den lineære funktion, matematik uge 2-5 2012

Den 1. februar 2012

Den Lineære FunktionMatematik C, KNORD HHXFrederik Rokamp Pedersen, 1C

Skriftlig MAT C, 1. år HHX

Frederik Rokamp Pedersen Den Lineære Funktion1C, KNORD HHX Skriftlig MAT C, 1. år HHX 2012

IndholdsfortegnelseDefinition af lineære funktioner.......................................................................................................................3

Bevis.............................................................................................................................................................3

Eksempel på en lineær funktion...................................................................................................................4

Sproglig beskrivelse..................................................................................................................................4

Tabelbeskrivelse.......................................................................................................................................4

Grafisk beskrivelse....................................................................................................................................4

Regneforskrift...........................................................................................................................................5

Beregning af forskrift for den rette linje...........................................................................................................5

Beregning af a og b når man kender to punkter...........................................................................................5

Øvelse 5/e, s. 121.....................................................................................................................................5

Beregning af b når man kender a og et punkt..............................................................................................5

Løsning af enkle ligninger.................................................................................................................................6

Øvelse 1/a, s. 71...........................................................................................................................................6

Øvelse 2/a, s. 72...........................................................................................................................................7

To ligninger med to variable.............................................................................................................................7

Øvelse 7/d, s. 77...........................................................................................................................................7

Eksempel på beregning af skæringspunkt mellem to rette linjer.....................................................................8

Øvelse 9, s. 126.............................................................................................................................................8

Modelopgaver..................................................................................................................................................9

Opgave 5, s. 152...........................................................................................................................................9

Stykkevis lineær funktion...............................................................................................................................10

Øvelse 13, s. 130.........................................................................................................................................10

Løsning af enkle uligheder..............................................................................................................................11

Øvelse 9/a, s. 82.........................................................................................................................................12

Øvelse 9/f, s. 82..........................................................................................................................................12

Konklusion......................................................................................................................................................12

2/12


Definition af lineære funktionerFunktioner er yderst vigtige for den generelle forståelse for matematik men også mere konkret for den daglige brug af matematik. I dagligdagen bruger man ikke kun simpel matematik, som når man skal regne priserne ud i supermarkedet når man køber ind, man får også nu og da brug for at regne med funktioner. Funktioner kan for eksempel bruges til at danne en skabelon for hvad momsen udgør af en given pris, eller sågar regne på hvor omfattende ens årlige varmeudgifter måtte være.

En lineær funktion kendetegnes ved at dens graf altid er lineær (dvs. ret) i et koordinatsystem. Forskriften for en lineær funktion ser ud som følgende:y=f (x )=ax+b

I den forskrift indgår a, og b. Disse er meget vigtige for hvordan selve grafen ligger i koordinatsystemet. a, også kaldet hældningskoefficienten, viser os hvor vidt grafen hælder og om den falder (en negativ hældningskoefficient) eller den stiger (en positiv hældningskoefficient).b, kalder jeg for startværdien og den viser os det punkt grafen skærer på y-aksen.

BevisHvis man har en funktion der ser således ud:f (x)=5x+16

Så vil man finde at a er lig med 5 og b er lig med 16. Det vil sige at grafen skærer på y-aksens 16-værdi og har en hældningskoefficient på 5. Når man så skal tegne grafen er det vigtigt at man finder 16-værdien på y-aksen og fra det punkt rykker 1 ud af x-aksen. Det er så nu man skal gøre brug af hældningskoefficienten, og da den er et positivt 5’tal skal vi rykke 5 op (hvis den var negativ skulle vi rykke 5 ned). Nu har man to punkter og kan tegne grafen ud fra dem. Se Figur 1.

3/12Figur 1


Eksempel på en lineær funktion

Sproglig beskrivelseNu når vi ved hvordan man definerer en lineær funktion, og hvordan vi sætter den ind i et koordinatsystem kan vi foretage et eksempel. Vi vil gerne lave en funktion som kan vise os forholdet mellem to valutaer. Lad os tage den danske valuta, DKK, og den amerikanske valuta, USD. I dette tilfælde vil vi gerne finde ud af hvad et givent beløb angivet i DKK svare til i USD. Lad os sige at vi skal til USA, men vi vil gerne have et overblik over hvor mange USD vi skal have med. Vi ved at 100 USD er 576 DKK1.

TabelbeskrivelseNu ved vi hvad det er vi gerne vil finde ud af og hvad grafen skal vise os. Nu kan vi sætte vores data ind i en tabel.

Punkt A B C D E FAmerikanske dollar (USD) X 10 50 100 200 500 1000Danske kroner (DKK) Y 57.6 288 576 1152 2880 5760Grafisk beskrivelseVed hjælp af tabellen kan vi sætte vores støttepunkter ind og tegne grafen ud fra dem. Se Figur 2.Vi kan blandt andet aflæse at 200 USD er 1152 DKK.

1 Valutakursen fra Nationalbanken d. 19.01.12

4/12

Figur 2


Regneforskrift Forskriften for den lineære funktion, som man kan se i Figur 2, kan vi bestemme ved først at finde værdien for a (hældningskoefficienten). Vi ved at vi – ved hjælp af grafen – kan aflæse at 200 USD på x-aksen svarer til 1152 DKK på y-aksen.

Dermed kan vi også finde værdien for a ved at dividere 1152 med 200:1152200

=5,76

Vi kan se at resultatet er 5,76 og det er vores hældningskoefficient (a), da 5,76 DKK er 1 USD. Værdien for b ved vi er 0 fordi grafen skærer y-aksen på 0.

Så kan vi lave denne forskrift:f (x)=5,76x+0

hvor x er et hvilken som helst DKK beløb

Da værdien for b er 0 skal den ikke medtages i forskriften, men jeg valgte at tage den med for eksemplets skyld.

Beregning af forskrift for den rette linjeI forrige afsnit viste jeg et eksempel på hvordan man kan bestemme funktionens forskrift når man finder værdierne for a og b ved at aflæse grafen. I dette afsnit vil jeg gå mere matematisk til værks.

Beregning af a og b når man kender to punkterNår man kender to punkter, (x1 , y1) og (x2 , y2), som grafen går igennem, kan man med de to nedenstående formler udregne værdierne for henholdsvis a og b.

a=y2− y1x2−x1

b= y1−a ∙ x1

Øvelse 5/e, s. 121I denne opgave får vi opgivet to punkter i et koordinatsystem: (4,3) og (−3,7).De koordinater sætter vi ind i formlerne for oven:

a= 7−3−3−4

=−0,571428571

b=3−−0,571428571∙4=3,57142857

Så får vi at hældningskoefficienten (a) er -0,57 og vi kan konkludere at det er en negativ hældning en evt. graf kommer til at tage. Vi får også at startværdien (b) er 3,57 og vi kan konkludere at en evt. graf kommer til at skære y-aksen på 3,57.

Ud fra de tal vi nu har udregnet kan vi determinere en forskrift for en evt. graf:f (x)=ax+b↔f (x )=−0,57 x+3,57

5/12


Beregning af b når man kender a og et punktHer forklarer jeg hvordan man finder y-aksens og grafens skæringspunkt, b, når man har en forskrift for en lineær funktion, f (x), hvor man kender hældningskoefficienten, a, samt har fået opgivet et punkt, P, hvorpå grafen kommer til at ligge.

Eksempel:f (x)=7 x+bP=(3,5)

Fremgangsmåde:1. Isolér b, ved at bruge regneregler for enkle ligninger (se næste afsnit).f (x)=7 x+bb=f (x)−7 x

2. Nu skal vi til at behandle det punkt vi har fået opgivet. Vi ved at x-koordinaten i punktet er 3, mens y-koordinaten er 5. Så putter vi koordinaterne ind i formlen:b=f (x)−7 xb=5−7 ∙3Nu står 5 på f (x)= y’s plads, mens 3 står på x’ plads.

3. Så beregner vi resultatet:b=5−7 ∙3b=5−21b=−16Så finder vi at b er lig med -16.

4. Dermed kan vi bestemme en forskrift der nu ser således ud:f ( x )=7 x+bf (x)=7 x−16

Løsning af enkle ligningerREGNEREGLER FOR LØSNING AF LIGNINGER2

1. Man må lægge det samme tal til eller trække det samme tal fra på begge sider af lighedstegnet.- Hvis a=b er a+c=b+c- Hvis a=b er a−c=b−c

2. Man må gange eller dividere med det samme tal (ikke tallet 0) på begge sider af lighedstegnet.- Hvis a=b er a ∙ c=b ∙ c

- Hvis a=b er ac=bc

Det vil med andre ord sige at når man skal løse en ligning (og det indebærer at man vil finde værdien for x) skal man bestræbe sig på at isolere x ved at fjerne et tal fra den ene side af lighedstegnet til den anden side af lighedstegnet ved – på destinationssiden – at udføre det modsatte af hvad tallets fortegn siger på den oprindelige side.

Øvelse 1/a, s. 71I denne opgave skal vi løse ligningen.

Fremgangsmåde:

2 Uddrag fra MAT C fra forlaget Systime, s. 70 om regneregler for løsning af ligninger.

6/12


1. Ligningen er:8 x−5=3x+7

2. Vi vil nu gerne have alle x’erne over på højre side af lighedstegnet. Det gøres ved at anvende 1. regneregel, som er angivet ovenover.8 x−5=3x+7−7−5=3 x−8 x

3. Nu ser vi at 7 og 8x har skiftet fortegn. Nu vil vi gerne lave en mellemregning for at reducere mængden af tal i ligningen.−7−5=3 x−8 x−12=−5 x

4. Nu skal vi bare finde x og det gør vi først og fremmest ved at fjerne -5 fra x:−12−5

=x

2,4=x5. Nu får vi at:x=2,4L=2,4

Øvelse 2/a, s. 72I denne opgave skal vi løse ligningen. Jeg vil ikke gå nær så meget i detaljen med denne opgave, som med forrige opgave. Fremgangsmåden har jeg allerede beskrevet.

3 x+7=(2 x−5)+x−23 x+7=3 x−73 x−3 x=−7−70 x=−14L=Ø

Løsningen til denne ligning ender med at være L=Ø , som er den ”tomme løsningsmængde” fordi det endte med at ligningen ikke havde nogen x’er.

To ligninger med to variableHer vil vi gerne finde både x og y . Når vi har to ligninger der skal fungere og gælde sammen kaldes det et ligningssystem. De to ligninger skal altså være sande på samme tid, så man skal derfor finde værdier for variablerne (x , y ) som gælder i begge ligninger. Jeg anvender først de lige store koefficienters metode, hvor jeg først finder et udtryk for x og så sætter det ind på x’ plads i den anden ligning, for at finde udtrykket for y – ifølge substitutionsmetoden.

Øvelse 7/d, s. 77I denne opgave har vi følgende ligningssystem:3 x+ y=7 v2 x+2 y=−2

1. Nu finder jeg et udtryk for x.2 x=−2−2 y

x=−2−2 y2

x=−1− y2. Nu sætter jeg det udtryk ind i den første ligning.

7/12


3 ∙(−1)−2 y=7−3−2 y=7−2 y=7+3−2 y=10

y= 10−2

y=−53. Nu kender jeg y og kan derfor finde x.

x=−1+5x=4

4. Vi kan nu gøre prøve og vi vil finde at de to ligninger er sande på samme tid, med de to værdier for y og x.

Eksempel på beregning af skæringspunkt mellem to rette linjerNår vi skal beregne skæringspunktet mellem to linjer skal vi sætte forskrifterne for dem lige med hinanden. Dette kommer der et eksempel på i dette afsnit.

Øvelse 9, s. 126Vi har følgende funktioner:f (x)=−3x+30g(x )=3,5 x+8

Efterspørgsel=fUdbud=g

Jeg vil først beregne ligevægtsprisen ved hjælp af matematikken. De to funktioner skal sættes lige med hinanden:f ( x )=g ( x )↔−3 x+30=3,5 x+8

1. Så kan jeg begynde at regne på ligningen, som man ville på en almindelig ligning.−3 x+30=3,5 x+8−3 x−3,5 x=8−30−6,5 x=−22

x= −22−6,5

x=3,382. Nu har vi fundet værdien for x. Den sætter vi så ind i funktionen for f :f (3,38 )=−3 ∙3,38+30=19,86

3. Ligevægtsprisen er altså 19,86 ifølge mine beregninger.

I Figur 3 kan man se at jeg har tegnet graferne for funktionerne og man kan aflæse ligevægtsprisen.

8/12


ModelopgaverSom jeg kom ind på i definitionen af en lineær funktion i første afsnit, kan nogle funktioner bruges som fundamenter for forskellige modeller. For eksempel kan de fungere som modeller for hvad ens løn er i forhold til hvor meget man omsætter og så videre. Funktioner som modeller anvendes også af metrologer der laver grafer for ugens temperature. Økonomer bruger også funktioner til at se udviklingen i valutakurser. I dette afsnit kommer der et eksempel på, hvordan man bruger funktionerne som modeller.

Opgave 5, s. 152I denne opgave er der en virksomhed der anvender to aflønningsformer, dvs. måder de giver deres sælgere løn på. Med den ene aflønningsform aflønnes sælgeren med 25 % af omsætningen. Med den anden aflønningsform får sælgeren en fast grundløn på 13.000 kr. pr. måned, samt et tillæg på 12 % af sælgerens omsætning. Jeg skal finde ud af hvad omsætningen skal være for at de to aflønningsformer er lige lønsomme. Derfor skal jeg bestemme to forskrifter for aflønningsformerne, sætte dem lige med hinanden og finde værdien for x (omsætning).

Første aflønningx=omsætning0,25=provision

Vi kan bestemme følgende forskrift for den første aflønningsform:f ( x )=x ∙0,25

9/12

Figur 3


Anden aflønningx=omsætning0,12=provision13.000=fast løn

Vi kan bestemme følgende forskrift for den anden aflønningsform:g ( x )=x ∙0,12+13000

1. Nu kan jeg sætte de to forskrifter lige med hinanden:f ( x )=g ( x )↔x ∙0,25=x ∙0,12+13000

2. Så finder jeg x:0,25 x=0,12 x+130000,25 x−0,12 x=130000,13 x=13000

x=130000,13

x=100000

Jeg finder dermed at omsætningen skal være 100.000, for at de to aflønningsformer er lige lønsomme for virksomheden.

Stykkevis lineær funktionMange grafer og problemer/cases kan beskrives med én enkel funktion, men andre skal beskrives ved flere lineære funktioner. Når man derfor tegner stykkevise lineære funktioner ind i et koordinatsystem vil der være flere grafer der beskriver den samme ting. I dette afsnit vil jeg vise et eksempel på en stykkevis lineær funktion.

Øvelse 13, s. 130I denne opgave har den stykkevise lineære funktion følgende forskrift:

f ( x )={ 2x+3 for x≤3−x+4 for 3< x<5−1 for x≥5

Jeg skal nu bestemme koordinaterne til endepunkterne, så disse kan forbindes til en ret linje.Desuden skal jeg grafisk løse ligningen f ( x )=4.

Vi har nu følgende endepunkter:

- y=2x+3 : f (3)=9Den første funktion giver altså en graf med et endepunkt på (3 ,9). Denne har altså kun ét endepunkt.

- y=− x+4 : f (3)=1 ; f (5)=−1Den anden funktion giver altså en graf med endepunkterne (3,1); (5 ,−1). Denne har altså to endepunkter.

- y=−1 for x≥5

10/12


Er en lige linje der starter på -1 på y-aksen og går langs med x-aksen, men den starter først ved punktet (5 ,−1). Denne har altså kun et startpunkt, om man så må sige.

I Figur 4 har jeg nu indtegnet funktionerne og deres intervaller. Her kan man se hvor graferne har deres endepunkter. Jeg har også sat f (x)=4 ind. Jeg kan nu følge grafen og aflæse der hvor den skær f (x)=2x+3 funktionen og fra det punkt gå ned på y=0 og se at løsningen til f (x)=4 (som jeg kalder for Lf ) er lig med 0,5.

Løsning af enkle ulighederDer er ikke meget forskel på ligninger og uligheder. I uligheder har vi udskiftet lighedstegnet med ulighedstegnet. Når vi løser en ulighed bestræber vi os på at få x’erne over på venstre side af ulighedstegnet.

¿ Lig med¿ Større end¿ Mindre end≥ Større end eller lig med≤ Mindre end eller lig med

REGNEREGLER FOR LØSNING AF ULIGHEDER3

1. Man må lægge det samme tal til eller trække det samme tal fra på begge sider af ulighedstegnet.Hvis a>b er a+c>b+CHvis a>ber a−c>b−c

2. Man må gange med det samme tal (ikke tallet 0) på begge sider af ulighedstegnet. Hvis tallet er negativt, vendes ulighedstegnet om.

3 Uddrag fra MAT C fra forlaget Systime, s. 80 om regneregler for løsning af uligheder.

11/12


Hvis a>b og c>0 er a ∙ c>b ∙ cHvis a>b og c<0 er a ∙ c<b ∙ c

3. Man må dividere med det samme tal (ikke tallet 0) på begge sider af ulighedstegnet. Hvis tallet er negativt, vendes ulighedstegnet om.

Hvis a>b og c>0 er ac> bc

Hvis a>b og c<0 er ac< bc

Øvelse 9/a, s. 82I denne opgave skal jeg løse følgende ulighed:2 x−(3+7 x )>x+9

1. Med ovenstående regneregler kan jeg løse uligheden.2 x−(3+7 x )>x+92 x−3−7 x>x+92 x−x−7 x>9+3x−7 x>12−6 x>12

x> 12−6

2. Da tallet er negativt, vendes ulighedstegnet om:x←2L=¿−∞ ;−2¿

Øvelse 9/f, s. 82I denne opgave skal jeg løse følgende ulighed:−50 x−55←5 x−35−50 x+5x←35+55−45x<20

x< 20−45

x>−49

L=¿−49;∞ ¿

KonklusionJeg har altså nu behandlet lineære funktioner, som et emne der indbefatter viden om almindelige regneregler for ligninger og uligheder. Jeg har også kigget på hvordan man praktisk bruger funktioner til at beregne f. eks. løn, valuta og ligevægtspris. Jeg har kigget på alle måderne hvorpå en funktion kan beskrives og jeg har ført bevis for konstanterne a, b og c.

12/12

den lineære funktion, matematik uge 2-5 2012

Documents

fra forlaget systime

vendes ulighedstegnet om

en liner funktion

uddrag fra mat

graf kommer til

ligninger og uligheder

nr man kender

ligninger med