de rrrrrrrr rrrrrrrr rrrrrrrr rrrrrrrr rrrrrrrr

7/21/2019 De Rrrrrrrr Rrrrrrrr Rrrrrrrr Rrrrrrrr Rrrrrrrr

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1. DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL UNA FUNCIÓN

Si hacemos tender n (número de puntos de la partición) hacia infinito, o lo que es lo mismo las basesde los rectángulos hacia cero, podremos calcular el límite tanto de las sumas superiores de Riemanncomo de las sumas inferiores.

Si existen ambos límites son iguales diremos que la función f es integrable definiremos la integraldefinida entre a b de f como el resultado de este límite, es decir

! los extremos del inter"alo a b se les llama límite inferior superior de integración, respecti"amente.

2. SIGNO DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Según la definición de integral definida, ha una relación intrínseca entre este concepto el área deltrapecio mixtilíneo. #ero, $es lo mismo%

Modificando el parámetro " opción" aparecerán diferentes funciones.

&.' bser"a la siguiente escena. odas las funciones que aparecen son constantes aunque nonecesariamente positi"as. *ompara el "alor del área del recinto con la integral definida en eseinter"alo. $#odemos decir que ambos conceptos son iguales%.

El rectángulo verde se puede trasladar arrastrando el control rojo que tiene en la parte inferiorizquierda

+.' !nalia la definición de integral definida e intenta dar una explicación a estos hechos.

-.' etermina la relación entre el área del recinto mixtilíneo la integral definida para funcionesnegati"as.

/.' $#odría darse el caso de un recinto mixtilíneo cua superficie sea no nula su integral definida"alga 0%. #on e1emplos.

2.' 3stablece la relación entre el signo de la función el signo de la integral definida de esa función.

3. PROPIEDADES ELEMENTALES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Si c en un punto interior al inter"alo 4a,b5, entonces



g h.

!a variable opcin admite dos valores# $ para aproximaciones por defecto y % paraaproximaciones por exceso.

!os rectángulos se pueden desplazar arrastrando el control de la parte inferior izquierda.

El tama&o de la base de los rectángulos está regido por la variable h.

&6.'3nuncia la relación que ha entre las integrales de f, g su suma fAg. $3s el resultado extensible ala diferencia%. BndicaciónC ?tilia las propiedades de los límites.

&>.'$Du< relación habrá entre la integral de una función la del doble de la misma función%.

&8.'3nuncia una propiedad que relacione la integral de una función por un número real la integral deesa función.

4. TEOREMA DE LA MEDIAada una función continua f definida en 4a,b5, existe un "alor c de manera

que

&:.' bser"a la elección de los rectángulos en cada partición el resultado de las áreas gris

naran1a. $Du< es lo que ocurre%. $#or qu<%.

+0.'*alcula las áreas de los rectángulos que aproximan a la integral. $#or qu< existe un "alor de xen cada base de los rectángulos, de manera que la imagen de la función en ese punto es una alturatal que multiplicada por la base da exactamente el área del recinto naran1a al que pretendemosaproximar%. $! qu< teorema conocido se puede estar haciendo referencia%.

+&.'*uando n@& obt<n las fórmulas de los rectángulos que por exceso defecto aproximan alrecinto naran1a.

++.'Ea una comparación entre las fórmulas obtenidas en el e1ercicio anterior el recinto naran1a.

bt<n la siguiente desigualdad con m 9 el mínimo máximo de f en 4a,b5respecti"amente.+-.'?tilia el teorema del "alor medio para la función f demuestra el teorema de la media.

5. EL VALOR ABSOLUTO DE LA INTEGRAL Y LA INTEGRAL DEL VALOR ABSOLUTO



+/.' bser"a las representaciones gráficas de una función f del "alor absoluto de esa función FfF.3l área encerrada entre la cur"a el e1e de abscisas en ambos casos es la misma, sin embargo $7aintegral definida de f FfF son iguales%

+2.' etermina en qu< situaciones ambas integrales son la misma.

+6.' $Du< relación de orden existirá entre el "alor absoluto de la integral de una función laintegral del "alor absoluto de esa función%.

'i aumentas en una unidad la opcin ver solucin( se realizaran los cálculos en la escena.

ada una función f se "erifica que

..................

7a integral definida se representa por .

∫ es el signo de integración.

a l ímite inferior de la integración.

b l ímite superior de la integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la "ariable de la función que se

integra.

Propiedades de la integral defnida

1. 3l "alor de la integral definida cambia de signo si se permutan los

límites de integración.



2. Si los l ímites que integración coinciden, la integral

definida "ale cero.

3. Si c es un punto interior del inter"alo 4a, b5, la i ntegral definida se

descompone como una suma de dos integrales extendidas a los inter"alos 4a,

c5 4c, b5.

4. 7a integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de

integralesG

5. 7a integral del producto de una constante por una función es igual a

la constante por la integral de la función.

Regla de Barrow

7a regla de Barrow dice que la integral definida de una función continua

f(x) en un inter"alo cerrado 4a, b5 es igual a la diferencia entre los "alores

que toma una función primiti"a H(x) de f(x), en los extremos de dicho

inter"alo.



Teorema undamental del cálculo

F(x) = f(x)

3l teore!a f"nda!ental del cálc"lo nos indica que la deri"ación la

integración son operaciones in"ersas.

!l integrar una función ccontinua luego deri"arla se recupera la función

original.

Teorema de la media o del valor medio para integrales

Si una función es continua en un inter"alo cerrado 4a, b5, existe un punto

c en el interior del inter"alo tal queC

Ejemplos



.......................

Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas

funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).

Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x); dico de otro modo

las primitivas de f(x)son las funciones derivables F(x) tales que!

F'(x) = f(x).

Si una función f"#$ tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenci%ndose todas ellas en

una constante.

[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)

Integral indefnida

Integral indefinida es el con&unto de las infinitas primitivas que puede tener una función.



Se representa por f(x) dx.

Se lee ! integral de f de x diferencial de x.

es el signo de integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cu%l es la variable de la función que se integra.

C es la constante de integraci!n ' puede tomar cualquier valor num(rico real.

Si )"#$ es una primitiva de f"#$ se tiene que!

f(x) dx = F(x) + C

*ara comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.

Propiedades de la integral indefnida

"# +a integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.

[f(x) + g(x)] dx = f(x) dx + g(x) dx

$# +a integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la

integral de la función.

% f(x) dx = % f(x) dx

....................

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