de wringproef als onderzoekmethode voor het vaststellen ... · de wringproef als onderzoekmethode...
TRANSCRIPT
De wringproef als onderzoekmethode voor het vaststellen vande verstevingsfunctie van NadaiCitation for published version (APA):Lamers, W. J. (1983). De wringproef als onderzoekmethode voor het vaststellen van de verstevingsfunctie vanNadai. (TH Eindhoven. Afd. Werktuigbouwkunde, Vakgroep Produktietechnologie : WPB; Vol. WPB0017).Technische Hogeschool Eindhoven.
Document status and date:Gepubliceerd: 01/01/1983
Document Version:Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record
Please check the document version of this publication:
• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can beimportant differences between the submitted version and the official published version of record. Peopleinterested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit theDOI to the publisher's website.• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and pagenumbers.Link to publication
General rightsCopyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright ownersand it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.
• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain • You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.
If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, pleasefollow below link for the End User Agreement:www.tue.nl/taverne
Take down policyIf you believe that this document breaches copyright please contact us at:[email protected] details and we will investigate your claim.
Download date: 03. Mar. 2021
afstudeerplaats
DE WRINGPROEF ALS ONDERZOEK11ETHODE VOOR
HEr VASTSTELLEN VAN DE VERSTEVIGINGSFUNCTlE
VAN NADAl
l..0r?l3oo qW.J. Lamers
Technische Hogeschool Eindhovenafdeling werktuigbouwkunde
vakgroep W P :B
seetie omvormtechnologie
afstudeermentoren: dr. ire J.A.H. Ramaekers (THE)
ire J.W. Deckers (H.T.S. Eindhoven)
rapportnr. WPB 0017
april 1983
- 1 -
SAMENVATTING
Indien een staaf van een bepaald materiaal wordt gewrongen, is dit materi-
aal in staat grotere rekken te realiseren dan bij een zuivere trekbelas-
tinge De verstevigingsfunctie bij plastische vervorming wordt veelal met
een trekproef bepaald. Deze functie zou dus kunnen worden uitgebreid door
het doen van wringproeven. Tijdens de wringproef worden de hoekverdraai-
ing tussen de staafuiteinden en het wringmoment gemeten. Deze geg~vens
worden vertaald in effectieve rekken en spanningen met behulp van de plas
ticiteitsleer. De moeilijkheid die zich hierbij voordoet is dat zonder de
kennis van de C- en n-waarde van een materiaal de spanningsverdeling over
de dwarsdoorsnede van de wringstaaf onbekend is. Van een dunwandige buia
kan de verdeling ala constant worden beschouwd. Doordat buizen onder wring
belasting g.aan plooien, bouwen we die op uit twee masaieve staven met verschil
in diameter. Het verschil in moment is een maat voor de schuifspanning in
het verschiloppervlak van beide dwarsdoorsneden. Het doel van dit afstudeer
project is het onderzoeken of de verstevigingskromme van de wringproef en
van de trekproef met elkaar overeenkomen.
Na uitvoering van wring- en trekproeven met staal C45, RVS-staal en messing
levert een vergelijking tussen beide verstevigingskrommen ons dat
voor de staalsoorten de n-waarde van de wringproef
lager ligt dan van de trekproef
voor messing de n-waarde van de wringproef hetzelfde
is als van de trekproef
voor messing de effectieve spanningen bij de wring
prqef globaal een 100 N/mm2 lager liggen dan bij de
trekproef.
Het aangenomen model van eilkelvoudige afschuiving beschrijft niet het
werkelijke wringproces omdat weldegelijk lengteverandering plaats vindt.
Dit kan de oorzaak zijn van de verschillen in het resultaat.
- 2 -
YOORWOORD
Dit verslag is opgezet als afstudeerverslag ter voltooiing van mijn studie
aan de H.T.S •• Deze afstudeerwerkzaamheden zijn op de Technische Hogeschool
Eindhoven (TEE) verricht in opdracht van de sectie omvormtechnologie.
In deze periode ward ik begeleid door dr. ir. J. Ramaekers (THE) en door
ir. J. Deckers. Hiervoor rnijn hartelijke dank. Tevens wil ik de overige
rnedewerkers van de sectie bedanken voor hun spontane hulp en adviezen en
de prettige sarnenwerking.
- , -
INHOUDSOPGAVE
SAMENVATTING
VOORWOORD
1 INLEIDING
2 ANALYSE VAl~ WRINGING Mill' BEHULP V.AJj DE PLASTICITEITSTHEORIE
2.1 • Wringing van massieve ronde staven
2.1.1. Afleiding van de effectieve spanning
2.1.2. Afleiding van de effectieve rek
2.1.,. De theoretische moment-hoekverdraai-ingskromme
2.2. Wringing van dunwandige buizen
2.2.1. Afleiding van de effectieve spanning
2.2.2. Afleiding van de effectieve rek
, UITVOERING V11N DE PROEVEN EN VERGELIJKING VAN DE RESULTATEN
,.1. Beschrijving van de trekproef
,.2. Beschrijving van de wringproef
,.,. De verstevigingskrommen van staal C45
,.4. De verstevigingskrommen van Roestvrij Staal
,.5. De verstevigingsfunctie van messing
,.6. De moment-hoekverdraaiingskromme volgens detheorie en in de praktijk
4 HErr BREUKGEDRAG EN DE KRITISCHE REK
4 •1. Waarnemingen van het breukgedrag
4.1.1. Het breukgedrag van staal X10 Cr Ni 18 10
4.1 .2. Het breukgedrag van messing
4.2. De kritische rek
bladzijde
2
5
7
7
78
11
11
11
12
14
14
1516
18
20
22
2525252628
- 4 -
5 NABESCHOUWING EN AAN::BEVELINGEN VOOR VERnER ONDERZOEK
bladzijde
31
LITERATUURLIJST 33
::BIJLAGEN
1 korte analyse van de samenhang tussen materiiHesnelheidsverschillen en rek 34
3741
42
45lengteverandering van proefstaven (grafisch weergegeven)
afleiding van de cirkel van Mohr
afbeelding wringbank
2
34 verstevigingskrommen staal C45
5
- 5 -
1 INLEIDING
Onder invloed van belastingskrachten vervormt een materiaal, eerst elastisch
en daarna ook plastisch. In het laatatgenoemde geval is de vervorming blij
vend. In de plasticiteitsleer die zich bezig houdt met omvormende processen
is hoofdzakelijk de plastische rek van belang zodat, wanneer in dit verslag
gesproken wordt van rek, automatisch de plastische rek wordt bedoeld.
Voor vele materialen geldt dat er vervormingsversteviging optreedt; de weer
stand van het materiaal neemt toe met een voortgaande mate van vervorming.
Een realistiach model voor de beschrijving hiervan is de exponentiale ver
steviging die vaak wordt aangeduid als de verstevigingsfunctie van Nadai of
ala verstevigingsfunctie van Ludwik.
effectieve spanning
effectieve voorrek
effectieve procearek
karakteristieke spanning
verstevigingsexponent
De n- en C-waarde van een materiaal bepalen de geschiktheid ervan voor
plastische vervorming. De trekproef is een veel toegepaste methode voor
het verschaffen van deze grootheden. Maar in principe zijn veel omvorm
processen hiervoor geschikt,hetzij in meer, hetzij in minder goede mate.
Bepaling van deze grootheden kan ook met de wringproef mits we hiervoor
dunwandige ronde buizen nemen, zodat de schuifspanning bij benadering ala
constant mag worden beschouwd. In de praktijk is deze proef moeilijk of
niet uitvoerbaar omdat de buis zal gaan plooien. Een mogelijkheid dit pro
bleem te ondervangen is het wringen van 2 staven met verschil in diameter.
Het verschil in dwarsdoorsnede-oppervlak is dat van een buis.
Er zijn enkele redenen aan te voeren om voor de beschrijving van de materi
aalversteviging de wringproef te kiezen en niet de trekproef. Een zelfde
materiaal kan door wringing meer effectieve rek ondergaan dan door trekbe
lasting. Omdat we aldus beschikken over een breder traject met meetpunten
- 6 -
zal de Nadai-kromme waarschijnlijk met grotere nauwkeurigheid kunnen worden
getrokken. Omdat bij wringing de grootste spanningen en vervorming aan de
buitenrand optreedt, kan bekeken worden of het bereiken van een stabiliteits
criterium scheurvorming tot gevolg heeft. Een bijkomend gunstig aspect van
de wringproef is dat deze vrij is van wrijvingsinvloeden.
Uit deze gedachtengang is deze afstudeeropdracht ontstaan. De omschrijving
luidde:
Het vergelijken van de verstevigingsfunctie bepaald via trek met
die bepaald via wringing.
Het testen van de betrouwbaarheid van de n- en C-bepaling zoals
die met wringproeven zijn bepaald.
Het analyseren van de wringproeftheorie voor massieve staven en
buizen.
Het vinden van de kritische breukrek bij wringing. Dit is bedoeld
als verschaffing van gegevens voor opgestelde breukcriteria.
Het verzinnen van een inrichting voor de aanwezige wringbank voer
het varieren van een axiale druk voer gecombineerde druk-wring
proeven.
In hoofdstuk 2 zullen vanuit de plasticiteitsleer uitdrukkingen veor effec
tieve rek en -spanning en voor de theoretische moment-hoekverdraaiingskromme
worden afgeleid. In de twee daarop volgende hoofdstukken worden de resul
taten van de proeven besproken. Het laatste punt zal in dit verslag niet
worden behandeld. Het is de visie van de schrijver dat de aanwezige wring
bank zich hiertoe niet leent gezien de constructie ervan.
In dit verslag zult u geen tabellen van meetwaarden aantreffen. Deze zijn
apart gebundeld en zijn beschikbaar bij dhr. Ramaekers.
- 7 -
2 ANALYSE VAN WRINGING MET BEHULP VAN DE PLASTICITEITSTHEORIE
Deformatie kan worden beschouwd als het gevolg van verschillen in verplaat
singen van materiele punten in de tijd. We onderscheiden rotatie, transla
tie, volumeverandering, rek en afschuiving.
Zuivere afschuiving is een deformatieproces waarbij een hoekverdraaiing op
treedt tussen twee oorspronkelijk onderling loodrecht georienteerde materi
ele lijnelementen (zie figuur 3 ).
2.1 Wringing van massieve ronde staven
2.1.1. Afleiding van de effectieve spanning
Figuur 1: Spanningsblokje belastop wringing
,i JT~Zf~.t" ,.,.L - -~----
,. ~----- -- :J --7;,,. 'ri~
Het getekende blokje wordt belast op enkelvoudige afschuiving. Door het
maken van doorsnijdingen in respectievelijk x, y, z-richting onder een
willekeurige hoek en vervolgens opstellen van krachtenevenwicht kan het fi
guur van Mohr worden geconstrueerd voor dit belastingsgeval. De afleiding
hiervan staat in bijlage 2. Hier wordt aIleen volstaan met het tekenen van
het figuur van Mohr.
- 8 -
De cirkels van Mohr voor enkelvoudige afschuiving
De effectieve spanning volgens von Mises luidt:
(I ) rr =- Vr-{"":"'"f0-q;-/--cr:.-1..~J1.-+-(~-.2.---(Jj-):-+-(0-;-3-_-cr;---:-t~)I
Invullen van de in dit geval geldende hoofdspanningen levert:
CT=1:V3
2.1.2. Afleiding van de effectieve rek
Er zullen twee methoden besproken worden om een formule voor de effectieve
rek bij wringing af te leiden, namelijk via een arbeidsbeschouwing en via
het aannemen van een reksnelheidsveld. Beide methoden zijn gebaseerd op
enkelvoudige afschuiving.
x. 'Figuur 3: verplaatsing bij afschuiving
- 9 -
De arbeid is gedefinieerd als kracht, verme~igvuldigd met de afgel~de weg.
(T· dx.. . d!j) cLu.d=c .c1!j'd.Z
In figuur 3 is te zien dat
Invulling in de uitdrukking voor de specifieke arbeid levert:
Een andere relatie voor de specifieke arbeid luidt:
(3 ) dAs = (J". d."IEr is reeds afgeleid dat tS"::. V3' t[* • Substitutie hiervan in de laatste
vergelijking en gelijkstelling voor beide arbeidsuitdrukkingen geeft
.We definieren drie loodrecht op elkaar staande snelheidscomponenten U-t, U'f'
en Uz op het cilinderoppervlak op afstand z = L.
z~
-u.
~~
~
!7~- f
:~
.u~
Figuur 4: Snelheidscomponenten op een punt van de wringstaaf
- 10 -
In hijlage 1 wordt in het kort ingegaan op de relatie tussen snelheid en
rek. Voor wringing zijn aIle snelheden nul behalve U~.
dU.~-- = 0d~
)~ (LV )Z=L-
L)
aUIq 1'(t.v\Z:L---=----d2:. L
Na invulling van deze partiele-afgeleide-termen in de reksnelheidstensor
(zie bijlage 1) blijft over:
(6) • I /" (W)Z:LElfZ, = 2.' L
De reksnelheden kunnen worden samengevoegm tot een effectieve reksnelheid,
zie literatuur 2, hoofdstuk ,.
_0- IE =
V3
Lf (J /,,(W)Z::L)2."3 T+ L
~_ 1 r (cLlR)E.--- --'..r3 L dt
IJ{ is de hoekverdraaiing van de staaf in
radialen ter plaatse z = L
df=-I ...!.... dlfV3 L
(10 )
- 11 -
2.1.3. De theoretische moment-hoekverdraailngskromme
Een uitdrukking voor de moment-hoekverdraaiingskromme kan worden afgeleid
uit een arbeidsbeschouwing die vanuit twee verschillende gezichtspunten
wordt opgezet.
dA
) (T. dT dVv
Voor een wringstaaf is de afleiding van de laatste formule als voIgt:R
cI. A= ) C (d· dY (l-1[. r L· dr )o
(13) dA = )\-( ~~f(CV3). d'f' (HHl ).dro
I'Deling"door d~ levert een formule op voor het wringmoment als functie van
C, n, r en de hoekverdraaiing.
R h
Mw =) .tltC (Llf1j3 )
hi".2.
-- r drV3
0
Mw.2 n: C. (L~Y (~J
h+3(JI.f ) R- V3
2.2. Wringing van dunwandige buizen
2.2.1. Afleiding van de effectieve spanning
De verdeling van de schuifspanning over de doorsnede luidt volgens de theo-
rie:
'L- c. (~)"-\13 LV]
- 12 -
Voor een dunwandige buis benaderen we de schuifspanning met een constante.
Door het opstellen van momentenevenwicht ontstaat een verband tussen schuif
spanning en moment.
dMw - dF. r
- T·dA· r
- r· (2.re r.dr). r
(16 J MIN )~ .2. T[ . r· r~ dr-
Figuur 5: Dwarsdoorsnede metR,
symbolenverklaring2,.1t ·rr
(Rl
J R,3 )- 3
De effectieve spanning (zie formule 2) kan nu worden geschreven als:
( It) 0--12·'{f· Mw
IT ( cd ~3 - d})
2.2.2. Afleiding van de effectieve rek
De uit formule (11) berekende schuifspanning zal een waarde hebben die tus
sen de werkelijke maximale en de werkelijke minimale inligt.
kelijke en de benaschuifspanning in de
buiswand
I' \ 1'r \~
~ \Lce:. -r'
• ~~ 1\
r ".- Figuur 6: De wer~
derde
- 13 -
Om de juiste spanning-rek-relatie te krijgen zullen we noch de binnendiame
ter, noch de buitendiameter moeten kiezen, maar een waarde die daar tussen
ligt. Als benadering wordt gekozen voor R = (R1 + R2 )/2.
- 14 -
3 UITVOERING VAJJ DE PROEVEN EN VERGELIJKING VAN DE RESULTATEN
Uit dezelfde staaf van een materiaal worden een aantal proefstaafjes gemaakt
waarvan enkele zullen worden gebruikt voor een trekproef, en de overige voor
een wringproef. De staafjes hebben de vorm zoals geschetst is in figuur 7.Voor de wringproeven is het belangrijk dat alle staafjes eilindrisch zijn.
Door ondersteuning met een center tijdens het draaien en door voorziehtig
nadraaien, waardoor tonvormigheid wordt verminderd, is dit mogelijk.
Over een deel van de afrondingsstraal vindt ook afsehuiving plaats.
Dit maakt een precieze rekberekening moeilijk. De hierdoor ontstane fout wordt
in dit verslag geaccepteerd. ~~<,,,\.
+-t--~~-p--Figuur 7: Vorm van de wringstaven; diameter varieerde
van 5 tot 8 rom.
3.1. Beschrijving van de trekproef
De trekproeven zijn uitgevoerd op een Monsanto tensometer, type Wmet een
kraehtaflezing via een kwikkolom. De diameter is gemeten met een micrometer
met een verdeling in 0,01 rom.
Ook in het insnoergebied waar in de staaf geen lijnspanningstoestand heerst,
kan de effectieve spanning bepaald worden met de zogenaamde Bridgmancorrectie.
Voor het meten van de insnoerstraal is een profielprojector in het laborato
rium van de seetie aanwezig. De projector is voorzien van een raster met cir
kels lopend.e van naar 18 rom in stapjes van 0,1 rom. Bij staal C45 bleken
de op die manier berekende spanningen duidelijk te haag te zijn. Dat de
Bridgmancorrectie niet geheel correct is, is reeds enige tijd bekend (zie
afstudeerrapport van Cox Sitters, THE). Deze punten zullen als anbruikbaar
worden beschouwd voor de bepaling van n en C.
- 15 -
3.2. Beschrijving van de wringproef
De vakgroep Materiaalkunde beschikte over een wringbank. Deze is gebruikt
voor de in dit verslag beschreven metingen. De werking kan het beste aan
de hand van een schets van het apparaat worden uitgelegd. Zie bijlage 3.
De wringbank bestaat uit een tafel waarop een wagen in lengterichting kan
bewegen. Een zijdelingse verplaatsing is niet mogelijk. Op de wagen bevindt
zich een inspankop die verbonden is met een pendelarm. Deze inspankop kan
vrij draaien om de axiale as. Op het uiteinde van de tafel bevindt zich
nog een inspankop die wordt aangedreven door een elektromotor via een worm
wormwielconstructie. Aan deze zijde wordt de staaf een hoekverdraaiing op
gelegd. De eenparige hoeksnelheid waarmee wordt getordeerd kan worden gere
geld met een potentiometer. De pendelarm komt uit de evenwichtstoestand
waardoor een tegenmoment ontstaat dat evenwicht maakt met het moment in de
staaf. De p~ndelarm verplaatst bij het verdraaien een nokrol die verbonden
is met een tandheugeltje. Het hiermee corresponderende rondseltje waaraan
een wijzer is bevestigd, gaat draaien. Tussen de verdraaiing van het tand
wieltje en het wringmoment bestaat een lineair verband. Aan de onderkant
van de pendelarm kunnen enkele verschillende gewichten worden gehangen zo
dat men de mogelijkheid heeft over meerdere bereiken nauwkeurig te meten.
Er is gebruik gemaakt van een bereik van 0 tot 300 kgcm en van 0 tot 600
kgcm. De hoekverdraaiing kan worden afgelezen op een schijf die verdeeld is
in 100 stapjes en meedraait met de aangedreven inspankop. Een teller houdt
het aantal omwentelingen bij.
De proefstaafjes worden na het inspannen zonder stoppen en zonder wegnemen
van de belasting getordeerd. De hoeksnelheid wordt zo laag gehouden dat af
lezen van moment en hoekverdraaiing, wat na elkaar moet gebeuren, voldoende
nauwkeurig mogelijk is.
De hoekverdraaiing is een optelling van een elastisch en een plastisch deel.
De elastische hoekverdraaiing is onder andere een functie van de diameter
(tot een 4emacht). Wanneer 2 staven van verschillende diameter met een zelf-
- 16 -
de netto hoekverdraaiing zijn geterdeerd, is het elastisch deel daarvan veer
beide verschillend. Het verschil in elastische verdraaiing van twee staven
waaruit een buis wordt nagebootst bedraagt slechts een paar tienden van een
graad. De elastische verdraaiing is geen bran van een grote fout. Ook de to
tale fout die ontstaat bij de berekening van de rek is aanvaardbaar. Bij een
hoek van 500ligt deze in de buurt van 10 %, na een omwenteling is deze al
gereduceerd tot ca. 2 %.
Een voorwaarde om te kunnen slagen in de opzet, namelijk het beschrijven van
de versteviging,is dat de verspaningsdeformatie in de buitenrand van de wring
staafjes wordt verwijderd of beperkt gehouden. Want juist het materiaal aan
de buitenrand dient voor de beschrijving van de verstevigingsfunctie. Men
kan het materiaal gloeien zodat zowel de voordeformatie als de verspanings
deformatie verdwijnt, of men moet tijdens het draaien de snedediepte tijdig
halveren. Deze laatste methode is gebaseerd op een vuistregel dat de diepte
van de zone die wordt beInvloed wordt door de verspaning ongeveer even groot
is als de snedediepte. De voordeformatie blijft in dit geval weI aanwezig.
Na het gloeien mag de oxidehuid worden weg-gepolijst. De door dit proces
geIntroduceerde verspaningsarbeid is verwaarloosbaar.
3.3. De verstevigingskrommen van staal C45
Het betreft hier staal C45 in leveringstoestand (DIN 17200: nummer 1.0503)
De staafjes zijn tussen de centers gedraaid waarbij de snedediepte steeds
is gehalveerd. Hieronder staat een tabel met de resultaten.
trekproef wringproef
staaf n C [0 schil n C to. -,-,,-
1 0,183 880 - (d4-d1) 0,156 820 -
2 0,194 980 -, (d5-d2 ) 0,150 820 -
3 0,178 880 - (d6-d3
) 0,142 830 -
Tabel 1: De uit de gr~iek opgemetenwaarden voor n, C en I o • De dimensievan C is N/mm •
- 17 -
to-r~Ith~DT -,--- ~"'_.-.'-·-r~·i· r-rI03-+-------+'--,---ii--+-,--+--f--+-+-++--,----,-i-,--~±~H":_'T+_++trt----:
--, , :,' ' ,',I, " "
, '
, ,
'.! i' i!!
,
, ..
•
I, !II I_ ·.~I ,I,
i -1-.::: 1I'iO' , ... ,'! I ,:: ' "
8 ,
7 ,i
" '!
11eetoapler· wormerveer No. 21 H
Figuur 8: Punten van de verstevigingsfunctie van zowel wring- als trekproef
.. :trekproef staaf 1
.' :trekproef staaf 2X :trekproef staaf 3A. :wringproef schil (d4 - d1 )
o :wringproef schil(dS - d2 )
o :wringproef schil (d6 - d3
)
De grafieken van wring- en trekproef lopen door elkaar heen, wat niet bevor
derlijk is voor de dUidelijkheid. Daarom zijn de krommen van de afzonderlij
ke proeven neg eens getekend in bijlage 4a en 4b. Als men objectief meet
liggen de n-waarden bij de wringproef lager. Tech is er weI een gebied aan
te wijzen waar de kremmen redelijk gelijk lopeno Het is dus een kwestie van
interpretatie van de grafiek. De eerste trekproef is uitgeveerd op trekstaaf 2.
De ligging van de functie is wat afwijkend van de daarop velgende trekproeven.
De oorzaak hiervan kan liggen aan het feit dat de schrijver op dat moment geen
enkele ervaring had met trekproeven. Duidelijk is te zien dat de op Bridgman
gecorrigeerde punten te hoog liggen.
Het materiaal bleek anisotropie te bezitten, evenwel in zeer geringe mate
(R = 1,045). Het dwarsdoorsnede-eppervlak van de trekstaven is dan geen zui
vere cirkel meer. De procentuele fout in de rek bedraagt + 2,1 %, de fout
in de spanningen ~ 1,9 %. De anisotropie is derhalve geen storende factor.
- 18 -
Er zijn 6 wringstaafjes getordeerd. In principe kan elke combinatie van 2
wringstaven worden gekozen om het verschilmoment af te lezen. Aan de ene
kant willen we de fictieve buiswanddikte zo klein mogelijk houden, omdat
dan de aanname van een constante schuifspanning meer de werkelijkheid be
nadert. Aan de andere kant moet het verschilmoment weI meetbaar blijven.
Om de optimale schildikte te vinden berekenen we de verstevigingsfunctie
voor verschillende dikten. De resulterende grafiek is ondergebracht in bij
lage 4c. Een schildikte van 0,1 of 0,2 rom geeft een te grote spreiding in de
ligging van de meetpunten. Bij een dikte van 0,3 of 0,4 mm zijn de metingen
goed reproduceerbaar.
notatie:
Een fictief gevormde buis wordt in dit verslag aangeduid met de diameter
nummering waaruit deze is opgebouwd. Bijvoorbeeld: SChil(d6 - d1).
opmerking:
Na de wringproef bleken de staafjes dunner en dus langer te zijn geworden.
Een verklaring hiervoor kan zijn dat de anisotropie van het materiaal tijdens
het wringen toeneemt. Het molecuulrooster gaat zich onder invloed van de
belasting richten. (lit.4)
3.4. De verstevigingskrommen van Roestvrij Staal
De volledige benaming van het materiaal luidt: X10 Cr Ni Mo Ti 18 10 (DIN
17440, nummer 1.4571). De proefstaafjes zijn niet tussen de centers gedraaid.
Het stafmateriaal is opgespannen in de drieklauw en is aan het uiteinde on
dersteund. door een center. Na het draaien zijn de staafjes gegloeid op 1000 °e.Vervolgens zijn ze afgeschrikt in water.
De verstevigingsfunctie van de trekproef zoals getekend in figuur 9 beschrijft
deze totaan de insnoering. Ondanks de warmtebehandeling is een duidelijke
voordeformatie zichtbaar.
- 19 -
trekproef wringproef
staaf n C~
Eo schil n C C. O----
1 0,48 1300 0,06 (d4-d1 ) 0,45 1070 0,05
2 0,41 1300 0,06 (d5-d1 ) 0,46 110O 0,05
Tabel 2: De uit de gra~iek afgelezen waarden voor n, C en eo' De dimensievan C is N/mm •
- - ,._; _....-. .... ... ,.. . I
I I., ill I I I I 06 7 8 q 10 2 3 5 6 B 9 '0 .
Figuur 9: De verstevigingskrommen van wring- en trekproef
l( trekproef staaf 1* trekproef staaf 2, ~ingproef schil(d
4-d1 )
.-wringproef schil(d5-d1 )
De voordeformatie komt ook tot uitdrukking in de wringproef. Voor grote
rekken bUigt de verstevigingskrorome af. Dit wordt veroorzaakt door het lange
tijd nauwelijks toenemen van het wringmoment in een latere fase van een wring
proef. Deze staalsoort is zeer taai; een staafje van 53 rom breekt pas na 12
omwentelingen.
- 20 -
De lengte van de staafjes liep uiteen van 53 tot 54 mm. Dit lijkt niet veel
maar voor grote hoekverdraaiingen moet men hier weldegelijk rekening houden.
Wanneer van 2 staafjes de lengte niet hetzelfde is, is de rek bij een be
paalde opgelegde hoekverdraaiing ook niet gelijk. Het is dan niet correct
het verschilmoment uit de moment-hoekverdraaiingskrommen zoals die zijn ge
meten af te lezen. Dat mag pas als de metingen van een der staafjes zijn
omgerekend naar de lengte van de andere staaf. Deze--emrekening is gebeurd.
De wringproef levert een verstevigingskromme op die lager ligt dan die van
de trekproef. De n-waarde van de wringproef is kleiner.
Voor het begin van een wringproef is op iedere staaf een lijn getrokken met
een viltstift om de afschuiving zichtbaar te maken. Na het inspannen is een
meetklokje op het bed van de wringbank geplaatst ten einde de verplaatsing
van de wagen te met en. De viltstiftlijn toont aan dat de vervorming niet
over de gehele staaflengte hetzelfde is. De bevindingen hierover staan in
hoofdstuk 4 waar het breukgedrag wordt beschreven. Het verloop van de lengte
verandering tijdens de proef is geschetst in bijlage 5.
3.5. De verstevigingsfunctie van messing
De specificatie van het materiaal luidt: KMs 58 (eu Zn 40 Pb 3). am de kri
tische rek zo goed mogelijk te bepalen is geprobeerd een goede oppervlakte
kwaliteit te bewerkstelligen. De vervaardiging van de staven is als voIgt
geschied.
voordraaien: n-= 1250 omw./minvoeding = 0,1 mm/omw.
nadraaien n = 2500 omw./minvoeding = 0,1 mm/omw.
snedediepte = 0,25 mm
Het voordraaien is gebeurd met een radiusbeitel (3mm), het nadraaien met een
diamantbeitel. Daarna zijn de staafjes een uur gegloeid op 300 a 400 graden
en langzaam afgekoeld.
- 21 -
trekproef wringproef
staaf n C Eo sehH n C Co1 0,264 820 - (d6-d1) 0,275 660 -2 0,258 820 - (dS-d2) 0,258 680 -
2Tabel 3: Verstevigingsgrootheden van KMs 58. De dimensie van C is N/mm •
I
~ I , i "i~••- .11
I '[- I - III i_~ i i '! . I I iiiI r',[ iT ,I ,;i I I I ' I I 1-
Q-+----;~..,'--i,a_~,-',ttlNrlTI/tiri"-",-'I;,I+'I+f++-1-+-+--1-,-1',-,j-c--i---"+I-,-.--+--+--r-'.,--t['-'''-'',-r---:I~Lr-..-tJ-.t-t,,-~-_--:--i------+-i-~-ti-
8 L ~ ~. : r • : I -rtic..I.....+:~..=-r--,---+---,f---
_I-- ! I : I ! i
i "--_I n i .11'1 111
1
1
11£: • I; ~f--t'-11-+-1,-0-.-L,-,I,Ir----__+_
I l' -, ! I I I ! I5 6 7 8 Q /0 ~~~_O_7__~ __q_LQ~
Figuur 10: De verstevigingskrommen voor wring- en trekproef (KMs 58).
* trekproef staaf 1• trekproef staaf 2X wringproef sehil(d
4-d1)
0 wringproef sehil(d5-d2 )
... wringproef sehil(d6-d1)
De meetpunten van de trekproef hebben betrekking op de deformatie voor de
insnoering. D~ punten van de wringproef zijn de lager gelegen punten. De
effeetieve spanning is over het hele rekgebied een 100 N/mm2 lager dan bij
de trekproef. Voor de wringproef kan niet gesproken worden van een n-waardej
daarvoor is de spreiding in de ligging van de meetpunten te grillig. De
kleinste n-waarde is opgemeten uit sehil(d4
- d1 ): n = 0,236.
- 22 -
De punten van deze kromme liggen niet mooi op een lijn. De overige metingen
lijken betrouwbaarder, vooral die van schil(d6 - d1). Hieruit zou men kunnen
concluderen dat een schildikte van 0,5 mm een geschiktere keuze is. Voor rek
ken groter dan 0,5 loopt de kromme van messing nagenoeg horizontaal. Het is
van messing bekend dat Nadai niet de juiste beschrijving van de versteviging
is als de rek groot is.
,.6. De moment-hoekverdraaiingskromme volgens de theorie en in de praktijk
We zullen nu overgaan tot een terugkoppeling van de in paragraaf '.,. tot
,.6. gevonden verstevigingsgrootheden, n en C. In de theorie is een uitdruk
king afgeleid voor de theoretische moment-hoekverdraaiingskromme, (formu-
Ie 14). Indien het aangenomen wringing-model de werkelijkheid goed beschrijft,
dan moet de theoretische kromme samenvallen met de praktijk-kromme. Is dit
niet zo, dan is het model energetisch gezien niet kloppend. Want de aflei
ding van die formule is via energievergelijkingen gebeurd.
Formule 14 is slechts bruikbaar wanneer er in het materiaal geen voordefor
matie is opgeslagen. Daarom zal de controle beperkt blijven tot staal C45 en
KMS 58.
De n-waarde is vooral van invloed op de steilheid van de kromme, de C-waarde
op de ligging in de figuur. Uit figuur 11 bli.jkt dat de ligging van de theo
retische kromme consequent hoger is. Er is weI sprake van een evenwijdig
verloop.
- 23 -
Figuur 11: Moment-hoekverdraaiingskrommen van staal C45. :De getrokken lijnenzijn gemeteI!kronmlerr;d-e-gestippelde lijnen zijn theoretische krommen
Ookhier is er een dUidelijk verschil tussen theorie en praktijk. Voor hoe
ken groter dan 700 graden zullen we geen vergelijking maken omdat de func
tie van Nadai voor dit gabied een slechte beschrijving is. In het andere
gebied is er geen sprake van een evenwijdig verloop zoals bij staal C45.:De kromming van de theoretische lijnen is minder sterk. Heel opvallend is
dat het verschilmoment tussen beide theoretische krommen gelijk is aan dat
tussen beide praktijkkrommen.
- 24 -
Figuur 12: Moment-hoekverdraaiingskrommen van staaf 5 en 2, materiaal KMs 58.
Figuur 13: Moment-hoekverdraaiingskrommen van staaf 6 en 1, materiaal KMs 58.
- 25 -
4 BET BREUKGEDRAG EN DE KRITISCHE REK
4.1 • Waarnemingen van het breukgedrag
4.1.1. Het breukgedrag van staal X10 Cr Ni 18 10
In 3.4. is reeds het verschijnsel van niet-uniforrne deforrnatie aangeduid.
De metingen die hieraan verricht zijn zijn ondergebracht in tabel 4.
diameter A - 5,18 5,38 5,59 5,78 5,97voor proef B 5,0 5,19 5,39 5,60 5,79 5,98
C - 5,20 5,39 5,61 5,80 5,99diameter A 4,87 - 5,21 5,44 5,61 5,79na proef B 4,85 - 5,21 5,41 5,58 5,77
C 4,82 - 5,26 5,44 5,61 5,81plaats van breuk C A B B B
plaats kleinste C A B B Bspoed
staafnummer 1 2 3 4 5 6
-f->'~,...I . --_. ---' -_.
A cTabel 4: Diameters (in mm) voor en na de wringproef en plaats van breuk.
A, B, en C geven de plaats van meting weer.
De staafjes zijn voor aanvang van de proef een klein beetje conisch. Toch
is punt A niet automatisch de plaats waar breuk optreedt. Er is spr~e van
een plaatselijke concentratie van deformatie waardoor ergens anders een
kleinste doorsnede kan ontstaan. De plaats van breuk is weI de plaats waar
uiteindelijk de diameter het kleinst wordt. Daar is de spoed minimaal; daar
heeft de meeste afschuiving plaats gevonden. Het begin van de rekconcentratie
is niet onderzocht.
- 26 -
De wringproef met staaf 2 is mislukt doordat de meedraaiende meetschijf
voor de hoekaanduiding per ongeluk is komen stil te staan. Daarmee viel
de vooraf ingestelde referentie weg en werd de proef op dat moment zinloos.
Omdat het proefstaafje nog lang niet kapot was, kon het gebruikt worden
voor een "snelle" wringproef. De gebruikelijke reksnelheid was ca. 0,0008
[ 1/sec ] ofwel een omwenteling per 4 minuten, bij de snelle wringproef
bedroeg de reksnelheid 0,007 [1/sec] ofwel een omwenteling per halve
minuut.
In dit geval treedt een nog sterkere rekconcentratie op over een gebied
(hier in het midden van de staaf) van ongeveer 5 rom. De rek blijft zich
vanaf een bepaald ogenblik daar concentreren totdat breuk plaats vindt.
De staaf wordt daar ter plaatse warm.
Zo dicht mogelijk aan de inklemkanten is een speed gemeten van 8,9 rom.
Rondom het breukvlak is deze slechts 5,1, respectievelijk 5,7 rom.
Dus bij lage reksnelheden vindt lange tijd rek plaats die regelmatig verdeeld
is over de lengte. Hierbij vindt afschuiving plaats in de zwakste doorsnede.
Doordat deze vanwege de verstevigingniet de zwakste blijft zal iedere door
snede afwisselend aan de beurt komen. Bij grote rekken wordt het gebied dat
de zwakste doorsneden levert beperkt tot een smalle zone. De reksnelheid
is een invloedrijke factorwat betreft het aanvangspunt van de rekconcentra
tie.
4.1.2. Het breukgedrag van messing
Alhoewel dit materiaal minder ductiel is, is ook hier het verschijnsel van
niet-uniforme deformatie zichtbaar. Tabel 5 geeft een overzicht van de meet
resultaten.
De letters A, B en C hebben weer betrekking op de plaats van meting op het
wringstaafje. Zie tekening bij tabel 4.
Staaf 1 breekt niet op de
Staaf 4 breekt niet op de
Staaf 3 breekt niet op de
De overige staven breken
- 27 -
staafnummer 1 2 3 4 5 6
diameter veor 6,98I
7,20 7,43 I 7,63 I 7,82 8,01proef
diameter na A 6,88 7,10I
7,36 7,53 7,71 7,88breuk B 6,88 7,10 7,35 7,53 7,70 I 7,89
c 6,87 7,11 7,35 7,52 7,69 7,89
plaats van A A B A C Abreuk
spoed A 15,9 16,7 21,2 17,5 17,4 16,2B 16,2 16,7 20,9 17 ,9 17,3 17,2c 15,6 17,1 22,4 18,1 16,9 17,5
tabel 5: Diameter en spoed (in rom) van messing wringstaven.
dunste plaats en niet bij de kleinste spoed.
dunste plaats, maar weI bij de kleinste speed.
dunste plaats, maar weI bij de kleinste spoed.
op die plaats waar spoed en diameter het kleinst
zijn. AIle wringstaafjes van messing breken bij de afrondingsstraal aan de
zijde waar de energie werdt toegevoerd (vaste inspankop), ongeacht of
hierin het inspangedeelte van de staaf met of zonder center wordt geplaatst.
Proefstaaf 1 en 3 wijken hiervan af. Proefstaaf 1 breekt juist bij de af
rondingsstraal aan de tegenoverliggende kant. Proefstaaf 3 heeft gediend voor
een "snelle" wringproef (1 omwenteling per 20 sek.). Aan de grootte van de
spoed kan men al zien dat eerder breuk is opgetreden dan bij de langzaam
getordeerde staven. Het is de enige staaf die niet bij de afrondingsstraal
breekt.
Kort samengevat kan worden gesteld dat breuk plaats vindt waar de spoed het
kleinate is. De diameter hoeft daar niet het klemete te zijn.
- 28 -
4.2. De kritische rek
Al geruime tijd wordt onderzoek gepIeegd naar het breukgedrag van ductiele
materialen. Er wordt gepoogd breukcriteria op te steIIen waarmee de breuk
rek kan worden voorspeld. Een bepaalde categorie van breukcriteria zijn geba
seerd op component en van de spanningstoestand in het materiaal die het ge
volg zijn van een uitwendige belasting. 20 is er het criterium van de kriti
sehe normaalspanning en dat van de kritische isostatisehe spanning. Andere
breukcriteria zijn gebaseerd op energieprincipe's. Hiertoe behoren de cri
teria van de kritische plastische en van de kritisehe elastische energie.
Het is bekend.dat de kritische rek een functie is van de gemiddelde hoofd
spanning a- . Bij een vermindering hiervan wordt de breukrek groter. Ditmis in verschillende onderzoeken aangetoond. (lit. 6)
0;,C
,
Voor toetsing van versehillende criteria zijn natuurlijk proefresultaten
nodig. De wrir~proef heeft als bijzondere eigenschap dat cr-m = 0, mits wordt
uitgegaan van enkelvoudige afsehuiving. Voor de in dit verslag beproefde ma
teriaalsoorten zal de kritisehe rek bij wringing volgens dit model worden
vastgesteld.Dat dit niet de geheel juiste besehrijving is, gezien de forse
lengteverandering, zal dus buiten beschouwing worden gelaten. De gehanteerde
formule luidt:
E.bte.u I<. k,.
~kr' d. .1'(=
360· L· ITDe kritisehe hoekverdraaiing is in graden~
- 29 -
staafnummer 1 2 3 4 5 6
d 4,985 5,185 5,37 5,595 5,80 5,980
~br KI" 2031 1260 1729 1661 1742 1772
L 52,9 52,7 52,7 52,9 52,8 52,70
fbI" k... 0,964 0,625 0,888 0,885 0,964 1,013
gemiddelde: 0,890
variantie : 0,016
Tabel 6
staafnummer 1 3 4 5 b
d 5,00 5,39 5,60 5,79 5,980
'fbI" kr 4508 4226 4155 4186 4010
L 53,0 53,0 54,0 53,5 53,90
E. b,. KI"' 2,143 2,165 2,171 2,282 2,242
gemiddelde kritische rek: 2,201
variantie " "0,0028
materiaal KMe hard (gegloeid)-------------
Tabel 1
staafnummer 1 2 4 5 6
d 6,98 7,20 7,63 7,82 8,010
~brkr 1175 1112 1066 1143 1128
L 49,0 50,5 52,5 52,5 52,00
E1.1" kr 0,830 0,799 0,781 0,858 0,875.•
gemiddelde kritische rek: 0,829
variantie " 1I 0,0012
Tabel 8
In deze tabellen en due ook voor de berekening is vear de diameter de ge
middelde diameter van een staaf ingevuld, en voor de lengte de lengte tus
sen de inspangedeelten. De aanwezigheid van afrondingsstralen wordt niet in
beschouwing genomen. De berekende waarde ligt dan wat lager dan de werkelijke.
Er wordt uitgegaan van een uniforme rek over de hele staaflengte.
- 30 -
A KMs 58
0 C45.. 1L"'1s 58 wringing Lamers
0........
.............
......
~\
\\
\
\
\
\
0,7) 1,0 1,2,~ 1,)0
) Cb,.. kr
\\
\
\\I
0,5'00,2.5'
\
\~
\\
\b.
\
"\
""'6.
0,)
0,'-5"
Hierboven staat de breukfunctie getekendvoor ~~ en C45 .zoals die door
proeven is bepaald. De nulpunten zijn bepaald door L.P.M. Derks. Het KMs 58
is niet gegloeid zodat de door mij bepaalde waarde niet met deze punten ver
geleken mag worden. Het staal C45 waarvan hier de breukfunctie is bepaald
is wel gegloeid. Door wringing wordt een kritische rek bereikt van 0,99,een waarde die door mij gehaald is voor C45 in ongegloeide toestand. Als we
hier de redenering door mogen trekken dat een materiaal in gegloeide toes
tand een grotere rek toelaat dan in ongegloeide toestand, dan kan de waarde
van 0,99 nog verder worden opgeschroefd.
- 31 -
5 NABESCHOUWING EN AANEEVELINGEN VOOR VERDER ONDERZOEK
De wringproef ala methode voor bepaling van de verstevigingsfunctie heeft
een aantal prettige en minder prettige eigenschappen. Deze zullen hier punts
gewi.js worden opgesomd.
voordelen_.- - - --Materialen staan grotere reKken toe wanneer ze belast worden op wring
ing in plaats van trek.
De wringproef is een proef zonder wrijving
De reproduceerbaarheid van de n- en C-bepaling blijkt goed te zijn.
De afrondingsstralen van een proefstaafje zijn een atorende factor in
de nauwkeurigheid van de rekbepaling.
De methode is omslachtig omdat de proef twee maal uitgevoerd moet worden.
Zolang het moment nag door de pendelarm gemeten wordt, moeten de moment
hoekverdraaiingskrommen worden getekend om de verachilmomenten te kunnen
bepalen. Want de stand van de pendelarm voor twee staven met onderling
verschillende diameter is bij een gelijke verdraaiing van de aangedre
ven inspankop verschillend. De netto hoekverdraaiing is dus in beide
gevallen anders.
Ex dient rekening te worden gehouden met de verspaningsdeformatie. Gloeien
of het afbouwen van de snedediepte is nodig voor het verwijderen ervan.
De rek over de staaflengte blijft niet uniform. De hoekverdraaiing tus
sen de staafuiteinden is daarom geen maat voor werkelijk optredende plaat
selijke rekken.
- 32 -
De metingen die tot nu toe zijn gedaan hebben niet geleid tot een duidelij
ke overeenkomst tussen de verstevigingsfunctie van de wringproef en die van
de trekproef. TIit kan in verband worden gebracht met de dikte- en langsrek
tijdena het wringen. Er zijn dUB meer afschuifvlakken. Het model van enkel
voudige afschuiving is wellicht te simpel. 11isschien dat een andere rekveld
aanname dat beter met de werkelijkheid overeenkomt ook tot betere resultaten
zal leiden. Dit lijkt mij een nuttige voortzetting van dit onderzoek.
- 33 -
LITERATUURLIJST
1 Leenders, H.T.T.De wringproef in de teehnisehe pIastieiteitsIeerintern rapport T.H.E. seetie omvormteehnologie1970
2 Veenstra, prof. dr. P.C. / Hoogenboom, ire S.Teehnische pIasticiteitsIeercollegedietaat T.H.E. nr. 4.250.01976 2-e herziene druk
3 Kals, ire J.A.G. / Ramaekers, dr. ire J.A.H. / Houtaekers, ire L.J.A.Plastisch omvormen van metalen (grondbegrippen)1978 3-e druk
4 Backhaus, G.Langsdehnung bei plastischer Torsion infolge Bausehinger Effekt undFaserdrehungAct. Mech. Bd 26 ('77) bIz. 115/118
5 Deckers, ire J.W.Plasticiteitsleercollegedictaat H.T.S. Eindhoven nr. 271
6 Reijntjes, H.C.E.Het breukgedrag van ductiele materialenafstudeerverslag T.H.E. nr. PT 05221981
7 Derks, L.P.M.Onderzoek van breukfuncties met behulp van de wringproefverslag T.H.E. nr. PT 04571979
- 34 - BIJLAGE 1
KORTE ANALYSE VAN DE SAMENHANG TUSSEN MATERIELE SNELHEIDSVERSCHILLEN
EN REK
.U1 dU, ci. x.,x~
I.. U, +
1 Ie>- d x.1
A dx. ,
X,~.
We bekijken een lijnstuk AB tussen twee materiele punten A en B waarvan• • ~ u" d
punt A beweegt met een snelheid U, en punt B met snelheid Ll,+~ XI
Het tweede gedeelte van de laatste term stelt de verlenging per tijdseen
heid voor van lijnelement AB en wordt ook wel de verlengingssnelheid genoemd.
Per definitie wordt geschreven:
E... = verlengingssnelheid~ momentane lengte
[~ wordt reksnelheid genoemd. Hierin geeft i de snelheidsrichting aan en j
de richting waarin de verandering van die snelheid wordt bekeken.
dU1 dx •. aut, . au!, dU, • Cl.4 = •E.3~ =tIl
d x. 1 I - } d Xt) dX 3
dx, d XI
Hierboven staan de termen voor het geval dat i = j.
.~2. 112.+
d u,1.dX i• -- •
iU1 d X, • ciu. t
E1.1 -dX,
A dx, B
.De termen voor £. ij met i
treffende lijndeeltje.
X, ~= j beschrijven afschuifsnelheden van het be-
- 35 -
•'dU,
dxJ.C U1
+ --dX",
•X2. "dU,
t d.X2,. C''l.. - --"dX 2
.A u.
~ x. l
De onderlinge beweging tussen dX1
en dX2 die aanvankelijk loodrech~ op e1
kaar stonden, bestaat uit een rotatie en een afschuiving. De afschuifsneI
heid wordt beschreven door:
.t. .. ~
dUo J+ _J_oXi.
De volledige reksnelheidstensor Iuidt derhaIve:
~l(,1 (d'" ''''J I ( ~ u, •"30-+--- -+-- 2.. d j,3 ~ 'j.., I
;,) )(...2.. 'd){1.. dX,
•1. ( d\.t1 + dU.. )
.I (~ dU 3 )
f~,d u.",
- dX2. 1. d x~ +' d Xl.~
L dX, dX~
.!.. ( ·"3 + ;) ~, ~ ~ eu, + au..~ ~2.- ;}x, ;''I-? t. ~)(t 'd'j..,3 ~ x'3
Analoog hieraan kan ook een reksnelheidstensor worden afgeleid voor het ge
val dat de sne1heden in cilindercoordinaten zijn gegeven. Deze ziet er als
voIgt uit:
- 36 -
.£ rr tr'f.
£ .. = .~
t.lft'" €. I.f~
£1r E..'t.'-Y
Hierin is
.. dUI"t rr - --
dr
..dLtI.f
t.1.f~u,1"- +
d~r r
. dCt.~t.~.z. - d'%.
E~r +( dU. dU.. ~= d2+~
c.~~ - _' (_' .Jlt Z + dU,,)l. r d~ dZ
. .~i )E.'t~
I (_' • du'r + ~- .t r d tf H'
•De reksnelheidstensor is altijd symmetrisch, dUB E~r ::. f /"'f etcetera.
- 31 -
AFLEIDING VAN DE CIRKEL VAN MOHR
BIJLAGE 2
Voor de volledigheid zullen we een afleiding geven van de cirkel van Mohr
voor enkelvoudige afachuiving. Wanneer we in het apanningablokje van figuur 1
een dooranijding aanbrengen evenwijdig met de x-as, dan ontataat de volgende
figuur.
Evenwicht in y-richting:
- if elx. clj + ax Vcltz.'J.+ d.j 1..'(1; cos 'f + as sin If ) - 0
-T +V(~~)\ I (r; toS ~ 1- OS rio ~) - 0
(d.'7..)2.- +1d.:J =
coS ~
( :r ) - T + rrs + OS· tCLn tf - 0
Evenwicht in z-richting:
- 'l dx .11<. 1- dx Vdz\d:J~ (- 'r; r'h ~ + as toS ~)= 0
-T + o
- 38 -
~\~ ~(~;Yj
cl'Z. - tal) ~ -rin ~
(1I) - rr - 15 + CJ5 (i~ ~ ) 0-
Optelling van 'I en :It levert:
(m)
Eliminatie van OS:
- '[ + rr; + OS· ian \f = 0
-T- rrs + as . cot 'f = 0
T' ( - cos'l.lf + Sin 1.~J + er;
cost. 'f
. l.Strl ~
:: 0
ers = T CO.$ (l tR)
De vergelijkingen:lJI en liL vormen samen de vergelijking van een cirkel
rondom de oorsprong van een asaenstelsel met een straal ter grootte van~.
oVerdraaiing van het spanningsblokje over een hoek van 45 om de x-as levert
ons de hoofdrichting.
- 39 -3
t
krachtenevenwicht in de 1-richting:
- 1: + I (<f Sin Ill" 1- U; coS r\ :: 0coS If S T )
krachtenevenwicht in de 2-richting:
os .SLn y + TS coS If = 0
subatitutie van 3ZT in 32:. levert:
- rr OS (ian '-y -fa I ) 0
as = t rc- ( CoS (2y) t I)of door eliminatie van OS
rrs = rr . c.oS r-' Sin "'V
1:'"5 = ~ T· sin (2. y)
- 40 -
Vergelijking ][( en ~ vormen samen een vergelijking van een cirkel met
een straa.l van rr/2 en met als middelpunt de coordinaten (tT, 0). Door
het aanbrengen van een derde doorsnijding en het wederom opstellen van krach
tenevenwicht kan nog een derde cirkel worden gevonden met vergelijkingen:
( .x: )
os = t'l ( - I + COS (28))
~ - t t . Sin (l e)
•.j . 1
. t
I.i l
t i
RHtHtittlHI' I, .
. I I T
If
! '.I
fHH+++H+++H+l-f.H'It++H+++ttH ~j+'1 ictttJiitVliitt'tHI '1 :
:1 ·1
I I
ItttlitttttOO1mmII. 1.1
; I
I,
l' .
2 3 4 5 6 7 8 9 10' 3 4 5 6 / 8 'I 10' 4 :> 0 / I' 'I lV'
3
meetpapier wormerveer
2 3 4 5 6 7 8 9 10'
-7
1f-10
-9
-8
,flll·
II illII l I
c! ' d,j f 11 I,
1:1 I !i
I .' ~!
3 .! : .. 1_1. 1HII II!! I'/if 1II1 II I' ...rl,·.-·1j
1, 1..,l .. t .)fH'i.1t' .111.~i'.l!1 r:.1
1
I,Hi,.tmllT[:'lHjl.'\!'liHl': . jill I· '" f lA~lrl'~H' JJ! ~ WI' II II i1'1 nn UI I' rji~''Iir,t r- 11
1
III! (1IIII',II,I,!1 il"1I I,ll I' II'i!, .. !~ I ,I I mllill I rnl rll nlln-t-iAt-l'l'iTt ')ft', lJI1"t', ~~ j ~rlltll"TI1 ~I", I .,II' 11 ill I 111·/j" ·111: IflHlf 1,IIIIIilii !I!I I~: writ) IbHt!J~ 1.1~IJ,: AH 'I ltii 2
32 3 4 5 6 7 8 9 10-1 2o
4 5 6 7 8 9 '0 2 3 4 5 6 7 8 9 10'...__._--_._--------_.---------------.----'....::--'
meetpapier - wormerveer No, 21 H X·as log. verdeeld 1-103 Y-as log verdeeld 1-10' Eenheid 90 mm.
"----------------------------_.._---_.•-----
5
~10
~9
~8
-7
543
....
, II! i: iI'
t ,1'1 . r{lli.l <
6 7 8 9 10°5432
,"I .... .. : .
..
~ rII' I
I I· I
-I6 7 8 9 10
!
1
5432
I
meetpapier - wormerveer No. 21 H X-as log. verdeeld 1.103 Y-as log. verdeeld 1-10' Eenheid 90 mm.