DEFLEXIONESSe entiende por deflexión aquella deformación que sufre un elemento por el efecto de las flexiones internas.Para determinar la deflexión se aplican las leyes que relacionan las fuerzas y desplazamientos utilizando dos tipos de métodos de cálculo: los geométricos y los de energía.

       Métodos geométricos: aplicación directa de ecuaciones de equilibrio, ecuaciones de compatibilidad y leyes constitutivas del material (elástico-lineal).

       Métodos de energía: en estos métodos las ecuaciones de equilibrio o de compatibilidad se reemplazan por un principio de energía y se combinan con las leyes constitutivas del material.

Aunque en vigas y marcos las deformaciones se presentan principalmente por flexión, las deformaciones por esfuerzos axiales en columnas de marcos y las deformaciones por cortante, sobre todo en elementos altos o profundos no dejan de ser importantes.En cerchas y armaduras las deflexiones se presentan por la combinación de las deformaciones por carga axial en cada uno de los elementos que la componen. 

Deflexion en VigasLas cargas de flexion aplicadas a una viga hacen que se flexione en una direccion perpendicular a su eje. Una viga recta en su origen se deformara y su forma sera ligeramente curva. En la mayor parte de los casos, el factor critico es la deflexion maxima de la viga, o su deflexion en determinados lugares.

La figura muestra una viga con perpendiculares al eje y ubicada en el plano de simetría de la sección

En elemento de la viga mostrado en la figura, se deforma de tal manera que cualquier punto en una sección transversal entre apoyos se desplaza prácticamente paralelo a las cargas. Estos desplazamientos se denominan las deflexiones o flechas del momento. Al estar las cargas ubicadas en el Eje Principal de Inercia, hace que las secciones transversales se desplacen verticalmente. Para la solución de vigas estáticamente indeterminadas se necesita la deflexión de la viga y sus características giratorias.

Considere el reductor de velocidad, con doble reduccion. Los cuatro engranes (A,B,C y D) se montan en tres ejes, cada uno de los cuales esta soportado por dos cojinetes. La accion de los engranes al transmitir potencia crea un conjunto de fuerzas, que a su vez actuan sobre los ejes y causan flexion en ellos. Un componente da la fuerza total sobre los dientes del engrane actua en una direccion que tiende a separar los dos engranes. Asi, la rueda A es impulsada hacia arriba, mientras que la rueda B es implusada hacia abajo. Para que los engranes funcionen bien, la deflexion neta de uno en relacion con el otro no debe ser mayor que 0.0015 pulg. (0.013 mm), si el engrane es industrial de tamaño mediano.

Para evaluar el diseño, existen muchos metodos para calcular las deflexiones de los ejes. Es util contar con un conjunto de formulas para calcular la deflexion de vigas, en cualquier punto o en puntos determinados, en muchos problemas practicos.

Para muchos casos adicionales, la superposicion es util si la carga realse divide en partes que se puedan calcular con las formulas ya disponibles. La deflexion para cada carga se calcula por separado y a continuacion se suman las deflexiones individuales en los puntos de interes.

Muchos programas comerciales para computadora permiten modelar las vigas que tengan puntas de carga muy complicadas y geometria variable. Entre los resultados, estan las fuerzas de reaccion, los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante, y las deflexiones en cualquier punto. Es importante que comprenda las bases de la deflexion de las vigas.

Ejemplo:

  Para los engranes A y B de la figura, calcule la deflexion relativa entre ellos, en el plano del papel, debido a las fuerzas que se muestran en la parte (c). Se acostumbra considerar que las cargas en los engranes, y las reacciones en los cojinetes, estan concentradas. Los ejes de los engranes son de acero y sus diametros son uniformes, con los valores que se listan en la figura.

Solucion:

Objetivo: Calcular la deflexion relativa entre los engranes A y B de la figura.

Datos:

Resultados:

Los principios generales que relacionan la deflexion de una viga con la forma en que esta cargada y la forma en que esta apoyada se presentaran a continuacion. El resultado sera un conjunto de relaciones entre la carga, la fuerza cortante vertical, el momento de flexion, la pendiente de la viga flexionada y la curva de la deflexion real e la viga.

Un concepto fundamental para las vigas en flexion es:

Las ultimas dos ecuaciones son consecuencia de la obsevacion de que existe una realcion de derivada (Pendiente) entre el cortante y el momento flexionante, y entre la carga y el corte.

En la practica, las ecuaciones fundamentales que se acaban de citar se usan en forma inversa. Esto es, se conoce la distribucion de carga en funcion de x, y las ecuaciones para los demas factores se deducen por integraciones sucesivas. Los resultados son:

En muchos casos, se pueden trazar los diagramas de carga, fuerza cortante y momento de flexion, en la forma convencional, y las ecuaciones de la fuerza cortante o del momento de flexion se pueden deducir en forma directa con los principios de la geometria analitica. Con M en funcion de x, se pueden determinar las relaciones de pendiente y deflexion:

Las constantes de integracion deben evaluarse a partir de las condiciones de frontera.

Método de trabajo real: Este método utiliza el principio de conservación de energía, que genera el trabajo externo, el cual debe ser igual al trabajo interno de deformación producto por los esfuerzos causadas por las cargas. La desventaja del método radica en su limitación, por que solo analiza una incógnita, no se amplía este método a más de un desplazamiento o rotación.

•Método de Castigliano: Este método es el Teorema de Castigliano, que, es la derivada parcial del trabajo de la deformación elástica, expresada en función de la fuerza; es igual al desplazamiento de su punto de paliación y sentido de las fuerzas.

• Método de trabajo virtual: Este método es el más versátil de los métodos tradicionales, para evaluar deflexiones elásticas de estructuras. Este método solo es aplicable a aquellos casos, en donde esta permitido la superposición, por su forma finita de análisis.

• Método de la doble integración: Este método permite ver, la ecuación de curvatura de la viga, la cual resulta del análisis de la ecuación diferencial de la línea elástica de una viga a flexión pura. La primera integración de la ecuación da la pendiente de la elástica en cualquier punto; la segunda integración se obtiene la ecuación de la elástica misma.

• Método de área de momentos: Este método, se basa en dos teoremas, que resultan muy útiles, para el cálculo de pendientes y deflexiones de vigas y pórticos.

• Método de la viga conjugada: Este método consiste en cambiar el problema de encontrar, las pendientes y deflexiones causadas en una viga por un sistemas de cargas aplicadas. Tiene la ventaja de que no necesita conocer previamente un punto de tangente cero, por lo cual se puede averiguar directamente la pendiente y deflexión en cualquier punto de la elástica.

Relación entre curvatura y momento

•La curva elástica de una viga es la forma que toma el eje neutro cuando se carga la viga.

La pendiente (Ay B)de una viga es la pendiente de la tangente a la elástica en un punto cualquiera.

•La deflexión (A y B)de una viga es el movimiento (desviación) de un punto situado sobre la elástica con respecto a su posición original sin carga.

•Radio de curvatura, es el radio del arco (cada segmento de la elástica)

•El centro de curvatura es la intersección de los radios.

Fig.(a) muestra una pequeña sección de una viga sin carga de longitud dx.

Fig. (b) muestra la misma sección después de que la viga se ha deformado por la

acción de las cargas aplicadas.

Vigas con soportes simples (biapoyadas)En las siguientes fórmulas E designa al módulo de Young del material en que está construida la viga, e I al segundo momento de área de la sección transversal de la misma:

Tipo de carga Pendiente Deformación Curva elástica

Viga con carga concentrada P a media longitud

para 

Viga con carga concentrada en cualquier longitud

para 

Viga con carga distribuida constante sobre toda su longitud

Viga con momento aplicado al inicio

para 

Vigas en voladizo (ménsulas empotradas)

Tipo de carga Pendiente Deformación Curva elástica

Ménsula con carga concentrada al extremo

Ménsula con carga concentrada en un punto intermedio(a una distancia   del extremo empotrado)

cuando 

: 

cuando 

: 

Ménsula con carga distribuida constante sobre toda su longitud

Ménsula con carga distribuida constante sobre parte de su longitud

Ménsula con un momento puntal M0 en el extremo

Ménsula con un momento puntal M0 en el vano

Vigas biempotradasLas vigas biempotradas son casos de vigas hiperestáticas que requieren la determinación de los momentos de empotramiento, antes de poder calcular directamente las pendientes y los desplazamientos sobre las mismas.

Tipo de carga Reacciones Pendiente,

desplazamiento

máximo y curva

elástica

Biempotrada con carga uniformeen una porción simétricamente distribuida

Biempotrada con carga uniformeen una porción asimétricamente distribuida