İdeal akışkanların İki boyutlu akımları / potansiyel...

Akışkanlar Mekaniği Akışkanların Dinamiği AKM 204 / Ders Notu H12-S1

[email protected]

İdeal Akışkanların İki Boyutlu Akımları / Potansiyel Akımlar

Gözönüne alınan ortam ve akışkan özellikleri;

Permanan akım ortamı ; ı

.

Akışkan sürtünmesizdir (ideal) ve .

Akışkan hareket esnasında sıkışmamaktadır (

)

2 Boyutlu inceleme Akım ortamında akışkan deformasyonları

Potansiyel ( Çevrintisiz) Akımlar

Reynolds sayısının büyük olduğu akım ortamlarıdır.

Açısal deformasyonun olmadığı akımlar (dolu savak, yeraltısuyu akımı, dalga hareketi vs.)

x

y

D C

B A

D’ C’

B’ A’

Öteleme hareketi

x

y

D C

B A

Çevrinti (açısal deformasyon) hareketi x

y

D C

B A

Doğrusal deformasyon

x

y

D C

B A

Çevri (dönme) hareketi

Akışkan elemanı

Çevrintisiz akım

Akışkan elemanı

Çevrintili akım


[email protected]

Çevrinti Tanım: Akım sırasında akışkan elemanlarının yaptıkları dönme (çevri) hareketinin açısal hızına çevrinti denir.

Çevrinti vektörü çevrintinin meydana geldi i düzleme diktir.

Çevrinti vektörü, vektörel türev operatörü ile akım alanına ait hız vektörünün vektörel çarpımıdır.

3 Boyutlu akımlarda A noktası için çevrinti vektörünün bileşenleri

Çevrintisizlik koşulu

=0

( y – z ) düzlemindeki çevrintisizlik koşulu;

(x – z ) düzlemindeki çevrintisizlik koşulu;

(x – y ) düzlemindeki çevrintisizlik koşulu;

+

x

D’

B’

A’

D C

B A

y

C’


[email protected]

Sirkülasyon Tanım;

Bir akım alanında çizilmiş kapalı bir eğri (C) boyunca hesaplanan

integraline sirkülasyon denir.

Potansiyel ve Akım Fonksiyonları

2B inceleme ve ( x – y ) düzlemi için;

φ= φ(x,y;t) = Hız potansiyel fonksiyonu ;

ve

Ψ= Ψ(x,y;t) = Akım fonksiyonu ;

ve

x

y

C


[email protected]

Potansiyel ve akım fonksiyonlarının özellikleri

Her iki denklem potansiyel akımların temel denklemleridir.

Herhangi bir akım çizgisi üzerinde Ψ sabittir.

Akım alanının her noktasında Ψ çizgileri ϕ çizgilerini dik keser.

Akım çizgisi üzerinde

Akım çizgisinin eğimi ;

potansiyel akım fonksiyonun sabit olduğu eğri üzerinde ;

Potansiyel çizgisinin eğimi ;

y

x

dy

dx

v

u

Akım çizgisi

Akım çizgisinin denklemi

(x-y) düzleminde;

v.dx =u.dy


[email protected]

Ψ akım fonksiyonunun fiziksel anlamı;

Birim genişlik için dS ‘den geçen debi;

tanımı yapılırsa (koordinat sistemi akım fonksiyonun sıfır olduğu noktaya göre yerleştirilirse)

olur.

akım fonksiyonun akım alanın herhangi bir noktasındaki değeri, bu nokta ile orijin arasında birim genişlikten geçen debiyi verir.

dx

dy

v

u

O

y

x

OP potansiyel çizgisi

P


[email protected]

Euler hareket denkleminin 2 boyutlu potansiyel akım ortamında integrasyonu Gözönüne alınan ortam ve akışkan özellikleri;

Yerçekimi alanında inceleme yapılacaktır (kütlesel kuvvetler sadece g ’den kaynaklanmaktadır).

:

Permanan akım ortamı ; ı

.

Akışkan sürtünmesizdir (ideal) ve .

Akışkan hareket esnasında sıkışmamaktadır (

)

2 Boyutlu inceleme ve (x-z) düzleminde ve potansiyel akım ortamında integrasyon.

(x-z) düzleminde Euler hareket denklemleri;

(x-z) düzlemi için

çevrinti vektörü bileşeni seçilir ve çevrintisizlik şartı

yazılır.

x- doğrultusunda E.H.Denklemi :

z- doğrultusunda E.H.Denklemi :

Potansiyel akım ortamında iki nokta için enerji dengesi aşağıdaki gibi yazılabilir.

Sonuç :

Yerçekimi alanında, ideal ve sıkışmaz akışkanın, iki boyutlu potansiyel (çevrintisiz) ve permanan akımı

için Euler hareket denklemlerinin herhangi iki nokta arasındaki integrasyonu Bernoulli denklemini

vermektedir.

Bernoulli denklemi 2 boyutlu ve potansiyel akım ortamında herhangi iki nokta arasında yazılabilir.


[email protected]

KKoonnuu SSoorruullaarrıı

11)) ÇÇeevvrriinnttiissiizz aakkıımm nnee ddeemmeekkttiirr.. HHeerrhhaannggii bbiirr ddüüzzlleemmddee ççeevvrriinnttiissiizzlliikk kkooşşuulluunnuu yyaazzıınnıızz..

22)) BBiirr aakkıımm aallaannıı hhaannggii şşaarrttaa bbaağğllıı oollaarraakk ççeevvrriinnttiissiizz kkaabbuull eeddiilleebbiilliirr..

33)) PPoottaannssiiyyeell vvee aakkıımm ffoonnkkssiiyyoonnllaarrıınnıı,, aakkıımm aallaannıınnıınn hhıızz bbiilleeşşeennlleerriinnee bbaağğllıı oollaarraakk yyaazzıınnıızz..

44)) ÇÇeevvrriinnttiissiizz aakkıımm aallaannıınnddaa,, ppoottaannssiiyyeell ççiizzggiilleerr iillee aakkıımm ççiizzggiilleerriinniinn bbiirrbbiirrlleerriinnii ddiikk oollaarraakk kkeessttiikklleerriinnii

ggöösstteerriinniizz..

55)) İİddeeaall vvee ssııkkıışşmmaayyaann aakkıışşkkaannıınn [[ xx -- zz ]] ddüüzzlleemmiinnddee,, yyeerrççeekkiimmii eettkkiissii aallttıınnddaa mmeeyyddaannaa ggeelleenn iikkii

bbooyyuuttlluu ppeerrmmaannaann aakkıımmıınnddaa EEuulleerr hhaarreekkeett ddeennkklleemmlleerriinnii ppoottaannssiiyyeell aakkıımm oorrttaammıınnddaa eenntteeggrree eeddiinniizz..

BBuulldduuğğuunnuuzz ssoonnuuccuu bbiirr ccüümmllee yyoorruummllaayyıınnıızz..

KKoonnuuyyllaa İİllggiillii PPrroobblleemmlleerr 1. Soru)

İdeal akışkanın (su) yatay düzlemdeki akımı için hız alanı V = (4x + 3y) i + (3x – 4y) j şeklinde verilmiştir. x ve y metre biriminde olmak üzere başlangıç noktasına olan mesafeyi göstermektedir.

a) Bu akım fiziksel olarak mümkün müdür ? b) Akım permanan mıdır ? c) Akım fonksiyonunu belirleyiniz. d) Akım hız potansiyelli midir ? Hız potansiyelli ise potansiyel fonksiyonunu bulunuz. e) Potansiyel akım ortamında Bernoulli denkleminin hangi koşulda geçerli olduğunu bir cümle ile

belirtiniz. f) A(1,1) ve B(3,4) noktaları arasındaki basınç farkını hesaplayınız. g) A(1,1) ve B(3,4) noktaları arasından geçen birim genişlik debisini (q) bulunuz.

Çözüm

a) İki boyutlu akıma ait hız alanı fiziksel olarak varolabilmesi için süreklilik denklemini sağlamalıdır.

Akım fiziksel olarak mümkündür.

b)

ve

akım permanandır.

c) Ψ

,

Ψ

,


[email protected]

d)

(x – y ) düzlemindeki çevrintisizlik koşulu;

Hız alanı çevrintisizdir yani hız potansiyellidir.

,

,

e) Hız potansiyelli akım ortamında herhangi iki nokta arasında yazılabilir.

f) A(1,1) ve B(3,4) noktaları arasındaki basınç farkı;

Yatay düzlem de

;

;

;

;

m/s

m/s

g) A(1,1) ve B(3,4) noktaları arasından geçen birim genişlik debisini (q) ;


[email protected]

2. Soru) İki boyutlu bir akım 22 yx akım fonksiyonu ile verilmiştir.

a) Hız bileşenlerinin ifadelerini elde ediniz. b) Akım çizgilerinin denklemini elde ediniz ve A(1,1) noktasındaki değerini bulunuz. c) Bu akımın çevrintili olup olmadığını belirtiniz. d) Bu akıma ait, varsa potansiyel fonksiyonunu bulunuz.

3. Soru) İdeal akışkanın iki boyutlu bir akımda hız alanı 1053 2 xtyxu ve ytxyv 53 2

verilmiştir. a) Bu fizik olarak mümkün müdür ? b) Bu akım permanan mıdır? c) Bu akım hız potansiyeli midir?

4. Soru) İki boyutlu bir akım ortamında u=2 ( 1 + t ) ve v=3( 1 + t ) olarak verilmiştir. a) Akımın fiziksel olarak mümkün olup-olmadığını belirleyiniz. b) Akımın permanan olup-olmadığını bulunuz. c) Akımın hız potansiyelli olup-olmadığını belirleyiniz. Sonuca göre hız potansiyel fonksiyonunu

bulunuz. d) t=2 s için A( 3 m , 2 m ) noktasında akımın hız ve ivme bileşenlerini bulunuz.

5. Soru) Sıkışmayan bir sıvının akımının hız bileşenleri aşağıda verilmiştir. u = k x ( y + z ), v = k y ( x + z ), w = - k z ( x + y) - z2

a) Bu hız alanının akışkanlara ait bir akım alanına karşı gelebilmesi için “k” ne olmalıdr. b) Akım permanan mıdır? c) Akım çevrintili midir?

6. Soru) Sıkışmayan ve İdeal akışkanın yatay düzlemdeki akımı için hız alanı V = (3x2 - 3y2) i + (-6xy) j şeklinde verilmiştir. x ve y metre biriminde olmak üzere başlangıç noktasına olan mesafeyi göstermektedir.

a) Bu akım fiziksel olarak mümkün müdür ? b) Akım permanan mıdır ? c) Akım fonksiyonunu belirleyiniz. d) Akım hız potansiyelli midir ? Hız potansiyelli ise potansiyel fonksiyonunu bulunuz. e) Potansiyel akım ortamında Bernoulli denkleminin hangi koşulda geçerli olduğunu bir cümle ile

belirtiniz. f) A(-1,1) ve B(-2,3) noktaları arasındaki basınç farkını hesaplayınız. g) A(-1,1) ve B(-2,3) noktaları arasından geçen birim genişlik debisini (q) bulunuz.

İdeal akışkanların İki boyutlu akımları / potansiyel...

Documents