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I.E.S. JUAN DE HERRERA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Curso 2016-‐‑2017 Pág. 1 de 15 MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 3º ESO

Unidad 6 – Ecuaciones

Pedro García Moreno

UNIDAD 6

ECUACIONES

1. RAÍZ DE UNA ECUACIÓN

Actividades de clase

1.1. Comprueba si 𝑥 = 5 es solución de alguna de estas ecuaciones sin resolverlas:

𝐚. 3𝑥 − 7 = 𝑥[ − 10 𝐛. 𝑥] − 𝑥[ = 100 𝐜. 𝑥 − 23 + 𝑥 =

𝑥 + 12

𝐝. 2abc = −16 𝐞. 3𝑥 + 1 = 4 𝐟. 1𝑥

b[

=125

1.2. Comprueba si 𝑥 = 1 o 𝑥 = −1 son raíces de la ecuación: −𝑥] − 𝑥[ − 2𝑥 + 4 = 0

1.3. Calcula la expresión de a de modo que cada par de ecuaciones sean equivalentes:

𝐚. 4𝑥 − 1 = 𝑥 + 8 ↔ 𝑎𝑥 = 9

𝐛. 5 𝑥 + 1 = 0 ↔ 3𝑥 + 2 = 𝑎

Actividades de refuerzo

1.4. ¿Es 𝑥 = 3 o 𝑥 = 2 solución de alguna de estas ecuaciones?

𝐚. 3 − 𝑥5 +

𝑥3 =

13 𝐛. 14 − 𝑥 = 4 𝐜. 2c + 2cba − 2cqa = −4

𝐝. 2 − 𝑥 [ + 3𝑥 = 𝑥[ − 1

1.5. CDI-‐‑13 Verifica si es cierto que 𝑥 = −1 es solución de la ecuación: 3 − 𝑥2 + 3 =

1 − 2𝑥3 − 4𝑥





1.6. Comprueba si 𝑥 = 12 es solución de la ecuación 6𝑥

[ = 𝑥 + 1. ¿Lo es 𝑥 = −1 2?

1.7. Calcula la expresión de “a” de modo que cada par de ecuaciones sean equivalentes:

𝐚. 2𝑥 = 4 ↔ 6𝑥 + 𝑎 = 0

𝐛. 2𝑥 + 8 = 18 ↔ 3𝑥 = 𝑎

2. ECUACIONES DE 1º GRADO


2.1. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado sin denominador:

𝐚. 𝑥 + 1 − 𝑥 − 7 = 2 𝑥 − 2 + 𝑥 − 5

𝐛. 3 2𝑥 + 4 − 6 5 + 2𝑥 = 6𝑥 + 2 − 7𝑥

𝐜. 22 − 2 18 − 𝑥 − 3 15 − 𝑥 + 9 − 8 𝑥 − 10 = 0

WIRIS Resuelve las ecuaciones del ejercicio 2.1 mediante la aplicación WIRIS. Accede a la

aplicación WIRIS a través de www.herramientas.educa.madrid.org/wiris

Recuerda que debes abrir la pestaña “Operaciones” y la opción “resolver ecuación”. Introduce la

ecuación en los huecos que te habilita y clica “ = “





2.2. Resuelve las siguientes ecuaciones:

𝐚. 2𝑥 𝑥 + 3 + 3 − 𝑥 [ = 3𝑥 𝑥 + 1

𝐛. 4𝑥 − 3 4𝑥 + 3 − 4 3 − 2𝑥 [ = 3𝑥

2.3. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado con denominador:

𝐚. 7𝑥 − 36 −

3𝑥 − 14 =

5𝑥 − 14 𝐛. 5 −

5 − 3𝑥4 =

2𝑥 − 76 + 𝑥

𝐜. 3𝑥 − 25 −

3 𝑥 + 110 =

3 − 𝑥4 −

910 𝐝.

𝑥 𝑥 + 12 −

2𝑥 − 1 [

8 =3𝑥 + 14 −

18

2.4. He pagado 14,30 € por un bolígrafo, un cuaderno y una carpeta. Si el precio de la carpeta es

5 veces el del cuaderno y este cuesta el doble que el bolígrafo, ¿cuál es el precio de cada artículo?

2.5. Un padre de 43 años tiene dos hijos de 9 y 11 años. ¿Cuántos años han de transcurrir para

que, entre los dos hijos, igualen la edad del padre?

2.6. En un triángulo, el ángulo menor mide la mitad que el ángulo mediano, y el ángulo mediano,

la tercera parte que al ángulo mayor. Halla la medida de los tres ángulos.

2.7. Álvaro y Yago han comprado dos videojuegos que tenían el mismo precio, pero han

conseguido una rebaja del 16 % y del 19 %, respectivamente. Si Álvaro pagó 1,26 más que Yago,

¿cuál era el precio que tenía el videojuego?






2.8. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado sin denominador:

𝐚. − 𝑥 + 1 + 𝑥 − 3 + 𝑥 + 7 = 20

𝐛. 3𝑥 − 2 𝑥 + 3 = 𝑥 − 3 𝑥 + 1

𝐜. 2𝑥 + 7 − 2 𝑥 − 1 = 3 𝑥 + 3

𝐝. 𝑥 + 1 [ − 𝑥 = 𝑥[ + 𝑥 − 4

𝐞. 2𝑥 − 3 [ + 𝑥 − 2 [ = 3 𝑥 + 1 + 5𝑥 𝑥 − 1

2.9. CDI-‐‑14 Resuelve la ecuación y comprueba después el resultado 2𝑥 − 15 = 1 −

3 − 𝑥2

2.10. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado con denominador:

𝐚. 𝑥 − 32 + 𝑥 =

2𝑥 − 133 + 2 + 𝑥 𝐛. 𝑥 −

𝑥 + 15 = 𝑥 +

𝑥2

𝐜. 5 +72 𝑥 +

56 + 𝑥 = −

35 − 𝑥 𝐝.

𝑥 + 12 +

5 + 𝑥6 = 1 +

9 − 2𝑥3

𝐞. 7 +5𝑥3 −

12𝑥 −

712 = 12 −

4 − 3𝑥8 𝐟. 2𝑥 −

𝑥 − 32 = 𝑥 ∓

4 + 𝑥3

𝐠. 5𝑥8 − 𝑥 − 20 =

−2𝑥 + 186 𝐡.

3 𝑥 + 14 −

𝑥 + 36 + 𝑥 = 2𝑥 +

3 − 7𝑥12

2.11. CDI-‐‑15 El triple de la edad de Luis es igual a la edad de María más 6 años. Luis tiene 12 años.

¿Cuántos años tiene María?

2.12. CDI-‐‑14 En un partido de baloncesto, un “alero” del equipo ha conseguido doble número de

puntos que el “base”. El “pívot” ha conseguido tantos puntos como los otros dos juntos. Entre los





tres han sumado 72 puntos. Halla razonadamente el número de puntos que ha obtenido cada

uno.

2.13. La base de un rectángulo es doble que la altura, y el perímetro mide 78cm. Calcular las

dimensiones del rectángulo.

2.14. Sabemos que el perímetro de un rectángulo es de 50 m y que la base es 5 m más larga que

la altura. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?

2.15. Calcular la longitud de los lados de un triángulo isósceles, sabiendo que el perímetro mide

50 cm y que el lado desigual es 7 cm menor que uno de los lados iguales.

2.16. En un triángulo isósceles, cada uno de los lados iguales es 5 cm más largo que el lado

desigual. El perímetro mide 55 cm. ¿Cuánto mide cada lado?

2.17. Los padres de Ana tienen una finca rectangular de 200 m de largo por 150 m de ancho.

Desean colocar una piscina en la esquina superior derecha, de forma que el terreno que ocupe

esta, que incluye la piscina en sí más una zona alrededor para tomar el sol, sea un rectángulo

triple de largo que de ancho y con una superficie aproximada de 1 200 m2.

a. Haz un dibujo que represente el problema.

b. ¿Cuáles son las dimensiones del recinto de la piscina?





c. Si quisieran vallar toda la finca, ¿cuántos rollos de alambre metálico, de 35 m cada rollo,

necesitarían? ¿Y cuál sería el presupuesto para hacerlo si un metro de ese alambre vale

50 euros?

d. ¿Qué superficie de finca, en hectáreas, les quedará libre para edificar una casa con jardín?

2.18. Me faltan 5 euros para comprar un libro. Si tuviese el doble me sobrarían 10 euros. ¿Cuánto

dinero tengo y cuánto cuesta el libro?

2.19. Juan tiene 13 años, su hermano Iván 17 años y su padre 44. ¿Cuántos años han de pasar

para que entre los dos hijos igualen la edad del padre?

2.20. En un Instituto de E.S.O. se pregunta cuántos alumnos hay y el director responde: Entre el

primer y segundo curso tienen la mitad de los alumnos del Instituto; en el 3º curso hay 50

alumnos; en el 4º curso 1/3 del total. Hállese el total de alumnos.

2.21. CDI-‐‑12

a. Si al triple de un número se le resta 6 el resultado es 18. Halla razonadamente dicho

número

b. La suma de tres números enteros consecutivos es 36. Calcula razonadamente el primero

de ellos.

2.22. Mi abuelo guardaba un cofre con monedas de plata en el trastero de la casa del pueblo. Al

abrirla, encontré un rollo de papel en el que se podía leer lo siguiente: “Si gastas la tercera parte





del total y después la séptima parte de lo que queda, aún te sobrarían tres monedas más la mitad

de las que ves en el cofre”. ¿Cuántas monedas había en el cofre?

2.23. Se ha plantado 1/5 de la superficie de una huerta con cebollas; 1/15 con patatas; 2/3 con

judías y el resto, que son 240 m2, con tomates. ¿Qué superficie tiene la huerta?

2.24. La suma de las edades de los cuatro miembros de una familia es 108 años. El padre tiene 4

años más que la madre. La madre tuvo su primer hijo a los 23 años y el segundo a los 25. ¿Cuál

es la edad de cada uno?

2.25. Sonia se ha comprado un libro y un disco que tenían el mismo precio, pero que han rebajado

un 15 % y un 10 %, respectivamente, cuando ha ido a pagar. Si se ha ahorrado 9 €, ¿cuánto

costaba cada producto?

2.26. Durante la segunda guerra mundial, en una batalla, de un destacamento del ejército ruso

murieron la cuarta parte de sus soldados, quedaron heridos la quinta parte, fueron hechos

prisioneros la mitad, salvándose solamente 500 ¿Cuántos soldados había en ese destacamento?





3. ECUACIONES DE 2º GRADO


3.1. Resuelve, cuando sea posible, las ecuaciones de segundo grado y comprueba las soluciones:

𝐚. 2𝑥[ − 3𝑥 + 2 = 0 𝐛. 𝑥[ − 10𝑥 = −25 𝐜. 𝑥[ + 𝑥 + 3 = 0

3.2 Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado sin utilizar ninguna fórmula:

𝐚. 4𝑥[ − 36 = 0 𝐛. 𝑥[ − 12𝑥 = 0

𝐜. 100 − 16𝑥[ = 0 𝐝. 𝑥 − 4 𝑥 + 8 = 0

3.3. Resuelve las ecuaciones:

𝐚. 𝑥 + 4 [ − 2𝑥 − 1 [ = 8𝑥

𝐛. 𝑥 𝑥 − 2 −𝑥 + 23 −

𝑥 − 2 𝑥 + 22 = 𝑥 − 2 [ − 4

3.4. El cristal rectangular de una puerta mide 120 cm más de alto que de ancho y su superficie

mide 10.800 cm2. Calcula cuánto miden los lados del cristal.

3.5. Si al producto de un número natural por su siguiente le restamos 31, obtenemos el quíntuple

de la suma de ambos. ¿De qué número se trata?





3.6. Estas dos figuras representan dos terrenos de la misma superficie. En cada una se ha

construido una vivienda, y el resto de

la parcela se ha dedicado a jardín.

a. ¿Cuál es el valor de x para que

el área de ambas parcelas sea

la misma?

b. ¿Cuál es el área de cada casa para ese valor de x? ¿Y de cada jardín?


3.7. Resuelve, cuando sea posible, las ecuaciones de segundo grado y comprueba las soluciones:

𝐚. 𝑥[ + 9𝑥 + 20 = 0 𝐛. 𝑥[ + 4𝑥 + 4 = 𝐜. 6𝑥[ = 7𝑥 + 3

3.8. Determina el número de soluciones de las siguientes ecuaciones sin necesidad de

resolverlas:

a. 0523 2 =−+ mm b. 0532 =++ pp c. 036244 2 =++ xx

3.9. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado sin utilizar ninguna fórmula:

a. 273 2 =x b. 23xx =

c. 052 2 =− xx d. ( ) 032 2 =−x

e. ( ) ( )23 22

−−+−− xx = xx 2

x f. ( )( ) ( )2

9134

4545 2 −−=

+− xxx

g. ( ) 032 =−xx






a. ( )( ) ( ) 0513232 =−+−+− xxxx b. ( )( ) ( )( ) 811312 −−+=−+ xxxx


a. 091

91

32 2 =+− xx b. 0

61

32 2 =+− x

c. 1323

31

2

=+

−−xx d. ( )( ) ( ) ( )22323 −

−−− x =

2xx +xx

e. ( ) ( )23 22

−−+−− xx = xx 2

x f. ( )( ) ( )2

9134

4545 2 −−=

+− xxx

g. ( ) ( )( ) ( )22 213323 −−−

−−− x= xx+xx

Actividades de ampliación

3.12. Calcula el valor de “m” sabiendo que 3=x es una solución de la ecuación 0242 =−+mxx

3.13. Comprueba que si 1x y 2x son las ecuaciones de una ecuación de segundo grado

02 =++ cbxax , se verifican las relaciones de Cardano:

abxx −=+ 21

acxx =21·

3.14. Determina si las siguientes ecuaciones de segundo grado son compatibles o incompatibles

sin necesidad de resolverlas:

a. 013 2

=−

+

aa b.

22133 m

mm +

=+





3.15. Disponemos de dos modelos de cajas, como las de las

figuras, cuya altura es fija y cuya base varía, dependiendo

del lado x (las medidas vienen dadas en centímetros).

a. ¿Para qué valor de x el volumen de ambas cajas

será el mismo?

b. Para ese valor de x hallado, ¿qué caja necesita más cantidad de material para su

construcción?

3.16. Observa las siguientes figuras:

a. Describe un procedimiento para hallar

el valor de x en cada caso y

calcúlalo.

b. ¿Qué figura tiene mayor

perímetro? ¿Y mayor área?

3.17. Rebuscando en el desván de la casa de sus abuelos, Adela (estudiante de 3º ESO) ha

encontrado entre unos viejos papeles un plano de la casa y de un terreno de labor adyacente. El

paso del tiempo ha borrado las medidas, pero queda un dato: la parte de la puerta de entrada a

la casa, que indica 5 m.

Adela observa que la casa es un cuadrado perfecto y que la tierra de labor es, aproximadamente,

el triple de larga que de ancha. Intrigada, decide investigar sobre las dimensiones de toda la finca.





a. Utilizando el lenguaje algebraico, busca una expresión para el lado de la casa. b. ¿Qué expresión algebraica tendrá la superficie de la casa? c. ¿Y cuál será la superficie de toda la finca, casa y tierra juntas?

De repente, Adela recuerda lo que tantas veces ha oído decir al abuelo: “…gracias al cuarto de

fanega de tierra, no pasamos hambre en la posguerra”. Con estos datos, ¿podrá Adela averiguar

las





4. ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR A 2

Actividades de clase 4.1. Resuelve las siguientes ecuaciones de grado superior a dos:

a. 022 23 =−−+ xxx b. 044 234 =−−+ xxxx

c. 0252 23 =+−+ xxx d. 0222 234 =+− xxx

e. 0623 =−+ xxx f. 035 234 =−−− xxxx

Actividades de refuerzo 4.2. Resuelve las siguientes ecuaciones de grado superior a dos:

a. 024503510 234 =+−++ xxxx b. 04 25 =− xx

c. ( )( )( ) 05472 =+−+ xxx d. 443 234 +=−+ xxxx

e. ( ) ( ) 013 2 =−− xx f. 02016 234 =−−− xxxx

5. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS


5.1. Factoriza los siguientes polinomios:

a. 𝑥� − 𝑥] − 5𝑥[ − 3𝑥

b. 𝑥] − 7𝑥 − 6

c. 𝑥� + 3𝑥[ − 4𝑥

d. 𝑥� + 2𝑥] − 9𝑥[ − 18𝑥

e. 𝑥] − 𝑥[ − 4𝑥 + 4





WIRIS

Factoriza los polinomios del ejercicio 5.1 mediante la aplicación WIRIS

Para factorizar una expresión algebraica:

• Escribe el comando factorizar ( ) y, dentro del paréntesis, el polinomio que quieras

factorizar.

• Clica “=”.


5.2. Factoriza, obteniendo sus raíces, los siguientes polinomios:

a. 3 2x 4 6x x− + +

b. 3 2x 4 6x x− + +

c. 4 23x 6 3x− +

d. 3 2x 3 4 12x x+ − −

e. 3 2x 9 9x x+ − −

f. 3 2x 3 9 5x x− − −

g. 3 2x 7 16 12x x+ + +

h. 4 2-4x 20 16x+ −

i. 3 2x 2 2 4x x− + −





6. FRACCIONES ALGEBRAICAS


6.1. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:

𝐚. 𝑥 + 3𝑥[ − 9 𝐛.

𝑥] − 2𝑥[ + 𝑥𝑥 − 1 𝐜.

5𝑥 − 15𝑥[ − 6𝑥 + 9 𝐝.

4𝑥[ + 4𝑥 + 14𝑥[ − 1

6.2. Opera y simplifica si es posible

𝐚. 16𝑥 +

13𝑥[ −

12𝑥] 𝐛.

2𝑥[ − 9 −

7𝑥𝑥 − 3 + 3

𝐜. 3𝑥 − 3𝑥[ ·

𝑥[ + 𝑥𝑥[ − 1

𝐝. 12 −

𝑥 + 13𝑥 ·

12𝑥𝑥 − 2 [


6.3. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:

𝐚. 𝑥 + 1𝑥[ − 1 𝐛.

𝑥] − 4𝑥𝑥[ − 2𝑥

𝐜. 𝑥[ − 4

𝑥[ + 4𝑥 + 4 𝐜. 𝑥] + 2𝑥[ + 𝑥

3𝑥 + 3

6.4. Efectúa:

a. 31

32

+

−−

− xx

xx b. 2

1·1 xx

x+

c. xxx +

−+ 2

11

3 d. ( )71:1

2 −+

xx

Actividades de ampliación

6.5. Si ( ) 01 ≠−aa , simplifica ( )( )1

122 223

−

−+−−+

aaaaaaa .

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