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Departamento de Fundamentos Matemáticos ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AERONÁUTICOS
E . T . S . I . A E R O N A U T
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NO UNIFORMIDADES Y ESTABILIDAD LINEAL D E CONTACTORES
ESFÉRICOS EN PLASMAS NO MAGNETIZADOS
Autora
María Victoria Lapuerta González
A"'..' I
JS/3/ZOOQ
(0Ub). ¿AP . A)D
Director '• . JR*. <?é?. «b&G
Eduardo Ahedo Galilea
Profesor Titular de Matemática Aplicada
Madrid, Noviembre 1998
ii
RESUMEN
Se estudia la estabilidad y respuesta dinámica lineales de configuraciones estacionarias
de dos plasmas a contracorriente con una capa electrostática doble(CD) intermedia y del
gada, que se forman en torno a un contactor de plasma. Se considera el caso específico de un
contactor anódico con simetría esférica en un plasma no magnetizado. Se realiza primero una
revisión del modelo estacionario que incluye algunas aportaciones novedosas sobre la influencia
de los haces de partículas aceleradados por la CD en la solución y sobre los límites de validez
del modelo. La respuesta dinámica se estudia con un modelo de pequeñas perturbaciones en
armónicos esféricos. Se analiza el comportamiento tanto de los modos radiales (unidimension
ales) como de los modos oblicuos (tridimensionales) en dos límites temporales distinguidos:
frecuencias iónicas (dominio de la dinámica de iones con electrones cuasiestacionarios) y fre
cuencias electrónicas (dominio de la dinámica de electrones con iones cuasirrígidos). Para
cada caso se obtienen las condiciones de contorno en el contactor, en el infinito y en la
CD móvil. Estas últimas incluyen el efecto del desplazamiento de la CD en las condiciones
de Langmuir y de Bohm no estacionarias. Se presentan soluciones numéricas y soluciones
asintóticas tipo WKB. En cada rango de frecuencias, la respuesta del plasma consiste en una
combinación de modos, de características distintas a cada lado de la CD pero acoplados a
través de ésta. Para frecuencias altas la CD se hace cuasirrígida por efecto de los iones con
finados, y la transmisión de perturbaciones se realiza a través de los haces que la cruzan. En
el límite de frecuencia cero, se obtienen las soluciones estacionarias con falta leve de simetría
esférica. El resultado principal de la Tesis es que, en todo el rango usual de parámetros de
la solución estacionaria, se presentan una inestabilidad de corriente electrón-electrón, y una
inestabilidad ion-electrón oblicua, más débil; la inestabilidad de Buneman, propuesta por
varios autores como la inestabilidad principal, no puede existir. El comportamiento peculiar
de la CD es determinante en el desarrollo de las inestabilidades.
iii
ABSTRACT
The linear stability and dynamic response of stationary configurations of two coun-
terstreaming plasmas with an internal, thin electrostatic double layer(DL), tha t are formed
around plasma contactors, are estudied. The specific case of an anodic contactor with sphe-
rical symmetry in an unmagnetized plasma is considered. First, the stationary model is
reviewed and new contributions are made about the influence of the beams accelerated by
the DL on the solution and about the limits of validity the model. The dynamic response is
studied with a model of small perturbations in spherical harmonics. Radial(one-dimensional)
and oblique(three-dimensional) modes are analyzed in two temporal distinguished limits:
ionic frequencies (ion dynamics dominate and electrons are quasi-steady) and electronic fre-
quencies (electrón dynamics dominate and ions are almost rigid). For each case boundary
conditions at the contactor, the infinity, and the disturbed DL are derived. Conditions at the
DL include the effect of the DL displacement on the non-steady Langmuir and Bohm con
ditions. Numerical and W K B asymptotic solutions are presented. In each frequency range
the response consists in groups of waves mainly, with different characteristics at each side of
the DL and coupled through the DL jump conditions. At high frequencies the DL becomes
almost rigid due to the confined ions, and the transmission of perturbations is driven by the
beams that cross the DL. In the zero frequency limit, the family of weakly non-symmmetric,
stationary solutions are obtained. The main conclusión of the analysis is tha t , for the usual
range of parameters of the equilibrium solution, an electrón-electrón and a (much weaker)
oblique ion-electron instabilities are found; the Buneman instability, proposed by several au-
thors as the main instability, cannot exist. The peculiar behavior of the DL is on the basis
of the instability formation.
IV
A mis padres
V
Agradecimientos
Quiero expresar mi agradecimiento a todas las personas que, de una manera u otra, han
contribuido a la elaboración de este trabajo.
A Eduardo Ahedo, mi director de Tesis, por su entusiamo y apoyo en los momentos de
desánimo. Sin su ayuda no hubiera sido posible realizar este trabajo. A todos mis compañeros
del Departamento de Fundamentos Matemáticos por la colaboración que me han prestado en
todo momento; en especial a Eva Villacieros por su ayuda en la transcripción de este trabajo.
Por último, a mi familia y amigos.
vi
ÍNDICE 1.- INTRODUCCIÓN
1.1 Colección de corriente y contactores de plasma 1
1.2 Aplicaciones de los contactores en ingeniería espacial 5
1.3 Resultados experimentales en laboratorio 9
1.4 Modelos teóricos de contactores 15
1.5 Objetivos y contenido de la Tesis 21
Figuras 24
2.- INESTABILIDADES DE CORRIENTE EN PLASMAS HOMOGÉNEOS
2.1 Introducción 31
2.2 Relación de dispersión en un plasma homogéneo 33
2.3 Plasma ion-electrón 35
2.4 Plasma ión-electrón-electrón 40
2.5 Plasma ión-ión-electrón 44
2.6 Evolución no lineal de las inestabilidades de corriente 46
2.7 Conclusiones 51
Figuras 53
3.- MODELO DE PLASMA-CONTACTOR
3.1 Hipótesis principales del modelo 63
3.2 Ecuaciones generales del plasma 64
3.3 Ecuaciones cuasiestacionarias de una CE/CD 65
3.4 Problema estacionario y con simetría esférica 69
3.5 Ecuaciones de perturbación 72
3.6 Adimensionalización 79
Figuras 80
4.- SOLUCIONES ESTACIONARIAS CON SIMETRÍA ESFÉRICA
4.1 Modelo estacionario de plasma 81
4.2 Solución del modelo b'asico 85
4.3 Influencia del haz colectado en la estructura del núcleo 93
4.4 Influencia del haz emitido en la estructura de la prevaina 96
4.5 Estructura de la CE/CD 99
vii
4.6 Conclusiones 100
Figuras 102
5.- MODOS RADIALES IÓNICOS
5.1 Introducción 111
5.2 Prevaina 113
5.3 Núcleo 122
5.4 Capa electrostática entre contactor y núcleo 128
5.5 Resultados y discusión 131
5.6 Conclusiones 135
Figuras 138
6.- MODOS RADIALES ELECTRÓNICOS
6.1 Introducción 147
6.2 Prevaina 147
6.3 Núcleo 155
6.4 Resultados y discusión 164
6.5 Efectos de carga espacial en la inestabilidad 167
6.6 Conclusiones 169
Figuras 172
7.- MODOS OBLICUOS ESTACIONARIOS
7.1 Ecuaciones de los modos oblicuos 185
7.2 Prevaina 186
7.3 Núcleo 190
7.4 Resultados y discusión 195
7.5 Conclusiones 198
Figuras 200
8-- MODOS OBLICUOS IÓNICOS
8.1 Ecuaciones de los modos oblicuos 209
8.2 Prevaina 209
8.3 Núcleo 217
8.4 Resultados y discusión 222
viii
8.5 Conclusiones 224
Figuras 226
C O N C L U S I O N E S F I N A L E S 237
APÉNDICE 243
BIBLIOGRAFÍA 255
1
Capítulo 1
I N T R O D U C C I Ó N
1.1. COLECCIÓN DE CORRIENTE Y CONTACTORES DE PLASMA
La colección de corriente por un cuerpo conductor (una superficie metálica, por ejemplo)
inmerso en un plasma ha sido un tema importante en la investigación en Física de Plasmas
desde sus orígenes [57] [58]. Si el cuerpo no está polarizado eléctricamente respecto del plasma
y éste está en reposo, la corriente recogida es
lo = {Ja + Jte)A, Jtcx - qaNaJ a , a = z,e,
donde A es el área del objeto; Ja y Jte son las densidades de corriente térmica de iones y
electrones; ga, m a , iVa, y Ta son la carga eléctrica, masa, densidad y temperatura, respec
tivamente, de las correspondientes especies. Para un plasma cuasineutro (en ausencia de
perturbaciones externas) es qiNi = eNe (e: carga del electrón) y dado que me/mi <C 1 la
corriente intercambiada es aproximadamente la corriente colectada de electrones:
lo ^ JteA. (1.1)
Si el cuerpo es polarizado positivamente respecto del plasma tenderá a atraer más elec
trones y menos iones, aumentando por tanto la corriente colectada. El incremento de corriente
con la polarización depende de una característica básica del plasma que es su capacidad de
apantallar cargas eléctricas en distancias del orden de la longitud de Debye [22] [40],
x°=JWs (i-2) donde £Q e s Ia permitividad eléctrica del vacío. Para potenciales de polarización UR grandes
respecto de la temperatura del plasma: eUn/Te > 0(1), se forma en torno al objeto una capa
o vaina electrostática(CE), también llamada capa de carga espacial, donde el campo eléctrico
es fuerte, no hay iones y los electrones apantallan casi todo el potencial de polarización.
Fuera de dicha capa el plasma es cuasineutro y está poco perturbado, y se puede considerar
que la superficie exterior de dicha capa, Aeff, actúa como superficie efectiva de colección
de corriente en la Ec. (1.1): I — JteAeff. El espesor de la CE es proporcional a A¿},
2
de manera que si la longitud de Debye es mucho menor que la longitud característica del
objeto i?, el incremento en la colección de corriente está severamente limitado por el fuerte
apantallamiento. Por ejemplo, las dos leyes más conocidas para el espesor Are de la CE son
la ley de Child-Langmuir para capas delgadas [57]:
^ L 2 i f ( i 5 ) 3 ' 4 - si *°IR«X< <i3> y la ley de Langmuir-Blodgett para capas gruesas en electrodos esféricos [2] [57]:
* + A - - 0.96 r í ^ r , si A r c / « > 1 . (1.4) R \ R ) \ Te
De estas dos leyes se deduce que para cuerpos cuasiesféricos con \D <C i?, la ganancia en
corriente colectada es
j- ~ max(l, G), con G = {eUR/Tef'\\D/Rf/\ (1.5)
y, por tanto, aumentar el potencial de polarización es una forma muy ineficiente de incre
mentar la corriente recogida.
Este es un problema grave en aplicaciones que requieren una colección alta de corriente
eléctrica de un plasma de baja densidad y temperatura. Una solución propuesta para au
mentar la corriente sin aumentar enormemente la impedancia son los contactores de plasma
[32] [33]. Estos son unos dispositivos capaces de generar y emitir una nube densa de plasma
que se mezcla con el plasma ambiente; las características de temperatura, densidad y grado
de ionización de ambos plasmas pueden ser muy distintas. Polarizando positivamente el con
tactor se pueden conseguir configuraciones estacionarias de plasma como las mostradas en
la Fig. 1.1. La región luminosa, que se llamará núcleo, está constituida fundamentalmente
por el plasma emitido, mientras que la región oscura exterior, que se llamará prevaina, está
dominada por el plasma ambiente. Ambas regiones son cuasineutras y están separadas por
una fina CE, del tipo llamado capa doble(CD): está constituida por dos subcapas de carga
eléctrica igual y opuesta, Fig. 1.2. En la CD se produce la mayor parte de la caída del
potencial, AC/^, y si es cuasiplana, su espesor sigue la ley de Child-Langmuir, Ec. (1.3),
salvo un factor de orden unidad,
A r D ~ A E ( ^ ) 3 / \ (1.6)
El fuerte salto de potencial en la capa doble tiene un doble efecto sobre el plasma: por un
lado, acelera los electrones del plasma ambiente (especie e) hacia el contactor, y los iones
3
del plasma emitido (especie i) hacia el exterior; por otro lado confina los iones del plasma
emitido (especie a) en la prevaina y los electrones del plasma emitido (especie c) en el núcleo.
Dado que las características de la prevaina dependen poco del plasma emitido, si todos (o la
mayor parte) de los electrones ambiente que cruzan la CD alcanzan el contactor, la corriente
colectada será
I~JteAD, (1.7)
donde Ap es la superficie de la CD. Por otra parte, los iones y electrones que atraviesan
una CD estacionaria reciben el mismo incremento de energía cinética, de manera que los
electrones adquieren una velocidad muy superior a la de los iones. Para cumplir la condición
de que la carga total sea nula en la CD, se ha de verificar entonces la siguiente relación entre
las corrientes: Ie Irrii
f ~ J — , 1.8 Ii y me
que se conoce como condición de Langmuir [58]; nótese que Ie e J¿ son constantes espacial-
mente en un problema estacionario. Las expresiones (1.7) y (1.8) ilustran las dos ideas básicas
que sustentan el concepto de contactor: (1) la superficie de la CD y no la del contactor es la superficie efectiva de colección;
(2) la corriente colectada ( I~ Ie) es proporcional al flujo de plasma emitido (m Ii).
La expresión (1.8) indica un límite ideal para un contactor donde la corriente colectada
es independiente del potencial de polarización UR. Como se verá, tal estimación puede
considerarse válida una vez alcanzada la configuración con CD y para núcleos no muy grandes,
pero no es realista pensar que, para UR dado, Ie puede crecer indefinidamente. De hecho,
este asunto es uno de los tres problemas que se pueden considerar centrales al analizar la
viabilidad y eficiencia de los contactores de plasma, de los cuales ninguno ha sido resuelto
satisfactoriamente. Estos serían:
(i) La determinación de la máxima corriente que se puede colectar para un potencial de
polarización dado.
(ii) La estabilidad de las configuraciones con capas dobles intermedias.
(iii) La influencia de un campo magnético externo en la configuración del plasma y la
actuación del contactor.
El segundo problema se plantea porque los haces de partículas acelerados por la CD están
en condiciones de generar inestabilidades electrostáticas de corriente. Este es el t ema central
de esta Tesis así que se omiten aquí más comentarios sobre el mismo. El tercer problema
4
surge cuando el girorradio de los electrones, Ze, es pequeño, y el transporte de éstos perpen-
dicularmente a las líneas de campo magnético está fuertemente inhibido. En ausencia de
colisiones o turbulencia (asociada a inestabilidades, por ejemplo) la configuración de plasma
es anisótropa, y ésto puede afectar gravemente a la capacidad del contactor de intercambiar
grandes corrientes. Este tercer problema, crucial en las aplicaciones en la ionosfera, se evita
completamente en esta Tesis, que únicamente considera plasmas no magnetizados.
Hasta aquí se ha supuesto implícitamente que el plasma era ionizado en el interior del
contactor. En la mayoría de las aplicaciones, tanto el plasma emitido como el ambiente
están parcialmente ionizados y puede haber ionización externa. La ionización se produce
principalmente en el núcleo (por ejemplo, en el caso de la Fig. 1.1) por impacto de los
neutros con el haz de electrones acelerado por la CD. Esto requiere que la energía adquirida
por las partículas del haz, eAUp, sea mayor que la energía de ionización del gas, Eion:
eAUD > Eion.
Cuando la ionización es principalmente externa la condición de Langmuir y el camino libre
medio de ionización, A¿on, marcan el tamaño del núcleo, r p , y la tasa de ionización, AJ e /J e ,
entendida ésta como la fracción del haz de electrones involucrada en colisiones ionizantes.
Para un problema estacionario y un haz de electrones monoenergético se tiene
V • Ti ~ V • íe ~ NnaionIe, Xi07l = {NnCTion)"1, (1.9)
donde Nn es la densidad de neutros y aion la sección eficaz de ionización. Suponiendo que
todos los iones provienen de ionización externa, de (1.9) y de la condición de Langmuir (1.8)
se tiene que rD AIe Ii [m¿
r^j r^j
"ion -*-e -*-e V '»*'?.
es decir, es necesaria una tasa de ionización menor del 1%, para tener una configuración con
CD; este importante resultado ya fue deducido por Langmuir [58]. Dicho de otra forma, la
ionización externa es la dominante cuando
^ A p = 0 ( l ) , (1.10) rD V mi
y no es de esperar que ese cociente se haga muy pequeño en ningún caso.
El dispositivo práctico más comúnmente utilizado como contactor de plasma es el dis
positivo de cátodo hueco [31] [83] [46]. En la Fig. 1.3 se muestra un esquema de la disposición
5
de electrodos y geometría empleados usualmente en el diseño de cátodos huecos. En estos
dispositivos un gas neutro (que suele ser Ar, Xe o vapor de Hg) circula a través de una
cámara, normalmente cilindrica, donde es ionizado por impacto electrónico. Estos electrones
son extraídos de las paredes de la cámara (cubierta de un material apropiado) por emisión
termoiónica y acelerados por la CE que se forma en torno a ella si la polarización entre
la pared y el electrodo de salida es adecuada. Para favorecer la ionización del gas algunos
diseños incluyen un campo magnético que confine a los electrones en la cámara [91]. El gas y
el plasma fluyen hacia el exterior a través de un orificio en el electrodo de salida. Puede haber
electrodos adicionales en el exterior que controlen las características del plasma emitido y la
ionización del gas neutro puede continuar en el exterior. Una descripción más detallada del
dispositivo se puede encontrar en [46].
Los contactores de plasma, en particular los dispositivos de cátodo hueco, pueden operar
también con polarización negativa respecto del plasma ambiente: UR < 0 [49] [74] [92]. En este
caso actúan como cátodos respecto al plasma ambiente y son fuentes emisoras de electrones
y colectoras de iones, pero la contribución de éstos últimos a la corriente eléctrica total es
nuevamente despreciable. En principio, el mantenimiento de una corriente eléctrica al ta por
parte de un contactor catódico es menos problemática que por parte de un contactor anódico,
pues en el primer caso se cuenta con una fuente propia de electrones y en el segundo la
fuente de electrones es el plasma ambiente. Sin embargo, el apantallamiento electrostático del
plasma también limita la emisión máxima, y no se puede confiar como antes en la producción
de electrones por ionización externa.
1.2. APLICACIONES DE LOS CONTACTORES EN INGENIERÍA ESPACIAL
La investigación en el campo de los contactores de plasma está motivada, además del
interés científico en la interacción entre dos plasmas interpenetrados, por sus aplicaciones en
satélites y naves que se mueven en atmósferas planetarias como la de la Tierra [29] [65] [80].
En la ionosfera terrestre el plasma está bastante rarificado, la máxima densidad de plasma se
alcanza a una altitud de unos 250km y es del orden de Ne ~ 1 0 1 2 m - 3 , Fig. 1.4, un orden de
magnitud menos por la noche. Teniendo en cuenta que la temperatura del plasma es Te ~ 0.1
eV, la densidad de corriente y la longitud de Debye están en los rangos
Jte ~ 0.4 - 8mA/m 2 , XD ~ 2 - lOmm.
6
Por otra parte la magnitud del campo magnético terrestre medio es de ~ 3 x 10_ 5Tesla,
que implica un girorradio magnético para el electrón: le ~30mm, con lo que el t ransporte
de partículas transversal a las líneas de fuerza se ve fuertemente impedido. Con todo ello,
intercambiar en la ionosfera grandes cantidades de electrones con electrodos pasivos resulta
muy ineficiente. Por ejemplo, para conseguir una corriente de 10 A se necesita, un área efectiva
de colección de 103 — 104m2 . Para ello una esfera metálica de radio 0.8 m requiere, de acuerdo
a la ley de Langmuir-Blodgett (que no tiene en cuenta los efectos de guiado magnético) un
potencial de polarización de 105V, Ec. (1.5). De ahí la necesidad de contar con contactores
activos de plasma (que puedan atenuar además los efectos de guiado magnético).
Actualmente la aplicación más importante de los contactores de plasma en la ionosfera
es como elementos de sistemas de amarras ("tethers" en inglés) o cables electrodinámicos
[5] [65] [80]. Básicamente, una amarra es un cable largo, flexible y ligero que permite a dos
estructuras espaciales orbitar con velocidad angular común a distancias geocéntricas diferen
tes. Las fuerzas gravitatoria y centrífuga varían en sentido opuesto a lo largo del cable y lo
mantienen tenso en posición vertical. Debido al movimiento orbital a través de las líneas de
fuerza del campo magnético se genera una fuerza electromotriz entre los extremos del cable,
Fig. 1.5, dada por
Uem = \Vorb x B • L|,
donde B es el campo magnético, Vorh es la velocidad orbital y L la longitud de la amarra.
Este es el mismo proceso de inducción magnética que el del más simple generador eléctrico:
el elemento móvil es la amarra y el medio conductor que cierra el circuito con la amarra es
el plasma ionosférico. La amarra estándar va recubierta de aislante y lleva contactores de
plasma (anódico y catódico) en las estructuras en sus extremos para establecer y controlar el
contacto eléctrico con el plasma ionosférico [38] [92].
Una primera aplicación de una amarra electrodinámica es como generador de potencia
en alguna carga interpuesta. La Fig. 1.6(a) muestra un esquema del circuito eléctrico, siendo
la potencia útil
Wutil = I[Uem - UA(I) - UC(I) - IRa],
donde / es la corriente que circula por la amarra, Ra la resistencia de la amarra y UA(I)
y Uc(I) son las funciones voltaje-corriente de los contactores anódico y catódico, respecti
vamente. Esta expresión indica la importancia de que las pérdidas de potencial en los con
tactores sean pequeñas. La energía eléctrica que se obtiene proviene de la energía mecánica
orbital y el mecanismo de frenado mecánico es la fuerza IL x B usual, que se opone a Vorb.
7
Este frenado podría ser compensado, si conviene, usando combustible del vehículo espacial,
recuperándose en energía eléctrica más del doble de la energía química del combustible, de
bido a la utilización de su energía orbital [65]. Pero además, este efecto de frenado puede
ser útil ya que para deorbitar una estructura espacial se requiere un gasto energético en una
acción de frenado. En el caso de la amarra el frenado magnético permite hacer una bajada
rápida y, a la vez, producir energía en lugar de consumirla. Una segunda aplicación de una
amarra electrodinámica es como propulsor: si se dispone de una fuente de continua con voltaje
superior a Uern puede forzarse corriente en sentido inverso, Fig. 1.6(b), y la fuerza de Lorentz
—IL x B se alinea con Vorb dando empuje.
La información que actualmente se tiene sobre el comportamiento de las amarras y los
contactores en el espacio es escasa (aunque de gran importancia) debido a que han sido pocas
las oportunidades para realizar experimentos en el espacio. Dentro de la experimentación tec
nológica de las amarras hay que citar las misiones TSS-1[29][51] y TSS-1R[85] (TSS: Tethered
Satellite System) en el transbordador (Shuttle) americano. Los objetivos fundamentales de
ambas misiones eran demostrar que un satélite de 500-1000 kg podía ser desplegado 20km, es
tabilizado y recuperado, empleando una amarra conductora en el espacio, y que era viable la
circulación de corriente eléctrica a través de la amarra. Volando en una órbita de inclinación
28.5° se esperaba que el potencial inducido entre los extremos del cable fuese de 2-5xl03V.
En sus extremos el cable no llevaba contactores activos de plasma: el ánodo era una esfera
metálica de radio 0.8m y el cátodo principal era un cañón de electrones; ambos dispositivos
hacían que el sistema fuese ineficiente como generador eléctrico, pero el mejorar este último
aspecto no parecía estar entre los objetivos de las misiones. La misión TSS-1, que voló en
1992, tuvo problemas en el despliegue de la amarra, sólo se desplegaron 268m de amarra,
y ésto limitó mucho los resultados obtenidos. La fuerza electromotriz inducida fue de unos
60V y se recogieron tan sólo 20mA. Para una altitud de 300km con Ne ~ 3 • 10 n m~ 3 , dicho
valor coincide con las expectativas teóricas para un ánodo pasivo. Pese a estas dificultades,
la misión demostró que era factible y seguro el despliegue, estabilidad y repliegue de satélites
amarrados y confirmó el principio de operación de las amarras electrodinámicas.
La misión TSS-1R, que voló en 1996, usó el mismo sistema y tuvo los mismos objetivos
que la misión TSS-1. Esta vez se desplegaron con éxito los 20km de amarra y el satélite se pudo
mantener estable, pero el experimento quedó bruscamente interrumpido porque se rompió la
amarra. La colección de corriente resultó ser más eficiente de lo esperado, obteniéndose
corrientes de hasta 0.45A con diferencias de potencial de unos 600V lo que equivale a una
8
ganancia de I/lo ~ 12, resultado que está de acuerdo con la ley de Langmuir-Blodgett para
plasmas no magnetizados, Ec. (1.5), pero que es unas tres veces superior a las predicciones
de la teoría de Parker-Murphy [75]:
¿ = 1 V^/e [eÜR I0 2 2 flV Tc '
una de las más utilizadas para electrodos pasivos en plasmas magnetizados.
Por otra parte están los resultados obtenidos en vuelo del experimento PMG (Plasma
Motor-Generator) [46] [62], diseñado específicamente para demostrar la capacidad emisora y
colectora de los contactores de plasma (baja impedancia y mejor contacto con el ambiente).
El sistema constaba de un tether de 500m, una fuente de alimentación (que permitía generar
una fuerza electromotriz entre los extremos del cable mayor que la inducida por el campo
magnético) y dos cátodos huecos en los extremos. En este caso, se midieron corrientes del
orden de -0.3A y 0.18A para una polarización de -130V y 65V, respectivamente, en el contactor
alejado de la nave, que demuestran la eficiencia de los contactores de plasma en la reducción
de la impedancia eléctrica, pero arrojan dudas sobre la viabilidad de recoger corrientes del
orden de varios amperios.
Como se deduce de lo anterior, los experimentos hasta la fecha no aportan mucha
información acerca del funcionamiento de los contactores. Williams y Wilbur [92], basándose
en los experimentos recogidos en [53], afirman que la operación de un contactor catódico en
el espacio es menos problemática, consiguiendo emitirse altas corrientes electrónicas. Este
hecho está relacionado con que los problemas de guiado magnético afectan más a la colección
de electrones.
Hay que reseñar un concepto alternativo de amarra, propuesto por Sanmartín, Martínez-
Sánchez y Ahedo [80], que elimina el recubrimiento aislante de la amarra y prescinde del
contactor anódico. Estos investigadores proponen que la parte de la amarra polarizada pos
itivamente respecto al plasma ionosférico actúe directamente como ánodo. Para este ánodo
su longitud, lA, (que es una fracción no despreciable de la longitud de la amarra) es mucho
mayor que su diámetro, d, y además se tiene d/\£>,d/le <0(1) . Ello lo hace muy eficiente
para la colección de corriente pues, por un lado, al ser el proceso de captura bidimensional,
se minimizan los efectos de apantallamiento electrostático y guiado magnético, que dependen
de la dimensión radial; por otro lado, sin coste adicional en peso, complejidad o eficiencia,
se obtiene una gran superficie efectiva de colección: Aeff ~ irdlA^U'A//7rTe)1//2, de manera
que aumentando la longitud del cable puede conseguirse el área efectiva que se necesite.
9
Otra aplicación diferente de los contactores de plasma es el control de carga eléctrica en
vehículos espaciales [19] [34] [69]. En el espacio es imposible obtener algún sumidero de cargas
eléctricas (o "tierra") por lo que los vehículos espaciales, al ser constantemente bombardeados
por electrones presentes en la ionosfera terrestre, acaban adquiriendo una carga neta de signo
negativo apreciable que afecta a los instrumentos de a bordo y produce un bombardeo de
iones de alta energía, que proviene del entorno ionizado, erosionando prematuramente los
componentes. Para eliminar dicha carga se ha propuesto usar contactores catódicos que
devuelvan el exceso de carga negativa a la ionosfera.
1.3. RESULTADOS EXPERIMENTALES EN LABORATORIO
1.3.1. Experimentos con contactores de plasma
Se recogen en esta sección los resultados más relevantes de tres grupos de experimentos
con contactores de plasma, tipo cátodo hueco, en cámaras de vacío en Tierra. En los tres
casos los efectos de campo magnético son despreciables. Generalmente el plasma ambiente es
generado por una segunda fuente en un extremo de la cámara de vacío; ésto puede hacer prob
lemática la interpretación de ciertos resultados pues, en realidad, se tienen dos contactores
(uno catódico y uno anódico) emitiendo dos plasmas. Se presta atención principalmente a
resultados para contactores anódicos con estructuras estacionarias tipo núcleo/CD/prevaina.
La CD que se observa suele tener geometría axial que a veces se asemeja a semiesférica o
esférica.
La nomenclatura que se usa corresponde a la ya definida en las secciones anteriores; en
particular la separación en cuatro especies, dos libres y dos confinadas, se realiza según los
criterios dados en la Sec. 1.1.
Experimentos de P.J. Wilbur y colaboradores^] [92].- Las Figs. 1.7(a)-(b) muestran
resultados típicos para un contactor anódico con configuración de núcleo/CD/prevaina. Las
magnitudes características para este caso son:
- radio del contactor: R ~0.015m,
- densidad de Xenón emitido: Nn ~ 1 0 1 8 m - 3 ,
- diferencia de potencial entre el contactor y el ambiente: Í7#=37V,
- corriente recogida: I =0.37A,
- salto de potencial de la CD: AUD ~ 25V,
10
- distancia en el eje de simetría de la CD al contactor: ZD ~ O.lm,
- densidad y temperatura del plasma ambiente: N^ ~ 4 x 10 ó
- densidad de los electrones confinados en el núcleo: varía entre iVc ~ 10 1 5m - 3 en la
superficie del contactor y Nc ~ 101 3m - 3 cerca del borde interior de la CD,
- temperatura en el núcleo: Tc ~ 2eV,
- densidad de los electrones acelerados en el núcleo: Ne ~ 2 x 101 2m - 3 , prácticamente
constante, Fig. 1.7(b).
La corriente recogida de 0.37A corrobora la idea de que la CD actúa como una superficie
efectiva de colección:
4TTZ2D donde Jte = eN00(T00/27rme)
1/2 ~ 2.6A/m2. (1.11) Jte
Las longitudes de Debye, Ec. (1.2), medidas para el plasma ambiente, XDOC, y en la boca del
contactor, A^c, cumplen
XD°° ~ 0.03 « 1 , ^ ~ 0.02 « 1, ZD R
y confirma la tendencia del plasma a ser cuasineutro excepto en CEs delgadas.
Se estima a continuación la importancia de la ionización externa y de las colisiones
electrón-neutro(elásticas) y electrón-ion en el plasma del núcleo. Para el margen usual de
potenciales en la CD, la sección eficaz de ionización, cr¿on? Ec. (1.9), se puede aproximar
por
Vion = Nncion(eAUD - Eim), eAUD > Eion, (1.12)
donde c¿on es una constante. Para el Xenón es Cion ~ 3 x 10~17cm2/eV, Eion = 12.1eV y
\Jmelrrii ~ 490. Así, para los datos de este experimento se tiene:
\ ~ 0.5, ZD V mi
que indica que los iones que cruzan la CD se generan por ionización externa, Ec. (1.10). El
camino libre medio para las colisiones elásticas electrón-neutro es
Aen - ñ ~ 3 7 m ' ( L 1 3 )
donde aen ~ 2.7 x 10~20m2 para Xe. El camino libre medio para las colisiones electrón-ion
es
Ki = 1J— - 106m, (1.14)
11
donde, para las condiciones del haz monoenergético es aei ~ 4.2 x 10~ 1 9m 2 [54]. Como el
tamaño del núcleo es zr> ~ O.lm, las colisiones elásticas electrón-neutro y las colisiones de
Coulomb son despreciables en este experimento .
La Fig. 1.7(c) muestra la curva corriente-voltaje(C-V) que obtuvieron Williams y
Wilbur para contactores anodicos y catódicos variando el potencial entre el contactor y el
plasma ambiente, UR, entre -25V y 70V y obteniendo corrientes entre -1A y 1A. Por encima
de estas corrientes el comportamiento del plasma parece no ser estable. Para potenciales
positivos del orden de 40V se observa que se produce un incremento brusco de la corriente
recogida. Este cambio va acompañado de la aparición de una nube luminosa que se extiende
varios centímetros desde el contactor similar a la de la Fig. 1.1. Los autores hablan por
ello de modo ignición y corresponde en la nomenclatura usada aquí a una configuración con
núcleo. La transición al modo ignición parece estar ligada a que la ionización externa se
vuelva eficiente pero la pendiente casi vertical de la curva C-V no está claramente explicada.
Para potenciales negativos se tiene un comportamiento C-V semejante pero los perfiles de
potencial, Fig. 1.7(d), difieren bastante de aquellos para potenciales positivos. Para los casos
de la Fig. 1.7(d) los autores hablan de una CD con un incremento de potencial del orden
de 2-3TOO. Sin embargo, su anchura es de unas 100Aj> aproximadamente, que es demasiado
grande para ser considerada como una capa doble. Además, de la figura puede entenderse
que dicha CD (y la ionización externa) se deben también a la segunda fuente de plasma (que
actúa de ánodo en este caso).
Finalmente, Williams y Wilbur midieron en algunos experimentos las fluctuaciones en
la corriente y las compararon con los valores promedio en el t iempo, encontrándose varia
ciones relativas de 0.14 a 0.6 dependiendo de las condiciones de operación. Este nivel de
ruido puede provocar errores en las medidas de las propiedades del plasma. En cuanto a
su origen, una primera hipótesis es la presencia de inestabilidades de corriente saturadas,
aunque las configuraciones de plasma mostradas son estacionarias y no hay termalización del
haz monoenergético, Fig. 1.7(b), (que sería una consecuencia probable de la turbulencia).
Experimentos de G. Vannaroni y colaboradores [88].- Estos emplearon un contactor
anódico de Xenón. Sus resultados, Fig. 1.8(a), muestran que el tamaño del núcleo disminuye
con UR, desapareciendo para UR—1^\. Los parámetros de interés para UR — 26V son:
- Too - l e V , Neo ~ 10 1 3 m" 3 , (XDoo ~ 2mm, Jte ~ 0.26A/m2) ,
- AUD ~ 13V y z D - 0.49m.
- densidad de confinados en el núcleo: varía entre Nc ~ 1 0 1 6 m - 3 en la superficie del
12
contactor y Nc ~ 10 1 3m~ 3 cerca del borde interior de la CD,
- Tc ~ 2eV,
- Ne ~ 4 x 10 1 2 m" 3 ,
- corriente recogida, J = 34.8mA (la interpretación de este último dato es confusa,
parece que corresponde a lo recogido en un ángulo sólido de if> — 0.12 radianes).
Los autores estimaron el recorrido libre medio para ionización de átomos de Xe en A¿on ~
200m, que comparado con el tamaño del núcleo resulta ser
zD V rrii ~
que concuerda con la Ec. (1.10) e indica que la ionización externa es la relevante. En cuanto a
las colisiones elásticas electrón-neutro y las de de Coulomb, resultan ser despreciables puesto
que se tiene Xen/zD ~ 102 y \ei/zD ~ 103.
La Fig. 1.8(b) muestra las funciones de distribución de energía electrónica a varias
distancias del contactor para £/#=26V, viéndose cómo los electrones ambiente que inicial-
mente sólo poseían energía térmica, son acelerados por la CD formando un haz prácticamente
monoenergético, pero éste es termalizado gradualmente y desaparece como población difer
enciada al atravesar el núcleo. Según los autores, esto indica la existencia de mecanismos
anómalos de transferencia de energía entre la población acelerada y la a t rapada. De la Fig.
1.8(b) se deduce que el camino libre medio y la frecuencia efectivos asociados a dichos procesos
son
Xeff ~ zp ~ 0.49m,
i / c / / - XeffVe ~ Xeffy/2eAUD/me - 107 - 1 0 8 s e g - \
es decir
Veff/Upc - 1/20,
donde upc = y/e2Nc/eome es la frecuencia típica del plasma en el núcleo. Con todo ello
Vannaroni et al sugieren que el proceso activo en este experimento es la inestabilidad electrón-
electrón para la cuál se tiene [ver Sec. 2.4.2]
Experimentos de L. Conde y L. León [24] [60].- Estos obtienen estructuras con CDs por
ionización externa al inyectar Argón en un plasma ambiente. Datos típicos de un experimento
son:
13
- UR ~30V,
- corriente recogida, I = 0.31 A,
- iVoo - 1015m"3, r ^ - 2eV (XDoo ~ 0.3mm, Jte ~ 37.9A/m2),
- densidad de neutros de fondo, Nn ~ 2.6 x 102 0m - 3 ,
- MJD ~ 28F, zD - 0.037m,
- Nc ~ 8 x 1015m"3 y Tc - 3.7eV,
- Ne ~ 6 x 1014m~3.
Con estos datos, se tiene que la corriente recogida es del orden de la densidad de corriente
térmica multiplicada por un área igual a 27TZp, y que los efectos de colisiones electrón-neutro
y de Coulomb, son despreciables: \en/ZD ~ 10 y \ei/zD ~ 105.
Respecto a la ionización externa los autores estiman que Ajon ~ 0.15m, de manera que
~ 4, A — ~ 0.015, zD zD y mi
(para el Argón es c¿on = 2x 10~17cm2/eV, £ w = 15.8 y y/rrii/me = 271). Estos parámetros
son difíciles de entender (compárense con los de Williams y Wilbur y Vannaroni et al.).
Indican que la tasa de ionización es del orden del 25%, pero, según el modelo de Langmuir,
Ec. (1.9), solamente un 0.4% de los iones producidos iría hacia la CD, el 24.6% restante ha
de ir hacia el contactor (junto con los electrones creados por la ionización). En ausencia de
ionización interna es cierto que, para mantener la cuasineutralidad en el núcleo, una parte de
los iones producidos ha de fluir hacia el contactor. Apoyan esta idea los perfiles de potencial
que obtienen, Fig.l.9(a), que son muy planos y permiten que las partículas producidas fluyan
fácilmente tanto hacia el contactor como hacia la CD, pero resulta sorprendente que la parte
que va hacia el contactor sea unas 50 veces mayor que la otra. Las funciones de distribución
electrónica obtenidas, Fig. 1.9(b), tampoco muestran signos de termalización o degeneración
del haz de electrones que justifiquen una ionización tan alta. Lo que puede sí puede ser es que
la densidad de neutros del plasma de fondo que los autores proponen para la determinación
de Xion no sea la adecuada para el cálculo hecho aquí. Usando la densidad de neutros
emitidos por el contactor, A¿on sería un orden de magnitud mayor y se obtendrían fracciones
de ionización aún altas pero más comprensibles.
Respecto a la turbulencia del plasma en estos experimentos se sabe, como hecho in
directo, que no hay termalización del haz electrónico. Los autores encontraron que las es
tructuras eran estacionarias por debajo de / ~ 450mA, pero para valores superiores la CD
empieza a oscilar hasta volverse inestable.
14
Las conclusiones que se extraen de estos tres grupos de experimentos se pueden resumir
en tres puntos:
(i) Para valores adecuados de los parámetros, se obtienen configuraciones del tipo
núcleo/CD/prevaina que, por debajo de cierto nivel de corriente (del orden de 1A), son
estables durante tiempos largos.
(ii) En los tres casos los iones que fluyen hacia el ambiente provienen mayormente o en
su totalidad, de ionización externa, pero hay disparidad en cuanto a la tasa de ionización.
(iii) Las soluciones, aunque estables, parecen presentar un nivel moderado de fluctua
ciones cuyo origen no está claramente determinado. Una hipótesis es la presencia de inesta
bilidades de corriente saturadas. Una consecuencia de las mismas podría ser la termalización
del haz de electrones, pero ésta solamente se ha observado en los experimentos de Vannaroni
et al., quizás porque son los que consiguen núcleos más grandes.
1.3.2. Otros experimentos sobre capas dobles
Las configuraciones de plasma con capas dobles intermedias entre dos plasmas no son
exclusivas de los contactores de plasma. Aparecen por ejemplo en descargas eléctricas y en los
fenómenos aurórales en la ionosfera, y han recibido por ello gran atención. Los artículos de
Block [10], Hershkowitz [41] y Raadu [77], y la compilación de Schrittwieser [81] ofrecen una
extensa revisión sobre teoría, simulaciones y experimentos con capas dobles. Los experimentos
en laboratorio tienen lugar generalmente en máquinas de plasma doble y triple, Fig. 1.10.
Una máquina de plasma triple [23] consiste en una cámara de vacío dividida en tres partes
mediante dos grupos de rejillas metálicas. En los dos compartimentos extremos se producen
sendos plasmas. Polarizando adecuadamente las rejillas se modifican las características de
los plasmas que se envían al compartimento intermedio, se crea una diferencia de potencial
entre los extremos de éste, y se pueden generar estructuras de plasma con CDs intermedias.
En una máquina de plasma doble [76] se prescinde de uno de los grupos de rejillas, sólo hay
dos compartimentos y uno de ellos hace una función doble: genera uno de los plasmas y en
él se produce la estructura con CD. En estas cámaras se obtienen típicamente densidades de
plasma de 1014 — 1016m~3, grados de ionización del 1%, temperaturas electrónicas de 1 — 4eV,
y temperaturas iónicas un orden de magnitud inferiores.
Se resumen aquí brevemente los resultados y conclusiones de dichos experimentos que
pueden ser de interés para este trabajo. Quon y Wong [76] trabajaron con una polarización de
las rejillas tal que la velocidad de deriva de los electrones acelerados por la CD estuviera entre
15
una y tres veces la velocidad térmica del plasma. Encontraron con ello CDs estables, con saltos
de potencial eAUo/Tc ~ 2-8, pero con fluctuaciones de densidad iónica del orden del 50% en
el lado catódico (potencial bajo) de la capa doble. Sekar y Saxena [82] obtuvieron CDs con
eAUo/Tc ~ 15 — 50 en un dispositivo de plasma doble. En estos experimentos observaron que
el haz electrónico acelerado por la CD termalizaba en distancias de 8-10cm, que corresponde
a una frecuencia efectiva de colisiones de ~ 107seg_1. Este efecto de termalización también
fue observado por Guyot y HoUestein [36] en máquinas de plasma triple y lo asociaron a
turbulencia de alta frecuencia (~ ct;pe).
La termalización, sin embargo, no es un fenómeno que vaya siempre asociado a la
generación de CDs. Por ejemplo, Coakley y Herskowitz [23], obtienen CDs tridimensionales
estacionarias con e¡SXJr>¡Tc ~ 14. Muestran que el haz de electrones acelerado por la CD
no termaliza y permanece bien diferenciado de los electrones confinados, Fig. 1.11. Torvén
y Lindberg [87] tampoco observaron degradación de energía en el haz de electrones pero
midieron oscilaciones de baja frecuencia (ÜJ ~ 50khz< uPi) con un máximo justo en la región
ocupada por la CD y oscilaciones de alta frecuencia {UJ ~ 500MHz~ cvpe) en la zona de plasma
anódico.
Las conclusiones que se extraen de estos experimentos concuerdan con las de los ex
perimentos con contactores de plasma: (i) confirman que las estructuras estables con CDs
son sencillas de obtener y mantener; (ii) las CDs son estructuras inherentemente dinámicas
con un elevado nivel de fluctuaciones; (iii) no hay acuerdo sobre la posible termalización del
haz de electrones acelerados; (iv) no hay datos concluyentes sobre la presencia y efectos de
inestabilidades de corriente.
1.4. MODELOS TEÓRICOS DE CONTACTORES
Los resultados obtenidos de experimentos con contactores de plasma en cámaras de vacío
muestran que en su operación tienen lugar varios y complejos fenómenos físicos y diferentes
tipos de respuesta (modo con o sin núcleo, fluctuaciones y termalización, ionización externa,
...), existiendo incertidumbres importantes sobre cuáles son los parámetros que determinan
los procesos físicos dominantes y la respuesta del sistema plasma-contactor. Por otra parte los
experimentos en Tierra no son directamente aplicables a la ionosfera debido a las dificultades
para simular en Tierra los parámetros adimensionales de aquella [50] [80]. Incluso la ionización
externa, que se ha visto es común en los experimentos de laboratorio, puede ser ineficiente en
la ionosfera donde el contactor se mueve en un ambiente muy rarificado y la dinámica del gas
16
emitido por el contactor no está clara [33]. Resulta, por tanto, muy necesario tener modelos
teóricos que, aunque sean parciales y simplificados, permitan entender el comportamiento del
sistema plasma-contactor, ayudar a su diseño y predecir el comportamiento en el espacio.
Las simulaciones numéricas pueden ser un complemento útil y necesario de los modelos
teóricos. Bien diseñadas pueden resolver modelos más completos que los que se pueden tratar
con herramientas analíticas. Sin embargo se verá que la simulación de estructuras de plasma
con capas dobles intermedias, y más aún la simulación de colección de corriente en torno
a un contactor no plano, plantea problemas difíciles aún no resueltos, siendo el principal la
utilización de condiciones de contorno realistas.
1.4.1. Modelos teóricos
Los modelos de la configuración del plasma en torno a un contactor hacen generalmente
uso de las dos escalas espaciales del problema: la longitud de Debye, que es la escala natural
de las capas electrostáticas, y la escala típica de las regiones cuasineutras, ií, que se puede
asimilar al tamaño del contactor siendo en las aplicaciones R^> Xp. Así está, por un lado, el
estudio de la estructura interna de las capas electrostáticas, que se resuelve en la escala \E>
y suele tener una geometría unidimensional. Los resultados básicos sobre dicha estructura
fueron establecidos por Langmuir y sus colaboradores en la década 1920-30. Ellos determi
naron las leyes de Child-Langmuir, de Langmuir-Blodgett [57] y la condición de Langmuir
[58], ya comentadas en la Sec. 1.1, la ley de colección máxima derivada del llamado límite
por movimiento orbital (en inglés OML: Orbital Motion Limit)[67] y analizaron los efectos
de ionización de gas neutro dentro de la CE [58]. Como recoge Raadu, desde entonces y
principalmente para capas dobles, diversos efectos y variantes se han ido añadiendo a dichos
modelos pioneros (distintas funciones de distribución de las partículas, mayor número de es
pecies, efectos de temperatura,...) que no introducen modificaciones sustanciales en las leyes
básicas. Por su aplicación a contactores interesa señalar las generalizaciones de la condición
de Langmuir por efectos de esfericidad y de ionización en la capa, tratadas numéricamente
por Wei y Wilbur [89] y por Cooke y Katz [25], respectivamente, y analíticamente por Ahedo,
Martínez-Sánchez y Sanmartín [2] y Ahedo [4], respectivamente. En cuanto a la transición
entre la capa electrostática y el plasma cuasineutro colindante, se ha de cumplir la condición
de Bohm que establece que es necesaria una velocidad mínima de entrada del plasma a la
capa, que puede ser interpretada como la velocidad sónica del plasma [11].
La parte importante en el estudio de la estructura del plasma en torno al contactor co-
17
rresponde a las regiones cuasineutras. En la escala de éstas las capas electrostáticas pueden
considerarse normalmente (pero no siempre) como superficies de discontinuidad entre dos
plasmas o entre plasma y contactor. En este caso la estructura interna de las capas elec
trostáticas suele ser poco relevante y normalmente basta con conocer las condiciones de salto
a través de la misma. Un modelo de contactor autoconsistente y completo en sí mismo debería
proporcionar, dados un potencial del contactor, una emisión de plasma, unas características
del plasma y una geometría, cual es la corriente colectada y como es la configuración del
plasma en torno al contactor. Hay muy pocos modelos así y no hay ninguno que considere
efectos dinámicos, aunque sí hay un amplio grupo que incluye ad hoc en las ecuaciones del
plasma frecuencias efectivas de colisión para simular el efecto de supuestas inestabilidades de
corriente saturadas.
Para tener un modelo tratable analíticamente la geometría ha de ser sencilla. En plas
mas no magnetizados e isótropos se suele trabajar con geometría y simetría esféricas. Parks y
Katz [73] fueron los primeros que abordaron modelos de contactores catódico y anódico, pero
eran modelos muy poco elaborados y las conclusiones eran pocas y controvertidas. Para un
contactor catódico se limitaron prácticamente a modelar la expansión de los electrones emiti
dos introduciendo ad hoc una frecuencia efectiva debida a una inestabilidad ion-electrón. Para
un contactor anódico, intuyeron un cambio de configuración cuando se cumple la condición
de Langmuir en la superficie del contactor (transición al modo con núcleo) pero en vez de
reconocer la configuración con núcleo y CD hablan del colapso de la CE y teorizan sobre
alcanzar relaciones Ii/Ie de orden unidad, muy alejadas de la condición de Langmuir.
Hastings[37] sugiere que para que un contactor sea eficiente en un plasma magnetizado,
la nube del plasma debe ser turbulenta. Partiendo de la premisa (que no justifica) de que los
electrones están sometidos a una frecuencia efectiva total de colisiones ve,tot mucho mayor que
la girofrecuencia electrónica, í í e , ignora el campo magnético y plantea un modelo de nube
esférica de plasma sometida sin embargo a una amplia gama de otros efectos físicos: coli
siones de Coulomb, colisiones efectivas (proporcionales a la frecuencia del plasma), ionización
externa y recombinación. No hace un análisis de la importancia de cada uno de los efectos
que incluye, ni de la validez de la premisa básica, ni de la inestabilidad específica causante
de la turbulencia. Tampoco parece incluir el efecto del plasma ambiente (posible causante
de la inestabilidad) de manera que no aparece en el modelo una CD: sitúa el límite de la
nube esférica de plasma donde es ve,tot — ^e- En un artículo casi simultáneo, Hastings [38]
propone la inestabilidad ion-acústica como causante de la turbulencia. Hastings y Gatsonis
18
[39] profundizan en el mismo modelo de nube de plasma (sin CD) para contactor anódico,
especifican que las inestabilidades presentes son la ion-acústica y la de Buneman, e incluyen
en las ecuaciones dos términos de colisiones efectivas con expresiones provenientes de la teoría
de estabilidad para plasmas homogéneos e infinitos. Como se verá en el capítulo siguiente, no
tiene sentido sumar en un modelo ambas inestabilidades pues son dos casos particulares de
la inestabilidad de corriente ion-electrón. Iess y Dobrowolny[44] proponen un modelo esférico
de contactor anódico con cuatro especies pero también suman colisiones efectivas debidas a
las inestabilidades ion-acústica y de Buneman. Llegan a ver dos regiones cuasineutras en el
plasma, una interior de potencial alto y otra exterior de potencial bajo, pero las empalman
directamente, sin identificar la capa doble intermedia entre ambas.
En publicaciones posteriores la inclusión de colisiones efectivas debidas a inestabilidades
de corriente remite bastante y los modelos están mejor elaborados y analizados. Gerver et
al. [33] obtuvieron un modelo de contactor anódico con ionización interna y dos plasmas
no colisionales que recogía correctamente la configuración con núcleo y CD; sin embargo,
no investigaron en detalle la influencia de los parámetros en la solución (en parte quizás
porque el artículo está dedicado principalmente a plasmas magnetizados). Ahedo, Sanmartín
y Martínez-Sánchez [2] mejoraron y completaron el trabajo de Gerver et al. (i) usando mo
delos parcialmente cinéticos (más correctos) para las especies de plasma, (ii) determinando la
respuesta corriente-voltaje: J e ( / i , i7#) , (iii) obteniendo leyes asintóticas de comportamiento,
y (iv) incluyendo un modo de operación del contactor en el límite de movimiento orbital.
Estos autores muestran que hay una corriente de emisión mínima: J¿ = IÍ,SCL(UR) (SCL:
Space Charge Limit según nomenclatura de Wei-Wilbur), para obtener una configuración
con núcleo y CD. Por debajo de dicha corriente el núcleo desaparece y la CD se convierte en
una capa electrostática pegada al contactor, Fig. 1.12. Asimismo determinan una corriente
de emisión J¿ = IÍ,OML{UR) por encima de la cual, aunque el núcleo crezca, no aumenta la
colección de corriente. El modelo también es aplicable a contactores catódicos. (El análisis
de estabilidad del modelo estacionario de Ahedo et al. es el tema central de la Tesis).
Davis et al. [28] presentaron un modelo de ánodo con ionización externa, que reproduce
la configuración con núcleo y CD, pero apenas estudian la dependencia con los parámetros
y, como solamente resuelven el modelo numéricamente, han de modificar artificialmente al
gunas de las ecuaciones del plasma para obtener una solución aceptable. Ahedo [4] resuelve
analíticamente el mismo problema generalizando el modelo de ionización interna total de
Ahedo et al. [2] con ionización externa parcial. En el nuevo modelo vuelven a aparecer las
19
configuraciones con núcleo y sin núcleo, y la corriente de transición IÍ,SCL depende ahora de
UR y de la densidad de neutros. Ahedo demuestra que si bien los modos con y sin ignición
corresponden a modos con y sin núcleo, respectivamente, la transición entre dichos modos no
tiene porque corresponderse con la transición entre dIe/dUn finita e infinita, que se debe al
proceso de auto juste del tamaño del núcleo para que se cumpla la condición de Langmuir.
Para un contactor catódico, Parks et al. [74] han estudiado un modelo con ionización externa.
1.4.2. Simulaciones numéricas
Los modelos más detallados de simulación numérica parten de una descripción cinética
del plasma y analizan la interacción de las distintas partículas entre sí y con el campo electro
magnético, bien resolviendo numéricamente las ecuaciones cinéticas, bien aplicando métodos
de seguimiento de partículas. Estos últimos se basan en el cálculo de la trayectoria individual
de un número grande de partículas a partir de sus ecuaciones dinámicas. Usando esquemas y
algoritmos apropiados, un conjunto modesto de unos pocos miles de partículas puede simular
correctamente el comportamiento colectivo de plasmas reales. Para plasmas no colisionales,
el método más extendido en la literatura es el PIC (Particles In Cell), extensamente descrito
en el texto de Birdsall y Langdon [8].
El esquema más común para generar estructuras con capas dobles intermedias consiste
en simular una región unidimensional plana de plasma cuyos extremos actúan de electrodos
emisores plasma y están sometidos a una diferencia de potencial entre ambos; para una
revisión de estas simulaciones véase el artículo de Raadu [77]. El problema más importante
de estas simulaciones proviene de que la región es finita y las condiciones de contorno no son
periódicas, sino que han de simular flujos de plasma convectivos (de las especies aceleradas
por la CD) y térmicos (de las especies confinadas por la CD). Al estar introduciendo cargas
eléctricas en el sistema, un problema grave es el mantenimiento en cada momento de la
neutralidad global del plasma. Un defecto o exceso de carga eléctrica produce enseguida
fuertes campos eléctricos que alejan fácilmente a la simulación de los objetivos deseados.
Este problema se presenta fundamentalmente al comienzo de las simulaciones, en la fase
transitoria, que suele ocupar buena parte del tiempo de simulación, pues se suele partir de
condiciones iniciales extremas: bien se considera una región llena de plasma a la que se
somete bruscamente a una diferencia de potencial entre los extremos [42] [47], bien se tiene
una diferencia de potencial entre los electrodos, y la región, inicialmente vacía, se va llenando
de plasma [15]. El primer esquema es el más usual y para evitar que la región de simulación
20
se cargue eléctricamente se suele reintroducir cada partícula que sale de la misma, pero el
esquema ha de decidir si la partícula que sale procede de un flujo convectivo o de uno térmico
para realizar la reinserción en un extremo u otro. Las condiciones de contorno son pues
claramente dinámicas, acoplan los flujos de los dos electrodos, y difícilmente pueden respetar
la convección de los haces acelerados (lo que introduce efectos indeseados de reflexión de
ondas en los extremos [47]). En algunos esquemas el acoplamiento entre electrodos es aún
más fuerte pues directamente cierran el circuito eléctrico. Otra aspecto fundamental del
problema, poco discutido, es que si no hay generación de partículas las capas dobles no pueden
ser estacionarias, si las condiciones de contorno no respetan la condición de Langmuir, Ec.
(1.8).
Como consecuencia de lo anterior, no es de extrañar la diversidad de resultados que
aparecen en las simulaciones. Es difícil saber las condiciones experimentales que realmente
se están simulando y discernir cuales son los aspectos que determinan la respuesta dinámica
del sistema. Así hay simulaciones donde: la CD es estacionaria, Fig. 1.13(a); la CD no existe
o es una CE pegada a uno de los electrodos [64]; la CD existe pero se mueve lentamente
hacia el ánodo y se queda pegada a él [93]; la estructura con CD es destruida y reconstruida
periódicamente, Fig. 1.13 (b) [42] [47]. No obstante, de las simulaciones que obtienen capas
dobles estacionarias o cuasiestacionarias se pueden extraer ciertas conclusiones de interés. La
primera es la presencia en todas ellas de fluctuaciones de distintas frecuencias a uno o ambos
lados de la CD. Posiblemente ligados a éstas, se detectan distintos niveles de turbulencia en
los espacios de fases de iones y electrones, que conducen, bien a la termalización parcial de
los haces, bien a la ruptura de la CD, Fig. 1.13 (b). Los niveles de turbulencia y terma
lización aumentan con los tamaños de las regiones cuasineutras, y los autores lo asocian a
inestabilidades de corriente.
La simulación de colección de corriente de un plasma ambiente por un contactor es un
problema todavía más difícil del problema plano discutido hasta aquí pues (i) la región de
simulación no debe ser plana; (ii) el efecto del plasma ambiente lo ha de simular un segundo
electrodo. Calder y Laframboise [17] [18] y Ma y Schunk [63] han simulado la colección
de corriente mediante esferas pasivas, pero la única simulación que se ha encontrado de
un contactor activo de plasma es la de Marschall y Neubauer[64], que usan una geometría
esférica y tienen el mérito de modelizar incluso la ionización externa de gas. Sin embargo, el
esquema, aparte de adolecer de los problemas anteriormente mencionados en las condiciones
de contorno, incluye un circuito externo que acopla ambos electrodos, solución poco adecuada
21
para simular el plasma ambiente. En todas sus simulaciones el campo eléctrico tiene un
elevado nivel de fluctuaciones, y en ninguna de ellas se forma una capa doble intermedia.
Para tiempos "largos" la corriente eléctrica tiende a estabilizarse en un nivel de fluctuaciones
del 40%. Según los autores, los resultados parecen indicar la presencia de una inestabilidad
ion-electrón saturada.
Las conclusiones que se extraen de las simulaciones numéricas son: (i) éstas concuerdan
poco con los resultados experimentales, donde las CDs estacionarias son la regla; (ii) los
modelos numéricos tienen dificultades no resueltas para simular flujos convectivos de plasmas
y para simular un plasma ambiente; y (iii) los modelos numéricos no están más próximos
que los modelos teóricos de comprender y reproducir certeramente el comportamiento de los
contactores de plasma. Por tanto, parece necesario que los avances en la investigación se
apoyen en un uso complementario de ambas herramientas.
1.5. OBJETIVOS Y CONTENIDO DE LA TESIS
De la revisión hecha en las secciones anteriores se obtiene la siguiente información sobre
la estabilidad del plasma en torno al contactor:
a) Los experimentos con contactores demuestran que se pueden obtener estructuras de
plasma estables durante tiempos largos.
b) Aunque la teoría de contactores está a medio desarrollar, existen ya modelos teóricos
estacionarios que reproducen correctamente tales estructuras estacionarias.
c) Sin embargo, diversos autores han señalado que, de acuerdo a la teoría básica de
estabilidad [7][61][72] (para plasmas homogéneos e infinitos), las condiciones de dichas solu
ciones estacionarias son tales que diversas inestabilidades de corriente han de producirse; en
particular han propuesto las inestabilidades de Buneman e ion-acústica.
d) Las fluctuaciones y fenómenos de termalización presentes en algunos resultados ex
perimentales apoyan la presencia de inestabilidades, pero la persistencia de la solución esta
cionaria indica que las inestabilidades se saturan en un nivel bajo de energía.
e) La inhomogeneidad de la solución estacionaria, la existencia de la capa doble libre
intermedia y las condiciones de contorno del contactor hacen que los resultados de la teoría
básica de estabilidad no puedan ser asumidos directamente . No existen estudios de estabili
dad o de respuesta dinámica que tengan en cuenta todos esos aspectos.
f) Las simulaciones numéricas no resuelven la cuestión pues tienen dificultades en re
producir la geometría y condiciones de contorno de los experimentos, y no llegan a obtener
22
configuraciones estables durante tiempos largos.
Esta Tesis se plantea como objetivo central el análisis de la estabilidad lineal de una con
figuración estacionaria del tipo núcleo/CD/prevaina. De los modelos estacionarios publicados
el más apropiado para analizar su estabilidad y la respuesta dinámica del plasma es el modelo
esférico de Ahedo et al [2] pues presenta detallada y consistentemente las características de
la solución espacial y la dependencia con los parámetros que definen el problema.
Aparte de este capítulo 1, donde se ha revisado la situación práctica y teórica de los
contactores de plasma, el resto de la Tesis se ha organizado de la manera siguiente. El Cap. 2
presenta un breve desarrollo de la teoría lineal de inestabilidades de corriente, centrándose en
modelos macroscópicos (fluidos) de plasma, y su aplicación a plasmas de tres especies con cor
rientes cruzadas como los que aparecen en torno al contactor. Los objetivos de este capítulo
son (i) presentar los distintos tipos de inestabilidad, las condiciones en que se desarrollan y
su velocidad de crecimiento, y (ii) aclarar ciertos ideas erróneas presentes en algunos trabajos
publicados. Este capítulo termina con un resumen de resultados sobre el desarrollo no lineal
de las inestabilidades de corriente. En el Cap. 3 se formulan las hipótesis principales del
modelo empleado y las ecuaciones no estacionarias del plasma. De éstas se derivan las ecua
ciones del modelo estacionario y las ecuaciones lineales de perturbación, que seguidamente
se desarrollan en armónicos esféricos. Se obtienen también las ecuaciones cuasiestacionarias
de una capa electrostática, la forma general de la condición de Langmuir de una capa doble
y de la condición de Bohm para la transición entre un plasma cuasineutro y una capa elec
trostática. El Cap. 4 presenta una versión totalmente fluida del modelo de Ahedo et al,
que era parcialmente cinético y resultaba excesivamente complejo para un primer modelo
dinámico. Se ha aprovechado esta nueva formulación y las sugerencias que proporcionaba
el análisis de estabilidad para profundizar en las conclusiones del modelo original y analizar
algunos efectos y límites nuevos. Los Caps. 5 y 6 se dedican a la respuesta dinámica del
sistema a perturbaciones que preservan la simetría esférica (modos radiales), a demostrar la
inexistencia de la inestabilidad ion-electrón radial y la presencia de la inestabilidad electrón-
electrón. La división en dos capítulos está motivada por la distinta respuesta del plasma en
dos rangos distinguidos de frecuencias: frecuencias iónicas o del orden de u) ~ Cs/R donde Cs
es la velocidad sónica típica del plasma, y frecuencias electrónicas o del orden de UJ ~ Ce/R
donde Ce es la velocidad térmica típica de electrones. En el primer caso domina la dinámica
de los iones y las especies electrónicas responden cuasiestacionariamente (instantáneamente);
en el segundo domina la dinámica de los electrones y las especies iónicas son cuasirrígidas
23
(casi no responden). El Cap. 7 estudia las soluciones estacionarias del sistema sometido a
condiciones de contorno con falta débil de simetría esférica (modos oblicuos estacionarios o
no uniformidades) y los posibles modos propios estacionarios. Este estudio, además de ser un
análisis previo a los modos oblicuos dinámicos, tiene interés por si mismo pues en la realidad
la estructura de plasma en torno a un contactor nunca es realmente esférica. El Cap. 8 se
dedica al estudio de los modos oblicuos en el rango de las frecuencias iónicas y demuestra la
presencia de la inestabilidad ión-electrón oblicua. Finalmente se presentan las conclusiones
más relevantes de la Tesis y las posibles extensiones de la misma. Parte de los resultados
obtenidos en los Caps. 7 y 8 han sido publicados en [3] [59].
Las soluciones de las ecuaciones dinámicas lineales se obtienen tanto por integración
numérica como por aplicación de técnicas WKB en límites apropiados. Un único Apéndice
desarrolla resultados del método WKB necesarios para los Caps. 5 a 8. Exceptuando este
caso, se ha optado por presentar todos los desarrollos analíticos en el texto principal, en vez
de trasladar parte de ellos a apéndices con la idea de que ello facilita y no dificulta la lectura
y comprensión del mismo. También ha de avisarse al lector que, dado que el proceso de
construcción de las soluciones en los Caps. 5 a 8 es similar, no han podido evitarse ciertas
las repeticiones de algunos razonamientos y procedimientos.
24
Figuras del Cap. 1
Figura 1.1: Operación estacionaria de un contactor anódico. El cátodo hueco es el
cilindro de la derecha. El núcleo corresponde a la región iluminada, siendo indistinguible el
espesor de la CD (de Conde y León [24]).
POTENTTAL
CONCS'TUAl VARIA TÍON OF CONOmONS TTHROUGH DOU8LE LAYB?
Figura 1.2: Perfil axial de potencial y trayectoria de las partículas en torno a un con
tactor anódico.
tXJUNtt & CAMfU UAGNUICU
CIRCUITO
REFRIGERANTE
ozmtt V////////?////////////////\ QQQQIDOL
Ao n ° 0 o ^ O
PUSUA
üüü Y///¿///¿//Wi///$WSZ^ y
I I * AN000 (OSCO 0 T0RO0C)
Figura 1.3: Esquema de un dispositivo de cátodo hueco (de León [60]).
25 1000
v -
Figura 1.4: Composición de la ionosfera durante el día (de Kelley [52]).
PLASMA CDHTACTOR
Figura 1.5: Esquema de funcionamiento de una amarra electrodinámica entre dos
satélites (modo generador).
(a)
Contactor q
H±TA VA
Tether
Load
Ú Contactor
\ / ~ ^ P l 0 i » 0
Ttthtr
i«
K-lT*a-/l^H ¿vc
Contactor ^ " * j j T I ^ p
(b)
Figura 1.6: Diagrama de potencial para una amarra electrodinámica funcionando como
(a) generador o (b) propulsor (de Martínez-Sánchez y Hastings [65]).
26
10.0-
(a)
-10.0
*ñ.« 5.3 sccm ;Xe) 3 ,» i • «:C 'orr
0.0 5.0 '0.0 '5.0 20.0
¿Z:AL 3OS¡T!ON [Z ] (cm)
"1 •. i
1 ELECTRON / 1 EMiSSiCN <E£> 1 CMABACTÍRISTIC ! 1
:
40
EM
t
v^ 20
(SSiON CURHÍNT , J a , lmA>
•000 -
-T3 " c 3 A v : o " "•50 - r-.. - * ' sccm I X « I
% • 5X10 6 'orr
500 -
250 -
0>MP1NG fOTENTlAL i v ,
20 ' - ' - l ' X . - i O
250 - '
• - >
ELECTRÓN 500 - :0LlECT:ON (EC - \
CMARACTERtSTIC \
2 to 20 V
V , l (V)
60
TflANSlTION - TO IGNITEO
OPERATION
(c)
c? 40
1 30
o 20 0-i 10
3 a)
r-
\
^ i ^
J Q , - 0.3 A V Q J - 23 V
m c - 4.1 sccm (Xe)
P 0 - 4x !0~* íorr
J^g— - 3 7 0 mA
25 - — 0 . 6 A / •"."« 5.3 sccrr 3 . * * 2X'0'*
10
(b) | ' o ' S'o'
Sio
hs i
O-MAXWEUJAN EL£CTRONS a-MONO-€NERGCTC ELECTHONS
40 F ^ ,
l < w 20 f-
! , 0h !o—>o.
n
«* . ENERGY i
- • . TEMPERAR! RE
( 0
Q
" , 10 20 30 40
AXIAL POSIT10N [Z] (cm) 50 60
(d)
<IAL ^ 3 ¡ - - : N X T
Figura 1.7: Experimentos de Wilbur et al [92] [90]: (a) Estructura de potencial para
un contactor anódico. (b) Perfiles axiales de potencial, densidad, temperatura y energía, (c)
Curva corriente-voltaje, (d) Perfil axial de potencial para un contactor catódico.
10 -
:U) l = 24 5 mA
/
- U0 * \ . : U mA ^
! \
• * i * +
30 60 90
Y (cm) 120
27
10 15 JO
V (eV) ::o
(a) (b)
Figura 1.8: Experimentos de Vannaroni et ai [88]: (a) Perfiles axiales de potencial
para tres potenciales de contactor distintos, (b) Funciones de distribución de la población
electrónica a varias distancias del contactor para UR — 26V.
VP(V)
3 0 - • - • "
2 0 -
10-
0 -0
1010-10 12
ne (cm'3)
10»-
0 4.0-
| T e ( e V ) 3 0 :
I
2.5-
2.0- • • • • 4 6 8
x(cm)
10 12
HAZ MONOENERGETCO
15 20 23
E(eV)
(a) (b)
Figura 1.9: Experimentos de Conde y León [60]: (a) Perfiles axiales de potencial, den
sidad y temperatura, (b) Funciones de distribución de la población electrónica a varias
distancias del contactor para UR = 30V.
28
n«*Nios
/
í ^
£.-''
V 808AAS 0£ CAIfl)
¡UlAS OISPOSIIM) DE PIASUA DO&E
i? úiSPOSHWO DE PLASMA IRIRI
fiwiMOS
lo Oí
306KASKOi«
Figura 1.10: Esquema de dispositivos de plasma doble y triple (de León [60]).
' 3 5 / 3 0
25 AXIAL ? 2 0 POS1TKDN
cm
I 2 3 4 5 6 V/VB
Figura 1.11: Funciones de distribución de la población electrónica (de Coaklev y Her-
skowitz [23]).
29
Oouble-Loyer
Sheoth
I ÍAnodeJ » i !
(Ambient plasma:
\ \ \ \
Core N ^Presheath
ÍAnodel ¡ ¡
C o n f i n e d / / / eíectrons / /
Figura 1.12: Esquema de contactor anódico en modo con núcleo y sin núcleo (de Ahedo
et al [2]).
.- < , — * T T %
(a)
n 1 1 1 1 1 1 1 ic
i i i i i i i
144 216
X / X „
288 360
(b)
1000
500
¡00
50
10
5
r
-
0
j ( j j , —
» = 5 3 9 w ^ e
; I I I I
80 160 2 4 0 ENERGY
i 1 r
i i i
320
-
_
-
v|í 4C
Figura 1.13: Simulaciones de Joyce y Hubbard [47] [42]: (a) CD estacionaria, (b) CD
en proceso de destrucción.
31
Capítulo 2
INESTABILIDADES DE CORRIENTE EN PLASMAS HOMOGÉNEOS
2.1. INTRODUCCIÓN
Este capítulo repasa resultados conocidos sobre los tipos de inestabilidades en plasmas
no magnetizados, el análisis lineal de las mismas, y, brevemente, la evolución no lineal de
algunas de ellas [26] [54] [66]. Se hacen también las extensiones de dichos resultados a plasmas
de tres especies del tipo de los que aparecen en núcleo y en prevaina, y se cuestiona la idea
común [38] [39] [44] de que las inestabilidades ion-acústica y de Buneman, existen o son las
dominantes en las configuraciones de plasma que se forman en torno a un contactor.
En un plasma no magnetizado solamente pueden propagarse ondas de tipo acústico y
de tipo electrostático, que pueden dar lugar a la generación de inestabilidades electrostáticas
asociadas, en general, a acumulaciones crecientes de carga eléctrica. El umbral de generación
de estas inestabilidades está ligado a que la velocidad de deriva relativa entre dos de las
poblaciones del plasma sea suficientemente alta, por lo que también se las conoce como
inestabilidades de corriente. Por otra parte, las inestabilidades en un plasma se dividen en
dos categorías:
- Macroinestabilidades: Son inestabilidades asociadas a desviaciones de cantidades
macroscópicas del equilibrio termodinámico y normalmente son estudiadas con modelos flui
dos del plasma.
- Microinestabilidades: Están asociadas a desviaciones de la función de distribución
posición-velocidad, / (x , ¿7, í), de una distribución de equilibrio (maxwelliana). Para tiempos
cortos se estudian empleando la ecuación no colisional de Vlasov.
Desde el punto de vista teórico el primer paso en el estudio de la estabilidad de una
solución estacionaria (o de equilibrio) de un sistema es el estudio de estabilidad lineal mediante
las ecuaciones linealizadas del plasma para el desarrollo de pequeñas perturbaciones. En el
caso más sencillo de una solución de equilibrio homogénea e infinita en el espacio, estas
pequeñas perturbaciones se descomponen en modos normales de la forma expi(fc • f — uoi).
Introduciendo esta dependencia espacio-temporal en las ecuaciones de perturbación se obtiene
una relación de dispersión
D(k,u) = 0, (2.1)
32
para los modos propios que puede sostener la solución de equilibrio. Para cada dirección
fijada de fe caben dos tipos de análisis [43] [54]:
- El análisis temporal estudia la evolución en el tiempo de pequeñas oscilaciones es
paciales alrededor de la solución de equilibrio del plasma. Busca así, para cada fe real, las
soluciones u)re + io;¿m = u)(k) en el campo complejo de la relación de dispersión (2.1). Este
procedimiento es el más comúnmente usado en estudios de estabilidad: los modos propios
inestables de la solución de equilibrio son los pares (fe, a;) con fe real y uirn > 0. Si hay modos
inestables el comportamiento del sistema para tiempos largos vendrá dictado por el modo
más inestable, es decir aquel con uiirn máxima, o;*m.
- El análisis espacial busca la respuesta espacial del plasma a modos oscilatorios en el
tiempo, es decir, busca las soluciones kre + \kirn = fe (o;) en el campo complejo de la relación
de dispersión para u> real. Este método es adecuado para analizar la amplificación espacial
de pequeñas señales producidas en un punto particular de la solución de equilibrio.
Si la solución de equilibrio es homogénea y ocupa una región finita, los modos propios
del sistema dependen de las condiciones de contorno y tienen, en general, fe y u complejos.
En este caso, el procedimiento consiste primero en determinar, con la relación de dispersión
local (2.1), los números de onda, fe(cj), para cada LJ complejo. La solución general es entonces
combinación lineal de modos fundamentales de la forma expi(fe(u;) • f — u)t). La imposición
de las condiciones de contorno define la relación de dispersión global del sistema
D(w) = 0. (2.2)
Si el modelo de plasma es fluido, las ecuaciones (2.1) y (2.2) suelen ser algebraicas y su
resolución no suele ser muy complicada, al menos numéricamente. Sin embargo, si el modelo
es cinético, las relaciones de dispersión incluyen integrales en el espacio de velocidades de la
función de distribución, que aumentan enormemente la dificultad de su resolución.
Si la solución de equilibrio es espacialmente inhomogénea no suele convenir hacer una
descomposición en modos espacio-temporales, sino únicamente en modos temporales propor
cionales a exp(— iwt). Con un modelo fluido se obtienen así, para cada a;, unas ecuaciones
diferenciales (de coeficientes variables) en las variables espaciales. La solución numérica de
éstas es abordable cuando la geometría es sencilla, y la imposición de las condiciones de
contorno homogéneas a la misma da la relación de dispersión global (2.2). Si el modelo es
cinético, las ecuaciones diferenciales anteriores incluyen integrales en el espacio de velocidades
que generalmente hacen que el problema sea difícil de abordar.
33
El sistema plasma/contactor presenta una solución de equilibrio fuertemente inho
mogénea, con capas intermedias de fuertes gradientes, y las soluciones de equilibrio que se
conocen corresponden a modelos básicamente fluidos. Ambas características prácticamente
obligan a adoptar un modelo fluido para el estudio de su estabilidad. En favor del modelo
fluido está además que las macroinestabilidades, de existir, son, como se verá, más fuertes
que las microinestabilidades asociadas.
2.2. RELACIÓN DE DISPERSIÓN EN UN PLASMA HOMOGÉNEO
Si bien la presencia o no de una inestabilidad de corriente depende de las condiciones
particulares de la solución de equilibrio, los tipos y características básicos de inestabilidades de
corriente se pueden estudiar a partir de soluciones de equilibrio homogéneas y espacialmente
infinitas. Los resultados principales se pueden encontrar en numerosos textos y artículos
[20] [21] [43] [54]. Se presenta aquí un somero análisis de los mismos, haciendo énfasis en plas
mas "de tres especies" como los que se encuentran en el sistema plasma-contactor, y en las
diferencias entre los resultados de los modelos fluido y cinético.
Se comienza con un modelo multifluido para el plasma. Supóngase que un plasma
homogéneo y cuasineutro está constituido por varias especies, cada una de las cuales, llámese
a, tiene en el equilibrio una densidad iVao, una temperatura Tao y una velocidad macroscópica
VaQ. De la condición de cuasineutralidad resulta
^QocNaQ ^ 0,
donde ga es la carga eléctrica. Las ecuaciones macroscópicas lineales de perturbación de la
especie a se pueden escribir [ver Sec. 3.2]
dNal
dt + Na0V • Val + Va0VNal = 0, (2.3)
~ + (Va0 • V)Val = -SSLWr - ^ V A T Q l , (2.4) dt m a ivao
donde el subíndice 1 indica la perturbación de la variable correspondiente, U es el potencial
eléctrico, ma es la masa, C^0 = QocT^/rrio, es la velocidad sónica para cada especie y la
constante ga es igual o mayor que 1 dependiendo del carácter isotermo o adiabático de la
perturbación. Las ecuaciones fluidas se completan con la ecuación linealizada de Poisson
-e0V2tfi = £ & # « ! . (2.5)
34
Las soluciones de (2.3)-(2.5), proporcionales a exp(ife • r — iut), verifican las ecuaciones
algebraicas
(-u; + fe • Va0)Nal + Na0k • Val = 0, (2.6)
(-v + k - Vao)Vai = - — M7i - C ¿ O * T K (2.7) mQ iVao
e0fe2^i = $^feJV a l , (2.8)
De aquí se obtiene -Nal _ 1 ga „
(2.9) ^ fe u)/k- V^Q qa Val k{u/k-V^-CiQma
U
donde V^0 es la proyección de Vao en la dirección de propagación de la onda:
Ko = —jr^~ = v*o c o s ^a , da = ang(fe, VaQ).
Sustituyendo JVai por (2.9) en (2.8) se obtiene la relación de dispersión local (2.1) en la
forma
donde CJPOL es la frecuencia propia de la especie a,
'C2JVao\V2 WpOL
V £nm,v / SoTUa
(se ha tomado carga eléctrica unidad para todas las especies). A su vez, se define una longitud
de Debye para cada especie como
A„a = ^ = f ^ | ^ ) 1 / 2 , (2.11)
donde, aunque no es usual, resulta conveniente incluir la constante ga en la definición de
\D<X- Para cada fe real, (2.10) es una ecuación polinómica en CJ que da los 2n modos propios
del sistema, donde n es el número de especies del plasma.
Si las velocidades de equilibrio Vao de todas las especies son paralelas, la solución de
equilibrio es unidimensional además de homogénea, y se puede distinguir entre modos lon
gitudinales y modos oblicuos, según fe sea paralelo a Vao o no. Asimismo para k\r> «C 1,
35
donde A^ es la longitud de Debye principal del problema, los primeros miembros de (2.5) y
(2.10) son despreciables y se tienen modos cuasineutros o fluidodinámicos, mientras que para
k\D =0(1) se tienen modos electrostáticos o de carga espacial
2.2.1 Relación de dispersión en la teoría de Vlasov
En la teoría cinética se parte de una función de distribución de equilibrio /ao(#) para
cada especie, y de las ecuaciones de Vlasov-Poisson se llega a una relación de dispersión de
la forma [54]
-s*(-.-¿)[/^gS-.+-1[^u/J. <«*> donde
Fao{u) = / fao(v)S í u — J dv,
es la función de distribución unidimensional en la dirección de fc, (t indica valor de Cauchy, y
S(u) es la función de Dirac. Se verá que los resultados de la teoría fluida son aproximaciones
de los resultados de la teoría de Vlasov cuando la velocidad de fase de los modos propios,
a;/fe, se encuentra en regiones donde las derivadas de las funciones de distribución de todas
las especies son poco importantes.
2.3. P L A S M A ION-ELECTRON
El caso más sencillo consiste en un plasma de dos especies, electrones (e) e iones (¿),
donde la población e se desplaza con una velocidad VQ relativa a la población i. La relación
de dispersión (2.10) toma la forma
2 2
u;*-fc*C?0 (a; - W¿)* - k*C*0
^Eí. = ^ <^ i CiQ = me QiTi0
le mi ' Ce0 mi QeTeO u>;
La ecuación (2.13) es polinómica de cuarto grado en o; y el carácter de sus soluciones depende
principalmente de los valores de k y V¿. La Fig. 2.1 muestra dos ejemplos típicos de soluciones
para dos valores de V¿/Ceo\ en un caso todos los modos son neutralmente estables [(virn = 0]
36
y en el otro hay una rama de modos inestables [u^m > 0]. Para las ramas llamadas I en la
Fig. 2.1 cü(k) se puede obtener despreciando el primer sumando de (2.13), y es
üü~W¿±upe^l + k2\2De. (2.14)
Estos modos son ondas de Langmuir que, montadas sobre el haz e, oscilan a la frecuencia
natural del plasma; los iones no reaccionan a estas frecuencias y se dice que permanecen
cuasirrígidos en su solución de equilibrio.
La validez de la teoría fluida está restringida en principio a
-VÁ 3> Ceo, es decir , k\r>e <C 1.
En la teoría de Vlasov, suponiendo que ambas especies son maxwellianas en su sistema de
referencia propio, la solución de (2.12) para k\ne < l e s [54]
UJ kVc í i u ^ l + PA^-i 27TT (JÜ. pe
exp k2XDe
+ 1 (2.15) 8 |fc3A3
De
donde en la definición de Xoe se ha tomado ge = 3 según indica la propia teoría, es decir los
electrones se comportan como un fluido adiabático unidimensional; nótese que en la teoría
fluida las ecuaciones de estado de cada especie se imponen ad hoc. La solución (2.15) indica
que las ondas de Langmuir están amortiguadas para todo kX^e / 0, y sólo llegan a observarse
en la práctica aquéllas con k\r>e <C 1. Este amortiguamiento es el amortiguamiento de
Landau y se suele explicar argumentando que las partículas que, en promedio, intercambian
más energía con el campo eléctrico son aquéllas cuya velocidad u se aproxima a la velocidad de
fase de la onda, o;/fc; las partículas que se mueven a una velocidad mayor que la de la onda le
traspasan energía cinética, y las que se mueven más lentamente que la onda absorben energía
de la onda. Para una función de distribución monótona decreciente (para una maxwelliana,
on particular) hay más partículas que absorben energía de la onda que partículas que la dan;
en consecuencia la onda se amortiguará. Al ser un efecto de resonancia onda-partícula el
amortiguamiento de Landau no puede ser reproducido por la teoría fluida.
Las ramas II de la Fig. 2.1 corresponden a ondas ion-electrón con co/k <C VQ, donde los
electrones se comportan cuasiestacionariamente. Despreciando u) en el segundo sumando de
(2.13) se obtiene
k ± Cl + mP fi2 _ T^/2 U e0 V0
" " l + ^ ^ L Vi2
w. pe
1/2
(2.16)
37
Para V¿ <C Ceo esta expresión se convierte en
r2 mP CeO 1/2
mi 1+fc2A^e
que, para fcA^e <C 1, corresponde a ondas ion-acústicas clásicas con
U) — — ±C5 0 , Cso — A/C¿O + Ce< fe
rnP y i0 "T ^eO m?:
g er e 0 + g¿T¿o
(2.17)
(2.18)
y Cso se interpreta como la velocidad sónica del plasma; para k\ne ^> 1, (2.17) corresponde
a las ondas iónicas de plasma [70] con
o; ~ UJ. pi*
2.3.1. Inestabilidad ion-electrón
Sea ahora k\pe C l e n (2.13). El comportamiento de las ondas ion-electrón (i-e) con
V¿/Ceo crecientes se obtiene de (2.13) despreciando la carga espacial,
cu
fe
^v¿± mi
! + ?*)&,- ^V° mi
ys0 mi
1 + me
mi
o, haciendo me/mi —> 0, üü
fe ±>IC*0 m
ev¿\
Estas ondas se vuelven inestables para
mi (uJÍ7n > 0) V¿ > —Cs0 ~ Ce0, me
(2.19)
(2.20)
y ésto es lo que se conoce como inestabilidad de corriente ion-electrón. En el caso particular
V¿ ;» Ceo, la inestabilidad también se conoce como inestabilidad de Buneman [16]. De
acuerdo a (2.19) la velocidad de crecimiento de la inestabilidad aumenta con V^ y fe, pero tal
ley solamente es válida mientras |fcVo | <C 0Jpe y los efectos de carga espacial son despreciables.
De hecho, buscando el valor de kV¿ para el cual (2.13) pasa de tener dos raíces reales para u)
a cuatro, se encuentra que la inestabilidad desaparece para
' ^ \ 2 / 3 ] 3 / 2
\kV¿\>u. pe i + (2.21)
38
Por tanto la velocidad de crecimiento de la inestabilidad es máxima, u;*m, para un modo
fc* = fc(u;*m), con k*\De ~ Ceo/V¿ < 1. La Fig. 2.1(e)-(f) muestra que dicho máximo ocurre
en la región en que se acoplan las ramas I y II, luego para hallarlo es necesario manejar la
relación de dispersión (2.13) completa. La dependencia de a>*m y k* con el cociente V¿/Ceo se
muestra en la Fig. 2.2. Para el caso más destructivo: V¿ ^> Ceo, se encuentra analíticamente
que [16] [66]
* o l / 2 / \ 1/3 * i / \ 1/3 <4L %¡ /me\ w* 1 fme\ _ , , „. * u« ^ " ^ U l J • 5 - 2 I 7 5 U J • *•=*<"«.> = ^ . (2.22)
La (macro)inestabilidad i-e y el resto de las macroinestabilidades de corriente no se
explican por efecto de resonancia onda-partícula, sino por una realimentación macroscópica
que produce el crecimiento progresivo de las perturbaciones en la densidad de plasma y en el
campo eléctrico. Para el caso de la inestabilidad i-e (y 6 — 0) las ecuaciones de perturbación
de las densidades se pueden escribir
{C2eQ-V¿2)Nel~— Ne0Uu
ÍÍLp
9Nil ° (c2N + e ClNa + —NÍOUÍ = 0
Para fcApe <C 1 es Nn ~ Neí y, eliminando U\, queda
d2Nn / 2 TneT . ;2\ d2Nn
Estas ecuaciones recogen muy claramente cómo interaccionan el plasma y el campo elec
trostático: una perturbación espacial de densidad produce una perturbación U\ cuyo signo
depende del carácter subsónico o supersónico del haz e; en el segundo caso U\ actúa como un
término forzante inestabilizador al incrementar la perturbación en la densidad del plasma.
Para longitudes de onda corta, cuando los efectos de carga espacial cuentan, la interacción es
algo más compleja pero el mecanismo de la inestabilidad es el mismo.
Es interesante comparar la evolución de las perturbaciones en un plasma ión-electrón y
en un fluido (único) que se mueve con una velocidad estacionaria y uniforme VQ. La ecuación
de las ondas acústicas y la relación de dispersión para el fluido son
d2Nn ( 2 2, d*Na d*Nn _
T ~ VQ = ± C 5 Q ,
39
aproximadamente. En un sistema de referencia ligado al fluido la velocidad de propagación
de las ondas es Cso independientemente de Vb- Sin embargo, en un plasma ion-electrón la
velocidad de propagación disminuye con la velocidad de deriva relativa, Vb? Ec. (2.19), y
se hace cero para Vb = (m¿/me)Cso- Por tanto, sólo para velocidades de deriva bajas, el
comportamiento del plasma se puede asimilar al de un único fluido.
2.3.2. Inestabilidad ion-acústica
La teoría cinética introduce algunas modificaciones importantes en el comportamiento
recién obtenido para las ondas i-e. Suponiendo dos distribuciones maxwellianas de iones y
electrones, con TÍO ^ 2eo, desplazándose una respecto de la otra con una velocidad relativa
V¿, Fig. 2.3, se encuentra que, para V¿ <C Ceo y k\i)e «C 1, la relación de dispersión de las
ondas ion-acústicas es [54]
, kcs0 Uve = ±
\UJ. uT„n\V2
(l + fe'AL)»/'^) e X P(-2T i 0( l+WD e))+ (2>23)
Dentro de los límites de validez de esta expresión y despreciando efectos de carga espacial, las
expresiones para u>re en ambas teorías, cinética (2.23) y fluida (2.18), coinciden. Sin embargo
el tratamiento cinético muestra que las ondas ion-acústicas no son neutralmente estables en el
rango V¿ < Ceo, sino que están afectadas por el efecto resonante de Landau. Cada uno de los
dos sumandos en la expresión de o;¿m corresponde al efecto de Landau en iones y electrones.
Independientemente de VQ, los iones dan siempre amortiguamiento positivo, y éste es muy
fuerte para Ti0/Teo > 0(1). Los electrones dan amortiguamiento positivo para V¿ < CSQ y
negativo en caso contrario. El resultado es que, primero, solamente son observables las ondas
con Tio/Teo <C 1; segundo, éstas son inestables para
(u)irn > 0) V¿ > Cs0 ~ Vfe/m¡,
aproximadamente. Esta es la (micro)inestabilidad ion-acústica [20] [54] [72]. Si Tio/Te0 —» 0 y
k\r>e <C 1 la velocidad de crecimiento de esta inestabilidad es
Vi y o mi
40
Para k\r>e > 1 (y TÍQ/TGO <^ 1), el umbral de la inestabilidad ion-acústica está en [72]
(«>im > 0) V¿ > CsoJln ( ^ ^ ) » C50.
Aunque la expresión (2.24) sólo es válida para V¿ <C Ceo, la comparación con la Ec. (2.19)
sugiere que la inestabilidad i-e es la continuación para velocidades de deriva altas de la
inestabilidad ion-acústica. La Fig. 2.4, obtenida por Stringer [86], a partir de un modelo
cinético, muestra que efectivamente es así.
2.4. PLASMA ION-ELECTRON-ELECTRON
Sea ahora un plasma homogéneo constituido por dos especies de electrones, e y c, y
una especie de iones, ¿, y tal que las especies i y e se desplazan con velocidades Vio y Ko,
respectivamente, relativas a la especie c; interesan en particular los casos VioVeo < 0. La
relación de dispersión (2.10) toma la forma
LO1 UJ2- üü2
PC j ZH i Z21 — i (o 2^)
"2 - fc2cc2o ( " - kv¡Qy - k*c?0
+ (W + kv:0y - k*c2e0 ' l • ]
con o Wle / 2 2 \
UPÍ=— ("pe + "pe)'
Para iVe0 o iVco iguales a cero se han de recuperar los resultados de la sección anterior.
En la discusión de las soluciones se considerarán solamente las condiciones de mayor
interés
Ko ^ Ce0> Cc0> Vi0 <§; Ceo, Cc0.
Para cada k real, la ecuación (2.25) da tres pares de ramas temporales. La Fig. 2.5 muestra
soluciones típicas para tres valores distintos de Vef0/Ceo; en dos de los casos aparecen modos
inestables.
2.4.1. Inestabilidad ion-electrón
Para kXp pequeño, con A¿2 = A¿2 + A¿2, los dos modos de frecuencia más baja (ra
mas III) son ondas i-e montadas sobre el haz i. Su comportamiento temporal se obtiene
despreciando los efectos de carga espacial y la inercia de electrones en (2.25):
- ~ v ± me JVi0C7c2o(Ce
20 - V») n V 2
c,+ miNcQiCto-V^ + NeoC, cO
(2.26)
41
Para V¿0 <^ Ceo el término con raíz cuadrada se identifica con la velocidad del sonido del
plasma que promedia ahora la contribución de las dos especies electrónicas. De (2.26) se tiene
que este tipo de plasma presenta la inestabilidad de corriente i-e en el rango
(« i m > 0) C2e0 < V'2 < C2
e0 + Cc2o ^ , (2.27)
aproximadamente [ver Figs. 2.5(a)-(c)]. El rango de inestabilidad es más estrecho cuanto
menor sea Neo/Nco, es decir la población c tiene un efecto estabilizador. La ley (2.27), en
sus límites Neo = 0 y NCQ = 0 está de acuerdo con los resultados ya conocidos para esta
inestabilidad. Al igual que entonces, para determinar u;*m es necesario nuevamente tratar
con la relación de dispersión completa. La Fig. 2.6 muestra u;*m y k* en función de V^Q, para
Nco/Neo — 1.82, donde destaca el estrecho margen de inestabilidad. Esta figura se puede
comparar con la Fig. 2.2 que recogía el caso Nco/Neo = 0.
Para k\r>e <gC 1, las ecuaciones espacio-temporales de perturbación de las densidades
son
me
C2c0Ncl ~ —NcoUu
U i0dx) iVil r i 0 + m t Ne0C20 + NcQ(Cl, - V¡1)
donde ya se ha usado Nn ~ Nei +Nci para eliminar U\ en la ecuación de los iones. El primer
sumando de la última ecuación indica que el par de ondas va montado sobre el haz z, y el
término entre paréntesis del segundo sumando da el carácter oscilatorio o monotónico de las
perturbaciones. De los resultados de la sección anterior se sabe que, por separado, cada uno
de los dos haces de electrones es desestabilizador si su velocidad de deriva relativa a los iones
es supersónica (si no se tiene en cuenta la inestabilidad ion-acústica). En las condiciones
que se suponen aquí, el haz c es siempre estabilizador y el haz e es estabilizador sólo si
Ko < Ceo- Para V¿0 > Ceo, ocurre que una perturbación Nei produce una perturbación de
signo contrario en Nci. El rango de inestabilidad dado por (2.27) corresponde a |iVei | > \Nci |.
La conversión de esta inestabilidad en una inestabilidad ion-acústica, para V 0 < Ceo
ha de ocurrir de un modo similar al visto en la Sec. 2.3.
dx2 = 0.
42
2.4.2. Inestabilidad electrón-electrón
Los otros cuatro modos temporales de la relación de dispersión (2.25) (ramas I y II
en Fig. 2.5) son de frecuencia alta, con los iones cuasirrígidos en su solución de equilibrio.
Despreciando pues el término de iones en (2.25) se tiene 2 2
<V , UP* _ l t (2.28) «'-tfcs, (w - kv¿0y - vci0
que recuerda a la expresión (2.13) excepto que ahora el valor del cociente ci^/u;^ = Nco/Neo
puede ser cualquiera. Para k\o suficientemente pequeño, los cuatro modos están desacopla
dos en dos pares bien diferenciados. Por un lado están las ramas I de ondas de Langmuir
con
donde falta incluir unos términos pequeños de dispersión y amortiguamiento de Landau que
crecen con kXp. Por otro lado están las ramas II de ondas electrón-electrón con w _ * « * „ , , f Ne0C
2c0 + Nc0C
2e0 Ne0Nc0 2 \ 1 / 2
Estas ondas presentan una inestabilidad de corriente electrón-electrón, Fig. 2.5(g)-(i), para
«*->0> ^ > " , o ( g + g ) . (2.30) Por debajo del umbral de inestabilidad, las ondas son neutralmente estables y se propagan en
dos direcciones opuestas respecto de un sistema de referencia que se desplaza a una velocidad
intermedia respecto de la de las dos especies, Fig. 2.5 (d)-(f). Al igual que ocurría en los
casos anteriores, para determinar el rango en k de modos inestables y la máxima velocidad
de crecimiento de la inestabilidad es necesario usar la relación de dispersión completa. Las
Figs. 2.8 muestran u;*m en función de V¿0 y de Neo/Nco, respectivamente. Si V¿0 3> Ceo, Cco,
hay dos casos particulares del cociente N€O/NCQ en que es posible determinar analíticamente
las velocidades de crecimiento máximas. El primer caso es NCQ = iVe0 para el que se obtiene
[54] * _ <*>pc i„* _ 3 "pe
El segundo caso es Ne0/Nc0 = ü^/wjL < 1> c o n Ceo/K'o < Neo/Nc0 de acuerdo a (2.30), que
corresponde a la llamada inestabilidad de haz débil [66] y se estudia igual que la inestabilidad
de Buneman, dando
u;pc 2*/s\Nc0) u,pc 2*/s\jvcJ Ko' ^
43
Naturalmente el comportamiento para NCQ/N€O < 1 es "simétrico" del comportamiento
para Neo/NCQ <§; 1. Por tanto cuanto más iguales sean las densidades de las poblaciones
electrónicas y mayor sea V¿0 más fuerte es la inestabilidad. En cualquier caso la inestabilidad
electrón-electrón (e-e), para Arc0/ATe0=O(l), es mucho más fuerte que la i-e, como se puede
observar en las Figs. 2.7 y 2.8(a). Nótese de (2.27) y (2.30) que, en este tipo de plasmas, las
dos inestabilidades tienen intervalos de existencia disjuntos en V¿0 = Veo eos 0, de forma que
si VeQ es suficientemente grande existirán ambas inestabilidades para ondas con direcciones
de propagación apropiadas.
Las ecuaciones espacio-temporales de perturbación para e y c son
92Ncl 2 d2Ncl eNc0 d2Ur dt2 c0 3x2 me &x2 '
1 _u T/' A V M r* &2N<* - eN*« d2Uí
dt + Ve0dx) "el °e0 dx* ~ ^ T ^ ' que muestran que U\ acopla las ondas acústicas que se desarrollan en cada uno de los
haces, siendo el acoplamiento más fuerte cuanto más iguales sean las densidades. Eliminando
d2U\/dx2 y, para fcA¿> <C 1, haciendo Ne± ~ 7Vcl se obtiene
dt^ e0 Ni0 dx) cl V Nao Ne0 Ni0) Ni0 dx2
que muestra que el acoplamiento da lugar a inestabilidad cuando se cumple la condición
(2.30), y que el par de ondas se mueve a una velocidad intermedia entre las de los dos haces.
2.4.3. Inestabilidad "bump-in-tail"
Esta es la versión cinética de la inestabilidad e-e de haz débil. La Fig. 2.9 ilustra la
forma de función de distribución considerada, que se puede aproximar como suma de dos
maxwellianas. En la figura está marcado el rango de velocidades de fase que da lugar a ondas
inestables, que coincide con la región con dfeo/du > 0. Parece claro que esta inestabilidad es
más fuerte cuanto mayores sean iVco/iVeo, V^/Ceo, y V¿0/Cco (esta última condición permite
despreciar el amortiguamiento debido a la población mayoritaria). Para valores grandes de
estas tres cantidades se encuentra que la máxima velocidad de crecimiento es [54] [66]
La comparación de estas expresiones con (2.31) muestra que la versión fluida de esta ines
tabilidad ha de aplicarse para Nco/Ne0 > 0[(V¿0/Ceo)3]. Esta condición es la misma que
permite despreciar los efectos térmicos en la obtención de (2.31).
44
Otros cálculos con modelo cinético que refrendan los resultados anteriores son los de
Stringer [86] con dos plasmas cuasineutros y maxwellianos (cuatro especies en total), de igual
densidad y moviéndose a contracorriente. La Fig. 2.10 recoge la región de existencia y las
tasas de crecimiento de las inestabilidades e-e, i-e e ión-ión (esta última se estudiará en la
sección siguiente). La inestabilidad i-e solamente existe para Tio/Te0 < 1 y mayormente en
su versión cinética (inestabilidad ion-acústica) pues para V¿Q/Ceo > 2 ya ha desaparecido.
En dicha figura la inestabilidad e-e es insensible al parámetro Tio/Teo pues las dos especies
de iones no reaccionan.
2.5. PLASMA ION-ION-ELECTRON
Finalmente, sea un plasma formado por dos especies de iones, i y a y electrones, e.
Tomando la referencia para las velocidades en la población iónica a (Vao = 0), la relación
(2.10) queda
üü2 U2- üJ2
Pa + ^£1 + ZH - i (o 321 ^ / . . l^n \2 7.2^2 ^ / . . , 7.T/-/ \2 7.2^2 " " - 1 ' \¿.0¿) u,*-k*C¡0 (u, - kV(0Y - fc'Cjj, (W + w ^ y - k*C¡0
donde, para iVe0 = Ni0 + Na0 y ma = m¿, se tiene
< = Hi+0- (2-33)
Para cada k real la ecuación (2.32) proporciona tres pares de modos temporales. La Fig. 2.11
muestra tres soluciones típicas. Para kX^e pequeño, están por un lado las ramas I de ondas
de Langmuir con
u - upe,
y por otro dos pares de modos de tipo ion-acústico. Para éstas, despreciando los efectos de
carga espacial y de inercia de electrones en (2.32) se tiene
"Ía ' "* + T 7 T A ^ - 0 . (2.34) («/*)' - cl0 (W/* - v/o)2 - el vn - c2
e0
2.5.1. Inestabilidades ión-electrón e ión-ión
El carácter de las soluciones de (2.34) depende de los rangos de sus velocidades de
deriva. Así para
V£*^(V£-<%>),(%,(& (2.35)
45
se obtiene
- ~ V ± (c2 + ^.^(c2 - v'2)\1/2
k V Ne0mi J / M \ V 2 ( 2 - 3 6 )
k ~ ± \Ca0 + Ne0 m(Ce0 e o )
(ramas II y III, respectivamente de la Fig. 2.11(a)-(f)), que son dos pares de ondas i-e,
montada cada una de ellas sobre una de las poblaciones iónicas. Ambos pares se acoplan
para V$ ~ (me/mi)(V£ - Ce20) y, para
-{Vi2 - Cío) » VH C2a0,C
20, (2.37)
H
se tiene
s-±te<*--'®) • u _ Na0 fNa0C¡0 + Ni0C¡0 Ni0Na0irf2\
1/2 (2.38)
(ramas II' y III' de la Fig. 2.11(g)-(h)) que son ondas i-e y ondas ión-ión, respectivamente. En
estas últimas, la contribución de la especie electrónica es despreciable, y su comportamiento
es análogo al de las ondas e-e, Ec. (2.29).
Las ecuaciones (2.36) muestran que aparecen dos inestabilidades i-e, Fig. 2.11(f), para
(uJÍTn>0) i K o / C e o l > 1 ,
similares a las ya estudiadas. Cuando \V¿0\ pasa a cumplir la Ec. (2.37) las dos inestabilidades
se convierten en una inestabilidad i-e, Ec. (2.37), y en una onda ión-ión (i-i) que es inestable
(inestabilidad ión-ión), Fig. 2.11 (i), si se cumple a su vez que
(«* . > 0) Vg > N,0 ( g + g ) . (2.39)
La Fig. 2.12 recoge u;*m para estas inestabilidades. El cambio de pendiente se debe a la
transformación de la inestabilidad i-i en la i-e.
En cuanto a las modificaciones que el efecto cinético de Landau introduce en estos re
sultados, se puede inferir que: a) las ondas no se propagarán si T¿o,Tao > 0(Teo); b) para
TiQ,Tao <C O(Te0), y Ceo > IKol > Ceoy/me/rrii la inestabilidad i-e se convierte en una
inestabilidad ion-acústica. Los resultados de Stringer, Fig. 2.10, refrendan estos compor
tamientos.
46
2.6. EVOLUCIÓN NO LINEAL DE LAS INESTABILIDADES DE CORRIENTE
Si bien la presente Tesis se dedica al estudio lineal de inestabilidad de modelos esta
cionarios de contactores de plasma, ha parecido conveniente comentar brevemente las técnicas
para el análisis no lineal de las inestabilidades y los resultados más conocidos relativos a la
inestabilidades i-e y e-e, que son las más susceptibles de aparecer. Junto a los artículos que
se irán citando, los textos de Krall y Trivelpiece[54], Davidson[27], Melrose[66] y Birdsall y
Langdon [8] han sido las referencias usadas en este resumen.
A partir de los modos propios de la solución de equilibrio, la teoría lineal de inestabi
lidades determina (i) los mecanismos físicos que pueden inestabilizar una supuesta solución
estacionaria, (ii) la región de parámetros correspondiente a la inestabilidad y (iii) la veloci
dad de crecimiento inicial de los modos inestables. Sin embargo el estado final del sistema
inestable queda fuera de la teoría lineal, pues ésta no puede analizar (i) ni el balance de
energía entre partículas y campo electrostático, que es de carácter cuadrático, (ii) ni las
modificaciones que la inestabilidad produce en las funciones de distribución o las magnitudes
macroscópicas del plasma.
El balance de energía resulta fundamental para el desarrollo de la inestabilidad pues
la amplitud que ésta alcance dependerá de la energía que el sistema pueda ceder a la onda
electrostática. Si la energía disponible no es muy alta, los modos inestables se saturarán en un
nivel de fluctuaciones relativamente bajo y la solución de equilibrio cuya estabilidad se analiza
se puede considerar estable a efectos prácticos. Teóricamente es posible realizar un análisis de
estabilidad a partir de consideraciones puramente energéticas, buscando aquéllas soluciones
de equilibrio del sistema que dan energía potencial mínima. Aunque una aplicación rigurosa
de este método suele ser inabordable, los balances de energía sí se utilizan para estimar
la energía máxima que puede ser transferida a la onda y, con ello, el nivel de saturación
de una inestabilidad. En las inestabilidades de corriente la energía que el sistema puede
ceder proviene bien del grupo de partículas que está en resonancia con la onda, bien de la
energía cinética asociada a la deriva entre las dos especies. Por ello, para el mismo tipo de
inestabilidad, la versión macroscópica suele ser más fuerte que la versión microscópica.
La extensión natural del método de pequeñas perturbaciones usado en la teoría lineal son
las teorías débilmente no lineales que, de la jerarquía de ecuaciones de perturbación, analizan
las primeras ecuaciones con términos no lineales. Se obtienen así las ecuaciones dinámicas
de amplitud de los modos inestables, que dan las variaciones promedio de las magnitudes de
47
equilibrio del plasma. Se suele distinguir [54] entre la teoría de ondas coherentes, aplicable
cuando el número de modos propios inestables es pequeño y éstos se pueden estudiar indi
vidualmente, y la teoría de turbulencia débil, también llamada teoría cuasilineal, aplicable
cuando el espectro de modos inestables es amplio y basada en un tratamiento estadístico de
los modos de perturbación. Aunque estas teorías están bien desarrolladas actualmente, su
aplicación efectiva a muchos problemas de interés es complicada. Las simulaciones numéricas
son pues un complemento útil y necesario para el problema.
2.6.1. Saturación de la inestabilidad ion-electrón
La evolución no lineal de esta inestabilidad (principalmente en el límite de Buneman)
ha recibido una gran atención [16] [27] [45] [86]. El estudio más completo que se ha encontrado
es el de Ishihara y Hirose [45], que presentan tanto un estudio analítico muy detallado como
una simulación numérica de la inestabilidad. Dichos investigadores identifican cuatro etapas
en la evolución de la misma, Fig. 2.13:
1) Crecimiento exponencial.- Corresponde a la evolución lineal de la inestabilidad. Esta
etapa dura hasta que WE fme
x
WD \m¿
donde
WE = J£-±\E(k)\2dk, WD = l-meNe0 V02,
son la energía del campo eléctrico, E, y la energía cinética de deriva, respectivamente. Al
final de esta etapa el modo más inestable es ya dominante.
2) Crecimiento algebraico del modo fundamental.- Corresponde a la evolución cuasilineal
del modo más inestable. La evolución temporal de la función de distribución electrónica,
/eo(i¿, í), viene dada por la ecuación de difusión cuasilineal
dfeo _ d dt du
'^-J\E{k)\\ "*? „ d f e ^ 2m\ / ' W l \w-ku\2 du _
y la energía del campo eléctrico evoluciona según
t mw_%¡, _IB,H1, dt í m | r y |
La difusión de /eo implica un calentamiento aparente (en cuanto que el proceso es reversible
aún) de los electrones debido a que éstos adquieren energía en forma de oscilaciones ordenadas,
48
Wxe- La teoría cuasilineal predice que WKe crece como la energía de la onda y ambas a costa
de la energía de deriva:
-^AWD=AWKe = AWE.
Los iones también adquieren energía oscilatoria pero en una fracción mucho menor:
ím \ 1 / 3
&WKi ~ ( — ) AWE. \mij
Usando feo{u^t) para cada t dado, se obtiene la relación de dispersión cuasilineal y de ella la
variación temporal de a;(fc, í), que se ilustra en la Fig. 2.13(a). Además del carácter oscilatorio
de o;(fc,í) resalta el decrecimiento promedio (relajación cuasilineal) de cü¿m y la saturación
de la inestabilidad cuando el valor medio de a>¿m es cero. No obstante, este estado final de
la inestabilidad, descrito por la teoría cuasilineal, donde WE ~ WKe, n ° se corresponde con
las simulaciones ni, al parecer, con los experimentos donde WE ~ O.lWxc Ishihara y Hirose
muestran que intervienen dos procesos todavía.
3) Generación de armónicos.- El crecimiento del modo fundamental da lugar al creci
miento de sus armónicos que al acoplarse entre sí dan lugar a modificaciones moderadas de
la función de distribución de equilibrio, /eo(i¿, í), y del nivel de saturación, Fig. 2.13(b) y (c).
Por otra parte, al aparecer los armónicos el perfil de potencial del campo eléctrico deja de
ser sinusoidal y presenta empinamientos, Fig. 2.13(d).
4) Captura electrónica y calentamiento del plasma.- Las simulaciones numéricas mues
tran, Figs. 2.13(e) y (f) que la captura de electrones en los pozos de potencial electrostático
es un proceso muy repentino y catastrófico que da lugar a la destrucción de la velocidad de
deriva del haz y su termalización. Se tiene así que en el estado final es
WKe, f inal « ** E,final ~ -. ^ ^
wD .inicial
wD .inicial
(los valores más bajos en la última estimación corresponden a iones más pesados).
La teoría cuasilineal, que sí recoge los efectos de la generación de armónicos, es incapaz
de reproducir la captura electrónica, un proceso de turbulencia fuerte. La importancia de los
armónicos en este último proceso es crucial según Ishihara y Hirose y se explica de la manera
siguiente: la onda electrostática captura aquellos electrones cuya energía cinética relativa a
la onda es menor que la energía potencial máxima del campo. El modo fundamental por sí
solo es incapaz de atrapar los electrones debido tanto a su bajo nivel de saturación como a
que la velocidad de fase de la onda, Ec. (2.22): \ i / 3
Vé ~ V¿ 1 m
49
está muy alejada de la velocidad del haz de electrones, V . El empinamiento del campo
eléctrico da lugar a máximos de potencial mayores [8], suficientes al parecer para iniciar la
captura de los electrones. El propio proceso de captura altera la densidad de carga espacial
y genera más armónicos que potencian el proceso.
Davidson et al [26] simularon numéricamente una variante de la inestabilidad i-e,
Fig. 2.14: sobre una nube fría y en reposo de electrones de densidad iVc0, hicieron incidir
a contracorriente dos haces de iones de velocidad ±Vb y densidad iVc0/2. En este caso,
la inestabilidad produce el calentamiento de electrones, mientras que la disminución de la
energía de deriva, asociada aquí a los iones, es pequeña (también es pequeño el calentamiento
de los iones). La saturación de la inestabilidad corresponde aquí a
wKe WE
Nc0meV¿ ' Nc0meV¿
el primer resultado coincide con el umbral de inestabilidad dado por la teoría lineal y el
segundo con el nivel de turbulencia obtenido por Ishihara y Hirose. Melrose señala que
al desaparecer la versión macroscópica de la inestabilidad queda Vo ~ Ceo y TeQ ^> T¿Q y
todavía entraría en juego la inestabilidad ion-acústica, que reduciría nuevamente la velocidad
de deriva hasta Vo ~ Cso-
Finalmente, hay que comentar que existe otro grupo de trabajos sobre la inestabilidad
i-e donde se considera al plasma sometido a un campo eléctrico externo [9] [12]. La energía de
dicho campo es usada en principio en la aceleración de la población de electrones. Superado
el umbral de la inestabilidad: Vb — C^o, se entra en un ciclo de aceleración y calentamiento
sucesivos de los electrones. El suministro continuo de energía al sistema tiende a mantener
VQ ~ CeQ y ambas magnitudes crecen con el tiempo.
2.6.2. Saturación de la inestabilidad electrón-electrón
La (macro)inestabilidad e-e ha recibido menor atención en la literatura que la inesta
bilidad i-e, en parte porque al surgir en un plasma de tres especies es menos común en las
aplicaciones y en parte porque, al menos en el límite de haz débil, su estudio es más sencillo.
Esto último se debe a que es cjim <C ure y son aplicables métodos de dos escalas en el análisis.
La contrapartida es que los trabajos centrales sobre la misma: los de Drummond et ai [30],
O'Neil et ai [71], y Kainer et al [48], son bastante antiguos y ninguno proporciona resultados
tan completos como los de Ishihara y Hirose para la inestabilidad i-e.
Las simulaciones numéricas de Kainer et aZ., Fig. 2.16, muestran que hay diferencias
de comportamiento de la inestabilidad e-e para haces débiles y fuertes, estando según ellos
50
la frontera entre ambos regímenes en Neo/Nco ~ 0.038. Para un haz débil, Fig. 2.16 (f), la
inestabilidad e-e parece seguir un proceso análogo al descrito por Ishihara y Hirose para la i-e:
1) crecimiento exponencial, 2) crecimiento algebraico del modo fundamental, 3) generación
de armónicos, captura de electrones y termalización. Para un haz débil la velocidad de fase
de la onda
V+ ~ Ko 1/3-
1 - 2 - 4 / 3 AU Ve0, (2.40)
iVc0.
está próxima a la velocidad de deriva del haz y es éste el que sufre mayormente el efecto de la
onda: las perturbaciones en la población mayoritaria y en reposo son lineales (pequeñas) en
todo el proceso. La Fig. 2.16(g)-(i) muestra el calentamiento aparente del haz en forma de
energía oscilatoria y la pérdida de velocidad de deriva (una versión muy clara aunque no del
todo formal de las ecuaciones cuasilineales de relajación del haz débil la ofrece Melrose). Al
ser V4 — Veo <C Ve(), Y a diferencia de la inestabilidad i-e, es el modo fundamental el que inicia
la captura de electrones, incluso antes de que los armónicos empiecen a influir. La pérdida
de cantidad de movimiento del haz cuando comienza la captura electrónica es
A P ~ 7V e 0m e(^ - Ve0) ~ -Ne0meVe02-4^ ( ^ ) , (2.41) 1/3
Nc0,
que cedida a la onda eléctrica supone una energía de onda
'Ne0 WE ~ -V^AP ~ Ne0meVe¿0 Nc0
1/3
Una vez iniciada la captura de electrones, la pérdida de energía de deriva se traduce en
termalización del haz, pero la energía de la onda casi no crece. Así se puede usar la última
expresión para estimar el nivel de turbulencia al saturarse la inestabilidad:
-i / o
WEJinal_ ^ /Neo\ ( 2 4 2 )
WD, inicial \NcoJ
A medida que Neo/Nc0 crece y el haz es menos débil, la velocidad de fase de la onda
tiende a una posición intermedia entre las dos poblaciones de electrones. Entonces, como
ilustran las Figs. 2.16(a)-(d), el calentamiento de la población en reposo y la pérdida de
velocidad de deriva son más fuertes, la mezcla de los dos haces se produce antes y es más
fuerte. Kainer et al. definen el régimen de haz fuerte como aquél en el cual la población
de electrones inicialmente en reposo es alterada no linealmente y relacionan ésto con que
la mezcla de los dos haces ocurra en la fase cuasilineal dominada por el modo dominante
51
(fase 2 de Ishihara y Hirose). La Fig. 2.16(e) muestra el pico de energía máxima típico de
la evolución temporal de la energía de onda para un haz "fuerte" {Neo/Nc0 — 0.05 en este
caso). Dicho máximo se justifica por el proceso de mezcla fuerte que hace que al comienzo
de la mezcla electrones de la población mayoritaria sean acelerados a altas energías a costa
de la energía de la onda. La estimación del nivel de turbulencia dada por (2.42) sigue siendo
válida en este caso.
Un buen ejemplo para comparar la evolución no lineal de una macroinestabilidad y
de una microinestabilidad lo ofrece la inestabilidad "bump-in-tail". El desarrollo que de la
misma da la teoría cuasilineal se ilustra en la Fig. 2.15. La energía electrostática, WE, de
las ondas cuya velocidad de fase se halla en la región de resonancia, aumenta según la Ec.
(2.40). Las partículas resonantes se "difunden" proporcionalmente a la energía de la onda y a
d2feo/du2 en la región de resonancia, según una ecuación análoga a (2.41). La inestabilidad se
satura cuando dfeo/du = 0. La energía WK,R cedida por las partículas resonantes se reparte
a partes iguales en incrementar la energía de onda y en dar energía oscilatoria WK,NR a las
partículas no resonantes:
AWE ^ AWK,NR ~ -AWK,R/2.
De la comparación de /eo al principio y al final del proceso se tiene que la energía total cedida
por las partículas resonantes es
2WE ^ -WK%R ~ NeomeVe0Ce0.
El aumento de temperatura aparente de las partículas no resonantes es
Arr 2WK,NR Ne0
ATc0 ~ — ~ meve0Ce0,
que se transforma en energía térmica real por captura electrónica posiblemente.
2.7. CONCLUSIONES
En la configuración con CD en torno a un contactor anódico se tiene que el núcleo y
la prevaina están ambos constituidos por plasmas de tres especies, aunque de características
diferentes. El núcleo es un plasma ión-electrón-electrón con un haz e muy supersónico. De
acuerdo al análisis de la Sec. 2.4, las inestabilidades posibles en él son la e-e y la i-e oblicua.
Esto contradice las ideas comúnmente manejadas por otros autores, pues: 1) en este tipo
de plasmas no se pueden dar de modo simultáneo dos inestabilidades i-e (como son la de
52
Buneman y la ion-acústica); 2) con los parámetros usuales del núcleo, en ningún caso se está
en el límite de la inestabilidad de Buneman; 3) puede existir la inestabilidad ion-acústica
(radial), pero ésta es más débil que la i-e oblicua, y ésta a su vez mucho menos fuerte que
la e-e. La prevaina es un plasma ión-ión-electrón y sus condiciones son tales que podría
desarrollar dos inestabilidades i-e.
Respecto a la evolución no lineal de las inestabilidades i-e y e-e, los trabajos comentados
ofrecen una visión bastante clara sobre la evolución temporal de las mismas en plasmas ho
mogéneos e infinitos (en las simulaciones el plasma infinito se modeliza mediante condiciones
de contorno periódicas, de forma que una partícula que sale por un extremo es reintroducida
en las mismas condiciones por el otro). En ellos se parte de una situación inicial inestable y
el plasma evoluciona a una situación final diferente y estable (con velocidades de deriva cero
o subsónicas en algún sentido). No parece fácil aplicar dichos resultados a los modelos para
contactores de plasma, pues, aparte de la configuración tan inhomogénea, los experimentos
predicen una situación final estacionaria con haces supersónicos; en todo caso, se produce
una termalización espacial del haz [88].
Figuras del Cap. 2
53
ÜÜT
4
3
2
1
0
-1
-2 (
4
3
2
1
0
-1
-2 (
I
(a)
)
,--"'""
> "
(d) )
II
^
II
- ^
^ p e
0.5
0.5
\^^"
kÁDe
...--•""
kXoe
0.01
0.005
0
-0.005
-0.01
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1 I
kXoe
II
(e) I
I
II
0.05
°'5 u\ 1
KADe
-0.05
II, ^•''* I
(í)
o °-5 M 1
Figura 2.1: Plasma ión-electrón. Relación de dispersión para V¿/Ceo — 0.8 en (a)-(c)
y V¿/Ceo = 2 en (d)-(f). Nótese que en (b) y (e) se dibuja ujre/üjpe en una escala más fina.
Otros parámetros: yjme/rrii — 0.01, A¿>e = 0.01 y CÍO — 0.
0.05 OJA
UJpe 0.04
fc*A De
4 5 6
Fo'/GeO
Figura 2.2: Plasma ión-electrón. Tasa máxima de crecimiento de la inestabilidad ión-
electrón en función de VQ. Otros parámetros: ^/rae/m¿ = 0.01, A¿>e = 0.01, CÍO — 0.
54
4 Oístribuíion function
F0(u)
electrons, f^0(u)
Figura 2.3: Función de distribución de iones y electrones para el caso de un haz de
electrones caliente con una velocidad menor que su velocidad térmica atravesando una dis
tribución de iones fríos (de Krall y Trivelpiece [54]).
• ~ / CRIT ICAL VELOCITV FOR ONSET
OF GROWING WAV ES
£ - . 8 3 6
ooiL Ti
Figura 2.4: Velocidad crítica en función de Teo/T¿o para las inestabilidades en un plasma
ión-electrón (de Stringer[86]).
55
üüT
OJi
1.5
1 \
0.5
0
-0.5
-1
-1.5 i
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5 0
(a)
I
11,111
_!___ II
0.05 x10
-3 Up
-0.05
- 0 . 1
III
II
(b)
_ I I —
\
0 . 5 , x 1 0 KADC
0.1
0.051
-0.05
-0.1 0-5 kXDc 1 0
0.5 kX De
I
III
(d)
II H~Ñ~~
- ^ 1
III
II
(e)
II
III
0.5 k\oc
y''
\ \
II
(>)
II ,.
I,III
°-5kXDc 1 °*k\DC 1 °-5*ADc
1
Figura 2.5: Plasma ión-electrón-electrón. Relación de dispersión (con u>p = u)pc + upe)
para V'JCe* = -1.23 en (a)-(c), V'JC* = -1.58 en (d)-(f) y K o / ^ o = -3.16 en (g)-(i).
En (b), (e) y (h) se dibuja ajre/up en una escala más fina. Otros parámetros: yjme/mi = 0.01,
ADc = 0.01, Ne0/Nc0 = 0.55, Ci0/Ceo = 10"3, Cc0/Ce0 = 1, Vi0/Ce0 = 0.033 y Ve0/Ce0 =
-3.16.
56
ÜÜr
0.015
0.01
0.005
k*\r
Ve0/Ce0 Ve0/C€0
Figura 2.6: Plasma ión-electrón-electrón. Tasa máxima de crecimiento de la inesta
bilidad ion-electrón (con LÜP = ujpc + upe) en función de V¿0 para Nc0/Ne0 = 1.82. Otros
parámetros: y/mjrñi = 0.01, \Dc = 0.01, Ci0/Ce0 = 10~3, Cc0/Ce0 = 1, Vi0/Ce0 = 0.033 y
Veo/Ceo = -3.16.
0.03
UJp
0.02
0.015
0.01
0.005
0 30 40 50
Neo/Nco
Figura 2.7: Plasma ión-electrón-electrón. Tasa máxima de crecimiento de la inestabi
lidad ion-electrón (con u)p = u)pc + wpe) en función de Ne0/Nco para V¿0/Ceo = —2. Otros
parámetros: yjm^frñi = 0.01, XDc = 0.01, Ci0/Ceo = 10"3, Cc0/Ceo = 1 y V¿'o/CeO = 0.
6 , 8 10
Veo/Ceo 1<T 10'
NeQ/Neo
Figura 2.8: Plasma ión-electrón-electrón. Tasa máxima de crecimiento de la inestabili
dad electrón-electrón (con UJP = ujpc + upe) en función de (a) V¿0 para Neo/Nc0 = 0.55 y (b)
Neo/NCQ para V¿0 — —10. Otros parámetros: \E>C = 0.01, Cco/Ceo = 1, Veo/Ceo = —10.
57
* Uu)
Figura 2.9: Función de distribución de los electrones con un comportamiento "bump-
in-tail" inestable, mostrando la región de velocidades de fase inestable (de Krall y Trivelpiece
[54]).
O-Olj
W n , t o 3---
W ü « « 0 - l " -
O O O I ^ O-OOI O O I
Figura 2.10: Tasa de crecimiento de las inestabilidades en dos plasmas de iguales car
acterísticas a contracorriente (de Stringer [86]).
58
1
0
- 1
- 2
^ p e
II
(a)
III
I
0 5 u \ 1
1
O
-1
-2
-3 I
1
-1
-2
-3
I
II,III
(d)
I
0 5 1,\ 1
KA£)e
0.06
0.04
0.02
O
-0.02
i
0.2
0.1
O
-0.1
-0.2
(b)
UJpe
II..,:::::':::-"".
III
O
ir,iií' •'"-••-......
i '"""-•
""'"•••-i.
(g)
0 5 h\ 1
KA De.
I
11
III
I
(e)
k\oe
0.1
0.05
O
-0.05
-0.1
0.04
0.02
O
-0.02
0.04
0.5 1
k\[)e
0Jpe
i,n,in
| ( c )
0
(f) 0
\<éá~
I ( i )
KA De
III
II .... \
0 5 h\ 1 KADe
-.ir
iir
1 2
Figura 2.11: Plasma ión-ión-electrón. Relación de dispersión para |V^0|/Cco = 0.9 y
V¡JCeQ = 0.05 en (a)-(c), |Fe '0 |/Ce0 = 2 y V^/C e 0 = 0.05 en (d)-(f) y \V¡0\/CeQ = 2 y
F/0/Ceo = 0.01 en (g)-(i). En (b), (e) y (h) se dibuja u)re/ojpe en una escala más fina. Otros
parámetros: y/me/mi = 0.01, XDc = 0.01, Na0/Ni0 = 1 y C¿o/Ceo = Cao/CeO = 1/1600.
0.01
^ P e 0.008
Figura 2.12: Plasma ión-ión-electrón. Tasa máxima de crecimiento de la inestabilidad
ión-ión en función de V/0 para V¿0 — —2. Otros parámetros: y/me/rrii = 0.01, \pc = 0.01,
Nao/Nio = 1 y Ci0/Ceo = Cao/Ceo = 1/1600.
59
(a) (b) (c)
A A T*rh~ ::: J^m
\ A A A A A ÍU
«ü
o'b-
r
w° r ooi(r-
r
E
^r-
N
k mooe ^
2k T>o<se
/ 'J !
/ / / -' 2k Ttoae —-
ó _ 3 .0 '2
5 L
= L -y I
| o o i H
COMP'JTE» SIMULARON — rKAj£;TOP'» CALC'JLAT:Cfi—
MODEL)
A/
/ C ^ "
«30P
2 0 0 4QQ SOO 9 0 0
, I u ! 3 i \¡í 02¡-
TPAJECTQPY CALC'JL£T:0\' (8ASED ONI AN£.LYTtCAL I
COMPUTER StMULATION—1
: ° -02]
8 10 12
(d) (e) (f)
Figura 2.13: (a) Variación con el tiempo de la tasa de crecimiento y la frecuencia de
la inestabilidad de Buneman para un plasma de Argón. ujk = o;rc/a;* , j k = Wim/u? y r = v¡mt. (b) Evolución temporal de la densidad de campo eléctrico para un plasma de
Argón. La línea sólida con armónicos y la línea discontinua sin armónicos, (c) Energía del
campo eléctrico en cada modo en función del tiempo, (d) Energía potencial de los electrones
normalizada con la velocidad inicial de deriva en varios instantes, (e) Variación temporal de
la velocidad de deriva y (f) de la temperatura efectiva de los electrones; la línea sólida es el
resultado de la simulación numérica (de Ishihara e Hirose [45]).
(a) t = 0 3.
range of u>¿/k
!W t - 3 r „
s~n t 60
o O-o ~*
> I
range of w£/k^ i.Or-
0-1:.
(c) t«7rM 04":
(d) t» l l r u
2 4 6 Normalized Time t/r.
-V0(0) 0 V,(0)
Velocity _T (a) X (Position) (b)
Figura 2.14: Simulación numérica de la interacción de haces de iones fríos con velocidad
±VQ a través de una nube fría y en reposo de electrones, (a) Variación temporal de las
distribuciones durante el crecimiento de la inestabilidad, (b) Energía cinética de los electrones
y energía del campo total en función del tiempo. [26]. La cantidad rH es el inverso de ujirn
(de Davidson et al. [26]).
\ fa.
\dzWduz<0
Ifo
Kk
¡u/k
a. (t=0)
~U7T
b. (t = t.)
Kk
ü / k
c. ( t—00)
Figura 2.15: Función de distribución de electrones inestable y distribución de la energía
de la onda mostrando la evolución de la función de distribución cuando las ondas crecen (de
Krall y Trivelpiece [54]).
61
.eUOClT'Y <(N V •euxiTY ttiv.i VEUJCIÍY UN v.»
(e) s
< X
5 < r
X
2
•
•
•
• •
• •
• •
5 % 8EAM 3 0 Vr
' 0 T IMC • « 4 0 U , '
• • • •• •• • • • • • • • • • • • • • • • • •• «•«• • • • • • • • • • • •
_ 1 ! 1 !
TIME ÜN «. i )
-z 3 y.
X
>-L_
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(f) i o X UJ
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•ul
T k. 1
. ^ v - ••-.- „ x^v-*x>-
^y/-"*. *.*•.•*'..'•'
«. *
•
-
: i
40 30 120 60 200 ¿40 290 i20 360 ¿OO *!ME .IN u,_ l )
y. Km « v . • ««•«« . . .
(h)
(i)
Figura 2.16: (a)-(d) Funciones de distribución de los electrones en varios tiempos, (e)
Energía del campo eléctrico en función del tiempo en el régimen de baja densidad, (f) Energía
del campo eléctrico en función del tiempo en el régimen de alta densidad, (g)-(i) Velocidad
para haces débil y fuerte para el modo más inestable cerca del tiempo de máxima actividad
de la onda (de Kainer et ai 48]).
63
Capítulo 3
MODELO D E PLASMA-CONTACTOR
3.1. HIPÓTESIS PRINCIPALES DEL MODELO
Se recogen aquí, apoyándose en los resultados experimentales y teóricos, las hipótesis
principales del modelo de plasma-contactor anódico que se estudiará en los capítulos si
guientes; un esquema del modelo se presenta en la Fig. 3.1. Dichas hipótesis y condiciones
son:
(i) El contactor es esférico (de radio r — R) o cuasiesférico.
(ii) El contactor emite plasma sobre un plasma ambiente en reposo, por lo que se tienen
cuatro especies: electrones ambiente (especie e), iones ambiente (a), iones emitidos (¿), y
electrones emitidos (c).
(iii) El medio no está magnetizado y no se considera la presencia de gas neutro suscep
tible de ser ionizado externamente.
(iv) Cada especie de plasma es tratada macroscópicamente como un fluido independiente
y la interacción con el resto de las especies ocurre únicamente a través del potencial eléctrico,
despreciándose todos los efectos colisionales.
(v) La longitud de Debye típica es mucho menor que el radio del contactor R y que la
escala de los gradientes espaciales (incluyendo los derivados de las perturbaciones) de manera
que el plasma es cuasineutro en todo el espacio excepto en vainas o capas electrostáticas que
serán tratadas como discontinuidades en la solución cuasineutra.
(vi) El contactor está cargado a un potencial positivo UR con respecto al plasma am
biente lo suficientemente grande como para que la respuesta del plasma no pueda ser cuasineu
tra en todo el espacio y se forme una capa electrostática (CE).
(vii) Dependiendo de la cantidad de plasma emitido por el contactor, la solución esta
cionaria consiste bien en CE/prevaina (modo no núcleo), bien en núcleo/CD/prevaina (modo
núcleo) [ver Fig. 1.12].
(viii) La dirección del campo eléctrico en la capa doble acelera los iones emitidos hacia
el exterior y los electrones ambiente hacia el interior, y confina a los electrones emitidos en
el núcleo y a los iones ambiente en la región exterior. Los haces de iones y electrones que
cruzan la CD entran sónicos/supersónicos en ésta.
64
A continuación se formulan las ecuaciones macroscópicas que rigen la evolución de cada
especie de plasma. De éstas se derivan las ecuaciones para un problema estacionario con
simetría esférica (problema de orden cero) y las ecuaciones de perturbación (problema de
orden uno) de la solución estacionaria. Se presentan también las ecuaciones cuasiestacionarias
de una capa electrostática delgada y se discuten las condiciones de transición a ella desde
una región cuasineutra.
3.2. ECUACIONES GENERALES DEL PLASMA
Las ecuaciones macroscópicas de cada especie a de un plasma no magnetizado y no
colisional son :
^ + v-(JVQya) = o, (3.1)
m a AT a ( -^ + (Va • V)Va)) + q^NaVU + V(NaTa) = 0, (3.2)
Ta
const, (3.3)
donde U es el potencial eléctrico y m a , ga, Ta , Na y Va son la masa, carga, temperatura,
densidad y velocidad, respectivamente de la especie a (a — i, e, a, c). La ecuación (3.3) supone
que el movimiento de cada especie es barótropo, siendo ga el cociente de calores específicos
a presión y volumen constante. Entonces, en (3.2) las fuerzas de presión por unidad de masa
derivan de un potencial ffa: V"ala = VHa, (3.4)
obteniéndose Qa — 1 (Ta — const) : Ha — Ta lniVa + const,
Qcc ~ 1 (3.5) Qa ^ 1 : Ha — Ta + const.
Sustituyendo (3.4) en (3.2) la ecuación de cantidad de movimiento se transforma en:
ma~d¡r+moí^a • v ) í ? a + v ( 9 a C / + H a ) = °' (3-6)
y Ha + qoJJ es el potencial de la resultante de fuerzas másicas. Si el campo inicial de
velocidades y las condiciones en el contorno son irrotacionales, el movimiento de la especie
a es irrotacional en todo instante y existe un potencial de velocidades. En los modos de
perturbación tridimensionales será útil recurrir parcialmente a este potencial de velocidades.
65
Para cerrar el problema las ecuaciones fluidodinámicas se completan con la ecuación de
Poisson para U:
eQV2U = ~Y,<l*Na, (3.7) a
que introduce en el problema la escala de la longitud de Debye. Excepto en las CEs el plasma
se supone cuasineutro y la Ec. (3.7) se sustituye por
]£««#« = 0. (3.8) a
Esto disminuye en dos el orden del sistema de ecuaciones diferenciales que ha de integrarse
(y el número de condiciones de contorno que se necesitan). A su vez en las CEs se puede
hacer uso de que son delgadas y cuasiestacionarias en un sistema de referencia ligado a las
mismas, como muestra la sección siguiente.
3.3. ECUACIONES CUASIESTACIONARIAS DE U N A CE/CD
Las CEs que se consideran aquí tienen las características de ser: fuertes, cuasiplanas y
cuasiestacionarias. Capas electrostáticas fuertes [41] [77] son aquellas en las cuales hay un salto
de potencial eléctrico a través de la capa del orden de varias veces la temperatura del plasma.
Las capas electrostáticas cuasiplanas cumplen dos condiciones: a) la escala "interior", ligada
a la longitud de Debye, es mucho menor que la escala "exterior" o cuasineutra, ligada al
tamaño R del contactor, b) los efectos no planos son despreciables dentro de la capa. Capas
electrostáticas delgadas pero no planas son las tratadas por Wei y Wilbur [89] y también
fueron consideradas por Ahedo et al [2]. Las capas electrostáticas son cuasiestacionarias
cuando en la escala interna los efectos temporales son despreciables frente a los espaciales.
En el problema "exterior" una CE cuasiplana aparece como una superficie de discon
tinuidad, SD, en el campo fluido, que verifica una ecuación del tipo
SD : F(r,0,<¿>,í) = r - rD{0^,t) = 0, (3.9)
o, en forma paramétrica f = rc>(0,(¿>,í), donde (r, 6,y>) son las coordenadas esféricas usuales
y t es el tiempo. Si la CE está unida a la pared de un contactor entonces SE> corresponde al
contorno (conocido) del contactor. Si la CE es una CD entre dos plasma cuasineutros, S&
es desconocida a priori y ha de determinarse como parte de la solución. Generalmente (pero
no siempre), para resolver el problema "exterior" basta con conocer las relaciones entre los
66
estados del plasma en las caras externa, r = r ¿ , e interna, r = r ¿ , de la capa. Si no hay
procesos disipativos en la capa esas relaciones se obtienen de las ecuaciones "internas" de
conservación en la dirección normal a 5¿>,
n = ——, VF = zr : —ie - -—— % (3.10 |VF| rsiiip o0 r oip
y en las direcciones tangenciales a la capa, Fig. 3.2. Además si S& evoluciona temporalmente
las condiciones de conservación involucran velocidades relativas a la capa,
Va = Va - VD = Va + ~ ~ñ, (3.11)
donde VD es la velocidad de avance de SD* Esta velocidad relativa se descompondrá en sus
componentes normal (n) y tangencial (||) a la CE:
=> - 1 9 F V^ = Vn«ñ + V¡|a, F n a - F a • n + —— — . (3.12)
I V r I ut
El problema "interior" consiste en determinar la estructura espacial de la capa a partir
de las ecuaciones generales convenientemente reescaladas. Se trabajará en un sistema de
coordenadas curvilíneas (x, 0, (p) ligado a la capa donde x es la variable espacial en la dirección
normal a Sp
r(x,#,<¿?,¿) = ri)(0,(p,í) + xñ(6,ip,i). (3.13)
Las hipótesis de capa cuasiplana y cuasiestacionaria implican
1 ^ 1 9 d r ^ V n a d í dx
En estas condiciones las ecuaciones fluidas (3.1) y (3.6) se reducen a las ecuaciones del
movimiento plano cuasiestacionario en la dirección n:
~(NaVna)^0, (3.15)
^ K ^ +Ha + qaU) ~ 0, (3.16)
a*»—0- (3-17) Estas ecuaciones proporcionan Va(U) y Na(U). Finalmente, la ecuación de Poisson se con
vierte en d2U V - *r , m d 5
67
donde S(U) se conoce como potencial de Sagdeev [77]. Multiplicando esta ecuación por
dU/dx y haciendo uso de (3.4), (3.15) y (3.16), se obtiene
a
de forma que el potencial de Sagdeev es igual a la presión de remanso total del plasma (algunos
autores definen S(U) con el signo contrario). La ecuación (3.18) expresa la conservación de
cantidad de movimiento total del plasma y, por tanto, el balance entre la presión de remanso
y la presión del campo eléctrico. El balance de presiones de la Ec. (3.18) es general para CEs
en plasmas no magnetizados. Lo que cambia de unos modelos a otros de capa electrostática
son las expresiones para las presiones de remanso de cada especie [77]. Conocido S(U) el
cálculo del perfil del plasma en la CE se reduce a resolver una cuadratura para U(x).
Si la función de Sagdeev S(U) es univaluada no es necesario resolver la estructura
interna de la capa para relacionar los estados del plasma en los dos extremos de la capa. En
esos casos, el problema exterior se resuelve imponiendo únicamente las condiciones de salto
(3.15)-(3.18) entre r ¿ y r ¿ , y teniendo en cuenta que si en un extremo la CE limita con un
plasma cuasineutro, ha de ser dU/dx -> 0 en (3.18). Esta condición asintótica está basada
en que la relación de tamaños entre los campos eléctricos en el plasma cuasineutro y la CE
es XD/TD <^ 1. Así, llamando C/¿ = Z7(r¿) y U¿ = t / ( r¿ ) , en una CD se cumple
S(U+) = S(U¿), (3.19)
que es la forma general que adopta la condición de Langmuir, Ec. (1.8) y expresa que la
presión total del plasma a ambos lados de la CD ha de ser la misma.
Si el potencial de Sagdeev es una función multivaluada, con ramas subsónica y su
persónica, por ejemplo, y el paso sónico está en el interior de la CE, será necesario resolver
el paso sónico en la estructura interna para resolver completamente el problema exterior.
Igualmente, si se hubiese incluido la posibilidad de algún proceso disipativo en el interior de
la CE (amortiguamiento de Landau de ondas de plasma, por ejemplo) también sería necesario
resolver la estructura interna antes de resolver el problema exterior.
3.3.1. Condiciones de Bohm
Existe abundante literatura sobre la transición desde una solución cuasineutra del
plasma a una CE [11] [55] [77]. Esta no se puede realizar en cualquier punto de la solución
68
cuasineutra. Considérese una transición de esa clase en r = r ¿ , entonces dU/dx\r+ —> 0 y el
perfil de potencial se obtiene de (3.18) como
x(U) = ± f - = dU (3.20) J~[S(U) - S(U+)\ V eo
Evidentemente la transición es posible si
5(17) - S(U£) > 0, (3.21)
en el entorno de U — Í7¿. Supóngase en lo que sigue que S(U) es univaluada y que admite
derivadas de cualquier orden. En concreto,
S'(VD) = -Y,«°N°(UD) = 0> OL
y, usando (3.15) y (3.16), las derivadas segunda y tercera resultan ser
*" = E TqlNav2' (3-22)
^ QaTa-maV^a
2 [(2 - ga)gaTa - maV¿a]K + 2maNaVnaVjux
~ {QaTa-maV¿aY r2
Del desarrollo de Taylor de la condición (3.21) en torno a U = Í7¿:
S"(U+){U-VD)2 +S'"(UÍ){U-^)Z +O(U-U+)*>0.
se tiene que la transición en r = r ¿ es posible si
S"(U+)>0, (3.24)
o bien si
S"(U+)=0 y S"'(U+)¿0, (3.25)
que se conocen como condiciones de Bohm [11] para la transición a una CE. Para distinguir
las dos posibilidades, se hablará de (3.25) como "condición marginal o sónica" de Bohm.
La condición (3.21) no sólo ha de cumplirse en un entorno de ?7¿ sino en todo punto
de la CE. Si en r — rD la capa limita con una pared cuyo potencial UD es conocido, se ha de
cumplir, en particular, que
S(U¿) - S(U£) > o,
69
y el campo eléctrico en la pared es
dU dx
_ = ±J'1[S(U¿) - S(U+)].
Por el contrario, si la CE es una capa doble que en el lado r = r ¿ limita con otra región
cuasineutra, una de las dos condiciones de Bohm (3.24) ó (3.25) ha de verificarse también en
r = r ¿ . Además ha de cumplirse la condición de Langmuir (3.19) entre los potenciales de
ambos extremos.
La condición (3.24) permite que la capa se desarrolle tanto con U — C/¿ > 0 como
con U — Up < 0, mientras que la condición marginal (3.25) sólo permite soluciones con
sig(U - U%) = s ig£ ' " (£ /+) . Obsérvese que, en la escala interna, la CE es semiinfinita por
el lado r = r ¿ con x{U) ~ ]n\U - C/¿| para el caso (3.24) y x(U) ~ \U - t / ¿ | " 1 / 2 para el
caso (3.25); en su escala interna una CD es infinita en ambos extremos.
3.4. PROBLEMA ESTACIONARIO Y CON SIMETRÍA ESFÉRICA
Cuando las condiciones de contorno en el contactor y en el plasma ambiente son esta
cionarias y tienen simetría esférica, la posible solución estacionaria y con simetría esférica
(que se denotará empleando el subíndice 0) de las ecuaciones (3.1), (3.5) y (3.6) verifica
q*U0 + Ta0 lnNa0 = Ka{), (3.26)
Ta 0 = const, (3.27)
para las especies confinadas: a — c, a, y
^NaoVaO - JaO, (3.28)
V2 3 ~° + qaU0 + - T a 0 = Ka0, (3.29) m,
'ctO
a 2 . w -„ , 2
T -^- - const, (3.30) i V a 0
para las especies libres: a — ¿, e. En estas ecuaciones las constantes Jao y Ka0 representan
el flujo y la densidad de energía mecánica de cada especie, se considera que solamente existe
flujo y, por tanto, velocidad macroscópica, Va = Vaoir^ de las especies libres, y se supone
un comportamiento isotermo para las especies confinadas, ga — 1, y adiabático con ga = 3
para las especies libres. Esta última hipótesis se comenta más ampliamente en el Cap. 4
70
y está justificada por el movimiento unidimensional (radial) de las especies libres y por el
modelo de Ahedo et al [2]. En las regiones cuasineutras, las anteriores ecuaciones dinámicas
se completan con
X ^ a A U = 0, (3.31) a
de manera que el problema cuasineutro queda reducido a ecuaciones puramente algebraicas.
Si el plasma forma una CD intermedia, ésta será vista por la solución cuasineutra como
una discontinuidad esférica y estacionaria:
SD : r = const = r£>0>
donde roo ha de determinarse. Con ésto, la normal exterior a la capa es ñ — ir y, por tanto,
Vna — ^aO- El salto de las variables del plasma a través de la CD se obtiene de la versión
estacionaria y esférica de (3.15)-(3.18):
[NaoVa0]r™ = 0, (3.32)
rD0
[mjf- + Ha0 + qaUo}r°° = 0, (3.33)
E (m a iV a 0 V; 20 + A U T a 0 ) r ? 0 = 0, (3.34)
i 6 - — ' rD0 a.
donde Hao está dado por (3.26) o (3.29). Las dos primeras ecuaciones expresan que las
constantes Jao y üfao son iguales a ambos lados de la CD y la tercera es la condición de
Langmuir.
3.4.1. Puntos singulares y transición a una CE
Sustituyendo Tao y iVa0 de (3.28) y (3.30) en (3.29) se obtiene una ecuación bicuadrática
para Vrao(r, £/o). De cada par de raices se elige únicamente el signo adecuado al sentido de
movimiento (- para electrones ambiente y + para iones emitidos). Cada par de raices se
relaciona con el comportamiento subsónico o supersónico de la especie a para un potencial
eléctrico Uo(r) dado; la velocidad sónica de cada especie es
Vio = 3T a 0 /m a . (3.35)
Nótese que para ga ^ 3, la ecuación para Vao(r, E/o) n o sería bicuadrática pero seguiría dando
lugar a una raíz subsónica y a otra supersónica.
71
No obstante, Uo{r) no está dado externamente sino que se obtiene autoconsistentemente
de la ecuación de Poisson, de manera que aquellos puntos donde se cumpla (3.35) para alguna
de las especies libres no van a ser realmente puntos sónicos/singulares del problema (3.26)-
(3.31). De la forma diferencial de estas ecuaciones se obtiene, para el campo eléctrico,
d£o_2Qo y" &N<*Q n - V 9amaNaoV¿0
de manera que los posibles puntos singulares de la solución cuasineutra corresponden a PQ = 0
únicamente; es inmediato ver que el resto de variables fluidas no introducen más puntos
singulares. Obsérvese que en los puntos donde alguna de las especies libres verifica (3.35)
es PQ/QO = oc/oo pero eliminando los términos singulares el campo eléctrico es finito y
continuo; por ejemplo donde V*0 = 3T eo/m e es rdUo/dr = 6Teo/qe.
La función PQ coincide con la versión estacionaria y esférica de la derivada segunda del
potencial de Sagdeev, Ec. (3.22):
Po = V , (3.37)
donde (') indica derivada respecto de Z7o- En los puntos donde se anula Po y suponiendo que
no se anule su derivada primera pueden presentarse dos posibilidades:
a) Po — 0 y Qo = 0. Desarrollando en (3.36) el cociente Qo/Po, cuando Po -> 0, puede
haber un cruce regular con: dU0
dr = 2 Q o '
Po=0 r Pn Po-0
donde
a ^ ' ct
K o = - „ rp ^ T / 2 > ^ a 0 = - / T a ^ ° T / 2 x3 ( 3 m« ya0 + QaTa0(Qa ~ 2)) .
QOLTOLO - maV¿0 (ga-íao ~ ^a^ao)
(3.38)
Las derivadas se expresan respecto de J7o y no respecto de r porque estas últimas son infinitas
en r + 0 .
b) Po = 0 y Qo i=- 0. Se t ra ta realmente de un punto singular de la solución cuasineu
tra donde el campo eléctrico se hace infinito indicando la ruptura de la cuasineutralidad y
la transición a una CE. Esta transición es posible ya que se está cumpliendo la condición
marginal de Bohm (3.25). La condición Po = 0 determina la posición r^o de la CE.
72
3.5. ECUACIONES DE PERTURBACIÓN
El análisis de la estabilidad lineal de la solución estacionaria y esférica se realiza a partir
de las ecuaciones lineales de perturbación. Estas ecuaciones permiten también estudiar (i)
la respuesta estacionaria del plasma ante condiciones de contorno débilmente no esféricas,
(ii) la respuesta temprana ante condiciones de contorno no estacionarias. Suponiendo que
la respuesta del plasma es la superposición de la solución estacionaria y de una pequeña
perturbación no estacionaria y sin simetría esférica, una variable genérica / , se expresa como
f{r,0,<P,t) = fo(r) + f1{r,0,<p,t), (3.39)
con / i « /o y V/i ,d/ i /c?í <C dfo/dr. Sustituyendo (3.39) en (3.1)-(3.7), se obtienen primero
las ecuaciones del problema estacionario y esférico [ver Sec. 3.4] y seguidamente las ecuaciones
lineales de perturbación para las variables de orden uno.
Para el problema de perturbación se llamará Vai — Vai • ir a la componente radial de
Vai y se denotará con el subíndice _L a la componente no radial de Vai y de los operadores
gradiente y divergencia:
V± = Vtpitp + Veie,
ic» d ie d
r d(p r sin <p 09' 1 9 nr • ^dVe
rsin.(p
En la sección 3.2 se vio que el campo de velocidades de cada especie es irrotacional si las
condiciones iniciales y de contorno lo son. Se supondrá que al menos
1 (VAV r a l ) - t r =
8 . dV^i = 0, (3.40) r sin<¿>
de manera que la componente no radial de Va\ deriva de un potencial de velocidades ^aii
V±al = -V±9al.
Con ello las ecuaciones fluidas de perturbación para Nai, Vai y \I>ai son
^7¡T + - T T r V ^ a i ^ o + r2Na0Val) - Na0Vl*al = 0, at r¿ or dVaí d Nai ma-^— + -x-{maVa0Vai + qaUi + QaTa0——) = 0,
at or NaQ
j . d*ai , . d<2al Nal
-mn—^r rnaVao—-^ \- qaUai + QaJ-aO dt dr 'N, aO o,
(3.41)
(3.42)
(3.43)
(3.44)
73
donde el término QaTaoNai/Nao es 2fai, Ec. (3.5). La Ec. (3.44) indica que la expresión
entre paréntesis es una función de r y t solamente. Aunque las condiciones de contorno
sean compatibles con V A Vai = 0 n o hay ventaja alguna en tomar \I/ai como potencial del
campo de velocidades completo, con V^i = —d^ai/dr, pues con ello no se reduce el orden
del sistema de ecuaciones (3.42)-(3.44). De hecho, en los problemas de perturbaciones con
simetría esférica lo conveniente es prescindir de \frai.
Las ecuaciones (3.42)-(3.44) se completan con la ecuación de Poisson para Uim.
\ / a
3.5.1. Descomposición en modos normales
Como la solución estacionaria tiene simetría esférica, es apropiado analizar el pro
blema de perturbaciones descomponiendo en armónicos esféricos las variables de perturbación
[21]:
oo m=¿ „ ,-p
f1(r,0,<p,t) = J2 Yl Pem(0)exp(imip)j — / 1 ( r ; ^ m , r ) e x p ( r í ) , (3.46) oo m—¿
P¿m{6) exp(im^) ¿=0m=-¿ ^Cr
donde:
- se está usando la misma notación para la variable original / i (r , 0, <¿>, t) y cada uno de
los modos / i (r ;£, m, V) que la conforman,
- T = r r e + i r ¿ m es una frecuencia compleja. Nótese que, por conveniencia, se ha
cambiado la notación respecto del Cap.2: r = — i o;.
- CY es un camino de integración apropiado en el plano complejo de T, con — oc <
r ¿ m < oc y con Tre a la derecha de todas las singularidades de / i ( r ; ¿ , m , r ) ,
- Pim son las funciones asociadas de Legendre:
Poo(0) = 1,
, l > 1, -i < TU < £, (1 - X 2 ) m / 2 dl+rn f«-w=r #¿ dx^
x~» cercos 6
La principal propiedad de los armónicos esféricos que se necesita aquí es
Vi(p¿m(0)exp(im</>)) = -^Ptm{0)exp(imip).
74
Obsérvese que el índice de Legendre, ¿, tiene en los armónicos esféricos el mismo papel que
tiene el módulo del número de onda transversal en los armónicos planos. El índice azimutal,
m, que no aparece en la laplaciana, tiene que ver con la distribución del armónico esférico en
las direcciones transversales.
Introduciendo el desarrollo (3.46) en las ecuaciones de perturbación se obtiene un sistema
de ecuaciones diferenciales ordinarias en la variable r para cada familia de armónicos (¿, T)
con \m\ < £:
~^{r2(NalVa0 + Na0Val)) + i-^^-Na0^al+TNal = 0, (3.47)
^ (maVa0Val + QaTa0^ + qauA + maTVal = 0, (3.48)
dty i JV i maVa0—^ - qaUi - Q«Ta0-^ + m a r * a l = 0, (3.49)
dr Na0
£0 fd^U, 2dU, £(£ +1) \ ^ ( * 5 - + r ~dV ~ —^V') = " 2 - q«N^ (3-50)
que son independientes del índice m. Para i = 0 se prescinde de (3.49); para l / 0, conocido
* a i , es
*al(r;e,r)dPern Veai = —- exp(im<¿>), r do
V^ai = - i —-exp(im<¿?), * r sin 6
y el tamaño de la velocidad transversal es
| ? ± a i | ~ * a i / r . (3.51)
Por otra parte, de (3.48) y (3.49) se obtiene
Val = ~, , SÍ Va0 = 0, dr
d^ai const / ^ f dr \ . Tr
dr Vao V y Vao/
de forma que el potencial del campo de velocidades completo es: ^ a i para las especies
confinadas, y ^ a i más una función de r y t para las especies libres.
Si las condiciones de contorno no verificasen la condición de irrotacionalidad (3.40), aún
se podría reducir a dos las ecuaciones para la velocidad empleando la variable V_L • Val en vez
de $ a i en las ecuaciones de perturbación. Entonces, al descomponer en armónicos esféricos,
la transformada de V_L • Vai es equivalente a —£(£ + l ) * a i / ^ 2 en (3.47) y (3.49).
\ - >
75 ' ) •
La hipótesis enunciada en la Sec. 3.1 acerca de que la longitud de Debyé ^ l a menor
escala del problema implica que se consideren únicamente modos normales de perturbación
(¿, T) cuya escala espacial sea mayor que la longitud de Debye, es decir,
TR „ R , — , / « — . (3.52) V<xO *D
La principal consecuencia de ello es que el problema de perturbaciones es cuasineutro,
Y,qccNal=0, (3.53)
en las mismas regiones donde la solución estacionaria es cuasineutra.
3.5.2. Definición de variables auxiliares
La integración de las ecuaciones de perturbación y la discusión de las condiciones de
contorno y de la transición a una CE hacen aconsejable usar para las especies libres las
variables de perturbación
9OL\ = - p - , J<x\ = r (NaiVao + NaoVai),
« • „ , ( 3 - 5 4 >
Kai = maVaoVai + £ a T a 0 ^ - + <?«i7l,
es decir los flujos de partículas total, J a i , y relativo, p a i , y la energía mecánica, Kai. En
función de estas variables, la densidad y velocidad de perturbación son
Ngi = (Kal - qaUi) - maV^0ga i Nao QocTocQ ~ maV¿0 '
Val _ - ( # a l ~ gaUl) + g a ^ g O ^ a i
Para las especies confinadas se usarán Vai y Kai (con V o == 0); entonces JVal vendrá dado
por (3.55) con V£Qgai = 0. Sustituyendo en la condición de cuasineutralidad, Ec. (3.53),
Nai por (3.55) se despeja U\ como combinación lineal de los distintos gai y Kai:
Ul = , Q l ^ E ^ O ^ a ^ a l - ^ a l ) , (3.56)
con PQ dado por (3.36) y N'a0 por (3.38). Sustituyendo ahora Ui en (3.55) se tiene iVal y
Vai en función de gai y Ka\.
76
Usando las variables (3.54) las ecuaciones (3.47)-(3.48) se escriben
dgal ^ i ( i + i)<T, j_ TNal
dKal
dr
r2Va0 _ l " ' Va0Na0
+ marvai = 0.
o, (3.57)
(3.58)
Una vez sustituidos iVal y Vai por (3.55), estas ecuaciones quedan en función de gai, Ka\,
*a i y Ux.
3.5.3. Ecuaciones de perturbación en la CD
Si la solución estacionaria y esférica contiene una CD intermedia, la perturbación de
dicha solución provoca la deformación y el desplazamiento de la CD. Linealizando la ecuación
(3.9) la posición perturbada de la CD es
SD : r = rD(0,<p,t)~rDO + rDi(O,(p,t), r D 1 « r f l 0 ,
donde roo y VDI se determinan de las ecuaciones de orden cero y uno, respectivamente. Las
ecuaciones internas de la CD conviene escribirlas en el sistema de referencia ligado a la CD.
Del desarrollo en ordenes cero y uno de las expresiones (3.10)-(3.12) resulta
ñ ~ ir - V±rm,
drD1 Vnal ~ Vai dt '
V"||«i ^ V±al + Va0V±rD1 ~ Vj_(-tfa i + Va0rDi),
y, en orden uno, las ecuaciones de conservación (3.15)-(3.18) se convierten en
•¿¿[Na0(Vaí - ^ ) + NQlVa0] = 0,
d r v nr drDi Naí — [maVao{Val X — ) + qaUi + QaTaOlT^] dx ot J\ao
j¿[*al-Va0rD1\ = Q,
o,
d_ dx £o
dUodU:
dx dx i - Y, (irnaNaoVaoiVal ~ ^ ) + Nal(maV^ + QaTa0)
rv ^
(3.59)
(3.60)
(3.61)
(3.62)
0, (3.63)
donde x es la variable en la dirección normal a la CD perturbada.
77
En el sistema de referencia fijo del problema exterior el valor total de una variable / en
cada borde de la CD perturbada requiere usar el desarrollo
/ ( r í ( f l , ^ í ) , # , ^ í ) ^ / o ( r S ) + / i ( r g , t f , ^ í ) =
= /o(^Do) + / i ( r D O ' r ^ i ^ ' ^ í ) . (3.64)
donde fi(r^0) es la perturbación total en los bordes de la CD perturbada, que incluye un
sumando debido al desplazamiento de la CD (y a la inhomogeneidad de la solución esta
cionaria). Usando (3.64), la transformación a armónicos esféricos y las ecuaciones (3.26),
(3.28), (3.29) y (3.32) del problema estacionario, las condiciones de salto en orden uno que
se derivan de (3.60)-(3.63) quedan
[Na0{Val - TrD1) + NalVa0]r°° = 0, (3.65)
rD0
[maVa0(Val - TrD1) + gaE7i + QaTa0~^]rrb = 0, (3.66)
iV a o TDO
[*ai - rD1Va0]r™ = 0, (3.67)
rD0
Y^ [2maNa0Va0(Val - TrD1) + maNalV¿0 + QaNalTa0+ a
d l r +
+ r m — (maiVaoVra20 + iVaoTao) °° = 0. (3.68)
ar Jrn n
Estas condiciones completan el problema de perturbaciones en la escala cuasineutra. La
ecuación (3.68) es la condición de Langmuir en el problema de perturbaciones y puede con
siderarse que determina ro í .
Usando las variables (3.54), las condiciones de salto (3.65) y (3.66) resultan ser
[<?«! - ^ f = 0, (3.69)
[Kal - TrD1maVa0}r°° = 0, (3.70)
rD0
que expresan que el flujo de partículas y la energía mecánica en unos ejes ligados a la CD son
invariantes.
3.5.4. Transición a la CD
Sustituyendo (3.56) en (3.18) se comprueba que los puntos donde V*0 — 3T a 0 /m a no son
singulares de las ecuaciones de perturbación cuasineutras (3.55)-(3.58). Estas son singulares
78
únicamente en Po — O, es decir donde la solución estacionaria cuasineutra se hace singular y
tiene lugar la transición a una CE (o a una CD). Se analiza aquí el comportamiento en torno
a dicho punto singular de las ecuaciones de perturbación de los problemas exterior e interior
a la CD.
El valor del potencial eléctrico U en r ¿ será, usando (3.36), (3.56) y (3.64),
C/(r+) = t/0(r+0) + í7i(r+0),
dU0,^. Q,(r+n) (3-71) ft(r£o) - tfi(río) + r D 1 ^ ( r + , ) = | ^ ,
ar Po{rDO) donde
Qi(rD0) = Qi(r+0) + 2r-^Q0(r+0) = J2N°o(m<*v¿o9ai - Kal) (3.72)
DO
<7ai(r¿0) = Sai(»D0) - 2rDi/rD0,
Kai(r+0) = Kal{r+0).
Por tanto, el potencial Í7(r¿) está acotado si U\{r~^Q) está acotado y ello requiere que
<¿i(r£0) = 0-
(3.73)
(3.74)
Aplicando el mismo tratamiento a N^r^) y V ^ r J ) , se encuentra que iVai(r¿) y VOLi{r'^))
vienen dados por (3.55) pero usando en el segundo miembro variables de perturbación con
tilde. Por tanto, la condición (3.74) hace acotada la solución exterior de perturbación en r ¿ .
Desarrollando en (3.71) el segundo miembro de C/"i(r¿0,riji) se tiene
Qi'+2(rm/r)Q0'\ Ui{r+0) = (3.75)
donde Qor y Po' fueron obtenidas en (3.38) y Q\' se obtiene derivando en (3.56) y usando
(3.36), (3.57) y (3.58):
T DO
Qi V D O ) = J2 [maV^0{gal - rrD1maVa0) (N'¿0 - ^ o ) - N'¿0(Kal - TrD1maVa0)
(3.76)
donde N^0 y N£Q vienen dadas por (3.38).
En las ecuaciones cuasiestacionarias internas de la CE, la transición desde un punto
singular de la solución cuasineutra equivale a la condición marginal de Bohm (3.25) con:
S"{r+)~So"(r+0) + S1"(r+o) = 0,
79
siendo
§i"(r+0) = S1"(r+0) + rD1So'"(r+0).
Como en orden cero ya se cumplía que 5o' '(^¿0) ~ 0, e* problema de perturbaciones ha de
verificar
o / // + \ - V^ 2 [(2 ~ Qa)QaTao ~ maV£0]Ñal + 2maNCíoVoto(Vcci ~ TrD1)
Sustituyendo aquí iVai y V^i en función de g a i , K a i y ?7i, Ec. (3.55), se comprueba que esta
condición del problema interior es equivalente a la Ec. (3.75) para E/i(r¿0) (del problema
exterior). Por tanto, la Ec. (3.75) es la corrección de la condición marginal de Bohm por
efectos no estacionarios y no radiales.
3.6. ADIMENSIONALIZACION
Las ecuaciones se adimensionalizan usando tres magnitudes de referencia: una tempe
ratura, T*, una densidad, iV*, y una longitud, L*, que se concretarán en cada caso. Con éstas
se definen los siguientes variables y parámetros adimensionales (en órdenes cero y uno):
— — rh— L h — —^ b — ^a
*Ot — rp ) Q — rp 1 ^OL — rp -> ^OL ~ rp 1
^ = T irr l~ M/2 T« = irr l„ U/2' (3-77) "a (T.K)1/2 ' Ya Lm(T*/may/* 'a (T . /m a ) i /2 '
¿ _ r_ _ Na . QaJaO S — r ' ^ a — » r i Je
Dado que las ecuaciones de perturbación se integrarán espacialmente para frecuencias T
dadas, ha sido conveniente definir una frecuencia adimensional 7 a para cada especie.
La forma adimensional de la ecuación de cantidad de movimiento en una CE, Ec. (3.18),
6 8 / x2 d. r / ) n , \ /rl.fh\ 2 ^—* ^ i
o, A ¿e
(^O (|)2-E(^na+nQíQ)
donde A^+ = eoT*/e2N* y vna es la componente normal a la CE de la velocidad relativa
adimensional. Se prescinde aquí de transcribir la forma adimensional del resto de ecuaciones
pues es inmediata: formalmente basta con sustituir raa por 1, qa por -1 para electrones y
+1 para iones (suponiendo que no hay iones de carga múltiple) y las variables dimensionales
por sus correspondientes adimensionales.
80
Figuras del Cap. 3
PREVAINA
Figura 3.1: Esquema de modelo plasma-contactor.
N„
Figura 3.2: Esquema de CD.
81
Capítulo 4
SOLUCIONES ESTACIONARIAS CON SIMETRÍA ESFÉRICA
4.1. MODELO ESTACIONARIO DE PLASMA
En este capítulo se termina de definir y se desarrolla la solución del modelo estacionario.
Este modelo parte de la adaptación del modelo parcialmente cinético de Ahedo et al. a una
formulación fluida, con el fin de facilitar el análisis de estabilidad. Se aprovecha este nuevo
desarrollo para analizar algunos efectos no incluidos en el modelo original y para evaluar la
importancia de otros.
Las características generales de las ecuaciones y de las soluciones estacionarias del sis
tema plasma/contactor fueron definidas en las Secs. 3.1 a 3.4 del capítulo anterior. Se
concreta en esta sección el modelo de cada especie de plasma, se identifican los parámetros
que definen la solución, y se presentan posibles hipótesis adicionales. En base a éstas se
definen tres variantes del modelo estacionario, que se analizan en las secciones siguientes y se
comparan con el modelo de Ahedo et ai.
El contactor, una esfera de radio i?, Fig. 3.1, está cargado a un potencial positivo
UOR = UQ(R) relativo al plasma ambiente no perturbado, cuya densidad y tempera tura
son ÍVQO y Too (no habría inconveniente en considerar distintas las temperaturas iónica y
electrónica de dicho plasma como se hizo en la Ref. [2] pero se ha preferido t rabajar con un
parámetro menos). De acuerdo a las hipótesis enunciadas en la Sec. 3.1 se supone que
fe T x 1 / 2
eU0R > r ^ , R > XDoc = I - M - oo
\e2N0
El campo eléctrico acelera los electrones del plasma ambiente (especie e) hacia el contactor
y finalmente son colectados por éste. En el modelo macroscópico adoptado las ecuaciones
estacionarias que verifica la especie e son las Ees. (3.28)-(3.30),
r2Ne0Ve0 = const = - J e 0 < 0, (4.1)
- m e K o - eU0 + ^Te0 = ^ T ^ , (4.2)
T e 0 = T ~ ( t : ) 2 ' (4-3)
82
donde al ser Veo < 0 se ha preferido alterar la definición de Jeo de manera que sea Jeo > 0.
La corriente de electrones colectada por el contactor es Ieo = 47reJeo. Ahedo et al [2] de
mostraron que este modelo fluido está parcialmente justificado por la teoría cinética. Usando
un modelo monoenergético (modelo de partículas de igual energía 3Toc/2 y distribución uni
forme de momento angular), ya en sí mismo una simplificación de un modelo maxwelliano,
encontraron que, siempre que no se alcanzase el límite OML, la densidad y corriente de
electrones verificaban las ecuaciones
Ne0 /, , 2eU0 , /„ , 2eU0 *\ 2 i V 0 0 - V 1 + 3 r o o
± V 1 + 3 T o o r*' {AA)
bl „ [3fT JeO — —TNOQA ,
4 V rne
donde 6# es el parámetro de impacto máximo de los electrones que son colectados por el con
tactor; bs depende de UQ(V) y se determina como parte de la solución (nótese que determinar
bB es equivalente a determinar Jeo). Definiendo entonces una velocidad radial macroscópica
a través de (4.1), Ahedo et al muestran que el modelo monoenergético verifica
i (m«K2o + ? T „ 4 ) _ ar0 + ¡To. ( 0 = ¡T„. (4.5)
El término con &# es el valor promedio de la energía centrípeta y no es reproducible por
un modelo fluido a menos que se asigne al fluido un momento angular medio alrededor del
contactor, lo cual no es realista. La ecuación (4.5) sí justifica el comportamiento adiabático
supuesto en (4.3).
Los iones ambiente (con carga qa = e) están confinados en la prevaina por el potencial
de la CD o CE. Esta especie no tiene, por tanto, velocidad macroscópica y se considera que
está en equilibrio térmico a temperatura T^:
^ o = í iV o oexp(-g) , r>rD0, (4g)
[O, r < rDQ.
La ley exponencial está refrendada por la teoría cinética cuando eC/ofl/^oo 3> 1 y el número de
iones que atraviesan la CD y son colectados por el contactor es despreciable. El prescindir de
NaQ en la prevaina se justifica tanto asintóticamente, al compararlo con otros términos, como
prácticamente, por no complicar innecesariamente las ecuaciones. Cuando elloR/T^ =0(1)
habría de considerarse la presencia de iones ambiente en el núcleo y la fracción colectada por
el contactor; las correcciones a la ley de Maxwell-Boltzmann para dicho caso las da Lam [55].
83
La presencia de una población de electrones confinados es imprescindible para mantener
una estructura núcleo/CD/prevaina pero está poco justificada en una solución sin núcleo. Al
estar esta población confinada por el potencial de la CD se supondrá que está en equilibrio
térmico a una temperatura Tc0 ,
^ íiWxp(e^^), r<rE„, ( 4 y )
[O, r > rD0,
con TCQ/eUoR <C 1. Debe quedar claro que la división de los electrones en confinados y
acelerados es un artificio del modelo macroscópico para poder reproducir con fidelidad y
sencillez las características de la compleja población de electrones provenientes tan to del
ambiente como del contactor. Las funciones de distribución halladas experimentalmente [60]
[88] justifican generalmente modelos de dos o más poblaciones como éste. Por lo dicho se
entiende también que la temperatura TCQ es un dato en este modelo. De forma análoga a la
adoptada con la población a y suponiendo una CD fuerte, se prescinde completamente de la
población c en la prevaina; obsérvese que (i) el número de electrones confinados que logran
alcanzar la prevaina es despreciable para TCQ «C eUoR, (ü) la existencia de dos poblaciones
de electrones en la prevaina está poco justificada, y (iii) habría que modificar de algún modo
la ecuación (4.7) pues exp[(eí7o — eUoR)/Tco] no tiende a cero para r —» oo. Además, cuando
CUOR/TCQ = 0 ( 1 ) el modelo de cuatro poblaciones fluidas y de una configuración con C E / C D
fuerte pierde consistencia.
Las ecuaciones de los iones emitidos por el contactor (con carga qi = e) y acelerados
hacia el exterior por la CE son
r2Ni0Vio = const = J i 0 , (4.8)
1 3 -miV& + eU0 + -TÍO = const = Ki0R, (4.9)
TÍO = § ^ ¿ , (4.10)
donde el subíndice R indica valores en r = i?, J¿o = 47reJ¿o es la corriente emitida por el
contactor, 2Ki0R = rriiV^R + 2eU0R + 3Ti0R y se supone TÍ0R, TTIÍV^R < eU0R. El uso de un
modelo fluido radial está aquí más justificado que en el caso de la especie e, pues la posible
componente no radial en la velocidad de emisión decrece como 1/r en el viaje de los iones
hacia el exterior, como se verá en el Cap. 7.
En la prevaina y núcleo, las ecuaciones (4.1)-(4.3) y (4.6)-(4.10) se completan con la
condición de cuasineutralidad
Ni0 + Na0 = Ne0 + Nc0, (4.11)
84
de manera que en dichas regiones el problema se reduce a resolver un sistema algebraico de
ecuaciones de conservación. Se consideran datos del modelo las constantes
R<> UOR, J¿o, A/QO, TQO, TCQ, TÍQR, ViOR,
y (para el modelo con núcleo) han de determinarse
Jeo, roo, U0D, UQD,
donde UQD = í7o(r¿o) y ^or> — Uo{rDo) s o n ^os potenciales en las caras exterior e interior de
la CD, respectivamente, [ver Fig. 3.2]. Otros parámetros, como NC0R y NÍQR, se obtienen de
relaciones sencillas entre los anteriores.
4.1.1. Ecuaciones adimensionales
Empleando la adimensionalización definida en (3.58) y tomando como magnitudes de
referencia
L*=R, T+=Too, Nm = Noo,
las ecuaciones (4.1)-(4.11) se convierten en
na0 = exp(-(/>0), para £ > £D0,
( 00 — 0O.R \ nco = ricOR exp y— J, para £ < £D0,
€2ne0veo = -jeo,
vlo + 3íeo - 20o = 3,
teo = nlo,
£ riiovio = jio,
¿o + 3í¿o + 200 = 2ki0R, . tiOR 2
HiOR
(4.12)
(4.13)
(4.14)
(4.15)
(4.16)
con 2ki0R = vf0R + 3tioR + 2<p0R. Despejando ve0 y vi0 de (4.14) y de (4.15) respectivamente
se tiene
^e0 =
ViO =
^ + 2 ± v ( 0 O + 2 ) 3 \ 2 3¿
1/2
kiOR-tfioíxIikiOR-h)2-3-^^
1/2
(4.17)
(4.18)
85
donde los términos con £~4 provienen de los efectos térmicos. Los radicandos interiores
se anulan en el punto sónico de cada especie: v^0 = 3fao [ver Sea 3.4.1] y los signos
positivo y negativo delante de las raíces corresponden a las raíces supersónica y subsónica,
respectivamente.
La solución de estas ecuaciones dependerá de los cinco parámetros adimensionales libres
del modelo; por ejemplo, la actuación corriente-volt aje (C-V) será una función de la forma
jeO = jeo{jiO, <I>0R, tcO,UoRi VÍ0R). (4.19)
Para ciertos rangos de los parámetros adimensionales se dan condiciones que permiten sim
plificar la búsqueda y la forma de la solución y con ello entender mejor los efectos dominantes
en la respuesta del plasma. Tres son las simplificaciones que se van a discutir en las secciones
siguientes: (i) riio <C neQ en la prevaina,
(ii) neo <C riio en el núcleo, (4.20)
(iii) 3íeo <C vl0 en el núcleo.
Según se apliquen o no^estas condiciones se obtienen variantes distintas del modelo esta
cionario. Así se denominará
- Modelo completo (o C) al que no admite ninguna de las tres,
- Modelo básico (o B) al que tiene en cuenta estas tres simplificaciones, es decir, en
la determinación de la estructura de prevaina y núcleo se prescinde de los efectos de los
correspondientes haces acelerados por la CD.
- Modelo A al que sólo admite la condición (i), es decir, sólo considera el efecto del haz
e en el núcleo. Se llamará submodelo A' al que además admite la condición (iii), es decir,
supone que el haz e es hipersónico. Los modelos A y A' son las versiones fluidas del modelo
de Ahedo et al.
4.2. SOLUCIÓN DEL MODELO BÁSICO
Se aplican aquí las tres condiciones simplificatorias de (4.20). Se comienza analizando
las soluciones en prevaina y núcleo y después se cierra el problema con las condiciones de
salto a través de la CD. La estructura interna de la CD no es necesaria para tener la solución
cuasineutra completa y se posterga su estudio a la Sec. 4.5.
4.2.1. Prevaina
86
Al suponerse nco = 0 y n¿o <§C n a 0 la ecuación de cuasineutral idad se reduce a
nao((l>o) - ™eo(</>o, £)> ( 4 - 2 1 )
y la es t ruc tu ra de es ta región está de te rminada por el compor tamiento del p lasma ambiente .
Entonces no sólo las especies a y e son t r a t a d a s como fluidos sometidos a un campo eléctrico
dado, sino que el iminando los términos de campo eléctrico entre las ecuaciones de cant idad
de movimiento de cada u n a de las especies, se t iene
dveo d
de manera que el plasma ambiente se comporta como un único fluido de velocidad t;eo,
densidad neo y temperatura 1 + teo (o T^ + Teo en forma dimensional).
Operando con (4.12), (4.14) y (4.21) se tiene primero el comportamiento del plasma
ambiente en función de (/>o,
^ao = ^eo = y/tío = exp(-0 o ) ,
^ o = 3 + 20o-3exp(-2(/>o),
y después el perfil </>o (£) de
£4 exp(40o)
(4.22)
j2e0 (2(f)o + 3)exp(2(t)o)-Z'
Derivando en (4.23) se t iene
í > ÜDO. (4.23)
É d(f>o v2 e0
2 d£ l + 3te0-v2
e0'
de forma que el perfil de la prevaina presenta un pun to de retorno (d(/)o/d£ — ±oo) pa ra
(4.24)
v2e0 = l + 3te0, (4.25)
es decir cuando el plasma ambiente (no la especie e) alcanza la velocidad sónica. Se tiene
además que en dicho punto de retorno es d2£/d(pl > 0 luego £(0o) alcanza ahí su mínimo. La
expresión (4.24) es equivalente a la Ec. (3.36),
# o 2 q0 ne0 rieovl0 , .
d£ £ po 3 í e 0 - vi0 3 íe0 - vio
87
y la condición (4.25) corresponde por tanto a po — 0, que es la condición marginal de Bohm
en orden cero [ver Sec. 3.4.1]. Por su parte el punto sónico de la especie e: v¿0 = 3£eo> se
alcanza en
0o ~ 0.2652, i/j1^2 ~ 0.9906.
Este es un punto regular del perfil de la prevaina aunque en él po — ±oc, correspondiendo
la región con p0 > 0 a </>o < 0.2652. Por tanto, y según las conclusiones de la Sec. 3.3, la
transición prevaina/CE puede darse bien en cualquier punto de la región 0o < 0.2652, donde
Po > 0, bien en el punto sónico del plasma (punto singular del perfil de prevaina), Ec. (4.25),
donde po = 0. En el primer caso, el haz e entraría subsónico (v¿0 < 3feo) en la CE y habría de
pasar a supersónico dentro de la CE. Adoptando aquí la hipótesis (viii) de la Sec. 3.1, que no
admite puntos sónicos en el interior de la CE, la transición prevaina/CD ha de ocurrir donde
se cumpla (4.25). Usando (4.22)-(4.23), dicha condición se escribe (0o + l)exp(20o) — 3 y
resolviendo esta última los valores en el punto singular son
0o = (f>oD - 0.386,
^eo = v+0D ~ -1.5447, (4.27)
ne0 = nJ0D ~ 0.6797,
jeo/Z2 = jeo/Clo - 1-050.
Nótese que la condición marginal de Bohm implica una relación entre la posición de la CD y
la corriente colectada.
Conocido 0o (£)* habría que comprobar cuando es n¿o <^ neo y, por tanto, cuando es
correcta la Ec. (4.21). El comportamiento del haz i en la prevaina se obtiene directamente de
(4.15) y (4.18) donde ha de tomarse la raíz supersónica porque el haz i ha sido fuertemente
acelerado en la CD. Entonces, n¿0 <C neo se cumple si 0OJR ^> 1 puesto que
í i0 < v20, vi0 ~ y/2<f>0R, ni0 = - ^ - ~ 3£j— ~ /ox— ^ *' n e 0 = °(1)'
€ Vio ¿TV20Oií V20Oií
donde se ha hecho uso de la condición de Langmuir j¿o ~ jeo? Ec. (1.8).
4.2.2. Núcleo
Para nao = 0 y neo <C nco se tiene
nco(<t>o) ~ni0(</>o,0> (4.28)
88
y la estructura del núcleo está determinada por el plasma emitido. En esta región es este
plasma el que se comporta como un único fluido de velocidad Vio, densidad n¿o y temperatura
tco + Uo, que verifica la ecuación de cantidad de movimiento
dvio d nioVio—7— + -7zni0(tco + ti0) = 0.
Operando con (4.13), (4.15) y (4.28), se obtiene primero el comportamiento del plasma emi
tido en función de 0o,
jiO 0o - <l>0R nco — ™¿o = exp >
ViOR tco
, , o 00 - <t>0R (A OQ\ Uo = ti0Rexp2 , (4.29)
£c0 vi0 = 2(ki0R - 0o) - 3 í i 0 ^ e x p 2 — ,
Íc0
donde se ha usado que UCQR = JÍQ/VÍOR, Y después el perfil de potencial 0o(O de
£4 exp[4(0Ofí - 0o)/íco] VÍOR
2(fc¿ofí - 0o) exp[2(0Ofí - 0o)/íco] - 3UOR
Derivando en (4.30) se tiene £d(j)Q _ v?0tc0
, K £ < ^DO. (4.30)
(4.31) 2 d£ v?0 — íc0 — 3í¿o'
de forma que la solución presenta un punto singular con d0o/c/£ = ±oo donde el plasma
emitido (no la especie i) alcanza la velocidad sónica:
v?o = tco + 3tio. (4.32)
En dicho punto de retorno £ alcanza su mínimo pues d2£/d0Q > 0. Resulta pues que el signo
de (v¿0 — tCQ — 3í¿o) ha de ser constante en el núcleo y el único lugar donde dicha cantidad
puede ser nula es en la superficie del contactor.
La expresión (4.31) es equivalente a la Ec. (3.36),
d0o _ 2 q0 _ nc0 ni0 _ ni0v?0 ~JT — T P0 — ~ r — o", ?0 — 7T, O~Í
di i po tc0 3íi0 - v{0 3ti0 - vf0
y (4.32) corresponde pues a po = 0. En su cara externa el núcleo limita con la CD y de
las condiciones de transición a una CE se tiene que ha de ser po(£¿o) > 0 a la salida de
la CD. Por lo dicho en el párrafo anterior no puede ser £>o(£¿o) = > luego es Po(£¿o) > 0
89
y la transición núcleo/CD es diferente de la prevaina/CD. La condición Po(£¿o) > 0 puede
cumplirse de dos formas: a ) (VÍO ~ SÍÍO)*- < 0: como po > 0 en todo el núcleo el plasma emitido sería subsónico:
^o < co + 3íio, y el potencial sería creciente, dtfio/d^ > 0.
k) (v¿o "" *c0 — 3íio)£- > 0: en todo el núcleo el plasma emitido es supersónico y el
potencial es decreciente, como en la prevaina.
Se desechará aquí la primera posibilidad pues conlleva el cruce sónico del haz i en el interior
de la CD. Por otra parte la segunda posibilidad es la única posible cuando se desprecia la
temperatura del haz i (Í¿OJ? < tco). Entonces en la superficie del contactor será
Vi0R > tc0 + 3ti0R, (4.33)
donde el signo igual (emisión sónica) parece el más plausible [2] para una emisión desde los
conductos del contactor al ambiente. La hipótesis de emisión sónica reduce en uno el número
de parámetros a considerar; a cambio añade un punto singular en la solución.
Conocido 0o(0? P a r a comprobar que neo «C n¿o y que (4.28) es correcta, se obtiene la
evolución deliíaz e en el núcleo directamente de (4.14) y (4.17) donde ha de tomarse también
la raíz supersónica. Para (f>QD ~ (¡)OR » 1 el haz e entra hipersónico en el núcleo (v^Q » 3íeo)
y si se mantiene así en todo él es
Con ésto se obtiene
neo riio
r>sj 3e0
JiO
(/>0R-(f>0D <f>0R-<l>Q
<POD V fon
y ne0 < n i 0 se cumple para (f)0R - (/)QD < <f>oR.
Con la solución obtenida, también puede estimarse el rango de validez de la hipótesis
(iii), Ec. (4.20), que, empleando (4.14) puede escribirse: j eo/£2 ^ e0> c l u e puede empezar a
fallar cerca del contactor, £ ~ 1. De (4.30), para UOR <C tc0 y v?0R — tc0 =0(1) se tiene
£2 _ ieo _ exp[((f)oR-<p-D)/tco}
y 2(0Ofí - <¡>QD)/tco + 1
que, junto a (4.34), permite suponer que la hipótesis (iii) es válida para
exp[((/>oi? - fe)/¿cp] 4>OR >
^2(0
90
4.2.3. Cierre del problema y resultados
Para determinar la solución completa falta solamente por imponer la condición de Lang-
muir en la CD, Ec. (3.34),
V [na0vl0 + na0taQ]Íb = 0. (4.36) a
Las soluciones de prevaina y núcleo dan £DO? jeo, y el estado de las cuatro especies en £ ¿ 0 y
£ ¿ 0 en función de (f)^D y de los cinco parámetros conocidos, Ec. (4.19), de manera que (4.36)
determina (pQD en función de los cinco datos del modelo y con ello cierra el problema. Si se
supone que la emisión de plasma es sónica entonces v?0R = íco + 3Í¿OÍI y solamente hay 4
parámetros libres.
Las Figs. 4.1 y 4.2 muestran perfiles espaciales del régimen con núcleo para diferentes
valores de los parámetros. En este modelo básico los perfiles de la prevaina, como el de poten
cial que se muestra en Fig. 4.1 (a), son universales si se adimensionalizan convenientemente.
Obsérvese en las Figs. 4.1(b)-(d) el carácter singular (d(f>o/d^ —> —oo) de los puntos £ = 1 y
£ = £+Q mientras que £ = £ ¿ 0 es un punto con dcfro/dZ finita.
Una consecuencia interesante de ser la geometría esférica (más exactamente de no ser
la geometría plana) es que la "simetría" en las ecuaciones de los haces i y e no se traduce en
una respuesta "simétrica" de los haces. El comportamiento más complejo lo presenta el haz
colectado e que es acelerado por el campo eléctrico en la dirección de la convergencia esférica.
Como consecuencia de ésto, el haz e es rarefactado y enfriado en la prevaina aHÍominar la
aceleración frente a la convergencia esférica, mientras que es comprimido y calentado en el
núcleo al dominar la convergencia esférica. Este calentamiento en el núcleo reduce el número
de Mach del haz e, veo/y/3teQ, y si el núcleo es suficientemente grande el haz e dejará de ser
hipersónico cerca del contactor. La ecuación (4.17) predice que ello ocurre cuando jeQ se hace
del orden de 4>QR. El análisis de esta situación y la posibilidad de alcanzarse veo — \ /3íeo
cerca del contactor se desarrolla en la sección siguiente.
El haz emitido, al ser acelerado en la dirección de la divergencia esférica es rarefactado y
enfriado hacia el exterior tanto en núcleo como prevaina. Como además sale sónico/supersónico
del contactor, Ec. (4.33), (relativo a la temperatura íco + UOR), los efectos de temperatura
en el haz i cuentan poco, siendo insignificantes para Í¿OR ^ ¿co? Fig. 4.2. Por ello y por la
simplificación apreciable que supone en las ecuaciones del haz i generalmente se t rabaja con
tiOR ^ ¿co- La misma Fig. 4.2 muestra que el carácter sónico o hipersónico de VÍQR afecta
poco a la respuesta global del plasma, mientras sea VÍQR r=0(t co).
9 1
Por tanto los parámetros básicos de la solución estacionaria son tres: jj¿o? ^oñ? y ¿co-
La evolución de los perfiles espaciales con estos tres parámetros puede verse en la Fig. 4.3.
El tamaño del núcleo, y por tanto jecb Ec. (4.27), aumenta cuando aumentan JÍQ O <PQR y
disminuye al aumentar tCQ. Nótese al mismo tiempo que el perfil de 0o(O/*cO sólo depende
de (f)oR/tco, de acuerdo a (4.30); JÍQ y íco afectan a la solución a través de la condición de
Langmuir, Ec. (4.36), y por ello determinan exclusivamente la posición de la CD.
Las curvas de actuación C-V
ÍeO = ieOÜ'iO, 0 0 R , ¿co), ( 4 . 3 7 )
y la evolución de los parámetros de la CD están recogidas en las Figs. 4.4, 4.5 y 4.6. En
éstas se ha representado ^ o — (jeo/1-05)1/2 en lugar de jeQ y se ha incluido la curva límite
del régimen con núcleo (SCL: space-charge limit, según nomenclatura de Wei y Wilbur [89])
que se determinará más adelante. Obsérvese que la relación (4.37) es también la condición de
Langmuir entre las corrientes que cruzan la CD. Las figuras muestran que, cuando (f>oR/tco
aumenta, con ÍCQ y j¿o fijos, aumenta la corriente recogida, jeo, Fig. 4.4, pero también aumenta
la impedancia del contactor, 4>OR/ jeo, Fig. 4.6. El aumento de jio disminuye la impedancia
y, aunque incrementa jeo, el contactor pierde eficacia pues jeo/jio disminuye, Figs. 4.4 y 4.6;
para </>OÍÍ/ÍCO 3> 1 la corriente colectada, jeQ es prácticamente proporcional a j¿o- El efecto de
íc0 es importante únicamente para (f>oR/tco bajo y su aumento hace que jeo disminuya, Fig.
4.5, y que la impedancia aumente.
Para (f)^D ~ (fioR ^> *c0 >0(1) e s posible obtener una aproximación de la solución que
refrende estos aspectos. Primero, la condición de Langmuir, Ec. (4.36), se reduce a
K o ^ e O + niOVn)t-0 ~ ( n ^ o ) £ ¿ 0 > ( 4 ' 3 8 )
que expresa que el balance de presiones entre las dos caras de la CD lo mantienen básicamente
la presión dinámica del haz e en la cara interna y la del haz i en la cara externa. Nótese que
pese a despreciar neo en el núcleo y n¿o en prevaina, los términos neovl0 en £¿0 y n^vf^ en ^ ¿ 0
son los dominantes en (4.36). De (4.38) se obtiene la relación entre corrientes y potenciales,
je0_ l<P0R l<t>0R_1<1 ( 4 3 9 )
j i o y 4>QD y 4>0D
Cuando (J>QD/4>QR —>• 1 la Ec. (4.39) recupera el resultado clásico [58]:
92
Al disminuir (/)QD/((>OR (O aumentar el tamaño del núcleo) en (4.39) aumenta jio/jeO y el
contactor pierde eficacia. Esto se explica porque la velocidad de entrada del haz i en la
CD aumenta a medida que el núcleo crece y es necesaria una corriente de iones mayor para
neutralizar igual número de electrones.
Las ecuaciones (4.35) y (4.39) son la relación jeo = jeo(jiOi<f>OR/tco) parametrizada con
(f>QD/tco. Si el núcleo es grande, £DO ^> 1, de (4.35) se tiene
<t>0R ~ <t>QD
es decir
~ 21n£D0 + O(lnln£D0) ~ ln j c 0 , (4.41)
<t>0R i , *c0 , • — - ~ 1 + — - l n j e o , (p0D (POR
y eliminando 0O¿Í/0OD e n (4.39) queda la siguiente aproximación para la curva C-V y para
la condición de Langmuir, válida para </>OJR/ÍCO 3> 1> jio 3> 1 :
1/2"
JeO ~ JiO Inj io <t>OR
(4.42)
La dependencia de jeo con el tercer parámetro, tco o 0OH, requiere añadir el término ncotco
en la condición de Langmuir.
El límite del régimen con núcleo corresponde a (¡>QD = 4>OR y £DO = 1- En este caso
la corriente recogida sería jeQ = 1.050. El valor de jio para el cuál se alcanza ese límite se
obtiene de la condición de Langmuir, Ec. (4.36), y es una función de la forma
jiO ~ 3i,SCL {<t>0R, tcO, tiOR, VÍOR) ,
representada en la Fig. 4.7; se observa que JÍ,SCL disminuye cuando 0oñ aumenta o ÍCQ
disminuye. De la Ec. (4.40) para (f>oR/tco 3> 1 se obtiene
JÍ,SCL ^ 1.050.
El modo sin núcleo corresponde a j¿o < JÍ,SCL y en él el contactor y la prevaina están
separados por una fina capa electrostática. Como la solución de la prevaina dada en la Sec.
4.2.1 sigue siendo válida, la Ec. (4.27) dice que la corriente colectada en todo el modo sin
núcleo es jeo = 1.050. /"
La corriente total, / , que circula a través del contactor es aproximadamente la corriente
colectada Jeo, pues lio jio ¡™>e [rñ(
r»sj
Ie0 jeO V rni V m
*e
93
En el régimen con núcleo, usando (4.27) se tiene
/ ~ 2.63(47rr|)0)(eiVoov/Too/27rme),
luego, salvo un factor de orden unidad, la corriente es el producto de la densidad de corriente
térmica por el área exterior de la CD. En conclusión, el modelo confirma que alcanzado el
régimen con núcleo, la colección de corriente depende básicamente de la corriente emitida JÍQ
y no del voltaje del contactor. En ello radica la efectividad del aparato como intercambiador
de corriente eléctrica con un plasma: un mecanismo capaz de hacer circular una corriente
alta con una diferencia de potencial pequeña, a costa de emitir suficiente cantidad de plasma
ionizado.
En los análisis de la prevaina y del núcleo, se estimaron los rangos de parámetros donde
son válidas las tres condiciones simplificatorias que caracterizan al modelo básico. Estas son
(i) ni0 <C ne0 en £ > £D0 : 4>OR > 1,
(ii) n e 0 < ni0 en f < £jr>0 : (f>0R > cf)0R - (f>~D,
r~\ i + ^ i c / c A ^ exP[(0oi* - fe)/*co] (lll) 3íe0 < eO e n £ < SDO : <!>0R >
y2(4>0R - <f>0D)/tcO + 1
A partir de estas expresiones, se han delimitado (con líneas discontinuas) en la Fig. 4.8 las
regiones aproximadas de validez de cada una de las tres condiciones; las líneas continuas
corresponden al límite SCL y a otros límites bien definidos que se discuten en las secciones
siguientes. Las condiciones (ii) y (iii) sobre el haz e valen mientras el núcleo no sea muy
grande; la condición (ii) comienza a fallar cerca de la CD y la condición (iii) junto al contactor;
cuál falla antes depende del valor de ÍCQ. Por otra parte la condición (i) es válida mientras el
salto de potencial en la CD sea grande.
4.3. INFLUENCIA DEL HAZ COLECTADO EN LA ESTRUCTURA DEL NÚCLEO
Se analiza aquí cómo se modifica la solución del núcleo cuando no se aplican las condi
ciones simplificatorias (ii) y (iii) de (4.20), es decir se estudian los efectos de ser neo/n¿o y
Síeo/^eO n o n u l ° s - En principio se buscarán soluciones que sean continuación en el espacio
de parámetros de las obtenidas con el modelo básico, es decir (a) con un comportamiento
supersónico de las especies e e ¿ , y (b) con un perfil de potencial monotónico y singular en
94
Al incluir la densidad del haz e en la ecuación de cuasineutralidad se tiene
™zo(0o,£) = ™eo(0o,£) + ™co(0o), (4.46)
donde las densidades han de sustituirse de las ecuaciones (4.13)-(4.15). La Ec. (4.46) es una
ecuación implícita para el perfil de potencial 0o (£)? P e r o e^ comportamiento de éste se estudia
más fácilmente a partir de la Ec. (3.36),
d0o 2 nco ne0 n¿0
«C £ *c0 ^ 0 ~ 3 í e0 < 0 ~ 3 í *0 , . 2 2 V^-^/J
_ n ¿0%) , ne0^eO
donde se recuerda que v%0 = 3íeo y fo ~ 3^o n ° dan singularidades. En el borde del núcleo
con la CD es
£ = £¿0 : Vlo > 3íe0, P0 > 0, % < 0,
de forma que la solución buscada requiere (vl0 — 3íeo)<?o < 0 y (vl0 — 3íeo)po > 0 en todo el
núcleo excepto en £ = 1 donde (vl0 — 3íeo)po — 0. Una primera observación es que el haz e
mantiene vl0 > 3£eo en todo el núcleo pues cuando ^ 0 — 3íeo —> 0: (vl0 — 3íeo)po —> —^eO < 0.
Segundo, la condición po(l) = 0 se puede escribir como
£ = 1 : vi = 3í¿0 + ico ^jr~2 rj-r, (4.48) ™c0 - ^eOÍcO/í^eO ~~ á í e 0 J
que se reduce a v\§R — 3¿ÍO.R + ÍCQ si neo/n¿o —> 0. Nótese que solamente en un sentido vago
se puede seguir llamando "condición sónica" a (4.48). Al incluirse el haz e, las ecuaciones del
núcleo ya no se pueden asimilar a las de un único fluido (el plasma emitido) sino que ahora
los dos haces interactúan a través del potencial eléctrico. La ecuación (4.48) es en realidad
una condición sobre las velocidades de los dos haces, VÍQ y veo, aún cuando la influencia de
cada haz en dicha condición sea muy diferente.
El tercer aspecto que cabe destacar es que este modelo de núcleo [con 0o ( 0 monotónico
y singular en £ = 1] deja de valer cuando
Po(l) = 0, <zo(l) = 0, (4.49)
límite en el cual 0o ( 0 tiene pendiente finita en £ = 1. Obsérvese que qo = 0 implica
(suponiendo 3£¿o ^ VÍO): vlo ~ 3 íeo(l + neo/neo), que para neo < nco, sólo se puede cumplir
si vl0 ~ 3íeo, luego dicho límite está asociado a que los efectos de temperatura sobre el haz e
95
vuelvan a contar; no obstante v¿0 — 3íeo no se anula en ningún punto del núcleo. La existencia
de soluciones más allá del límite (4.49) no está clara; el asunto se discute brevemente al final
de esta sección. Por el momento parece conveniente restringir la validez del modelo a tener
qo (1) < 0. La Fig. 4.8 mostraba los valores de los principales parámetros en el límite (4.49)
[curva 4] y la Fig. 4.9 muestra la influencia de tco en este límite. La región de validez del
modelo es la situada a la izquierda de cada curva límite, y su extensión disminuye al disminuir
*c0-
El submodelo A' supone que v¿0 » 3íeo en todo el núcleo. Añadiendo que UoR/tco <C 1,
este submodelo corresponde a los límites hipersónicos del modelo A y permite tener el perfil
de potencial explícitamente:
e(M * exp 0 O * ~ 0Q x /*"*-*>* x l-Üeo/jio)Vkion/<t>o-l {^Q)
tcO V kiOR-<l>0 l-(jeo/jio)VkiOR/(t>OR-l
Las Figs. 4.10 y 4.11 comparan perfiles espaciales y actuaciones, respectivamente, de
los modelos B (básico), A y A'. Los efectos de ser neo/n¿o y 3teo/v^Q no nulos son de cariz
muy diferente. La densidad del haz e tiene un efecto negativo en la colección de corriente
(pues reduce el cociente jeo/jio) pero las diferencias en actuaciones de A o A' con el modelo
básico no son nunca muy importantes (y son insignificantes para 4>oR/tco « 1). En la Ec.
(4.50) el efecto de neo lo recoge la última fracción (que es menor que uno). El efecto de la
temperatura del haz e se tiene comparando el modelo A y el submodelo A'. Resulta que (i)
éstos sólo difieren en los perfiles espaciales de veo y sólo en la región próxima al contactor
(pues íeo varía como £~4); (ii) al ser neo <C n¿o cerca del contactor, las anteriores diferencias
no afectan a las actuaciones, que resultan ser prácticamente idénticas para ambos modelos.
Por lo tanto la inclusión de íeo e s totalmente insignificante en cuanto a actuaciones pero trae
consigo un cambio de comportamiento en el haz e que termina induciendo un límite a la
validez de la solución estacionaria conocida.
4.3.1. Límite del modelo de núcleo y límite OML
Hay dos posibilidades de continuar las soluciones más allá del límite (4.49). La primera
consiste en que en el interior del núcleo se alcance qo = 0 con po > 0 [es decir un máximo de
0o(£)] y se continúe la solución hasta £ = 1 donde po = 0. La segunda posibilidad es exigir
que el par de condiciones po — 0 y qo = 0 se cumplan en algún punto £ > 1, interior del
núcleo, y continuar la solución hasta encontrar el punto singular £ = 1 donde po(l) = 0 y
qo(l) ^ 0- Un estudio somero muestra que, en principio, ambas situaciones son posibles pero,
96
seguidamente se argumenta que el análisis de esta situación debe posiblemente plantearse en
otra dirección.
Claramente, el radicando interior de la Ec. (4.17) de la que se obtiene veo no puede ser
negativo en ningún punto. La condición de radicando nulo equivale a que el haz e se haga
sónico v¿0 = 3íeo- Si se particulariza esta condición en £ = 1 se obtiene un límite superior
para la corriente colectada: 0oi*+ 3/2
Je0,max — T= • (4 .51 ;
Usando el modelo monoenergético para la especie e, Ahedo et al. [2] también encontraron una
corriente máxima: 0OÍÍ + 3/2
JeO, max 2^3 '
de acuerdo a la Ec. (4.4), que corresponde a alcanzar el límite de movimiento orbital (límite
OML). (Para un modelo maxwelliano de la población e el límite OML es [67] jeo,max =
20OH/7T). Resulta así que en la formulación fluida el límite de velocidad sónica se corresponde
con el límite OML. Por otra parte, el límite del modelo de núcleo (4.49) está muy próximo
al límite OML/sónico, Ec. (4.51), como muestra la Fig. 4.9. Por tanto puede entenderse
el primero como un efecto del segundo. La extensión del modelo de núcleo ha de tener
en cuenta esta relación con el límite OML, y replantearse el tratamiento de la especie e y
las características de la solución una vez alcanzado el límite (4.49). Ahedo et al tuvieron
ésto en cuenta y calcularon la modificación de la expresión (4.4) para la densidad N€Q en
el régimen OML. Sin embargo, estos autores no encontraron un límite equivalente a (4.49)
pues despreciaron el efecto de Neo cerca del contactor y consideraron que la configuración
monotónica núcleo/CD/prevaina se extiende al régimen OML sin problemas. El análisis en
profundidad de este problema queda fuera de los objetivos de esta Tesis.
4.4. INFLUENCIA DEL HAZ EMITIDO EN LA ESTRUCTURA DE LA PREVAINA
Se analiza aquí como se modifica la estructura de la prevaina estudiada en la Sec. 4.2.1
cuando se tiene en cuenta la densidad del haz i. La ecuación de cuasineutralidad de la
prevaina pasa a ser
nao(<j>o) +n i O (0o ,O -™eO(0o,O = °> (4-52)
donde nao(0o) viene dado por (4.12), n¿o(</>o?0 P° r la raíz supersónica de (4.18) y neo(0O)£)
se obtiene de (4.17), donde ha de usarse la raíz subsónica para £ —> oo y la raíz supersónica
97
cuando se cruce el punto v¿0 — 3íeo, según se vio en la Sec. 4.2.1. Nuevamente el compor
tamiento de 0o (£) se estudia más fácilmente de
d(f)Q 2 n e 0 riio PO—TI- = T<?O, PO = ™a0 +
9o = n¿ov?0 , nc0v2o
(4.53)
v?0 - 3ti0 v*0 - 3 í e 0
La condición qo = 0 equivale a
2 /-, 3 í ¿ 0 \ . f0, 2 3 í io \ ^aO^eO 1 2" ) + U^ \ 3 íe0 ~ ^ e 0 ~T ) = 0*
Como v?0 ^> 3íio esta condición no llega a cumplirse a nunca y el perfil de potencial en la
prevaina es siempre monotónico. El punto singular de este perfil, donde se sitúa la transición
prevaina/CD, está en po = 0. Obsérvese que po — 0 puede escribirse
e2o = 3íeo + — ^ 5 — Í T T (4-54)
y, al igual que ocurría con (4.48), solamente para n¿o <C ^ao es correcto interpretar esta
expresión como una condición sónica. Comparando (4.48) con (4.25) se ve la influencia del
haz emitido en la condición marginal de Bohm. La condición (4.54) unida a (4.52) determina
Je/£bo y &0D e n f u n c tón dejio/jeo y kiOR Oa dependencia con UQR es despreciable y se omite).
La Fig. 4.12 muestra las principales magnitudes en £ ¿ 0 para distintos valores de jio/jeo
y &¿OK; nótese que normalmente es 0OH — fc¿0H- Para fc¿ofí - ^ o o e s n¿o/™eo = 0 y se recupera
el modelo básico de la prevaina. Como era de esperar, el efecto del haz i es más importante
cuando disminuyen bien k^R (de hecho el efecto parece muy importante para kiOR < 100)
bien jeo/jio (pues hay un incremento relativo de la corriente emitida); obsérvese que n¿o
puede superar a nao = neQ — n¿o cerca de la CD. El cociente je/£,r>o ( l u e e r a constante (e
igual a 1.050) en el modelo básico, ahora se modifica debido a la alteración de la condición de
Bohm, creciendo cuando k^R y jeo/JiO decrecen, es decir el haz i hace que se recoja la misma
corriente con menor superficie de C E / C D . Esto predice un efecto positivo sobre la actuación
C-V del contactor como confirman las dos figuras siguientes. La Fig. 4.13 muestra perfiles
obtenidos con los modelos completo(C) y A, hallándose que en el modelo C el t amaño del
núcleo es menor pero la colección de corriente es mayor. La Fig. 4.14 compara las actuaciones
del contactor en los modelos A y C observándose una ligera mejora en las actuaciones de éste
último.
98
Sin embargo, y al igual que ocurría con el efecto del haz colectado en el núcleo, el
principal efecto del haz emitido en la prevaina es que puede alterar drásticamente la dinámica
de las especies, imponiendo limitaciones a la validez de los modelos que se están manejando.
La Fig. 4.15 extiende los resultados para ^Do/y/% y 0OD de la Fig. 4.12 a valores mayores
de jio/jeO (para k^R — 50) encontrándose que la rama de soluciones que se estaba siguiendo,
rama I, tiene un jio/jeO máximo (en el punto L de la figura) y aparece una segunda rama
de soluciones, rama II, con valores de (¡>QD de orden 0QÍI e n v e z de orden unidad. Para cada
jio/jeO se ha visto que el perfil de potencial es siempre monotónico en la prevaina. Por tanto,
las partes dibujadas en discontinua en la Fig. 4.15 no son alcanzables por quedar por encima
de la parte continua de la rama I (inferior). Así al cruzar jio/jeO el valor máximo dado por
la rama I, la CE/CD pasa a alcanzarse en el punto dado por la rama II. Ello implica una
discontinuidad -paramétrica en la solución de la prevaina (se hablará de soluciones tipo I o
II) y con ello de la solución completa (en el supuesto que ésta exista para las condiciones en
II). La Fig. 4.16 muestra para cada kioR los valores máximos de jio/jeO que aseguran una
solución en la rama I.
La Fig. 4.17 compara perfiles de la prevaina de tipos I y II. En estos últimos hay que
distinguir dos zonas en la prevaina. Primero está la "prevaina lejana", desde el infinito hasta
el punto de inflexión del perfil, aproximadamente, de características similares a la prevaina
del tipo I, en particular con n¿o <§C nao = neQ — n¿o. Luego está la "prevaina cercana", del
punto de inflexión al punto en que po = 0, donde n¿o 3> aO? la variación de potencial puede
ser considerable: A0 ^> 1, y la convergencia esférica domina la dinámica del haz e: neo crece
y el haz se desacelera, llegando subsónico (t^0 < 3íeo) al punto singular pQ — 0.
El acoplamiento de estas soluciones de la prevaina con la CD y el núcleo no se ha
estudiado. El principal asunto sin resolver es que al llegar los electrones subsónicos al supuesto
punto de transición con la CD, debería haber un punto sónico del plasma en el interior de
la CD y no se ha estudiado si ésto es viable (con las características de los plasmas que se
están manejando). Independientemente de como se resuelva dicho asunto, cabe resaltar dos
interesantes hechos: 1) la "prevaina cercana" es una solución cuasineutra esférica formada por
dos especies en contracorriente: ni0 ~ ne0 , sin necesidad de una especie confinada; 2) fuertes
variaciones de potencial, A0 > 1, son compatibles con soluciones cuasineutras sin necesidad
de que se forme una capa electrostática. Por tanto, puede que no todo lo que parece una capa
electrostática en los experimentos efectivamente lo sea (en particular, aquellas con espesores
mucho mayores que la longitud de Debye).
99
4.5. ESTRUCTURA DE LA CE/CD
Conocida la solución cuasineutra es posible determinar los perfiles del plasma en la CE.
De manera general la estructura de esta capa ya fue discutida en la Sec. 3.3. Para el presente
caso de una capa plana delgada, la variable natural en la capa es
r ? = 1 ' *Doo
Las especies libres, ¿ y e , verifican las ecuaciones (4.14) y (4.15) congelando £ en el valor £DO
y tomando aquí las raíces supersónicas. Por su parte, las especies confinadas han de verificar
ecuaciones del tipo
na0 = exp(-0o)Xa(0o),
4>o ~ 4>OR , , v nco = nc0Rex.p Xc(<Po),
donde para recuperar las expresiones (4.6) y (4.7) se han introducido dos funciones de corte,
Xc y Xa, que han de ser monótonas y verificar al menos que
Finalmente, la ecuación de cuasineutralidad se sustituye aquí por la ecuación de conservación
para el conjunto del plasma
J~ ) = *(#)£>)> 5(0O) = XI n«0(^a0 + *ao)? (4.55)
donde 5 = S/N^T^ es el potencial de Sagdeev, Ec. (3.18), adimensionalizado. Conocida la
solución de la prevaina, se integra (4.55) desde (¡)^D y se tiene el perfil de la CE,
Vito) = - í"0 ~J= # 0 (4.56) J+t° y¡*{<h) - s{4>+D)
Si ocurre que s(<f>o) - S(</)QD) > 0 en todo el rango <f>^D < c/>0 < (f)0R, la CE llega al contactor
con un campo eléctrico
dr¡ = -\/S(</>OJO -a(0or>),
que corresponde al modo sin núcleo. Si para cierto <¡>^D menor que 0ofí se cumple la condición
de Langmuir (4.36): S(<¡>QD) = s(<j>oD) se tiene una CD y se está en el modo con núcleo.
100
Obsérvese que la CD es infinita en su escala interna. Si (¡)^D — (¡)^D » £co, el tamaño
típico de la capa es mucho mayor que \DOO- En tal caso, los efectos de nco, nao, í¿o y íeo> es
decir el conjunto de efectos térmicos sobre el plasma, se reducen a dos regiones de tamaño
oo en los extremos de la CD. Despreciando dichos efectos se puede poner 0Q£> — 0 y (4.55)
se escribe
/o- VT) ^ ^ - ^ { V ^ R - V ^ ^ - (4-57) V2? e 0
V drl ' JeO V /
Nótese que haciendo áfo/ár) = 0 en 0¿"D, la Ec. (4.57) recupera la forma aproximada (4.39)
de la condición de Langmuir. Integrando esta ecuación se obtiene el espesor aproximado de
laCD:
ADOC ZDO JO [ V ^ - Ui0/Je0)(Vfo¿ ~ W>0fí - <f>0)} V 2 Íe02
4.6. CONCLUSIONES
En este capítulo se ha hecho una revisión de la solución estacionaria de Ahedo et al [2]
que ha permitido comparar los modelos fluido y cinético y evaluar la importancia de los haces
acelerados por la CD en la existencia y características de las soluciones estacionarias y en la
respuesta C-V del sistema plasma-contactor. En particular:
a) La convergencia esférica hace que el calentamiento del haz e en el núcleo sea impor
tante para núcleos grandes. (Tal calentamiento no ha de confundirse con termalización debida
a algún proceso anómalo.) El calentamiento reduce el número de Mach (hipersónico) del haz
e y se alcanza un límite de validez de la solución del núcleo cuando el haz e se aproxima a
condiciones sónicas cerca del contactor. Por otra parte se ha visto que, en el marco de un
modelo fluido, dichas condiciones sónicas son análogas al límite de movimiento orbital (OML)
de un modelo cinético. Esto añade valor al modelo fluido y ha de permitir comprender mejor
los posibles efectos OML en la colección de corriente por un contactor.
b) Los efectos del haz i en la estructura de la prevaina cuentan por debajo de potenciales
adimensionales del orden de 100, y son más importantes de lo previsto. Para cada potencial
de contactor, las soluciones típicas de la prevaina (dominio del plasma ambiente y haz e
acelerándose en toda la región) solamente existen por debajo de cierta relación de corrientes
Jio/jeO, es decir por debajo de cierto nivel de emisión de plasma. Por encima de dicha emisión
se produce una transición brusca a una clase diferente de soluciones con dos zonas en la
101
prevaina, una lejana, similar a la que había antes, y otra cercana, donde (i) la cuasineutralidad
la mantienen los haces ¿ y e principalmente y (ii) puede haber fuertes variaciones de potencial.
c) Dentro de los límites donde las soluciones estacionarias están bien establecidas, se
ha visto que el modelo básico (B), que desprecia los efectos de las densidades de los haces
¿ y e e n prevaina y núcleo, respectivamente, determina suficientemente bien las actuaciones
corriente-voltaje del contactor y tiene la ventaja añadida de que la mayoría de las leyes de
actuación se reducen a expresiones sencillas. Se ha demostrado también que los efectos de
temperatura en el haz emitido son pequeños (siempre que la emisión sea sónica/supersónica).
La investigación de soluciones estacionarias completas: núcleo/CD/prevaina, más allá
de los límites indicados en los párrafos (a) y (b) sobrepasa los objetivos de esta Tesis.
Figuras del Cap. 4
102
00
10
8
6
4
2
(b)
3 ^ 4
I
I X^tO
^ T ^ ^ I
(c)
neo
-
- ^ _ Kol
l^^^^Ho
[
- - -
(d)
j
J
i
3 4 5
Figura 4.1: Modelo básico. Perfiles de prevaina (a) y núcleo (b)-(d); UOR = tCQ=l,
j i 0 = 14.3 y <p0R = 10.
Figura 4.2: Modelo básico. Efecto de Uo y de VÍOR supersónica. Curva 1: UOR — 0 y
salida sónica [V^R — *c0 + SUOR}', Curva 2: UOR — tco y salida sónica; Curva 3: UOR — 0 y
salida supersónica con vf0R = 2ÍCQ. Otros parámetros: (¡)OR/ÍCO — 30, tc0 = 10 y jio = 13.72.
En (b) no se distingue el perfil en la prevaina pues (j>o ~ 1.
103
15
00
10
<t>OR ^ 5
5 (a) </>0
¿ c O
00
1
10
(b)
¿cO = l
2.5 3
Figura 4.3: Modelo básico, (a) Efecto de 4>0R/tc0', UOR = 0, j¿o = 8.94, tco=l. (b) Efecto
de íc0; ¿ion = 0, 0ofl/*co = 5, j ' i 0 = 8.94. (c) Efecto de jiQ; ti0R = 0, í c 0 =l y <t>oii/tco = 5.
JiO j e 0
3.5
• 3
2.5
2
1.5
1
0.5
SCL l ^
/ </>0fí=50
150 .
_ _ — — ^ ^ ^ ^ 500
" 1000
oc
10u 10' JiO
10¿
Figura 4.4: Efecto de jm y <¡>OR en las actuaciones del modelo básico; tCQ = 10 y í¿ofi = 4.
Se incluye la curva SCL de transición al modo sin núcleo.
104
Figura 4.5: Efecto de jio y íco e n l a s actuaciones del modelo básico; UOR = 0 y (1)
(J>OR = 50, tc0 = 10, [-], (2) 0o* = 5, tc0 = 1, [- -], (3) (f>0R = 500 y tc0 = 10, [-] y (4) 0OjR = 50,
íco = 1, [- -]. Se incluye la curva SCL de transición al modo sin núcleo.
<t>0R jeO
Figura 4.6: Impedancia del contactor en función de 0OH y j¿o; UOR = 0, £co = 1.
Ji0,SCL
20 30 40
0Ofí/ícO
Figura 4.7: Emisión de plasma en la transición al modo con núcleo en función de 0o#
para íc0 = 1 y 10; ti0R = 0.
105
JiO
jeO
O . J
3
2.5
2
1.5
1 I
SCL/
7 i
\
. •
""
" .
> >/ / IV
J , -^
"
2
[
III
1 i
i V I !
i
i. ~ ! " i
\ V -
1 N \ 1
- \
Ib)
50 100 150 200 250 300
©OH
10" 10' JiO
10'
OQR
400,
350
300
250
200
150
100
50
1 '
.
SCL
\ 1 \ L \
\
| V
i
/ I / í
y 1 / / -
; - 3, 'v/ i
/ / / -111 y
/ / . - - - ' - - - n T ^ V _ _ - " " 5 ( c )
10w 10' 1<T JiO
Figura 4.8: Líneas discontinuas (1,2,3) indican límites de validez de las condiciones (i),
(ii), (iii), Ec. (4.43). El modelo básico es aplicable en la región I, el submodelo A7 en I y
IIL A en I-IV y C en I-VI. Líneas continuas: límites de validez de los modelos estudiados de
núcleo (curva 4) y de prevaina (curva 5); en (a)-(c) tc0 = 10, en (d) ÍCQ — 3; UQR = 0.
0OR
150
(POR
Figura 4.9: Región de validez del modelo A (la situada a la izquierda de las curvas) para
tc0 = 1, 3 y 10. Línea discontinua: límite sónico del haz e en el núcleo, Ec. (4.51); UOR = 0.
106
(¡>0
100
80
60
40
20
A , i V ^ l
1 J i u
B
neo
8 ¿- 10
15
\VeO\
10
\ A '
B
2 4 6 8 ¿ 10
Figura 4.10: Comparación de perfiles espaciales para los modelos A, A' y básico (B);
<f>0R = 100, j i 0 = 142.44 y tcQ = 10; ti0R = 0.
3.5
JiO jeO 3
2.5
2
1.5
1
SCL/
Xs
~~* — ~ n
/ /
/ /
/ / / /
/ /
^ ^ ^ ^ ^ ^
— 7 — T - •
/ /
/ 00^=50
150, ^ -
1000
10
ÍDO
10 10ü 10' 10'
JiO JiO
Figura 4.11: Comparación de actuaciones de los modelos básico (línea continua), A y
A'(discontinua); ÍCQ = 10, Í¿OÍI = 0. Las diferencia de actuaciones entre los modelos A y A'
es inobservable.
107
0, + 0D
1.41-
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2 1
0.75
-
: '
kiOR =50
1000
no .
^eo(tío)
1.5
VTeO 0.95
0.9
2.5 3
jio/jeO
0.85
0.8
^ ^ " ^ \ ^ ^ 200
^ 0 / < = 5 0 ^ \
oo 1000
1.5 2.5 3
jio/jeO
kiOR=50
y.
<^
2 0 o _ _ _ _ — - — ;
1000
, oo 1.5 2.5 3
jio/jeO
Figura 4.12: Parámetros en el borde interior de la prevaina cuando se incluye la densidad
del haz i en el cálculo del perfil de potencial. El caso kion = oo corresponde a despreciar
dicha densidad.
Figura 4.13: Comparación de perfiles para los modelos A y completo(C); 4>OR = 50,
too = 10 y ja = 20.17.
108
JiO jeO
Figura 4.14: Comparación de las actuaciones de los los modelos A (línea continua) y C
(línea discontinua); tCQ — 10.
o, 0D
H-U
30
20
10
n
\ \
\ ^ ^
\
\ \
\ \
\ ' " ~ i.
ii
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
Jio/JeO Jl0/je0
Figura 4.15: Parámetros en el borde interior de la prevaina cuando se incluye la densidad
del haz i en el cálculo del perfil de potencial; k^R = 50.
0.8
^eo(CÍo)
150 200
0.65
150 200 ktQR
Figura 4.16: Dibuja {jio/jeo)iim Y {nto/neo)nm en función de ki0R.
109
JeO
4 , 5 Z/ZDO
4 , 5
Figura 4.17: Efecto de la densidad del haz i en la prevaina. Línea continua: perfil tipo II
para ^0^=50 y jio/jeO = 3.1. Línea discontinua: perfil tipo I para ki0R = 50 y jio/jeO = 3.4.
111
Capítulo 5
MODOS RADIALES IÓNICOS
5.1. INTRODUCCIÓN
En este capítulo se comienza el estudio de la respuesta dinámica lineal del plasma a
perturbaciones en la solución estacionaria obtenida en el capítulo anterior. La solución esta
cionaria que se considera es la correspondiente al modelo A, que desprecia el efecto de los iones
emitidos en la prevaina [ver Sec. 4.4]. Las ecuaciones de perturbación para cada armónico
esférico (7,^,772) fueron deducidas en la Sec. 3.5.1 y la adimensionalización de las mismas
fué definida en las Secs. 3.6 y 4.2.1. Este capítulo y el siguiente t ra tan las perturbaciones
con simetría esférica, es decir consideran únicamente modos radiales unidimensionales corres
pondientes a armónicos esféricos con i — m = 0. Los modos oblicuos, es decir, armónicos
esféricos con i ^ 0, se t ra tan en los Caps. 7 y 8.
En las regiones cuasineutras, prevaina y núcleo, el problema lineal de perturbaciones
para cada modo temporal 7, con í — m = 0, consiste en las ecuaciones diferenciales en la
variable £
dkai
df + IcxVcxi = 0, a = ¿, e, a, c, (5.1)
^ i + T a - ^ - ^ O , a = i,e, (5.2)
— — (£ 2n aoüai) + 7 a n a i = 0, a = a,c, (5.3)
y las relaciones algebraicas
Val POL4>1 ~ kal + QottcxOgctl
Va0 QottocO - V2 a = z,e, (5.4)
aO 2
kocl ~ Pa<f>l - Va09ocl 2 a = z,e,
(5.5) Mal = J QcctocQ ~ Va0
n<*0 I fcal - P a ^ l , a — a, e,
QcxtaO
— = (g a - 1) , a = 2 ,e ,a ,c , (5.6)
0i = —, PO = y^ PO7 " t^^^O-^ao' Va
—7 2~9al - 2_^ 7 2~«ali (5-7)
112
donde gai y kai son el flujo relativo y la energía mecánica de perturbación de la especie a
definidas en la Sec. 3.5.3, y ha de tomarse
Pi = Pa = ~Pc = -Pe,
7i = 7a = 7» 7e = 7c = ly/me/mi, (5.8)
taQ — 1, í¿0 ~ 0,
Qe = Qi = 3, Qa = Qc = 1.
Los valores dados aquí a ga para los modos de perturbación coinciden con los de la solución
estacionaria. Esto pudiera no ser así; por ejemplo, a frecuencias altas las perturbaciones de
las especies confinadas pueden ser adiabáticas en vez de isotermas. Esta posibilidad sólo se
tendrá en cuenta si influye en el carácter de la solución.
El sistema de ecuaciones anteriores, aplicado a prevaina y núcleo, requiere condiciones
de contorno en r = oc, en la superficie del contactor y en los extremos de la CD. Estas últimas
incluyen la condición de Bohm y las condiciones de salto deducidas en las Secs. 3.4 y 3.5.3 y
permitirán determinar también el desplazamiento de la CD, £DI = £D — £DO-
Por otra parte para una representación gráfica de la solución que incluya a la CD se ha
de utilizar una variable radial £ que se ajuste a la posición desplazada de la CD. Teniendo en
cuenta el desarrollo (3.64) para las perturbaciones totales en los bordes de la CD, un cambio
de variable £ —» £ adecuado es
< í - í » ) ^ , s i í < Í O , ( 5 9 )
que transforma £ = £jr> en £ = £D 0 . Entonces, para £DI <C £DO, u n a variable genérica /
admite la expansión
/ ( 0 = /(C + ÉDi) = /o(C) + /i(C) + ..M
con
í/i(C) + ^ 7 ^ 1 ^ ( 0 , si*<6>o, A(C)= t™-1 * (5.10)
donde /o y / i son las soluciones de orden cero y uno, respectivamente, y, en ( — £¿0 , / i(£¿0)
recupera la expresión dada en (3.64).
Ha de recordarse que las ecuaciones (5.1)-(5.3) son válidas para perturbaciones de escala
espacial cuasineutra, Ec. (3.52):
ÁD < — .
113
Respetando esta condición existen dos límites distinguidos (al menos) en la escala temporal
de perturbaciones:
r i /5L r - r*5. ~ R\¡ ñu y flVme'
habiendo una diferencia de unos dos órdenes de magnitud entre ambos. Usando las frecuencias
adimensionales j e y 7», Ec. (5.8), se hablará de modos iónicos cuando
7 ¿ = 0 (1 ) , 7e < 1,
y de modos electrónicos para
7¿ > 1, 7e = 0 ( 1 ) .
(Otros límites menores correspondientes, por ejemplo, a que Tc0/Too o r^o/R no sean de
orden unidad, se englobarán dentro de los anteriores.).
Este capítulo se dedica al estudio de los modos radiales iónicos. En estos modos la
dinámica de iones domina la respuesta del plasma y el movimiento de las especies electrónicas
es cuasiestacionario. La forma conveniente de estudiarlos consiste en considerar indepen
dientes a las frecuencias 7e y 7¿ y tomar el límite asintótico 7 e -> O en las ecuaciones de
perturbación. Los modos radiales electrónicos serán estudiados en el capítulo siguiente.
Al igual que ocurría con la solución estacionaria para el modelo A conviene integrar
las ecuaciones desde el infinito hacia el contactor. En lo que sigue se presentan dos tipos
de soluciones: a) la resultante de la integración numérica y b) la asintótica obtenida por
aplicación de un método WKB, válida en principio para |7¿| ^> 1. La solución W K B permitirá
(i) interpretar adecuadamente los resultados numéricos y con ello comprender correctamente
la dinámica del plasma, y (ii) determinar las leyes de escala entre los distintos parámetros
de la solución. La deducción de los resultados básicos del método W K B y su aplicación a
los tipos de ecuaciones que aparecen en éste y los próximos capítulos se ha recogido en el
Apéndice.
5.2. PREVAINA
Las especies de la prevaina son í, e y a. En el modelo A se supone que n¿o <C Tieo en
la prevaina y se desprecia la densidad de iones emitidos en el cálculo del perfil de potencial
de la prevaina. En el problema de perturbaciones se podrá comprobar (una vez conocida la
solución) que, en general, es
^ - ~ ^ ° , (5.11) nei neo
114
y se pueden seguir despreciando los iones emitidos en la resolución de la prevaina. Operando
con las ecuaciones (5.1)-(5.7) y suponiendo perturbaciones nulas del plasma ambiente en
£ = oo, para cada familia de modos 7¿ el problema de la prevaina consiste en las ecuaciones
dinámicas de los iones ambiente,
1 d(£2ne0val) kal-v20gel
e «i +™°Tfüf^rr0' (512)
dkni
~ + 7 ^ a i = 0 , (5.13)
y en las ecuaciones de conservación del haz e,
9ei = Coo = const, kel = 0. (5.14)
Obsérvese que ke\ es nula por ser n e i , ve\ y <\>\ nulos en £ = oo y que ello es compatible
con mantener un flujo relativo ge\ no nulo puesto que ve\/veQ está indeterminado en £ = oo.
Por tanto, el valor de este flujo no se puede imponer si se quiere tener el número adecuado
de condiciones de contorno para el problema completo. Para el potencial y la densidad se
tiene ^eOffel - (^eO ~ 3 t e 0 ) f c a i
1 + 3í e 0 - v2e0
nei riai _ kai - vl0gel
0 1 = 1 , o* . 12 ' V 5 - 1 5 )
- , o 2 • ( 5 ' 1 6 ) ™e0 ™a0 1 + 3 í e 0 ~ ^ e 0
Seguidamente se discuten las condiciones de contorno que se van a imponer en £ = oo y
£ = £+Q; tres condiciones determinarían completamente el problema (5.12)-(5.14).
5.2.1. Comportamiento en £^>1 y en el borde con la CD
En £ = oo se pide al menos que la solución de perturbación esté acotada. El estudio
del comportamiento asintótico de la solución general de (5.12)-(5.14) para £ 3> 1 permite
eliminar los modos no acotados y da condiciones de contorno apropiadas para la integración
numérica de las ecuaciones desde un cierto £ grande pero finito. De la solución estacionaria,
Ees. (4.14) y (4.23), se tiene
ne0 ~ 1 + 0 ( l / £ 4 ) , ve0 ~ -jeo/f + 0 ( l / £ 4 ) , para £ » 1, (5.17)
y el comportamiento asintótico de kai para £ » 1 es solución de la ecuación
ed£ V d£ ) 7 i a l " 7 i J e 0 £ 4 £ ~^T _ 7iffcai ^ -1Í3Ío-¿r, Para £ > 1, (5.18)
115
obtenida de (5.12) y (5.13). Guardando únicamente el comportamiento dominante de cada
modo independiente, la solución general de esta ecuación es
i2
JeO
£ i , n
M O - C o o =Sr + - + a°° 7 e x P(-7fO + - +&oo -exp(-£0 + - , p a r a £ » l , (5.19) L£ r v 2
1 ,H L£ r v 2
donde a^ y 600 son constantes libres. Los dos últimos modos son ondas ion-acústicas esféricas
[56] según se deduce inmediatamente al incluir la dependencia con el tiempo de la solución
perturbada:
* a i ~ ^ e x p 7 W r ± | V (5.20)
donde r es el tiempo adimensionalizado, Ec. (3.77). Estas dos ondas se propagan en sentidos
opuestos a la velocidad del sonido local del plasma: y/1 + 3íeo — 2 para £ —> 00. Al suponerse
perturbaciones nulas en el infinito, sólo se admite el modo que se propaga hacia el exterior
de manera que es
6oo=0, (5.21)
en (5.19). Obsérvese que el modo ion-acústico que se ha conservado es evanescente hacia
£ — 00 para perturbaciones que crecen con el tiempo (Re7¿ > 0). El primer modo en (5.19)
es una onda estacionaria:
kai ~ - jexp7¿r ,
y representa la respuesta de los iones a un flujo de electrones ge\ = CQO no nulo. Naturalmente
este lenguaje de "ondas ion-acústicas" y "ondas estacionarias" es apropiado para modos
oscilatorios puros (o casi puros) en el tiempo. A lo largo de toda la Tesis se extienden esas
denominaciones a cualquier valor complejo de T, incluso a T real.
Determinado el comportamiento asintótico de fcai, para el resto de las variables el com
portamiento dominante es
nei -Coo-jríC + ^ T e x P ( - i r O > vei ^ -C007T + ..o exp(—-O,
(5.22)
comprobándose que n e i , vei -» 0 cuando £ —>• oo. Para cada modo 7¿ estos desarrollos son
válidos para £ ^> |7¿|-1^3- Cuando 7¿ —> 0 es de esperar que doo^^oo — 0? de manera que se
recupere la solución estacionaria.
En el extremo interior de la prevaina, o sea en el borde exterior de la CD, se imponen
dos condiciones de contorno. Primero, al no haber población de iones ambiente en el núcleo,
116
el flujo de iones ambiente a través de la CD debe ser nulo, Ec. (3.65), luego la velocidad
relativa de éstos en el borde de la CD es nula
[nao(vai -7 i fm)U+ = 0.
Segundo, como el borde con la CD es un punto singular que en orden cero verifica
1 + 3íeo - v¡0
(5.23)
PO(€DO) = ne0 3¿e0 - V2eQ
o,
es decir
[l + 3 t e o - t & ] € ¿ 0 = 0 , (5-24)
ha de exigirse que la solución esté acotada en £ = £¿. Así la perturbación total de potencial
en el borde de la CD, teniendo en cuenta el desplazamiento de ésta [véase Sec. 3.5.3] es,
empleando (3.64), (4.24) y (5.15),
¿ l ( í S ü ) , ( ,1 + Í D 1^ ) í í s = [
y estará acotado si
vlo(9el - HD\/ZDO) ~ (VeO ~ 3teQ)kal
1 + 3í e 0 - V2eQ £+ '
vlo{9, e l X DI
£DO ) -kal
íSc = o,
(5.25)
(5.26)
que es la condición marginal de Bohm en orden uno para frecuencias iónicas, Ec. (3.74). Esta
condición se obtiene, igualmente, perturbando la condición sónica en orden cero, Ec. (5.24),
de donde, manteniendo únicamente los términos de orden uno, particularizando en £ = £¿ y
empleando las variables definidas en (5.10), se obtiene:
[3ne0nei = ve0vei]í+ ;
esta condición, sustituyendo ñe\ por (5.16), ve\ por ueo(í?ei — ñ>ei/neo), y haciendo uso de
(5.24) y de
Sel(£¿0) = 9el ~ 2£.Dl/£D0, fcal(£¿0) = fe«l» (5<27)
recupera la condición marginal de Bohm, Ec. (5.26). Si se cumple (5.26), 0i(£¿o) se calcula
desarrollando el segundo miembro de (5.25) [o usando directamente (3.75)]:
<M^o) - 2 a _ 1 €¿
&l(£¿0)- (5.28)
DO
117
5.2.2. Integración del problema
En resumen, las condiciones (5.21), (5.23) y (5.26) son las tres condiciones de contorno
del problema de la prevaina pero ha de tenerse en cuenta que las dos últimas introducen un
parámetro desconocido: £DI . En principio, partiendo de £ ^> 1 con la expresión asintótica
(5.19) y &oo = 0, la integración de las ecuaciones (5.12) y (5.13) proporciona los perfiles de
la prevaina en función de las constantes CQQ y doo. Introduciendo dicha solución en (5.23) y
(5.26) se obtienen dos relaciones entre dichas constantes y el desplazamiento de la CD, £#1,
que expresadas en forma matricial serán:
J±p
ar
BP ^ , (5.29) SDO
para ciertas matrices Ap y Bp de tamaño 2 x 2 y 2 x 1, respectivamente. Cada columna de Ap
incluye la contribución de uno de los modos independientes. Al poder escribirse la solución
estacionaria de la prevaina de forma universal para cualesquiera cpoR, ÍCO y 3ÍO, resulta que
Ap y Bp dependen únicamente de 7¿£DO • Si Ap es regular la solución de la prevaina consta
de un único modo proporcional a £DI/£DO- Si la matriz Ap es singular para algún 7¿£DCH e s
necesario resolver el acoplamiento con el núcleo para tener la solución de la prevaina. (Ap
singular significaría que se excitan modos en la prevaina con £pi = 0; sin embargo estos
modos, que se propagarían por el núcleo, no serían en general modos propios del problema
completo). En cualquier caso la integración numérica y el análisis WKB mostrará que Ap es
regular para todo 7¿.
Desde el punto de vista de la integración numérica, se presentan dos dificultades. La
primera está en que, usando la variable £, las ecuaciones (5.12) y (5.13) son singulares en £¿ 0
donde po — 0- Esto se soluciona fácilmente con el cambio de variable
£ -> / — + const, (5.30) J Po
que regulariza las ecuaciones y permite integrarlas como un problema de valores iniciales
tanto desde £ » 1 como desde el borde con la CD. La segunda dificultad radica en que
cualquiera de los sentidos de integración es delicado. Para evitar el modo no acotado en
£ = oo, sería conveniente integrar desde £ » 1 con (5.19) y &oo = 0 y terminar en £¿ 0 . Sin
embargo, esta forma de integrar no da resultados satisfactorios por la diferencia de escalas
espaciales de los modos: uno que varía potencialmente como £"~4 y el otro exponencialmente
como £ - 1 exp(—7i/2£). Esto ha solucionado integrando desde £¿0 empleando un método
118
"shooting". Primero, operando con las dos condiciones (5.23) y (5.26) se obtienen A;ai(£¿0)
y t>oi(É¿o) e n f u n c i ó n ^ £D1 y Coo:
Valido) = 7 i f o l , feal(tío) = ^ o ( t í o ) ( C ~ " ^ ) , (5-31)
y la solución numérica puede escribirse como combinación lineal de dos modos, proporcionales
a CQO y £ D I . Esta solución ha de detenerse en un punto £* tal que los modos explosivos en
£ = oc no se hayan desarrollado aún. Empalmando esa solución numérica con la solución
asintótica, que depende de CQO y a^^ se obtiene una ecuación que determina COO/£DI Y
N{C)\ i = s ( r ) i h (5-32) CQQ
UDI\ = sin
C<x>
.a°°j donde N(£*) y £(£*) son las matrices (de 2x2) obtenidas de la solución numérica y asintótica,
respectivamente. El problema está en alcanzar un valor £* suficientemente grande para
que el desarrollo asintótico tenga un error aceptable. Para ello se procede iterativamente
empalmando en puntos £* cada vez mayores. Esto se consigue del modo siguiente: en cada
nueva iteración se integran numéricamente dos modos independientes con valores de Coo/£m
próximos al valor obtenido en la iteración anterior, lo que permite alcanzar un £* mayor sin
que aparezcan los modos explosivos. Con dicha solución numérica se plantea nuevamente la
Ec. (5.32), se obtiene un nuevo valor de COO/£DI y se vuelve a iterar hasta lograr situar el
punto de empalme en un £* suficientemente grande.
5.2.3. Análisis asintótico para |7¿|»1
Las ecuaciones (5.12) y (5.13) admiten una solución asintótica para |7¿| 3> 1. Una
solución particular de estas ecuaciones es proporcional a ge\ = Coo y los términos dominantes
son ?*±P(t\~-c
2 dVe0
Veo ^ °°H df ' (5.33)
con dveQ 2ve0 1 + 3íe0 d£ £ l + 3í e 0 - t ; 2
eO
- C+ La solución del problema homogéneo es de tipo WKB. Teniendo en cuenta que £ = £¿0 es
un punto singular donde
1 + 3íe0 - v2e0 ~ a0(^- - l V \ (5.34)
119
con
a0 = - 2 3 / 2 ( v t Q y j 2 v t ¿ - \ ) z> 8.4854, v+ = ve0(&0),
la parte homogénea de (5.12) y (5.13) se puede identificar con el caso A.4 del Apéndice
tomando i / l l £ t i . vai ^ = 1/I7i |? T=7 *> x = kal, V = JeO ,
7¿ €DO * 7¿ JeO^DO (5.35) a 1 2 = I T-T—^eO, 021 = 1 1 H , Q, 2~T>
|7 i | JeO |7*l VcO(l + 3 í e O - Veo)
^13 = °> a 2 3 = 0.
Desechando el modo no acotado en £ = oo, la solución completa [modo WKB más solución
particular (5.33)] es
Ü5l(0^aoeÍexp(-^) + ^ VeO Oí ve0 (5.36)
*oi(0 - -áooaexpi-p) + kaip,
donde ¿oo es una constante a determinar (proporcional a a,»), y a y ¡3 son funciones de £: a ( 0 = [(l + 3 í e o - ^ o K 2
0 ] 1 / 4 ,
d£ (5.37)
El potencial <j>\ y la densidad n a i se obtienen de (5.15) y (5.16). Para £ 3> 1 es
O^^p, 0(0= , (5.38)
y la solución (5.36) recupera el comportamiento conocido para £ 2> 1, Ees. (5.19) y (5.22).
En (5.36) la solución WKB del problema homogéneo corresponde a un modo ion-electrón de
tipo ión-acústico e incluye la variación de amplitud y de velocidad de grupo, mientras que la
solución particular es el modo estacionario.
La solución WKB se hace singular para £ —» £¿0 . En la solución para £/£DO - K l ,
deben distinguirse dos casos: Re7¿ = 0 y Re7¿ ^ 0. Para Re7¿ = 0 es
8TT|I;+ | 3
y paraRe7¿ y¿ 0,
-(0 c Eh. Ai(z) - coc 4 / ,87r |Ve01 „ , . Gi(z),
(5.39)
M ( { ) ^ l A i ( z ) _ C o o ^ K + l 3
*-(í) * E l ( S S Ai'W + - ( x - « ^ S * Gi'<4 (5.40)
120
con
ra-^té:-') 1/2
Empalmando las soluciones cercana y lejana [ver Apéndice] se relacionan a^ y E\\
áoo — Ei Je0\ " 0
V /^(27i^o)1 /6 I 1 2'
( R e 7 ¿ ^ 0 ) .
Imponiendo las condiciones de contorno (5.23) y (5.26) en £ = £¿0 se tiene E\ y Coo en función
de ÍDXIÍDQ-,
Ex = -
9el = Cc
IHÍDO , l^+ol(27¿^o)1/3 í DI
4Ai(0)K+| aJ/sAi'(0) J ^ o ' f (2a0N£z>o)4/3 , ( 2a 0 | 7 i | ^o ) 2 / 3
>/3íi>i 8TT£
x < 4Ai(0)|<o + 14 + k+ol2Ai'(0)
£»0 ( 2 a o 7 i ^ o ) 4 / 3 ( 2 a 0 7 ^ o ) 2 / 3
4Ai(0)|<0 + 14 e+o!2Ai'(0) '
, (R*7i = 0),
( R e 7 i # 0 ) . ye0
Guardando sólo los términos dominantes, para |7¿| S> 1 es
(5.41)
|Ei|=;0.9117|7i6tt | ,
, / f i |£m| í 2 ' (R e7¿ = 0),
£DO 1, ( R e 7 i ^ 0 ) ,
\9el\ = I Ce O . S T l T d ^ l ^ o ) 4 7 3 ^ (5.42)
5.2.4. Resultados parciales
Sin necesidad de resolver el problema del núcleo, el análisis ha demostrado que las
perturbaciones del plasma en la prevaina son proporcionales al desplazamiento £DI de la CD.
Dicho desplazamiento produce i) modos ion-electrón de tipo ion-acústico en la población de
iones ambiente que se propagan hacia el infinito y ii) una perturbación del flujo del haz e,
uniforme espacialmente y (para Re7¿ = 0) cuasiestacionaria en el tiempo, que, para 7¿ ;» 1,
no afecta a los iones y altera únicamente la velocidad de la especie e y el potencial eléctrico.
La Fig. 5.1 muestra la evolución de \gei/7i^Di\ con |7¿|£r>o; e^ comportamiento para |7¿| ;» 1
lo da (5.42). Resalta en ellas i) que depende casi exclusivamente del módulo de 7Í£DO y ü)
121
los buenos resultados que da el método WKB incluso para 7¿£DO de orden unidad (los errores
relativos son de alrededor del 20% para |7¿|£DO ~ 1? mientras que para |7¿|£DO ~ 30 son tan
solo de un 3%). Aceptando pues las leyes de escala (5.42) que da la solución WKB, se tiene
- ^ - ~ ( 7 ^ o ) 1 / 3 , ^f~ ~ ( 7 i ^ o ) - 1 / 6 , (5.43)
de manera que que al crecer \^i\ y para un mismo desplazamiento £DI , aumenta el tamaño
de la perturbación y la importancia relativa del modo cuasiestacionario (asociado a gei)-
Esta relación es consecuencia de la condición marginal de Bohm, Ec. (5.26), y supone la
continuación en orden uno para frecuencias iónicas de la relación que se obtuvo para el
problema estacionario, Ec. (4.27): £|>0 = 1.05^0.
Las Figs. 5.2 y 5.3 presentan perfiles espaciales típicos de algunas variables. Para una
comparación más sencilla los perfiles se representan con 0i(£¿o) c o n s t an te en vez de con £#1
constante. De esta manera también son independientes de ji los valores de ge\, fcai, ñe\ y
vei en £¿0 . Nótese que para |7¿|£DO > 1 es gel ~ gel, Ec. (5.27), y de (5.28) y (5.43) es
¿i (£o) - ( 7 i ^ o ) 4 / 3 | ^ -
Para Re7¿ > 0(1), Fig. 5.2, el modo cuasiestacionario es dominante y el modo ion-electrón,
que decae exponencialmente, sólo cuenta algo en las proximidades de la CD. Cuando Re 7* ~
0, Fig. 5.3, el comportamiento es más complejo: el modo cuasiestacionario tiende a dominar
cerca de la CD pues gei/o>oo > 0(1) pero el modo ion-electrón se extiende más lejos pues
decae más lentamente. En cualquier caso, al aumentar |7¿| se tiene que ^Di/del —> 0 y en los
perfiles de iones se distingue una región en torno a la CD donde se producen las principales
variaciones de va\ y nai, y fuera es
Val ™al v n 01 kal 2
:r~' ~n—y ° ' i r - ~r~ - v*<>-9el 9el del 9el
Al corresponder a modos oscilatorios, los módulos que se dibujan en la Fig. 5.3 re
presentan únicamente la forma de la envolvente de las perturbaciones. Las oscilaciones que
se observan en estos módulos se deben a la combinación de los modos ion-electrón y cuasi
estacionario. En la Fig. 5.4 se compara |</>i(()| con la forma real de la perturbación en un
instante dado, Re0i(£). La Fig. 5.5 muestra la evolución espacio-temporal de la posición de
la CD y del perfil completo de potencial en la prevaina (despreciando términos no lineales,
por supuesto): Re0(£, r ) - 0o(C) + Re ^ ( C , r ) , (5.44)
122
con £(£) dado por (5.9). Para Reji = 0, Fig. 5.5(a), se observan muy bien las ondas
ion-electrón, que viajan hacia fuera. Para Imji = 0 y £DI < 0, Fig. 5.5(c), se observa la
formación de un pozo de potencial en la zona próxima a la CD. Esto puede explicarse por
la diferencia de comportamiento de iones y electrones: al retirarse la CD, los iones tardan
mucho más que los electrones (que reaccionan instantáneamente) en ocupar el vacío dejado
por el movimiento de la CD, y para que se mantenga la cuasineutralidad debe disminuir el
potencial en esa zona y así favorecer el movimiento de los iones.
5.3. NÚCLEO
Las especies del núcleo son z, c, y e, y el movimiento de las dos electrónicas es cuasiesta-
cionario, de manera que el problema del núcleo se limita prácticamente a resolver la dinámica
del haz ¿, que viene determinada por las ecuaciones
*£ + 2L (9a _ *¡L^íi) = o, (5.45) di viQ V vfQ )
^ l + ^ - ( f c i l - 0 1 ) = O, (5.46) dk, VÍQ
donde el potencial eléctrico cumple
01 = —, Po
nCQ riio neo tcO vfQ v2
e0 - 3 í e 0 ' ,2
Qi = - — kci +nio[gil T) ¿ ^—9ei\, (5-47) tcQ \ vf0) v¿
eQ - 3í e 0 -I
y las ecuaciones cuasiestacionarias de las especies electrónicas dicen
gel =const = 0ei(f¿o) = c«=' A;ei = const = A;ei(^¿0) = 0, (5.48)
vci = const, kci = const. (5.49)
En (5.48) ya se han impuesto las condiciones de salto en la CD para la especie e y la solución
en la prevaina.
Las densidades de las tres especies se obtienen de
(5.50)
(5.51)
•2 o " ( 5 - 5 2 ) TleQ VeQ - 3 í e 0
riio
nc\
nco riel
ku - 0i = 9n 2
Vi0 _ kci + 0i
tc0
_ vlo9el ~ 01
123
5.3.1. Condiciones de contorno
Las dos ecuaciones diferenciales (5.45) y (5.46), junto con los parámetros kc\ y gel
requieren cuatro condiciones de contorno. Además la condición (5.29) de la prevaina liga CQQ
con £ D I . De manera análoga a lo que ocurría con los iones ambiente en la prevaina, a la
población c se le impone que no fluya hacia la prevaina, lo que se traduce para frecuencias
iónicas en, Ec. (3.65),
Las condiciones de salto del haz i son
9i\ -HÍ DI
ViO = o,
kn - VÍQIÍZDI ^ D O
= 0.
(5.54)
(5.55)
Si no se quiere seguir la perturbación del haz i en la prevaina, estas ecuaciones se necesitan
solamente en la condición de Langmuir,
2riiQVio(vii - 7 i£m) + «¿í^o + 2ne0ve0vel + neXvl0 + 3 í e 0 n e i + tc0nci + na X +
+ £ m -j¿{niovi0 + ne0veQ + n e 0 + íco^co + na0) = 0. *D0
+ \ ,r „„(£ +
(5.56)
Sustituyendo aquí n a i y vai y eliminando fc¿i(^¿o) y 9H(€DO) q u e d a una relación lineal de la
forma
M ! H # I ( É ¿ O ) 7 ¿ £ P I _ 2 ^ D I \ r 1 I^DO
) + [~]£D-0 {kil^D0) - 1¿DlVio(£m)y
[Ve0]e-°(9el--Z ) - . «DO v CDO > JÍO n
nco(ZDO) kcl + ™ao(£¿0) £DO > JÍO nio(ZDo)vio(ZDO) nio(U0)v ío(^Do)
+ T M £ D O ) = 0 -(5.57)
Las tres condiciones de contorno que faltan se imponen en la superficie del contactor.
Dos son los casos posibles:
A) Si la emisión de plasma por el contactor es supersónica: po(l) > 0, parece lógico
fijar en la superficie del contactor v¿i(l) , n¿ i ( l ) , n c i ( l ) y </>i(l), o lo que es equivalente, los
valores de gn{l), fc¿i(l), kc\ y 0 i ( l ) . Sin embargo, de estos últimos parámetros solamente
los tres primeros se pueden imponer como condiciones de contorno pues (i) con ellos el pro
blema queda completamente determinado y (ii) con la solución conocida el valor de </>i(l),
está dado por (5.47): </>i(l) — qi(l)/po(l). Esta situación es consecuencia de la hipótesis de
124
cuasineutralidad que elimina las derivadas de (¡>i e impide con ello dar (/>i(l) (o alternativa
mente la densidad de una de las especies) como condición de contorno. Ya en la solución
estacionaria se podia tomar como condición de contorno (¡>QR O nc#, Ec. (3.58), pero no
ambos a la vez. Ahora, en el problema de perturbaciones cuasineutro se puede fijar bien
01 (1) o bien fccl. Si se desea fijar ambos valores en la superficie del contactor ha de incluirse
una capa electrostática (de perturbación) entre el contactor y el núcleo cuasineutro, Fig. 5.6,
que ajuste el valor fijado de </>i en la superficie del contactor, al que se llamará (J)\R, al valor
0IJV = 9i(l)/Po(l) en el borde del núcleo cuasineutro. En la Sec. 5.4 se estudia la existencia
y estructura de dicha capa. Nótese que, para compensar las perturbaciones de potencial, ha
de ser kc\ = tconcm/nCQ(l) — (f>\R — 0, y para ello el contactor debería tener algún dispositivo
que controlase la emisión de electrones; de no ser así, kc\ quedaría libre. En cualquier caso, el
espesor de la capa electrostática, que depende de la longitud de Debye local, es despreciable
en la escala cuasineutra de perturbaciones. Si además se tiene en cuenta que está pegada al
contactor, resulta que las magnitudes gai y kai son constantes a través de la misma, Ees.
(5.1)- (5.2), pero no así n a i y v a l . Esto justifica que se tomen como condiciones en el contorno
interior del núcleo <7¿i(l), fc¿i(l) y kc\.
B) Si la emisión de plasma por el contactor es sónica: po(l) — 0, el borde con el contactor
es un punto singular. Entonces, solamente se pueden imponer dos de entre los parámetros
<7¿i(l), fcü(l) y fcci; la tercera condición es que la solución está acotada, que según (5.47),
ocurre si
9i = ~ — ~ k d + —{vi0gii - fea) 2 5T~9ei = 0 , en £ = 1. (5.58) tco v¡0 v*Q - 3íeo
Nuevamente, el valor de </>i(l) no se puede añadir como condición de contorno sino que
se obtiene del desarrollo del segundo miembro (5.47) [o directamente de (3.75)] en torno a
¿=1:
#i(l) = ¡im, — = T > Po ncp 3n e 0 ( ^ 0 + 3teo) _ 3WÍQ
tío K2o-3íe0)3 _ 4TJÍ=1 ,2 , |n c o/3í c o n \ 7 2n¿0 , ne0viQ / 3 v¿0 + 9íe0 \
«1 = 72" {^2- ~ 1)kd ~ -5-9H + 2 _ o* [Z2- + (v2 _Ztn)2)9el Lrc0 V Vi0 ' Vi0 Ve0 ÓZe0 v % ) [Ve0 - ¿ t e 0 J / j ^ = 1
(5.59)
También en este caso se demuestra en la Sec. 5.4 que una capa electrostática delgada pegada
al contactor puede ajustar 0i ( l ) = 4>\N al potencial (¡)\R deseado en la superficie del contactor.
125
5.3.2. Integración del problema
Solamente se comenta en detalle el caso de emisión sónica. Al ser el núcleo una región
finita, no hay diferencias importantes en integrar las ecuaciones en un sentido o en otro; en
cualquier caso hay que regularizar las ecuaciones con el cambio de variable independiente
(5.30) y po dado ahora por (5.47). Si se opta por partir de £¿0 , los perfiles a lo largo del
núcleo se obtendrán como combinación lineal de cuatro modos independientes proporcionales a #¿I(£DO)' k*i(£¿o)> ^ci y Peí? respectivamente. Imponiendo a dicha solución la condición de
Langmuir (5.56), la condición sónica (5.58) y el valor de g¿i(l), queda una relación matricial
9H(€DO)
A-n
9 el
Bn
0t l ( l ) '
fccl (5.60)
para ciertas matrices An y Bn, de tamaños 3 x 4 y 3 x 2, respectivamente, que dependen de
la solución estacionaria y de 7¿. Sustituyendo en (5.60) la relación </ei(£z?i) obtenida de la
prevaina, Ees. (5.29), queda una nueva relación matricial
'9ÍI(ZDO)~
= B fti(l)'
(5.61)
L tm
con A y B d e tamaños 3 x 3 y 3 x 2, respectivamente, que permite determinar completamente la
solución perturbada. Para cada 7¿ la solución del problema de perturbaciones en núcleo, CD
y prevaina se expresa, por tanto, como combinación de dos modos proporcionales a ga(l) y a
kc\. Para el caso de emisión supersónica se procede de manera análoga. La única diferencia
estriba en que hay tres modos independientes en vez de dos.
Los modos propios de la solución estacionaria corresponden a una repuesta no nula del
sistema cuando no hay perturbaciones tanto en r — oc como en la superficie del contactor:
gn(l) = kci = 0. Por tanto los modos propios 7¿ del sistema son aquellos que hacen singular
a la matriz A, Ec. (5.61), y la relación de dispersión que los da es
D = det A(7¿; j¿o,0oñ,íco) = 0. (5.62)
Interesan las posibles soluciones de esta ecuación con Re7¿ > 0. La existencia de soluciones
con Re 7¿ > 0 indicaría la presencia de una inestabilidad de corriente.
126
5.3,3. Análisis asintótico para |7¿|»1
El problema del núcleo es más complejo que en la prevaina al interactuar tres especies.
El interés de una solución asintótica es ayudar a comprender la respuesta del plasma, lo que
requiere poder trabajar con expresiones que sean mínimamente manejables. Por ello en los
desarrollos que siguen se supone, además de |7¿| » 1, que (a) (f>oR > 1 y (b) Ste0 <§C v*0
(submodelo A') .
Sustituyendo 0 i , Ec. (5.47), en (5.45) y (5.46) las ecuaciones para el haz z, quedan
VJOPO dgn írico _ n e o \ / kg
7< ^ \tc0 v2e0) \911 v%
VÍOPO dkn fnc0 ne0\ + I 7y- ] ka - riiogn
v
1 ( . n c 0 u \ ~2 1 ne09el + -^—kc\ ) , ¿0
tcO
H di tcO Je0 -neo9ei - ~—kci.
¿cO
(5.63)
(5.64)
La solución general de estas ecuaciones es combinación lineal de tres modos: dos son modos de
escala corta A£ ~ 7¿~1, y el tercero, que proviene del acoplamiento con el haz e y los electrones
confinados, es de escala larga A£ ~ 1 y corresponde a la solución particular de estas ecuaciones
que, para |7¿| ^> 1, se obtiene despreciando los términos con derivada primera,
9nP - 0 ( 7 . 1 ) ,
kiip(0 Ü / T " (neo9ei + y^fcci ) + O ^ r 1 ) . --'+-- ne0/v¿0 V *c0 /
(5.65)
nc0/t cO
La solución del problema homogéneo para |7¿| S> 1 se obtiene por el método W K B . El sistema
(5.63)-(5.64) se identifica con el sistema A.3 (sin punto de retorno) del Apéndice para
e =
f*JL Jl VÍOPO
x = gn exp nco neo
y = kn exp H
«21
oPo
| 7 Í | í 0 ' 12
| 7 Í K ? O V*cO
neo\ r _ vio ) h v.
i vi0po
;oPo
7» 1 fncQ ™e0 7e0
«13 = 0,23 = 0 .
Añadiendo a la solución W K B la solución particular (5.65) se tiene
gn(S) = a[C+ exp(-/3+) + C_ exp(-/?_)] + gilp(£),
M O = \{C+ exp ( - / ? + ) - C_ e x p ( - 0 _ ) ] + * Í I P ( 0 , (5.66)
127
con x , 1 / 4
™c0 ™e0 a ( £ ) = , 9 i 9 .v iOntO \ * c 0 V, eO
/?±(0 - r ¿e (5-67)
Vi0±J- — , 2
Imponiendo en £ = 1 las condiciones gn — gn(l) y <?i(l) = 0 resulta
C L = 0 , C + = v ? 0 ( l ) ^ i ( l ) . (5.68)
En el caso de emisión supersónica tanto C+ como C_ son no nulas en general pero por lo
demás el problema se determina de la misma manera. Aquí hay que señalar que la solución
del problema homogéneo es combinación de dos modos ion-electrón que se propagan con
velocidades opuestas respecto a una referencia montada sobre el haz i; los dos modos viajan
hacia el exterior. En caso de emisión sónica es C_ = 0 y sólo se propaga un modo ion-
electrón, que es proporcional a gn(l). La solución particular, Ec. (5.65), es combinación de
dos modos estacionarios, que provienen de la acción de los electrones, tanto de ge\ como de
kc\. El modo proporcional a ge\ afecta únicamente a la densidad, nc\ ~ — n e i , y velocidad,
t>ei, de los electrones y al potencial eléctrico, siendo nn ~ vu ~ 0; el modo proporcional
a kc\ es un ajuste de potencial, (f>i ~ — fcci, que no afecta a los iones, y produce pequeñas
perturbaciones en los electrones.
Para <f)QR 3> 1 se puede suponer que neo <C ^co ~ ^¿o y las expresiones (5.67) se
simplifican, quedando
1 <*(*) =
Vi0 lc0
J\ Vi(\±tJn vi0 ± ícó
Igualmente, sustituyendo # Í I ( £ ¿ 0 ) y &ÍI(£¿O) e n ^a condición de Langmuir (5.57) se obtiene
ttio($f)o) - ^ i o ( G o ) ¿ je0^eo(£¿0) _
«io(fí><>io(£¿o) l l Jio(«to(tío)-«io(^Bo)) _ Ki / 1 _ rcco(g¿o)/n¿o(£¿0) \ +
~ v»o(Go) ^VÍO(C¿O) « ÍO(C¿O)-VÍO(^¿O) ' ' ll D° ' (5.69)
con
Hiiitm) = 9ÍI{1) . * 1 / 2 exp( - 7 « / V ) - ^ 7 ° )
128
Añadiendo a esta expresión la relación geihi£>Di obtenida en la prevaina se tiene ge\ y £DI
en función de gn(l) y fcci, y con ello el problema queda determinado. En caso de emisión
supersónica, la condición de Langmuir (5.57), una vez sustituida la relación entre £DI y ge\,
proporciona una relación entre éstas y gn(l), fcii(l) y fcci-
Para |7¿| ^> 1, al ser 7¿£DI <§C <7ei? Ec. (5.43), la condición de Langmuir (5.69) dice
que
jeOgel - jiOgil(^Do)^ e S d e C Í r Jel - jil(^Do)' (5-71)
Esta igualdad de corrientes de perturbación está en consonancia con el resultado clásico [58]:
j e ~ ji. Empleando (5.71) se puede comprobar que la hipótesis (5.11), que afirmaba que el
cociente nn/nei en la prevaina es pequeño, es correcta. Así, utilizando además (5.50), (5.52),
las condiciones de salto (5.54), (5.55), y los resultados de la prevaina se obtiene
fin/riio i _ Vi0gn - kn + <fii
ñel/n( eO *£o Vi0(Ve09el ~ </>l) €íc
^ O ( Í ¿ O ) ( ^ I ( C D O ) - litm/vioitno)) - M £ D O ) + 0i(£¿o)
1,
ViO^Do)9el
™¿o(£¿0) ^o(£¿o)íki(£¿o) + MZÍo) ^eo(^o) Vio{ZÍo)9el
que confirma la hipótesis (5.11).
5.4. CAPA ELECTROSTÁTICA ENTRE CONTACTOR Y NÚCLEO
Esta sección es independiente del resto del capítulo, y si se desea puede omitirse su
lectura y pasar directamente a la Sec. 5.5.
Se trata aquí de determinar, para los casos de emisión sónica y supersónica, la capa
electrostática que ajusta el valor de </>i(l) que se obtiene de la solución cuasineutra del núcleo,
(j)\N-> con el que se fija en la superficie del contactor, (t>\R, Fig. 5.6. Las hipótesis que se hacen
para resolver esta capa son las mismas que se hicieron en la Sec. 3.3.
Las ecuaciones que definen la capa electrostática son (5.45)-(5.46), (5.48)-(5.52) y la
ecuación de Poisson ADoo l d ft2
d(t>l
donde el comportamiento del segundo miembro es
C - £ r = -nn + ncl + n e l , (5.72)
-ñu + nci + nel = po0i - <?i,
129
con po y Qi dados por (5.47). Se analiza primero el caso más sencillo de emisión supersónica.
5.4.1. Emisión supersónica
De acuerdo a (5.45)-(5.46), la escala de evolución de gn y kn es R y no d (d es el espesor
típico de la capa) y, por tanto, se pueden considerar constantes en la vaina,
9n - 0ti(l) = const, kn ~ fcü(l) = const.
En el caso supersónico es 0ÜV = gi(l)/po(l) y e n (5.72) es
-nn + ncl + nel = po( l )0i - tt(l) + 0(£ - 1). (5.73)
Igualando los términos dominantes en cada miembro de (5.72), el espesor típico de la
capa, d, es:
(XDOO/R)2 ~ (£ - l ) 2 = (d/R)2, es decir d ~ ADoo, (5.74)
y por tanto d <C í?. Manteniendo únicamente los términos dominantes en (5.72), el potencial
en la capa es la solución de
- — - = 0x - <j)1N, (5.75)
77 = 0 : 0i = 0i#,
T) = OC : 0 i = 017V,
donde r - i? £ - 1 ADoo
rj — —-— = , con a =
La solución de (5.75) es:
(f>i(v) - <PIN + (0ifl - <¡>IN) exp(-Tj),
que ajusta el potencial en la zona cuasineutra, (¡>IN-, al potencial en la superficie del contactor,
<PIR, sean cuales sean sus valores. Las densidades y velocidades de las distintas especies, Ec.
(5.50)-(5.52), varían con 4>i(r)) en la escala rj.
5.4.2. Emisión sónica
130
En este caso es po(l) = 9i(l) — 0 en (5.73) y se requieren los siguientes términos del
desarrollo. En potencias de 0o — 0OH, éstos son
Po = PÓ(l)(0o ~ 0o«) + O(0O - 0OÍI)2 ,
Qi = 9i(1)((/)o - 0OH) + O(0O - 0oi*)2,
con
p&(i) =
¿a)
(Upo
á</>o É=l
»c0 p^eP^eO + 3¿ e 0) _ n¿ 0
*2o («2o - 3 í e 0 ) 3 ¿ 0 - l £ = l
nc0 /3 íc0_ \ 2n¿0 n e 0 ^ 0 / 3 f 20 + 9¿e0 \
¿*o V vi L)kcl vi 9il + vlQ - 3te0 L 2 , + (v¡0 - 3íe0)2 ) 9e\
(5.76)
2e0-3te0\v¡0 ' ( ü 2
0 -3 í e o) 2
Por otra parte, de (4.47) es
0 o ( O - ^ = - 2 ( ^ ) 1 / 2 ( ^ - l ) 1 / 2 + O ( ^ - l ) , 9 0 ( l ) = - ( n i 0 + - ^ % ) í • (5.77)
Vpo(l)/ V 3íe0 ~ ^ O 7 ^ 1
Con ésto se obtiene finalmente:
- n a + ncl + nel = _2(MÜ)1 /2(pí,(l)01 - q[(l))(¿ - l)1/2 + 0(¿ - 1). (5.78)
Igualando los términos dominantes en cada miembro de (5.72) y empleando (5.78), el espesor
típico de la capa, d, es :
{\DOO/R)2 ~(£-l)5/2 = {d/R)5/2 es decir d ~ ( ¿ Í A ^ J 1 / 5 « R, (5.79)
y por tanto ahora es XDOO ¿S d <^ R.
Manteniendo únicamente los términos dominantes en (5.72), el potencial en la capa es
la solución de
d2<t>i dr]2 ={4>x-Mv1'\
rj = 0: 4>x = (¡>1R,
r) = +oo: 4>x = 0uv = % T T , PÓÍ1)
(5.80)
siendo
* _ 1 A
KÁD<x>
4*(1)P&(1)
131
La solución de (5.80) es
donde T(3/5) se refiere aquí a la función Gamma y K2/^{x) es una función modificada de
Bessel [1], que se comporta, para x » 1, como
K2/5(x) ~ y ^ c - .
5.5. RESULTADOS Y DISCUSIÓN
5.5.1. Inexistencia de inestabilidad ión-electrón radial
La resolución numérica de la relación de dispersión (5.62) muestra que, en el rango de
validez de la solución estacionaria, no hay soluciones con Re7¿ > 0, por lo que no existen
modos propios iónicos. Este resultado se confirma con la solución WKB: como los modos
propios del problema corresponden a soluciones no triviales para gn(l) = kc\ = 0, el miembro
izquierdo de (5.69) recoge la forma asintótica de la relación de dispersión (5.62),
D ^ « to($¿ 0 ) ~ VÍO(£DQ) JeO«eo($¿0) 9el_ ^
VÍO(£DO)VÍO(£BO) JÍO(VÍO(CDO) - Vio(tño)) IÍZDI
- TZ^—: 7T3-T T-. JZ^\ ¡t- 0.3717(7^230) • (5.81)
Las soluciones de -D(7i) = 0 son
7<e DO Jeo\veo(£DO)\Vio(€DO)Vio(tDO) J \JeOVio(£DO)
y todos ellas tienen 7¿ aproximadamente real y negativo.
En el caso de emisión supersónica la ecuación (5.69) se ve modificada, pero estas modi
ficaciones suponen correcciones en el lado izquierdo de la ecuación que pueden despreciarse
y añaden términos en kn(l) y fcci en el lado derecho. Como los modos propios corresponden
a soluciones no triviales para gn(l) = kn(l) = kc\ — 0, se obtiene la misma forma asintótica
para la relación de dispersión que en el caso sónico, Ec. (5.81), y tampoco hay inestabilidad.
132
5.5.2. Respuesta a gu(l)^0 y fccl(l)=0
Este modo representa la respuesta dinámica del plasma a una perturbación en la emisión
de plasma por el contactor. En la Fig. 5.7 se muestran perfiles espacio-temporales del
potencial, </>(£, r ) , para el caso de emisión sónica. La discontinuidad en £ = 1 corresponde a
la capa electrostática de perturbación debida a (f)\R — (¡)\N ^ 0. La perturbación del plasma en
el núcleo cuasineutro es combinación de tres modos, Ec. (5.66): una onda estacionaria ligada
a la perturbación del haz e, #ei, y dos modos ion-electrón que se propagan hacia el exterior
con velocidades opuestas respecto a una referencia montada sobre el haz i. En caso de emisión
sónica solamente sé propaga un modo proporcional a la perturbación del haz ¿, gn(l). Para
neQ <C n¿o, el modo ion-electrón se comporta como una onda ion-acústica montada sobre el
haz i que viaja hacia el exterior con una velocidad de fase local: v¿o + y/t^o aproximadamente.
En la prevaina se propaga un modo viajero ion-electrón (ligado a la población a) y una onda
estacionaria ligada a la población e.
Para Re7¿ = 0, en la Fig. 5.7(a) se observan oscilaciones tanto en la prevaina como en
el núcleo que, en ambos casos, son sostenidas por la población de iones, bien a en la prevaina
o bien i en el núcleo. Los perfiles del núcleo son más inhomogéneos y menos oscilatorios que
los de la prevaina. Para Re7¿ = 0, la perturbación en la prevaina es mucho más fuerte que
para Im7¿ — 0, Fig. 5.7(b)-(c), debido a que 0i(£¿o) ~ gei ~ 9H(€DO) y ^ e último es mayor
en el primer caso como muestra la Ec. (5.70) y como se verá más adelante en los resultados
numéricos. La Fig. 5.7(c) muestra la aparición de pozos de potencial en el lado catódico de
la CD para £DI < 0.
Los perfiles espacio-temporales se han representado para un modo único, 7¿. Normal
mente la respuesta del plasma será una combinación de distintos modos 7¿ dados por el
espectro de la transformada de gu(l,r). Si la perturbación es oscilatoria pura en el tiempo
el rango de interés es 7¿ ~0(1) . Para una perturbación monotónica la amplitud gn(l) del
modo 7¿ suele decrecer con 7¿; por ejemplo, para una perturbación lineal <7¿i(l,r) = a + 6r,
le corresponde la transformada de Laplace ^i( l?7i) = a/7¿ + b/jf.
Las Figs. 5.8 y 5.9 muestran la respuesta espacial en núcleo y prevaina (no se han
incluido las perturbaciones del haz i en la prevaina pues requiere la resolución de las ecuaciones
del haz i en la prevaina, que es lo que quiere evitarse empleando el modelo A en orden cero).
Las soluciones reflejan tanto el decrecimiento de gn con £ debido a la expansión esférica:
|<7ii| ~ l<?ii(l)|íco lvií ~ (2hi£)~1/ /4, Ees. (4.29)-(4.30), como el decrecimiento exponencial
por retardo acústico cuando Re7¿ > 0. Así para un tiempo dado la región afectada por
133
la perturbación es más estrecha cuanto mayor sea Re7¿. Sin embargo, para Reji — 0, las
fuertes pendientes que se observan cerca de £ = 1 son debidas a que la emisión es sónica. Las
perturbaciones de los flujos implican perturbaciones de las distintas densidades y con ello del
potencial que se muestran en las Figs. 5.8 y 5.9. Típicamente se tiene que
riel <t>i ncl rtn ~ 9e\, — ~ ~ — ~ 9n,
neQ tcO nc0 riio
con lo que las variaciones de 0i siguen a las de gn. También es 0 i ( l ) ~ tco9ii(l) y? por lo
tanto, gn(l) induce una CE de perturbación en el contactor [ver Sec. 5.4].
La perturbación en el haz e, pei, se relaciona con gn a través de la condición de Lang-
muir, Ec. (5.57). Simultáneamente una variación en el flujo del haz e conlleva una variación
de la posición de la CD, £DI> que se determina a través de la condición marginal de Bohm
[ver Sec. 5.2.4]. Nótese que el desplazamiento de la CD no exige perturbaciones del haz i en
£¿0 debido a que en este lado de la CD, la entrada se produce con po > 0, que es un punto
regular de las ecuaciones. La Fig. 5.10 muestra el comportamiento de ge\ y £DI con 7¿ para
#¿i(l) = 1; se incluye también en estas figuras la comparación de los resultados numéricos
con la solución asintótica para |7¿| » 1. Al ser ge\ ~ <7ti(£¿o)> *a r e l a c íón ge\¡ gniX) es muy
diferente según sea Re7¿, Ec. (5.70). Para Re7¿ = 0, dicha relación depende poco de 7¿,
mientras que para Re7¿ > 0 decrece como exp(— Re7¿£po/(2\/í^o)). La perturbación de la
CD, £DI , disminuye rápidamente con 7¿ creciente, incluso para Re7¿ = 0, Fig. 5.10(c), puesto
que es £>D\I9e\ oc 7t~ aproximadamente. Ello viene a decir que la CD es más rígida cuanto
mayor es la frecuencia pero permite el paso del haz e al núcleo.
Para |7¿| 3> 1, resalta la diferencia entre la respuesta estacionaria de n e i /n eo y la ion-
acústica de nn/riiQ. Cuando Re7¿ 3> 1 es nn ~ vn ~ gn ~ 0 en todo el núcleo excepto en una i ii
capa delgada que rodea al contactor, de tamaño ~ tc0 /Re7¿, cuya formación es necesaria
para que se verifique en £ = 1 la condición gn — g¿i(l). Para Re7¿ = 0, sin embargo, no
existe tal capa, siendo el decrecimiento de gn con £ efecto de la expansión esférica. Para
obtener la estructura de esta capa basta con tomar el límite asintótico para Re7¿ 3> 1 en
(5.66). Así, para emisión sónica es
A/27;
ti ^i = - ^ i ( l ) e x p ( - ^ ( £ - l ) 1 / 2 ) ,
1 * íi\ ( ^lift i \ l / 2 \ n e 0 ( l ) . kn = ícoP<i(l)exp ^ j ^ - ( £ - 1)1 / JJ -fjrtco9eil
tc0 t0{ )
1 /2
de estas expresiones se deduce que el espesor típico de la capa es ~ ¿CQ / Re 7¿
(5.82)
134
El análisis del Cap. 6 permitirá integrar las ecuaciones de perturbación con 7e no nulo.
La Fig. 5.11 compara los resultados obtenidos en el límite asintótico 7e = 0 con los que se
obtendrán entonces tomando j e = 0.0l7¿. Las diferencias que se observan son pequeñas y
validan el límite asintótico adoptado.
El efecto de los parámetros de orden cero se muestra en las Figs. 5.12, 5.13 y 5.14. En
5.12 se ve cómo al aumentar el tamaño del núcleo, £jr>0 (o j¿o), disminuye la perturbación de
la CD, £DI/£DO> cuando Re7¿ 7 0 debido a la caída exponencial de <7¿i(£¿0), mientras que
para Re7¿ = 0 esa caída es menor y es debida únicamente al efecto esférico. El efecto de íco se
muestra en la Fig. 5.13. A efectos de resultados el aumento de íco se puede interpretar como
una disminución de la perturbación de la posición de la CD, como muestra la Fig. 5.13(b).
Despreciando los efectos térmicos del haz e en el núcleo, y readimensionalizando las variables
con T* = TCQ, Sec. 2.6, el parámetro íco desaparece de las ecuaciones, manteniéndose su efecto
únicamente en la condición de Langmuir (5.81), en concreto, en los términos proporcionales a
9ei/li^Di y (7¿£DO)1 / /3 (suponiendo \ji\ ^> 1) que se verían multiplicados por un factor ~ ÍCQ .
Con ésto el aumento de ÍCQ puede interpretarse como un aumento del cociente gei/liÍD\ y?
en consecuencia, de la rigidez de la CD. En la Fig. 5.14 se muestra el efecto de 0ofí> que es
poco importante excepto para valores bajos. Esto es lógico ya que, como se vio en el Cap.
4, la modificación de este parámetro afecta principalmente a veo ~ —y/2<f>0R (y P o r tanto a
^eo) y a ^¡0 ~ ~~ V2<t>0Ri pero apenas modifica los perfiles de iones en el núcleo, mientras 4>OR
no sea bajo. Trasladando ésto al problema de orden uno, este efecto también va a ser poco
importante ya que, al ser kci=0, la condición de Langmuir (5.69) se ve poco afectada y los
perfiles, Ec. (5.66), tampoco lo notan. Cuando 4>QR es bajo las aproximaciones de la Sec.
5.3.3 no reflejan correctamente el comportamiento de la solución; de hecho para estos valores
se aprecia una mayor dependencia con 4>QR.
5.5.3. Respuesta a gn(l)=0 y fcci(l)^0
Una perturbación kc\ / 0 puede provenir de una perturbación en la superficie del
contactor bien de 0i , bien de nc\ [kc\ — ÍCO^CIH/^CO — </>IR]> Cualquiera que sea el origen de
la perturbación, las ecuaciones del núcleo cuasineutro muestran que
</>! ~ — kc\ — const, nci ~ 0,
7 7 , kn - 0i kcl + 0i kn ~ -kcl ~ 0i , vn - 0,
na ^ riiogn ~ 0, neX ~ n a - ncl ~ 0, gel ~ — ~ - ¿ - .
135
Ello indica primero que si (¡>IR ~ 0 y kc\ — tconciR/nco, se forma una capa electrostática en
torno al contactor que transfiere la perturbación a 0i , de manera que 0 i ( l ) = 4>\N — —kci\
segundo, los iones no reaccionan a esta perturbación que es transmitida a la velocidad del
haz e y tercero, no hay perturbaciones de densidad. De la condición de Langmuir (5.57) la
perturbación del haz e es
*. = ( - ¿ r ¡ " "Cl¿° ) / re '° (5;-0)J - ^ r « fe., (5-83) v^o(£¿o) (^o(£¿o) ~ VÍQ(£DO))' VÍO(£DO)
pequeña e independiente de 7¿, Fig. 5.15(a)-(b). En la Fig. 5.16 se muestra cómo varía
£DI/£DO a l aumentar el tamaño del núcleo para este modo. Obsérvese que, para estas condi
ciones de contorno, el efecto de 7¿ únicamente se aprecia en la variación de la posición de
la CD. Esto indica que el lugar natural de estos modos son las frecuencias electrónicas, y se
volverán a tratar en el Cap. 6.
5.6. CONCLUSIONES
En este capítulo se ha analizado la respuesta dinámica del sistema a pequeñas pertur
baciones temporales, 7¿ ~0(1) , y radiales en la emisión de plasma: ga(l) / 0, fc¿i(l) ^ 0
(las perturbaciones en potencial eléctrico, 4>IR ^ 0, y densidad de confinados, ncm ^ 0, se
comentan mejor en modos electrónicos, Cap.6). Como parte de los resultados, se ha obtenido
la extensión no estacionaria en orden uno de las condiciones de Langmuir y marginal de Bohm
para frecuencias iónicas.
Para Re 7 = 0, la respuesta del plasma en el núcleo es combinación de tres modos:
dos son modos ión-electrón que viajan con velocidades opuestas respecto a una referencia
montada sobre el haz ¿; los dos modos viajan hacia el exterior y transmiten al núcleo la
perturbación en £ = 1 (si la emisión es sónica, sólo se propaga un modo). El tercero es
un modo cuasiestacionario electrón-electrón ligado a la perturbación inducida en el haz e en
la CD, <?ei, que no afecta a los iones, y que altera la densidad, nc\ ~ — n e i , y velocidad,
vei, de los electrones y el potencial eléctrico. Cuando las perturbaciones llegan a la CD, la
condición de Langmuir generalizada (que iguala las presiones dinámicas a ambos lados de
la CD, actuando básicamente sobre los haces ¿ y e ) , induce la perturbación ge\ relacionada
con gniZño). k a Perturbación ge\ afecta a la transición prevaina/CD; en concreto, altera la
posición de la CD, cuya perturbación, £DI , queda determinada por la condición marginal de
Bohm no estacionaria. La CD es "transparente" para el haz e, siendo ge\ continua a través de
ella y sin embargo es "opaca" a la especie a, actuando como una pared móvil (o pistón) para
136
los iones ambiente. Por tanto, el movimiento de la CD conlleva el movimiento de los iones
ambiente; ésto va a limitar el desplazamiento de la CD, especialmente para frecuencias altas
debido a que los iones no responden a altas frecuencias (iones cuasirrígidos). La diferencia de
comportamiento entre los iones y los electrones, que responden instantáneamente, explica los
pozos de potencial que aparecen para £DI < 0 en el lado catódico de la CD. En la prevaina
(sin incluir el efecto del haz i) la respuesta del plasma es combinación de dos modos: uno es
un modo ión-electrón, debido a la perturbación £jn? ligado a la especie a, no al haz i, que
viaja hacia el exterior y que lejos de la CD se comporta como la clásica onda ion-acústica.
El otro es un modo cuasiestacionario debido a la perturbación gei\ este modo no afecta a los
iones y, al no haber una segunda especie de electrones, altera únicamente la velocidad de la
especie e y el potencial eléctrico.
Para Re 7 ^ 0, los modos ión-electrón son monotónicos y transmiten con retardo la
perturbación en el contactor al resto del plasma. Los modos ión-electrón sólo se notan en
regiones delgadas cerca del contactor, en el núcleo, y cerca de la CD, en la prevaina.
En el núcleo, la cuasineutralidad exige un valor del potencial: 0 i ( l ) — <t)\N 7 0, siendo
necesaria una CE de perturbación junto al contactor para ajustar 0IJV a (¡)IR — 0. Esta CE
no afecta a la respuesta del plasma cuasineutro.
El efecto de la esfericidad en la respuesta del plasma hace que las perturbaciones de
crezcan hacia el exterior. En cuanto a la dependencia de los parámetros de la solución
estacionaria, el aumento de £DO causa una disminución de £¿?i y ge\ (debida a la esfericidad)
y la variación de los otros parámetros, </>OH/ÍCO y *c0> afecta poco, excepto para valores bajos.
El sistema no desarrolla ninguna inestabilidad fluida en este rango de frecuencias. Recor
dando las inestabilidades presentes en un plasma homogéneo con tres especies ión-electrón-
electrón [ver Sec. 2.4] a bajas frecuencias la única inestabilidad fluida que puede aparecer es
la ión-electrón (en la que intervienen las tres especies i-e-c, Sec. 2.4.1) en un margen estrecho
debido al efecto estabilizador de la población de confinados que, para flujos radiales es, Ec.
(2.27),
3í e0 < ^eO < 3¿e0 + ícO^eo/^cO-
En el modelo A la condición de que el plasma en el núcleo es supersónico implica, Ec. (5.56),
^eO ~~ 6te0 £c0 > o~ > U,
y por tanto la inestabilidad no se desarrolla. En el Cap. 8 se verá cómo la introducción de
flujos transversales posibilita el desarrollo de una inestabilidad ión-electrón oblicua. En este
137
rango de frecuencias también podría aparecer la inestabilidad ión-acústica [ver Sec. 2.3.2] en
el núcleo que, pese a no ser recogida por este modelo por exigir un tratamiento cinético, se
puede comentar como afectaría. Las condiciones para su desarrollo, suponiendo neo <^ nCQ
y Uo <C tCQ son: £co77ii/me > v?Q > íco, luego como el haz i es supersónico y frío, podría
desarrollarse. Nótese que esta inestabilidad está alimentada por las poblaciones i y c (el haz
e juega un papel menor).
En cuanto a la prevaina, los resultados para plasmas ion-electrón [ver Sec. 2.3] confirman
la inexistencia de una inestabilidad ion-electrón (especies a y e), ya que ésta se desarrolla,
para flujos radiales, en el rango v^0 > 3íeo + li Ec. (2.20), que exige plasma supersónico, y,
como se recordará, en la prevaina el plasma es subsónico alcanzando la condición sónica en
£ = £+Q. La inclusión de iones emitidos en la prevaina podría alterar estos resultados: en un
plasma ión-ión-electrón [ver Sec. 2.5] el haz i podría generar una inestabilidad ion-electrón
montada sobre el haz i en la zona de la prevaina donde veo > 3íeo. Sin embargo, no hay que
olvidar que la inhomogeneidad del plasma posiblemente alteraría este comportamiento; en
concreto, la esfericidad hace que la densidad del haz i disminuya con f según n¿o ~ £~2 y ésto
podría suprimir la inestabilidad. También en la prevaina se dan las condiciones para que se
desarrolle la inestabilidad ión-acústica, siendo aquí su margen (1 + 3íeo)me/m¿ < vlQ < 3íeo,
pero ésta se vería fuertemente amortiguada porque la temperatura de los iones ambiente es
T^ y es Too/Teo = l/3teo - 0 ( 1 ) .
Diferentes autores [35] [37] [44] han citado las inestabilidades ión-acústica y Buneman,
como posibles en la operación de un contactor anódico sometido a perturbaciones radiales.
En primer lugar, en un plasma ión-electrón-electrón puede haber ondas ion-electrón y ondas
electrón-electrón (sean fluidas o cinéticas). Lo que no tiene sentido, como se vio en las con
clusiones del Cap.2, es que se den a la vez dos inestabilidades ion-electrón (ión-acústica y
Buneman) porque están involucrando a las mismas especies; de hecho son la misma inestabi
lidad en dos rangos de velocidad diferentes [ver Fig. 2.4]. En segundo lugar, estos autores no
consideran el efecto estabilizador de los confinados, involucrando únicamente a las poblaciones
aceleradas ¿ y e , y eso hace que el rango para la inestabilidad ion-electrón sea t^0 > 3íeo-
Por otra parte, las condiciones en el núcleo no permiten estar en ningún caso en el límite de
Buneman si se incluye la especie c en el análisis de estabilidad.
138
Figuras del Cap. 5
10 20 30 40 50
hi\€DO
Figura 5.1: Prevaina. En línea continua solución numérica para Im7¿ = 0, Re7¿ = 0 y
Im7i/ Re7¿ = 5 (las tres curvas son indiferenciables). En línea discontinua solución asintótica
para |7¿| ;§> 1 con Re7¿ = 0.
Figura 5.2: Prevaina. Perfiles espaciales para 7¿£DO=2, 10 y 30, y 0 i ( f ¿ o ) = l
139
Figura 5.3: Prevaina. Perfiles espaciales para 7¿£DO = 2i, 10i y 30i, y 0i(£nO )=l
10
Figura 5.4: Prevaina. |<£i(C)| (linea continua) y Re^i(C) (línea discontinua) para
IÍCDO = 10 i.
140
|7¿£DO|T/2TT 1
7¿£DOT 1
H&T)
<K&T)
ttZM
2 3
Figura 5.5: Prevaina. Perfiles espacio-temporales del potencial para (a) JÍ£DO — 10 i,
[0i/0o]¿+ = 0.3; (b) 7Í^DO = 1, £DI > 0; (c) 7Í£DO = 1, £m < 0. Las curvas proyección son
Figura 5.6: Esquema de capa electrostática en torno al contactor.
141
Re</>(£, r)
Re </>(£,T)
Figura 5.7: Modo #¿i(l) ^ 0, kc\ — 0. Perfiles espacio-temporales del potencial para
(a) 7i = 3 i, pii(l) = 0.3; (b) 7¿ = 1, g{1 > 0; (c) 7¿ = 1, #¿1 < 0. Otros parámetros:
<j>0R = 10, (¡)QD = 4, íc0 = 1; £DO = 8.88.
142
\k 1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
K—"——-—HJ
I \ ^ v l
I \5
l^ill 1 rao
0.8
0.6
0.4
0.2
0
i \ 5 ^ ^ I
5 < 6
1 /2
Figura 5.8: Modo gn{l) — 1, kc\ — 0. Perfiles radiales para 7¿ /tx¿f = 0.1,1,5. Otros
parámetros: (f)oR/tc0 — 50, 0 Q D / Í C O = 46, í c 0 = 10; £L>O = 3.98.
riio 1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.I
i
i
l i i
L
\4>i\
1 5 ^ 6
0.8
0.6
0.4
0.2
0
r ^ ^ \ o.ii I
i
I I I
I 1
«—üJJ_
-
-
5 ^ 6
\9ii\ 1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
• ^ O. l i
I \ s ~"\ '
1 4 5 6
c 1 /2
Figura 5.9: Modo gn(l) = 1, fcci = 0. Perfiles radiales para 7¿/¿co = O.li,i,5i. Otros
parámetros: (f)oR/tco = 50, 4>ñD/tco = 46, íc0 = 10; £D0 = 3.98.
143
\9el\ 0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
.\ \ \ \
\ \ \ \
\ N. \ N.
v * \ .
(a)
-
.
\£DI ÍDO
1
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0 0 1 2 3 4
\li\/lcO
Figura 5.10: Modo gn(l) = 1, kc\ — 0. Flujo del haz e y desplazamiento de la CD
para (a) Im7¿ = 0 y (b) Re7i=0. (c) [curva 1] Im7¿ = 0 y [curva 2] Re7¿=0. Las líneas
discontinuas representan la solución asintótica para |7¿| » 1. Otros parámetros: 4>QR/tco —
50, (Pov/tco = 46, tc0 = 10; £D0 = 3.98.
Figura 5.11: Modo gn(l) = 1, kcl = 0. 0i(C) con 7e /7¿ = 0 y 7e/7¿ = 0.01 para (a)
7i = 10 y (b) 7¿ = 10 i. Otros parámetros: (j)oR/tco = 50, (t>QD/tc0 = 46, tc0 = 10; £DQ = 3.98.
144
\Iml
Figura 5.12: Modo gn(l) = 1, kc\ — 0. Influencia del tamaño del núcleo en el des-1 I O. 1 10
plazamiento de la CD para 7¿/ÍCQ =1 [curva 1] y 7¿/ÍCQ = i [curva 2]. Otros parámetros:
(t>0R/tc0 = 50, tc0 = 10.
80 100 tcQ
80 100 tcO
Figura 5.13: Modo ga(l) = 1, fcci = 0. Influencia de £co en el flujo del haz e y en el 1 lo 1 /*?
desplazamiento de la CD para 7¿/£co = 1 [curva 1] y 7¿/ÍCQ = i [curva 2]. Otros parámetros:
<t>oii/tcO = 50, <¡>QD/tco = 46.
60 80 100 (p0R/tc0
límlO.1 Í D O
0.08
0.06
0.04
0.02
0
2
' / ^ " "
' i
(b)
s^~~ 20 40 60 80 100
<t>0R/tc0
Figura 5.14: Modo gn(l) — 1, kc\ = 0. Influencia de </>ofl en el flujo del haz e y en el •I ley -i / o
desplazamiento de la CD para 7Í/ÍCQ = 1 [curva 1] y 7¿/íco = i [curva 2]. Otros parámetros:
¿co = 10, £DO = 3.98.
145
x 10 x 10"
\9el\
-yil/W x 10
7i|/ícó'
I I ¡Al2
Figura 5.15: Modo #¿i(l) = 0, kc\ — 1. Flujo del haz e y desplazamiento de la CD para
(a) Im7¿ = 0; (b) Re7¿=0; (c) [curva 1] Im7¿ = 0 y [curva 2] Re7¿=0. Las líneas discontinuas
representan la solución asintótica para |7¿| ^> 1. Otros parámetros: 4>oR/tco = 50, (f>QD/tCQ =
46, tc0 = 10; £D0 = 3.98.
x 10 -3
lÉDll Í D O
1
0.8
0.6
0.4
0.2
Figura 5.16: Modo gn(l) = 0, kc\ = 1. Influencia del tamaño del núcleo en el des-1 / 9 1 / 9
plazamiento de la CD para 7¿/tco =1 [curva 1] y 7¿/íco = i [curva 2]. Otros parámetros:
<t>0R/tc0 = 50, tc0 = 10.
147
Capítulo 6
MODOS RADIALES ELECTRÓNICOS
6.1. INTRODUCCIÓN
En este capítulo se presenta la extensión del análisis de perturbaciones con simetría
esférica, l — m — 0, iniciado en el Cap. 5 al rango de frecuencias electrónicas:
7 e = 0(1), 7» = 7cW— > 1.
v ™e
La solución estacionaria que se perturba sigue siendo la del modelo A y el problema de
perturbaciones está definido por las Ees. (5.1)-(5.8).
El análisis de los modos iónicos se apoyó en considerar cuasiestacionario el movimiento
de los electrones, lo que se traducía en tomar 7e —» 0 en las ecuaciones de perturbación.
Ahora, en el rango de frecuencias electrónicas domina la dinámica de los electrones; los iones,
debido a su inercia mucho mayor, casi no responden y permanecen "cuasirrígidos" en su
solución estacionaria. Caben pues dos tipos de análisis de los modos electrónicos, uno, más
completo, que considera tanto a 7e como a 7¿ finitos y no nulos, y otro, asintótico, que adopta
el límite 7¿ -» oc en las ecuaciones de perturbación. El primer tipo es más complicado de
tratar por el pequeño valor de 7e/7¿ = ^me/mi, pero permite estudiar la transición de los
modos iónicos a los electrónicos para 7¿ > 1 y 7e < 1, y justificar el límite 7¿ —>• oo cuando
7C=0(1). En los cálculos se usará generalmente y/me/rrii = 0.01 que es un valor realista y
facilita la comparación entre las escalas "iónica" y "electrónica". Siempre que sea de interés
y el esfuerzo compense, se buscarán soluciones WKB de las ecuaciones.
6.2. PREVAINA
Se acepta que en este rango de frecuencias, y para el modelo A, se sigue cumpliendo
que rii\ <C ne\ y, por tanto, se desprecia la influencia de los iones emitidos en la respuesta de
la prevaina. Entonces, suponiendo perturbaciones nulas del plasma ambiente en £ = oc, el
148
problema de perturbaciones consiste en las ecuaciones dinámicas del plasma ambiente
1 d(£2ne0val) 72 ¿7 + nnai=0, (6.1)
-¿JT + Ti^ai = o, (6.2)
^ + ^ ^ = 0 , (6.3)
dkei
-rf+Te^ei-O, 6.4
con
riel nal kal + kel - v^0gei = = — o ' (6-5)
neo na0 1 + oteo — v¿0
vei (1 + 3te0)gei - kei - kal VeO 1 + 3£e0 - ^eO
(6.6)
Las ecuaciones (6.1)-(6.4) son pues cuatro ecuaciones diferenciales para va\, fcai, ge\ y ke\.
El potencial de perturbación se calcula de
, Vlü9el ~ kel - {vio ~ 3 t e 0 ) f c Q i ^ = TX^ Í ^2 • (6-7)
En la resolución de (6.1)-(6.4) han de tenerse en cuenta tres hechos. Primero, restando
las ecuaciones de continuidad (6.1) y (6.3) se obtiene la integral primera
gei - — = const = Coo. (6.8) li Ve0
Segundo, n e i y vei no dependen de kai y kei separadamente sino solamente de su suma,
ka\ + kei» La ecuación para esta variable es
1 + « - - « 4 " : ( ) k - + *.l) + liVeO d£
(l + 3 í e 0 ) ( l + ( ^ ) 2 V ^ Val
VeO
-—{kal+kel) = -^-(l + 3te0)coo; (6.9) li li
en adelante se despreciarán los términos en (ie/li)2 que únicamente dan pequeñas correc
ciones. Tercero, una solución particular de la prevaina es
kel = —kal = COnst = (¿oo, Val = Qel = 0 ,
y sólo es necesario encontrar tres modos independientes más para tener la solución general.
149
6.2.1. Comportamiento en ^>1 y en el borde con la CD
Operando con (6.1) y (6.9) y empleando las aproximaciones (5.17) para £ ^> 1, se obtiene
la ecuación de segundo grado para kai + keí,
72 ¿t (£2¿*(fcai + & e l 0 ~ 7 ^ f c a l + fe«i) - -liJeOTT- (6.10)
Admitiendo únicamente modos evanescentes o viajeros hacia £ = +00, el comportamiento
dominante de ka\ + ke\ en (6.10) es
K>a\ 1 Kel — ^c
r- í2
+ + a,» exp 7¿
É + ... (6.11)
donde a^ es una segunda constante libre. Usando este resultado en las Ees. (6.1)-(6.7), el
comportamiento asintótico dominante en £ ^> 1 del resto de las variables es
' 4 j 2
^ c ^ — + - - , ) + — exp ( - - £ ) , -7i£5 li í . , le 4 j e 0
Sel - Coo 1 3T I - a,
2£ 7e £
j - e x p ( - ^ ) , 7i 7i£3 ) " 7i 2je0
ne i ~ ^ ^ g - + — exp ( - - £ ) ,
fleo / 7 * t \ , .
(6.12)
U . ~ r I ^2. 4- 7e-7e0
. 4 ^ ¿
La condición 0i (oo) = 0 exige que
^ ^ ( ^ + ^ + —exp ( - - e j 4£
doo = 0,
y la solución consta de dos modos, uno de tipo ión-acústico propagándose hacia el exterior,
* a i ~ | « P 7 * ( r - f ( l + ^ ) ) ,
donde se ha mantenido el término en 7e2/7¿2 = me/rrii para mostrar su efecto en la velocidad
de las ondas ion-acústicas y otro modo estacionario,
kal ~ ( £4 + ~f) eXP7¿T-
Haciendo 7e/7i -> 0 en (6.11) y (6.12) se recupera el comportamiento asintótico de los modos
iónicos [ver Sec. 5.2.1]. Obsérvese que el término con 7e/£, que obviamente no aparece en la
150
— 1/3
solución con 7e = 0, domina en la región £ >> j e , pero ello no es muy relevante cuando
7e <g; 1. Una segunda observación es que aunque la parte ion-acústica de ge\ crece (en media)
como £ cuando Re7 = 0, sigue cumpliéndose que nei(oc) =v e i (°o) = 0.
Las condiciones en el borde exterior de la CD son análogas a las de los modos iónicos.
Primero está que el flujo de iones ambiente a través de la CD es nulo,
[nao(vai - litm)]** = 0, **DQ
(6.13)
y segundo, que la solución esté acotada en £ = £¿, donde 1 + 3íeo — v^0 = 0. Así, la
perturbación total del potencial en el borde de la CD es, empleando (3.64), (4.24) y (6.7),
~vlo{9ei - 2£r>i/££>o) ~ fcei - (v20 ~ 3íeo)fcoi 0i (tío) 1 + 3íe0 - V2
eO (6.14)
luego estará acotado si el numerador del segundo miembro es nulo,
v2oÍ9ei ~ 2 £DO
) - (fcel +kal) = 0. (6.15) DO
y ésta es la condición marginal de Bohm en orden uno para el rango de frecuencias electrónicas
[ver Sec. 3.5.4]. Resolviendo la indeterminación en (6.14) se obtiene </>i(£¿0), Ec. (3.75),
¿i(£o) = Sel + VeO
Ho ~ 1 7ef.Dl - Kl
£ +
con
S.l«£0) = &l(í£o) " 2 — t-«+^->--"+ IDO
^ellCjDo) ~~ ^e l ( sDo) '
Del análisis asintótico resultaba que hay dos modos libres, Ec. (6.11)-(6.12), de manera
que integrando hacia la CD e imponiendo las condiciones (6.13) y (6.15) se obtiene una
relación matricial
tDl
ac
= B. P i DO (6.16)
donde las matrices Ap (de 2 x 2) y Bp (de 2 x 1) dependen de 7e£.oo y le/li- La integración
numérica muestra que la matriz Ap es regular para todo 7e , de manera que (6.16) propor
ciona aoo(^£)i) y Coo(^£)i) para cada 7. Para integrar numéricamente las ecuaciones se han
empleando en las ecuaciones las variables vai y fcai + ke\. Para ello conviene reescribir (6.1),
con la ayuda de (6.5) y (6.8), como
1 + 3í e 0 - V20 d (VaX \ kal + kei 7 e Val
7¿^e0 d£\ve0
VaX\ + = Cr
7e0 7< ve0 (6.17)
151
Así, se integran las Ec. (6.9) y (6.17) con el método descrito en la Sec. 5.2.2, y con las
condiciones de contorno (6.13) y (6.15) en la forma
*>al (£¿ 0 ) = 7¿£ lH, (kal + fcel)(£¿0) = Ve0 ( C«> ~ y ^ J •
Una vez resuelto ésto, para obtener fcai(£) y &ei(£) P o r separado, se integra la ecuación
(6.4) con el valor obtenido para Coo/£m y c o n &ei(£¿o)/£pi ^bre, que queda determinado
empalmando con la solución asintótica para £ 3> 1. Con ésto se obtiene feci(£) y» por tanto,
fcai(0? e n función de £DI-
6.2.2. Análisis asintótico para 7¿^>1 y 7 e = 0 ( l )
Las ecuaciones (6.9) y (6.17) y el comportamiento para £ » 1 muestran que la solución
en la prevaina consta de un modo de escala espacial corta: A£ ~ 7¿"1 y un modo de escala
larga, A£ ~ 1, que corresponde a la solución particular de estas ecuaciones:
Valp (le . 2 dve0\ _1>
«- - t " l í + ; fJ = 0 ( r t
(fcal + &el)p - COOVIQ.
El modo de escala corta se obtiene de la solución del problema homogéneo para 7¿/7e ^> 1,
empleando el método WKB. La parte homogénea de (6.9) y (6.17) se identifica con el sistema
de ecuaciones (A.22) del Apéndice tomando como parámetro pequeño e — le/li- Añadiendo
a la solución WKB la particular se tiene
^ ( 0 ^ a o o - e x p ( - / ? ) + ^ , VeO Oí Ve0 (6.18)
(fcoi + fcei)(£) ^ -aooaexp(-/3) + (A;ai + kel)p,
donde ¿too es una constante a determinar (proporcional a a ^ ) , y a y (3 son funciones de £:
a ( 0 = [(l + 3íe0-t;e2o)t;e
2o]1/4,
^^^L^ + ^-vl^-^Ll Con estas expresiones, fcei(£) y 5ei(0 se obtienen de (6.4) y (6.8). Comparando esta solución
con la de la Sec 5.2.3 se observa que el comportamiento en la escala espacial fina (ligada a
7¿~1) se ve ligeramente alterado por la inclusión de 7e ^ 0. Para £ 3> 1 es
O * ^ , 0 ( 0 - ^ + 7 ^ , (6.19)
152
y la solución (6.18) recupera el comportamiento asintótico para £ » 1, Ees. (6.11) y (6.12).
Las ecuaciones (6.18) se hacen singulares para £ —> £¿0 . En la solución para £/£DO — 1 <^
1 deben distinguirse dos casos: Reji = 0 y Re7¿ ^ 0. Para Reji = 0 es
Val
VeO ( O ^ S i ( A i ( z ) + i B i ( z ) ) + C o
87rb + 13 eOl
aS/3(27i^0)1/3 Hi(s),
+ U2/3 (fe«i + fc«i)(0 * Ex ™ \ {Ai'iz) + i Bi'(*))+
(27i^o) 1 / 3
+ Coov+02(l +
(6.20)
8™+2
(2ao7i£zx>)2/3 Hi ' ( * ) ) ,
y para Re 7¿ 7 0,
Val
VeO (O ^ S i Ai(z) - cc
87r|^+|3
4/3/ < ^ ( 2 7 i ^ o ) 1 / 3 Gi(2) ,
con
*(0 (a07i)2 / 3
( 2 7 ^ o ) 1 / 3
+ Coov+02 (l
(6.21)
8TTV +2 e0
(2a 0 7i^o) 2 / 3 Gi i'(*)),
tól^o)1'3 / * VeorfC ( 2 7 Í C D O ) 2 / 3 / £ I y / 2
«/«+ 1 + 3íe0 - t& a V 3 ^ D 0 / '
ao = -23/2v^0J2VeQ - 1, Ec. (5.34), y vj¿ = veo(^Q). Los coeficientes áoo y E\ se relacionan
empalmando la solución cercana y lejana [ver Apéndice]:
&oo = Ei vto\1/2al/3 J ^ ) 1 7 6 ^ ^ ) ' (Re^ = 0),
V^(27 i^o) 1 / 6
( R e 7 i ^ 0 ) .
Imponiendo las condiciones (6.13) y (6.15) la solución queda determinada en función de
£DI/£DO- En concreto se tiene:
27¿£DO , /„ . , r + | \K +0 | ( 27 i^o ) 1 / 3 " l gm
AiO)k;Jn V e u / 2n.2/3Ai'ím £ 1 = -
4Ai(0) |^ 0 | 2OQ / 3AÍ'(0) J 6>o'
_ V3^m (2aol7^Do)4 /3 , / ? „ , • + | \ ( 2 a o l 7 i | ^ o ) 2 / 3
4Ai(0)|«á|* + ^ tóo|^lj 2 | t 7 +| 2 A i ' (0 )
8TT£ £>0 (2ao7i^Do)4/3 / 0 tf - + | \ ( 2 o o 7 i W ) 4Ai(0)|«¿|* I' ^ ' ^ t ó l ' A i ' ,
)2/3
(Re 7 i = 0),
( R e 7 i ^ 0 ) ,
/>+ \ _ _ 7e&Pl
\Ve0\
M & o ) = - 1 . 0 9 4 4 7 e ^ 0 p e i ( ^ o ) , feai(íío) = <?ei(£¿0)(2.3861 + 1.09447 e^0) , (6.22)
153
(6.23)
o, guardando sólo los términos dominantes para 7¿ >• 1,
| £ i | ^0 .9117 | 7 i &,i | ,
«>o ^ i , ( R e 7 i ^ 0 ) ,
Icool * |Pei«ío) | - 0 . 3 7 1 7 ( | 7 i | ^ o ) 4 / 3 ^ , í£>0
|fcel(£¿o)l ^ 1.0944|7 e^oPei(^0) | ,
|fcai(e¿o)l-2.3861|5e l(e+0)|.
Estas expresiones son la extensión de las obtenidas en la Sec. 5.2.3 para 7e = 0, Ees. (5.41)-
(5.42). De (6.23) se deduce que
de manera que para 7¿ 3> 1 en la solución (6.18) los modos de escala rápida se hacen despre
ciables y domina la solución particular. Así, en el límite 7¿ -> oo, los iones prácticamente no
responden (son cuasirrígidos):
Vai ~ 0, 7lai ~ kal + fcei - ^ Oc o o — 0.
Sustituyendo ese comportamiento límite en las Ees. (6.3)-(6.7), la solución para los electrones
y el potencial es 9ei ^vel/ve0 C^Coo,
"'el — "~coo7e / ve0d*íi /s> nA\
01 - kal - Coo V*0 + 7 e / Ve0d^\. J oo
Sin embargo, para £ -» £¿0 deja de valer esta solución puesto que es
^alU¿o) = n e l U D 0 ) = 7T* 7 . + U e l ( í D o ) ~ „ />+ N ) '
y, como 0ci(£¿o) - 7e£m/^eo(£¿0) = c<x> 0, Ec. (6.23), debe ser ñ a i (£¿0) =¿ 0. Por tanto
se forma una región en torno a la CD, en la que la variación de las variables vienen dada por
(6.20) o (6.21). En concreto, para ñai es,
n e 0 ( a o 7 ^ o ) 2 / 3 foi f Ai ' ( z )+ iBi'(z) - - ^ f f i ' ( z ) , (Re7 i = 0),
^ = n e l " - 2 A i ( 0 ) ( l + 3 í e 0 - , e2
0 ) ^ X , ^ , l Ai'(z) + V3Gi'(z), (Re7i^0),
(6.25)
154
donde ya se han sustituido las expresiones (6.22). Obsérvese que, aunque en £ = £¿ 0 es
1 + 3íeo — ^eo = 0, la densidad ñai está acotada porque el numerador tiende a cero para
£ —» £¿0 . Las variables ge\, ke\ y fcai permanecen constantes en primera aproximación en
esta capa, cuyo espesor, 5, se obtiene haciendo z ~0(1) :
En resumen, el orden de las variables para j e ~ 0(1) y 7¿ -» oo es:
0e l ~ «e l ~ «a l ~ 0 1 ~ 7¿ v a l ~ 7¿ 7 > 7 • ( 6 . 2 6 )
6.2.3. Resultados parciales
El comportamiento del plasma en la prevaina para el rango j e =0(1) responde a los
mismos principios hallados en el estudio de los modos iónicos con 7e = 0. Un desplazamiento
£DI de la CD origina una respuesta que es combinación de dos modos, un modo ion-electrón
de tipo ion-acústico y otro estacionario, ligados a las perturbaciones producidas en las especies
a y e, respectivamente. Las expresiones asintóticas (6.12) con doo = 0 muestran la forma de
cada modo para cada variable del plasma. Por su parte el análisis asintótico para \ji\ ^> 1
indica que, para 7¿ -> oo, el modo estacionario, ligado a gei, es dominante y que, aunque
la perturbación de la CD es insignificante, £DI/£DO ~~ 0, la prevaina envía al núcleo unos
valores de ge\ y ke\ no despreciables.
En la Fig. 6.1 se ha representado la evolución espacio-temporal en la prevaina del
potencial eléctrico (estacionario más de perturbación) Re0(£,r) , Ec. (5.44), para tres modos
temporales de perturbación con igual |7|. La Fig. 6.1 puede compararse con la Fig. 5.5
donde | y| era uno o dos órdenes de magnitud inferior (y el intervalo de tiempo dibujado allá
uno o dos órdenes superior). Obsérvese que, para Re7 = 0, Fig. 6.1(a), a altas frecuencias
no se aprecian los modos viajeros ión-electrón ni el desplazamiento de la CD. En esta figura
se observan pozos de potencial, como los que aparecen cuando la CD retrocede por efecto de
la perturbación, £xn < 0 e Im7 = 0, Fig. 6.1(c).
Las Figs. 6.2 y 6.3 comparan los perfiles espaciales de perturbación de algunas variables
para distintas frecuencias 7e; también pueden compararse con los de las Figs. 5.2 y 5.3. En
el caso de I1117 = 0, Fig. 6.2, cuando 7e crece se observa que he\ y va\ tienden a anularse
en toda la prevaina excepto en una región cada vez más delgada junto a la CD; la restricción
155
de la perturbación a una región delgada no ocurre para ve\ y <f>\. En el caso de Re 7 = 0,
Fig. 6.3, ha de tenerse en cuenta que se están representando las envolventes de los perfiles
de forma que no se observa adecuadamente la escala espacial fina: A£ ~ |7¿|_1> ligada al
modo ion-electrón. De hecho para ñei este modo es dominante y el valor promedio de he\
en la escala larga es prácticamente nulo. Sin embargo, para </>i, donde el peso relativo de
cada modo está más equilibrado y el valor medio no es despreciable, la envolvente sí presenta
oscilaciones. Para 0i se ha incluido (línea discontinua) la solución asintótica para 7¿ = 00,
Ec. (6.24), que recoge únicamente el perfil "promedio" de 0i .
La Fig. 6.4 muestra la evolución de £ m , <?ei(¿;¿0) y fcei(É¿o) c o n ^D0 p a r a ^iféío) =
const, comparándose resultados numéricos con la solución asintótica para |7¿| 3> 1 para
distintos 7c/7¿. Como se verá, los únicos datos de la prevaina que se necesitan en la resolución
del núcleo son <7ei(£¿o) y ^ei(£¿o)- Tiene interés contrastar los resultados con 7e/7¿ = 0 y
7c /7¿ = 0.01: las diferencias no son significativas mientras 7e <§C 1, como era de esperar.
El caso 7e/7¿ = 0.1 se ha incluido pues valores de este orden son frecuentemente usados en
simulaciones numéricas: da diferencias del orden del 100% con los casos 7e/7¿ < 0.01 para
7e ~0(1) . La dependencia con arg7¿, que era insignificante en frecuencias iónicas, no lo es
tanto ahora. Finalmente, se constata que el método WKB da excelentes resultados.
6.3. NÚCLEO
El problema del núcleo consiste en resolver la dinámica acoplada de las especies z, c y
e. Las seis ecuaciones diferenciales que modelizan dicha dinámica son
% + ^ ^ = 0 , (6.27) «£ vio ni0
dkn ¿e
+ 7i«ii = 0, (6.28)
% i + ^ L ^ i = 0 , (6.29)
dkei + leVel = 0, (6.30)
+ 7enci = 0, (6.31) 1 d(e2nc0uci)
e2 ^ ^ T + 7 « t > c i = 0, (6.32) de
156
con n»i _ _ k{1 - 0 i u¿i _ ka - 0 i
9il o ' 2 '
nei _ ^eOffel - Ki - <f>i vel _ kel + <f>i - Ste0gel
ne0 VeO ~ 3¿e0 ' Ve0 V%0 ~ 3íe0
rid _ kcl + 0i
y el potencial de perturbación verifica
(6.34)
01 = —, Po
nc0 rtio ne0
Po ¿c0 v?0 ^ 0 _ 3 í e 0 '
9i = - T — * c i +nio[gn o~ 5 ^7~(veo9ei - kei) . (6.35) tc0 \ v¡0 / v;0 - 3í e 0 J
Se puede reducir en uno el orden del sistema de ecuaciones diferenciales pues operando con
las ecuaciones de continuidad se obtiene la integral primera
9ei H + —J—9n = const = Cu (6.36) ne0Ve0 JeO V mi
que expresa que la corriente eléctrica de perturbación es constante en el núcleo.
6.3.1. Condiciones de contorno e integración
Las ecuaciones (6.27)-(6.32) y la determinación de £¿>i requieren siete condiciones de
contorno. Dos de ellas son las condiciones de salto en la CD que se imponen sobre el haz e.
De (3.69) y (3.70) y de la solución en la prevaina éstas resultan ser
\9el - ?¿™$>° = 0, (6.37)
[kel ~ Ve07e&nfé° = 0, (6.38)
donde los cocientes gei{^Do)/^Di y kei(£¿o)/£¿3i s o n c o n o c i d o s de la solución de la prevaina.
A la población confinada c se le impone que no fluya hacia la prevaina y, teniendo en cuenta
que su flujo es constante a través de la CD, Ec. (3.65), éste debe ser nulo en el borde
interior:
n d ) ( v c i - 7 e 6 > i ) l € ¿ 0 = 0 . (6.39)
En la CD falta por imponer la condición de Langmuir,
[2ni0Vio(vii - 7 i£m) + ^ i i ^ o + 2neQve0(vei - 7 e £ m ) + nelvl0 + 3 í e 0 n e i +
+ tc0nci + nal + CDi^i(nioVi0 + ne0vlQ + n*0 + í c 0 n c 0 + nao)]í-° = 0. (6.40)
157
Sustituyendo aquí nai y vai por (5.4) y (5.5), y kn(£p0) y #¿i(£¿0) con ayuda de la ecuaciones
de salto del haz z, Ees. (5.54)-(5.55), queda
- M j ? («..«5.) - ^ r - 2|S1)£ - 3f [±-f~(*.,(Í5,) - %íDIve0(í5„))->£>0
? "•co(^j»o) ,. f t - s , "ao(^£>0) —M6o) + ^ ^ ^ T + T ^ i ^ o ) = O,
(6.41)
donde fcai(£¿o)/£c>i e s conocido de la solución en la prevaina y, por tanto, (6.41) proporciona
una relación lineal entre £¿31 y las variables de orden uno en £ ¿ 0 .
Las tres condiciones de contorno que faltan se imponen en la superficie del contactor.
Si el plasma es emitido supersónicamente lo natural parece ser imponer dos condiciones sobre
la especie i y una condición sobre la especie c, pues a esta última especie ya se le impuso la
condición (6.39) en £ ¿ 0 . Para la especie i se admitirá que las perturbaciones en la superficie
del contactor son nulas en este rango de frecuencias,
n ¿ i ( l ) - ¿ 0 , v * i ( l ) ~ 0 , es decir gil(l) ~ 0, fca(l) ~ fa. (6.42)
Para la especie c, la condición que se impone depende básicamente de que la interfase entre
el contactor y el plasma exterior pueda controlar la presión de la especie c, que supone fijar
fcci(l), o su flujo, que supone fijar t>ci(l). En el problema regular ambos datos dan soluciones
proporcionales y, por tanto, da igual fijar uno u otro; en la discusión que sigue se supondrá
que se impone fcci(l). Si el plasma es emitido sónicamente, Po(l) = 0, en vez de (6.42) se
impone
# i ( l ) ^ 0 , g i ( l ) = 0,
con <?i(£) definido en (6.35). Como se explicó en el capítulo anterior, no es posible imponer
a las ecuaciones (6.27)-(6.32) el valor de 0 i ( l ) , pues, según (6.35), es
0 l ( l ) = (PIN = —-7TT, Po(l)
si la emisión es supersónica, y
, r 9i 9 i ( l ) <t>lN = lim — = -y-r—,
É-upo Po(l)
158
con
PÓ(I) =
«í(i) =
rico 3n eo(^0 + 3¿e0) _ 3n¿o
tío (Vio ~ 3íeü)3 " ^ í = l nc0 / 3 í c o
t*\ k, el
2n i0 -J-9" + .,2
«eO^eO U¿0 u eO 3íeO +
v2Q + 9t e 0
(v2e0 - 3te0y 9eV (6.43)
3ne0 Yi t£o + ¿eO vl0-3te0\v
20 ' ( u2 0 _3 í e 0 ) 2 / J£= lH£=1'
si la emisión es sónica. El ajuste de 0uv al valor requerido en la superficie del contactor,
0IH> lo realiza una capa electrostática delgada de idénticas características a la estudiada en
la Sec. 5.4.
Las condiciones de contorno (6.37)-(6.39) y (6.41), junto a la solución de la prevaina,
determinan gei, kel, vcl y kcl en £¿0 en función de £Di, gn(^Q) y fc¿i(£¿o)' d e m a n e r a
que la integración de las seis ecuaciones diferenciales del núcleo desde £¿o hasta £ = 1 da la
respuesta en el núcleo como suma de tres modos independientes. Imponiendo entonces las
tres condiciones en el contactor queda una relación matricial
"PÍIÍÉDO)]
fc¿i(£¿o) = B f cci(l) ,
Am J con A y B de tamaños 3 x 3 y 3 x 1, respectivamente, que, en principio, determina los
tres parámetros que estaban libres. Los posibles modos propios del plasma corresponden a
aquellas frecuencias 7e que hacen singular a la matriz A, es decir son las soluciones de la
relación de dispersión
D = det A(ie] —Jio^oR.tco) = 0. (6.44)
En la respuesta singular los modos propios ligados a f c i( l) = 0 y fcci(l) = 0no coinciden, en
general, y la relación de dispersión para el problema con 1^1(1) = 0 es diferente de (6.44).
6.3.2. Análisis asintótico para |7¿|^>1
La sección anterior ha planteado la forma general de resolver las ecuaciones del núcleo
pero no ha hecho uso de las simplificaciones en el tratamiento que introduce el hecho de ser
|7i| ^> 1 en el rango de frecuencias electrónicas. De hecho, buena parte de dichas simplifica
ciones ya se conocen del análisis de los modos iónicos en la Sec. 5.3.3.
Las ecuaciones (6.27)-(6.32) muestran que, para |7¿| 3> 1 y 7e < 0(1), la solución consta
de dos modos de escala (espacial) corta: A£ ~ 7 lr l , y cuatro modos de escala larga: A£ ~ 1.
159
Los modos de escala corta se obtienen aplicando el método WKB al sistema (6.27)-(6.32).
Suponiendo, como de costumbre, que cada variable j \ se comporta según
/ i (£ )^ / i (0exp[ /3(£) ] ,
se encuentra que la función de fase es
/Mfl " ~ 7 i / , , tcoTlio ViO ± nco - ne0tco/ve0
igual que en los modos ion-electrón con 7e = 0 [ver Sec. 5.3.3]. El cálculo de las funciones
de amplitud, /i(£), es aquí bastante engorroso pues el problema no se reduce (al menos
fácilmente) a una ecuación de segundo grado y hay que trabajar con las seis ecuaciones
diferenciales. No obstante puede justificarse que las diferencias en /i(£) entre el caso j e = 0,
resuelto en la Sec. 5.3.3, y el presente son funciones de orden unidad (como ocurre en el
problema de la prevaina, Sec. 6.2.2). Entonces, al ser la amplitud de los modos ion-electrón
proporcional a las perturbaciones nn(l) y vn(l) en el contactor [ver Sec. 5.3.3] y suponerse
éstas nulas en este rango de frecuencias, se puede finalmente despreciar los modos de escala
corta. Despreciar dichos modos equivale a hacer 7¿ -» oo en las ecuaciones (6.27)-(6.28) del
haz ¿, lo que implica
n a ( O - 0 , ^ i ( O - 0 ,
en todo el núcleo, es decir los iones permanecen cuasirrígidos en su solución estacionaria. De
estas últimas ecuaciones resulta
9n(0-0, M O ^ 0 i ( O , (6.45)
y eliminando kn en la ecuación (6.35) del potencial se tiene
nco ne0 \ nc0 ne0 ( 2 , N íes Á^
ü - í | ^ 3 ^ j * * ~üka ~ ^ÜTo^*9'1 ~ M - (6-46)
Obsérvese que esta expresión ya no incluye la posible singularidad po(l) = 0, y es
rico _ rieo > rijo Q
*c0 vio ~ 3 í e 0 ~ V?0
en todo el núcleo.
160
Sustituyendo (6.46) en (6.29)-(6.30) y haciendo uso de la integral primera (6.36), los
cuatro modos de escala larga verifican
dgei le nc0(v2
e0gel + kcl - kel) _
d£ veo nco(ve0 — 3íeo) — ^eoíco dkei nc0{kel -kci) - {neotco + 3nc0íeo)#ei n ~JT + ^eVeO 7"2 ^r~\ i = 0 '
a£ nco{ve0 — oteo) — neotco dkci ~dí ncoVd
(6.47)
+ leVd = 0,
+ 5el = C i . TleoVeO
Nótese que en las dos primeras ecuaciones ke\ y kc\ aparecen en la forma ke\ — kci únicamente.
Entonces, una solución particular, con C\ — 0, es
- 0i = kei = kci = const = C2, gei = 0, vci = 0,
nci ^ nei ~ n¿i ~ 0, (6.48)
que es un ajuste de potencial, y los otros tres modos independientes que faltan se obtienen
de resolver dos ecuaciones diferenciales para las variables gei y kei — kci^ con Ci ^ 0.
Las cinco condiciones de contorno para las cuatro ecuaciones (6.47) y la determinación
de £pi son (6.37)-(6.39) y (6.41) en la CD y el valor fcci(l) [o bien fci(l)] en el contactor. El
límite 7Í —> oo conlleva simplificaciones de las condiciones en la CD, adicionales a imponer
(6.45). Usando además los resultados (6.22) de la prevaina, las Ees. (6.37)-(6.39) y (6.41) se
convierten en
9ei(£Bo) -Se i (£¿ 0 ) ^ C i ,
kel^Dü) - - i - ^eÉDO&r t féDo) '
^cl(Go) ~ ° '
( 77+T 7T— ) M£DO) ~ ^ {veo(£~Do) ~ VeO^Do)) 9el{^Do)~
«?e0 ( 1 1 \ h (C- \ nco(^¿o) lm / > - v ,
JiO \Ve0{í¿>0) Ve0{tD0)J ni0{ZD0)Vi0(tD0)
n¿o(CDo)^o(CDo) (6.49)
En la última ecuación se puede despejar fcci(£¿0) e n funcíón de 5ei(£¿o) e ' integrando las
ecuaciones desde £ = £¿0 con estas cuatro condiciones, se obtiene la solución en el núcleo en
función de un único parámetro: gélido)' ^e ^ e g a as* a u n a relación
Dgeiitio) = kcl(l), (6.50)
161
donde D es un escalar, que determina completamente el problema. La ecuación D = 0 es,
por tanto, la relación de dispersión de los modos propios electrónicos para fcci(l) = 0.
En caso de imponerse vci(l) se obtendría
D*gel(Z+0) = vcl(l), (6-51)
y la relación de dispersión correspondería a D* — 0.
6.3.2.1 Análisis asintótico para |7C |»1
Cuando |7e | ;» 1 la solución del sistema de cuatro ecuaciones (6.47) consiste en dos
pares de modos, un par estacionario y otro viajero. Los dos modos estacionarios son los
ligados a las constantes C\ y CV. uno es el dado por la Ec. (6.48), y el segundo se obtiene de
(6.47) tomando el límite 7e —> oo en las ecuaciones para ge\ y ke\ — kc\:
neo r, ne0 7 7 2
9ei ^ ; Ci = Ci, kel - kcl ~ ve0gel, neo + nc0 ni0
Vd - Ve09el, 0 1 - ~kcl - le l Ve0geld^
riel - rid - 0.
Estos dos modos no perturban las densidades y ajustan los potenciales en ambos lados del
núcleo. Nótese que, aunque el modo Ci es estacionario, su escala no es A£ ~ 1, sino A£ ~ 7" 1 .
Los modos viajeros se obtienen por el método WKB, identificando la parte homogénea
de las ecuaciones (6.47) con el sistema (A.22) del Apéndice. Así se llega a que la solución
completa con los cuatro modos es
fl«i(0 - a (0 (Csexp[7e iM0] + ^ e x p b e / M O l ) + —Cu
+ ( S a ( 0 " £) c<*-<«i -<** íi ^«-«+c» kcl(0 a S^í a ( t ) (_^. e x p [ 7 A ( í ) ] + J |_ e x p [ 7 e / M í ) ]) _
nio Je,
vcl(Z) ~ ve0^ (Ci - a ( 0 ( C s e x p [ 7 e / M 0 ] + C 4 e x p [ 7 e / M 0 ] ) ) >
162
con
ne0 2 ni0 ( ne0\ ve0 ± i A v¿0 3íe0 + tc0 V nc0 nc0 \ ncoJ f y n c 0 - nc0 y ncoJ d(3±
P±{0 = - / — f¡á d^ 0±(O = vi, - Ste0 - ^ í c 0 " ^ dC
ft\ I 1-1/2 \ne0 2 Ui0 f0, . ne0, \ inc0 nc0 \ ncQ J
Imponiendo las condiciones de contorno (6.49) en la CD se obtienen los coeficientes C\ a
C4, que son combinación lineal de los valores de ge\, fcci, kc\ y vc\ en £¿0 , que a su vez son
proporcionales a #ei(£¿o)-
En lo que sigue y con el fin de contar con expresiones manejables que permitan averiguar
algo más de la forma de esta solución, se supondrá que
7l¿o ™e0 ™c0
en todo el núcleo, que corresponde al límite de haz e débil e hipersónico. Con ello se tiene
9ei(0 = a(0(c3exp[7e¿3+] + C4exp[7e/3_]) + — Cu
kei(0 - ^TTX (C3 exp[7e/5+] - C4 exp[7e/5_]J -
-Ci-ye / — 1>e()df + C2,
: J*°° ni° (6.52)
M O - - 2 3 / ^ f e exp[7e/3+] + C4exp[7 e /3_])-
- C i ( — « 2 o + 7 « / € — t ; .ode)+C 2 ,
«ci(í) - veo^f- (Ci - a ( 0 ( c 3 exp[7e/3+(0] + C 4 exp[ 7 e /M0] ) ) ,
con
&«) = - / ' (l Ti, m^-, «(í) * * (=*)"*. JtDoK \nc0Jve0 \ve0\ \ne0J
El potencial eléctrico se obtiene de (6.46):
01 ~ -fccl 1—^-^ei — —fcci- (6.53) ^eO nc0
163
Las constantes C\ a C4, particularizando (6.52) en £ = £D0, e imponiendo vc\(^D0) ~ 0, Ec.
(6.49), son:
Ci ^ ^ e i ( G o ) '
C2 ^ feci(C¿o)> (6.54)
C3 ~ _C 4 ~ W|eo) [ f c c l ( G o ) _ fcel(£¿0)].
De haber mantenido vci(^0) ^ 0, éste también aparecería en estas expresiones. La depen
dencia de las variables en £¿0 con </ci(£¿o) s e tiene en (6.49); en particular, operando con
ellas puede escribir
M £ ¿ 0 ) _ ^eo(£¿0) - l-l7eÉJD0
9el(^Do) 1 + JiO ^eo(^Do) = ck. (6.55)
JeO V¿o(íSo) Finalmente imponiendo en (6.52) el valor de kc\ en el contactor se obtiene la relación entre
Sei(£¿0) y fcci(l):
fccl(l) = ^ e l ( ^ 0 ) ,
con
i<*(É¿o) ^ " "2^1^1)(Cfc + l-l7efeo)(exp[7ei9+(l)] ~ exp[7e/3_(l)]) +
r1
+ Cfc - 7e / —i;eod£. (6.56) J(DO UM
Como los modos propios del problema corresponden a soluciones no triviales para feci(l) — 0,
la expresión de D en (6.56) es la forma asintótica de la función que define la relación de
dispersión, Ec. (6.44).
La cantidad bajo la raíz en la expresión de (3± es positiva en todo el núcleo para la
mayoría de las soluciones estacionarias que se están considerando. Solamente en aquellos
casos en que t7g0/3íeo se hace de orden unidad cerca del contactor hay un cambio de signo en
dicha cantidad. Pero ello ocurriría en una región estrecha cerca del contactor por lo que es
dudoso que modifique el carácter de los resultados.
Para el caso en que se fija i>ci(l), las soluciones asintóticas son iguales, la integración
desde £¿0 es igual y únicamente hay que relacionar gei(^¿o) c o n vci(l)> Ec. (6.52),
vci(l) = D*flci(££o)>
con
Dm2£l_ i " ( l H e P o ) ( c f c + i . i 7 e 6 ? 0 ) ( e x p [ 7 e / M l ) ] - exp[7«/Ml)]) . 1 (6.57)
164
6.4. RESULTADOS Y DISCUSIÓN
6.4.1. Soluciones regulares
La Fig. 6.5 muestra perfiles espacio-temporales (en prevaina y núcleo) del potencial
eléctrico (de equilibrio más de perturbación) para distintos modos temporales con Re7 e = 0,
cuando se perturba la densidad de la especie c en la superficie del contactor, TÍCIR ^ 0, y el
potencial eléctrico es 4>\R = 0, es decir, kci(l) = tconciR/nco(l) y vci(l) libre. Se recuerda
que la respuesta del plasma para f c i( l) / 0 y 4>IR — 0 es proporcional a ésta.
Los resultados numéricos confirman que los modos ion-electrón son despreciables, y que
los iones pueden considerarse cuasirrígidos en su solución estacionaria. La solución asintótica
para |7e | ^> 1 ha mostrado que la respuesta del plasma en el núcleo es combinación lineal
de cuatro modos, dos estacionarios y dos modos viajeros electrón-electrón. Para una pertur
bación oscilatoria pura en el tiempo (Re7e = 0), cada uno de los modos electrón-electrón se
amortigua/amplifica en direcciones opuestas, de manera que únicamente se aprecia el que se
amplifica hacia el contactor. Cuando neo <C nCQ estos modos van montados sobre el haz e y
son proporcionales a
exp[7e(r + (3±(0)} ~ exp7e - / — exp ±i7e / J — UDO Ve0 J£D0 V nc0
lne0 d£
Uno V nc0 VeO (6.58)
de manera que, al aumentar Im7 e , en el núcleo tienden a dominar los modos viajeros, como
muestra la Fig. 6.5. En la prevaina se propaga únicamente un modo estacionario (ligado
a la población e) y, ligada al desplazamiento de la CD, £ D I , se produce una perturbación
de los iones ambiente que se reduce a una región delgada en torno a la CD siendo fuera
riel = nai ^ 0.
La Fig. 6.6 muestra el mismo tipo de perfiles, pero para modos temporales con Im7 e =
0. Ahora en la respuesta del plasma tiende a dominar los modos estacionarios. La Fig. 6.6(b)
muestra la aparición de pozos de potencial en el lado catódico de la CD para perturbaciones
en el contactor con nc\R <0.
Las Figs. 6.5 y 6.6 incluyen la capa electrostática que ajusta el potencial (/>IR = 0 al
valor exigido por la cuasineutralidad 4>\N ~ — fcci(l) = íco^cifí/^co(l)? Ec. (6.53). Nótese que
la capa electrostática traslada la mayor parte de la perturbación en la superficie del contactor
al potencial eléctrico, </>IJV, siendo n c i ( l ) ~ 0. También en caso de ser UC\R — 0 y (\>\R ^ 0,
la capa electrostática traslada esa perturbación al potencial eléctrico: <j>\^ = —fcci(l) = </>!#,
165
n c i ( l ) ~ 0. Por último ha de considerarse el caso uci(l) = 0 y 4>\R ^ 0 en el cual la respuesta
del plasma sería nula, excepto en la CE que ajusta <¡>\N = 0 a </>!#.
Las Figs. 6.7 y 6.9 muestran la envolvente espacial de las principales variables y su
evolución con 7e; para captar correctamente las oscilaciones espaciales, en algunos casos se
ha representado el módulo de la perturbación real en un instante dado (línea discontinua).
Fuera de la capa electrostática, no incluida en estos perfiles, la perturbación afecta a </>i,
fundamentalmente. Para las densidades y flujos las estimaciones son
neo ve0 ve0 nc0
y es nc\ = — nei. Los gradientes de los perfiles aumentan con |7e | como era de esperar.
El sentido de los gradientes espaciales viene determinado por la superposición de los modos
estacionarios con los modos electrón-electrón. Para Im7 e = 0, las perturbaciones tienden
a crecer desde el contactor hacia la CD, debido a que los modos viajeros electrón-electrón
transmiten con retardo la perturbación en la CD hacia el contactor y, para Re7 e = 0, las
perturbaciones tienden a crecer hacia el contactor, por efecto de amplificación en uno de los
modos viajeros.
Finalmente, las Figs. 6.8 y 6.10 muestran los cocientes entre distintos parámetros de
perturbación. Nótese que vci(l)/kci(l) ^ 0, en general. En 6.8(c) y 6.10(c) se comparan las
curvas para ji/je = ooy 7¿/7e = 100 que son indiferenciables.
6.4.2. Inestabilidad electrón-electrón
Para el problema de estabilidad sí importa si se controla la presión o el flujo de confinados
en el contactor. En el primer caso, se buscan soluciones con feci(l) — 0 (siendo v c i( l) libre
y distinto de cero, en general); los resultados se muestran en las Figs. 6.11 y 6.12-6.16. A
diferencia de lo que ocurría en el rango de frecuencias iónicas, ahora la relación de dispersión
(6.44) presenta soluciones con Re7 e > 0, Fig. 6.11, es decir la solución estacionaria admite
modos propios en el rango de frecuencias electrónicas, que corresponden a una inestabilidad
de corriente electrón-electrón. Se observa que hay distintas curvas o modos de soluciones
inestables, que de menor a mayor |7e | se numeran n = 1,2,3,.... Dentro de este modelo el
número de modos es infinito y no hay un modo con Re7 e máxima. Sin embargo, se verá en la
Sec. 6.5 que la inclusión de efectos de carga espacial, determina un máximo de Re7 e . Dentro
de cada modo n, la inestabilidad es menor para núcleos grandes. La Fig. 6.12 muestra que
el efecto de tomar 7¿/7e —» oo es despreciable: como es normal en una inestabilidad electrón-
electrón, los iones permanecen cuasirrígidos. La Fig. 6.13 enseña que la inestabilidad depende
166
poco de los otros dos parámetros de la solución estacionaria, tCQ y (/>(>#, mientras éstos son
altos, pero se debilita, llegando a desaparecer, cuando esos parámetros son bajos. Aunque
no se ha investigado más en esta dirección, este resultado puede ser de gran ayuda para
interpretar resultados experimentales.
El conjunto de soluciones de la relación de dispersión se puede entender a partir de la
expresión aproximada (6.56), válida para j e ^> 1. Suponiendo Im7 e > 0 (si j e es solución de
la relación de dispersión, su conjugada también lo es), se tiene
x /Mi) 2a3(l)vl0(l) ck -le¡zDO(neo/nio)veodt
a(£i>o) Ck + 1A^DO
donde se puede comprobar que la última fracción dentro del logaritmo depende poco de 7e
y, por ejemplo, para Cfc grande, Ec. (6.55), se hace la unidad obteniéndose
"2a3(lK20(l)-
ln <*(£DO)
Í7r(2n + 3/2)
UDO V l + i / M ^
™c0 ' ^eO
donde n tiene que ver con las distintas curvas de la Fig. 6.11.
La Fig. 6.14 muestra la evolución espacio-temporal de los tres primeros modos de
inestabilidad para el potencial eléctrico. Se observa que en la solución singular hay una
componente importante del modo que viaja hacia el contactor. Las envolventes espaciales
de distintas variables de perturbación se muestran en las Figs. 6.15 para los tres primeros
modos y un tamaño fijo de núcleo, y en la Fig. 6.16 para el modo n = 2 y dos tamaños de
núcleo. Estas figuras muestran que el número n se relaciona con el número de oscilaciones
espaciales de la envolvente de la solución en el núcleo. Al igual que ocurría con las soluciones
regulares, la inestabilidad afecta principalmente al potencial eléctrico. La perturbación de la
posición de la CD es inobservable en la Fig. 6.14 pero no es nula pues ella es la que origina
la perturbación gei(Cr>o) e n e^ fluJ° del h a z e- Esta se amplifica hacia el interior del núcleo,
induce perturbaciones en nc\ y éstas en <pi, parte de las cuales se transmiten instantáneamente
a todo el núcleo realimentando la perturbación de la CD.
El problema de estabilidad cambia si se controla el flujo de confinados. En este caso
(quizás más realista) se buscan soluciones con t^i^ = 0 (siendo n c i# libre y distinto de cero
en general). Los resultados se muestran en las Figs. 6.17-6.19. La Fig. 6.17 muestra las
frecuencias complejas de los modos autoexcitados. Comparando esta figura con la Fig. 6.11
se observa que el cociente I m 7 e / R e 7 e es ahora menor, pero ésta no es una gran diferencia
167
cualitativa por lo que la elección de la condición de contorno adecuada sobre la especie c no
ha de afectar a las conclusiones principales del problema. La expresión aproximada para el
conjunto de soluciones singulares en este caso es, Ec. (6.57),
ln [q(l)qfé¿0)(cfc + l.l7e£po)/2] - J7r(2n + 3/2)
La Fig. 6.18 muestra la evolución espacio-temporal de los dos primeros modos de inestabi
lidad para el potencial eléctrico. Envolventes espaciales de otras variables se muestran en la
Fig. 6.19. Al ser aquí menor el cociente I m 7 e / R e 7 e el crecimiento de la inestabilidad se
produce con una componente oscilatoria menor. Los perfiles espaciales tienden a presentar
sus máximos cerca de la CD en vez de en la proximidades del núcleo.
6.5. EFECTOS DE CARGA ESPACIAL EN LA INESTABILIDAD
El modelo estudiado muestra la existencia de una inestabilidad electrón-electrón pero
no determina el modo con la máxima tasa de crecimiento; de hecho, para cada £00, ReTe
parece crecer con n indefinidamente. Lo mismo ocurría en el problema uniforme [ver Sec.
2.4.2] cuando se despreciaban los efectos de carga espacial. Esto indica que las soluciones
obtenidas aquí son válidas mientras \je\ <C \veo\R/\Doo> P ° r encima de dicho rango hay que
incluir los efectos de carga espacial en el problema de perturbaciones de núcleo y prevaina
(antes sólo se incluían en la capa electrostática de perturbación). Ello supone integrar las
ecuaciones para cada especie (5.1)-(5.6) en prevaina y núcleo y sustituir la Ec. (5.7) para 0i
por la ecuación de Poisson (3.50):
twH(eT?)=n-l + n«-na-"~ (659)
Esto complica enormemente los cálculos, ya que: (i) hay que integrar dos ecuaciones diferen
ciales de primer orden más y determinar las condiciones de contorno correspondientes; (ii) el
acoplamiento con la CD es particularmente delicado pues su escala es la de las perturbaciones
en la región cuasineutra; (iii) en núcleo y prevaina hay que integrar ecuaciones que contienen
dos escalas espaciales muy distintas: £ ~ 1 y £ ~ ^Doc/R- Por ello se ha optado aquí por
abordar el problema de los efectos de carga espacial de manera aproximada, esperando al
menos tener una idea cualitativa de la velocidad máxima de crecimiento de la inestabilidad.
Así se ha resuelto un problema con las siguientes características:
168
(a) Como la prevaina juega un papel marginal en el desarrollo de la inestabilidad para
7e 3> 1 se ha tomado directamente £DI ~ 0 y í7ei(£¿o) libre, evitándose así su integración.
(b) En el núcleo se han sustituido las ecuaciones diferenciales de coeficientes variables
(6.27)-(6.34) por ecuaciones de coeficientes constantes tomando valores medios para mag
nitudes de orden cero y se ha despreciado el efecto esférico en las derivadas: 2/£ <C d/d£.
Esto evita los problemas de la integración numérica o la obtención de una engorrosa solución
WKB. Para cada 7e, la solución Y(£) del problema de coeficientes constantes es suma de
ocho modos fundamentales de la forma,
8
donde Cj (j = 1,.., 8) son constantes libres y kj — kj(T) son las seis soluciones de la relación
de dispersión local (2.25) para modos de perturbación radiales:
UJ2 UJ2- UJ2 pe , ^pt . pe _ 1
u2 - k2C2c0 ^ (a; - kVi0)
2 - k2C20 " (u> + kVe0)
2 - k2C2e{ eO
tomando UJ — iT (ecuación polinómica de sexto orden). Los modos C\ a C± se corresponden
con los obtenidos antes. Otros dos corresponden a los modos ion-electrón, que se podrían
despreciar, y el otro par son los modos de Langmuir que recogen los efectos de carga espacial.
(c) Para obtener las nueve condiciones de contorno que necesita el sistema: los ocho Cj
y 9ei(%z)o), se han mantenido las siete que se tenían antes y se han añadido:
0i ( l ) = O,
d£ Q (6.60)
Sobre la primera condición, su inclusión en el problema exacto llevaba a añadir la CE de
perturbación junto al contactor. Ahora al mezclar las escalas, dicha CE ha de aparecer de
forma natural en la solución. La segunda condición parece justificada mientras los efectos
de carga espacial sean pequeños. En cualquier caso, se ha comprobado que sustituir esta
condición por 0i(£¿o) — 0 o por cualquier combinación de la forma: [acf>i + bd(f>i/d£\¿- = 0
no afecta significativamente a las conclusiones de esta sección.
La utilidad de esta solución aproximada se ha evaluado comparándola con la solución
exacta para el caso A^oo = 0. Ello implica despreciar el lado derecho de la relación de
dispersión, hacer cero dos de los modos proporcionales a exp(fcj£) y, en su caso, añadir la
CE de perturbación junto al contactor. La Fig. 6.20 compara los modos singulares n — 1 y
169
2 para ambos modelos encontrándose que los comportamientos son muy semejantes, lo que
valida el modelo aproximado.
En la Fig. 6.21 se muestra el efecto de la carga espacial sobre los modos n = 1 a
5 de la inestabilidad para una solución estacionaria dada. Obsérvese que Re7 e disminuye
al aumentar \DOO/R y de forma mucho más rápida cuanto mayor sea n. De hecho, para
^Doo/R > 0.03 el modo más inestable es n — 1 y éste se ve poco afectado por los efectos de
carga espacial. La parte imaginaria de j e también decae con XDOO/R pero más suavemente
que Re7 e . En las Figs. 6.22 y 6.23 se muestran perfiles singulares de los modos n =1 y 2,
respectivamente, para A^oo = 0 y A^oo = 0.021, encontrándose que las diferencias son mucho
más acusadas para los perfiles del modo n = 2.
En la Fig. 6.24 se ha dibujado Tre/(u;pe + u>pc) para Neo/Nc0 ~ 0.2 encontrándose que
la inestabilidad alcanza valores máximos del orden de ( r r e ) e _ e i m a a . ~ 0.15(u;pc + cvpe), que
son similares a los obtenidos para plasmas homogéneos infinitos, Fig. 2.8.
6.6. CONCLUSIONES
En este capítulo se ha analizado la respuesta dinámica del sistema a pequeñas pertur
baciones temporales de alta frecuencia, 7e ~0(1) , y radiales en el potencial eléctrico y en
la población de confinados. Como parte de estos resultados, se ha obtenido la extensión en
orden uno de las condiciones de Langmuir y de Bohm a frecuencias electrónicas.
En el núcleo, los modos ion-electrón desaparecen pues, en este rango de frecuencias, los
iones permanecen cuasirrígidos. Para Re 7 = 0, la respuesta del plasma es combinación de
dos pares de modos: dos son modos electrón-electrón que viajan hacia el contactor (montados
sobre el haz e si neo <S nco) y que crecen en direcciones opuestas, dominando el que crece
hacia el contactor. El otro par son dos modos estacionarios. Estos cuatro modos están
relacionados con la perturbación en el contactor, las perturbaciones inducidas en la CD en el
haz e, <7ei(£¿o)' &ei(£¿o)' ^ e n *a P°blación de confinados, VCI(CDO)' (^ n frecuencias iónicas,
con fcci(l) = t>ci(l) = 0, sólo había un modo ion-electrón y uno estacionario.)
En la CD, la situación es parecida a la de frecuencias iónicas. Cuando las perturbaciones
llegan a la CD, la condición de Langmuir induce perturbaciones en el haz e, principalmente
en </ei, que afectan a la transición prevaina/CD, alterando la posición de la CD: la condición
marginal de Bohm determina la perturbación, £DI , que es muy pequeña, debido a la cua-
sirrigidez de los iones del plasma ambiente, pero no es cero. La CD actúa como un pistón
para las especies confinadas y, por tanto, su desplazamiento conlleva el movimiento de los
170
iones ambiente en la prevaina y de los electrones confinados en el núcleo. En la prevaina,
la respuesta del plasma es del mismo tipo que en frecuencias iónicas: un modo ion-electrón
ligado al desplazamiento £DI , que decae rápidamente, y un modo cuasiestacionario con ge\ ~
const, aunque ahora es ke\ 7 0. Nótese que en frecuencias iónicas era ge\ =const en prevaina
y núcleo, mientras que en frecuencias electrónicas es constante en la prevaina, pero no en el
núcleo.
El sistema desarrolla en este rango de frecuencias una inestabilidad fluida electrón-
electrón que se realimenta por el acoplamiento entre las poblaciones e y c. Esto está de
acuerdo con la teoría básica para un plasma ión-electrón-electrón infinito [ver Sec. 2.4], que
predice la aparición de una inestabilidad electrón-electrón radial en el rango, Ec. (2.30),
v¡o > niQ (t-*+3^). (6.61) \nc0 ne0 )
Esta condición se verifica para el haz de electrones del modelo A excepto quizás en la zona
próxima al contactor. Aquí hay que destacar que aunque el haz e no afecta casi a la solución
estacionaria (recuérdese que introducía unos límites de validez del modelo pero no afectaba
apenas a las actuaciones del contactor [ver Sec. 4.3]) es el causante de la inestabilidad y las
características de los modos inestables tienen una estrecha conexión con las perturbaciones
del haz e. De hecho, si la CD se sustituyese por un electrodo con ge\ — ke\ — 0, estas
inestabilidades desaparecerían. Esto muestra, además, las diferencias entre un problema
infinito y uno finito, puesto que en un dominio finito las condiciones de contorno pueden
restringir el rango de la inestabilidad y hacer que los modos inestables desaparezcan.
La esfericidad no juega un papel importante en la generación de estas inestabilidades,
como se vio en la Sec. 6.5 al comparar los resultados para un plasma homogéneo y uno inho
mogéneo, ambos finitos, a menos que la velocidad de los electrones se acerque a la condición
sónica de la especie e (vl0 = 3£eo) cerca del contactor. Relacionado con ésto, aunque falta por
investigar más, está que para (f>on y íco bajos la inestabilidad desaparece. También hay que
tener en cuenta que las modificaciones de la solución estacionaria, como el que los confinados
no sean isotermos [gc > 1], exigirían veo mayores para desarrollar la inestabilidad, Ec. (6.61).
Se ha demostrado que los efectos de carga espacial son los que limitan la tasa de cre
cimiento de la inestabilidad. De hecho, para XDOO/R >O(10~2), el modo n = 1 es el más
inestable. El máximo de la inestabilidad está de acuerdo con la teoría de plasmas homogéneos
[ver Sec. 2.4.2]
±) ~(£*Y". (6.62)
171
Obsérvese que ésta no es la inestabilidad bump-in-tail [ver Sec. 2.4.3] que requiere en media:
ne0/nc0 < (3¿ e 0 /^o)3 / 2-
En cuanto a la prevaina, no hay inestabilidad en este rango de frecuencias ya que,
aunque se incluya el haz de iones emitidos, las inestabilidades que se pueden generar son la
ión-ión y la ion-electrón.
Nótese que, aunque en el Cap. 5 se ha hablado de la la inestabilidad ion-acústica, la
inestabilidad electrón-electrón es mucho más fuerte. Aquí hay que señalar que los mismos
autores que estudian el efecto de las inestabilidades ion-acústica y Buneman [35] [37] [44] en
la operación de un contactor, no hacen mención a la inestabilidad electrón-electrón. En
particular, Gioulekas, que considera dos plasmas a contracorriente no considera posible esta
inestabilidad. La inestabilidad electrón-electrón ha sido sugerida por algunos experimental-
istas [88] como el proceso activo que subyace en la termalización del haz e en el núcleo.
172
Figuras del Cap. 6
Re <£(£, r)
1 -
0.5-
0-
- 0 . 5 -
-1» 0
7Í€DO\T
(a) ....
/2TT 1
7t^D0T
IÍÍDQT
4>{&T)
^(S,r)
H&r)
1-5 Z/&0
Figura 6.1: Prevaina. Perfiles espacio-temporales del potencial para |7e|^D0 = 1?
7 ¿ / 7 e - 100, con (a) R e 7 e = 0, [0i/0o]£+o = 0.11; (b) I m 7 e - 0, £D1 > 0; (c) I m 7 e = 0,
£m < 0. Las curvas proyección son £D(T) y 0 (£D?T)-
173
C/ÍDO
l^ell l^eoi í
1 "• 0.8
0.6|-
0.4
0.2 F
10u
C/ÍDO 10'
\Val
C/Zr* C/Zr~ 10
Figura 6.2: Prevaina e I1117 = 0. Perfiles espaciales para | 0 I (£DO) |=1> 7¿/7e
(a) 7 i^o=10 , (b) 7 Í Í D O = 5 0 y (c) 7 Í£DO=100.
100 y
Val
C/^DO
Figura 6.3: Prevaina y Re7 = 0. Perfiles espaciales para |</>I(£DO)|=1> 7¿/7e = 100 y (a)
7Í£JDO = 10 i, (b) 7¿£DO — 100 i. En línea discontinua perfil de </>i para la solución asintótica
con 7¿ = 00.
174
10 20 30 40 50 M£DO
ISel(fí)o)
10 20 30 40 50 IT¿I£DO
l^el (?£)())
10 20 30 40 50
\7Í\£DO
10 20 30 40 50 M£DO
10 20 30 40 50 \IMDO
0.5
0
vJ
°v^
0 X H _ ^
0 ÜQ
10 20 30 40 50
\1Í\€DO
Figura 6.4: Prevaina. En línea continua solución numérica para -y/me/m¿=0, 0.01 y 0.1
con Im7¿ = 0 en (a), (c), (e) y Re7¿ = 0 en (b), (d), (f) y |0i(£¿o)|—1- En línea discontinua
solución asintótica para |7¿| ^> 1.
2 4 £
Re0(?,r)
Figura 6.5: Modo &ci(l). Perfiles espacio-temporales del potencial para (a) 7e = i,
n>c\R = 0.03; (b) 7e = 10 i, TICIR = 0.05. Otros parámetros: (J)QR — 6, (/> D = 3, íco = 1,
7 i / 7 e = 100.
Re </>(£, r)
Re <£(£, T)
Figura 6.6: Modo feci(l). Perfiles espacio-temporales para 7e = 1.5 y (a) ncm < 0; (b)
ridR > 0. Otros parámetros: 0Ofl = 6, 4>ZD = 3, íc0 = 1, 7i/7e = 100.
176
0.08 0.25
| n e i |
™eO
Figura 6.7: Modo kci(l). Perfiles regulares para (1) 7e
parámetros: (fioR = 20, (p^D = 15, íc0 = 1, 7¿/7e = 100.
0.1, (2) 1, (3) 10. Otros
9el(Zpo) fccl(l) I
0.06
0.04
0.02
Figura 6.8: Modo fcci(l). Dependencia de los parámetros con 7e para Im7 e = 0. Otros
parámetros: 0Ofí = 20, </>QD = 15, íc0 = 1, 7¿/7e = 100.
177
| n e i [
Figura 6.9: Modo fcci(l). Perfiles regulares para (1) 7e = 0.1 i, (2) 7e = i, (3) 7e = 10i.
En línea discontinua perfil en un instante dado para 7e — 10 i. Otros parámetros: (poR — 20,
(¡)-D = 15, tc0 = 1, 7i/7e = 100.
1.02
fcci(l) 1.01
0.12r
0.99
0.98
I í 7 e i ( l ) | 0-2
fccl(l)
0.15
0.1
0.05
0
(c)
r^^^ 7 /
l0el(É5o)l fccl(l)
0.04
0.03
0.02
0.01
0 10 15
Im7e
Figura 6.10: Modo feci(l)- Dependencia de los parámetros con 7e para Re7 e = 0. Otros
parámetros: (fioR — 20, 0¿~D = 15, tco = 1, 7¿/7e = 100.
178
Figura 6.11: Modo fcci(l) = 0. Modos singulares n = 1,2 y 3 en el límite 7¿/7e = oo
[Re7e (línea continua) e Im7 e (discontinua)] en función de £DO- Otros parámetros: 4>QR = 10
y tc0 = 10.
5
7e(££>0-l)
3
2
1
n
~ ~ ^ ^ - ^ _ _ _
2 3 4 5 6
£DO
Figura 6.12: Modo feci(l) = 0. Comparación del primer modo singular n
7¿/7e = oo y 100. Otros parámetros: </>oR = 10 y ÍCQ = 10.
1 para
7e(£D0-l)
30 40 50
<?WAc0
Figura 6.13: Modo fcci(l) — 0. Influencia de íco y ((>OR en la frecuencia del modo
singular n = 1 [para fcci(l) — 0 con Re7 e en línea continua e Im7 e en discontinua]. En (a)
<W*c0 = 10 y £DO - 3.7157; en (b) íc0 = 10 y £DO = 3.7157; 7 i / 7 e = oo.
179
Re<t>(Z>T)
RcéíSili tcO
20>
Figura 6.14: Modo fcci(l) = 0. Perfiles singulares espacio-temporales del potencial para
(a) 7e = 0.65 + i3.7 (n=l) , (b) 7 e - 3.1 + i8.2 (n=2) y (c) 7e = 5.5 + i 12.6 (n=3). Otros
parámetros: 0Ofl — 100? ^OD = 60, íco = 10, 7¿/7e = oo.
180
ícO
' ' ^ C D
Figura 6.15: Modo fcci(l) = 0. Perfiles singulares para (1) 7e = 0.65 + i3.70 (n=l ) ,
(2) 7e = 3.10 + i 8.19 (n=2), (3) j e = 5.55 + i 12.62 (n=3). En línea discontinua perfil en
un instante dado para 7e = 3.10 + i 8.19. Otros parámetros: <POR = 10, <J>QD = 6, íco = 10,
7i/7e = oo.
Mil tcO
Figura 6.16: Modo feci(l) — 0- Perfiles singulares para n — 2 y (1) C/)QD = 6 y j e =
3.10 + i 8.19, (2) </>QD = 4 y 7e = 0.749 + i 2.034. En línea discontinua perfil en un instante
dado para j e — 0.749 + i 2.034. Otros parámetros: <\>^R — 10, íco = 10, 7i /7 e = oo.
181
Figura 6.17: Modo vci(l) — 0. Modos singulares n — 1 y 2 en el límite 7¿/7e = oo
[Re7e (línea continua) e Im7 e (discontinua)] en función de £jr>o- Otros parámetros: 4>OR = 10
y ico = 10.
Re^íLl) tcO
1 5
Figura 6.18: Modo t;ci(l) = 0. Perfiles singulares espacio-temporales del potencial para
(a) 7e = 4.78 + Í5.13; (b) 7e = 7.67 + 9.38. Otros parámetros: 0OJR = 100, (p~D = 60, tc0 = 10,
7¿/7e = oo.
182
\4>i\ tcO
\nei\
Figura 6.19: Modo vci(l) = 0. Perfiles singulares para (a) j e = 4.78+i 5.13 (n = 1) y (b)
7e = 7.67+9.38 (n = 2). Perfil en un instante dado (línea discontinua) para 7e = 4.78 + i 5.13.
Otros parámetros: ((>OR = 100, (/>Qj)/tco = 60, ÍCQ = 10, 7¿/7e = oo.
Re7e Im7e
Figura 6.20: Modo feci(l) — 0. Comparación de los modos singulares n = l y 2 para
solución exacta (línea continua) y aproximada (línea discontinua) con A^oo = 0. Otros
parámetros: (¡)QR — 100, <¡>QD = 80, tc0 — 10, 7¿/7e — 100.
183
Re7e Im7e
0.04 0.06
^Doo/R 0.04 0.06
^Doo/R
Figura 6.21: Modo fcci(l) = 0. Re7 e e Im7 e en función de XDOO/R- Otros parámetros:
<f)0R = 100, (¡>QD = 80, íc0 = 10, 7 i /7e = 100.
101 ícO
Peí |
Figura 6.22: Modo fcci(l) = 0. Perfiles singulares para el modo n = l con \D<X> = 0 (línea
discontinua) y XDOO/R = 0.021 (línea continua). Otros parámetros: 4>QR = 100, 4>QD = 80,
tc0 = 10, 7 i /7e = 100.
184
Figura 6.23: Modo kci(l) = 0. Perfiles singulares para el modo n — 2 con A^oo = 0
(línea discontinua) y XDOO/R — 0.021 (línea continua). Otros parámetros: ^OR = 100,
4>OD = 80> *c0 = 10> 7i/7e = 100.
1 re
\Wpc~\~Wpe) 0.15
0.05
0.04 0.06
^Doo/R
Figura 6.24: Modo fcci(l) = 0. Velocidad de crecimiento de los modos singulares en
función de \D<X>/R- Otros parámetros: (¡)OR = 100, <¡>^D — 80, íc0 = 10, 7i /7 e = 100.
185
Capítulo 7
MODOS OBLICUOS ESTACIONARIOS
7.1 ECUACIONES DE LOS MODOS OBLICUOS
Este capítulo y el siguiente t ra tan de la respuesta lineal del plasma frente a per turba
ciones en la solución estacionaria oblicuas o sin simetría esférica, es decir armónicos esféricos
con l ^ 0. El problema lineal de perturbaciones para cada familia de armónicos (7, í) viene
definido por las ecuaciones para las especies ¿ y e ,
-7T + —Z~2 V>al + 7a = 0, (7.1)
dkai
di + 7a^al = 0 , (7.2)
vaQ—JZ Pa<Pl ~ QataO h 7aWocl = 0, (7.3) di n a 0
las ecuaciones para las especies a y c ,
+ 7 a n a i = 0 , (7.4)
+ ü a i = 0 , (7.5)
1_
e — (£ 2n aoüai) + £(i + l ) n a 0 ^ a i di
di kocl = 7 a ^ a l , (7.6)
y las relaciones algebraicas (5.4)-(5.7) para n a i , vai y fa. La Ec. (7.6) proviene de hacer
vao=Q en (3.49) y en (3.54) y la Ec. (7.5) de sustituir (7.6) en (3.57). Aparecen ahora, por
tanto, nuevas ecuaciones para los potenciales transversales de velocidades x/)ai. Nótese que
las ecuaciones (7.1)-(7.6) no dependen de m, que solamente entraría en el problema a través
de las condiciones de contorno. (Algo equivalente sucede en un problema plano donde las
ecuaciones para los modos normales dependen sólo del módulo del vector de onda transversal;
así el índice l se relaciona con dicho módulo y m se relacionaría con la dirección de dicho
vector.) Aunque el índice í solamente toma valores naturales, será conveniente t rabajar con
él como si fuera real positivo. También, y dado que en (7.1) y (7.4) únicamente aparece el
producto l(í + 1), es útil en ocasiones trabajar con el índice modificado
L = y/i(l+l). (7.7)
Para este sistema de ecuaciones se discutirán las condiciones de contorno y las condi
ciones de salto a través de la CD. Nótese que al ser l 7 0 la CD sufre una deformación,
186
además de una variación de su posición. Para representar la solución correctamente en torno
a la CD se usarán la variable £ y las funciones / i definidas en las Ees. (5.9)-(5.10).
Este capítulo se dedica al estudio de soluciones estacionarias débilmente no radiales,
es decir soluciones con frecuencia cero, 7 = 0, para armónicos esféricos con í 7 0. Estas
representan la respuesta de equilibrio del plasma ante condiciones de contorno débilmente
no simétricas, en la emisión de plasma, por ejemplo. También pueden existir soluciones
singulares de equilibrio, es decir soluciones estacionarias sin simetría esférica con condiciones
de contorno enr = Ryr = oo totalmente radiales. Estos indicarían una "inestabilidad
estática" de la solución radial estacionaria y seguramente la transición a una inestabilidad
(dinámica) de frecuencia baja. El Cap. 8 tratará esta cuestión dentro del análisis de los
modos iónicos oblicuos, es decir, aquellos con
t¿0, 7< = 0(1), 7e = 0.
Dado que el análisis sigue las mismas pautas que en los Caps. 4 y 5, se omitirán aquellas
discusiones y puntualizaciones que hayan sido suficientemente expuestas con anterioridad.
7.2. PREVAINA
Tomando 7¿,7e = 0 en (7.1)-(7.6) y suponiendo perturbaciones nulas del plasma am
biente en £ = 00, la respuesta de las especies a y e en la prevaina viene dada por
dgel 1(1 + 1) . n (7 R* - 7 T + -& Vel = 0> (7.8)
df 1 + 3íe0 - Ug0
kel = 0, (7.10)
-T-AfriaoVax) + 1(1 + l)na0V>al = 0, (7.11)
d 0 B l + t , . 1 = O , (7.12) di
Ki = 0,
y, para el potencial eléctrico y la densidad de plasma se tiene
nei nal J v2eQ
neo n a 0 1 + «JÍeO - ^e0
187
Las ecuaciones para las especies a y e están desacopladas por ser kai = 0. Imponiendo
que la especie a no fluya hacia el núcleo se tiene uai(£¿o) = 0 y ^aiiZpo) = 0, y, en conse
cuencia,
t > a l ( O = 0 , V>al (O=0,
en toda la prevaina.
El problema se reduce a resolver las dos ecuaciones diferenciales para la especie e. Dos
son las condiciones de contorno que se imponen. La primera es que la solución esté acotada
en £ = oo. Empleando (5.17) en el sistema (7.8)-(7.9), el comportamiento asintótico de ge\
para £ » 1 se obtiene de la ecuación aproximada de segundo grado:
^ - ^ ^ e i - O , para f » 1. (7.14)
La solución general de esta ecuación resulta ser combinación de dos modos que, en orden
dominante, son proporcionales a ^~¿ y £*+1. Al suponerse perturbaciones nulas en £ = oo, el
segundo modo ha de desecharse. Con ello el comportamiento asintótico para £ ^> 1 es
/ J.\ c o o , JeO
* -2 ' * (7-15) 0 ! ~ - r i e l ^ ^ 7 4 # e l , Vcl - —ñ9eU
donde CQO es una constante libre.
Como £ = £ ¿ 0 es un punto singular de la prevaina donde 1 + 3£eo — v^0 = 0, la segunda
condición de contorno es que la solución esté acotada ahí. Para el potencial eléctrico se
tiene defio Peotoel - 2 & H / & > ( ) ) •
l + 3íeo-t;e2
0 Je¿0 ' 0i(^o)-(0i+^i^)+ = r e T e \ / S ^ r " L^ (7.16)
luego la solución está acotada si el flujo de perturbación a la entrada de la CD es nulo,
5 e i ( t í o ) = 0 e i ( t í o ) - 2 ^ = O , (7.17)
y esta es la condición marginal de Bohm estacionaria en orden uno [ver Sec. 3.5.4]. Re
solviendo la indeterminación en (7.16) y empleando (7.17) se obtiene que 0i(£¿o)> ^c . (3-75),
es nulo:
<M£DO) - 9 / 9 „ 2 — r r L + # e i ( ^ o ) - u -
Las ecuaciones del haz e se integran numéricamente partiendo de £ >> 1 con la solución
asintótica (7.15) y empleando la regularización (5.30) para alcanzar sin problemas el punto
188
singular £ = £¿ 0 . Al haber un único modo, esta integración es muy sencilla y, usando
la condición de contorno (7.17), proporciona Coo, í7ei(£¿o) y V>ei(£¿o) c o m o funciones de
£DI/£>DO- En concreto ge\{£) es monotónico (para cualquier i) de forma que #ei(£¿o) 7 0 si
y sólo si £DI 7 0. Para el caso particular l = 1 las ecuaciones admiten una solución analítica.
Con (5.37) la Ec. (7.9) puede escribirse
y usando (7.8), (7.15) y (7.17) se obtiene
< 7 e i = 2 ^ , rl>ei=ve0ZDí. (7.19)
7.2.1. Análisis asintótico para £>1
Las Ees. (7.8) y (7.9) admiten una solución asintótica de tipo WKB para \¡l+ <C
1. Teniendo en cuenta que £ = £¿0 es un punto singular de estas ecuaciones, la solución
del problema se puede identificar con el caso A.4 del Apéndice tomando como parámetro
pequeño e = \¡lm y considerando a ge\ y ¿*ipe\ como el par de variables dependientes. Para
£/£DO - 1 > l/¿* , desechando el modo no acotado, la solución es
Sel (O - c00aexp(-tm¡3),
^ e i ( 0 ^ -Coo^— exp(-€»/3),
donde CQO es una constante a determinar (proporcional a CQO), y a y 0 son funciones de £:
El potencial </>i y la densidad na\ se obtienen de (7.13). Como para £ —> oc es
la solución (7.20) recupera la solución asintótica para £ » 1, Ec. (7.15).
La solución WKB se hace singular para £ —> £¿0 . La solución para £/£DO — 1 <C 1 es
. ^ i A i ' ( z ) 0el(fl ^oAi ' (O)
C 3 A i ' ( 0 )
,2 (7-21)
189
donde ÜQ se definió en (5.34) y
Nótese que en (7.21) ya se ha impuesto la condición de Bohm, Ec. (7.17). El empalme de
(7.20) y (7.21) [ver Apéndice] relaciona Coo y £ D I :
jlí2 Ai '(0)6*)
Finalmente, de (7.21), se obtiene
£l/3^el\ t Ai(0) / 4 ^ 0 N 2 / 3
^eO í+ ~ ? D 1 Ai ' (0 )V an / ~1 .48Cm-l€=€¿0
w ± A i ' ( 0 ) V a0
Nótese que si este resultado se extiende hasta í = 1 resulta
que, comparado con la solución exacta, Ec. (7.19), indica que los errores de la solución W K B
son modestos incluso para i bajo.
7.2.2. Resultados parciales
La respuesta del plasma en la prevaina es el resultado del desplazamiento £ m de la
CD. El plasma responde compensando los flujos de perturbación transversales con los ra
diales, Ec. (7.14). Como el movimiento de los electrones es subsónico en la prevaina, a
un flujo transversal de perturbación espacialmente oscilatorio le corresponde un flujo radial
monotónico que origina una respuesta formada por un único modo estacionario ión-electron
que decrece algebraicamente hacia el exterior. La condición marginal de Bohm relaciona ese
desplazamiento de la CD con la perturbación del flujo del haz e: <7ei(£¿o) = 2 £ D I / £ D O - Es ta
condición también puede obtenerse perturbando la condición marginal de Bohm en orden
cero: j e 0 ~ 1 . 0 5 ^ 0 .
La Fig. 7.1 muestra perfiles radiales de perturbación de algunas variables en la prevaina
para diferentes i (todas las figuras se han dibujado para £ D I / £ D O = 1 ) « Se emplean en las
figuras las variables C Y h definidas en (5.9)-(5.10). El comportamiento del modo libre,
según predice el análisis W K B y confirma la Fig. 7.1 es, para £ D I / £ D O — 1,
. vel el/6 (¿ + i)y,el t\/Q
190
donde el cociente ipeif&eo representa la velocidad transversal de perturbación relativa, Ec.
(3.51). Nótese que, independientemente de como sea ¿, es n e i /n eo < ^ei/^eo ~ ge\ y? por
tanto, domina el término de velocidad relativa frente al de densidad en el flujo de perturbación
de electrones. Los gradientes radiales aumentan con los gradientes transversales: d/d£ oc í.
Por ello, al aumentar l o bien aumenta la perturbación en £¿0 o bien la perturbación se
concentra en una región en torno a la CD, de espesor aproximado: £ — £DO ~ £DO/^* •
La Fig. 7.2 muestra la evolución de i/Jeiféno) c o n ^ P a r a €DI/£DO—1, comparándose
resultados numéricos con soluciones WKB. Este dato, junto a <7ei(£¿o) = 2£DI/£DOI son los
únicos datos de la prevaina que se necesitan en la resolución del núcleo.
7.3. NÚCLEO
Las ecuaciones para la especie c son
-j¿(í2nCQVci) + 1(1 + l)ncQipcl = 0,
dtl>d ^ n (7.22) -—- + vcl = 0, v }
di kci — const,
y están desacopladas de las ecuaciones para ¿ y e . Imponiendo a la población confinada que
no fluya a través de la CD hacia la prevaina se llega a que sus perturbaciones de velocidad
son nulas en todo el núcleo, t>ci(0 = 0 !MO = o.
En cuanto a fcci, la Ec. (3.44) indica que, con ?/>ci=0, las derivadas transversales de kc\ =
tconci/nco — <t>i son nulas y, para í ^ 0, ésto implica kc\ — 0.
Para las especies ¿y ese tienen las cuatro ecuaciones diferenciales
% + ^ ± Ü , „ = 0, (7.23)
^ Í O ^ - 0 I = O , (7.24)
dgel £(£ + 1) , , -7T + "72 L ^ = °> 7-25
Ve0^T + 2 o, ( 1 - 3íe05el) = 0, (7.26)
mas kn = const,
kel = const = kel(£m) = fcci(£¿0) = °'
(7.27)
191
donde a ke\ ya se le ha impuesto la condición de salto a través de la CD. El potencial eléctrico
cumple
4>i = 9i Po
y las densidades se obtienen de
Po nc0 ni0 neo fc0 v?0 v¡0 - 3 í e 0 '
/ ka \ Tleovl0
qi = mo\9n - -2-J - 2 _M9< V ^¿0 7 Ve0 óte0
un kn - 0i — = 9n -
' e l ,
V ¿0 riio nci _ 01
nei _ vl0gei - 0i ne0 ^e0 ~ 3 í e0
(7.28)
(7.29)
(7.30)
(7.31)
7.3 .1 . Condic iones de contorno
Sustituyendo (7.28) en (7.23)-(7.26) quedan cuatro ecuaciones diferenciales para gn,
^*i> #ei y i¡>ei Que incluyen a fc¿i como parámetro. La determinación del problema (cuatro
ecuaciones diferenciales más kn y £DI ) requiere seis condiciones de contorno. Dos de ellas
son dos condiciones de salto en la CD para el haz e,
^ c l ( í ¿ 0 ) = V>el(£¿0) - ^Dl[Vco(^¿0) ~ ^o(£¿o) ]>
(7.32)
(7.33)
donde es gei(^r>o)/^Di — 2/^DO? y ^ei(£¿o)/£i>i s e °btiene de la solución de la prevaina. La
tercera condición es la condición de Langmuir
2ni0VioVii + nava + 2neove0vei + nelvl0 + Me0nel + tc0ncl + nai +
+ €DI -7¿{nioVw + ne0vlo + n3e0 + tc0nc0 + na0)
ír>o = o. (7.34)
Sustituyendo aquí n a i y v a i por (5.4)-(5.5) y eliminando kn y # Í I ( £ ¿ 0 ) con las condiciones
de salto del haz i:
gil-2 ID1
DO
i€ t_ =[fcíip°=0, ¿DO ;°°
queda la relación
fioljHsiiíGo) 2e DI
IDO
\ r 1 l^o, + — hi = o.
(7.35)
(7.36)
192
Las tres condiciones que faltan se imponen en la superficie del contactor. Si la emisión
de plasma es supersónica se fijarán los valores de <7¿i(l), kn y V>íi(l)i y si la emisión es sónica
se imponen los valores de <?¿i(l) y ^¿1(1) y la condición de solución acotada, qi{l) — 0. Para
emisión sónica, según (3.75), (¡>\N está dado por
<A uv 01(1) gj(l) p'o(iy
<á(i) 2n i0 ^eO^eO
V. ¿0
v2e0 + 9¿e0
v¡0-3te0\v?0 ' (v*0-3te0)2 ( - + )9e\
•>€=i
PW nc0 3ne0(i>eo + 3íeo) 3n¿0
t2 (V2
e0 - 3 í e 0 ) 3 V. ¿o í = l (7.37)
El ajuste entre 0uv y el valor en el contactor, 0i#, se realiza a través de una CE como la
analizada en la Sec. 5.4.
Centrándose en el caso de emisión sónica, las condiciones de contorno en la CD permiten
expresar la solución en el núcleo como suma de tres modos proporcionales a ^¿1(^0) ' *i> y
£01, e imponiendo seguidamente las condiciones en £ = 1 se obtiene la relación
<M£DO)"
kn B <Mi).
(7.38)
con A y B de tamaños 3 x 3 y 3 x 2, respectivamente. La existencia de modos propios
estacionarios del sistema está ligada a la existencia de soluciones l G N del problema de
autovalores
D = detA(£;ji0,(t>oR,tco) = 0. (7.39)
7.3.2. Análisis asintótico para £^$>1 y <f>0i£%>l
Con el tratamiento conjunto de las cuatro ecuaciones (7.23)-(7.26) por el método WKB
para l 3> 1 no se obtienen expresiones manejables. Sin embargo, si (J>OR > 1 es posible
desacoplar parcialmente dichas ecuaciones. Se añadirá además la condición 3teo <C i^o ( s ub-
modelo A') para simplificar algo las expresiones. Así, si el núcleo no es muy pequeño, la
solución estacionaria permite escribir
v2e0 ~ 20o > 1,
1 dve0
VeO d£
<t>0R ~ 00 tcO
1
21n£ + O[ln(ln0], (7.40)
193
Estimando de (7.28) que </>i ~ tc0gn y de (7.33) que Vél ico) - €Diveo(€DO), de la
ecuación diferencial para i\)e\ (7.26) se obtiene
ni ±
(7.41)
pues la integral que aparece es de orden íco/^ofi <S 1 respecto al otro sumando. Sustituyendo
i¡)e\ en la ecuación diferencial para ge\ (7.25) y teniendo en cuenta (7.40) resulta
*.<í> = í m [ r - + w + i ) 2 ! ! Í S í i ( í - í í - ) (7.42)
Por otra parte, sustituyendo (7.28) en (7.23) y (7.24) y despreciando efectos térmicos
de e, las ecuaciones para la especie i se pueden escribir como
1 dgn í^n _ i* d£ £2vi0
<% niokn
— ™¿0Í7¿1 — o ne09el-
(7.43)
La solución general de estas ecuaciones es combinación lineal de tres modos: dos son modos
de escala corta: A£ ~ í~x, y el tercero es de escala larga: A£ ~ 1, y corresponde a la solución
particular de estas ecuaciones que, para 1+ ^> 1, es
/ M ka ne0
9iiP(£) - -Y + Sel, VÍO ni0
€2vi0 dgilp V>*lp(0 ^ ^ ¿e
En tpnp se ha retenido el término en ¿~2 porque, como se verá más adelante, es necesario
para poder imponer todas las condiciones de contorno.
La solución homogénea se obtiene por el método WKB identificando el sistema (7.43)
con el caso A.4 del Apéndice. Añadiendo a la solución WKB la particular se tiene que, para
^ - 1 > l/¿* , la solución es
ffii(0 - " Cico8lm/3-C28enl.p + 0<ip(£)»
¿*a Cx sen ¿*l3 + C2 eos 4/3 + VaP(£),
(7.44)
con
£(0 = _ r d£_ fñio UiO _7T_
Po 46, ' ^-{^) 1/4
(7.45)
194
Teniendo en cuenta que para £ -> 1 las expresiones (7.44) se hacen singulares y que
po ^ c0(£ - 1)1 / 2 , c0 = - 2 ( g 0 ( l H ( l ) ) , para £ - • 1,
donde p0( l ) y <?o(l) se definieron en (5.76)-(5.77), la solución, para £ - 1 <C 1, es
7T
Olí:
_£Í_ ,5/6
1/6 Ci Ai'(z) + CaBi'(z) + -^Ki'(z)} + <?ilp(l),
&o
con
d A i ( z ) + C2Bi(z) + ^ H i ( 2 )
1/3
(7.46)
\Wioc5/€ = 1
7TVÍO(1)
(7.47)
*-^[*-»"M(¿)+*<(S))L-Imponiendo los valores de gn y t/to en la superficie del contactor y la condición sónica,
qi(l) = 0, que viene a decir que gn(l) = gnp(l), se obtiene
Ci = 4 / 6 ^ i ( l ) 2ciAi(0) '
C2 = /5 / f l lMl) 260 2\Z3c! Ai(0) 3¿V2'
, r 2 / ™e0 \1 «ti — \vi0[9il 9el)
L V n i 0 /J£=i
(7.48)
con ^ei(l) dado por (7.42). La respuesta de los iones es combinación de cuatro modos de
pendientes de <7¿i(l), V>¿i(l) y £m? pero éste último se determina imponiendo la condición
de Langmuir (7.36). Dos de los modos son modos ion-electrón oscilatorios. El tercer modo,
proporcional a /c¿i, afecta únicamente a los iones, en concreto a su velocidad vn y al potencial
transversal ^¿1, siendo prácticamente nulas las demás perturbaciones, incluidas las de poten
cial eléctrico <j>\. El cuarto modo, proporcional a ge\, afecta a las densidades rtn ~ ne\ ~ gei>
siendo nulas las demás perturbaciones de iones y de potencial eléctrico. La perturbación ge\
es proporcional al desplazamiento de la CD, £xn, que produce también una perturbación i\)e\
que se mantiene constante en el núcleo.
Las posibles soluciones singulares corresponden a gu(l) — i¡Jn(l) — 0. Sustituyendo 1 /9
estas condiciones en (7.47) y (7.48) resulta: C\ — 0, kn oc gei(l), tJ C<¿ oc 60 oc <?ei(l)
y el cociente kn/bo depende únicamente de la solución de orden cero. Así, diviendo (7.36)
195
por 6o? despreciando los términos £m/&o ~ ^Di¡9ei{í) ~ ^ 2 , Ec. (7.42), y empleando para
9ÍII(€DO) ^a s°lu c íón (7.46), se obtiene la relación de dispersión aproximada,
- — sen[¿*p(l;m)} = — í — — ) . (7.49) ¿t / 2 6o 2 a ( ^ 0 K o U D O ) Vv<o(^So) ^ O ( £ D O ) ;
Cuando es £ S> 1 se pueden emplear las aproximaciones
. 2 - . « W J L J L \ - . . ^ i - ^ n e 0 _ JeO / 2 l n £ < o ~ 2 ( 0 o f í - 0 ) ~ 4 í c O l n £ , ™Í0 jiO V (<f>0R/tco)'
„<« = * «o = / ^ = ^ , (7.50)
con lo que se simplifica la relación de dispersión (7.49):
- ^ s e n p . v ^ S a = fe* / J g g - ( * - 1 ) . (7.51)
7.4. RESULTADOS Y DISCUSIÓN
7.4.1. Soluciones regulares
Las Figs. 7.3 y 7.4 muestran la evolución espacial del perfil completo de potencial:
¿(£,0) = ¿o(O + 0i(C,0), (7-52)
para distintos ¿, cuando hay falta de simetría en la intensidad, gn(l), o en la dirección, 1/^1(1),
de la emisión de plasma; la dependencia con el otro ángulo esférico, <¿>, no se incluye. De la
solución asintótica obtenida en la sección anterior (que, aunque no se muestra gráficamente, se
comprueba que recupera la solución numérica) se deduce que en la respuesta de los electrones
domina su respuesta propia, aumentando las perturbaciones ge\ y i¡>ei/£ hacia el interior del
núcleo como £ _ 1 . La respuesta de los iones es combinación de dos modos ion-electrón, con
sistentes en oscilaciones espaciales radiales de similar longitud de onda que las transversales
A£ ~ £~x, un modo monotónico iónico, que es un reajuste de la condición de salida sónica
de los iones del contactor, y un modo ion-electrón que es un reajuste de la cuasineutralidad:
m\ ~ ne\. Las Figs. 7.5 y 7.7 muestran la evolución radial de los perfiles en el núcleo para
dos tipos de perturbaciones y distintos L El carácter oscilatorio de la respuesta propia radial
196
de los iones se debe al carácter supersónico del haz: po > 0 en (7.45), que convierte oscila
ciones transversales en oscilaciones radiales. Estas son más fuertes en el modo con ^>¿i(l) ^ 0.
Por su parte la respuesta del haz e también debería presentar oscilaciones por ser este haz
supersónico, pero la longitud de onda que les corresponde es muy grande ~ veo/£*- Otros
aspectos a destacar de estas soluciones son:
(i) Debido al carácter fuertemente supersónico del movimiento de iones y electrones, el
tamaño relativo de las perturbaciones de velocidad radial y densidad, es
vai <f>i ^ n<xi ~ - o - <C ~ pa l -
voc0 va0 n a 0
(ii) Las perturbaciones de flujo y densidad de los iones están dominadas por las pertur
baciones de flujo del haz e:
nn ~ ni0ga ~ ni0gilp ~ ne0gei ~ nel.
Nótese que, aunque en orden cero sea neo <C n¿o, sus perturbaciones son del mismo orden.
Estas decrecen hacia la CD en la escala £ - 1 .
(iii) La velocidad trasversal de los iones, VW£ decrece al aumentar i mientras que gn
parece verse poco afectado por L En el potencial transversal, T/^I, domina la respuesta propia
de los iones, radialmente oscilatoria, siendo para gn(l) ^ 0,
~f ~ ~gil(1^3/2.1/2Seil(^^^)^
y, para iftnil) ^ 0, V>íi/£ decrece con l como ¿~x.
(iv) El potencial, 0i sigue a las perturbaciones de los iones, principalmente al potencial
transversal, t/^i,
, ¿ío2 ¿*^i 0i ~-
r^i
aunque el decaimiento de su amplitud con £ es más suave. Nótese que no se ha incluido en
los perfiles la CE de perturbación que se forma en torno al contactor.
(v) Las Figs. 7.6 y 7.8 muestran la deformación de la CD, £DI/£DO> en función de
£DO para varios L Las discontinuidades que presentan las curvas se deben a la existencia de
soluciones singulares. (En la discusión de estas soluciones regulares se supone implícitamente
que no se está en la vecindad de dichas discontinuidades.) Cuando £DO -^ 1? £DI/£JDO —>
<7¿i(l)/2, y cuando aumenta £DQ la perturbación relativa decrece. Este comportamiento se
197
invierte en las zonas próximas a las singularidades. La relación entre el flujo de perturbación
de electrones que llega al contactor y la perturbación de la posición de la CD es:
9ei(l) ~ tltm.
Así, fijada la perturbación en la superficie del contactor, bien <7a(l), bien ^¿i(l) , al aumentar
A £DI decrece fuertemente, como muestran las Figs. 7.6 y 7.8, mientras que la dependencia
de <7ei(l) con £ es mucho menor, como muestran también las Figs. 7.5 y 7.7. Nótese que las
perturbaciones de electrones son las más fuertes, y que su crecimiento hacia el interior del
núcleo es efecto de la convergencia esférica, Ec. (7.42), principalmente.
7.4.2. Soluciones singulares
La relación de dispersión (7.39) determina, para cada estado estacionario simétrico:
(jiO,(froR)tco)i los posibles modos propios estacionarios £ — £(jiOi<f>oR,tco). Al ser £ G N
solamente algunas soluciones estacionarias admiten modos propios estacionarios. La Fig. 7.9
muestra estas soluciones en el plano de parámetros (0oR-> CDO) para distintos £. En esta figura
destacan los siguientes aspectos:
(i) Fijado un valor de i hay distintas ramas inestables numeradas como n = 1, 2, 3,.. . ,
hacia £DO creciente.
(ii) Al aumentar £ la separación entre ramas es menor y, por tanto, hay más soluciones
estacionarias inestables.
(iii) Para £ fijo, la distancia entre ramas aumenta para £DO creciente.
(iv) Fijado £DO> Ia relación de dispersión (7.39) proporciona pares de la forma (•£, n).
(v) El efecto de 4>OR es pequeño, afectando muy poco a la posición y número de las
singularidades, como indica la verticalidad de las ramas. Esto es así siempre y cuando estos
parámetros no se aproximen al límite de validez del modelo debido a la inclusión de teQ [ver
Sec. 4.3]. El efecto de íco en las singularidades no se ha incluido por ser poco significativo
mientras sea tco =0(1) .
Para entender la relación £((/>oR^tcO^Do) se puede recurrir a la forma aproximada de
la relación de dispersión, Ec. (7.51). Nótese que el segundo término de la igualdad depende
únicamente de la solución de orden cero luego, fijada ésta, se obtienen los valores de £* y sólo
en caso de ser £+ G N se trata de un modo singular. La Ec. (7.51) indica que la separación entre
ramas de puntos singulares disminuye al aumentar £ como (í*)"1 , en primera aproximación.
Además, para £ grandes el primer término de la igualdad (7.51) tiende a cero, de manera que,
198
fijada la solución de orden cero, habrá un í máximo, imaxi P o r encima del cuál no existan
modos inestables.
La Fig. 7.10 muestra la evolución espacial del perfil completo de potencial, Ec. (7.52),
para l — 5 con n = 1 y 2. Nótese que en la respuesta del potencial en el núcleo domina la
respuesta oscilatoria de los modos ion-electrón. Esto se observa más claramente en la Fig.
7.11, que muestra perfiles radiales singulares con t — 5 correspondientes a las ramas n — 2 y
n = 3 y en la Fig. 7.12, donde se han comparado los perfiles singulares con l — 5 y í = 8 para
tamaños de núcleo próximos. Como en los perfiles singulares se debe fijar arbitrariamente el
valor de £¿)i> o de cualquier otra magnitud proporcional a esta, se ha tomado ge\{X)—\ en
las Figs. 7.11 y 7.12. Estas figuras indican que el número n está directamente relacionado
con el número de oscilaciones radiales de la solución en el núcleo. Las perturbaciones más
fuertes son las del haz e, que aumentan hacia el interior por efecto de convergencia esférica,
asociado a la presencia de gradientes transversales.
7.5. CONCLUSIONES
En este capítulo se ha desarrollado un modelo para el estudio de soluciones estacionarias
sometidas a perturbaciones transversales en las condiciones en la superficie del contactor
(intensidad y dirección de emisión y potencial). La perturbación en el núcleo es el resultado
conjunto del acoplamiento entre las poblaciones i, e y de la compensación entre los flujos de
perturbación radiales y transversales, de manera que una perturbación ^ i ( l ) , por ejemplo,
provoca en el núcleo
(perturb. gn(l) oblicua) 4= (perturb. de i oblicua hacia el interior)
(pertub. de i oblicua hacia el exterior) => (perturb. de e oblicua hacia el interior)
La respuesta de iones y electrones es muy diferente en magnitud y forma. La perturbación de
los iones es combinación de cuatro modos: dos modos ion-electrón oscilatorios radialmente,
un tercer modo monotónico ion-electrón forzado por la perturbación ge\, que es un ajuste
de la cuasineutralidad, y un cuarto modo monotónico iónico que sólo afecta a la velocidad
(radial y transversal) de los iones. En la perturbación de los electrones, que es la más fuerte
en el núcleo, domina completamente su respuesta propia, que crece monotónicamente hacia
el interior del núcleo. Aquí hay que señalar que pequeñas perturbaciones en la emisión
de iones pueden producir no uniformidades mucho mayores en la corriente recogida, <7ei(l)>
que podrían modificar la estructura aproximadamente esférica de la estructura de plasma.
199
En la CD, las perturbaciones de ge\ producen un desplazamiento y un rizado de ésta. La
perturbación de la CD disminuye al aumentar los gradientes transversales y el tamaño del
núcleo. En la prevaina, la respuesta consta de un único modo ion-electrón monotónico.
El sistema muestra además la existencia de valores críticos de los parámetros de orden
cero para los cuales la solución se hace singular. Estas soluciones singulares aparecen nece
sariamente asociadas a la presencia de gradientes transversales l •=£ 0, ya que para í — 0
el sistema carece de singularidades. Sin embargo, si los gradientes transversales son muy
fuertes, i > imaxi no aparecen estas singularidades. La presencia del haz e en el núcleo es
fundamental para la generación de estos modos propios: si se sustituye la CD por un elec
trodo fijo con gei = kei — i¡)e\ — 0 en £ = £¿0 , éstos desaparecen. (En el Cap. 8 se verá
que estos modos autoexcitados corresponden al límite T = 0 de los modos inestables que
desarrolla el plasma en el rango de frecuencias iónicas.) La posible existencia de modos pro
pios estacionarios también está contemplada en la teoría básica para un plasma homogéneo
ión-electrón-electrón: haciendo u = 0 en la relación de dispersión (2.25) se obtiene el ángulo
0 de propagación de los modos propios estacionarios:
eos 9 - eos 6 1H 7) K po 9 H ñ * = 0, (7.53) V vío^toncO v¿0 nc0J v¿ovioncO
donde se han despreciando los efectos de carga espacial. Para un flujo longitudinal, É? = 0
(^—0), la Ec. (7.53) es la condición para plasma sónico: po — 0 y el que sea el plasma
supersónico impide su cumplimiento en algún punto interior del núcleo. Para 6 ^ 0 esta
condición podría darse (o no) en algún punto interior del núcleo permitiendo el desarrollo de
los modos propios. El ángulo 6 se relaciona con pares (¿, n) y, mientras 6 G M, i sólo puede
tomar valores discretos, £ EN.
El modelo, al ser estacionario, es válido tanto para contactores anódicos como catódicos
intercambiando los papeles de electrones e iones. Por tanto, estos modos propios supondrían
también el punto de partida para el estudio de las inestabilidades presentes en la operación
de un contactor catódico.
Figuras del Cap. 7
200
(1+1)^1 £l«eo|
c/e^o Figura 7.1: Prevaina. Perfiles estacionarios para distintos í con £DI/£DO—1-
^ci(So)
Figura 7.2: Prevaina. ^ei(£¿o) en función de l para £DI/£DO—1- En línea discontinua
solución asintótica para í^> 1.
201
<KM) e = o
104
(9 = TT/2
3 3
<!>(£, 0) 0 = 0
104
1.5
0
-0.5
3 3
gn(R,0) (c)
0 / / \ \
^ - " " T
1.5
-0.5
6> = 7 T / 2
9n(R,0) (d)
0 // Y
5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
Figura 7.3: Modo gn{l) — 1, ^ i i ( l ) = 0. Perfiles espaciales para (a) l — 3, (b) l — 5.
También se muestra la forma de la perturbación gn(R,6) para (c) l — 3 y (d) l = 5. Otros
parámetros: 0OÍ* = 10, (¡>QD = 7, fco = 1.
202
<t>{U) 104
0 = 0 <9 = T T / 2
4 4
<¡>{W) e = o
104
3 3 0.2
VilW*) 0.15
<9 = T T / 2
Figura 7.4: Modo #ti(l) = 0, ^ t i ( l ) = 1- Perfiles espaciales para (a) l = 3, (b) i — 5.
También se muestra la perturbación ipn{R,0) para (c) £ — 3 y (d) i — 5. Otros parámetros:
<Í>OR = 1 0 , (¡>QD = 7 , tc0 = 1.
203
Figura 7.5: Modo gn(l) = 1, ipn{l) — 0. Perfiles radiales para t — 3 y l — 8. Otros
parámetros: 0ofí/ícO = 50, (pQD/tc0 = 44 y íc0 = 10.
nía DI €DO
3 \ 'I (a)
V ' i '
i, ------ L r - J i, 3 I ~ V - Í 1 , /
10u 10' 10' 10 4DO ,W 'w ,w
£DO
Figura 7.6: Modo gn(l) = 1, ^¿i(l) = 0. Dibuja ¿*2€DI/€DO en función de £jr>0 para
(a) ¿ = 1,3 y (b) £ = 5. Otros parámetros: (froii/tco = 50 y íco = 10.
204
0
-1
I Y ^ 3 ^---^__ CD | '
9el
na
Él. tC0
ili> el
£PeO|
Figura 7.7: Modo gn(l) = 0, -0*i(l)/¿ = 1. Perfiles radiales para l = 3 y i = 8. Otros
parámetros: (f>oR/tco = 50, </>QD/tcQ = 44 y £c0 = 10.
-5
\ \
\3 \
1 \ .
i i
\
\ \
í: "i i1"
1 NH \ Al
\ .H \H
1 1 M
o ~
10u 10'
i i ( bM i \ *
i \ !|
i \ K
, \ 'v - J \ i
1 ^ i 1 1 1
\ i . '
1Cf 10u 10' 10¿
£l>0 ¿ÍD0
Figura 7.8: Modo gn{l) = 0, £^n{l) — 1. Dibuja £*2£DI/€DO en función de £DO para
(a) l = 1,3 y (b) £ = 5. Otros parámetros: (f)oR/tco — 50 y tco = 10.
205
<t>OR tcO
!(b)
n=i
10 10 c 10 C.D0
10
80
60
40
20 2 „~0
: |
n=\
|(c)
10 c 10' 10" C,DO
101 c 102
£DO
Figura 7.9: Soluciones singulares para el problema tridimensional estacionario en el
plano ((POR/ÍCO^DO) con (a) 1=2, (b) l = 3 y (c) ¿ =5.
4>(Z,0) 0 = 0 e = n/2
<M£,0)
8 8
Figura 7.10: Perfiles singulares espaciales para l = 5 y (a) n = 1, (b) n — 2. Otros
parámetros: (/>OH/ÍCO = 20 y íco = 10.
206
/• 1U 1U 1U /- 10
Figura 7.11: Perfiles singulares radiales para los modos n = 2 y 3 d e ¿ = 5 con # e i ( l) = 1
y 0 - = 45.333 [n = 2] y </>~D = 40.6009 [n = 3]. Otros parámetros: 0Ofl/*cO = 50, íc0 = 10.
207
-0.1
-0.2
-0.1
Figura 7.12: Perfiles singulares para t — 5 y í = 8 con p e i( l) =
<PQD = 44.8400. Otros parámetros: 4>QR/ÍCQ — 50, ÍCQ = 10.
209
Capítulo 8
MODOS OBLICUOS IÓNICOS
8.1. INTRODUCCIÓN
En este capítulo se estudia la respuesta dinámica lineal del plasma sometido a perturba
ciones oblicuas (i / 0) no estacionarias en el rango de frecuencias iónicas: 7¿ = 0 ( 1 ) , 7 e < l .
Al igual que en el Cap. 5, se tomará el límite j e = 0 en las ecuaciones de perturbación
(7.1)-(7.6), y se analizará tanto la respuesta a perturbaciones en la emisión de plasma por
el contactor como posibles modos oblicuos de inestabilidad. En este sentido los Caps. 5 y
7 han mostrado que (a) no existen modos singulares con 7¿=0(1) y l — 0, (b) sí existen
modos singulares con 7¿ = 0 y í > 1. En lo que sigue la discusión de las ecuaciones y de sus
condiciones de contorno se ha abreviado en lo posible pues la mayoría de los argumentos ya
han sido expuestos en los Caps. 5 y 7.
8.2. PREVAINA
Suponiendo perturbaciones nulas en £ = oo, las ecuaciones de perturbación del plasma
ambiente quedan
dgel ¿(£+1) . n -JT" + -¿i V'el = 0,
dlpel (8.1)
di + «el = 0,
1 d 2 N , t{t + l)_L _ nai :(£ n-eOVal) H ^ Ipal + li = 0 ,
£2ne0 d£ £¿ ne0
dipai (8.2)
^ + Val = 0,
junto a
y siendo
keX = 0, A;ai = 7¿t/>ai, (8.3)
nei nai _ kai - Ve0gei
neo neo 1 + 3teo — v\Q
Vel _ (1 + 3¿eo)ffel - -fjlpgi
Ve0 (1 + 3íe0 - VIQ)
El potencial eléctrico de perturbación es
(8.4)
, = vlo9e\ ~ {vio ~ 3¿eo)fcql , , 91 1 + 3í e 0 -Vio '
210
Las expresiones para densidad, velocidad y potencial de perturbación son independientes de
l y coinciden con (5.15)-(5.16).
Las Ees. (8.1)-(8.2) pueden escribirse como un par de ecuaciones diferenciales de se
gundo grado,
Je0 eVeodi VS (% ) ? l + 3íe0
ene0 de V ¿f / V £2 1 + 3íeo - v Je0
i2A + l + Q , 2 ^ 1 = 0, (8.7)
que, a diferencia del caso 7¿ = 0 [ver Sec. 7.2], no están desacopladas pues la especie e influye
sobre la dinámica de la especie a. Las soluciones de dichas ecuaciones serán combinación de
cuatro modos independientes.
Para £ > 1, un par de modos se obtiene despreciando el término con kai en la Ec. (8.6)
y, por tanto, desacoplando esta ecuación de (8.7). Tomando las aproximaciones debidas para
el resto de los términos, dichos modos son de la forma ge\ ~ ^~¿ y ge\ ~ £¿Jrl, en orden
dominante. Quedándose únicamente con el primero e introduciéndolo en la Ec. (8.7) resulta
kai ~ £-^+4^> que justifica la simplificación hecha en (8.6). El segundo par de soluciones
independientes de (8.6)-(8.7) se obtiene despreciando el término con ge\ en (8.7), que así
queda desacoplada de (8.6). Esto proporciona dos modos de la forma ka\ ~ £ _ 1 exp(—7»£/2)
y kai ~ £ - 1 exp(7¿£/2), y solamente el primero es evanescente para Re7¿ > 0. Para dicho
modo se tiene ge\ ~ £ - 3 exp(—7¿£/2) que valida el procedimiento seguido. Eliminando los
dos modos explosivos, la solución para £ S> 1 es
Coo _ 1 ( 1 + 1 ) £1 a~ 7 2£3 9ei ^ -77- -Qoo , 2 ^ e x p ( - y £ J ,
u°i - c°° 7.^+5 + ^r exP ( - y t y (8-8) •2
7 cooJe0 , aoo / 7¿ >\
^i--^+r + y e x p ( - ^ J ' , Cooj 3aoo / 7¿ \
donde a^ y CQO son constantes libres. La solución en la prevaina aparece nuevamente como
suma de un modo estacionario ligado a la especie e y un modo ión-electrón de origen en la
211
especie a. Para £ — O esta solución recupera las expresiones (5.22) y, en particular ge\ —
Coo = const. Para 7» —> 0 es de esperar que a^ —> 0 (y que CQO 7 0) y desaparezca el
modo ión-electrón, pero aún así, va\ y ka\ en (8.8) no recuperan la solución estacionaria
Val — kai = 0 obtenida en la Sec. 7.2. Esto se debe a que en (8.7) se despreció el término
£(£ + l ) /£ 2 frente a 7?/4, y ésto es válido mientras sea £ ^> £/\ji\. Por tanto, cuando 7¿ -> 0
(y ¿ 7 0) la solución (8.8) para vai y ka\ ha de sustituirse por
7i(¿ + 2) _JM£+_f^_ Ooo (_j[iA Val - Coo + l } ^ + 3 + ^ exp ^ 2 S) .,
*o 1 - Co° 4¿ (¿+ i )e € + 2 1 e x p V 2 V"
Las condiciones en el borde exterior de la CD son análogas a las de los modos radiales
de la Sec. 5.2. Primero, que el flujo de iones ambiente a través de la CD sea nulo,
Val(££o) - 7 ¿ É D I = 0 , (8-9)
y segundo, que la solución esté acotada en £ = £¿. Como la expresión (5.25) para </>i(£#0)
sigue siendo válida para los modos oblicuos, se debe exigir
v¡0(gel-2^-)-kal\ = 0, (8.10) 4r>o J ¿So
que es la condición marginal de Bohm en orden uno para frecuencias iónicas. El potencial
eléctrico 0i(£¿o) s e obtiene de (5.28).
La integración de las ecuaciones partiendo desde algún £ 3> 1 con (8.8) hasta la CD e
imponiendo (8.9)-(8.10) proporcionan una relación
J±p ac - R ^D1
donde las matrices Ap, de 2 x 2, y B p , de 2 x 1, dependen de 7¿£jr>o y Respecto a las
dificultades de la integración numérica se pueden repetir aquí las consideraciones hechas para
el caso £ = 0 en la Sec. 5.2.2. El método empleado es el mismo, pero la integración es más
complicada porque hay que partir con tres modos libres (para £ — 0 eran dos) desde £¿ 0
proporcionales a £ei(£¿0), V>ei(£¿o) Y €DU y *>0i(£¿o) y fcai(f£0) s e °b t ienen en función de
éstos empleando (8.9)-(8.10). Dicha integración muestra que Ap es regular para todos los
modos de perturbación de manera que la solución de la prevaina determina las relaciones
£ei(£¿0)/£m, ^i(£¿o)/&>i, fcai(£¿0)/£m,
212
necesarias para resolver el problema del núcleo.
8,2.1. Análisis as intót ico p a r a 7?££>0+¿(¿+l)^>l
Las ecuaciones (8.6)-(8.7) admiten una solución asintótica de tipo WKB (desarrollada
en la Sec. A.5 del Apéndice) donde cada variable / i evoluciona según
/ I ( 0 ~ / I ( 0 « P H 8 ( 0 1 ,
siendo
<#/# ~ yjlUlo+%.
De las cuatro soluciones para /3(£), las dos que corresponden a modos que se propagan hacia
£ = oo son ^ .. ,* ^ /£2 + ( 1 + 3 í e o ) ¿ 2 / 7 2 1=71 4TV-T + 3íeo-üe
2o ' (8-11)
Para cada modo, j = 1,2, las funciones amplitud de cada una de las variables verifican las
relaciones T £ VeO o, -
V>el = -p-Pj9el,
1iVal = P'jkal (8.12)
9e\ = Kl, £2tf'.2
l + 3 í e O - ( l + 3 í e 0 - ^ o ) - ^ -
donde /?'• = d/3j/d£ (j = 1,2). La última relación muestra el grado de acoplamiento entre las
ecuaciones (8.6) y (8.7). Sustituyendo füf en (8.12) se obtiene
liÍ 9el = -¿.fcal» SÍ j = 1,
Ve09el=kai, S Í j = 2.
El acoplamiento entre los modos es fuerte para £ ~ t*/~ii- Fuera de dicha región es posible
obtener aproximaciones analíticas de los mismos. Se distinguen así los dos rangos siguientes
de parámetros.
8.2.1.1. Caso i < |7¿|£r>0
En este caso no hay acoplamiento fuerte entre los modos en ningún punto de la prevaina.
Identificando en la Sec A.5 del Apéndice la función / con fcai para el modo j = 1, y con ge\
213
para el modo j = 2, resulta verificarse la desigualdad (A.44) y las funciones de amplitud de
cada uno de los modos se calculan empleando apropiadamente (A.45). Desechando los modos
no acotados en £ = oo, la solución es
kal ~ -aoo7?Q;exp(-/3i) + c^v^ lm y/£ne0,
Val - 7¿ / n x , - t* — -Cloo— exp(-/5i) +Coo— Ve0£
( ¿* + 1 ) \ /£ ne0,
¿l (8.13) 9e\ ^ aoo-|Qexp(-/3i) + Cooi * V^ne 0 ,
2 ~
1>el ~ - á ^ exp( -&) + ^ « e o r ( í ' _ 1 ) V 5 ^ ,
donde a^ y CQQ son constantes a determinar (proporcionales a a^ y Coo respectivamente),
/?i(£) está dado por (8.11) y
2 \ i / 4
*» = ( ^ r á K ! ) • ( 8 - 1 4» Esta solución incluye el caso £ = 0 y, al igual que entonces, la solución es combinación lineal
de un modo electrónico estacionario, correspondiente a /?2, y un modo de tipo ion-electrón,
correspondiente a (3\. Para £ » 1 es
a(£) T7T7> Pi ~ ^ " U ! ~ 1/2/. ' ^ 2 s V >v2P2
7* É J V 7 ^
y la solución (8.13) recupera el comportamiento sintótico (8.8). Se ha mantenido aquí el
término de orden l\/yt e n AL para mostrar el efecto de los gradientes transversales en la
velocidad de las ondas ion-acústicas.
La solución (8.13) se hace singular para £ —» £¿0 . Para £/£DO — 1 <C 1 la solución es
(27 i^o) 1 / 3
+ ^ o ^ o t ó * ( l - {2af¿f^°is G i » ) V ^ o n e o í ^ o ) ,
521 c ifr Ai(z) - CooGS- V3 l! , e 0 (! ¿° | ! ' y/íconeo((;+Do) Gi(z), (8.15)
Ue0 a 0 ( 2 7 Í ^ D O ) 1 / 3
3*1 * - * J L » ^ B ^ S M'^ + ^ ^ o V ^ n e o ( e ¿ o ) , ( 7 i ^ o ) 2 ( 27 i ^o ) ]
^e l ~ - ^ ^ O l Ai(z) + ^ ^ ( e í o í G ^ ^ V ^ o n e o í ^ o ) , 7i V ' ^
214
con
a¿ / 3 HDO >
Empalmando las soluciones cercana y lejana, se relacionan E\ y á^:
_ l^ní^JI1/2^73
2^ (2^ 0 ) 1 / 6 7 l2 / 3
Imponiendo las condiciones de contorno (8.9)-(8.10) y guardando sólo los términos dominantes
para JÍ£DO > t{£ + 1), es
E ^liÍDQ £ p i 1 _ 4Ai(0)|üeo(eío)ieiw'
- = y/3 (2ao7ieDo)4/3 & 0 ¿m
{ + . V3 (2ao7^o)4/3 fo ( 8 1 6 ) & 1 ^ ° ; " 8 7 r 4 A i ( 0 ) | t ; e o ( t ó o ) l 4 ^ '
+ _ V3 (2ao7i)4/3¿ /o3 foi V « U W 8 7 r / - 4Ai(0)|Ve0(^+0)l3 &>o'
+ _ y/3 (2ao7^£)o)4/3 £ m
Estas expresiones son la extensión para £ ^ 0 de las obtenidas en la Sec. 5.2.3 para í — 0.
En el límite 7¿ —• oo, los iones prácticamente no responden:
ttal> Vai ^ 0, kai ~ 01 ~ ^ 0 5el ,
y las ecuaciones cuasiestacionarias de e se reducen a
d£ £¿veo
^ T + ^ e O P e l - O . (8.17)
Si además se supone l 3> 1, empleando un análisis WKB se obtiene: 111
t*1>el „, /^eo(£¿ 0 ) \ &l(£p0) *««0 ~ 5 e l ~ V "e0 >/ ( í / ^ 0 ) £ * + 1 / 2 '
y en £ = £¿0, teniendo en cuenta que es,
0ei(tóo) = O.57O3¿i(£+o),
[ver Ec. (5.28)], resulta
W f ^ c 0.880!(&,). (8.18)
215
8.2.1.2. Caso i > |7¿|£r>o
En este caso hay acoplamiento fuerte en torno a la región £ ~ i*/"fi- Entonces, para
£ ^> ¿*/7i la solución sigue siendo (8.13), y para £E>0 < £ <C ¿*/ji la solución se obtiene
identificando en la Sec A.5 del Apéndice la función / con gei, para el modo j — 1, y con kai,
para el modo j = 2, y es:
kal ~ £3ne0 ^ -a 0 0 7?aexp(- / 5i) + Coot;*0£~'* V^n e 0 ) >
— ^ V o f5 0 0 ^exp( - /3 1 ) + ¿ 0 0 ^ t ; e o r { f * + 1 ) y ^ ) , Ved \ a 7¿ )
/. e , \ (8-i9) #ei ^£3neo í óoo7|Q;exp(-/5i)+ c 0 0 £ ~ ^ v / ^ o ] ,
/MO y a(£) siguen dados por (8.11) y (8.14) y, para £00 <S £ <C ¿*/7¿ admiten las aproxi
maciones:
Nótese que que los dos modos tienen el mismo carácter en esta región: /3i ~ fa- Las soluciones
(8.19) y (8.13) empalmarán en torno a £ ~ £*/7í-
El comportamiento de la solución depende de arg7¿. Para Re7¿ = 0 el radicando de /3i
en la Ec. (8.11) cambia de signo en el punto £m = y/1 + 3íeo¿*/|7¿| ~ ¿*/l7*l» de manera que
el modo asociado a (3i es, para £ < £m, un modo monotonico radialmente y para £ > £m un
modo oscilatorio. Para Im7¿ = 0, el modo es monotonico, decayendo algebraicamente ~ £~£*
en la región £D0 < £ < ¿*/7¿ Y exponencialmente ~ exp(-7¿£/2) en £ » ¿*/7¿.
La solución (8.19) se hace singular para £ -» £¿0 y la solución para £/£DO - K l , que
empalma con (8.19), es:
( P \2 2 / / 3
^ a l ^ ^ 7 7 1 7 ¿ A • / \ ~ *-*
2/3
5 e l ~ ^ 9 ^ 1 / 3 1 a % + M7/3< A Í / ^ + (8-2 0)
. x ci^uo / c2ao 3 \ + C 0O, . . / A + „ 1 + — , ^ . o / o Gl (*) ,
«eo( t to) l V ( 2 | ^ e 0 ( e ¿ 0 ) l ) 1 / 3 ^ / 3 ^ 0
^—Cl£.DQ\VeO{c.nn V'el - 7 1 Ai (z ) + C o o - ^ C i ^ o l V e O Í t í o ) ! Gi(«) ,
216
con
*(fl = _ (2k*(£¿o)l¿.)2/3 / £ .A1/2
a, 1/3
C l — €D0* JeOy €DOneQ(€i)o)i
8TT C2 =
ar
< ( 2 b e 0 ( ^ 0 ) | ) Í ^ I W S V 1 ^ n í £ + V ' eOVSDO
a 1/3
^ o J e o ^ ( 2 | t ; e o ( ^ o ) | ) 7 / 6 ¿ : ? 5 / 3 "
Imponiendo las condiciones de contorno (8.9)-(8.10) y manteniendo únicamente los términos
dominantes, para £+ 3> 7¿£, es
{-'/•v-i
Ci ¿„ '
0el(££o) =
KallCuo)
D I
£r>0
_ e o i
2 -
' f o o ( 2 | ^ ( e ¿ o ) l ) 4 / 3/ i / s _ c 2 ( 7 i ^ o ) 2
Ai'(0)aj¡/s * V5# 8
(7¿£DO) '
'>eo(¿¿0)|. ( 7 i ^ o ) 2
(8.21)
DO l*>eo(Él>o)l
^ e l ( e í o ) = P l « e o ( t ó o ) | A i ( 0 ) e D o ( 2 | ^ o ( ^ 0 ) | ) 4 / 3 2 c 2 ( 7 j ^ o ) 2
A i ' ( 0 ) ( a 0 ^ ) 2 / 3 ^ 7 / s
Nótese que, para 7* —» 0, es el modo asociado a /3i el que recupera el modo estacionario,
Ec. (7.20).
8.2.2. Resultados parciales
La respuesta del plasma en la prevaina es combinación de dos modos: un modo ión-
electrón, ligado al desplazamiento £ D I , y uno electrónico y cuasiestacionario, ligado a la
perturbación ge\. Para l* <C |7¿|£DO? e l comportamiento de estos modos es análogo al encon
trado para l — 0 en la Sec. 5.2. y el modo ión-electrón es viajero de tipo ion-acústico. Pa ra
t* 3> |7¿|£DO e^ modo ión-electrón es monotónico radialmente y cuasiestacionario en la región
£r>o < £ < Wl7»l> y de tipo ion-acústico en £ > ¿*/|7¿|-
La Fig. 8.1 muestran perfiles radiales de perturbación de algunas variables en la prevaina
para diferentes 7¿ (todas las figuras se han dibujado para 0 i (£¿0) = 1 e Im 7¿ = 0). Se emplean
en las figuras las variables ( y / i definidas en (5.9) y (5.10). Para Re7¿ 3> 1, los iones sólo
217
reaccionan en una región delgada en torno a la CD. Para Re7¿ = 0 (no incluido en las figuras)
es de esperar un aumento de las oscilaciones radiales y un decaimiento menos pronunciado de
las perturbaciones de iones. El efecto de l se puede ver comparando esta figura (para í — 3)
con la Fig. 5.2 (para í — 0); en concreto, ge\ era constante para i = 0.
La Fig. 8.2 muestra, para 0 i ( f ¿ o )= l , la evolución de £m/£r>o y V^i(£¿0) c o n 7¿£r>o y
í (no se representa gei(Cr>o) P o r c l u e e n frecuencias iónicas, fijado 0i(£¿o) , es independiente
de 7i y l\ <7ei(£¿o)/^i(£Do)~0.5703, Ec. (5.28)). Como se ve, tanto la perturbación de la
CD como el potencial transversal en la CD disminuyen con |7¿|. De la solución asintótica se
sabe que la condición marginal de Bohm relaciona las perturbaciones £DI y ge\ en la forma,
Ees. (8.16) y (8.21),
DO, r q — ~ (7¿CDO) ' , para l < |7¿|£
ÍDX£™ ~ max (2, f-) , para ¿ » | 7 Í | É D O ,
de manera que, aunque sea 7¿ ^> 1, si los gradientes transversales son suficientemente fuertes
el desplazamiento de la CD no se ve impedido por la cuasirrigidez de los iones. Para V'ei^rx))
la expresión aproximada es, Ees. (8.16) y (8.21),
t.Mtio)^^ para ¿« | 7 i | ^ 0 , 2el(£¿o)
^ /3y>ei(£¿0) 1, para l > |7¿|£ £>0>
8.3. NÚCLEO
Para la especie electrónica c, que responde cuasiestacionariamente, sigue siendo válida
la solución dada en la Sec. 7.3,
vci(0 = o, <M£) = o, fcd(0 = o.
Las ecuaciones para las especies ¿ y e son
dgn 1(1 + 1).,, , H (n ka - fa \
d £ i + 7W^0i = 0 j ( 8 2 3 )
218
^ + ^ ( f c i i - 0 i ) = O, ( 8 2 4 )
dgel IU + 1) , -§T + \ 2 ~^i = °- (8-25)
^¡T + „2 ^ o , (^i - 3 W/e i ) = 0, (8.26) «S Ve0 ~ 3 í e 0
más
kel = const = fcei(£¿0) = fcei(É¿0) = °-
Las Ees. (8.23) y (8.24) dan la integral primera
liipn - ku = Cz exp ( -7¿ / — I i (8.27)
donde C$ es una constante libre. El potencial eléctrico y las densidades de las tres especies
siguen cumpliendo las ecuaciones (7.28)-(7.31),
01 =
na
nc\
nco
ne\
neo
- Si í>o'
= 9n -
tc0 vlo9<
~ V2
nCQ n¿o neo Pu — , 2 2 o¿ '
¿cO vfQ V¿e0 - 3í e0
( h\ \ ne0v2eQ
Qi = ni0 [gn - -g- ) - -^ — -
9 '
>1 - 01
— 3íeo
9el,
(8.28)
Son necesarias seis condiciones de contorno para cerrar el problema. Dos de ellas son
las condiciones de salto en la CD para el haz e,
0el(£¿o) = 9el(€D0), *+ (8.29)
^ei(Go) = ^ i t t í o ) - ^ i M ! ? 0 . J£ i?o
La tercera condición es la condición de Langmuir que, operando en la forma usual, queda
igual que (5.57) con kc\ — 0:
[«*$• (».(ÍB.) - - ^ -1 2 1 )+r^- i ! r ( M G . ) - 7<ÍD1»(O(Í¿O))-
- M|?(fc, f ^ V f + ,?:°(^°' • *.,(&) = 0. (8.30)
219
Las tres condiciones que faltan se imponen en la superficie del contactor: se fijan los
valores de ga(l), xpn(l), y la condición de solución acotada, qi{l) = 0 (se comenta el caso de
emisión sónica de plasma exclusivamente). El potencial eléctrico, <pnf, está dado por (7.37).
Las condiciones de contorno en la CD permiten expresar la solución en el núcleo como
suma de tres modos proporcionales a gn(£ñ0), V ' Í I (^DO) y £ D I 5 e imponiendo las condiciones
en £ = 1 se obtiene la relación
^ Í I ( Í D O )
ID1
= B gn(iy
V-Í I ( I )
(8.31)
con A y B de tamaños 3 x 3 y 3x2 , respectivamente. Los posibles modos propios son los
pares (7*,^) que hacen singular a la matriz A, es decir, son las soluciones de la relación de
dispersión
D = deti4(7 i ,¿;j i O í0ofl,*co) = 0. (8.32)
8.3.1. Análisis as intót ico p a r a 7?+^ (^+ l )^> l y <f>oR^>l
La situación y el procedimiento es aquí similar al de los modos oblicuos estacionarios
[ver Sec. 7.3.2]: como el método W K B no da una solución sencilla si las ecuaciones de iones
y electrones se t ra tan como mutuamente acopladas, se restringirá el análisis a soluciones
estacionarias con: (a) (poR 3> 1, (b) v^o 3> 3íeo en el núcleo (submodelo A7); esto permite
describir la dinámica del haz e empleando las aproximaciones (7.41) y (7.42):
V>el(£) ^€DlVeo(£Bo)i
9el(0~ \9el(ZZo)+tDll(t+l) veo(ÍDO) i1--—)
(8.33)
donde la relación entre <?ei(£¿o) y £ D I e s conocida de la prevaina y depende de los valores de
7¿ y i [ver Sec. 8.2.1].
Sustituyendo </>i, Ec. (8.28), en (8.22) y (8.24) y haciendo uso de (8.27) las ecuaciones
para el haz i se pueden escribir
VÍOPO dgn
7» dZ +
VÍOPO dkji
Vio d
+
nCQ nCQ neo Vi0 V cO v e0
tipo hi +
neo , *-*.P0 / / 7 \ '"eu + 72~2 W<V»1 _ fc¿l) = —9el,
s 7¿ VÍO
- j - J K¿I - riiogn = - n e 0 y e i ) Ve0
(8.34)
1% <% (TiV'ii -hi) + (liV'ii -kii) = 0.
220
La solución general de estas ecuaciones es combinación lineal de cuatro modos. Supóngase,
en principio, que
M * « |7¿|.
- i Entonces tres de los modos son de escala A£ ~ j¡~ , y el modo proveniente del acoplamiento
con el haz e es de escala A£ ~ í~x. Este último modo corresponde a la solución particular
de (8.34) que, para 7¿ 2> 1, se obtiene despreciando los términos con derivada primera,
neotl
(8.35) 9nP
H^i ip
€27i (nco/tco - ne0/vl0) + £lni0
Ki ilp ~9eU €27i (nco/tco ~ rieo/vlo) + ^l71^
con gei dado por (8.33). La solución del problema homogéneo por el método WKB da los
tres modos que faltan. Dado que la tercera ecuación de (8.34) está desacoplada, el modo
directamente ligado a ella es inmediato de hallar y para los otros dos modos se procede igual
que en la Sec. 5.3.3. La solución general que se obtiene para el haz i es
9n(0 = a[C+ exp(-/3+) + C_ exp(-/5_)] + £a3C3 exp(-/33) + 9nP(0,
1 M O = ~[C+ exp(-/?+) - C_ exp(-/3_)] + eivf0a3C3 exp(-/33) + fe¿ip(0,
a
<M£) = ~[C+ exp(-/3+) - C_ exp(-/3_)] + j¿2a3C3 exp(-/33) + & i P ( 0 , a
(8.36)
con 1
« ( 0 = 1 2 , . \vi0ni0 \vi0
-T+Po ( 1
/MO
«3
-*jf
I 2 ^ 7t
2£2™i0
nco neo
1/4
¿e-¿cO +
H riia
7e0 72£2
¿cO V eO
nco ne0\ . I (ni0 . Vio I - y ± \ nio I - y +Po ( 1 v iO 72£2
(8.37)
/%(fl = 7, 72£2-«' Para neo «C nco ^ n¿o, las expresiones (8.37) toman la forma
1/4
«(O Í 1 / 4 Í ; 1 / 2 £272
/3±(0 = 7¿ / ¿e • /
K o - *co)
1 "^ -2^2 £27? (8.38)
UiO ± A tcO 1 -¿2
¿ 2 7 2 fo?0 - *cü)
221
Imponiendo en £ = 1 las condiciones gn{l), V'ii(l) y Ia condición sónica <ji(l) = 0 a la
solución (8.36) resulta
C,
C+ = t&(l)
C- = 0,
, 2 ( ne0 \ liWn - vi0 gn gei
\ ni0 ) neogeitlv?0
í = i
¿ICZ
(7? + %*&)** 7? - 3 * i0 €=i
con pei(l) dado por (8.33). Para l = 0 se recuperan las expresiones obtenidas en la Sec. 5.3.3.
La solución es combinación de tres modos dependientes de <7¿i(l), ipn(l) y £DI- Aplicando
la condición de Langmuir se determina este último parámetro en función de los otros dos. El
carácter de dos de los modos es semejante al de l — 0 [ver Sec. 5.3.3]: un modo electrónico
cuasiestacionario y un modo ion-electrón viajero (dos si la emisión es supersónica). El tercer
modo, proporcional a C3, viaja con el haz i y está asociado a los gradientes transversales,
pero para |7¿| ^> l* es despreciable.
Finalmente, empleando las aproximaciones (8.33), (8.36), tomando gn(l) = ^¿1(1) — 0,
y las condiciones de contorno (8.29)-(8.30) se obtendría la relación de dispersión que recupera
la relación (5.81).
Es fácil comprobar que la solución (8.36) sigue valiendo para
L > 1, n < 0(4),
aunque si l+/*y% ^> 1 es conveniente reescalar alguna de las funciones amplitud. Las diferencias
de comportamiento con el caso i% <C |7¿| son: primero, al aumentar í el modo ion-electrón se
propaga más lentamente; segundo, el modo estacionario ahora afecta a p¿i, Ec. (8.35); tercero,
el modo proporcional a C3, montado sobre el haz ¿, es importante. Un rasgo particular de la
solución (8.36) es que, si Im7¿ = 0 y ¿*/7¿ es suficientemente grande, a(£) y el término bajo
la raíz en (8.37) se anulan en los puntos donde
— +Po Vi0 POVÍO
(8.39)
y, por tanto, la solución (8.36) no es válida en el entorno de dicho punto. La Fig. 8.3 muestra
la condición (8.39) para una solución de orden cero dada. Nótese que cuando £ -> 1, po —> 0
y entonces ¿*/7¿ —> 00. En la figura se distinguen dos rjegiones; en ambas la solución WKB
sigue siendo válida, pero las constantes cambian, y habría que estudiar el acoplamiento en la
región intermedia (con el desarrollo usual en términos de funciones de Airy) para relacionarlas.
222
En la región I el modo ion-electrón decae monotónicamente y en la región S es oscilatorio
radialmente.
8.4 RESULTADOS Y DISCUSIÓN
8.4.1. Soluciones regulares
La Fig. 8.4 muestra la evolución temporal del perfil completo de potencial, Re </>(£, r ) ,
para l¡^% grande, cuando hay perturbaciones en la intensidad, #¿i, de la emisión de plasma.
En estas figuras se incluye la CE de perturbación debida a <¡>IN — 4>\R ^ 0. Para Re7¿ = 0,
Fig. 8.4(a), la perturbación en el núcleo es combinación de tres modos, Ec. (8.36): un modo
cuasiestacionario ligado a la perturbación del haz e, un modo viajero montado sobre el haz i
y un tercer modo ion-electrón; este modo se propaga más lentamente cuanto mayor sea ¿*/7¿.
Esto explica las diferencias entre la Fig. 8.4(a), con l — 10, y la Fig. 5.7(a), con l — 0. En
las mismas figuras, las diferencias en la prevaina se deben a que al aumentar ¿*/7¿, el modo
ion-electrón pasa de ser viajero oscilatorio a cuasiestacionario y monotónico radialmente.
Para Im7¿ = 0, comparando las Figs. 5.7(b)-(c) con las Figs. 8.4(b)-(c), lo más desta-
cable es la aparición en las Figs. 8.4(b)-(c) de oscilaciones radiales en parte del núcleo.
La Fig. 8.5 muestra la evolución temporal de Re </>(£, r ) , para £/ji grande, cuando hay
perturbaciones en la dirección, T/>Ü, de la emisión de plasma. El comportamiento es semejante
al de las perturbaciones en gn^ Fig. 8.4, aunque en la Fig. 8.5 se notan más las oscilaciones
radiales.
Las Figs. 8.6 y 8.7 muestran la evolución radial de los perfiles en el núcleo para los dos
tipos de perturbaciones comparando los casos 7¿ = 0 y 1 siendo l = 5. Las Figs. 8.8-8.11
muestran el efecto de Re7¿, Im7¿ y i en el flujo de perturbación ge\ y en el desplazamiento
de la CD, £ D I . En los perfiles radiales, Figs. 8.6 y 8.7, se observa que el potencial sigue a los
iones, al igual que ocurría para 7¿ = 0, y que el aumento de Re7¿ reduce las perturbaciones de
iones a una región junto al contactor, como ocurría en t — 0. Para Re7¿ ^> 1, se formará una
región en torno al contactor, necesaria para cumplir las condiciones de contorno en £ = 1, y
fuera será nn ~ vu ~ gn ~ 0 (al igual que ocurría para l = 0). En los perfiles de electrones,
el aumento de Re7¿ conlleva un fuerte descenso de las perturbaciones del haz e. Esto se debe
a que, al aumentar |7¿|, £ D I disminuye fuertemente, Figs. 8.8-8.11, y entonces en (8.33) es
9ei — 9ei(^Do) — c o n s t Y n o crece hacia el interior del núcleo como ocurría para 7¿ = 0. Pa ra
un £ dado, la corriente de perturbación recogida, # e i ( l ) , disminuye al aumentar J7¿|, Figs.
223
8.8-8.11. Nótese que para Re7¿ = O, las perturbaciones decrecen más lentamente que para
Im7¿ = 0, pero el efecto de Im7¿ es más fuerte aquí que en £ — 0, Fig. 5.10(b). El efecto de
£ en los perfiles radiales, se observa comparando la Fig. 8.6, para £ — 5, con la Fig. 5.7, para
£ — 0: aumento de los gradientes radiales con los gradientes transversales, en particular, ge\
era constante en £ = 0. Las Figs. 8.8-8.11 también muestran que el aumento de £ conlleva un
aumento de la corriente recogida, #ei, y una disminución del desplazamiento de la CD, £ D I .
Por último, nótese que, en general, las perturbaciones son mayores en el modo con ipn yé 0.
8.4.2. Inestabilidad ion-electrón oblicua
En el Cap. 5 se vio que no hay inestabilidad ion-electrón radial. Ahora la relación de
dispersión (8.32) presenta soluciones con £ ^ 0 y Re7¿ > 0, que indican la existencia de una
inestabilidad ion-electrón oblicua [ver Sec. 2.4.1]. Las Figs. 8.12 y 8.13 muestran los modos
propios (¿,7¿) para una solución de orden cero dada en dos rangos de L Nótese que, aunque
se ha dibujado para £ continuo, sólo son válidos los £ £ N. Se observa:
- una secuencia de curvas numeradas con n = 1,2,... para £ creciente,
- las curvas con n impar corresponden a modos propios monotónicos temporalmente,
Im7i==0, y las curvas con n par a modos débilmente oscilatorios, Im7¿ ~ Re7¿,
- todas las curvas con Im 7¿ = 0 arrancan desde las soluciones neutralmente estables con
j{ = 0, que se obtuvieron en la Sec. 7.4.2,
- existe un £min por encima del cual se generan modos inestables,
- en promedio, los modos con £ mayor son más inestables,
- aunque para 7¿ = 0 existe un £max por encima del cual no aparecen modos propios,
no hay un £ que dé el máximo crecimiento de la inestabilidad, sin contar los efectos de carga
espacial, como muestra la Fig. 8.13.
La Fig. 8.14 muestra la dependencia de los modos singulares con £¿>o- La Fig. 8.14(a)
muestra las curvas para n=l,2,3 de £ = 5 y la Fig. 8.14(b) muestra la primera curva (la que
da Re 7¿ mayores) para distintos £. Se observa:
- en promedio un mismo modo £ es menos inestable cuanto mayor sea £DO: R ^ T Í ~ £¿ol>
- para un £ dado no hay modos inestables por debajo de un cierto tamaño de núcleo,
- £min disminuye al aumentar £D0-
De lo anterior se deduce la existencia de un umbral de inestabilidad, en el plano ^DO — £i
una curva 4mn(£i)0,7mn)> por debajo de la cuál no aparecen modos inestables.
224
La Fig. 8.15 muestra el efecto de los otros parámetros de orden cero, (/>0JR y íco, en
contrándose que, cuando éstos crecen, decrece la tasa de crecimiento de la inestabilidad, Re7¿,
siguiendo una tendencia logarítmica.
La Fig. 8.16 muestra la evolución temporal de los tres primeros modos de inestabilidad
para el potencial eléctrico con £ — 5. Estos modos corresponden a los puntos A, B y C
marcados en la Fig. 8.14(a). Las envolventes espaciales de distintas variables de perturbación,
para esos tres modos se muestran en la Fig. 8.17, donde se ha tomado gei{l) = 1. Se observa
que el número de oscilaciones radiales del perfil está directamente relacionado con el número
n que le corresponde y que la forma de los perfiles es muy similar a la que se obtuvo en
la Sec. 7.4.2 para los modos autoexcitados estacionarios. Son modos dominados por las
perturbaciones de electrones libres, en los que las perturbaciones de potencial eléctrico siguen
a las de iones.
8.5. CONCLUSIONES
En este capítulo se ha analizado la respuesta del sistema a pequeñas perturbaciones
temporales de baja frecuencia (7* ~0(1)) y oblicuas en las condiciones en la superficie del
contactor (intensidad y dirección de la emisión de plasma y potencial eléctrico). La pertur
bación en el núcleo es el resultado conjunto del acoplamiento entre las poblaciones de iones y
electrones y la compensación entre flujos de perturbación radiales y transversales. Mientras
es ¿*/7Í£DO ^ 1? Ia respuesta del plasma es parecida a la que se obtuvo para £ = 0: en
el núcleo aparecen un modo ion-electrón de tipo ion-acústico montado sobre el haz ¿, que
viaja hacia el exterior, un modo cuasiestacionario asociado al haz e, y aparece un modo más
ligado a las perturbaciones transversales, que se comporta como una onda cuasiestacionaria
montada sobre el haz i. En la prevaina la respuesta sigue siendo combinación de dos modos:
uno ion-electrón viajero de tipo ion-acústico, ligado a £DI y un modo cuasiestacionario ligado
Dado 7i, a medida que £ crece aparecen diferencias en la importancia, carácter y veloci
dad de propagación de cada modo. Así, para Re7¿ = 0, los modos ion-electrón del núcleo y
de la prevaina se propagan más lentamente, siendo más acusado este efecto en la prevaina por
la esfericidad. En el núcleo, el aumento de £ también conlleva un aumento de las oscilaciones
radiales. Para Im7¿ = 0, el efecto más novedoso es la presencia de oscilaciones radiales en la
parte interior del núcleo. En la CD las perturbaciones inducidas en el haz e se relacionan con
el desplazamiento, £DI , a través de la condición marginal de Bohm que, para |7¿|£DO ^ í es:
" 225..
9ei(%Do) — 2£DI/£JDO> es decir, la CD no es cuasirrígida, como ocurría para í — 0. Cuando
estas perturbaciones se relacionan con las de los iones en el contactor, dados <7¿i(l) y I^ÍI(1)?
el aumento de t conlleva una disminución de ^ b y un aumento de la corriente recogida,
Pel( l) .
El sistema desarrolla en este rango de frecuencias una inestabilidad fluida ion-electrón
oblicua. Esto está de acuerdo con la teoría básica para un plasma ión-electrón-electrón
infinito, Sec. 2.4.1, que predice la aparición de una inestabilidad ion-electrón en el rango de
ángulos, Ec. (2.27),
3í e 0 < v2e0 eos2 9 < 3í e 0 + tc0 —. (8.40)
nco
La condición (8.40) muestra que ésta no es la inestabilidad de Buneman ya que no se dan
condiciones para despreciar el efecto térmico de las especies. Esto se debe a la presencia
de la población de confinados, que ejerce un papel estabilizador, disminuyendo el rango de
la inestabilidad; de hecho, de no existir esta población las inestabilidades posiblemente se
presentarían de forma semejante a la inestabilidad electrón-electrón [ver Fig. 6.11]. Al ser el
haz e muy supersónico en el modelo A, la condición (8.40) justifica que no aparezcan modos
inestables para l — 0. Estos modos inestables tienen una estrecha conexión con la pertubación
del haz e, ge\. De hecho, al igual que ocurría en la inestabilidad electrón-electrón, al sustituir
la CD por un electrodo fijo con ge\ — ke\ = i\)e\ — 0 la inestabilidad desaparece.
Es una inestabilidad fuerte, en el sentido de que es Im7¿ = 0 o Im7¿ ~ Re7¿. El efecto
de la esfericidad se traduce en una disminución de los máximos de la inestabilidad. También
el aumento de 4>QR y íco disminuye la velocidad de crecimiento de la inestabilidad.
Parece que al aumentar £, Re7¿ tiende a crecer indefinidamente, sin embargo ese creci
miento está limitado por los efectos de carga espacial que, teniendo en cuenta que la longitud de onda de las oscilaciones para l grande es ~ R/(y/ln££>o¿), deberían ser incluidos para
£ ~ R/{V^n^D0^Doo)- El máximo de la inestabilidad que predice la teoría de plasmas ho
mogéneos infinitos es, para ATe0 < ATc0:
' / r , x \ / AT \ 1/2 / x 1/3 ( r r e ) ¿ _ e \ (Ne0\ / m e \
UPC ) na* \NcoJ Km
Este máximo es mucho menor que el de la inestabilidad electrón-electrón, Ec. (6.62), por
lo cual puede que nunca llegue a observarse. Nótese que los rangos de aparición de cada
inestabilidad son disjuntos (en é?), ya que para la e-e era v ^ c o s 2 ^ > riio{tco + 3£eo/neo) >
3íeo + tconeo/nco, Ec. (6.61). La inestabilidad e-e también puede generarse en presencia de
perturbaciones oblicuas, pero no se ha estudiado porque la teoría de plasmas homogéneos
226
predice que su tasa de crecimiento máxima se obtiene para perturbaciones radiales [ver Fig.
2.8].
Figuras del Cap. 8
227
1(r C/fc>o 3 10
Figura 8.1: Prevaina. Perfiles espaciales para 7¿£DO = 2, 5 y 10 y l — 3.
228
\Iml £r>o
I
0.8
0.6
0.4
0.2
n
£=2\ \ 5
(a) 1
0.8
0.6
0.4
0.2
r\
^ 0
£=5
,
(b)
-
-
———— 10 15 20 25
MÉDO
10 15 20 25
M £ D O
^el (€¿ 0 ) l
0.8
^el(C¿p)l ÍDO
0.8
10 15 20 25 10 15 20 25
ITÍI^DO
Figura 8.2: Prevaina. £DI/£DO y ipeii^no) c o n «MÉDO) - 1 e n función de Re^D0
(Im7¿ = 0) y £ = 2,3 y 5 en (a) y (c) y para £ =5 con Im7¿/Re7i = 0,1,2,4 y 8 en (b) y
(d).
10 4 6 8
Figura 8.3: Curva límite para Im7¿ = 0. Otros parámetros: (f>oR/tco — 10, (f>QD/tCQ = 4,
tco = 1-
Figura 8.4: Modo gn(l) ^ 0, ifin = 0. Perfiles espacio-temporales del potencial para (a)
IÍZDO = 3i, i = 10, 9il(l) = 0.3; (b) 7 i = 1, ¿ = 20, flil(l) > 0, £D1 > 0; (c) 7< = 1, ¿ = 20,
S¿i(l) < 0, £DI < 0. Otros parámetros: </>OH/£CO = 10, <pQD/tco = 4, íc0 = 1; £DO = 8.88.
230
Re </>(£, r )
Figura 8.5: Modo gn{l) = 0, Va / 0. Perfiles espacio-temporales del potencial para (a)
7*6)0 = 3i, l = 10, ^ i ( l ) = 0.1; (b) 7¿ = M = 20, ^ i ( l ) > 0, £D1 < 0; (c) 7 i - 1,¿ = 20,
V>ÍI(1) < 0, £m > 0. Otros parámetros: (f>oR/tco = 10, <f>~D/tco = 4, íc0 = 1; £DO = 8.88.
231
1
0.5
n
\ l
0 x cr""" ^ _ _ _ ^ CD
V . . 1
101 tcQ
1 / 2
Figura 8.6: Modo gn{l) — 1, il>n = 0. Perfiles regulares para 7¿/íco = 0 y l y ¿ = 5.
Otros parámetros: (j)oR/tco = 50, (f>ñD/tco — 46, fco = 10; £ D O = 3 . 9 8 .
25
20
15[
10
5\
0 1
C 4
L
S^O
CD
c Figura 8.7: Modo gn(l) = 0, #0¿i(l)=l. Perfiles regulares para 7¿ = 0 y 1 y t
Otros parámetros: 4>oR/tco = 50, (t>QD/tco = 46, £co = 10; ^0=3 .98 .
= 5.
233
Pe l ( l )
Figura 8.8: Modo #¿i(l) = 1, ^ i i ( l )=0. Flujo del haz e y desplazamiento de la CD i ii
en función de 7¿/íco con Im7¿ — 0 para i = 2 y ¿ = 6. Otros parámetros: ^oñ/tcO = 50,
0oi>/*co = 4 6 y ¿c0 = io.
N/4/2
£DI
I T Í I A 1/2 cO
Figura 8.9: Modo gn(l) = 1, t/>¿i(l)=0. Flujo del haz e y desplazamiento de la CD 1 /2
en función de 7¿/ÍCQ con Re7j = 0 para í = 2 y í = 6. Otros parámetros: 0oñ/^cO = 50,
0oi?/*co = 46 y íc0 = 10.
234
9el(l)
hi\/t 1/2 cO WT
Figura 8.10: Modo <7¿i(l) = 0, £xpn(l)=l. Flujo del haz e y desplazamiento de la CD 1 II
en función de 7¿/ÍCQ con Im7i = 0 para l = 2 y i = 5. Otros parámetros: 0OÜ/¿CO = 50,
0¿D/¿CO = 46, íc0 = 10.
ffel(l)
M/^2 h.i/^2
Figura 8.11: Modo gn(l) = 0, £I¡>ÍI(1)=1. Flujo del haz e y dsplazamiento de la CD 1 /9
en función de 7Í/ÍCQ con Re7¿ = 0 para l — 2 y í — 5. Otros parámetros: 4>oR/tCQ — 50,
^OD/ÍCO = 46, íc0 = 10.
4 6 8 10^ 12
Figura 8.12: Re7¿/íco [-] e Im7¿/íCQ [- -] en función de í fijado £DO en (a) y en función
de £¿)o P a r a ¿ = 5 en (b). Otros parámetros: </>OH/ÍCO = 50, ÍCQ = 10.
235
CcO
1 /I 1 /I
Figura 8.13: Re7¿/íc¿ [-] e Im7¿/íc¿ [- -] en función de t fijado £>0 en (a) y en función
de £DQ para í = 5 en (b). Otros parámetros: 4>QR/ÍCQ = 50, ÍCQ = 10.
£DO 1(T ¿¡DO 10"
Figura 8.14: Primera curva de soluciones singulares para distintos l en función de £DO
en (a). Otros parámetros: 4>oR/tco = 50, íco = 10.
1.5
( l / 2 "cO
0.5
^£>0flAcO= 5
1 / 5 0 1 \ \
(a)
£ = 5 n = l
\ 10
\/i
10" £ DO 10'
7¿ ^ / 2 - cO
1
0.8
0.6
0.4
0.2
n
^ ~ N ^ >.,.<> = 1
f \ / / ^ ~ ^ N 1 0 \
/ /—^50 \ \
f ^
(b)
£ = 5
n = l
1
iou ;£>o 10'
Figura 8.15: Efecto de los parámetros de orden cero (f)oR/tco Y tcO en la evolución de las
singularidades; (a) íco = 10; (b) 4>oR/tco — 50.
236
Re0(f,r)
Re </>(£, T)
Figura 8.16: Perfiles singulares espacio-temporales para los casos A, B y C marcados
en la figura (b) con l — 5. Otros parámetros: ^on/íco — 50, íc(f = 10.
237
0.05
0.05
102 10°
1.5
1
0.5
n A \ s ^ B
C
¿l\rl>ei. £|v eo|
102 10° 10' /• iu I U I U /• 10
Figura 8.17: Perfiles singulares para los casos A, B y C marcados en la figura (b) con
¿ — 5. Otros parámetros: (f>oR/tco — 50, íco = 10.
Conclusiones finales
239
Aunque se ha dedicado un apartado final a conclusiones en cada capítulo, parece con
veniente sintetizar ahora las conclusiones más relevantes referidas a la respuesta dinámica y
estabilidad, obtenidas en los Caps. 5 a 8, y que son el objetivo central de la Tesis. Las aporta
ciones y conclusiones sobre el modelo estacionario de Ahedo et al [2], están ya claramente
expuestas al final del Cap. 4. Se finaliza sugiriendo diversas extensiones del trabajo.
Los dos aspectos principales que caracterizan la respuesta dinámica lineal de la confi
guración núcleo/ CD /prevaina del plasma son: (i) el núcleo y la prevaina están formados por
dos plasmas diferentes; y (ii) el acoplamiento de las dinámicas de núcleo y prevaina ocurre a
través de una CD móvil y deformable, que actúa de manera distinta sobre especies libres y
confinadas. Respecto del primer aspecto el núcleo es un plasma de tipo ión-electrón-electrón
donde se desarrollan modos ion-electrón, que siempre involucran a las dos especies de elec
trones, y modos electrón-electrón. La prevaina es un plasma de tipo ión-ión-electrón que, en
las condiciones usuales, desarrolla dos modos ion-electrón, cada uno de los cuales involucra
a una especie de iones (una limitación del estudio ha sido despreciar la influencia de una
de estas especies de iones). Para perturbaciones oscilatorias en el tiempo estos modos son
normalmente viajeros, proporcionales a expT(í — f /3(£)d£). Existen además modos esta
cionarios ligados a la interacción del campo eléctrico con las especies electrónicas. Se ha
analizado además la respuesta a perturbaciones con T complejo cualquiera, y en particular la
respuesta a perturbaciones monotónicas con T real positivo.
Se han deducido las condiciones no estacionarias y débilmente no simétricas en torno a
una CD. Estas son de aplicación a cualquier CD móvil aunque no esté en el contexto de los
contactores de plasma. Dichas condiciones, que acoplan las dinámicas de núcleo y prevaina
y determinan el movimiento y deformación de la CD, son de cuatro tipos:
(i) Condición de Langmuir: la carga eléctrica total en la CD es nula y ello equivale a
que las presiones dinámicas del plasma en ambos extremos de la CD sean iguales.
(ii) Condición marginal de Bohm: la transición prevaina/CD ocurre en un punto singular
de las ecuaciones de la prevaina y ello relaciona la posición de la CD con el flujo del haz e
hacia el interior.
(iii) La CD es "transparente" a las dos especies que son aceleradas por ella lo que se
traduce en condiciones de conservación sobre las mismas.
(iv) La CD es "opaca" a las dos especies confinadas, lo que implica condiciones de pared
(de pistón) para las segundas.
240
Conocida la dinámica en torno a la CD, resulta que en el núcleo se propagan modos
hacia el exterior y otros hacia el interior. Los primeros transmiten hacia el exterior las
perturbaciones en las condiciones de contorno en el contactor (en el plasma emitido y en
el potencial eléctrico, por ejemplo). Estas inducen, a través de la CD, perturbaciones en
las especies e y c que son transmitidas hacia el interior del núcleo por otros modos. Las
perturbaciones en la especie e también se transmiten hacia el exterior de la prevaina. Ademas
la condición de Bohm conlleva un desplazamiento de la CD que actúa de pistón sobre los iones
ambiente (fundamentalmente) y envía un modo ion-electrón hacia el exterior de la prevaina.
Si no hay perturbaciones del plasma ambiente, no debe haber en la prevaina modos que
viajen hacia el interior. Para cumplir ésto se ha tenido que analizar (e integrar) con cuidado
la solución asintótica en r = oo. Con ello se ha evitado el problema de las ondas reflejadas
que parece afectar a todas las simulaciones numéricas cuando sustituyen "el infinito" por el
borde exterior de la región de simulación.
La respuesta del plasma es diferente según como sea la frecuencia de la perturbación.
Si la frecuencia es iónica, los modos electrón-electrón son cuasiestacionarios y transmiten la
perturbación instantáneamente. Si la frecuencia es electrónica, los iones casi no responden:
permanecen cuasirrígidos en su solución estacionaria; como la CD tiene que desplazar consigo
los iones ambiente, también permanece cuasirrígida a frecuencias electrónicas. Las frecuencias
iónicas son típicas para perturbaciones en la intensidad y dirección del haz emitido; para ellas
la condición de Langmuir sigue siendo básicamente una relación entre corrientes emitida y
colectada, pero la condición de Bohm es muy dependiente de la frecuencia. Las frecuencias
electrónicas son típicas de perturbaciones en las condiciones de los electrones confinados y
la presión de éstos también se hace importante en la condición de Langmuir no estacionaria.
Las perturbaciones del potencial eléctrico pueden ser de cualquier frecuencia y, según el caso,
pueden afectar a la solución estacionaria solamente en una delgada CE junto al contactor.
Se han analizado las diferencias entre la respuesta a modos radiales y a modos oblicuos o
débilmente no simétricos (caracterizados por el índice de Legendre í) en el rango de frecuencias
iónicas y para frecuencia cero (respuesta a no uniformidades estacionarias). Para una misma
frecuencia, las diferencias se aprecian para los modos con í > TR/ y/Tco/mi y afectan, por un
lado, al carácter oscilatorio/monotónico espacial del modo y a su velocidad de propagación
o de decaimiento y, por otro lado, al desplazamiento de la CD. De manera general se puede
decir que la CD es menos rígida con los modos oblicuos.
A partir de la respuesta dinámica ha sido posible determinar y analizar las inestabilida-
241
des de corriente que se desarrollan en un sistema aislado plasma-contactor. La macroinesta-
bilidad más fuerte que aparece es la electrón-electrón radial. Esta se desarrolla en el núcleo
y en su generación es fundamental la interacción de la CD con las distintas especies. De
hecho, si se suponen perturbaciones nulas del haz e en el borde exterior del núcleo no aparece
esta inestabilidad, aún cuando el haz e es muy supersónico. Parece pues vital derivar co
rrectamente las condiciones de contorno no estacionarias en la CD. Para obtener el modo
electrón-electrón más inestable se han introducido de manera aproximada efectos de carga
espacial en el modelo, obteniéndose que la tasa máxima de crecimiento es
upcje_e \Nc0
resultado que concuerda con el dado por la teoría básica. No se ha estudiado la inestabilidad
electrón-electrón oblicua pues los cálculos son largos y la teoría básica predice que es más
débil que la radial.
El sistema también desarrolla (en el núcleo) una macroinestabilidad ion-electrón oblicua,
pero no radial (ésto quiere decir que sólo hay armónicos esféricos inestables con t ^ 0). Esto
se explica porque el haz e es desestabilizador pero la población de electrones confinados es
estabilizadora, provocando un efecto global desestabilizador en un rango de velocidades de
deriva y ángulos de propagación dado por (2.27), y éste es estrecho si Neo/Nco es pequeño,
como ocurre en el núcleo. La inestabilidad de Buneman, sugerida por otros autores, no
aparece pues solamente tendría sentido en el caso Neo/Nco ^> 1. Aunque no se han incluido
los efectos de carga espacial en el modelo para encontrar el modo más inestable, la teoría
básica predice que la tasa de crecimiento máxima es:
• ^ \ / AT \1/2 / \ V 3
re \ (Neo\ fmeX
^PcJi_e \Nc0J \rrii
mucho menor que la de la inestabilidad electrón-electrón. Una consecuencia interesante de
esta inestabilidad en el límite de frecuencia cero es la existencia de modos propios estacionarios
y oblicuos.
Podrían existir modos inestables adicionales, pero serían más débiles aún. Por ejem
plo, hay condiciones para desarrollarse una inestabilidad ion-acústica, alimentada por las
poblaciones i y c en el núcleo, y una inestabilidad ion-electrón radial, alimentada por las
poblaciones i y e en la prevaina, aunque la esfericidad y las condiciones de contorno y de la
CD podrían evitarlas.
242
Los resultados más firmes sobre la evolución no lineal de las inestabilidades ion-electrón
y electrón-electrón, comentados al final del Cap. 2, no son de gran utilidad para predecir el
estado final del problema presente, pues son modelos de evolución temporal sobre plasmas
homogéneos infinitos y anuncian la degradación casi total en el tiempo del haz e, es decir, la
alteración radical de la solución estacionaria, algo que niegan los experimentos. Seguramente
un modo propio electrón-electrón radial será el dominante en la evolución temporal pero se
desconoce el nivel de turbulencia que produce y si la turbulencia está extendida o localizada
en una región relativamente pequeña. Es probable que dicho modo radial impida el desarrollo
efectivo de cualquier inestabilidad oblicua y ello explique la falta de rizado de la CD en los
experimentos.
Los resultados de esta Tesis sugieren varias direcciones para continuar la investigación.
La primera sería el estudio de la evolución no lineal de la inestabilidad electrón-electrón radial,
que es la dominante. Sin embargo, construir un modelo débilmente no lineal plantea serias
dificultades debido a que, primero, el sistema tiene inestabilidades fuertes en todo el rango
usual de parámetros; segundo, aunque podrían simplificarse algo la dinámica y la geometría
del núcleo, está, por una parte, el problema de hallar las condiciones de contorno no lineales
en los bordes con la CD móvil (de hecho, no se han analizado con cuidado las condiciones de
contorno lineales para longitudes de onda pequeña) y, por otra parte, resulta complicado el
tratamiento de la prevaina esférica e infinita.
Antes de abordar ese análisis no lineal sería conveniente volver sobre los modelos esta
cionarios y aplicar el presente análisis lineal a soluciones más realistas por si las inestabilidades
variaban. En este sentido deberían investigarse las siguientes cuestiones:
(i) Acoplar el modelo externo de plasma con un modelo interno de contactor. Ello podría
modificar las condiciones de contorno en el borde del contactor, y por tanto, la respuesta
dinámica (la CE de perturbación, por ejemplo) y las inestabilidades.
(ii) El contactor no está aislado, forma parte de un circuito completo y debería analizarse
el acoplamiento con el resto de elementos. Esto implica definir un problema más completo
(y más complejo) que acoplase el contactor anódico con uno catódico inmerso en el mismo
plasma (aunque alejados). Este modelo estacionario completo prácticamente se conoce pues
los resultados del Cap. 4 se aplican a contactores catódicos^ intercambiando las especies
iónicas y electrónicas; los resultados para modos oblicuos estacionarios del Cap. 7 también
son intercambiables. Quedaría pues por extender el modelo dinámico lineal al contactor
243
catódico. La teoría básica sugiere que para este último podrían aparecer la inestabilidad
ion-electrón y la ión-ión en el núcleo, y en la prevaina podría desarrollarse la ion-electrón y
(si se incluyen el haz emitido) la electrón-electrón. Pero lo interesante es saber qué modos
inestables permanecen cuando se incluyen las condiciones que acoplan el cátodo y el ánodo.
(iii) Para contrastar más adecuadamente los resultados teóricos y experimentales es
necesario estudiar la estabilidad de un modelo con ionización externa. Un paso previo es la
formulación fluida del modelo de Ahedo [4] con ionización externa parcial y, si fuera posible,
su generalización a ionización externa total. Esta reformulación no es tan inmediata como
para ionización interna.
Finalmente, y ya que algunos experimentos y simulaciones predicen una termalización
espacial del haz e para núcleos grandes, una última vía de trabajo, intermedia entre los
estudios de estabilidad y los estacionarios, menos consistente pero quizás eficaz, sería definir
un modelo estacionario de núcleo que incluya ad hoc termalización convectiva del haz e por
la inestabilidad electrón-electrón y analizar seguidamente la estabilidad de dicha solución.
245
Apéndice
SOLUCIONES D E ECUACIONES DIFERENCIALES P O R EL M É T O D O W K B
Se recogen aquí resultados conocidos de la aplicación del método WKB [6] a distintos
sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que aparecen en los capítulos siguientes. En
general, el uso de una solución WKB tiene tres objetivos:
(i) proporcionar una solución asintóticamente correcta para cierto límite de un parámetro,
(ii) determinar las leyes de escala de la solución en función de los parámetros, y
(iii) ayudar a la resolución numérica del problema.
A.l. ECUACIÓN DE SEGUNDO ORDEN SIN PUNTOS DE RETORNO
Sea la ecuación diferencial para /(£)
á l ^ ' f )-*«"«=6w- <Ai> donde (i) t es una variable real, (ii) e es un parámetro real pequeño, y (iii) s(t) y q(t) son
funciones (complejas, en general) de clase C1 y sin ceros en el intervalo de interés.
Una solución particular de (A.l) para e < C l e s
/ P ( Í ) ^ - ^ + 0 ( £ 2 ) . (A.2)
Para el problema homogéneo el método WKB supone que la solución verifica la expansión
asintótica r °° i rS i
fh(t) = exp [ ] T ^ S n ^ J - exp [ y + 5i + eS2 + . . . j , (A.3) 71 = 0
Sustituyendo esta expresión en (A.l) e igualando términos del mismo orden en potencias de
£, se obtiene la secuencia de ecuaciones
S'02 - q(t) = 0,
oq' q> i q" , q> s W _ n
Zü0ü1 + ¿>0 + ü0 - U, , ^AAj
2S'0S'2 + S'{ + S'1(s'1 + S-^) =
246
De la primera ecuación se tiene
S0{t) = ± f y/qdt,
donde ± refleja las dos raíces cuadradas de g(t), cada una asociada a un modo independiente
de fh(t). El resto de ecuaciones en (A.4) son lineales en la función Sn de Índice n mayor y
son determinadas en orden sucesivo a partir de 5o. Así para 5i se tiene
S^t) =-\]n\q{t)s(t)2\.
Reteniendo únicamente los dos primeros términos de la expansión asintótica (A.3) se tiene
para la solución completa
m * - W)+ m*(tn« tCl exp (" Í / ^*)+°2 exp (; / ^*)1 • (A'5)
La validez de esta solución WKB está restringida a los intervalos de t y a los valores de e que
verifiquen
— » 5i > eS2, eS2 < 1. (A.6)
En la práctica, si se omite el cálculo de £2, sólo se exige el cumplimiento de
S'0^eS[, (A.7)
que únicamente asegura 5o S> eS\. En términos de q(t) y s(í), esta ultima condición queda
^ « - V , -^7-. A.8 q s'
Además siempre que sea posible se comprobará la aproximación que proporciona la solución
(A.5) comparándola con la solución exacta para e moderadamente pequeño.
El carácter de la solución homogénea en (A.5) depende básicamente del signo de q(t).
Así:
(i) si q(t) es real y negativo, fh(t) es dispersiva y contiene dos escalas: la escala corta
de las oscilaciones, de orden e/y/\q(t)\, y la escala larga asociada a la envolvente de las
oscilaciones, de orden Si/S[^
(ii) si q(t) es real y positivo, fh(t) es disipativa y observable en una capa límite de
espesor ~ e/\/q(t), fuera de la cual la solución completa es f(t) ~ /p( í) ;
(iii) si q(t) es complejo con |argg| 7 7r, fh(t) es observable en una capa límite de
espesor ~ e/ Re(v/g), dentro de la cual se aprecian oscilaciones de escala e/lm(>/q) si
Tm(y/q) >Re(yg).
247
A.2. ECUACIÓN DE SEGUNDO ORDEN CON UN PUNTO DE RETORNO
La condición (A.8) indica que la aproximación WKB no es válida cerca de los puntos
donde q(t) = 0, llamados punto de retorno por el cambio de carácter de la solución (A.5)
a través de ellos. Se trata aquí de analizar el comportamiento local de la solución de (A.l)
cerca de un punto de retorno y el acoplamiento asintótico con la solución WKB. El caso de
interés para esta Tesis es aquel en que q(t) tiene un único cero de primer orden en t — 0 y se
quiere la solución de (A.l) en el intervalo t > 0.
Se supone pues que cerca de t — 0 el comportamiento de g(í), s(t) y 6(í) es
q(t) = qit + o(í), s(t) = s0 + o(l), 6(í) = 60 + o(l), (A.9)
donde las constantes (reales o complejas) gi, $o y &o son no nulas, y, de acuerdo a (A.8), se
supone que la solución WKB (A.5) es válida para t 3> e2j/3.
Para t <C 1, que incluye el intervalo t = 0(e 2 / 3 ) , la ecuación (A.l) se comporta aproxi
madamente como la ecuación d2f
e2-¿jj-qitf(t) = b0, (A.10)
cuya solución general es combinación lineal de funciones de Airy en la variable
z(t) = ^_t. (A.ll)
Han de distinguirse aquí dos casos.
A . 2 . 1 . C a S O |a rgg i |=7r
En este caso q\ es un real negativo y la solución de (A. 10) es
f(t) = EiAi(z) + E2Bi(z) + ^L^m(z), z(t) = ^ í , (A.12)
con z(í), Ec. (A.ll) , real negativo, y E\ y E2 dos constantes libres. El comportamiento
asintótico de esta solución para — z ^> 1 es:
'W ~ wh iElsen + í ) + E— (Il2|3/2 + i)l " ÑTFv <"*> Por otra parte la solución WKB, Ec. (A.5), se puede escribir
f{t) = |g|i/4|5|i/2(Ci «*/* + C* C0SP) ~ ^fy £(*) = \f V & + \
248
donde C\ y C^ son constantes libres. Para t <C 1, se tiene
y las soluciones WKB y (A. 12) coinciden en la región común de validez: £2//3 <C t <C 1, si
7T
Resumiendo, la solución asintótica de (A.l) en t > 0 es
/(*) = <
, 1 /3 ,
#iAi(z) + £2Bi(¿) + \ ° Hi(¿), con z - % — , para í <C 1,
(Iftle) 1/6
4 v , ^ | ( £ i sen/3 + £ 2 eos/?) - ^
con (3 — - ¡ \Aq\dt + —, para í > £2/3. £ Jo 4
La relación entre üa y E2 por un lado, y /(O) = /o y (df/dt)t=o — /o P o r otro, es
i?2 =
r -2/3 í>
2Ai(0) 2Ai'(0)g11/3 '
/o e2/3/o 2TT60
2V3Ai(0) 2^3Ai'(0)9l1/3 3(£ 9 l)Vs-
(A.14)
(A.15)
A . 2 . 2 . C a S O | a rgg i | ^7 r
En este caso la solución de (A. 10) es
1/3
f(t) = E1Ai(z) + E2Bi(z) - -H*Gi(z), z(t) = ^ _ í , (A.16) {eqx)2'*^"" ~ w £2/3
donde z(í) sigue definido por (A.11) y es complejo. El comportamiento de (A.16) para z ^> 1
'«> - sh&lexp (" lz'n)+ fi2exp(^3/2)l' ( ¿ F v (A-17) Por otra parte la solución (A.5) se puede escribir
m ~ \g(t)sm^[Cl eM~p) + °2 exp/3] " tf¡> M) = l¡y/«dt> (A-18) y para t e l e s
249
Las soluciones (A. 18) y (A. 16) coinciden en la región £ 2 / 3 <C t <C 1 si
Ci = (9 i^ ) 1 / 6 | 5 o | 1 / 2
20rexp ( i a rg (9 i ) / 4 )
En resumen, se obtiene
E\, C2 (gie) 1 / 6 |*oi 1 / 2
v/7rexp(iarg(gi)/4) E2,
7T&0 1/3
<?1
/ ( * ) = <
SiAi (z ) + E2Bi(z) - x 2 / 3 Gi(z) , con 2 = g _ í para í « 1,
6(í)
1 /** (3 = - y/q(jjdt, para i > e 2 / 3 .
£ yo
La relación entre JE?i y E2 por un lado, y /(O) = /o y (df/dt)t=o = f'Q por otro, es
(A.19)
con
£?•
1 2Ai(0) + 2Ai ' (0) 9 l1 / s '
/o £ 2 / 3 / ¿ +
7T&0
(A.20)
2v/3Ai(0) 2 V 3 A Í ' ( 0 ) Í ; / 3 *{e<ttf'*'
Obsérvese que para un dominio semiinfinito, si se requiere que la solución / este acotada
Vi > 0 ha de ser E — 0. En este caso, las relaciones entre E\, /o y /ó son
E1 = J^+ Vb0 r2/3 /ó Trbn
Ai(0) V3(e g i )2 /3 g}/3Ai ' (0) V3(eqi)W
(A.21)
A.3. SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER ORDEN CON Y SIN PUNTO DE RETORNO
Sea el sistema de ecuaciones diferenciales para x(t) e y(t)
dx e— + au(t)x + o i 2 ( í )y = h(t),
Ó/U e-¿¿ + au(t)y + a2i(t)x = b2(t).
(A.22)
Empleando el cambio
x — x exp
el sistema se reduce a
(-m y = y exp (-/T4
e - ^ +ai2(*)l/ = ai3(<)>
dy . . . . £-rr+a2i{t)x = a23(t).
(A.23)
(A.24)
250
Haciendo / = y, q- a i 2 a 2 i , s = l / a 2 i , y
6(í) = a2l(el(S;)-ai3')-dt \Q>21
el sistema (A.24) se reduce a (A. l ) . Para el caso sin punto de retorno, de A.5 se obtiene:
11 4 ( C 1 e x p ( - / 3 ) + C2exp(/3)) + i a i 2 1 V / a12
V(t) = 1 — 1 fcexp(-/3) + C2exp(/3)) + ^ , I a i 2 1 V / a12
x(t) = | f 2 l | I / 4 ( i í i ) 1 / 2 ( C l e x p ( - / 3 ) - C2exp(/3)) l Olí* I V a ^ i / \ / +
«23
«21
(A.25)
donde
(3 = - I V/«12«21«'^
Las constantes C\ y C 2 , para y(0) — yo y x(0) = x0, vienen dadas por
1 /"'
e 7o
<?2
Ol2(0) | V 4 r Q13(Q) / O23(0) \ /Ol2(0) \ 1 / 2 ]
ai2(0) + \X° a21(0))\a21(0)J J «2i(0)
« l 2 (0 ) | l /4
yo
«21(0) y o -
«13(0) «12(0)
_ / « 2 3 ( 0 ) \ / « 1 2 ( 0 ) \ i ^ l V 0 «2 i (0 )Aa 2 1 (0 )> ' i '
Para el caso con un punto de retorno se supone a\2{t)a2i{t) 7 0, excepto en t — 0 donde
«12(0) = 0, siendo t — 0 un cero de primer orden. Llamando:
gi = a 2 i (0)a i 2 (0) ,
60 = «2i(0) 1 d (a2*X\ - « 1 3 + £ ^ T I ) ,
dt V021/ Jí=o se tiene:
A.3.1. Caso a r g a i 2 a 2 i | = 7r
De (A. 14) y (A.24) se obtiene:
y(t) = EiAi(z) + E2Bi(z) + 7T&0
Para í « l ( e f t ) V s
Hi(z),
7r&n S W = ^ 7 í í i f(Í9il^)1 / 3 ( ^ iA i ' ( z ) + E2Bi'(z)) + _ 1 ^ _ H i ' ( ^ ) + o2 3(0)
«2i(0) L \ / (e\qi\)l'á
Para i > e 2 / 3
y(t)
x(t)
(Ift le)
(A.26)
1/6 «21
«12 V^|o2i (0) |
l«2l| ( k l k ) 1 / 6
1 4 ( £ i sen/3 + £ 2 cos/3) + — L * - £ - ^ í — " l l «12
021 y/ir\02i(0)\
«12
«21
1/4
dt V a 2 i / -I
( - E i cos£ + E 2 sen/3) + — [o2 3 - e— f — ) aoi L at Voio /-,012
(A.27)
251
donde
*(*) = 7T' W) = \fV\¿^\dt+-A.
Las constantes E\ y E2, para y(0) = yo y x(0) = xo, vienen dadas por
E _ Vo Q23(0) -a2i(0)iEo 1 2Ai(0) 2(?i£)1 /3Ai'(0) '
„ Vo , a2i(0)z0 - 023 (0 ) 27T&0 2V3Ai(0) 2y /3( í le) 1 /3Ai ' (0) 3 ( 9 l e ) 2 / 3 '
(A.28)
A . 3 . 2 . C a s o | arg 0120211 7 7r
De (A.19) y (A.24) se obtiene:
y(t) = E1 Ai(z) + £ 2 Bi(z )
Para í < 1 <
7T6n :Gi(z),
*(*) = «21(0)
(£ 9 l)2/3
- ( g x e ) 1 / 3 ( ^ A i ' í * ) + £feBi'(z)) + ^ ^ G i ' ( z ) + a 2 3(0) 7r6n
(A.29)
Para t » e 2 / 3 <
y{t) (fte) 1/6
ai2 L di Va2i / J
/ ,=,_ . M M l 7 ^ r / 2 ( f e x p ( - / 3 ) - ^ e x P / J ) + - ^ l a 2 i | Q i 2 \ 1 / 2 (g ig) 1 / 6
VI aio l aoi Ol2 I 0 2 1 ' V^(ol2O2l)1 / 4IO2l(0) I r d / a i 3
H a2 3 - £ 3 7 ! a 2 i L ai vai2 (A.30)
donde
z(t) 1/3.
91 * 2 / 3 , /3(í) = - / y/ai2a2idt.
Las constantes £a y E2, para y(0) —yo y x(0) — XQ, vienen dadas por
E2
yo a23(0)-fl2i(0)a:o n 2Ai(0) 2(gi£)1/3Ai'(0) ''
yo a2i(0)xo - a 2 3 ( 0 ) TT&o (A.31)
2V3Ai(0) 2y3(g1e)1 /3Ai '(0) 3 ( g l £ ) 2 / 3
252
Cuando el dominio es semiinfinito, es E2 = 0 y la constante £q, en función de si la condición
de contorno es y(0) = yo o x(0) — XQ, resulta
* • B S F W - N - * ^ - £$*) - 3*5 + £&* (A32)
A.4 SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER ORDEN CON UN PUNTO SINGULAR
Sea el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden para x(r) e y(f)
¿ (A.33) e¿= + a*21(f)x = a*2Z{f),
donde para f —> 0 es aj2(0) ^ O y O 2 I (T) ~ f~1//2. Haciendo el cambio de variable indepen
diente
t = Vf,
el sistema (A.33) se transforma en (A.24) con ai2(0) = 0, a'12(0) = 2aJ2(0) y
a12(í) = 2ta*2(t2),
a21(t) = 2ta*21(t2),
a13(í) = 2ta*13(t2), a23(t) = 2ía^3(í2).
Llamando:
c0 = ( 2 f 1 / 2 a ; i ) f = 0 = 021 (0), qi = 2coa*12(0),
d0 = (2f1/2a;3),=0 = a23(0), 60 = <* bx1/2 (e A (^») - <&)] ,
se tiene:
253
A . 4 . 1 . C a S O l a r g a ^ a ^ ! = 7r
De A.3.1 se obtiene:
y(f) = EiAiiz) + E2Bi(z) + 7T&0
Para f < 1 Ni ) 2 / 3 Hi(z),
*(*) = [(|gi|e)1/3(^iAi'(^) + E2Bi'(z)) - - 0 - H i ^ ) +do], (A.34)
Para f > e 4 / 3 <
y(f) = M^\°kr(Blsene + E2COS0) + ± \Zn\co\ ia12i a 12
a 13 _ d _ / o | 3 \
df Va?! /
X(T) Ia5il(l9ik)1 /6
a21 vM^o] a 12
a; 21
1/4 ( - E i c o s ^ + £,
2sen/3) + (A.35)
+ 1
a; 21 a 23
_d_/ai3\j df Vaío^-I
donde
z(f) rf>v/»
, ¡3(f) ~ I y la12a21 \df + TT
£2/3 ' • - , - , £ J n y I-1.-.H- • 4
Las constantes E\ y f?2, para y(0) = yo y ®(0) = a?o, vienen dadas por (A.28) susti
tuyendo ci2i(0) y 023(0) por co y do respectivamente.
A . 4 . 2 . C a S O |argaj2a2il y^n
De A.3.2 se obtiene
Para f < 1 <
y(f) = £iAi(z) + £2Bi(z) - 7r60
N I ) 2 / : -Gi(^),
Para f > £4 / 3 <
donde
[ x{f) = ^ [" ( « I Í ) 1 ' 3 ^ ! ^ ' * 2 ) + B2Bi'(z)) + 7¿jT7!Gi'(z) + *
¡/( í)=(^)1/2í^(í|1)1/4(|exp(- /3) + £ 2 e X p W ) + v «21 ' \Alcol v a i 2 y v 2 y
a 1 2 L d r Va2 1 / -I
v a 2 i ' V 7 T | C 0 | v < % y v 2 '
+ 4-k-4(^)l.
i/3fi/2 x /.f
z ( f ) = c2/3 ' ^ ( f ) = - I Vaha*2idf-c £ Jo
(A.36)
(A.37)
254
A.5. PAR DE ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN
Sea el par de ecuaciones diferenciales para f(t) y g{t)
df e2 d sf(t) di
e2 d sg(t)dt\"9y"J dt
(sf(t)-£)-qf(t)f(t)=rf(t)g(t)1
dg {s9{t)-^)-qg{t)g{t)^rg{t)f{t),
(A.38)
donde e es un parámetro pequeño, y Tf y rg son las funciones de acoplamiento entre ambas
ecuaciones.
Suponiendo que las soluciones de estas ecuaciones son de la forma
/ ( Í ) = e x p ^ + F 1 + . . .^ ,
g(t) = exp (^ + Gx +
se ha de cumplir
[s'o2-q9 +
Eliminando, por ejemplo, g entre estas ecuaciones queda
T.f = 0.
de donde se obtiene
S'o = \ (<?/ + Qg ± \¡(qf-q9)2+*rfrgj ,
<s°-^í+ í+ 2 F0+ ( s°-9 'Kf+ í+ 2 G ;) Por otra parte, de (A.39) ha de ser
expGi g _ S¿2 - qf
expFi / Tf S'02~q9
(A.39)
/ = 0
(A.40)
(A.41)
(A.42)
255
«-«^(sfc)'- (A43)
La ecuación (A.40) reduce el cálculo de So a una simple cuadratura y da los cuatro modos inde
pendientes de la solución general. Las funciones Fi y G\ se obtienen por integración de (A.41)
y (A.43). Solamente en casos particulares tal integración puede realizarse analíticamente.
Uno de ellos es
|só2-0/Klsó2-0*l> (A-44)
que, si todas las funciones involucradas son suaves, permite despreciar el segundo sumando
de (A.41), resultando
1 v expFi - —F==, expd ~ 9 expFi. (A.45)
VSfS0 S0 " q9
257
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