Análisis de armaduras

Fundamentos física estatica con sus aplicaciones

1.1 IntroducciónDurante los primeros cursos de estática, se aplican los principios elementales del equilibrio de sistemas de fuerza. Desde entonces se plantea que la resultante de dichos sistemas debe ser cero. Tanto las vigas como las armaduras representan las primeras estructuras en las cuales se determinan los valores de las fuerzas de reacción necesarias para que la suma total sea cero.Es decir, para que la estructura esté en equilibrio. El requisito indispensable para poderlasanalizar es que sean isostáticas, es decir, que sólo tengan las reacciones o apoyos necesarios para que sean estables.

Aplicaciones

La estática abarca el estudio del equilibrio tanto del conjunto como de sus partes constituyentes, incluyendo las porciones elementales de material.

Uno de los principales objetivos de la estática es la obtención de esfuerzos cortantes, fuerza normal, de torsión y momento flector a lo largo de una pieza, que puede ser desde una viga de un puente o los pilares de un rascacielos.

Su importancia reside en que una vez trazados los diagramas y obtenidas sus ecuaciones, se puede decidir el material con el que se construirá, las dimensiones que deberá tener, límites para un uso seguro, etc., mediante un análisis de materiales. Por tanto, resulta de aplicación en ingeniería estructural, ingeniería mecánica, construcción, siempre que se quiera construir una estructura fija. Para el análisis de una estructura en movimiento es necesario considerar la aceleración de las partes y las fuerzas resultantes.

El estudio de la Estática suele ser el primero dentro del área de la ingeniería mecánica, debido a que los procedimientos que se realizan suelen usarse a lo largo de los demás cursos de ingeniería mecánica.

Sólidos y análisis estructural

La estática se utiliza en el análisis de las estructuras, por ejemplo, en arquitectura e ingeniería estructural. La resistencia de los materiales es un campo relacionado de la mecánica que depende en gran medida de la aplicación del equilibrio estático. Un concepto clave es el centro de gravedad de un cuerpo en reposo, que constituye un punto imaginario en el que reside toda la masa de un cuerpo. La posición del punto relativo a los fundamentos sobre los cuales se encuentra un cuerpo determina su estabilidad a los pequeños movimientos. Si el centro de gravedad se sitúa fuera de las bases y, a continuación, el cuerpo es inestable porque hay un par que actúa: cualquier pequeña perturbación hará caer al cuerpo. Si el centro de gravedad cae dentro de las bases, el cuerpo es estable, ya que no actúa sobre el par neto del cuerpo. Si el centro de gravedad coincide con los fundamentos, entonces el cuerpo se dice que es metaestable.

Para poder saber la fuerza que esta soportando cada parte de la estructura se utilizan dos medios de cálculo:

La comprobacion por nudos. La comprobacion por secciones.

Para lograr obtener cualquiera de estas dos comprobaciones se debe tomar en cuenta la sumatoria de fuerzas externas en la estructura (fuerzas en x y en y), para luego comenzar con la comprobación por nudos o por sección.

Definicion de una armadura

Una armadura es un ensamble triangular que distribuye cargas a lo soportes por medio de una combinación de miembros conectados por juntas articuladas, configurados en triángulos, de manera que idealmente todos se encuentren trabajando en compresión o en tensión pura y que todas las fuerzas de empuje se resuelvan internamente. En la práctica, algunos esfuerzos de flexión pueden ocurrir como resultado de la fricción de las juntas y de las cargas distribuidas aplicadas a losmiembros entre las juntas; generalmente, estos esfuerzos son menores comparados con las fuerzas axiales y, por lo común, se ignoran para propósitos analíticos. El triangulo es la unidad geométrica básica de la armadura; es una forma única, ya que no se puede cambiar sin que cambie la longitud de sus lados aun cuando las juntas estén articuladas. Todos los otros polígonos articulados son inestables.

Tipos de Armaduras

Las formas perimetrales de la mayoría de las armaduras planas son triangulares, rectangulares, arqueadas o lenticulares. Estas formas perimetrales están invariablemente descompuestas en unidades triangulares mas pequeñas. Todos los elementos no tienen continuidad en las juntas y todas las juntas se comportan como si estuvieran articuladas.

Metodo de Nodos

Este método consiste en analizar el equilibrio de cada junta o nodo una vez que se hayan determinado las reacciones. Las fuerzas sobre los pasadores en las juntas están siempre en la dirección de los elementos que hacen parte de estos; si el elemento comprime o empuja al pasador, este ejercerá una fuerza igual y de sentido contrario sobre aquél, el cual estará sometido a compresión. Si el elemento tira o hala al pasador, por reacción este halará al elemento y en consecuencia estará sometido a tracción.Las ecuaciones disponibles al analizar el equilibrio de cada junta, para armaduras planas

son dos ya que se trata de equilibrio de fuerzas concurrentes, por consiguiente el número máximo de elementos que puede tener la armadura para que sea estáticamente determinado por la formula 2n-3 siendo n el número de juntas. El 3 representa el número máximo de incógnitas en las reacciones.

Metodo de Secciones

Este método se basa en el hecho de que si una armadura, tomada como un conjunto, está en

equilibrio, cualquier parte de ella también lo estará. Entonces, si se toma una porción de la estructura mediante un corte, de tal manera que no tenga mas de tres incógnitas, es posible, mediante las tres ecuaciones independientes disponibles en el caso de fuerzas coplanares, determinar las fuerzas en los miembros involucrados en el corte para obtener la solución respectiva.Si por ejemplo se quiere determinar las fuerzas en los elementos FF, DF y DG, una vez determinadas las reacciones se procede a hacer un corte. Si tomamos la porción derecha (se puede tomar también la otra sección) y en los miembros cortados se indican las fuerzas ejercidas sobre ellos (el sentido es arbitrario) se puede tomar entonces dicha sección como un cuerpo rígido.Tomando se deduce que FDF=0, tomando momentos con respecto a H y teniendo en cuenta el anterior resultado, se concluye que FEF=P y que el elemento esta a compresión. Por último haciendo se concluye que FDG=P y el miembro DG esta sometido a tracción. Los mismos resultados se obtienen si se considera la parte izquierda de la armadura.El método de las secciones es particularmente útil cuando, por alguna razón, se requiere determinar las fuerzas en algunos elementos en particular.

Aquí, se considera una estructura estable aquella que tiene tantosapoyos y dispuestos en forma tal que impidan movimientos de cuerpo rígido. Considerese por ejemplo una viga simple sujeta a cualquier sistema de carga (Fig. 1) :YXFigura 1. Viga simplemente apoyadaEl apoyo fijo en el extremo izquierdo ofrece dos direcciones de soporte, mientras que el apoyodel extremo derecho ofrece solamente una. A cada extremo se le nominará como nudo 1 y 2respectivamente. Las reacciones que sostienen a la viga son las que se indican en la figura 2.

De acuerdo a un sistema coplanar general, se disponen de tres ecuaciones de equilibrio. Estasson Fx = 0, Fy = 0 y Mz = 0. Debido a que se tienen igualmente tres reaccionesdesconocidas, Rx1, Ry1, Ry2, la estructura se dice isostática. Es decir, el número de reaccionesdebidas a los apoyos es igual al número de ecuaciones disponibles para establecer suequilibrio.Rx1

Ry1 Ry2

Figura 2. Reacciones en los extremos de la viga

Si a la misma viga se remueve uno de sus apoyos, por ejemplo si se elimina el apoyo derecho,entonces es inestable (Fig. 3). Por otro lado, el número de reacciones es igual a dos, mientrasque el número de ecuaciones sigue siendo tres. En este caso, la estructura se dice hipostática.La estructura presenta un movimiento de cuerpo rígido. Esto significa que aunque haya desplazamientos no nulos en alguno de sus nudos, los esfuerzos internos son nulos. Es importante remarcar que los desplazamientos así obtenidos son indeterminados. Para el ejemplo mostrado tanto el giro en el nudo 1 como el giro y el desplazamiento del nudo 2 son no nulos.Rx1

Ry1

=Figura 3. Viga hipostáticaDe igual forma, si se elimina la reacción horizontal del apoyo izquierdo (esto se puede lograr transformando el apoyo de pasador fijo por el de otro rodillo como el del nudo 2), la viga presenta también un número menor de incógnitas que el de ecuaciones (Fig. 4). La estructura sigue siendo hipostática y el desplazamiento indeterminado se da en ambos nudos en la dirección horizontal. Esto también representa un movimiento de cuerpo rígido. Nuevamente, los esfuerzos internos son nulos y los desplazamientos no se pueden evaluar.Ry1 Ry2

u=Figura 4. Viga hipostáticaPor último, considérese el caso contrario a los anteriores, es decir, en lugar de eliminar reacciones, se agregan apoyos a la misma viga (Fig. 5).Ingeniería CivilUniversidad Autónoma de ZacatecasFigura 5. Viga hiperestática

El empotramiento en el extremo izquerdo origina una nueva restricción al apoyo. Esta leimpide girar, por lo que se tienen ahora cuatro reacciones incógnita contra tres ecuaciones deequilibrio. A esta estructura se le dice hiperestática. Y a la diferencia entre el número dereacciones y el de ecuaciones proporcionadas por la estática se le conoce como grado deindeterminación estática (gie). Así, en este caso el gie = 1. La solución requiere que seplanteen ecuaciones adicionales hasta igualar el número de ecuaciones con el de las incógnitaspor determinar.Rx1

Ry1 Ry2

Rz1

Figura 6. Reacciones en la viga hiperestática de la figura 5Se puede seguir incrementando el número de restricciones a los desplazamientos de losnudos. Por ejemplo, si se cambia el rodillo por otro empotramiento en el nudo 2 (Fig. 7), seimpedirá tanto el desplazamiento horizontal como el giro en ese extremo. El número deincógnitas aumenta ahora a 6 y el gie = 3 ya que para todos los casos se trata de un problemaplano en el que se disponen de tres ecuaciones de equilibrio.Figura 7. Viga altamente hiperestáticaAnálisis Estructural 1Diego Miramontes De LeónLas reacciones para estas condiciones de apoyo se muestran en la figura 8.Rx1

Ry1 Ry2

Rz1

Rx2

Rz2

Figura 8. Reacciones en la viga de la figura 7El mismo concepto puede aplicarse a estructuras espaciales. En este caso se dispone de seisecuaciones de equilibrio las cuales implican tres sumas de fuerzas y tres de momentos : Fx,Fy, Fz, Mx, My, Mz. Para ilustrar el caso espacial puede revisarse el marco mostradoen la figura 9. Ya que se consideran empotradas todas las columnas, existen 6 reacciones a labase de cada una de ellas.

XZYRzRyRxMxMzMyFigura 9. Estructura espacial y reacciones en uno de sus apoyosEsto hace un total de 24 reacciones por determinar, lo que implica un grado deindeterminación estática muy elevado (gie = 18). Puede verse también que la estructuramostrada en la figura 9 se asemeja a estructuras frecuentes. Esta es de hecho una de lasestructuras espaciales más simples. Lo que indica que con mucha frecuencia, se requiereanalizar estructuras altamente indeterminadas. Sin embargo, el alto grado de indeterminaciónIngeniería CivilUniversidad Autónoma de Zacatecasde las estructuras no representa niunguna limitación para el análisis estructural, si no por elcontrario, es donde se encuentra su mayor interés.En resumen, para estruturas planas y espaciales la indeterminación estática se define por :gie = nR - 3 1.1)gie = nR - 6 1.2)si gie < 0 Hipostáticagie = 0 Isostáticagie > 0 Hiperestáticadonde nR representa el número total de reacciones de apoyo.1.2 Grado de indeterminación interna en armadurasPor otro lado, sólo se ha revisado la indeterminación externa mientras que, la composiciónpropia de la estructura puede representar otro grado de indeterminación adicional. A esto se ledenomina grado de indeterminación estática interna. Para ilustrar como se determina lamisma, se considerará como caso simple, una armadura (Fig. 10) en la que se requiere conocerla fuerza que se desarrolla en cada una de sus barras.Ry1

Rx1

Ry2

131 22 3Figura 10. Armadura isostáticaAnálisis Estructural 1Diego Miramontes De LeónEn cada uno de los nudos debe satisfacerse el equilibrio. Ya que es una estructura plana, acada nudo se le asocia un sistema coplanar concurrente, por lo que se cuenta con dosecuaciones por nudo (Fx y Fy). Esto significa que para qua la estructura sea estaticamentedeterminada, el número de barras (incógnitas) no debe exceder de dos veces el número denudos. Para una armadura espacial, el sistema que aparece en cada nudo es concurrente nocoplanar, por lo que se dispone de tres ecuaciones por nudo. Deben entonces satisfacerse lassiguientes ecuaciones :Armadura plana m + 3 - 2j = 0 1.3)Armadura espacial m + 6 - 3 j = 0 1.4)Donde, m es el número de barras y j es el número de nudos. Además, 3 y 6 representan elnúmero de reacciones externas requeridas para que la estructura se isostática externamente.De estas relaciones puede verse que una armadura como la mostrada en la figura 11a) seráinestable, ya que : m+3 - 2(4) 4+3 < 8.142 3Ry1

Rx1

Ry2

131 242 5 34Figura 11a. Armadura inestable Figura 11b. Armadura transformadaPara corregir la inestabilidad interna, se requiere agregar una barra como se muestra en lafigura 11b. Es importante observar que si se agrega un apoyo lateral al nudo dos, se cumple

aparentemente la condición de estabilidad ya que : m + 4 - 2(4) 4+4 = 8, sin embargo, aunasí, sigue siendo inestable, ya que el desplazamiento lateral de los nudos 3 y 4 no tieneninguna restricción (Fig. 12). Esto indica, que si se agregan apoyos externos en lugar de barraspara cumplir con las relaciones 1.3) y 1.4) sólo puede garantizarse el equilibrio si el apoyo enIngeniería CivilUniversidad Autónoma de Zacatecascuestión cumple con la función que cumpliría la barra interna (Fig. 13). En este caso se tratade restringir el desplazamiento horizontal de los nudos 3 y 4. Aun así, es necesario remarcarque siguiendo un análisis riguroso, los resultados de ambas estructuras no serán iguales. Enefecto, en la figura 11b, el desplazamiento lateral depende de la rigidez de la barra 5, mientrasque en la estructura de la figura 13, el desplazamiento del nudo 4 sera cero. Sólo si sedesprecia la rigidez axial de las barras (como en la mayoría de los análisis por equlibrioestático), ambos resultados coincidirán.Ry1

Rx1

Ry2

131 242 34Rx2

= = Figura 12. Inestabilidad interna e hiperestaticidad externa142 3Figura 13. Estabilidad a partir de la posición correcta de una redundanteAnálisis Estructural 1Diego Miramontes De León1.3 Estabilidad y grado de indeterminación de porticos planosUn pórtico o marco, se compone de vigas y columnas unidas rígidamente [3-6]. La estabilidady grado de indeterminación puede investigarse comparando el número de incógnitas (de

reacción e internas) con el número de ecuaciones disponibles por estática. Como en el caso delas armaduras, el marco puede separarse en un número de sólidos aislados, igual al de nudos,lo que requiere separar todos los elementos (vigas y columnas) mediante dos secciones (Fig.14).Por cada sección existen tres incógnitas internas (N, V, M), sin embargo, si se conocen estascantidades en una sección, se pueden determinar las correspondientes a otra seccióncualquiera. Por lo tanto sólo hay tres incógnitas internas e independientes en cada elemento.V NMFigura 14. Marco plano y elementos mecánicos en dos de sus seccionesSi m representa el número total de elementos y r el número de reacciones, el número total deincógnitas independientes en un marco rígido será 3m + r. Para el equilibrio de un nudo, sedeben satisfacer tres ecuaciones de equilibrio, Fx=0, Fy=0 y Mz=0 (marco plano). Siademás el número total de nudos rígidos es j, entonces podrán escribirse 3j ecuacionesindependientes de equilibrio para el sistema completo.Si se introducen articulaciones u otros dispositivos de construcción con el fin de proveerecuaciones adicionales a las de la estática, el número total de ecuaciones estáticas disponiblesserá 3j + c, donde c son los dispositivos añadidos. Entonces, los criterios para la estabilidad ygrado de indeterminación para un marco plano serán :1. Si 3m + r < 3j + c intestable2. Si 3m + r = 3j + c estáticamente determinado, siempre y cuando sea estable1. Si 3m + r > 3j + c estáticamente indeterminado

P r o f . L e n n i J i m é n e z . 2 0 0 4 1 TEMA 5

ARMADURAS PLANAS INTRODUCCIÓN

Uno de los elementos estructurales más usados en Instalaciones Agrícolas son las Cerchas o

Armaduras, las cuales soportan cargas elevadas y cubren grandes luces, generalmente se utilizan en

cubiertas de techos y puentes. El análisis de las condiciones de estabilidad que deben cumplir cuando

sobre ellas son aplicadas cargas de trabajo corresponden al desarrollo del presente tema.

Se presentan AUTOEVALUACIONES que permiten ejercitar de manera autónoma el análisis de

las armaduras, facilitando la retroalimentación y la consolidación de los aprendizajes sin la presión que

genera el tiempo de evaluación presencial.

OBJETIVO Analizar el comportamiento estático de las armaduras, calculando los esfuerzos internos en cada uno de sus miembros. ARMADURAS PLANAS

Es una estructura reticulada simple formado por elementos rectos de sección constante, cuya

longitud supera varias veces su sección transversal, se conocen como barras y se conectan rígidamente

en sus extremos denominados nodos o nudos, los esfuerzos actúan a lo largo de su eje longitudinal.

Las Armaduras planas o cerchas se utilizan para soportar cargas elevadas y cubrir grandes luces,

pueden construirse en maderas o acero y usadas en cubiertas de techos, puentes, grúas, torres, etc.

P r o f . L e n n i J i m é n e z . 2 0 0 4 2 ANALISIS DE LAS ARMADURAS

Para el análisis de las armaduras se parte de varias hipótesis de t rabajo, que

aunque no se presentan exactamente como se asumen, permiten simplificar los

cálculos y dar resultados lo mas cercanos posibles a la realidad

HIPÓTESIS DE TRABAJO: 1. Las barras de la armadura están unidas mediante

pasadores l isos colocados en sus extremos.

2. Las cargas y reacciones actúan en los nodos.

3. Las barras t ienen un peso despreciable.

CONSTRUCCION DE UNA ARMADURA

Con el f in de obtener la r igidez de la armadura las barras deben tener una

disposición triangular, por ser geométricamente una figura indeformable, unidas de

dos en dos en sus extremos mediante pasadores l isos.

Las uniones de las barras se l laman nudos, nodos o juntas y se resuelven generalmente con placas metálicas l lamadas cartelas. Partiendo del tr iángulo base, formado por 3 nudos (ABC ) y tres barras (AB, AC, BC) por cada nuevo nudo (D), se necesitan dos

P r o f . L e n n i J i m é n e z . 2 0 0 4 3 barras (BD, CD), no alineadas, para formar un nuevo triangulo,

generando estructuras rígidas. CONDICIÓN DE RIGIDEZ DE LAS ARMADURAS

La rigidez de una armadura esta determinada por su capacidad de mantener

la forma original luego de ser aplicadas las cargas de t rabajo. La rigidez mide la

estabil idad estructural de la armadura.

La Ecuación que expresa los requisitos necesarios para que una estructura armada plana sea rígida será: