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Mecanismos y Sistenmas de Aeronaves Reguladores

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Departamento de Aeronáutica Mecanismos y Sistemas de Aeronaves

Reguladores

0.-Introducción. Pag. 2

1.-Reguladores – clasificación. Pag.2 a 4

2.-Reguladores a fuerza centrífuga. Pag. 5 a 19

3.-Reguladores en sistemas de hélices de paso variable.- Regulador tipo Hartnell.

Pag.19

4.-Reguladores axiales. Pag. 19 a 29

4.1- Regulador a péndulo. Pag. 19 a 26

4.2- Regulador a volante. Pag. 26 a 29

Apéndice de estabilidad.


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En muchos procesos y aplicaciones mecánicas, sobre todo las aeronáuticas, es necesario mantener los valores de ciertas magnitudes de estos, dentro de límites preestablecidos. Dichos procesos deben ser controlados entonces manual o automáticamente. Un esquema básico de control puede ser el siguiente: Para el caso de una aeronave que hay que controlar, el piloto seria el órgano de control (control manual). Para el caso de maquinas en las cuales se requiere controlar su velocidad, es decir mantenerla dentro de límites preestablecidos, debido al surgimiento de variaciones en los pares motores y/o resistentes, el mecanismo que hace las funciones de sensor y de organo de control, es un regulador. 1.-Reguladores – Clasificación. Un regulador es un dispositivo capaz de graduar automáticamente la potencia de una máquina, que varía continuamente. El regulador participa del movimiento de la máquina a la que pertenece, de manera que un cambio en su velocidad, por ejemplo, debido a una variación en la carga, produce correspondientemente un cambio en las partes móviles del regulador, que a su vez, mediante un adecuado mecanismo, hace cambiar la presión ó la cantidad de fluido de un determinado mecanismo (vapor, nafta, etc.) suministrado a la maquina.

Desviaciones Sistema controlado

Instrumento ó sensor

Organo de comando.

Organo de control

Perturbaciones

Señales Acción de corrección

Corrección. (orden)

Figura 1


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Esquema básico de un regulador: La acción de un regulador no debe confundirse con la del volante de inercia de un motor. Este, que actúa como un almacenador de energía, es útil para regular la velocidad durante intervalos de tiempo pequeños del ciclo de un motor, mientras que la función del regulador es regular la velocidad durante intervalos mucho mayores, manteniendo un equilibrio entre la energía suministrada al motor y la resistencia a vencer. En síntesis, los reguladores son dispositivos destinados a oponerse a eventuales perturbaciones de un movimiento uniforme. De acuerdo a la disposición de las masas giratorias y el método de conectarlos al motor, los reguladores pueden clasificarse, en general, en dos tipos: a) Reguladores centrífugos (ó de bolas). b) Reguladores axiales. Entre los reguladores centrífugos podemos nombrar: Regulador tipo Watt (Fig. 3): Consta de dos masas rotantes que mueven un buje que desliza a

lo largo de un eje y acciona un cuerno de comando. Regulador tipo Porter (Fig. 4): Es similar al anterior pero tiene una masa central cuya

gravedad compensa ampliamente la acción centrifuga de los contrapesos. Regulador tipo Hartnell (Fig. 5): Se caracteriza por disponer de un resorte de compresión que

se opone al movimiento del buje (v) que puede moverse hacia arriba y abajo, y esta limitado por topes. Dentro de la cubierta (A) se encuentra el resorte (G) que presiona sobre la cubierta y sobre el buje. La parte inferior de la cubierta dispone de los cuernos o brazos (L) que soportan en un extremo la masa (W) y en el otro una rueda que presiona el buje deslizable. Este tipo de regulador es usado en el sistema de hélice de paso variable.

1

2 1

2

Carga Máquina

Regulador

Figura 2


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Los reguladores axiales pueden ser centrífugos, en los cuales la fuerza centrífuga juega el papel principal en la acción reguladora (Fig. 6), ó de inercia, en los que predomina el efecto inercial (Fig. 7).

Figura 3. Regulador tipo Watt Figura 4. Regulador tipo Porter Figura 5. Regulador tipo Hartnell

Figura 6 Figura 7


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2.-Reguladores a fuerza centrífuga. Este tipo de reguladores es él más antiguo y el original usado por Watt en sus máquinas, fue usado mucho en las máquinas de vapor de poca velocidad y luego, tras posteriores modificaciones, en motores a explosión y turbinas de vapor, y diferentes sistemas de control. En su forma más simple puede describirse como un dispositivo R (destinado a oponerse a eventuales perturbaciones de un movimiento de rotación uniforme), constituido esencialmente por dos brazos iguales OA y OB vinculados con una articulación en un punto fijo O de un eje rotatorio “a”.

Dicho eje, que se supone, vertical es solidario a un sistema rotante “S” (eje de la máquina que se desea regular), del cuál interesa mantener uniforme su movimiento.

Los brazos mencionados llevan en sus extremos dos masas iguales “m” y están vinculados con una articulación mediante dos brazos menores iguales a un cuello (ó buje) C, deslizable sobre el eje “a”. De esta manera, queda asegurado que en cada instante los dos brazos OA y OB forman con “a” un mismo ángulo denominado “”.

Este eje gira a un velocidad proporcional a la de la maquina “S” y los contrapesos “m”, al girar con el eje, tienden a separarse por acción de la fuerza centrífuga. Puede determinase en forma precisa la vinculación entre la variación de “” y la eventual irregularidad del movimiento de “S”, o sea se busca una expresión que relacione el ángulo “” con “” (ángulo que indica la rotación de “S”).

Se observa que el dispositivo R y el sistema rotante “S” constituyen en conjunto un sistema material de dos grados de libertad, ya que pueden asumirse como parámetros lagrangeanos el ángulo “” que fija la orientación de R (y también de S) alrededor de “a” y el ángulo “” que individualiza la configuración de R en su plano.

O

A m m

k

l

S

a

R

Figura 8


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Con esto podemos hallar las ecuaciones de movimiento del sistema, que nos permitirán obtener las soluciones del mismo.

La energía cinética del sistema completo tendrá la forma:

22

2

1

2

1

IIT (1)

donde I e I son funciones de .

Para un primer análisis, supongamos que la masa de los brazos es despreciable frente a la masa m de los contrapesos.

En tales hipótesis, si "Ia" es el momento de inercia de S respecto de a (momento de inercia del acople a la maquina), se tiene:

222 senlmII a (2)

22 lmI (3)

Energía potencial*: En cuanto al peso, este admite un potencial U que esta dado como el potencial de las dos masas, o sea:

cos12 lgmU ** (4)

En cuanto al as fuerzas activas Q y Q, nos limitamos a suponer que solo intervienen el peso y un momento respecto del eje de rotación (considerado como un eventual exceso de potencia sobre la resistencia) que coincide con Q. *(Sin considerar la acción del resorte ni las fuerzas de roce) **(Tomando como potencial cero la posición mas baja de las masas)

S

senl

m m

k

l

a U = 0

cos1l

Figura 9


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En base a estas hipótesis, se obtienen las ecuaciones de movimiento, a partir de las ecuaciones de Lagrange, considerando la energía disipativa y las fuerzas aplicadas:

j

j

d

jjj

Qq

E

q

U

q

T

q

T

dt

d

(5)

Sustituyendo para el sistema en estudio, queda:

QIdt

d

(6)

02

1 2

UI

Idt

d (7)

Así, reemplazando Io, Q, I y U por las expresiones correspondientes y resolviendo las

ecuaciones diferenciales podemos hallar las ecuaciones de movimiento del sistema, es decir (t) y (t). Pero estas ecuaciones tienen particular interés para el estudio de las pequeñas oscilaciones entorno

de un movimiento de rotación de régimen ( o

= constante, = o =constante). Es decir, se determinara el comportamiento de la vinculación entre la variación de y la eventual irregularidad del momento del eje S, expresadas como pequeños cambios en la velocidad. En otras palabras analizaremos la condición de estabilidad del sistema. Se dijo, que Q representa un momento respecto del eje de rotación. En un movimiento perturbado, a partir de un movimiento en régimen en el cual la inclinación de los brazos del regulador sobre la vertical tenga un valor constante , este momento tendrá siempre signo opuesto a la perturbación a partir de 0 (pues esta perturbación con respecto de 0, se trata de oponer al momento Q). Q puede tomarse entonces como una función de la diferencia - 0, que tiene un carácter elástico. En primera aproximación puede ponerse: Q = -·( - 0) (8) Con = constante de proporcionalidad positiva (similar a una constante de rigidez torsional).


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Desarrollando las ecuaciones (6) y (7), obtenemos:

QIsenlmIdt

d

02 cos22 (6´)

02cos22

2

senlgmsenlmIdt

d (7´)

Ecuaciones que son verificadas por la posición de equilibrio, en la cual se cumple: = 0 (8)

0

(9) Y además:

00cos senlgmlF

Pero:

2

02

senlmrmF

Entonces:

00

2

0 cos senlgmlsenlm

Quedando:

0

2

0cos

l

g (10)

Con: (sen0 0) y 0

Si suponemos que durante el funcionamiento normal de la maquina que se quiere regular, las variaciones inducidas por este (momento Q), provocan pequeñas perturbaciones sobre el regulador, las ecuaciones de las pequeñas oscilaciones en el entorno de esta solución ( = 0,

0

y 0

2

0cos

l

g), se obtienen poniendo = 0 + ,

0 , donde w y son

pequeñas variaciones.

= 0 +

0 0

20

2

0

2

2

0 l

F

m·g

l·cos0

l·sen0

Figura 10


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y de lo que se desprende:

000

1

00 coscoscos

sensensensensen

(11)

000

1

00 coscoscoscoscos

sensensen

(12)

Reemplazando en las ecuaciones (6´) y (7´) se obtiene: Para la (6´):

02 cos4

Isenlm

02

002

00000

0

02

cos2

coscos4

senlmIa

sensenwlm

Reemplazando las (11) y (12):

00

20

022

0022

0

0

0

002

02

02

0002

coscos22

coscoscos4

sensenlmIaw

sensensenwlm

cos22

22cos22

14

02

022

0002

senlmw

senlmwIawsenwlm

I

senlmIaw

wlmsenwlmlmsenlm

022

0

02

0

02

0

002

002

22

2cos4222cos422

022 0020

senlmwI (13)


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Para la (7´):

02cos222

22

senlgmsenlmlm

0coscoscos 00

2

0000

0

0

sengsensenll

0coscoscoscos 00

20

02

02

02

00

l

gsen

l

gsensensen

0cos22coscos 000

2

0000

l

gsen

l

gwsen

0cos

2cos2cos22coscos

00

0

000000

2

00

2

0

l

gsen

l

g

wsenwsen

0cos2coscos2 000

2

00

2

0000

senl

gsen

l

gsenw

Considerando la ecuación (10) obtenida de la condición de equilibrio:

0

2

0cos

l

g 00

000

2

0 coscos

cos

senl

gsen

l

gsen

000

2

0 cos senl

gsen

Quedando para la (7´):

02coscos2 000

2

0000

senl

gsen

l

g

l

gsenw

02coscos2 0

2

0000

l

gsenw (14)


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Obteniendo, entonces, el sistema de ecuaciones diferenciales:

022 0020

senlmwI (13)

02coscos2 0

2

0000

l

gsenw (14)

En donde 0

I es el valor de I para = 0.

Si asumimos como solución de este sistema, a funciones del tipo exponencial:

tzew 1

tze 2 Con 1, 2, z constantes, se obtiene la siguiente ecuación característica:

Para la (13):

0222 20022

1022

tztztz esenezlmezsenlmIa

Simplificando tze , dividiendo por 22 lm , y reagrupando, queda:

02

22 20020

221

lmsenzzsen

lm

Ia (15)

Para la (14):

02coscos2 20

2

00102

2 0

tztztz e

l

gseneez

Simplificando tze , y reagrupando, queda:

02coscos2 0

2

02

2001 0

l

gzsen

Despejando 1 :

00

0

2

02

2

1

2

2coscos 0

sen

l

gz

(16)


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Sustituyendo (16) en (15):

02

222

2coscos

200202

2

00

0

2

02

2 0

lmsenzzsen

lm

Ia

sen

l

gz

Simplificando 2 , y multiplicando por 00 2

sen :

02

222

2coscos200000

2

20

2

02

0

lmsenzsenzsen

lm

Ia

l

gz

Distribuyendo:

02

2

22

2coscos2

200

02

2

002

20

2

03

02

2 0

lmsen

senzzsenlm

Ia

l

gzsen

lm

Ia

Pero de la ecuación (10) tenemos que:

02

2

0 coscos 0

l

g

Entonces:

02

2

22

2coscos2

200

02

2

002

20

2

02

23

02

2 00

lmsen

senzzsenlm

Iazsen

lm

Ia

(17)

Además:

02

2

02

2

02

2

0

2

02

2

00000 coscos2coscos sen

02

2

0

2

02

2

000 2coscos sen


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y

02

02

02 cos42 sensen

Sustituyendo en la (17)queda:

02

2

cos422

200

02

02

2

002

202

03

02

2

lmsen

senzzsenlm

Iasenzsen

lm

Ia

(18)

Reagrupando:

022

cos422

0

2

0202

02

202

2

03

02

2

senlm

zsenlm

Iasenzsen

lm

Ia

022

1cos322 0

2

0202

202

2

03

02

2

senlm

zlm

Iasenzsen

lm

Ia (19)

La cual es una ecuación de tercer orden en z., a la cual se le puede aplicar el criterio de estabilidad* para polígonos de este tipo, que dice: Sea F(z) la ecuación característica de un sistema, tal que F(z)= A0·z

3+ A1·z2 + A2z + A3. Para que

el sistema sea estable se debe cumplir la siguiente condición: A1·A2 -A0·A3 > 0 Para nuestro caso se ve que A1 es cero, y que A0, A2 y A3, son siempre positivas, por lo que el sistema como esta planteado no cumple la condición de estabilidad. Esta condición teórica se verifica con la constatación experimental, que el regulador de Watt no cumple precisamente su objetivo, pues actúa muy rápidamente (por ejemplo)tanto al abrir como al cerrar alguna válvula de acceso, por lo que se recurre a dispositivos mas perfeccionados Por esto es necesario considerar el problema agregando la acción del resorte y de las fuerzas de roce. Si consideráramos solo el resorte, indicado en la figura 1 con la letra k, su acción en el funcionamiento del regulador no modifica esencialmente su comportamiento en cuanto a la estabilidad (sigue siendo inestable). En efecto, la energía potencial ahora es suma de dos partes: la debida a la fuerza de gravedad y la energía del resorte, o sea:

2

2

1cos12 klgmU (20)

*Ver apéndice de estabilidad.


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Operando con esta consideración, se obtendrán ecuaciones de movimiento, cuya ecuación característica tendrá una forma similar con la ecuación característica del caso anterior, la cuál no varia en relación a la estabilidad del sistema. Si consideramos tanto la acción del resorte como de la fuerza de roce (en la energía disipativa), tendremos:

22

2

1

2

1

IIT (21)

2

2

1cos12 klgmU (22)

2

2

1vcE (23)

Donde: es el desplazamiento que sufre el resorte,

y VA es la velocidad sobre la guía del resorte. Tomando el caso mas general, se tiene para el desplazamiento :

cos1cos1coscos rRrRrR (24) si consideramos (para simplificar el análisis), que:

R = r = , y que R + r = l (25) Se obtiene:

cos1cos12cos1cos1 lRrR (26)

Y para la velocidad VA: Por condición cinemática de rigidez:

90coscos VcVA

cos

90cos

VcVA (27)

Además:

senrsenR para todo y

sen

R

rar cos (28)

A

senlV

'

R

Vc

lV

VA

(90 - - )

r

A

C

Figura 11


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senR

rar

senR

rarR

senR

rar

senR

rarVc

VA

coscos

cos90cos

coscos

cos90cos

(29)

Tomando la misma consideración que en el caso del desplazamiento, se tiene:

cos

cos2

cos

2

cos

2902cos90cos

cos

290cos senRsenRsensenRRVA

senlsenRVA

2 (30)

Quedando las ecuaciones para la energía potencial disipativa:

22 cos12

1cos12 lklgmU (31)

22

2

2

1senlcEd

(32)

La ecuación de Lagrange en su forma completa es:

j

j

d

jjj

Qq

E

q

U

q

T

q

T

dt

d

(33)

De donde:

0U

y 0

dE, por lo que la ecuación (13)se mantiene igual.

senlksenlgmU

cos12 2 (34)

2222 senlcsenlcEd

* (35)

*Considerando pequeñas variaciones ( 0 )


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Agregando estas últimas a la ecuación (7’), se obtiene:

0

cos12cos22

22

22

22

senlc

senlksenlgmsenlmlm (36)

Sustituyendo con las pequeñas variaciones:

0coscoscos1

222coscos22

200

20000

2

0

2

000022

senlcsensenlk

senlgmsenlmlm (37)

Desarrollando y simplificando términos de segundo orden:

0coscos22

cos

coscoscoscos2

2cos222coscos

0

022

0002

0

002

02

02

0000

0

0

00000

2

000

2

0

sensenm

c

l

g

sensensensenm

k

senl

gsensen

Reagrupando y simplificando nuevamente:

0cos2

cos

2coscoscos12

22cos

0

0002

0

0000000

2

0

senm

csen

m

c

l

g

senm

ksen

(39)

02

cos

cos2cos2

cos12

22cos

02

0

0000000

2

0

senm

c

l

gm

ksen

m

ksen

(38)

(40)


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Sacando como factor común

, y :

0cos12

2cos2cos2

cos2cos2

00

0000

2

002

senm

k

senm

k

l

gsen

m

c

Sustituyendo 0cosl

g, por 0

22

0 cos

:

0cos12

2

cos2cos2

cos2cos2

0000

02

2

00

2

002

senm

ksen

m

ksen

m

c

(42)

Simplificando y reagrupando:

0cos12

2

cos2cos2

coscos2

0000

02

2

002

02

2

002

senm

ksen

m

ksensen

m

c

(43)

0cos12

2cos2cos22

00

0002

2

002

senm

k

senm

ksensen

m

c

(44)

Por simplicidad, escribamos la (13) y la (44) así:

0211

bba (45)

0

fedb (46)

(41)


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donde:

0

222

0

1 22 sen

lm

Ia

lm

Ia

001 2

senb

22 2 lm

b

02

2sen

m

cb

cos2cos20

22

0

m

ksend

00 2

sene

00 cos12

senm

kf

Tomando, para el sistema homogéneo (f = 0), soluciones del tipo:

tzew 1

tze 2 y reemplazando en la (45) y (46), se tiene:

022111 bzbza (47)

022

1 dzbze (48) La ecuación característica resultante es: 02

21221 dzbzzabzbe

02

121 dzbzzabzbe O sea: 032

21

30 AzAzAzA

Siendo: 10 aA

baA 11

112 bedaA

23 beA


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Está ecuación característica es de tercer grado con todos sus coeficientes positivos. La condición de estabilidad de la ecuación cúbica establece que: A1·A2 -A0·A3 > 0 Es decir:

21111 beabedaba 0 Esta condición supone que la cantidad b dependiente de la ficción, cumpla el requisito:

b 11

2

111

21

beda

be

bedaa

bea

, o sea

b

22

002

2

02

0

0

22cos2cos

22

2

lmsen

m

ksen

lm

I

sen

b

22200

22

00

0

2cos2cos2

2

senm

ksenI

sen (49)

Si no se satisface esta condición, el movimiento estacionario supuesto del regulador es inestable; una variación brusca en la carga de la máquina producirá oscilaciones en el regulador que no se amortiguarán gradualmente, y tendrá lugar el conocido fenómeno de penduleo del regulador. La solución particular de la ecuación diferencial no aporta al estudio de la estabilidad del sistema mas que la ecuación (49) por lo que no hace falta desarrollarla. 3.-Reguladores en sistemas de hélices de paso variable.- Regulador tipo Hartnell. Pag.

Ver apéndice B. Regulador tipo Hartnell 4.-Reguladores axiales.

4.1- Regulador a péndulo.

Consideremos el regulador cuyo esquema está indicado el la figura 12, donde un disco circular gira alrededor de su eje vertical cuya traza es “O”.


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En un punto “A” del disco, situado a una distancia “r” del eje de rotación, se agrega un péndulo de longitud “l” y masa “m”.

Si se supone que el péndulo está apoyado sobre una superficie horizontal pulida, de manera que el movimiento del sistema esté confinado al plano horizontal del disco; no se necesitará considerar los efectos de la fricción, ni los de la gravedad.

Estudio cinemático general. Deseamos determinar la velocidad y aceleración del punto “G”, centro de gravedad de la masa“m”. La velocidad total de la masa “m” que se indica como VG es igual a la suma geométrica (ó

vectorial) de la velocidad que tiene en su movimiento con el disco (al acompañarlo), la que se denomina V (velocidad de arrastre), y su velocidad respecto del mismo Vr (velocidad relativa), o sea:

VrVVG

Para este caso:

OGV AGVr Cuyos módulos son:

sVV

llVrVr

Luego del triangulo de velocidades se obtiene:

cos2cos22

2222

2222lslslslsVG

A

r

O

C m

s k

I

l

E

a

G

Figura 12

w

w

A

r

O

m

s

l

G

Figura 13

Vr

V

GV

-( - )

C k

E


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Sustituyendo “s” ( OGs ) y cos por funciones de :

cos2222 rlrls

cos2222 lslsr ls

lsr

2

cos222

Desarrollando cos en serie de potencias, y tomando los dos primeros terminos (los mas relevantes considerando pequeñas variaciones:

21cos

2 2222 2 rlrlrls

222 rlrls Queda:

ls

lrlrlrlr

ls

lsr

2

2

2cos

22222222

ls

rll

2

22cos

22

Sustituyendo en VG:

ls

rlllsrlrllVG

2

222

22222

222

222222

2222

rllrlrllVG

Considerando una variación de w: dw =

222

222

2222

rllrlrllVG

En cuanto a la aceleración de la masa “m”, o sea aG, se tiene:

CrG aaaa

donde:

AGAGar

2 aceleración relativa

OGOGa

2 aceleración de arrastre

AGAGVra 222 aceleración de Coriolis


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Conocido el valor de aG, pueden obtenerse las fuerzas de inercia:

GamFi

Estudio dinámico del regulador: Se estudiará en este apartado las características dinámicas de este regulador. Suponiendo en un primer momento, un movimiento estacionario estable del sistema, en el que el péndulo toma una dirección radial mientras el disco gira a una velocidad uniforme w. Ahora, si una pequeña perturbación cualquiera provoca un pequeño desplazamiento del péndulo de la posición inicial, dará por resultado pequeñas oscilaciones del péndulo y pequeñas fluctuaciones en la velocidad angular del disco. Para el estudio de estas oscilaciones se hará uso de las ecuaciones de Lagrange, siendo el pequeño ángulo de oscilación del péndulo y llamando con

las pequeñas fluctuaciones en la velocidad angular del disco. En estas condiciones la energía cinética vale:

22

2

1

2

1GVmIT

2222

2

1

2

1 akAEkU

La expresión de Lagrange, en su forma completa es:

j

j

d

jjj

Qq

E

q

U

q

T

q

T

dt

d

Que aplicándola para qj =, da:

2222 222

1

rllmwrlrlmwIT

2222 222

1

rllmwrlmwrlmIT

-( - ) w

A

r

O

m

s

l

G

Figura 14

Vr

V

GV

C k

E

I


Página 23 de29

0

2

22

00

22 222

12

rlm

rllmwrlmrlmrlmIT

t

0

2

22222

2

1

22

1

rlm

rlmlmrlmIrlmlmrlmIT

lrlmrlmIT 2

Y además:

0T

0U

0

dE

0Q

Por lo que:

02

lrlmrlmIEUTT

dt

d d

Aplicando ahora, la expresión de Lagrange, para qj =

, da:

222 222

1

rllmlmT


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0

222

2

1

mrlmlmlmT

lrlmlmT 2

lrlmlm

T

t2

rlmrlmT

2

00

22 2

rlmrlmrlmT

0

2

0

2 2

rlmrlmrlmT

2

rlmT

Además:

2akU

0

dE

0Q


Página 25 de29

Por lo que:

0222

akrlmlrlmlmEUTT

dt

d d

0

2

22

lm

ak

l

r

l

lr

0

2

22

lm

ak

l

r

l

lr

Quedando el sistema:

02

lrlmrlmI

0

2

22

lm

ak

l

r

l

lr

Llamando 20 rlmII y eliminando

de las ecuaciones, resulta:

0I

lrlm

0

2

22

0

lm

ak

l

r

I

lrlm

l

lr

012

22

0

2

lm

ak

l

r

I

lrm

02

22

0

20

lm

ak

l

r

I

lrmI

02

22

0

22

lm

ak

l

r

I

lrmlrmI

02

22

0

lm

ak

l

r

I

I


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Esto indica que el péndulo giratorio oscila armónicamente con una pulsación:

2

2202

lm

ak

l

r

I

Ip

que resulta función de la velocidad de rotación estacionaria del disco () y de la frecuencia natural del sistema péndulo-resorte. 4.2- Regulador a volante.

Dos brazos pesados H y H’ están articulados en los extremos de un disco L que rota alrededor de su eje O Los dos brazos están vinculados por un resorte de constante k, y sus ejes forman ángulos iguales con respecto de la línea de los centros de articulación BB’.

Es evidente, dado la simetría, que el sistema posee dos grados de libertad. Por simplicidad se toma como coordenadas Lagrangeanas los ángulos 1 (inclinación de los brazos H y H’ respecto de la normal a BB’) y 2 (ángulo de orientación de los puntos B y B’ con respecto a una terna fija) La energía cinética del disco es:

2

22

1

dd IT

Id = momento de inercia del disco. Y la energía cinética de cada brazo es:

2

212

2

1

2

1

bGbb IVmT

pues el movimiento de H (ó H’) respecto de su centro de gravedad G (ó G’), es la rotación alrededor de la recta que pasa por G (ó G’) paralela a la dirección común del eje del disco y a la del eje de la articulación en B (ó B). Por otra parte, en la figura b, se a dibujado la posición de uno de los brazos (el izquierdo) para un instante genérico del movimiento del disco.

L

B

B’

H’

H O

k

G’

G

E’

E (/2 - 1)

1

1

2

Figura 15.a


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Las coordenadas de G respecto de una terna fija (x; y; z), cuyo eje vertical (z) coincide con el eje que pasa por O, son:

122 cos lsenaxG

122cos senlayG

Con: OBa ; BGl

Derivando con respecto del tiempo:

121222cos senlaxG

121222 cos lsenayG

Luego:

22

2

GGG yxV

212122

212122

2

122

2

222

cos2

cos2

senla

senlalaVG

122212

2

122

2

222 2

senlalaVG

1212

2

122

2

222 2 senlalaVG

x (+)

y (+)

B

O

n l

G

2 2

1

Figura b

a


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Quedando entonces, la energía cinética total del sistema:

2

212

2

22

12

bGbdbd IVmITTT

2

211212

2

122

2

22

2

2 22

1

bbbbd IsenlamlmamIT

2112

21

22

2122

22

22

1

senmlalmI

lmIsenmlalmamIIT

bbb

bbbbbbd

2112

2

2222

111 22

1 aaaT

Siendo: 2

11 22 lmIa bb

122

22 22 senlalamIIa bbd

senmlalmIa bbb 22 212

Ahora, en la hipótesis de que los brazos pesados están obligados a moverse sobre el plano del disco y están libres de fricción, la energía potencial se reduce a la energía elástica, y la energía disipada es cero, por lo que:

2'2

1EEkU 0dE

Siendo E y 'E , los desplazamientos de los puntos de anclaje E, E’ del resorte.

Si se indica con EBh , resulta hlEB '' .

Luego: 1 hE 1' hlE 111' lhlhEE Por lo que queda:

21

22

2

1'

2

1 lkkU EE


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Aplicando las ecuaciones de Lagrange, se obtiene:

02 12

212111

lkaa

0112222

aa Resolviendo estas ecuaciones, se puede obtener el estado dinámico del regulador.

departamento de aeronáutica mecanismos y sistemas de … reguladores v... · mecanismos y...

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