Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet

Matematički odsjek

DEKADSKI RAZLOMCI I DECIMALNI BROJEVI seminarski rad iz kolegija Metodika nastave matematike 1

Janja Mikić Zoran Lovrić

Zagreb, 14. prosinca 2016.

1

Sadržaj:

1. Uvod ......................................................................................................................2 2. Dekadski razlomci i modeli uvođenja ....................................................................3

2.1. Model kvadratne mreže ...................................................................................3 2.2. Model postotnog kruga ....................................................................................3 2.3. Model jedinične dužine ....................................................................................3 2.4. Model mjernih jedinica .....................................................................................4

3. Decimalni brojevi ...................................................................................................5 3.1. Decimalni zapis broja ………………………………………………………………………………….. 5 3.2. Dekadska i decimalna mjesta ………………………………………………………………………. 6 3.3. Prikazivanje decimalnih brojeva na brojevnom pravcu ………………………………… 7 3.4. Uspoređivanje decimalnih brojeva ………………………………………………………………. 8 3.5. Zaokruživanje decimalnih brojeva ………………………………………………………………….10

4. Ishodi učenja ………………………………………………………………………………………………………11 5. Literatura ……………………………………………………………………………………………………………12

2

Uvod

Decimalni brojevi se koriste svakodnevno, od cijena u običnoj trgovini do proračuna u velikom CERN institutu. Puno je lakše zbrojiti dva decimalna broja sa šest ili sedam decimalnih mjesta nego dva razlomka s troznamenkastim i dvoznamenkastim nazivnicima. Učenici se s decimalnim brojevima susreću puno prije nego ih počnu učiti u školi, ipak ili je bolje reći upravo zbog toga uvođenje decimalnih brojeva treba detaljno obraditi i ispraviti moguće pogreške i predrasude koje učenici imaju prema decimalnim brojevima. Decimalni brojevi se prvi put obrađuju pred kraj petog razreda osnovne škole, odmah nakon razlomaka odnosno nakon uvođenja skupa racionalnih brojeva.

3

Dekadski razlomci i modeli uvođenja

Mnoga starija izdanja udžbenika za peti razred osnovne škole uopće ne sadrže poglavlje dekadske razlomke nego decimalne brojeve uvode preko raznih primjera iz svakodnevnog života. Novija izdanja sadrže dekadske razlomke jer su autori vjerojatno uvidjeli da se na taj način može povezati sadržaji koje su učenici prethodno obrađivali, a to su racionalni brojevi odnosno razlomci i na taj način lakše uvesti decimalne brojeve. Postoji nekoliko modela pomoću kojih se uvode dekadski razlomci, nabrojat ćemo i opisati neke od njih. Model kvadratne mreže

Vizualno dobra metoda je model kvadratne mreže u kojoj kvadrat podijelimo na 10 sukladnih pravokutnika. Kvadrat je podijeljen na 10 jednakih dijelova i bojanjem na primjer tri pravokutnika obojali smo tri desetine kvadrata. Ako sada svaki pravokutnik podijelimo na 10 sukladnih kvadrata, dobit ćemo kvadratnu mrežu koju smo podijelili na 100 sukladnih kvadratića. Opet bojanjem određenog broja kvadratića obojali smo toliko stotina velikog kvadrata.

Slika 1. Primjer modela kvadratne mreže.

Model postotnog kruga

Ako krug podijelimo na 10 jednakih kružnih isječaka, dobit ćemo postotni krug. Ovaj model je sličan kvadratnoj mreži, ali nije praktičan za dekadske razlomke kojima je nazivnik 100 ili neki veći višekratnik broja 10, jer će nam kružni isječci biti premali. Stoga je ovaj model dobro kombinirati s modelom kvadratne mreže.

Slika 2. Primjer modela postotnog kruga.

Model jedinične dužine

Veoma praktičan model je model jedinične dužine, jer učenici u svom priboru imaju ravnalo pa im je ovaj model blizak i učitelju je lako prikazati ga. Sastoji se u tome da se jedinična dužina podijeli prvo na 10 jednakih dužina, a potom svaka dobivena manja dužina ponovno podijeli na 10 jednakih dijelova, tako smo jediničnu dužinu podijelili na 100 jednakih dijelova.

4

Ovaj model je posebno dobar za uspoređivanje dekadskih razlomaka jer brojeve različitih nazivnika (10 i 100, malo teže one nazivnika 100) možemo prikazati na brojevnom pravcu i vrlo lako vidjeti na primjer da je tri desetine veći broj od dvadesetdvije stotine.

Slika 3. Primjer modela jedinične dužine

. Model mjernih jedinica

U nastavi, a posebno u nastavi matematike, dobro je modele povezivati sa stvarnim životnim situacijama, na taj način učenicima približavamo nastavne sadržaje preko nečega što im je blisko i što koriste svakodnevno. Mjerne jedinice i novac su prisutni svakodnevno i upravo ovaj model je jedan od najboljih za uvođenje dekadskih razlomaka i decimalnih brojeva. Primjer 1: U jednoj posudi nalazi se 27 dl vode. koliko je to litara vode? Budući da je 20 dl = 2 l, to je 27 dl = 2 l i 7 dl.

Dalje je 7 dl = 7

10 l, pa je 27 dl = 2 l i

7

10 l, a to pišemo (2 +

7

10 ) l ili 2

7

10 l.

Primjer 2:

Ana je kupila čokoladu u trgovini. Cijena čokolade je 5 3

5 kune.

Koliko novaca Ana mora dati u kunama i lipama bez da joj blagajnica vrati ostatak?

53

5 = 5

60

100 kn = 5 kn i 60 lipa

5

Decimalni brojevi

Decimalni zapis broja

Jedan od načina uvođenja decimalnih brojeva je svakako primjer s duljinom olovke koju koriste mnogi autori, a učenicima je prikladan. Želimo izmjeriti duljinu olovke u centimetrima.

Slika 4. Primjer modela mjernih jedinica

Ravnalom očitamo da je njezina duljina nešto veća od 12 cm, ali manja od 13 cm. Točnije, duljina joj je 12 cm i 4 mm. Želimo li duljinu olovke izraziti samo u centimetrima, to ćemo učiniti na sljedeći način.

Otprije znamo da je 1 mm jednak 1

10 cm, to je 4 mm jednako

4

10 cm.

Možemo reći da olovka ima duljinu 12 cm i 4

10 cm ili ( 12 +

4

10 ) cm.

Broj 12 + 4

10 kraće ćemo zapisivati 12.4 i čitati „ dvanaest cijelih i četiri desetinke˝ .

Cijeli broj centimetara 12 i broj desetina 4 odvojili smo točkom koju nazivamo decimalna točka. Olovka ima duljinu 12.4 cm, takav način zapisivanja brojeva nazivamo decimalni zapis broja. Dio broja ispred decimalne točke nazivamo dekadski ili cijeli dio. Dio broja iza decimalne točke nazivamo decimalni dio.

Nadalje znamo da je duljina olovke 12.4 cm tj. 124 mm, a to je 124 mm = 100 mm + 24 mm = 1 dm + 24 mm

124 mm = 1 dm + 24

100 dm, duljina olovke je 1 +

24

100 decimetara a kraći decimalni zapis je

1.24 i čitamo „ jedno cijelo i dvadeset četiri stotinke˝

Na isti način broj 15 + 32

1000 zapisujemo kao 15.32 i čitamo ( petnaest cijeli i trideset dvije

stotinke).

6

Mnoštvom zadataka učenici uče zapisivati i čitati decimalne brojeve prvo s jednom pa sa dvije i tri decimale te se dolazi do tvrdnje da je broj znamenki iza decimalne točke jednak broju nula u nazivniku odgovarajućeg razlomka. Sljedeće je zapisivanje decimalnih brojeva koji imaju nula cijelih dijelova npr.

28

100 = 0 +

28

100 = 0.28 ( nula cijelih i dvadeset osam stotinki)

Nakon toga učenici uvježbavaju i ponavljaju rastavljanje nepravog razlomka na njegov cijeli dio i pravi razlomak te taj rastav pretvaraju u decimalan zapis. Poslije ovih jednostavnijih zadataka slijede i nešto složeniji kao na primjer: Izrazimo u kilometrima 7 225 m.

Otprije znamo 1 km = 1000 m, tj. 1 m = 1

1000 km. Tada je

7 225 m = 7225

1000 km =

7 000+225

1000 km = ( 7 +

225

1000 ) km = 7.225 km.

Dekadska i decimalna mjesta

Na početku učenici ponavljaju i uvježbavaju zapis prirodnog broja u dekadskom brojevnom sustavu te nazive dekadskih mjesta ( jedinice, desetice, stotice, tisućice) 2 857 = 2 * 1 000 + 8 * 100 + 5 * 10 + 7 * 1 7 jedinica, 5 desetica, 8 stotica i 2 tisućice Nakon ponavljanja dekadskih mjesta učenici se upoznaju i s decimalnim mjestima te mnoštvom zadataka uvježbavaju rastav decimalnog broja u dekadskom sustavu.

4.1210

412 35.28

100

3528 072.61

1000

7261

7.11107

107

1010

1017 35.22

10035

10035

100200

100235

7

Zatim slijede malo teži zadatci kao na primjer: Izrazimo u najvećoj mjernoj jedinici ili obrnuto.

Prikazivanje decimalnih brojeva na brojevnom pravcu

Slika 5. Primjer modela brojevnog pravca

Učenici se prvo upoznaju s prikazivanjem desetinki na brojevnom pravcu, tj. 1 cijelo podijele

na 10 jednakih dijelova. Tada je 1

10 u decimalnom zapisu 0.1,

2

10 = 0.2 itd., a dekadske

razlomke već znaju prikazivati na brojevnom pravcu. Kroz mnoštvo zadataka učenici uvježbavaju prikaz decimalnih brojeva na brojevnom pravcu kao na primjer:

1) Kojim su brojevima pridružene točke A,B,C?

2) Nacrtaj brojevni pravac te na njemu označi točke pridružene brojevima. a) 7.7, 7.9, 8.2, 8.8 i 9.2 b) 49.5, 49.6, 49.9, 50.4, 50.8 i 51

99

100

4.139 m

4. 4

4.139 m 4 m

11

10

1

0

33

1

d 9 mm

00

m 3 cm

8

Uspoređivanje decimalnih brojeva

Učenici počinju od uspoređivanja dva prirodna broja (od nečega što im je poznato) i dolaze do uspoređivanja decimalnih brojeva. Primjerice, 1568 > 939, 1 092 > 1 047, 1 755 > 1 753 misleći na duljine vrijedi, 1 568 cm > 939 cm, 1 092 cm > 1 047 cm, 1 755 cm > 1 753 cm pretvoreno u metre, 15.68 m > 9.39 m, 10.92 m > 10.47 m, 17.55 m > 17.53 m pa vrijedi 15.68 > 9.39, 10.92 > 10.47, 17.55 > 17.53 Pa dolaze do pravila za uspoređivanje decimalnih brojeva. Od dva decimalna broja veći je onaj koji ima veći cijeli dio. Ako su im dijelovi jednaki, veći je onaj koji ima veću prvu decimalu (decimalu desetinki). Ako su im i one jednake, veći je onaj koji ima veću drugu decimalu (decimalu stotinki). Ako su i one jednake, uspoređujemo treće decimale. I tako dalje. Kroz različite primjere iz svakidašnjeg života uče uspoređivati decimalne brojeve. Primjer: Prvih je pet skijašica na skijaškoj utrci postiglo sljedeća vremena: Anja 44.28 s Tina 44.35 s Sonja 45.01 s Janica 43.71 s Nika 44.32 s Koji je poredak skijašica od 1. do 5. mjesta. vrijedi 43.71 < 44.28 < 44.32 < 44.35 < 45.01 poredak skijašica je 1. Janica 43.71 s 2. Anja 44.28 s 3. Nika 44.32 s 4. Tina 44.35 s 5. Sonja 45.01 s

9

Zatim učenici kroz rastav na dekadske razlomke sljedećih decimalnih brojeva dolaze do pravila Vrijednost decimalnog broja neće se promijeniti ako mu iza posljednje znamenke dopišemo jednu ili više nula. Ako je 0 posljednja decimala nekog broja njezinim brisanjem neće se promijeniti vrijednost tog broja.

5000.32500.3250.325.32

.....01000

0,0

100

0

10000

0

1000

0

100

0

10

5325000.32

1000

0

100

0

10

532500.32

100

0

10

53250.32

10

5325.32

10

Zaokruživanje decimalnih brojeva

Nakon uspoređivanja decimalnih brojeva učenici uče i zaokruživanje decimalnih brojeva koje se isto uvodi preko primjera iz svakidašnjeg života.

Nika je 1.49 kg jabuka u voćarnici platila 11.97 kn. Nakon što je njezina mama vidjela račun, odmah je primjetila: „ Vidi 1.5 kg jabuka ovdje stoji 12 kn.¨

Nikina mama je zaokružila masu jabuka na 1.5 kg, a cijenu na 12 kn. Prvo uče zaokruživanje na jednu decimalu na primjer: Za broj 18.416 vrijedi 18.4 < 18.416 < 18.5. Bojom je istaknuti dio broja iza prve decimale koji se zanemaruje. Prva je zanemarena znamenka 1 pa je taj broj bliži broju 18.4 nego 18.5. Stoga ćemo 18.416 zaokružiti na 18.4. Za broj 5.7928 vrijedi 57.7 < 57.7928 < 57.8 Prva je zanemarena znamenka 9 pa je taj broj bliži broju 57.8 nego 57.7. Stoga ćemo 57.7928 zaokružiti na 57.8. Zatim se iskazuje pravilo za zaokruživanje decimalnih brojeva koje kaže: Ako je prva zanemarena znamenka 0, 1, 2, 3 ili 4, tada broj zaokružujemo „ na niže˝, tj. na broj manji od zadanog broja. Ako je prva zanemarena znamenka 5, 6, 7, 8 ili 9, tada broj zaokružujemo „ na više˝, tj. na broj veći od zadanog broja. Nakon što učenici uvježbaju zaokruživanje na jednu decimalu uvježbavaju zaokruživanje na dvije i tri decimale.

11

Ishodi učenja:

Učenici će: - prikazivati dekadski razlomak na brojevnom pravcu, pomoću postotnog kruga i kvadratne mreže - pročitati i zapisati decimalne brojeve te ih prikazivati ekvivalentnim zapisima - razlikovati mjesne vrijednosti decimalnog broja u dekadskom brojevnom sustavu - prikazivati decimalne brojeve na brojevnom pravcu - uspoređivati i zaokruživati decimalne brojeve na potreban broj decimala

12

Literatura:

1. Zvonimir Šikić, Branko Goleš, Zlatko Lobor i Luka Krnić, Matematika 5, udžbenik i zbirka zadataka za peti razred osnovne škole – drugo polugodište, Profil, Zagreb 2013. 2. Mirko Polonijo, Matematika 5, udžbenik za peti razred osnovne škole, Alfa, Zagreb 2002. 3. Boško Jagodić, Nikola Sarapa, Matematika 5, udžbenik s vježbenicom za 5. razred osnovne škole, Školska knjiga, zagreb, 2001.