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Capítulo 1: Vetores
Aula 1
�Discussões iniciais; �Discussões iniciais;
�Noção intuitiva e definições;
�Notações.
Noção intuitiva� Existem grandezas, chamadas escalares, que são caracterizadas por um número (e a correspondente unidade): 20m² de área, 4m de comprimento, 7kg de massa, ...
� Outras no entanto, requerem mais do que isso. Por exemplo, para caracterizarmos uma força ou uma velocidade, precisamos dar a direção, a intensidade (ou módulo) e o sentido. Tais grandezas são chamadas de vetoriais.
� Exemplos:velocidade, aceleração, momento, torque, peso, campo magnético, etc.
Segmento orientado
Um segmento orientado é determinado por um par ordenado de pontos,o primeiro chamado origem do segmento, o segundo chamado deextremidade.
O segmento orientado de origem A e extremidade B será representado
Definições
O segmento orientado de origem A e extremidade B será representadopor AB e, geometricamente, indicado por uma seta que caracterizavisualmente o sentido do segmento.
Direção e sentido
Dois segmentos orientados não nulos AB e CD tem a mesma direção se asretas suportes desses segmentos são paralelos
Definições
ou coincidentes
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Segmentos equipolentes
Dois segmentos orientados AB e CD são equipolentes quando têm amesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento.
Definições
Se os segmentos AB e CD não pertencem à mesma reta, para que AB sejaequipolente a CD é necessário que AB//CD e AC//BD, ou seja, ABCD deveser um paralelogramo.
Propriedades da equipolência
� Reflexiva: AB ~ CD
� Simétrica: Se AB ~ CD, então CD ~ AB
� Transitiva: Se AB ~ CD e CD ~ EF, então AB ~ EF
Definições
� Dado um segmento orientado AB e um ponto C, existe um único ponto D tal que AB ~ CD.
� Se AB ~ CD, então AC ~ BD e temos um caso particular da propriedade simétrica, em que o quadrilátero ABCD é um paralelogramo.
Definições
Definição 1:
Definição 2:
Definições
Imagem geométrica ou representante de um vetor
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Notações
ou em negrito.
a, b, c, ... u, v, w ...
Notação - continuação
Definições
Módulo ou Norma ( )
Vetor nulo ( )Vetor nulo ( )
Vetor unitário
Definições
Versor
Exemplo ...
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Definições
Vetor oposto
Proposição
É dado um vetor u qualquer. Escolhido arbitrariamente um pontoP, existe um segmento orientado representando u com origem P, isto é,existe um ponto B tal que u = PB. Tal representação é única.
Vetores colineares
Dois vetores u e v são colineares se tiverem a mesma direção. Sãocolineares se tiverem representantes AB e CD pertencentes a uma mesmareta ou a retas paralelas, conforme as figuras.
Definições
Vetores coplanares
Se os vetores não nulos u, v e w possuem representantes AB, CD e EFpertencentes a um mesmo plano π , diz-se que eles são coplanares.
Definições
Dois vetores u e v são sempre coplanares, pois podemos sempre tomarum ponto no espaço e, com origem nele, imaginar os dois representantesde u e v pertencendo a um plano π que passa por este ponto.
� 3 vetores podem ser ou não coplanares
Definições
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Definições
Vetores equiversos e contraversos
Dois vetores paralelos são equiversos se de mesmo sentido. Se de sentidos contrários, são contraversos
Exemplo ...
Capítulo 1: Vetores
Aula 2
�Operações com vetores;
�Multiplicação de escalar por vetor;
�Ângulo entre vetores;
� Exemplos e exercícios.
Operação de vetores
Sejam os vetores u e v representados pelos segmentos orientados AB e BC.
Adição ou soma
Os pontos A e C determinam um vetor s que é, por definição, a soma dosvetores u e v, ou seja, s = u + v.
Adição de vetores
� Comutativa: u + v = v + u
� Associativa: (u + v) + w = u + (v + w) � Demonstre!
Propriedades
�Nulidade: Existe só um vetor nulo 0 tal que para todo o vetor v se tem:
v + 0 = 0 + v = v
� Oposto: Qualquer que seja o vetor v, existe um só vetor –v tal que v + (-v) = -v + v = 0
� Lei do cancelamento: u + v = u + w = v + w.
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Demonstração Subtração de vetores
Chama-se diferença de 2 vetores u e v, e se representa por d = u – v, ao vetor u + (-v).
Dados 2 vetores u e v, representados pelos segmentos orientadosAB e AC, respectivamente, é construído o paralelogramo ABDC.
� A soma s = u + v é representada pelo segmento orientado AD.� A soma s = u + v é representada pelo segmento orientado AD.
�A diferença d = u – v é representada pelo segmento orientado CB.
Graficamente, o vetor soma é o segmento orientado que fechaa poligonal, tendo por origem, a origem do primeiro vetor e porextremidade , a extremidade do último vetor.
Operação de vetores
b) Sob a forma de triplas: Dados os vetores
a) Regra do Paralelogramo:
Conseqüências:
Exemplos
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Exemplos Multiplicação por escalar
Multiplicação por escalar Multiplicação por escalar
Propriedades
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Ângulo entre 2 vetores Ângulo entre 2 vetores
Exemplos ...
Exercícios Exercícios
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Exercícios Exercícios
Lista 1 :>)
Capítulo 1: Vetores
Aula 3
� Combinação linear;� Combinação linear;
�Linearmente dependente e independente;
�Bases;
� Exemplos e exercícios.
Combinação Linear
a) Teoremaa) Teorema
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Combinação Linear
b) Coplanariedade de vetores representados por triplas
Vetores LD e LI
Definições :
� Uma seqüência (v) é linearmente dependente se v = 0 e linearmenteindependente se v ≠ 0.
� Um par ordenado (u,v) é linearmente dependente se u e v são paralelos. Casocontrário, (u,v) é linearmente independente.
� Uma tripla ordenada (u,v,w) é linearmente dependente se u, v e w são paralelosa um mesmo plano. Caso contrário, (u,v,w) é linearmente independente.
� Se n > 3, qualquer seqüência de n vetores é linearmente dependente.
Vetores LD e LIExemplos
a) duplas:
b) triplas:
Exercícios
:>0 ... Resolver depois
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Exercícios
Solução exercício 2:
AB = α AC + β ADB – A = α (C – A) + β (D – A)(– 8 , – 1 , 3 ) = α (– 4 , – 6 , – 2 ) + β (– 1 , 4 , 3 )
– 8 = – 4 α – β β = 8 – 4 α β = 8 – 4 (3/2)– 8 = – 4 α – β–1 = – 6 α + 4β
3 = – 2 α + 3β
β = 8 – 4 α
3 = – 2 α + 3( 8 – 4 α )2 α + 12 α = 24 – 314 α = 21
α = 3/2
β = 8 – 4 (3/2)β = 2
Logo, os pontos A, B, C e D são coplanares .
Exercícios
Exercícios lista 1 :>)
Expressão cartesiana
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Expressão cartesiana Expressão cartesiana
Logo, e são Linearmentedependentes.
Exemplos ...
Exercícios Exercícios
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4x – 4 = 4 x = 2
ExercícioResolução exercício 4:
AC = α ABC – A = α ( B – A )( 4 , – 12 , 8 ) = α ( x – 1 , y + 1 , 2 )
α ( x – 1 ) = 44y + 4 = – 12 y = – 4
4x – 4 = 4 x = 2 α ( x – 1 ) = 4α ( y + 1 ) = – 12
2 α = 8 α = 4
Exercícios
Exercícios
Exercícios Lista :>)
BasesChama-se base de V³ toda tripla ordenada linearmente independente
E = ( e1, e2, e3 ).
Sendo E = ( e1, e2, e3 ) uma base, todo vetor u é gerado por e1, e2, e3 ,ou seja, existem escalares a1, a2, a3 tais que
u = a1e1 + a2e2 + a3e3
Diz-se que a1 é a primeira coordenada de u na base E, a2 é a segundacoordenada de u na base E e a3 é a terceira coordenada de u na base E.
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Bases Bases
Exemplos
Solução:
1)
Exemplos2)
Solução:
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Exercícios Capítulo 1: Vetores
Aula 4
� Produto escalar;
�Produto vetorial;
�Produto misto;
� Exemplos e exercícios.
Produto escalarDefinição
Sinal do produto interno
Exemplos ...
Produto escalarNulidade do produto escalar
Módulo de um vetor
Exemplos ...
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Produto escalarVersor de um vetor
Exemplos ...
Distância entre dois pontos
Em coordenadas, temos que
ou . Assim a distância entre 2 pontos A(x1, y1, z1) e
B(x2, y2, z2) é definida por:
e portanto, .
Exemplos ...
Produto escalarÂngulo de dois vetores
Condição de ortogonalidade
Dois vetores são ortogonais se, e somente se, o produto escalar deles é nulo.
Exemplos ...
Produto escalarPropriedades:
Exemplo:
Produto escalar
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Produto escalarProjeção de um vetor
Produto escalar
sendo essa a projeção da componente escalar de v em u.
No entanto, a projeção ortogonal de v na direção de u necessita ainda sermultiplicada pelo versor de u, representado por u*, resultando:
Exemplo :
Produto escalar
Exercícios ...
Produto escalarExpressão Cartesiana do produto escalar
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Produto escalar Exemplo
Exercícios Exercícios
Exercícios lista ...
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Produto vetoriala)
b)
Produto vetorial
c)
Produto vetoriald)
Produto vetoriale)
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Produto vetorialf)
Exemplos ...
Produto vetorial
Produto Vetorial
g) Expressão Cartesiana do produto vetorial
Produto Vetorial
Tal expressão pode ser escrita usando o determinante, na Tal expressão pode ser escrita usando o determinante, na forma:
Exemplos ...
Exercícios ...
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Exercícios Exercícios
Produto Misto
a) Definição:
b) Nulidade do produto misto:
Produto Mistoc) Interpretação geométrica:
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Produto Misto
Exemplo ...
Produto MistoConvenção de sinais:
Produto Misto Produto Mistod) Volume do tetraedro:
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Produto Mistoe) Propriedades:
Produto Misto
Duplo Produto vetorial
Exemplo ...
Exercícios
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Exercícios Exercícios
Capítulo 2: Retas e planos em R³
Aula 5
� Coordenadas Cartesianas;
�Equações da reta;
�Exemplos e exercícios.
95
Coordenadas Cartesianas
1. Sistema Cartesiano Ortogonal
96
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Coordenadas Cartesianas
97
Coordenadas Cartesianas
Particularidades:
98
Equações da reta
99
Equações da reta
Exemplo ...
100
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Equações da reta
Exemplo ...
101
Equações da reta
102
Equações da reta
Exemplo ...103
Equações da reta
104
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Equações da reta
105
Equações da reta
106
Equações da reta
Exemplo:
107
Equações da retaSolução:
108
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Exercícios
109
Exercícios
110
Exercícios
111
Capítulo 2: Retas e planos em R³
Aula 6
� Posições relativas a retas;
�Paralelismo e ortogonalidade;
�Condição de coplanariedade;
�Exemplos e exercícios.
112
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Posições relativas entre 2 retas
a) Coplanares e paralelas
b) Coplanares e concorrentes
Exemplo ...
Exemplo ...
113
Posições relativas entre 2 retas
c) Reversas
Exemplo ...
114
Paralelismo e ortogonalidade
a) Condição de paralelismo
115
Paralelismo e ortogonalidadeb) Condição de ortogonalidade
Observação
116
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Condição de coplanariedade
Exemplo ...
117
Exercícios
118
Exercícios
119
Exercícios
120
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Capítulo 2: Retas e planos em R³
Aula 7
� Equação geral do plano;
�Casos especiais;
� Equação segmentária do plano;
�Exemplos e exercícios.
121
Equação geral do plano
A) O plano é gerado por um ponto e dois vetores.
(1)
122
Equação geral do plano
B) O plano é individualizado por dois pontos e um vetor.
(2)
123
Equação geral do plano
B) O plano é formado por 3 pontos não colineares.
(3)
124
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Equação geral do plano
A resolução de cada determinante apresentado por (1), (2)ou (3) conduz a uma equação linear de 3 variáveis:
ax + by + cz + d = 0
denominada equação geral do plano.
Exemplo ...
125
Exercícios
126
Casos especiais
1.° caso.
127
Casos especiais2.° caso.
128
![Page 33: Definições - Engenharia Civil UFPel 2011 · ... Existe só um vetor nulo 0 tal que para todo o vetor ... Assim a distância entre 2 pontos A(x 1, y 1, z 1) e B(x 2, y 2, z 2)](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050917/5af56d067f8b9ae9488d74ef/html5/thumbnails/33.jpg)
Casos especiais3.° caso.
129
Casos especiais
4.° caso.
Continua ...
130
Casos especiais
131
Casos especiais
132
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Casos especiais - Exemplo
133
Intersecção do plano com os eixos coordenados
Exemplo ...
134
Exemplo
135
Equação segmentária do plano
(1)
136
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Equação segmentária do plano
(2)
Substituindo (1) em (2) obtemos:
Exemplo ...
137
Exemplo
138
Exercícios
139
Capítulo 2: Retas e planos em R³
Aula 8
�Vetor normal;
�Paralelismo e ortogonalidade
� Exemplos e exercícios.
140
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Vetor normalEquação do plano que passa por um ponto e é ortogonal a um vetor.
Demonstração:
141
Vetor normal
Exemplo ...142
Exemplo
Exercícios
143
Paralelismo e ortogonalidade
144
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Paralelismo e ortogonalidade
145
Paralelismo e ortogonalidade
146
Exercícios complementares
147
Exercícios
148
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Exercícios
A figura abaixo representa um galpão, na qual os númeroscorrespondem as suas dimensões. Pergunta-se
149
Exercícios
150
Exercícios
151
Exercícios
152
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Capítulo 2: Retas e planos em R³
Aula 9
� Distâncias entre ponto e reta;
�Distâncias entre ponto e plano;
�Distâncias entre duas retas;
�Ângulo entre planos;
� Exemplos e exercícios.
153
Distância entre ponto e reta
154Exemplo ...
Distância de um ponto a reta
Exemplo ...
155
Distância entre ponto e plano
Exemplo ...156
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Distância entre duas retas
157
Distância entre duas retas
Exemplo ...158
Ângulo entre planos
159
Exercícios
160
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Exercícios
161
Capítulo 3: Cônicas
Aula 10
� Parábola;
�Definições;
�Forma reduzida;
�Exemplos e exercícios.
162
Cônicas
163
Parábola
164
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ParábolaEquação canônica para V = 0 (origem)
165
Parábola
166
Parábola
167
Parábola
Observação:
168
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ParábolaEquação canônica para V = ( X0 , Y0 )
169
Parábola
170
Parábola
171
ParábolaAplicações:
172
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Parábola
173
Parábola
174
Parábola
175
Exemplo
176
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Exercícios
177
Exercícios
178
Capítulo 3: Cônicas
Aula 11
� Elipse;
�Definições;
�Forma reduzida;
�Exemplos e exercícios.
179
Elipse
Definição:
180
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ElipseEquação na forma reduzida com centro em (0,0):
181
Elipse
.
Observação: Se a forma canônica é dada por:
senão,
Exemplo ...
182
ElipseExcentricidade:
183
ElipseEquação canônica cujo centro está em ( X0 , Y0 )
184
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Elipse
185
Elipse Aplicações:
186
Elipse
187
Exercícios
188
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Exercícios
189
Exercícios
190
Exercícios
191
Exercícios
192
![Page 49: Definições - Engenharia Civil UFPel 2011 · ... Existe só um vetor nulo 0 tal que para todo o vetor ... Assim a distância entre 2 pontos A(x 1, y 1, z 1) e B(x 2, y 2, z 2)](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022050917/5af56d067f8b9ae9488d74ef/html5/thumbnails/49.jpg)
Capítulo 3: Cônicas
Aula 12
� Hipérbole;
�Definições;
�Forma reduzida;
�Exemplos e exercícios.
193
Hipérbole
Definição:
194
Hipérbole
Elementos:
195
Hipérbole
Excentricidade:
196
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HipérboleEquação canônica com hipérbole centrada na origem
197
HipérboleEquação canônica com hipérbole centrada na origem
Observação:
198
Hipérbole
Identificação de uma hipérbole com centro na origem
Exemplo:
199
Exemplo:
HipérboleEquação canônica com hipérbole centrada em (Xo,Yo)
200
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Hipérbole
201
Hipérbole
Aplicações:
202
Hipérbole
203
d) Na construção de usinas atômicas, barrasretilíneas se cruzam para obter estruturasextremamente forte, uma vez que podemosmostrar que o hiperbolóide de uma folha geradopela rotação de uma hipérbole em torno do seueixo transverso é também gerado por uma reta , ouseja pode ser considerado como sendo formadopor uma união de retas (superfície regrada).
Exercícios
204
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ExercíciosResp 1.:
205
Exercícios
206
Exercícios Complementares
207
Exercícios Complementares
208
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Exercícios complementares
209
Capítulo 3: Quádricas
Aula 13
�Definições gerais;
�Identificação;
�Gráficos e equações;
�Esfera, (Parabol,Elips,Hiperbol)-óide;
�Exemplos e exercícios.
210
Quádricas
1. Definição:
2. Exemplos:
211
Quádricas
212
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Gráficos
3. Equações de Curvas em R3:
213
Esfera
Exemplos ...214
Elipsóide
Para esboçar o gráfico das quádricas é útil determinar a intersecçãoda superfície com planos paralelos aos planos coordenados. Essas curvas sãodenominadas traços (ou secções transversais) da superfície.
A figura abaixo mostra como representar no esboço alguns traçospara indicar a forma da superfície. Essa superfície é chamada elipsóide, vistoque todos os seus traços são elipses. Note a simetria em relação a cada planoque todos os seus traços são elipses. Note a simetria em relação a cada planocoordenado; isto é reflexo do fato de só aparecerem potências positivas de x,y e z.
Gráfico gerado usando a seguinte equação:
215
Elipsóide
Exemplo: Utilize traços para fazer o esboço da quádrica com equação
216
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Parabolóide
Exemplo: Utilize traços para esboçar a superfície z= 4x² + y².
Impondo x = 0, obtemos z = y², de forma que no plano yz aintersecção da superfície é uma parábola.
Se tomarmos x = k (uma cte), obteremos z = y² + 4k². Istosignifica que se deslocarmos o gráfico para um plano paralelo ao plano yzsignifica que se deslocarmos o gráfico para um plano paralelo ao plano yzobteremos uma nova parábola com concavidade voltada para cima.
Da mesma forma, tomando y = k, o traço é z = 4x² + k², quecorresponde novamente a uma parábola com concavidade para cima.
Impondo z = k, obteremos os traços horizontais 4x² + y² = k,que reconhecemos como uma família de elipses.
217
ParabolóideSabendo a forma dos traços podemos esboçar a figura abaixo.
Pelo fato de os traços serem parábolas e elipses, a quádrica édenominada parabolóide elíptico.
218
HiperbolóideExemplo: Esboce a superfície z = y² - x²
Os traços nos planos verticais x = k são parábolas z = y² – x² comconcavidade voltada para cima.
Os traços em y = k são parábolas z = -x² + k², com concavidade voltadapara baixo.
Os traços horizontais são y² – x² = k, uma família de hipérboles.Os traços horizontais são y² – x² = k, uma família de hipérboles.
Na figura abaixo desenhamos esses traços e mostramos como eles aparecemquando colocados nos planos corretos na figura do próximo slide.
219
HiperbolóideOs traços movidos para suas posições nos planos corretos geram os gráficos.
Os 3 gráficos juntos formam a superfície z = y² – x², um parabolóide hiperbólico.
220
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Equações
A idéia de usar os traços para desenhar a superfície é empregada em
programas que fazem gráficos tridimensionais. Na maioria desses
programas os traços nos planos verticais x = k e y = k são apresentados
para valores de k igualmente espaçados, e partes do gráfico sãopara valores de k igualmente espaçados, e partes do gráfico são
eliminadas utilizando-se a técnica de remover linhas escondidas.
A tabela a seguir mostra gráficos de computador de seis quádricas
básicas na forma padrão. Todas as superfícies são simétricas em relação
ao eixo z. Se uma quádrica é simétrica em relação a um eixo diferente,
sua equação se modifica de modo apropriado.
221 222
EquaçõesComo identificar a superfície quádrica?
As equações das sup. quádricas tem certas características que tornampossível identificar as quádricas que são deduzidas dessas equações porreflexões.
Essas características identificatórias, mostradas na tabela, sãobaseadas em escrever a equação da sup. quádrica de tal forma que todos ostermos variáveis estejam no lado esquerdo e que haja um 1 ou 0 no ladotermos variáveis estejam no lado esquerdo e que haja um 1 ou 0 no ladodireito.
223
ExercíciosVerifique a veracidade das assertivas a seguir:
224
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Exercícios
225
Exercícios
226
Exercícios
227
Capítulo 4: Sist. de Eq. Lineares
Aula 14
�Introdução;
�Eliminação de Gauss;
�Formas escalonadas;
�Exemplos e exercícios.
228