Definicin de espacio vectorialUnespacio vectorial(o espacio lineal) es el objeto bsico de estudio en la rama de lamatemticallamadalgebra lineal. A los elementos de los espacios vectoriales se les llamavectores. Sobre los vectores pueden realizarse dosoperaciones: la multiplicacin por escalares y la adicin (una asociacin entre un par de objetos). Estas dosoperacionesse tienen que ceir a un conjunto de axiomas que generalizan las propiedades comunes de las tuplas de nmeros reales as como de los vectores en el espacio elucdelo. Unconceptoimportante es el de dimensin.Unespacio vectoriales una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vaco, una operacin interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operacin externa(llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemtico), con 8 propiedades fundamentales. A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores ya los elementos del cuerpo, escalares.

Definicin 1.1 Un espacio vectorial es una terna (V, +, ), donde V es un conjunto no vaco y +, son dos operaciones del tipo + : V V R, : R V V a las que llamaremos suma de vectores y producto por escalares respectivamente y con las siguientes propiedades: denotando +(u, v) = u + v y (, v) = v, 1. u + (v + w)=(u + v) + w, u, v, w V (asociativa). 2. u + v = v + u, u, v V (conmutativa). 3. Existe e V tal que e + v = v + e = v, v V (elemento neutro). 4. Para cada v V existe w tal que v + w = w + v = e (elemento opuesto). 5. (v)=()v, v V , , R (seudo-asociativa). 6. (u+v) = u+v y (+)v = v +v, u, v V y , R (distributiva). 7. 1v = v,v V (unimodular). De forma abreviada, diremos que V es un espacio vectorial. A los elementos de V lo llamamos vectores y a los de R, escalares. Proposicin 1.1 En un espacio vectorial V , 1. El elemento neutro es nico. Se denotara por 0. 2. El elemento opuesto de un vector es nico. Si v es un vector, su opuesto lo denotamos por v. Proposicin 1.2 En un espacio vectorial se tiene las siguientes propiedades: 1. 0=0, R.2. 2. 0v = 0, v V . 3. 3. ()v = (v), R, v V . 4. 4. Si v = 0, entonces = 0 o v = 0.Subespacio vectorial y sus propiedadesUn subespacio vectoriales el subconjunto de un espacio vectorial, que debe cumplir varias caractersticas.La definicin es la siguiente.Sean (V, +, K, *) un espacio vectorial y S un subconjunto de V.S es sub espacio vectorial de V si (S, +, K, *) es espacio vectorial en s mismo, siendo (+) y (*) las mismas operaciones definidas en V. Las bases de un sub espacio son el subconjunto de "alfa" y "beta" en el menor sub espacio formado por la rectaque pasapor dos puntos.Definicin 2.1 Sea V un espacio vectorial y U un subconjunto suyo. Se dice que U es un subespacio vectorial de V si satisface las siguientes propiedades: 1. Si u, v U, entonces u + v U. 2. Si R y u U, entonces u U. 3. Con la suma y producto por escalares de V , U es un espacio vectorial. Proposicin 2.1 Sea U un subconjunto de un espacio vectorial V . Entonces U es un subespacio vectorial si y solo si 1. Si u, v U, entonces u + v U. 2. Si R y u U, entonces u U. Demostracin: Supongamos que U satisface las propiedades 1 y 2. Veamos que con estas son suficientes para probar todas las propiedades de espacio vectorial. Todas estas son ciertas de forma trivial, excepto dos: la existencia de elemento neutro y opuesto. Pero para ello basta con probar que el elemento neutro de V se encuentra en U y lo mismo sucede con el elemento opuesto de un vector de U. Por hiptesis, si u U, 0u = 0 U. De la misma forma, si u U, 1u = (1u) = u U. En particular, todo subespacio vectorial debe contener el elemento neutro del espacio ambiente, as como los elementos opuestos de todos los vectores del subespacio. Proposicin 2.2 1.Si U1 y U2 son subespacios vectoriales, entonces U1 U2 tambin es subespacio vectorial.2. Si U1 y U2 son subespacios vectoriales de V y U1 U2, entonces U1 es un subespacio vectorial de U2. 1. Si V es un espacio vectorial, {0} y V son subespacios vectoriales, llamados subespacios vectoriales triviales. 2. U = {(x, y) R2 ; x y = 0} es un subespacio vectorial de R2 . 3. En general, si a1,...,an son nmeros reales, no todos nulos, el conjunto U = {(x1,...,xn) Rn; a1x1 + ... + anxn = b} es un subespacio vectorial de Rn si y solamente si b = 0. 4. Si V1 y V2 son espacios vectoriales, entonces V1{0} y {0}V2 son subespacios vectoriales del espacio producto V1 V2. 5. Si V es un espacio vectorial, V es un conjunto biyectivo con V con la estructura de espacio vectorial inducida por una biseccin f : V V , entonces U V es un subespacio vectorial si y slo si f(U) es un subespacio vectorial de V.Definicin 2.2 Sean U y W subespacios vectoriales de V . Se define la suma de U con W como el conjunto U + W = {u + w; u U, w W}. Entonces U+W es un subespacio vectorial. Adems se tienen las siguientes propiedades: 1. U + W = W + U. 2. U + U = U. 3. U U + W. 4. U + W es el menor subespacio (con respecto a la inclusin de conjuntos) que contiene a U y a W.

http://www.ugr.es/~rcamino/docencia/geo1-03/g1tema1.pdfhttp://www.monografias.com/trabajos82/espacio-vectorial/espacio-vectorial.shtml

INSTITUTO TECNOLGICO DE NUEVO LENINGENIERA INDUSTRIALALGEBRA LINEAL

Tarea

Maestra: Eugenia Isabel Longoria Guilln Alumno: Hugo Alejandro Rojas vila 14480203

PERIODO ENE-JUN 2015