deformação em pavimentos

8/7/2019 Deformação em pavimentos

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TrabalhoV-XXX

V JORNADAS LUSO-BRASILEIRASDE PAVIMENTOS: POLÍTICAS E TECNOLOGIAS

RECIFE – PE - BRASIL● 5-7 DE JULHO DE 2006

SIMULAÇÕES NUMÉRICAS DE ESTRUTURAS DEPAVIMENTOS UTILIZANDO MODELOS DE

ELEMENTOS FINITOS COM CONTATOMECÂNICO

FotografiaAutor 2

30 mm× 40 mm

FotografiaAutor 3

30 mm× 40 mm

ALEXALVESBANDEIRAProfessor DoutorUniversidadePresbiteriana

MackenzieSão Paulo/Brasil

RITAMOURAFORTESProfessora DoutoraUniversidadePresbiteriana


JOÃOVIRGÍLIOMERIGHIProfessor DoutorUniversidadePresbiteriana


SUMÁRIO

O principal objetivo deste trabalho é apresentar uma nova técnica e procedimentos paramodelar e analisar estruturas de pavimentos e em seguida comparar os resultados em termos detensões e deformações com o software clássico ELSYM5. Nesta simulação são usados osparâmetros da aeronave EMB190. Com este objetivo e assumindo equações constitutivaselásticas para grandes deformações, são utilizadas formulações de elementos finitos comcontato mecânico para simular estruturas de pavimentos sob deformações finitas

tridimensionais. Para a resolução numérica dos problemas tridimensionais de contato comatrito entre os pneus e a superfície do pavimento é aplicado o Método do LagrangianoAumentado. O elemento hexagonal de oito nós é usado na modelagem estrutural dospavimentos. No final do trabalho são apresentados exemplos numéricos para mostrar aperformance do algoritmo. Alguns exemplos numéricos clássicos são também comparados comos abordados na teoria.

PALAVRA-CHAVE: Pavimento, elementos finitos, contato mecânico, grandes deformaçõestridimensionais.



Trabalho V-041



4

Esta seção resume a formulação do contínuo aplicada para resolver problemas de contato comatrito em regime de grandes deformações. A cinemática do contato e a contribuição do contatopara a formulação dos princípios dos trabalhos virtuais são apresentadas rapidamente. Éimportante mencionar que a formulação completa do contato é apresentada em detalhes emBANDEIRA [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7].

2.1. CINEMÁTICA DO CONTATO

n cm

Bm

_

Bs

s

m

gN

a 2_

a 1_

_Γ

m

Figura 1 – Convenção normal

Basicamente as restrições normais e tangenciais definem a contribuição do contato mecânico.Com relação à direção normal, a condição de impenetrabilidade pode ser formulada comogN = ( x

s – xm ) · n c ≤ 0 (2.1)

e além disso, a função da penetração pode ser formulada da seguinte maneira

⎪⎩

⎪⎨⎧<⋅−≥⋅−⋅−=

0 ) ( ,00 ) ( , ) (g

cms

cms

cms

Nnxx

nxxnxx

if

if , (2.2)

onde a barra denota a menor distância do ponto na superfície escrava xs à superfície mestra Bm,

veja também a equação (2.4). A interpretação gráfica é ilustrada na Figura 1.

A respeito da restrição tangencial, o trajeto do deslizamento do nó escravo xs na superfície de

contato Γm é descrito pela restrição tangencial total como

gT = ∫ t

t0

|| αξ& αa || dt, (2.3)

onde α = 1, 2. Os parâmetros ξ1 or ξ2 são introduzidos para descrever as superfícies dos sólidos

e podem ser interpretadas como coordenadas covariantes. αa são as tangentes nos pontos da

solução 1ξ e 2ξ da função de minimização da distância

d ˆ (ξ1,ξ2,t) = min || xs − xm(ξ1,ξ2,t) || → x

m( αξ ,t) = m. (2.4)

Os vetores tangentes são obtidos como

αa = α

α

ξ∂ξ∂ t),(m

x= x

m,α( αξ ,t). (2.5)



Trabalho V-041



5

O deslizamento relativo tangencial entre dois corpos é relacionado à mudança ou ao ponto dasolução ( 1ξ , 2ξ ) do problema de minimização da distância (2.4). As derivadas em relação ao

tempo dos parâmetros αξ de (2.3) são obtidos usando a condição de ortogonalidade entre as

tangentes e o vetor normal. Isto resulta

dt

d{ [ x

s – xm ] · αa } = [ v

s – vm − βa

βξ& ] · αa + [ xs – x

m ] · αa& = 0 (2.6)

com αa& = vm

,α + mαβ,x

βξ& . O termo βξ& é obtido da seguinte expressão

βξ& =

αβαβ − ba g

1

N

{ [ vs – v

m ] · αa + N

g n c · vm

,α }, (2.7)

onde αβa = βa · αa é a métrica e αβb = mαβ,x · n c é a curvatura da superfície de contato.

Um fato importante deve ser mencionado: quando o problema de contato com atrito forresolvido de maneira exata, o nó escravo move-se exatamente na superfície mestra. Com estas

condições Ng pode ser desconsiderado e a equação (2.7) pode ser simplificada como

vs − v m = αξ& αa . A velocidade tangencial relativa do ponto de contato é definida por

Tg& = vs – v

m. Logo

Tg& = αξ& αa . (2.8)

2.2. CONTRIBUIÇÃO DO CONTATO NO PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS

Nesta seção, a formulação e o linearização do trabalho virtual do contato são apresentados. Acontribuição do contato à formulação fraca é definida da seguinte maneira

δW c(u, δu) = ∫ ∂ s

ocB

( tN n c + tT ) · ( δus – δ u

m ) dA (2.9)

onde tN é a pressão de contato, tT é a força tangencial de atrito, n c é a normal interna no pontoescravo x

s, δus é a velocidade no nó escravo e δ u

m é a velocidade dos nós na superfície decontato. A variação do vetor normal é definida como

δgN = ( δus – δ u

m − αa δ αξ ) · n c + ( xs – x

m ) · δ n c = ( δus – δ u

m ) · n c. (2.10)

Na equação (2.10), a condição de ortogonalidade αa · n c = 0 e a simples relaçãon c · n c = 1 ⇒ δ n c · n c = 0 são usadas. Seguindo a mesma idéia, ΔgN pode ser escritacomo ΔgN = ( Δu

s − Δ um ) · n c. Com estes resultados, a equação (2.9) pode ser reescrita por

δW c(u, δu) = ∫ ∂ s

ocB

tN δgN dA + ∫ ∂ s

ocB

tTα δ αξ dA (2.11)

onde tTα = tT · αa . A Linearização do trabalho virtual expresso em (2.11) is definido por



Trabalho V-041



6

uu

Δ∂

∂ cW = ∫

∂ socB

[ΔtN δgN + tN Δ(δgN)] dA + ∫ ∂ s

ocB

[ΔtTα δ αξ + tTα Δ(δ αξ )] dA. (2.12)

Os termos da equação (2.12) são apresentados em BANDEIRA [3]. A não-simetria ocorre naLinearização de W c para o caso do não deslizamento (“stick”) somente devido ao termo

ΔtTα δ αξ em (2.12). Para o caso de deslizamento a matriz de rigidez tangente é claramente

não-simétrica. O algoritmo usado para integrar as equações do atrito é completamentedemonstrado em LAURSEN, SIMO [13, 14]. Neste trabalho é usada a lei não-associada doatrito de Coulomb.

3. TÉCNICAS DE CONTATO MECÂNICO PARA ANÁLISE ESTRUTURAS DEPAVIMENTOS

Nesta seção é apresentado o modelo para simular estruturas de pavimentos. No final destaseção as simulações numéricas são apresentadas para mostrar a habilidade do algoritmo docontato.

3.1. MODELO PARA SIMULAR ESTRUTURAS DE PAVIMENTOS

O objetivo básico deste artigo é resolver problemas estruturais de pavimentos usando técnicasde contato mecânico com o método dos elementos finitos. Para esta finalidade, o pavimentoestrutural tem que ser modelado discretizando-o em diversas camadas.

Sobre a superfície do concreto asfáltico, dois pneus, cada um com largura de 43,2 cm e alturade 100 cm, são colocados 87 cm entre eles. Este problema consiste em um modelo de trêscorpos deformáveis em contato como ilustra a Figura 2. Este tipo de estrutura é normalmenteutilizado em aeroportos no estado de São Paulo.

Figura 2 – Motivação do problema real

r

87 cm

E 1, ν 1

E 2, ν 2

E 3, ν 3

E 4, ν 4

h1

h2

h3

h4

Estrutura

do

pavimento

Pneu 2Pneu 1

Concreto asfáltico

Base de agregado

Argila e areia (laterítico)

Subgrade (solo laterítico)



Trabalho V-041



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Nas formulações padrão de pavimentos é importante fornecer a área de contato definida pelocontato entre os pneus e o pavimento, demarcado por um círculo (ou falsa elipse) com raio de21,6 cm e por uma pressão em torno de 1,01 MPa. Assim, analisando cada pneu a cargaresultante desenvolvida na interface de contato é ao redor de 120.000 N.

Neste trabalho, as cargas são aplicadas diretamente nos pneus da aeronave EMB-190 (147libras por polegada quadrada – 1.01 MPa), cada um assumindo aproximadamente 119.842,5 N.O algoritmo do contato define automaticamente a área de contato juntamente com a cargaaplicada ao pavimento estrutural.

As cargas são aplicadas diretamente nos pneus e em seguida os esforços são transferidos para opavimento através dos algoritmos do contato mecânico. Isto é feito usando a formulação do

elemento finito quadrangular de 4 nós para contato mecânico, uma vez que o elemento finitoutilizado para modelar o pavimento e os pneus é o hexagonal de oito nós. A formulaçãocompleta e os algoritmos de contato utilizado para esta análise estão descritos em BANDEIRAet al. [3] e por isto não serão apresentados neste artigo.

Cada camada do pavimento possui parâmetros de materiais definidos pelo módulo deelasticidade e pelo coeficiente de Poisson. Neste trabalho, é assumido que a estrutura dopavimento deve ser modelada por um sólido de dois metros quadrados na face de contato e queem sua profundidade as camadas do pavimento devem ser discretizadas pela espessura real,como ilustra a Figura 2. Com relação às condições de contorno, a ultima camada de pavimentotem seus deslocamentos completamente restringidos. Os lados do modelo do pavimento nãopossuem restrições na direção vertical, mas eles estão completamente restringidos nos outrosdois deslocamentos horizontais possíveis, vide a Figure 3.

Figura 3 – Modelo de elementos finitos para simular estruturas de pavimentos

r 87 cm

Superfície

mestra

Superfície

escrava

Superfície

escrava

Pneu

Contact

pressure

2 m

Condições

de contorno

Malha de

elementos

finitos



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O procedimento de análise é feito simplesmente colocando os pneus sobre a superfície doconcreto asfáltico. Na modelagem de elementos finitos com contato mecânico, a superfície doconcreto asfáltico é definida como superfície mestra e as superfícies dos pneus em contato como concreto asfáltico são definidas como superfícies escravas. Então, a simulação é realizada ena configuração de equilíbrio os resultados convergem para o fenômeno real analisado. Nofinal da simulação numérica os resultados são comparados em termos de tensões com aformulação clássica dos pavimentos e com os resultados numéricos obtidos pelo programaclássico ELSYM5.

3.2. ENSAIO EXPERIMENTAL PARA OBTENÇÃO DOS PARÂMETROS DE MATERIALDO PNEU

Figura 4a – Equipamento utilizado Figura 4b – Pneu de caminhão

Figure 4 – Procedimento experimental para obtenção do parâmetro de material do pneu

Os parâmetros de material do pneu são obtidos por procedimentos experimentais conformeilustra a Figura 4a. Os resultados obtidos são desenhados na Figura 5. Depois de algumasanálises, o modulo de elasticidade converge para 400 MPa e o coeficiente de Poisson para 0,35.Ë importante salientar, que estes parâmetros de elasticidade são utilizados na modelagemcomputacional dos exemplos numéricos deste artigo.

Força x Deformação

0

2.000

4.000

6.000

8.000

10.000

0 5 10 15 20 25

Deformação [mm]

Força [

N]

Figura 5 – Equação constitutiva do pneu



Trabalho V-041



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3.3. SIMULAÇÃO NUMÉRICA

Nesta seção, os exemplos numéricos são apresentados para mostrar a habilidade das técnicas decontato mecânico para resolver estruturas de pavimentos. A Figura 6a ilustra o modelotridimensional real que consiste em um problema de contato entre dois pneus e um pavimento,conforme explicado neste artigo.

Os pavimentos são modelados por um sólido cúbico que representa a parcela do pavimentodemarcado por dois metros no lado horizontal e por cinco camadas de solo no sentido vertical.A malha de elementos finitos usada para simular este problema esta ilustrada na Figura 6b.

Este problema numérico consiste em 48.888 graus de liberdade, 13.885 elementos finitos

hexaédricos, 64 superfícies escravas e 529 superfícies mestras. Os parâmetros da penalidadeusados neste problema de contato com atrito são de 1E+8 no sentido normal e de 1E+3 nosentido tangencial.

É importante salientar, que este problema de elementos finitos possui taxa de convergênciaquadrática, tempo de processamento rápido e elevado desempenho.

Figura 6a: Problema 3D Figura 6b: Malha de elementos finitosFigure 6 – Simulação numérica de estruturas de pavimentos

A primeira simulação numérica apresentada consiste em um modelo estrutural de pavimento,como ilustra a Figura 2. Considera-se a primeira camada do pavimento definida por um asfaltocom espessura de 10 cm com parâmetros de materiais definidos por E = 8.000 MPa e ν = 0,35.

A segunda camada é de agregado com espessura de 15 cm e com parâmetros de materiaisdefinidos por E = 200 MPa e ν = 0,30. A terceira camada é formada de argila e areia comespessura de 15 cm e com parâmetros de materiais definidos por E = 100 MPa e ν = 0,30. Aquarta camada é formada por uma sub-base com espessura de 20 cm e com parâmetros demateriais definidos por E = 80 MPa e ν = 0,30. E a última camada é formada por um solosimples com espessura de 100 cm e com parâmetros de materiais definidos por E = 50 MPa eν = 0,30. Para resolver este problema, as técnicas de contato mecânico são aplicadas. Após assimulações numéricas, as tensões obtidas na posição sob o pneu são traçados em Figura 7. Éimportante mencionar que o solo sob o asfalto é pobre em resistência, como mostrado em seus



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parâmetros do material. Esta é a razão pela qual a tensão é descontínua na interface entre asegunda camada do solo e o asfalto. A tensão de cisalhamento σ12 tende a zero.

Structural Pavements Stresses

-250

-200

-150

-100

-50

0

-2,75

-2,50

-2,25

-2,00

-1,75

-1,50

-1,25

-1,00

-0,75

-0,50

-0,25

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

1,25

1,50

1,75

2,00

Stress [MPa]

Depth [m

11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 13-stress

Figura 7 – Tensões no pavimento estrutural na posição abaixo do pneu

A próxima simulação numérica consiste em resolver praticamente o mesmo problema anteriorapenas mudando o material da segunda camada do solo para representar um solo com ocimento. O objetivo deste modelo é comparar a influência nas tensões do pavimento quandoum solo melhorado é usado na segunda camada. Aqui, os parâmetros do material da segundacamada é referente a um solo definidos pelos parâmetros E = 6.500 MPa e ν = 0,30, muitomelhor que o anterior. Após a simulação numérica as tensões obtidas na posição sob o pneusão traçados na Figura 8.



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-250

-200

-150

-100

-50

0

-1,50

-1,25

-1,00

-0,75

-0,50

-0,25

0,00

0,25

0,50

0,75

Stress [MPa]

Depth [mm

11-stress 22-stress 33-stress 12-stress 23-stress 13-stress

Figura 8 – Tensões no pavimento estrutural na posição abaixo do pneu

Comparando as duas situações fica claro que quando um solo melhorado é usado na segundacamada (base de solo-cimento), as tensões diminuem nos pavimentos, porque a flexão dacamada do concreto asfáltico é menor quando a segunda camada do solo for mais rígida. Astensões não possuem um salto na interface entre o asfalto e a segunda camada do solo. Paracomparar os resultados numéricos obtidos pelo programa de análise de contato mecânico(CMAP) desenvolvido por Bandeira, a tensão σ33 é comparada com a obtida pelo programaclássico ELSYM5. Os resultados numéricos obtidos por estes programas são traçados naFigura 9.


-100

-80

-60

-40

-20

0-1,20

-1,00

-0,80

-0,60

-0,40

-0,20

0,00

Stress [MPa]

Depth [mm]

33-stress (CMAP) 33-stress (ELSYM5)


-100

-80

-60

-40

-20

0-1,20

-1,00

-0,80

-0,60

-0,40

-0,20

0,00

Stress [MPa]

Depth [mm]

33-stress (CMAP) 33-stress (ELSYM5)

Figura 9a: Exemplo 1 Figura 9b: Examplo 2

Figure 9 – Tensões no pavimento estrutural nas direções principais



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4. CONCLUSÕES

O principal objetivo deste artigo é apresentar um modelo para resolver pavimentos estruturaisusando técnicas de modelagem de contato mecânico em regime elástico de grandesdeformações tridimensionais. Isto é feito numericamente. O modelo considerado é baseado nasuposição de que os materiais possuem equações constitutivas elásticas Neo-Hookeana. Estaformulação foi linearizada de forma exata considerando a possibilidade do deslizamento do nóescravo de uma superfície mestra à outra adjacente.

É importante mencionar que os resultados numéricos se encontram próximos do teórico. Osresultados numéricos obtidos através da simulação do contato mecânico são pouco diferentesdo obtido pelo programa clássico porque a equação constitutiva é baseada na configuraçãoNeo-Hookean elástica do material. A equação constitutiva do pavimento deve ser investigada

em detalhe para obter o mesmo comportamento do teórico. Também, as condições de contornodevem ser investigadas em detalhe.

Em pesquisa futura será incluído o comportamento plástico dos materiais. Outra sugestão édesenvolver uma equação constitutiva nova que represente o fenômeno real na interface docontato entre o pneu e a superfície do asfalto, como implementar uma formulação de contatomicromecânico, levando em consideração as propriedades micro-mecânicas da interface docontato.

5. AGRADECIMENTOS

Os autores gostariam de agradecer à Universidade Presbiteriana Mackenzie na pessoa dotécnico Abner Cabral Neto pela assistência nos ensaios.

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