkiirztmg fiir ((x :~ 0 ^ y :~ O) v z -~ O) ^ ~ ( E m n v ) (~(m, n, v) ^ P(x, n) ^ P(y, m) ^ M(m, n, v) ^ -'7 P(z, v)) ^ --7 ( E m n v ) (~(m, n, v) ^ N(x, n) ^ N(y, m) ^ M (m, n, v) ^ - ' 7 P(z, v) ) ^ --7 (E m n v) (~(m, n, v) ^ ( (P(x, n) v iV(y,m) ) v

(N(x, n) ^ P(y, m) ) ) ^ M(m, n, v) A --'7 N(Z, V)). Weiter stehe K(x, y) (die ganze Zahl x ist kleiner als die ganze Zahl y) fiir ( E u v ) (~(u, v) ^ Ad(x, u, y) ^ P(u, v)), S(x, y, z, u) ffir ( E r s t ) (~(r, s, t) ^ Mp(x , v, r) n Mp(u, y, s) ^ Mp(v, y, t) ^ ( (K(r , s) n K(o, t) ) v (K(s, r) ^ K( t , o ) ) ^ (r = s ^ t 4= o ) , B ( x , y , u , v , r , s ) ffir ( E a l c d e f ) ( 3 ( a , b , o , d , e , ]) ^ Mp(u, y, a) ^ Mp(a, s, b) ^ Mp(r, y ,c) ^ Mp(c, v, d) n Ad(b, d, e) ^ Mp(x , v, /) n Mp(f , s, e) n y #: o n v:~ o ^ s ~: o). S (x, y, u, v) und B(x, y,

u, v, r, s) entsprechen den Beziehungen - - - - x < u und x _ u _~ r fiir ganze y v y v s

Zahlen x, y, u, v, r, s. Da P, N , Ad, Mp , K , S und B zahlentheoretische Pr~dikate des Systems Z darsteUen, lassen sic^ die In terpre ta t ionen ihrer in Z ableitbaxen Beziehungen in Z 2 ableiten, insbesondere auch der Satz yore ausgeschlossenen Drit ten, also Formeln wie diese: (x y) (~(x~ y) ~-- K(x, y) v - 7 K(x , Yg.

Wir sind nun ims tande , einen Ausdruck !~(a) (a ist eine reelle Zahl) zu deft- nieren, wobei wir in ~hnlicher Weise vorgehen wie I t f lbert und Bernays ([6], S. 492). Es bedeuten ~t(a), ~2(a), ~a(a), iD4(a), ~5(a), iD6(a) beziig- lich die Formeln (xy) (~(x, y) ~- a xy v ~ axy), (xy) (~(x, y) ~- - - , axy v y =I= 0), ( E x y ) (~(x, y ) ^ axy), ( E x y } (~(x, y) A y 4 : 0 ^ - 7 axy), (x y u v) (~(x, y, u, v) ~ - - " a x y v ---1~(u, v, x, y) v a u v), (xy) (~(x, y) ~ y = O y axy v (Euv) (~(u, v) n v 4 :0 ^ ~ S(x, y, u~ v) ^ ---7 a u v) ). ~(a) wird dann deft- niert durch (Ez) (a ~- ~ u v (~(u, v) ^ z u v) ^ iD1 (z) ^ ~2 (z) ^ ida (z) ^ iD a (z) n ~5 (z) ^ iD~ (z). ~Vir definieren weiter 1 durch ~ x y (~(x, y) ^ S(x, y, 0 I, 0 9. Wit bemerken dazu, dab 1 eine reelle Zahl ist; wir gebrauchen daher fiir 0 ' n icht die Abkfirzung t).

Der Au]bau einer h~heren Logik 15

Satz 1 : ~ (1)

Beweis : Se tz t m a n die Bedeu tung yon ~ ein, so hande l t es sich u m den Beweis yon l~ormeln, die die In t e rp re t a t i on yon in Z ab le i tba ren F o r m e l n s ind; diese s ind daher in 2:3 her le i tbar .

Satz 2 :

Wegen Satz 1 genfigt es zu beweisen : !R (a) A !~ (b) ~ - a ~ b v aee b. Nach der ])ef ini t ion yon !~ e r h ~ t man aus !~ (a) A ~ (b) ; T~y (~(x, y) ; a x y) A T~y (~(x, y); b x y). Nach Regel 1) won 2:2 folgt durch Normalbeweis T~y (~ (x, y) ; (a x y A --7 b x y) v (--~ a x y v b x y) ). Naeh Regel 32) erh~l t m a n Te( (E xy ) (~(x,y) A ( ( a x y ^ - ~ b x y)A (-T a x y A b x y) ) ) . A u s - ~ (E xy ) (~(x ,y) A ( ( a x y ^ - - 7 b x y ) v ( - ~ a x y ^ b x y ) ) ) e rg ib t sich nach 33) wegen der wei teren Voraussetzungen a ~ b, aus der anderen Pr~misse (E x y) (~(x, y) A ( (a x y h --7 b x y) v ( -7 a x y ^ b x y) ) ) erh~l t m a n a :~ b. ] )a aus beiden Pr~missen a ~ b v a :~ b her le i tbar ist, erh~l t m a n die Behaup tung . U m zu zeigen, dab unsere ])efinit ion der reellen Zahlen ausreicht , u m in Z~ die S~tze fiber reelle Zahlen abzulei ten, zeigen wit, dab ein A x iome nsys t e m ffir die reellen Zahlen yon A. Tarski (vgl. [8], S. 154) befr iedigt wird. ])ieses Sys tem h a t die Grundbegriffe ~ , -~, 1. ])as Sys tem, das wir R nennen wollen, kSnnen wir folgendermaBen vol ls t~ndig formal is ieren: Terme sind 1 und Va- r iab le ffir reelle Zahlen. Sind a und 5 Terme, so is t auch a + ~ ein Term. Sind a und b Terme, so s ind a - 5 und a < 5 Pr imformeln , aus denen sich die i ibrigen Formeln durch Anwendung y o n - % ^, v und Exis tenzzeichen fiir reelle Zahlen aufbauen . Grund/ormeln sind a) alle Formeln ffir reelle Zahlen, die du t ch Einse tzung aus al lgemeingii l t igen Formeln des Aussagenkalkfi ls hervorgehen ; ferner b) a ~ a; c) a * ]b v - 7 9,I(a) v 9j(l));d) a = lb v (a < 1)) v (b < a); e)--7 (a < l)) v - - ~ ( b < a ) ; f ) - 7 ( a < I~) v (Ey)(a < y A y < 5) ; g) (Ez) (z = a A- lb); h) (E u v) (~(U) A ~(V) ^ - 7 (u _< v I) v (Ez ) -7 ( E x y ) ( g J ( x ) ^ ~ ( y ) n x # z Ay=~zA(--~(XCZ) V - - ~ ( z < y ) ) ; i ) a + ( b - ? C ) - - - a A - b ) A- r j ) - ~ (a + lb < e + b ) v ( a < e) v ( ~ < Z ) ) ; k ) l < 1 + 1 .

A bleitungsregeln

I . ~ - -7 ~I v ~ I I . ~ v ~(a ) I I I . ~I v - 7 ~ ( x ) ~ v (Ex) ~(x) ~ v--7 (Ex) ~(x)

W i t zeigen nun, dab wi t in ~ , a ~ 5, a -~ b und 1 so definieren kSnnen, dab ffir jede in R ab le i tbare Forme l die I n t e r p r e t a t i o n dieser Fo rme l i n Z 2 able i t - b a r is t . Un te r de r I n t e r p r e t a t i o n einer Forme l fiir reelle Zahlen vers tehen wir das entsprechende wie be im Forma l i smus Z, n u t d a b b ier f iberal l !~(a) ansteUe yon ~(a) geschrieben wird. 1 war oben schon defmier t . W i t defmie- t en a < ~a l s (E x y) (~(x, y) A --7 a x y ^ b x y), lmd a -~ I~ als 2 x y (~(x, y) ^ - - , ( E u v r s ) (3(u, v r s ) ^ - ~ a u v A--~ t~rs ^ B ( x , y , u , v , r , s ) ) .


S a t z 3 : ~ ( a ) ^ ! ~ ( b ) ~ - - a < b v - 7 ( a < b).

Beweis: Nach der Definition yon ~ erhalten wit aus ~ (a) ^ ~ (b) (x y) (~(x, y) ~-- (a x y ^ -7 a x y) ^ (b x y--" b x y) und wegen Regel 1, A (~) und I~egel 32) die Behauptung.

Satz 4: ~ (a) ^ !~ (b) ~- !~ (a -~ b).

!~ (a -~ b) bedeute~ im einzelnen:

1) ~ ( a ~- b), d. h. (x y) (~(x, y) F- (a + b} (x, y) v --7 (a ~- b} (x, y).

Dies ergibt sic^ aus !~ (a) v !~ (b), indem man ~1 (a) und !D 1 (b) benutzt und die Regel 32) fiir A (~) anwendet.

2) ~2 (a ~- b), d. h. (x y) (~ (x, y) ~----7 (a -~ b} (x, y) ^ y 4: 0.

In der Definition yon B(x, y, u, v, r, 8) ist y 4= 0 enthalten.

a) ~a (a -~ b), d. h. (Exy) (~(x, y) ^ (a ~- b} (x, y).

Beweis: Aus der Formel ~ ( x , y , p , q , d , e ) ^ a p q ^ b d e ^ B ( x , g , p , q , d , e ) ^ ~ (u ,v , r , s ) ^ - T a u v ^ --7 b r s ^ B(x , y, u, v, r, s) ^ ~(a) ^ ~(b) ~ 6 t sich ein Widerspruch ableiten; denn es ergibt sieh daraus naeh ~5 (a) und f~5 (b) - 7 S(u, v, p, a) ^ - 7 S(r, s, d, e), was naeh beweisbaren zahlentheoretischen Formeln im Widerspruch steht mit B(x, y, T, q, d, e) ^ B(x , y, u, v, r, 8). Da abet aus !~(a) ^ !~(b) sich (E x y p q d e) (~(x, y, p, q, d, e) ^ a p q ^ b d e ^ B (x, y, p, q, d, e) ergibt, erhalten wir (E xy) (~ (x, y) ^

( E u v r s ) (~(u, v , r , s ) ^---~ a u v ^ - - , b r s ^ B ( x , g , u , v , r , s ) ) ) , d . h . die Behauptung, unter Benutzung der l~egel 7) yon Z2. ttierbei ist natiirlich vorausgesetzt, was aber nach Regel 32) bzw. der Definition yon !~ stimmt, dab fiir alle betrachteten Formeln unter der Voraussetzung i~(a) ^ !~(b) der Satz vom ausgeschlossenen Dritten gilt. Nut in diesem Fall ist in ~:~ der Schlul~ ad absurdum mSglich.

4) ~4(a ~- b), d .h . ( E v y ) (~(x,y) ^ y:~ 0 ^ ( E u v r 8 ) (~(u,v ,r ,~) ^ --~ a u v ^ - T b r s ^ B ( x , y , u , v , r , s ) ) ) .

Dies ergibt sic^ sofort aus ~a(a) und ~a(b).

5) ~5(a + b), d .h . (x y p q) (~(x, y, p, q) ~---7 (a ~- b) (x, y) v - 7 S(p, q, x, y) ^ (a ~- b} (p, q)).

t t ier schlieBt ---7 a u v ^ "-'7 b r s ^ B(p, q, u, v, r , 8) ^ B(x , y, p, q, d, e) ^ S(p, q, x, y) ^ B(g, h, u, v, d, e) ^ a g b ^ ~(a) ^ ~(b) einen Widerspruch ein, so dall man yon (E u v r s) (~(u, v, r, s) ^ - - , a u v ^---" br s ^ B(p ,q , u, v , r , s ) ) ^ S(p, q, x, y) auf ( E u v r 8 ) ( ~ ( u , v , r , 8) ^ --7 a u v ^ - 7 b r ~ ^ B(x , y, u, v, r, s)) sehlieBen kann, und damit die Behauptung erh~lt.

6) !D~(u + b), d .h . (x) (y) (~(x, y) ~ y : 0 v (a Jr b} (x, y) v (E p q) (~ (p, q) ^ q • 0 ^ -7 S (x, y, p, q) ^ - 7 {a + b} (P, q))).

Der Aufbau einer h6heren .Logik 17

Die Behaup tung ergibt sich aus ~e (a) und ~6 (b).

Satz 5: I s t eine Fo rme l des Sys tems R eine Tautologie , so is t ihre I n t e r p r e t a - t ion in ~2 her le i tbar . - Das bedeu te t die Ab le i t ba rke i t der I n t e r p r e t a t i o n der Grundformeln a) yon R.

Wir bemerken ZUl~chst, dab es fiir die I n t e r p r e t a t i o n von F o r m e l n ~I(al . . . . . an) nfit bei iebigen Termen a 1 . . . . a~l, offenbsr geniigt , wenn wir die In - t e rp re t a t i on yen 9](a I . . . . . an) beweisen. Unseren Satz beweisen wir in zwei E t a p p e n .

1) I s t 2 eine Fo rme l des Sys tems R, so is t die I n t e r p r e t a t i o n yon ~I ^ --" 2[ ab le i tbar . Das wird dureh Induk t ion nach dem F o r m e l a u f b a u bewiesen. Ff i r Pr imfor - meln 2 is t der Satz r icht ig wegen der bewiesenen S~tze 2 und 3. Wenn er ffir eine Forme l ~ gilt, gi l t er auch fiir - 7 ~ . Wenn er fiir ~ und g gilt, g i l t er auch fiir ~ v ft. Dies ergibt sich daraus , dab m a n naeh l~egel 1) von ~ ^ --7 a u f - 7 ~ v ~ ! 3 , von ( ~ v ~ ~ ) v ( ~ v - 7 ~ ) a u f (~3 v ~ ) v - - ~ ( ! 3 v if) schliel]en darf . I s t ferner die I n t e r p r e t a t i o n yon 9X(x) v ~ ~(x) (mi t oder ohne weitere freie Variable) her le i tbar , so gem~B Rege132) die I n t e r p r e t a t i o n yon (Ex) ~(x) v ~ (Ex) ~(x).

2. I s t die Forme l ~I des Sys tems R eine Tautologie, so is t die I n t e r p r e t a t i o n yon ~C her le i tbar . Nach 1) is t die I n t e r p r e t a t i o n yon ~ v ~ ~[ her le i tbar . En th~l t ~ keine freie Var iable und ist ~ die I n t e r p r e t a t i o n yon ~, so is t also auch ~ v ~ ~ her- le i tbar . Aus ~ v ~ ~ erh~lt man nach l~egel 1) ~ . EnthKlt ~t freie Var iable , so ha t die In t e rp re t a t i on yon ~[ die F o r m ~(xi) A . . . A ~(Xn) ~- 93. Naeh 1) is t !R(xl) ~ . . . ~ ~(Xn) ~- ~ v ~ ~ her le i tbar , und wegen der Regel 1) yon

~ auch ~(xi) ~ . . . ~ ~(xn) ~ ?~. Fi i r das weitere bemerken wir, dab infolge der Einschr~nkungen, die wir

beim urspr i ingl ichen Sys tem ~ vo rnahmen (Einffihrung der Grundformel I , 4c und Wegfall der Grundformeln I , 4 a und I , 4b) und die auch ffir ~ gelten, der 1Jbergang yon einer Forme l ~ ~-- ~ zu ~ v ~[ ~-- ~ v ~ n icht i m m e r vorgenommen werden kann ; wohl aber kann m a n das tun, wenn gleichzei t ig

v - 7 ~ und ~ v - 7 ~ her te i tbar ist. Ebenso is t der SchluB yon (Ex) (92(x) v ~(x) ) auf (Ex) ~(x) v (Ex) ~(x) nur dann gfiltig, wenn gleichzeitig (Ex) ~[(x) v ~ (Ex) ~[(x) und (Ex) ~(x) v - 7 (Ex) ~(x) her le i tbar ist. Bei der Anwen- dung dieser Schliisse im folgenden sind diese Bedingungen immer erfiillt , auch wenn dies n icht ausdrficklich erw~hnt sein sollte. Auch schon vorher h a b e n wi t dies immer beachte t .

Satz 6: Auch ffir die fibrigen Grundformeln yon R sind die I n t e r p r e t a t i o n e n her le i tbar . Gehen wir die einzelnen Grundformeln da rau fh in durch!

b) !~(a) ~- a = a is t her le i tbar , da schon a ---- a her le i tbar ist,

e) !~(a) ^ !R(b) ~-- a 4= b v --7 ~(a) v ~(b).

2 Mathematische Logik 7/1-2

18 Wilhelm A ckermann

Wir behandeln den Fall, dag ~ (a) auger a keine freie Variable enthglt . Die Behandlung der iibrigen F~lle ist analog. Aus ~(a) A ~(b) lggt sich ablei ten ((a + b v - T ! ~ ( a ) ) v (a---- b A ~(a)) A (9~(b) v - 7 9~(b)) (vgl. Sa tz5) . Da nach RegeI 25) a ~ b A !~(a) ~- !~I(b) gilt, ha t m a n auch a ~= b v - 7 2(a) v 9~(b).

d) i~(a) A ~l(b) ~-- a = b v ( a < b) v (b < a).

Beweis : ^ u s !~ (a) A i~ (b) erh/ilt man laut Definition yon !~(x y) (~(x, y) ~- ( a x y v - 7 a x y) A (b x y v --7 b x y), und unter Benutzung yon Regel 1) A (~) und Regel 32) T O ( ( E x y ) ( ~ ( x , y ) A ( ( -7 a x y A b x y ) v ( a x y A ~ b x y ) ) . M i t H f l f e v o n 33) e r h ~ t m a n a - - - - b A (E x y) (~(x, y) A - - ~ a x y ^ b x y ) A (E x y) (~(x, y) A a x y A --7 b x y), d. h. die Behauptung.

e) ~(a) A ~(b) e - - 7 ( a < b) A - 7 (b < a).

Beweis: ^ u s ( E x y ) (~(x, y) A --7 a x y A b x y ) und ( E u v) (~(u, v) ^ - 7 b u v h a u v ) e r h ~ l t m a n ( E x y u v ) ( ~ ( x , y , u , v ) A - ~ a x y A a u v A - - ~ b u v A b x y) (Regel 15). ^ u s i~(a) ^ 9l(b) erhal ten wir !35 (a) A ~35 (b), mi th in also ~ ( x , y , u , v ) h - - ' a x y A a u v ^ " - - : b u y A b x y ~ - - - - ~ S ( u , v , x , y ) A

S(x, y, u, v). Daher crh~It m a n aus den ersten Pr/~missen (E x y u v) (~(x, y, u, v) A - 7 S(u , v, x, y) A --7 S(x , y, u, v) ). Nun ist das Gegenteil der letzten Formel her- le i tbar ( In terpre ta t ion einer zahlentheoret ischen Formel) . Da ferner auch

(a) A i ~ ( b ) ~ - ( E x y ) ( ~ x , y ) A - - T a x y A b x y ) v - 7 (E x y) (~ (x, y) A a x y A b x y ) und !~ (a) A 9l (b) F- ( E u v ) (~ (u, v) A --7 b u y h a u v ) V (E u v) (~(u, v) h --7 b u v A a u v) able i tbar ist, erhal ten wit !~(a) A !~(b) - 7 (E x y) (~(x, y) A "--" a x y ^ b x y) v - - , (E u v) (~(u, v) A - 7 b u y A

a u v), d. h. die Behauptung.

f) !~(a) A ~(b) ~----- ( a < b) v (Ez) (~(z) A a < z A Z < b)

B e w e i s : a < b ^ !~ (b) ~- (E x y) (~ (x, y) h - - T a x y A b X y A y 4 = 0 ) . ! ~ ( a ) A ~ ( x , y ) A - - - ' a x y h y ~= O t - - ( E u v ) (~ (u , v ) AV 4= 0 A - ~ S ( x , y , u , V ) A - T a u v ) . d a ~ ( a ) ~- ~5(a ) . ~ ( a ) A !~(b) A a < b~-- ( E u v ) (~(u,v) A - - , a u v A S ( u , v , u , v ) ) , ^ (E u v x y ) (~(u, v , x , y ) A - ~ S ( x , y , u , o ) A b x y ) , da (u v) (~ (u, v) ~-- S (u, v, u, v) ) als In te rp re ta t ion einer r ichtigen zahlentheoret ischen Formel able i tbar ist. Die letzte Formel l~gt sic^ so ver~ndern: !R(a) A ~ ( b ) A a < b ~ - ( E u v ) ( ~ ( u , v ) ^ - 7 a u v A { 2 v s ( ~ ( r , s ) ^ S(r , s ,u ,v ) ) } (u,v)) A ( E u v x y ) (3(u ,v , z ,y ) A--~ {~VS (~(r,S) A S(r,s, u, v))} (:r y) A b x y). Fiir 2 r s (~ (r, s) A S (r, s, u, v)) l~Bt sic^ die Eigenschaft i~ nachweisen. Un te r Beriicksiehtigung der Definition yon !~ erh/ilt m a n

!~(a) A ~(b) ^ a < b ~ - - ( E z ) ii~(z) A a < z ^ z < b ) ,

Der A u f b a u e iner hSheren L o g i k 19

ill(a) A ill(b) ~----7 (a < b) v (a < b), also

!~(a) A !~(b) ~ - - 7 (a < b) v (~(a) A !~(b) A a < b)

D a r a u s die B e h a u p t u n g .

g) !~(a) n !~(b) ~ - (E z) (!R(z) ^ z = a ~- b.

Dies e rg ib t sich sofort aus Satz 4.

h) (E u v) (~(u) ^ ~(v) ^ ~(u) ^ ~(v) ^ - 7 (u_< v9 v (E z) (~(z) ^ ( E x y ) (~ (x ) A !~(y) h !~(x) A ~ ( y ) A X 4: Z^ y :~ Z h (--7 ( X < Z) V

- - ~ ( Z < yl) ) ) .

W i r beweisen zun~chs t eine Hi l fs formel :

- 7 ( E r ) (!~(r) ^ ~ ( r ) ) v --7 ( E u v ) ( 3 ( u , v ) A --~ ( E r ) (!~(r) A ~3(r) n --7 r u v)) v !R(2 u v (3(u, v) ^ --7 (E r) (!~(r) h ~3(r) A ---1 r u v)).

Die B e h a u p t u n g schlieBt die fo lgenden F o r m e l n wegen der Def in i t ion y o n !~ ein :

1) ~ ( u , v ) ~ - ( ~ ( u , v ) ^ ---7 ( E r ) ( ~ ( r ) n fS(r) n - 7 r u v ) ) ^ --1 ( ~ ( u , v ) ^

--7 ( E r) ( ~ ( r ) A ~3(r) ^ --7 r u v) )

Beweis: !~(r) ~-- ~3(r) v --7 ~ ( r ) (Satz 5). !~(r) ~ - (~(a, v) ~ - r u v v - 7 r u v ) (Def in i t ion y o n !R). Aus d e m l e t z t en erhi~lt m a n (vgl. [1], S. 43, V I I I u n d I X ) (F ~-- (F ~-- 3(u, v))) ~-- (!~(r) ~ - r u v v - 7 r u v), u n d da ~(a) ~-- (F ~ - ~ (a)) (vgl. IV, S. 98), e rha l t en wir 3(u, v) ~-- (~t(r) ~-- r u v v - 7 r u v). Mit Hi l fe der Regel 1) erh~l t m a n ~(u, v) ~-- (i~(r) ~-- (~ ( r ) A ---7 r u v) V

(~3 (r) ^ - 7 r u v)), u n d d a n n m i t Hilfe y o n 32) die B e h a u p t u n g .

2) F t i r die zweite in der Def in i t ion y o n ~ en t h M tene B e h a u p t u n g geni ig t es zu beweisen : ( E u v ) ( ~ ( u , v ) h ~ ( E r ) ( ~ ( r ) ^ ~ ( r ) ^ ~ r u v ) ) v

( E u v) (~ (u , v) A T ( E r) (~R(r) ^ ~ ( r ) ^ - ~ r u v) ).

Dies erhi~lt m a n sofort n a c h Regel 32).

3) - 7 (E r) (~(r ) a ~3(r)) v (E u v) (3(u, v) ^ (E r) (91(r) ^ ~ ( r ) ^ - 7 r u v)).

Beweis : D a ~ ( r ) ~ - ( E u v) (~ (u , v) ^ - - , r u v), so e rhMten wir aus (E r) (!~l(r) ~.,, ~ ( r ) du rch Norma lbewe i s (E u v) (~(u, v) ^ (E r) (~( r ) n ~3(r) A

--7 r u V) ), w o m i t der Beweis geffihrt ist, da ffir die in der B e h a u p t u n g s tehen- den P r i m b e s t a n d t e i l e der Satz yore ausgeschlossenen D r i t t e n gilt .

4) ~(x, y, u, v) ~-- (E r) (91(r) A ~ ( r ) ^ - ~ r x y) v ~ S ( u , v, x , y ) v ~ ( E r)

(~(r) A ~ ( r ) A--7 r u v)

Beweis: Die B e h ~ u p t u n g e rg ib t sich daraus , d ab

3(x , y , u , v) ~-- (91(r) A ~ ( r ) A --7 r u v A ~ S ( u , v, x , y) ~ - - - 7 r x y)

gemiiB der B e d i n g u n g ~ fiir !~.

5) ~(x, y) ~ - y = 0 v ~ (E v) (!)l(r) ^ ~ ( r ) ^ - 7 r x y ) v (E u v) (3(u, v) A V 4: 0 ~ - ~ S ( x , y , u , v) A ( E r) (~l(r) ^ ~3(r) ^ - ~ y u v) ).

2*


Beweis: Die Formel ergibt sieh, wenn m a n die Bedingung ~ ffir iR berfiek- siehtigt. Aus 1)-5) erh~tt m a n leieht mit Benutzung der Regeln 28) und 1) yon ~2 und der Definition yon i~ den Hilfssatz. Wit beweisen jetzt h). Wi t bezeiehnen ( g u v) (i~ (u) A itt (v) A 9J (U) A ~ (V) A --7 (U < V) ) zur Abkiirzung mit (D, --7 ( E x y ) (!R(x) ^ ~(y) A 9~(x) A ~(y) A xee z Ay4= z A (--7 ( X < Z) V ---7 (Z < y)) zur Abkfirzung mit 3}(z), femer 2 u v (~(u, v) A --7 (E r) (~(r) ^ ~(r ) ^ - 7 r u v)) zur Abkfirzung m i t t . U m h) zu beweisen, geniigt es, ~ v (gt (t) A 3} (t)) zu beweisen. Nun gilt

(~ ~ (E r) (~t(r) ^ ~ ( r ) ) ^ (E u v) (3(u, v) ^ - 7 (E r) (~t(r) ^ ~(r) ^ ---,ruv)).

Aus dem Hilfssatz erh~lt m a n daher @ v ~ (t), so dab nur 63 v $) (t) zu beweisen bleibt. ~ (l) war

- 7 ( E x y ) (~R(x) A ~ ( y ) A 9~(X) A !3(y) Ax4= t ^ y 4= t A ( - 7 ( X < t ) ^ --7 ( t < y ) ) .

D a n u n ~ ( x ) A ~ ( t ) A X~: t ~ - - ( x < t ) V ( t < x ) n n d ! R ( y ) ^ !~(t) ^ y 4 = t ~-- (t < y) ^ (y < t) riehtig ist (vgl. Satz 6, d) kSnnen wit 3} (t), ffir das ja der Satz yore ausgesehlossenen Dri t ten gilt, dutch

- 7 ( E x y ) (!~(x) A !~(y) A ~(X) A ~(y) A (t < X V y < t)) ersetzen.

y < t heiBt naeh Definition von t und < ( E u v ) (~(u,v) A - - - T y u v n - 7 ( E r ) (!R(r) A ~(r) n --7 r u v ) ) . D a aber welter !~(y) ^ !D(y) n --7 y u v ~-- (E r) (~(r) n ~(r) ^ --I r u v) richtig ist, kSnnen wir weiter 3} (t) durch--~ (E x y) (!~ (x) A !~ (y) A 9~ (X) A ~ (y) A t < x) ersetzen. Dies bedeutet ~ (E x y u v) (~ (x) A i~ (y) A 9~(X) A ~(y) ^ ~(U, V) ^ ( E r ) ( ~ ( r ) A ~ ( r ) A - - - ~ r u v ) A X U V . Hierffir kSnnen ~ r die st~rkere Behauptung --~ (E x r) (~(x) h !~(r) A 9d(x) h ~(r) A r < x) schreiben, wofiir wir aueh --7 ( E x r ) ( ~ ( x ) A !it(r) A 9j(X) A ~(r) A --7 (x = r)) setzen k6nnen. Dami t geht unsere ]3ehauptung in die Formel ~ A --7 @ fiber, die nach Satz 5 ableitbar ist.

i) !~(a) ^ !R(b) A iR(C) ~-- a ~- (b -F c) = (a A- b) q- c.

Beriieksiehtigt man die Bedeutung yon + , so erh/~lt man die Behauptung mit Hilfe yon Regel 33).

j) ~R(a) A !~(b) A ~(C) A ~(d) v - - - 7 (a q- b < c q- d) ^ ( a < c) A ( b < d)

Wir beweisen zunKchst den Hilfssatz:

~(a) ^ ~R(b) A ~(c) ~-- -7 (a < b) v (a q- c < b q- c).

Beweis: Zuniichst 1/iflt sic h~(c) A ~(p, q) h q 4= 0 ~-- (E r s a b) (~(r, s, a, b) ^ - '7 (r s ^ (a b A B(a , b, r, s, p, q)) beweisen, da sic^ aus dem Gegenteil ein

Der Au fbau e~ner hi~heren Zogik 21

Widerspruch konstruieren l~$t lind unter den !R-Voraussetzungen der Satz vom ausgeschlossenen Dri t ten gilt. - Aus a < b ents teht durch Normalbe- weis ( E x y ) (3(x,y) A--7 a x y A b x y ) , aus 3(x ,y) A - - T a x y A b x y A ~R (b) wegen ~36 (b) ( E u v ) ( ~ ( x , y , u , v ) A ---7 a x y ^ b x y A - 7 a u v A b u v

A - 7 S(X, y, u, v) A V 4= 0). Aus dem ~Virku~gsbereich yon (E u v) ergibt sich in Verbindung mit ~R (c) und dem zuerst angef/ihrten Satz (E r s a b c d) ( ~ ( r , s , a , b , c , d ) A - ~ c r s A c a b A B ( a , b , c , d , r , s ) h B ( x , y , c , d , u , v ) .

Aus ~ ( x , y , u , v , r , s , a , b , c , d ) A--T a x y ^ b x y A - - ~ a U V A - - - ' C r s A c a b A B ( a , b , c , d , r , s ) A B(x , y, c, d, u, v) ergibt s i c h a + c < b + c.Wir beweisen nun j). Zun~chst haben wir !R (a) A ~ (b) A ~R (C) A ~ (d) ~- ((a < c) v (a = c ) v ( c < a ) ) A ( ( b < d ) v (b = d ) v (d < b) ). Weiter gilt a = C A b = d ~ - a + b = c + d , a = c A ( d < b ) ~ - c + d < a + b ( n a c h d e m H i l f s - s a t z ) , c < a A b = d ~ - - - c + d < a + b , c < a A d < b ~ - - c + d < a + b. Daraus l~Bt sich dann j) beweisen.

k) l < l + l .

Das ergibt sich daraus, dab --7 10 ' f 0 ~ und { 1 + 1 } (0 t t , 0 I) beweisbar ist. - Da- mit haben wit gezeig~, dab die In terpre ta t ionen aller Grundformeln yon R in Z 2 ableitbar sind. ~,Vir mfissen jetzt zeigen, dab diese Eigenschaft der Formeln auch nach An- wendung der Ableitungsregeln erhalten bleibt. Fiir den SehluB yon ~ und --- ~ v ~ a u f ~ ergibt sich das daraus, dab man naeh Regel 1) yon Z 2 yon 9~ A ( ~ 9~ V ~) auf ~3 sehlieBen darf. Handel t es sieh u m den l~bergang yon ~ v (~) zu ~ A (Ex) ~(x), so li~Bt sieh yon ~(a) auf (Ex) (~(x) A ~5(x)) schlieBen und wegen Satz 5) aueh yon ~ v ~(a) auf ~I v (Ex) (~(x) A ~(X)). SehlieBlich be t rachtenwir den SehinB yon ~I v --7 ~(x) auf ~ v ~ (Ex) ~(x), wo ~ nieht die freie Variable x enth/~It. ~ e h m e n wit an, dab x die einzige in der Oberformel vorkommene freie Variable ist. Die In terpre ta t ion der Ober- formel ha t die l~orm ~(x) ~- ~il v - 7 ~3~(x). Hieraus erhglt man ~R(x) A ~(x) ~-- ~l und (Ex) (~(x) A ~l(x)) ~-- ~x. Aus der letzten Formel erhglt man (Ex) (~R(x) A ~l(X)) ~-- ~l V - 7 (Ex) (~(x) A ~ (X)). I )a naeh Satz 5 ~ v --7 ~ ableitbar ist, gilt das gleiehe fiir (Ex) (~(x) A ~ ( x ) ) v ---" (Ex) (~(x) ^ ~ ( x ) ) ~-- ~ v - 7 (Ex) OR(x) ^ ~3~(x)). Da ferner nach Satz 5 (Ex) (~(x) A ~ ( x ) ) v ~ (Ex) (~(x) A ~3~(x)) ableitbarist , erhglt m a n a u c h ~ v --7 (Ex) (~ (x) ~ ~ (x)), d. h. die In te rpre ta t ion tier Unterformet. !~alls bei dieser l~egel mehr freie Variable vorkommen, ist das Verfahren en*spreehend. - Damit ist gezeigt, dab man die Analysis in der gesehilderten Weise ableiten kann.

l~brigens hgt ten wit bei diesem Beweise auch anders vorgehen kSnnen, indem wit ein kombiniertes System der einfachen Zahlentheorie und des Kal- kills mit zahlentheoretischen Pr~dikaten aufstellten mad zeigten, dab die p~ssend definierte In terpre ta t ion der zugehSrigen ableitbaren Formeln dar- in beweisbar wi~re. U m die Ableitbarkeit der Analysis im einzeinen brauch- ten wit uns dann nieht zu kiimmern, da j~ der voUe klassische Kalkiil ilmer-

2 ~

22 Wilhe lm Aekermann

halb des betreffenden Gebietes begri indbar w~re mad wit uns nur an einen der bew~hrten Wege zur Begr i indung der Analysis anzuschliel3en brauehen (Vgl. [6], Supplement IV).

[1] W . Aekermann. Zur Axioma~ik der Mengenlehre. Math. AnnMen 131 (1956). S. 336-345.

[2] W. Aekermann. Widerspruchsfreier Aufbau der Logik I. Typenfreies System ohne tertium non datur. Journ. of Symb. Logic 15 (1950), S. 33-57.

[3], [4] W. Ackermann. Ein typenfreies System der Logik mit ausreiehender mathe- matischer Anwendungsf~higkeit. Archiv f. mathem. Logik u. Grundlagenfor- schung. Tell I, Heft 4/1-2 (1958). S. 1-26; TeiI II, Heft 5/3-4 1960. S. 96-111.

[5] W. Aekermann. Grundgedanken einer typenfreien Logik. Essays on the Found- ation of Mathematics (Festschr. f'tir A. Fraenkel), Jerusalem 1961, S. 143 bis 155.

[6] D. Hilbert u. P . Bernays. Grundlagen der Mathematik, II . Bd., Berlin 1939.

[7] K . 8chiCle. Beweistheorie. Berlin-GSttingen-Heidelberg 1960.

[8] A . Tarski. Einfiihrung in die mathematische Logik und in die Methodologie der Mathematik. Wien 1937.

der aufbau einer höheren logik

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