FractalesFractales

AspectosAspectos TeTeóóricosricos de la de la GeometrGeometrííaa FractalFractal

Definición de Fractal

Autosimilitud

Dimensión Fractal

Diferentes Tipos de Fractales

HaciaHacia unauna definicidefinicióónn

FrasesFrases sueltassueltas sobresobre FractalesFractales

** La Geometría Fractal es también conocida como la “Geometría de la Naturaleza. **

** La palabra Fractal, enunciada por Mandelbrot, proviene del latín y significa roto, quebrado.(Se asocia con las discontinuidades de funciones matemáticas). **

** La Geometría Fractal es un nuevo lenguaje; ya que los puntos, rectas, esferas, elipses y demásobjetos de la geometría tradicional son reemplazados por algoritmos iterativos computacionalesque permiten describir sistemas naturales, caóticos y dinámicos. **

** Un fractal es un objeto en el cual sus partes tienen “alguna” relación con el todo. (esto estáíntimamente ligado a la Autosimilitud) **

** Los Fractales son objetos cuya dimensión es no entera o fraccionaria. **

** Un objeto fractal es aquél que posee las siguientes dos características:

a) Autosimilitud ,

b) Dimensión Fractal

**

¿¿QuQuéé eses un Fractal?un Fractal?

Son objetos geométricos que poseen dos características fundamentales:

1) Autosimilitud

2) Dimensión Fraccionaria

¿¿CuCuáántosntos tipostipos de de FractalesFractales existenexisten??

Los objetos Fractales se pueden clasificar de la siguiente manera:

Lineales

Complejos

Caóticos

AutosimilitudAutosimilitud

1) Perfecta1) Perfecta: Cada porción de un objeto tiene exactamente las mismas características del objeto

compelto.

2) 2) EstadEstadíísticastica: : cada región de un objeto conserva, de manera estadísticamente similar, sus

características globales.

AutosimilitudAutosimilitud

DimensiDimensióónn FractalFractal

1) Dimensión Topológica:

Dimensión 0 -- Un punto

Dimensión 1 -- Una línea recta

Dimensión 2 -- Un plano

Dimensión 3 -- El espacio

2) Dimensión de Dimensión de Hausdorff-Besicovitch

S = S = LLDD

Donde S es la cantidad de segmentos o su longitud; L es la escala de medición; D es justamente la Dimensión.

Luego obtengo:

Log S = Log LD

Por propiedades de los logaritmos puedo decir que:

Log S = D* Log L

Por último divido ambos miembros por Log L y obtengo:

D = Log S / Log LD = Log S / Log L

DimensiDimensióónn FractalFractal

MedianteMediante la la siguientesiguiente FFóórmularmula

S = S = LLDD

Donde :

S es la cantidad de veces que se repite la imágen

generadora

L es igual a (1/e) donde “e” es la escala de medición

D es justamente la Dimensión buscada.

Aplicando logaritmos se obtiene:

Log S = Log LD

Por propiedades de los logaritmos escribimos:

Log S = D* Log L

Por último divido ambos miembros por Log L y obtengo:

D = Log S / Log LD = Log S / Log L

Fractales Lineales Fractales Complejos y Caóticos

Su Dimensión Fractal se CALCULACALCULA Su Dimensión Fractal se ESTIMAESTIMA

MedianteMediante laslas siguientessiguientes ttéécnicascnicas o o algoritmosalgoritmos

WaveletsExponente de HurstDimensión de AutocorrelaciónBoxcounting MethodExponentes de Lyapunov

Ejemplo DM de un Fractal Lineal

e = (1/3)

L= 1/(1/3)=3

S=4

D = log(4)/log(3)D = 1,261859

¿¿CCóómomo se genera un Fractal?se genera un Fractal?

Paso 1, se elige una imagen generadora (puede ser cualquiera, desde una recta hasta la cara de Mickey Mouse).

Paso 2, se elige un algoritmo de transformación de la imagen generadora.

Paso 3, se itera el algoritmo infinitas veces, o con un límite determinado como variable en un software.

Ejemplos:

Curva de Von Koch Curva de Peano Modelo Neuronal

Los Fractales complejos se generan con la misma lógica, solo que en lugar de iterar una imagen, se itera una ecuación en el plano de los números complejos.

Por ejemplo, el Conjunto de Mandelbrot se genera mediante la iteración de: Zn+1 = Zn^2 + C

Los Fractales Caóticos, son los elementos geométricos de la Teoría del Cáos. Se los denomina Atractores. Se generan a través de mediciones provenientes del mundo real, como Ecuaciones Direnciales o Series de tiempo. Cuando uno modela un sistema natural caótico, tiene como finalidad encontrar un Atractor.

MejorandoMejorando nuestranuestra definicidefinicióónn

La Geometría Fractal, llamada también "Geometría de la Naturaleza", es un conjunto de estructuras irregulares y complejas descriptas a través de algoritmos matemáticos y

computacionales; los cuales reemplazan a los puntos, rectas, circunferencias y demásfiguras provenientes de la matemática tradicional. Estos objetos tienen como característicasfundamental las propiedades de Autosimilitud y la de convivir en extraños paisajes formados

por dimensiones fraccionarias.

AhoraAhora sisi …… La La definicidefinicióónn de MANDELBROTde MANDELBROT

Un fractal es un objeto matemático cuya dimensión de Hausdorffes siempre mayor a su dimensión topológica.

El El ConjuntoConjunto de Cantorde Cantor

D = Log 2 / Log 3 - D = 0.6309.............

S = 2

L = 3

Dimensión Topológica = 1 ya queparte de una recta.

Dimensión Fractal = 0.6309…..

Se presenta el problema de excepción a la definición de Mandelbrot

Tiene dimensión fraccionaria, pero su dimensión Topológica esmayor que su dimensión fractal.

MatemMatemááticatica FractalFractal

Generando el Conjunto de Mandelbrot (M-Set)

Conjuto Números Complejos Iteración zz11 = z= z0022 + c+ c

IteracionesIteraciones

zz22 = z= z1122 + c+ c

zz33 = z= z2222 + c+ c

zz44 = z= z3322 + c+ c

zz55 = z= z4422 + c+ c

Todos los Z y C son números complejos Z0 es el inicializador

La sucesión formada por Z0,Z1, Z2, Z3………ZnSe denomina la ORBITA de Z0 bajo la iteración zz22 + c + c

Las órbitas pueden converger o diverger.

Definición del Conjunto de Mandelbrot

El conjunto Mandelbrot M, consiste de todos aquellos valores (complejos)de c cuyas órbitas de 0 bajo z2 + c correspondientes no escapan al infinito

MM--Set= {c / Set= {c / óórbitarbita de 0 en Zde 0 en Z22 + c converge}+ c converge}

Importante: En M-Set siempre interesa estudiar la órbita de Z0 = 0

MatemMatemááticatica FractalFractal

Generando el Conjunto de Mandelbrot

Fractales y ColoresLos colores representados en un Fractal no tienenun carácter artístico, sino puramente Matemático.

Defino un algoritmo de Colores:

- Si c PERTENECE a M-SET que pinte de color NEGRO- Si c NO PERTENECE a M-SET que pinte de color BLANCO

- Si c PERTENECE a M-SET que pinte de color NEGRO- Si c NO PERTENECE a M-SET que pinte con alguna

gama de AZUL.- Defino azul CLARO para los valores de C que tardan

MUCHO en DIVERGER.- Defino azul OSCURO para los valores de C queDIVERGEN rápidamente.

Los Los colorescolores dandan unauna muestramuestra de la de la velocidadvelocidadcon la con la queque diverge la diverge la sucesisucesióónn::

FractalesFractales CaCaóóticosticos -- AtractoresAtractores ExtraExtraññosos

DiferentesDiferentes TiposTipos de de FractalesFractales

FractalesFractales

LinealesLineales

Autosimilitud Perfecta

Dimensión Fractal fácil decalcular con: S = S = LLDD

Se crean a partir de:-Un generador-Un algoritmo de repetición

Ejemplo: Triángulo de Cantor y Triágulo de Sierpinski

ComplejosComplejos

Autosimilitud Estadística

Dimensión Fractal difícil de calcular. Se requiere software. Método: Box Couting

Se crean a partir de:-Un Z0

-Iteraciones en el Plano Complejo

Ejemplo: Conjunto de Mandelbrot, Conjunto de Julia

CaCaóóticosticos

Poseen estructura Fractal.Autosimilitud Estadística

Se requieren métodos de medición más complejos que la Dimensión Fractal.

Se generan a partir de sistemas de Ecuaciones Diferenciales

Ejemplo: Atractor de LorentzModela el Clima Meteorológico

Son los objetos geométricosde la Teoría del Caos

SegundaSegunda ParteParte

AplicacionesAplicaciones FractalesFractales

Medicina

Economía

Otras Ciencias

Arte

FractalesFractales en en MedicinaMedicina -- NeurocienciasNeurociencias

Simulación de una imágen del CerebroHumano

Iteración de la fórmula: Zn+1 = Z0 + CDiferencia con el Conjunto de Mandelbrot, se coloreanTODOS los puntos y no solo los convergentes.

ModeloModelo de de NeuronaNeurona con el con el queque trabajatrabaja la la MedicinaMedicina ActualActual

PrimerosPrimeros pasospasos parapara desarrollardesarrollar un un modelomodelo Neuronal Fractal. Neuronal Fractal.

Se elige un generador (A), se propone un algoritmo (B) se comienza a desarrollarel fractal (C y D).

Se puede llegar a diferentes modelosdependiendo el generador y algoritmoelegido.

MasMas FractalesFractales en en MedicinaMedicina

Imagen de un Pulmón humanocon características fractales

Imagen de un Pulmón animalconlas mismas características

FractalesFractales, , EstadEstadíísticastica y y MedicinaMedicina

El análisis de autosimilitud y patrones, no necesariamente tieneque estudiarse desde imagenes, puede hacerse tambien desdeecuaciones o curvas como en estecaso de EEG o Series de Tiempo

Imagen de aumentada con detallesde un pulmón humano

CardiologCardiologííaa FractalFractalECG visto como una serie de tiempo.

Se realiza un análisis Fractal para determinar la DF de ECG de pacientes sanos y de pacientes con determinadas patologías.

Problema:Diversos estudios de ECG mostraban una inconsistencia entre el tamaño de la arteria izquierda en relación con la fibrilación arterial.

Hipótesis:Mediante un Análisis de la Dimensión Fractal de una fibrilación arterial proveniente de un ECG se puede predecir el tamaño de la arteria izquierda.

Método:Se estudian 53 pacientes con fibrilación arterial.

Resultados:

Si la DF es mayor a 1.14, el tamaño de la arteria izquierda en TODOS los pacientes, es de 4,6 cm. o mayor.

Si la DF es menor que 1.09 , el tamaño de la arteria izquierda en TODOS los pacientes, es menor a 4,6 cm.

Si la DF se encuentra entre 1.09 y 1.14, no presenta una correlación con el tamaño de la arteria izquierda.

Series de Series de TiempoTiempo comocomo FractalesFractales CaCaóóticosticos

Con el mismo procedimiento descripto anteriormente se genera un fractal lineal, con autosimilitud perfecta, que representa el gráfico de una serie de tiempo.

La evolución y dinámica de diferentes sistemas biológicos, sociales, económicos o médicos pueden ser vistos y representados como series de tiempo.

Gráfico de la evolución de precios en la Bolsa de Comercio de Canadá, la cual puede ser tratada y estudiada como una serie de tiempo.

Un ElectroEncefalogramatambién puede ser visto y tratado como una serie de tiempo

En ambos casos se realiza un Análisis Fractal para determinar el grado de autosimilitud que poseen estas series, y en base a eso se puede conocer más acerca de su dinámica, lo cual permite realizar inferencias sobre el sistema.

FractalesFractales en en EconomEconomííaa y y FinanzasFinanzas

Teoría Multifractal en elAnálisis de la Bolsa de

Comercio

A la izquierda modelos tradiconales en elAnálisis de charts. A la derecha el mismoAnálisis pero utilizando técnicas Fractales

Notar la diferencia en el detalle.

EnconomEnconomííaa FractalFractalMercados Financieros vistos como series de tiempo.

Se realiza un Análisis para determinar la DF de la serie de tiempo con el objeto de conocer la dinámica del movimiento de precios dentro de la Bolsa de Comercio y poder inferir sobre valores futuros.

Se calcula la DF mediante el algoritmo denominado Exponente de Hurst.

Propiedades del exponente de Hurst (H):

Varía entre 0 y 1

Si H = 0,5 del exponente indica que la serie de tiempo es TOTALMENTE aleatoria por lo cual no se puede inferir en el futuro.

Si 0 < H < 0,5 existe una correlación inversa. Si la tendencia de la serie era decreciente, en intervalos posteriores será creciente, y por el contrario, si su tendencia era creciente, en el futuro será decreciente.

Si 0,5 < H < 1 existe una correlación directa. Si en un intervalo de tiempo la serie es creciente, lo seguirá siendo en el futuro, y viceversa.

Aplicación al Mercado Financiero.

Si se estudia la evolución en el tiempo del precio de determinada acción mediante esta técnica se puede inferir:

Si el valor de H de la serie de tiempo es 0,5 no puedo decidir que hacer con mis acciones.

Si 0 < H < 0,5 && previamente creciente => VENDO (infiero que luego el valor disminuyendo)Si 0 < H < 0,5 && previamente decreciente => COMPRO (infiero que luego el valor aumentará)

Si 0,5 < H < 1 && previamente creciente => COMPRO (infiero que el valor seguirá aumentando)Si 0,5 < H < 1 && previemante decreciente = > VENDO (infiero que el valor seguirá disminuyendo)

AnAnáálisislisis Fractal de Fractal de ííndicesndices bursbursáátilestiles

Análisis del índice de valores de las acciones de la empresa Google, perteneciente al indicador de acciones tecnológicas de EEUU NASDAQ.

Período: Desde el primer día de cotización hasta Setiembre de 2008 donde se produce el crash financiero.

El índice tiene un piso de 100 U$S y llegó a cotizar 780 U$S.

El índice fractal calculado de esta serie de tiempo (el Exponente de Hurst), tiene un valor de 0,58.

Lo cual indica que el movimiento de precios tuvo una dinámica cercana a la aleatoriedad.

Análisis del índice de valores de las acciones de la Bolsa de Comercio de Buenos Aires, MERVAL, del día 22 de Octubre de 2008.

Este día las acciones han tenido una caída del 10%.

El índice fractal calculado ha sido de 0.75%.

El mismo es significativamente superior a 0,5,. Lo cual indica una dinámica alejada de la aleatoriedad, esto significa que hubo coordinación en la compra y venta de acciones a lo largo de ese mismo día. Miles de mentes pensaron lo mismo al mismo tiempo.

Mediante este tipo de análisis es posible sacar patrones de comportamiento y comprender con mayor eficacia la dinámica de un sistema hiper-complejo como la Bolsa de Comercio

FractalesFractales y y ArquitecturaArquitectura

Arte FractalArte Fractal

Estas tres imagenes de ArteFractal muestran Fractalesmatemáticos perfectamentereconocibles, el Conjunto de Mandelbro y el Conjunto deJulia

Fractales manipuladosmediante un softwarepara generar paisajesFractales, utilizados en el cine o videos para suplantarmaquetas.

ConclusionesConclusiones

Los objetos fractales, más allá de ser elementos matemáticos que requieren un alto grado de abstracción, permiten modelar de manera visualmente interesante gran cantidad de sistemas naturales.

La dimensión fractal, que también parece ser una medida totalmente abstracta, ya que no es tan fácil generarse la idea de una dimensión fraccionaria teniendo como base nuestros conceptos tradiciones de dimensión euclidea, puede representar y darnos un parámetro de determinados sistemas con mucha más precisión y realidad de lo que lo hacen técnicas de análisis tradicionales.

El Análisis Fractal se ha convertido en una potente herramienta de investigación para diferentes áreas de la Ciencia Aplicada, que van desde la Medicina, Biología, Sociología, Física, Economía hasta el Arte o la Arquitectura.

Se han publicado cientos de trabajos en los últimos 10 años en el campo de la Medicina que abarcan análisis de ECG, EEG, dinámica de la desintegración sináptica en la enfermedad del Alzheimer o el crecimiento de un tumor. Como así también en Economía, todos los software de análisis bursátil contemplan los índices fractales vistos en las diapositivas anteriores o en Sociología se estudia el crecimiento y densidad de las poblaciones o emigraciones.