deber 2 do parcial

7/25/2019 Deber 2 Do Parcial

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DEPARTAMENTO DE ELCTRICA Y ELECTRNICASISTEMAS DE CONTROL

DEBER DE SISTEMAS DE CONTROL - SEGUNDO PARCIAL

1. Represente en el plano complejo s los s!"entes l"!ares !eom#trcos $% !r&'cosn(epen(entes)*

a) Tempo (e esta+lecmento menor a , se!"n(os+) Mp menor al 1-c) Los polos con ts/, 0ra(s2 3 Mp/1- (e la '"nc4n (e trans'erenca (e "n sstema sn

ceros 'ntos.

a) ts< 4segundos

ts=4

4

1

Para =2:

ts=4

2

2 segundos < , se!"n(os

Sistema sin ceros finitos:

n

2

s2+2s+n

2

b) Mp


2/26

wd

0.733

wd


3/26

eesa= 2

ka=

2

0=

G2 ( s )= 3

s(s+2)

kp=lims 0

G(s)H(s)=lims 0

3

s (s+2 )=

eesp= 1

1+kp=

1

1+=0

kv=lims 0

sG(s)H(s)=lims 0(

3

s (s+2 ) )s=3

2

eesv=1

kv=

1

3

2

=2

3

ka=lims 0

s2 G(s)H(s)=lims 0

( 3

s ( s+2 ))s2=0

eesa= 2

ka=

2

0=

3


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%. :tlce Ro"t;< ;"r=t> para (etermnar la esta+l(a( a+sol"ta (e los s!"entessstemas*

a 1

2 s4+s3+3 s2+5 s+10

s4 2 !0

s3 ! 0

s2

a"#$ b"!0 0

s1 c"25

7 0

s0

d"!0

a=310

1 =7

b=100

1 =10

c=3510

7 =

25

7

d=

25

7

10

25

7

=10

E%isten 2 cambios de signo& por lo tanto el sistema no es estable

b 1

s4+3 s3+3 s2+2 s+k

s4 ! '

s3 2 0

s2

a"7

3 b"' 0

s1 c"2#9k7 0


5/26

s0

d"'

a=923 =

7

3

b=

3k

3 =k

c=

14

33k

7

3

=29

7k

d=k(2

9k

7 )

29k

7

=k

Para que el sistema sea estable debe cumplir la siguiente condicin

29k7 >0k>0

k0

Por lo que para que el sistema sea estable ' debe estar entre el inter(alo de:

0


6/26

a=331 =0

b=601 =6

c=3 6 =36

d=6

+omo podemos obser(ar para un (alor cercano a cero la e%presin3

6

es negati(a

E%isten 2 cambios de signo& por lo tanto el sistema no es estable

,

,. ?os@"eje el l"!ar !eom#trco (e las races (e los s!"entes sstemas 3 j"st'@"e el!ra'o. Compr"e+e a(em&s "tl>an(o Matla+.

a) G ( s )=

2Ks (s+2)

Polos

s=0 s=2

Ceros

s= s=

Neor deraas=2

Neor de as!ntotas

N"=polos ceros

N"=20


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N"=2

n$%los as!ntotas

&=180(2'+1)

N

&1=

180(1)2 =90 (

&2=180(2+1)

2 =270(

P%nto de b)*%rcac)+n

s (s+2 )+2K=0

s2+2 s+2K=0

K=s22s

2

dKds=2 s2

2

2=0

s1=0

s=1

Corte "s!ntotas

c=p,

N =

202 =1

#2 #! 0

Im

R


8/26

+) G ( s )= K

s2(s+5)

Polos

s=0

s=0

s=5

Ceros

s=

s=

s=

Nerode raas=3

Nerode as!ntotas

N"=polos ceros

N"=30

N"=3

n$%los as!ntotas

&=180(2'+1)

N

&1=

180(1)3 =60(


9/26

&2=

180(3)3 =180 (

&3=180(5)

3 =300 (=60 (

P%nto de b)*%rcac)+n

s2 ( s+5 )+K=0

K=s35 s2

dKds=3 s210 s=0

s (3 s10 )=0

s=0

s=103 =3.33

Corte "s!ntotas

c=p,

N

c=

503

c=1.66

#-

Im

R


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c) G ( s )=K(s+4 )

s(s+2)

Polos

s=0

s=2

Ceros

s=4

s=

Nerode raas=2

Nerodeas!ntotas

N"=polos ceros

N"=21

N"=1

n$%los as!ntotas

&=180(2'+1)

N

&=180(1)

1 =180 (

Corte "s!ntotas

c=p,

N

c=2(4)

1

c=2

P%ntodeb)*%rcac)+n


11/26

s (s+2 )+K(s+4 )=0

K=s22s

s+4

dK

ds=(2 s2 ) (s+4 )(s22 s)(1)

(s+42) =0

2 s28 s2 s8+s2+2 s=0

s28 s8=0

s=1.17

s=6.83

#,. #4 #2 #!,!$

() G ( s )= K(s+4)

s

2

4

s+8

Polos

s24 s+8=0

s1=2+'2

s1=2' 2

Ceros

s=4 s=

Nerode raas=2

Nerodeas!ntotas

Im

R


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N"=polos ceros

N"=21

N"=1

Corte "s!ntotas

c= p,

N

c=(2+' 2+2'2 )(4)

1

c=8

#n$%los as!ntotas

&=180(2'+1)

N

&1=

180(1)1 =180(

&2=180(2+1)

2 =270(

P%ntodeb)*%rcac)+n

s24 s+8+K(s+4)=0

K=s2+4 s8

s+4

dK

ds=

(2 s+4 ) ( s+4 )(s2+4 s8)(1)

(s+4)2

2

2=0

2 s

2

8 s+4 s+16+s

2

4 s+8=0s28 s+24=0

s=2.32

s=10.32

Cortee'e )a$)nar)o


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s24 s+8+K( s+4 )=0

(')24 (')+8+K('+4 )=0

24'+8+K'+4K=0

2+8+4K=0

=4.89

4'+K'=0

K=4

4

2

#!0,2 #. # #4 #2 2

#2

#4#

B) ;alle "n sstema e@"8alente (e menor or(en para el s!"ente sstema

G(s)= 36 ( s+20 )

(s+21 )(3 -2+6 -+9)

simplificando el sistema tenemos por ser polos / ceros cercanos se puede simplificar quedando

G ( s )=

36

3 (-2+2-+3 )20

21

G ( s )= 11.42

(-2+2-+3 )

Para (erificar ubicamos los datos en atlab

Im

R


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Sistema 1rfica de las 2 funciones superpuestas

Sistema equi(alente

. Dsee "n control proporconal para @"e el sstema (e la>o cerra(o (e la '!"ra7 ten!a*

.1. Error (e esta(o esta+le ante entra(a escal4n menor al 1-.5. Tempo pco sea 1.5F se!"n(os.%. Determne s e9ste al!Gn 8alor (e para po(er c"mplr las (os con(cones

anterores.

G ( s )= 6

0.2 s2+0.4 s+1

a) errp=lim

s 0

s1

s

1+ 6k

0.3 s+0.4 s+1


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b)./=

6 k

0.3 s2+0.4 s+1+6 k

6 k

0.3 (s2+ 43s+103 +20k)

20k

s2+4

3s+

10

3+20k

tp=

dd=

tp

d=2.47

d=n 12 d=n1(

2

3n )2

d=n9n

24

9n2

d=n9n4

3n

3d=9n24 9d

2=9n24 9 (2.47 )2=9n

24 n=2.56

2 n=4

3=

2

3n2.56= 103 +20k 6.54=103 +20k

19.6310=60k k=0.16

0 0,! !,-

c) as condiciones anteriores se cumplen para (alores de '3!,-

F. :na planta H$s) se controla en la>o cerra(o con realmentac4n "ntara. La !ananca (etra3ectora (recta (el sstema (e control es*

G ( s )=k(s+4)(s2+4 s+8)

(s+6)( s24 s+8)

a) osque5ar el ugar geom6trico de las ra7ces de 18s),b) 9eterminar el (alor de ' para que el sistema ; sea marginalmente inestable, 9etermine

adems la frecuencia n ,

c) 9eterminar el (alor de ' para que el sistema ; tenga dos polos dominantes en s"!&4=#2&,

d) 9eterminar el (alor de ' para que el error en estado estable sea menor del !0> de ?ss anteescaln de (alor unidades,


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a) ugar geom6trico de las ra7ces

Polos de origen:s1=6,

s2=2+2' 0

s3=22'

+eros de llegada:s4=4,

s5=2+2' 0

s6=22' @

no a/ as7ntotas porque no a/ ceros BC ramales: D" " 0ugar de las ra7ces / e5es:

# < s < #4Do a/ puntos de bifurcacin

Angulo de salida:

&, &p=180 (2 )+1 )

&,1+&,2+&,3(&p1+&p2+&p )=180

0+ tan1( 26 )+ tan1(44 )[90+ tan1( 28 )+&p]=180

0+18.93+45(90+14+&p )=180

40.60&p=180

&p=220.60

&p=220.60

&p=40.6=&p=139.4


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&p1=139.4

&p2=0

Angulo de llegada:

&,1+&,2+&,3(&p1+&p2+&p3 )=180

( 44 )180tan1

tan1(24 )+0+=180

&,1+

tan1

(2

2

)+90

+

&,1+45+90(26.56+0+135 )=180

&,126.56=180

&,1=206.56

&,1=26.56

&,3=26.56

&,2=180

aFo +errado:k( s+4 )( s2+4 s+8 )

( s+6 )(s24 s+8 )+k(s+4 )(s2+4 s+8)

&,1 ( s+6 )(s24 s+8 )+k(s+4)( s2+4 s+8)

s34 s2+8 s+6 s2+24 s+48+k(s3+4 s2 )+8 s+4 s2+16 s+32


18/26

s32 s2+16 s+48+k(s3+8 s+24 s+32 )=0

'w32w216'w+48+k('w38w2+24'w+32 )=0

w2k w216+24k=0

w216k( w224 )=0

w216w224

=k(1)

2w28k w2+3+48=0

2(w224)

8(w2+4) =k(2)

(1 )=(2)

w216w

224=2(w224)

8(w2+4)

3 w496w2+832=0

3 (w2 )2

96w2+832=0

w2=1

Entonces: 3 (1 )2961+832=0

11=7.09

1239.09

w2=11

w2=7.09


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w=22.66

+omprobacion en atlab del lugar de las ra7ces:

b)

GtiliFando la ecuacin !) del literal anterior para despe5ar H

k=(2.66 )216

(2.66 )224=1.36 Para que el sistema sea marginalmente inestable,

Para In:

wn2=k

k=wn

wn= 1.3634

wn=1.1676 rad /s

En atlab: para c"!,


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c) +omprobacion en atlab de que los dos polos s"!&4=# 2& son lugar de las ra7ces& entonces sepuede terminar el (alor de H

|k(s+4)( s2+4 s+8)

(s+6)( s24 s+8) |s " #!,4 J2,5

'"0,20--d)

Error de estado estable ante entrada escaln


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ess=lims 0

s/ (s)1+G(s)H(s)

ess=lims 0

s3

s

1+ k(s+4)( s2

+4 s+8)(s+6)( s24 s+8)

ess= 3

1+k(0+4)(02+4 (0)+8)

(0+6)(024 (0)+8)

= 3

1+k(4)(8)(6)(8)

= 3(48)48+32k

ess= 9

3+2k

?ss ante entrada escaln:

aFo cerrado de 18s):

k(s+4)(s2+4 s+8)

( s+6 )( s24 s+8 )+k(s+4 )(s2+4 s+8)

3ss=lims0

s/ ( s )k(s+4)( s2+4 s+8)

(s+6 )( s24 s+8 )+k(s+4)( s2+4 s+8)

3ss=lims 0

s3

sk(s+4)( s2+4 s+8)

(s+6 )( s24 s+8 )+k(s+4)( s2+4 s+8)

3ss=lims 0

3k(0+4)(0+4 (0)+8)

(0+6 )(s24 (0)+8 )+k(0+4)( s2+4(0)+8)

3ss= 3k(4 )(8)

(6 ) (8 )+k(4)(8)

3ss= 6

3+2k

Entonces:


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esso cerra(o con realmentac4n "ntara. La !ananca (etra3ectora (recta (el sstema (e control es

G ( s )=k(s2+4 -+8)

s2(s+4 )

a) osque5ar el ugar geom6trico de las ra7ces de 18s),b) 9eterminar el (alor de ' para que el sistema responda como uno de segundo orden& con factor de

amortiguamiento 0,-, Adems indique los polos dominantesDota: Puede determinar los polosdominantes con la a/uda de matlab& si no puede encontrarlo con algKn procedimiento matemtico alintersecar el 1 / la recta que representa el factor 0,-c) +on el (alor de ' calculado en el literal anterior determine el error esttico del sistema en laFocerrado ante entradas escaln& rampa / parbola


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a) ! polos de origens!"0s2"0s"#4

2 Feros de llegadas!"#2=52s2"#2#52

s"infinito amales D"

4 polos en el e5e reals"#4

- ngulo de salida 2$0 / #2$0

+) +omo tenemos de dato el (alor de =0.5 sabemos que =cos(&) de

donde &=60 aora sabemos que s='d

tan (& )=wd

tan (60 )=1.73

En matlab buscamos en el lugar de las ra7ces los polos que denwd=1.73:

s!"#!,2L=52,24

s2"#!,2L#52,24Mgualamos ese (alor al de la ecuacin caracter7stica con laFo cerrado


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Glc ( s)=

k(s2+4 -+8 )s2 (s+4 )

1+k(s2+4 -+8)

s2(s+4)

Glc ( s)= k(s2+4 -+8 )

s3+4 s2+k s2+4 ks+8k

s3+4 s2+k s2+4ks+8k=(s+1.29+' 2.24)(s+1.29'2.24)( s+12.9)

s( 2+2.58 s+6.68)(s+12.9)

s3+4 s2+k s2+4 ks+8k=

s3

+4 s2

+k s2

+4ks+8k=s3

+15.48s2

+39.93s+85.86

4='"!-,4.4'"L,L.'".-,.

Elegimos el (alor de ' mas cercano a las condiciones / es '"L,L. 10

1raficamos con ese (alor de ' para obser(ar nuestro sistema

c)

Glc ( s)= 10 (s2+4 -+8 )

s3+14 s2+40s+80

error esttico


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eps=lims 0

s/ ( s)1+G(s)H(s)

eps=lims 0

s1s

1

1

+

10 (s2+4 -+8 )s2(s+4)

eps=0

error de (elocidad

ev=lims 0

s/ (s )1+G(s)H(s)

ev=lims0

s1

s2

1+10 (s2+4 -+8 )

s2(s+4)

ev=0

error de aceleracin

ea=lims 0

s/ (s )1+G(s )H(s)

ea=lims 0

s1

s3

1+10 ( s2+4 -+8 )

s2(s+4)

ea=0.05

J. ?os@"ejar la resp"esta c$t)7 ante entra(a escal4n "ntaro $sn "tl>ar trans'orma(an8ersa (e Laplace) (el sstema en la>o cerra(o con realmentac4n "ntara7 (e la

planta G ( s )=2 ( s2 )(s+3)

+errando el laFo


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Glc ( s)=

2 (s2 )( s+3)

1+2 ( s2)(s+3)

Glc ( s)= -+33 s1

0 20 40 60 80 100 120 140 160 1800

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4x 10

26

Step Response

Time (seconds)

Amplitu

de

+omo se obser(a en el laFo cerrado el polo esta en el lado positi(o del e5e real por lotanto es un sistema inestable / la funcin se ira acia el infinito

deber 2 do parcial

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