de problèmes
TRANSCRIPT
La résolutionLa résolutionde problèmesp
Sommaire1. Qu’est ce qu’un problème2 L blè it ti l
Sommaire
2. Le problème : une situation complexe3. Les types de problèmes4. La représentation d’un problème5. Fonction cognitive : les mémoiresg6. La compréhension du problème7 La mise en œuvre de stratégies7. La mise en œuvre de stratégies8. Fonction cognitive : la fonction exécutive9 Conclusion9. Conclusion
Une ambition internationale
P.I.S.A.
Un échantillon représentatif d'élèves de 15 ans subit une épreuve "papier‐crayon" de deux heures en mathématiques et françaisde deux heures en mathématiques et français.
En maths, la France est au 22ème rang sur 70 pays.
Sophie VayssettesOCDE
http://www.dailymotion.com/video/xhe8d9_stella‐baruk‐il‐n‐y‐a‐pas‐de‐troubles‐en‐mathematiques_shortfilms
Stella Baruk et Rémi BrissiaudL’âge du capitaine
97 élèves de CE1 et CE2 ont a résoudre le problème suivant
Sur un bateau, il y a 26 moutons et 10 chèvres. Quel est l’âge du capitaine ?
76 ont donné l’âge du capitaine en utilisant les nombres figurant dans l’énoncé(78%).
François BouleÉnoncés « absurdes » François Boule
130 élèves de CE à CM le problème suivant
Énoncés « absurdes »
J’ai 4 sucettes dans ma poche droite et 9 caramels dans ma poche gauche. Quel est l’âge de mon papa ?74 % des
élèves de CE calculent Dans une bergerie, il y a cent vingt‐cinq moutons et cinq
chiens. Quel est l’âge du berger ?
20% des élèves de CM
Il y a 7 rangées de 4 tables dans une classe. Quel est l’âge de la maîtresse ?
calculent
François BouleÉnoncés « absurdes » François BouleÉnoncés « absurdes »
Les réponses ne sont pas liées à l’immaturité ou à l’irréflexion des élèves. Les réponses fournies ne sont pas arbitraires
Les problèmes à l’école fonctionnent de façon stéréotypée ; tout problème a une solution, que l’on peut trouver en utilisant les
données (toutes les données) fourniesdonnées (toutes les données) fournies.
Un problème ?
• Un problème comprend toujours des nombres. Il f t f i é ti t l b t l•Il faut faire une opération entre les nombres pour trouver la solution.•Un problème a toujours une seule solution.•Pour trouver la solution, il n’y a qu’une démarche possible.•Pour trouver la solution, il faut déjà savoir.•Pour trouver la solution il faut trier les informations …
Qu’est ceQu est cequ’un problème ?q p
Un problème surgit de l'écart qui se forme entre
Newell & Simon Chercheurs en psychologie cognitive ‐ 1972
un état initial et un état but.
Résoudre un problème c’est chercher un ensembles de procéduresi tt t l d’ ét t à tqui permettent le passage d’un état à un autre.
Un problème est généralement défini comme
Jean Brun Professeur en didactique des mathématiques – Université de Genève ‐ 1996
p gune situation initiale avec un but à atteindre, demandant au sujet d’élaborer une suite d’actions ou opérations pour atteindre ce but.
Définition
Le problèmeLe problèmeune situation complexep
En classe
La suite numérique
Connaissance CapacitéL ît i d t h i é t iq
Le sens de l’énoncé du problème
La maîtrise des techniques opératoires
La maîtrise des procédures de résolutionsprocédures de résolutions
Le contrôle de la
AttitudeLe contrôle de la
vraisemblance du résultat
ConnaissanceCapacité
Compétence
Attitude
L’interprétation inadéquate de
Connaissance
L t h i é t i
Capacité
l’énoncé ou de la consigne
Insuffisance ou absence des principes logico‐mathématiques
Les techniques opératoiresLa complexité de la stratégieL’utilisation d’heuristique
inappropriéeinappropriéeÉchec
Incapacité à vérifier son résultat
Attitude
Incapacité à vérifier son résultatIncapacité à changer de stratégie
QuandQuand
ÉvaluationAcquisition de
ll ÉvaluationÉvaluationdiagnostique
nouvelles connaissances
Évaluationfinale
Tedi-math
TEST DIAGNOSTIQUE DES COMPETENCES DE BASE EN
MATHEMATIQUES
Diagnostic des troubles des apprentissages numériques depp g q
la MS à la fin du CE2
Évaluation diagnostiqueÉvaluation diagnostique
L' f t diffi lté d' tiL'enfant en difficulté d'apprentissage en mathématiques : pistes de diagnostic et support d'intervention
Catherine Van Nieuwenhoven , Stéphanie De Vriendt
Un problèmeUn problèmedes problèmesp
Des démarches éda i esDes démarches pédagogiquesLa pédagogie par situations‐problèmes ‐ Apprentissage par problèmesLa pédagogie par situations problèmes Apprentissage par problèmes
Les élèves, regroupés par équipes, travaillent ensemble à résoudre un problème , g p p q p , ppour lequel ils n'ont reçu aucune formation particulière, de façon à faire des apprentissages de façon active.
La situation‐problème est une tâche concrète qui supposent que les personnes franchissent un certain nombre d'obstacles pour y arriver.
La situation‐problème est toujours une fiction sous contrôle.
J d l iJeux de logique B.O. n°10 du 10 mars 2011.
"Promotion des disciplines scientifiques et technologiquesRenforcer les fondamentaux des mathématiques et des sciences à l'école primaireRenforcer les fondamentaux des mathématiques et des sciences à l école primaireAncrer les fondamentauxLes jeux traditionnels comme les échecs, les jeux à règle comme les jeux de cartes, les jeux de construction permettent de développer la motivation et la concentration des élèves,
Rush Hour
d'encourager leur esprit d'autonomie et d'initiative et de travailler les fondamentaux par une approche différente."
Rush Hour
La tour de Hanoï
Puissance 4
Des sit ati nsDes situations
Des situations fonctionnelles
En rapport avec la réalité de la classe avec leEn rapport avec la réalité de la classe, avec le vécu des élèves.
Laurence a acheté une console de jeu, un jeu, une manette supplémentaire.Le prix total de l’achat est de deux cent quatre vingt eurosLe prix total de l achat est de deux cent quatre vingt euros dont trente euros pour la manette et cinquante‐huit euros pour le jeu. Laurence veut connaître le prix de la console.
Michaël a un contrat avec sa mère qui s’est engagée à lui verser cinq euros d’argent de poche par semaine pendant un an en échange d’une participation active et régulière aux tâches ménagères.
Marie Christine Une petite fille saute à la corde
gMichaël respecte sa part de contrat et veut savoir combien il gagne en un an.
Marie‐Christine. Une petite fille saute à la corde. Elle fait quinze sauts en une minute.Combien de sauts aura‐t‐elle fait en trente minutes sachant qu’elle se repose deux minutes toutes les dix minutes ?
Des sit ati nsDes situationsDes situations pseudo‐concrètesDes situations pseudo‐concrètes
« On fait comme si … », « Imaginons qu’on voudrait faire … »Ce sont les situations des manuels scolaires.
Des situations abstraitesElles portent sur les nombres eux mêmes elles sont théoriques et seElles portent sur les nombres eux‐mêmes, elles sont théoriques et se
rapprochent de ce que font les mathématiciens.
Sabrina achète un livre a 18 eurosIl l i 15Il lui reste 15 eurosCombien avait – elle avant son achat ?
Qui s’interroge pour savoir combien d’argent on avait avant un achat ?
S iSoit
Un problème en rappelle Un problème n'en rappelle aucun autre un autre
Transposition, transfert
aucun autre
invention d'une démarche personnelle, d'une solution
•Les problèmes de réinvestissement•Les problèmes d’évaluation
•Les problèmes d’approches et de découvertes•Les problèmes ouverts p•Les problèmes ouverts
Interrogations surInterrogations sur
L’objet Le sujet
Aspect psychologique : inhibition, attitude négative, évocation douloureuse… ;
La nature du problème proposé.
Aspect cognitif : difficulté de mémorisation, de catégorisation,
Aspect technique : les notions utilisées, techniques opératoires q psous jacentes…
Comment se construit Comment se construit la représentation de problèmes ?p p
L’é é d blèL’énoncé du problème
François Boule
Les premières difficultés rencontrées dans larésolution de problème ne sont ni techniques, ni mathématiques.
Elles concernent d’abord la lecture de l’énoncé.
L’é é d blèL’énoncé du problème
Un énoncé de mathématiques n’est pas un textecomme les autrecomme les autre.L’énoncé met en interaction 3 langages :
•le langage ordinaire (description d’une situation)•le langage ordinaire (description d une situation), •le langage mathématique•le langage symbolique (ex. Triangle, chiffre …)
Aid à l éh i d l’é éAides à la compréhension de l’énoncé
Comment travailler laComment travailler la compréhension de problèmes ?
Ewan Guillou, ULIS Collège Jean Moulin, Châteaulin
Comment travailler la compréhension Comment travailler la compréhension de problèmes ?
• Repérer les mots inducteurs.• Un énoncé peut aussi se schématiser :• Un énoncé peut aussi se schématiser : composition d’états ou comparaison d’états. Retenir des schémas typesRetenir des schémas types.
• Un problème peut être une transformation d’é é i i i l l id’état avec un état initial, une ou plusieurs transformations et un état final.
Travail de repérage des mots-inducteurs
• Je propose aux élèves de lire des énoncés des problèmes et repérer les mots qui reviennent le plus souventsouvent.
L i dLes mots inducteurs
++++ -- xx ::
EtEt DifférenceDifférence Chaque Chaque Partager Partager PlusPlusAjouterAjouter
ResteResteMoinsMoins
ChacunChacun DistribuerDistribuerCouperCouperAjouterAjouter
GagnerGagnerRetirerRetirerEnleverEnlever
ppRépartirRépartir
PrendrePrendrePerdrePerdreResterRester
Passer par l’écriture pour améliorer la compréhensionp p p• Pour s’approprier ce vocabulaire, il semble importantque les élèves passent par l’écriture d’un énoncé deproblème. Le fait d’écrire un énoncé donne l’occasionaux élèves de voir qu’on n’emploie pas n’importe
l d blè ’il fquels termes dans un problème et qu’il faut poserune question en lien avec l’énoncé.
• Les élèves souffrant de troubles cognitifs ont desdiffi l é l i l l ifi i ddifficultés avec le traitement et la classification desinformations. Écrire un énoncé permet de travaillerl’organisation la réorganisation et la structurationl organisation, la réorganisation et la structurationd’informations.
Réd blèRédiger un problèmeet le résoudre
• Étape 1 : En groupe, rappel des règles àprespecter lorsqu’on écrit un problème. Quelssont les mots inducteurs (avec les élèves onsont les mots inducteurs (avec les élèves onutilisera le terme de « mots indices ») ? Queretrouve t on à la fin d’un énoncé deretrouve‐t‐on à la fin d un énoncé deproblème ?
É• Étape 2 : Donner la consigne de l’activité.« Vous allez devoir écrire l’énoncé d’unVous allez devoir écrire l énoncé d unproblème. Vous devez respecter les règles quenous avons vues ensemble Je vous distribuenous avons vues ensemble. Je vous distribuedes étiquettes avec des objets et des prix.V d i é i l’é éVous devez vous en servir pour écrire l’énoncéde votre problème ».
On distribue trois étiquettes parétiquettes par
élèves.
C i t é l éCe qui est évalué c’est la rédaction
puis la pcompréhension de l’énoncé avec bien sûr le choix dusûr le choix du calcul utilisé.
• Étape 3 I di id ll t l élè édi t• Étape 3 : Individuellement les élèves rédigent unénoncé. Puis ils doivent résoudre le problème qu’ils ontécrit pour voir si l’énoncé est correct, logique et si le
blè t êt é lproblème peut être résolu.
• Étape 4 : Après vérification du respect des étapes par• Étape 4 : Après vérification du respect des étapes parl’élève, puis par l’enseignant, l’élève recopie autraitement de texte son énoncé.
• Étape 5 : Les élèves échangent leurs énoncés, ilsdoivent résoudre le problème d’un de leur camaradedoivent résoudre le problème d un de leur camarade.Pour cette résolution, ils doivent chercher le motinducteur. Ils expliquent ce qu’ils cherchent, ils font lecalcul puis une phrase réponsecalcul puis une phrase‐réponse.
L i d l li iLes mots-inducteurs : les limites
• Cet exercice de rédaction est intéressant car il• Cet exercice de rédaction est intéressant car il oblige les élèves à structurer leur pensée pour rédiger un problème.
• Cependant quand cet exercice est maîtrisé ilCependant quand cet exercice est maîtrisé il faut montrer aux élèves que les mots inducteurs ne permettent pas de résoudreinducteurs ne permettent pas de résoudre tous les problèmes.
L i d l li i
Auguste a 13 ans Il a 4 ans de moins que
Les mots-inducteurs : les limites
« Auguste a 13 ans. Il a 4 ans de moins que Romain. Quel âge à Romain ? »
• L’élève repère le « moins »
• Il calcule : 13 ‐ 4 = 9
• « Romain a 9 ans »« Romain a 9 ans. »
L hé i i d blèClassification des problèmes d Gé d V d 1981
La schématisation des problèmes
de Gérard Vergnaud - 1981
Des types de problèmesyp p
Composition d'ét t
Comparaison d'ét t
Composition d’états é
Transformation d'ét td'état d'état égaux
+ ou ‐ + ou ‐ X ou :
d'état
Composition d'étatComposition d'état
Composition d'étatComposition d'état
Schéma général
?
+ ‐
E l
?
Exemple
recherche du composé recherche d’une partie
ExempleA midi j’ai bu 2 verres d’eau et 1 verre de jus d’orange.Combien de verres ai‐je bu en tout ?
Dans notre cour, nous avons 5 bancs. Pendant la récréation, 3 bancs sont occupés par des enfants. Combien de bancs sont vides ?
j
Composition d'étatComposition d'état
« 102 jeunes garçons, 86 jeunes filles et 40 adultes se trouvaient à un concert.
Combien y avait‐il de personnes au concert ? »
l hé f i î l i lDans le schémas on fait apparaître les « parties » et le « tout », avec des cases ou des barres.
Dans ce problème on connaît les 3 « parties ». Pour trouver le « tout » on fait une addition.Pour trouver le tout on fait une addition.
Composition d'étatComposition d'état
« Monsieur Enzo a fait cuire 285 pizzas. Il en a vendu beaucoup, mais il lui en reste 70. p,Combien de pizzas a‐t‐il vendues ? »
On peut connaître le « tout » et une « partie » pour rechercher une autre partiepour rechercher une autre partie.
Dans ce cas on fait une soustraction.
Composition d'étatComposition d'état
Partie 1 + Partie 2 = Tout
Tout – Partie 1 = Partie 2
Tout Partie 2 = Partie 1Tout – Partie 2 = Partie 1
Comparaison d'état
Schéma général
? recherche de la comparaison
+ ‐
E l
?
?
Exemple Sur une assiette il y a 2 gâteaux Sur une autre il y
recherche de l’un des étatsrecherche de la comparaison
ExempleAlexis a 3 ans. Il a 1 an de plus (ou de moins) que sa sœur.Quel âge a la sœur d’Alexis ?
Sur une assiette, il y a 2 gâteaux. Sur une autre, il y en a 5.Combien y a‐t‐il de gâteaux de plus sur la deuxième assiette ?Q g
Comparaison d'état
Comparaison d'état
Lisa mesure 96 cm. Mathilde mesure 8 cm de i Limoins que Lisa.
Combien Mathilde mesure‐t‐elle ?
S hé ti ti à ti d b l• Schématisation à partir de barres pour les comparaisons.
Comparaison d'état
• Plus grande quantité – la plus petite quantité = différence
• Plus petite quantité + différence = plus grande quantité
• Plus grande quantité – différence = plus petite quantité
Composition d’états égaux
Composition d’états égaux
• Lorsque l’on connaît le nombre de « parties » et que ces « parties » sont égales on peut faire une multiplication
t l t tpour trouver le « tout ».
• Lorsque l’on connaît le « tout » et le nombre deLorsque l on connaît le « tout » et le nombre de « parties » on fait une division pour trouver la valeur d’une « partie ».
• Lorsque l’on connaît le « tout » et la valeur d’une « partie », on fait une division pour trouver le nombre de « parties »« parties ».
Composition d’états égauxComposition d’états égaux
« 5 enfants achètent un cadeau qui coûtent 30 euros. Ils partagent la somme à payer p g p yéquitablement. Combien chaque élève devra‐t‐il payer ? »t‐il payer ? »
• On connaît le « tout » et le nombre de « parties ». On cherche la valeur d’une « partie ». Les élèves doivent faire une division pou une multiplication à trou.
Transformation d'état
Schéma général
? ?recherche de l’état final
ExempleTu avais 2 voitures Je t’en donne
ExempleJ’ajoute 3 bonbons dans la boîte. Maintenant
recherche de l état final recherche de l’état initial
Tu avais 2 voitures. Je t en donne encore 1.Combien en as‐tu maintenant ?
j’en ai 5.Combien la boîte contenait‐elle déjà de bonbons ?
Transformation d'état
Schéma général
?recherche de la transformation
ExemplePose 5 cubes sur la table Que dois‐
recherche de la transformation
Pose 5 cubes sur la table. Que doistu faire pour en avoir7 ?
Transformation d'état
A partir d’une histoire comportant un état initial, une transformation et un état final, on cacheune transformation et un état final, on cache
une donnée et on choisit un ordre d’énonciationd énonciation.
Transformation d'état
« Avant la récréation, Augustus Gloop avait 17 bâtons de chocolat Pendant la récréation il jouebâtons de chocolat. Pendant la récréation il joue et perd 5 bâtons.
Combien a‐t‐il de bâtons après la récréation ? »
• On connaît l’état initial et la transformation. On doit retrouver l’état final.
Transformation d'état
« Que s’est‐il passé pendant la récréation ? Avant la récréation Augustus Gloop avait 22Avant la récréation, Augustus Gloop avait 22 bâtons de chocolat. Il joue. Après la récréation il a 13 bâtons de chocolat »récréation, il a 13 bâtons de chocolat. »
• On connaît l’état initial et l’état final. Il faut trouver la transformationtrouver la transformation.
• Combien d’énoncés possibles ?Combien d énoncés possibles ?
Etat initialEtat initial TransformationTransformation Etat final ?Etat final ?
Etat initialEtat initial Etat finalEtat final Transformation ?Transformation ?
TransformationTransformation Etat finalEtat final Etat initial ?Etat initial ?
TransformationTransformation Etat initialEtat initial Etat final ?Etat final ?TransformationTransformation Etat initialEtat initial Etat final ?Etat final ?
Etat finalEtat final TransformationTransformation Etat initial ?Etat initial ?
Etat finalEtat final Etat initialEtat initial Transformation ?Transformation ?
On peut aussi changer la position de la question.
Aid à l’ é i li iAides à l’opérationnalisation
Aider à se représenter les situations évoquées
Albums codés
Se former des images mentales.
les situations évoquées
Par le dessin peut être utile.Le schéma
Coder l’information par des symboles abstraits
http://www.tice1d.13.ac‐aix‐marseille.fr/maths/M31111.htm#2
Mémoire et problèmeMémoire et problème
Henri PLANCHON Activité Cognitive et Images Mathématiques
Les problèmes que nous rencontrons sont mémorisés sous une forme ou sous une t t t i t i d l t ti d’ ll é t tiautre et peuvent intervenir dans la construction d’une nouvelle représentation.
Ils peuvent être mémorisés en tant que connaissances et intégrés comme telles à nos structures cognitiveset intégrés comme telles à nos structures cognitives.
Fonction cognitivegLes mémoireses é o es
D tè d é i di ti tDes systèmes de mémoire distincts
Mémoire (psychologie)Mémoire (neurobiologie)
Les types (psychologie) Représentation schématique du
L’information est stockée pendant une
Les types (psychologie) p qmodèle du système cognitif proposé
par Atkinson et Shiffrin (1969).
stockée pendant une faible durée
(environ 30 secondes).
Mémoire à
Environnement
VisuelAuditif
Mémoire à Court Terme
(MCT)
Mémoire à Long Terme
(MLT).
tactileL’information peut y rester ou
être effacée.(capacité « infinie »(capacité « infinie »
Perdue Réponse
( )Mémoire à court terme (MCT)
• MCT définie initialement par le durée de maintien des informations (quelques secondes)
• La MCT comporte aussi une limitation quantitative, l’empan mnésique: nombre d’éléments qui peuvent s’y maintenir (5 àmnésique: nombre d éléments qui peuvent s y maintenir (5 à 7 : Miller, 1950 en rappel immédiat)
Miller, 1950
23571890
2 3 5 7 1 8 9 02 3 5 7 1 8 9 0
Les types (psychologie) Représentation schématique duLes types (psychologie) Représentation schématique dumodèle du système cognitif proposé
par Bradeley et Hith (1974).
Environnement La boucle phonologique
Elle est capable de retenir et de manipuler
phonologique (BP)
Auditifdes informations sous forme verbale
Centre exécutifSuperviseur
Visueltactile Il est chargé des
informations codéesLe calepin
visuo spatial
Superviseur attentionnel
informations codées sous forme visuelle
visuo‐spatial (CVS)
Boucle phonologiqueBoucle phonologique
nourriture manger sandwich seigle confiture
farine pâte croûte miche
Calepin visuel
Calepin visuel
Calepin visuel
Calepin visuel
1 2
L MTLa MT permet Les inférences
34
La MT peut être réactivéep
cerise pain
Et trompée … 40 % des personnes répondent que le pain était dans la liste initiale
La mémoire à long terme (MLT)La mémoire à long terme (MLT)Stockage de l’information en mémoire à long terme
Représentation explicite Représentation impliciteReprésentation explicite Représentation implicite
CatégorisationCatégorisationLa MLT pour stocker l’information fabrique des catégorie.
Eleanor Rosch (1975) a montré que certains exemple étaient demeilleurs représentants d’une catégorie que d’autres : notion de prototype
i i hié hiDans chaque catégorie, on distingue trois niveaux hiérarchiques
niveau super‐ordonné (animal)
niveau de base (chien)
niveau sous‐ordonné (Bouvier Bernois)
CatégorisationCatégorisation
niveau super‐ordonné (problème)Dans un massif de fleurs
niveau de base (problème additif)
niveau sous ordonné
Dans un massif de fleurs, il y a 20 tulipes rougeset 40 tulipes jaunes
niveau sous‐ordonné (composition d’état) Combien y a‐t‐il de tulipes en tout?
CatégorisationCatégorisation
niveau super‐ordonné (problème)Dans le massif de 60 fleurs
niveau de base (problème additif)
niveau sous ordonné
Dans le massif de 60 fleurs, il y a 20 tulipes rouges
Combien faut – il planter de tulipesniveau sous‐ordonné (composition d’état)
Combien faut il planter de tulipes jaunes ?
Cellule de lieu (neurobiologie)Cellule de lieu (neurobiologie)
John O'Keefe
La fonction primordiale l'hippocampe est de constituer une carte cognitive de
l'environnement dans lequel évolue l'animall environnement dans lequel évolue l animal.
Mémoire à court terme (MCT)
Aid à l é i i d blèAides à la catégorisation des problèmes
Présentation de problèmes
Identification
Affiche de « types » de problèmescentrée sur lesproblèmes
isomorphes des analogiescentrée sur les analogies de
structure et non d’apparence.
Aid à l é i iAides à la catégorisation
Aider les élèves dans le choix des procédures
En catégorisant les problèmes
http://www.cndp.fr/crdp‐lille/problemes_CP‐CE1/
http://www cndp fr/crdp lille/problemes CE2 CM2/default htmhttp://www.cndp.fr/crdp‐lille/problemes_CE2‐CM2/default.htm
La compréhensionLa compréhensiondu problèmep
Comment se construit la compréhension du problèmeComment se construit la compréhension du problèmeJean Julo ‐ enseignant‐chercheur à
l’Université Rennes I
1 Interprétation
él iet sélection
Trois processussimultanés qui interagissent ! 3
2 Structuration
interagissent ! C’est l’interaction de ces trois processus qui nous font réussir la résolution
3Opérationnalisation
’ é éLe processus d’interprétation et de sélection
Un énoncé de problème est caractérisé par une forme mais aussi par un ensemble d’éléments qui lui donne son sens
Le contexte sémantique d’un problème
Interprétation Sélection d’informations
On dispose d'une bouteille de vin et d'une bouteille d'eau.On prend un verre de vin dans la bouteille de vin et on le verse dans la bouteille d'eau.On prend un verre du mélange obtenu et on le verse dans la bouteille de vin.(le verre est le même pour les deux opérations).(le verre est le même pour les deux opérations).
Parmi ces trois affirmations, laquelle vous paraît juste ? 1. il y a plus de vin dans la jarre d'eau que d'eau dans la jarre de vin2. il y a plus d'eau dans la jarre de vin que de vin dans la jarre d'eau3. il y a autant de vin dans la jarre d'eau que d'eau dans la jarre de vin 20%
Une boîte verte contient des jetons verts et une boite rouge contient des jetons rouges. On prend un certain nombre de jetons verts dans la boîte verte et on les place dans la boîte rouge. On prend ensuite le même nombre que précédemment de jetons dans la boîte rouge et on les place dans la boîte verte.dans la boîte rouge et on les place dans la boîte verte.
Parmi ces trois affirmations, laquelle vous paraît juste ? 1. le nombre de jetons verts dans la boîte rouge est plus grand que le nombre de jetons rouges dans la boîte verte. 2. le nombre de jetons verts dans la boîte rouge est plus petit que le nombre de j d l b îjetons rouges dans la boîte verte. 3. le nombre de jetons verts dans la boîte rouge est égal au nombre de jetons rouges dans la boîte verte. 60 %
Le processus de structuration
Au delà de la compréhension de la consigne il y a laAu‐delà de la compréhension de la consigne, il y a la manière dont nous organisons cette information et ce
que nous nous autorisons à faire
Problème des 9 points de Maier :Réunir les 9 points ci‐dessous par 4 segments de droite tracés sans lever le crayon
Solution
P blè d l’ i
Trois voyageurs arrivent à l’auberge pour y passer la nuit.
Problème de l’euro qui manque
y g g p y pIl ne reste plus qu’une seule chambre à trois lits pour laquelle l’aubergiste demande 30 €. Chaque voyageur débourse donc 10 €. Plus tard en encaissant la somme l’aubergiste se rappelle que le prix de la chambre n’est pas de 30 € mais de 25 €. Il envoie alors le garçons porter 5 pièces de 1 € aux voyageurs. Mais le garçon décide alors de prélever son pourboire au passage et ne redonne qu’une seule pièce de 1 € à chaque voyageur gardant 2 € pour lui.
Chaque voyageur a donc payé son lit 9 €, soit en tout 27 €.
L dé 2€ l i L l d d 29 € (27 2)Le garçon a gardé 2€ pour lui. Le total est donc de 29 € (27 + 2).
Où est passé l’euro qui manque ?
’ é Le processus d’opérationnalisation
C’est le processus qui permet le passage à l’action effective (calculs tracés )C est le processus qui permet le passage à l action effective (calculs, tracés …) ou mentale (raisonnement, déductions…)
J. Julo « Comprendre quelque chose c’est construire une représentation d’une chose. »
P blè d R tlProblème de Restle
Si le problème que vous avez résolu avant que vous ayez résolu celui‐ci était plus difficile que le problème que vous avez résolu après que vous ayez résolu le problème que vous avez résolu avant que vous ayez résolu celui‐ci,
l blè é l é lest‐ce que le problème que vous avez résolu avant que vous ayez résolu celui‐ci était plus difficile que celui‐ci ?
Si le problème que vous avez résolu avant que vous ayez résolu celui‐ci était plus difficile que le problème que vous avez résolu après que vous ayez résolu le problème que vous avez résolu avant que vous ayez résolu celui ci est ce
le problème Ale problème B
le problème que vous avez résolu avant que vous ayez résolu celui‐ci, est‐ce que le problème que vous avez résolu avant que vous ayez résolu celui‐ci était plus difficile que celui‐ci ?
le problème Ale problème B
La mise en œuvre La mise en œuvre de stratégiesg
Exemple d’un problème ouvert
Exemple d’un problème ouvertExemple d un problème ouvert
• L'énoncé est court.• La solution n'est pas évidente• La solution n est pas évidente.• Tout élève peut démarrer sa recherche par tâtonnement, par des dessins ...• L'énoncé n'induit pas la méthode de résolution.• Les problèmes où la solution est accessible par plusieurs
d d i t ( l éb i l imodes de raisonnement (algébrique, logique, géométrique,..).
Démarche - Le problème ouvert
Les 6 étapes de la résolution de problème ouvert :
•Présentation par l’enseignant (précision des consignes)p g (p g )•Recherche personnelle•Confrontation avec le groupe•Mise en commun•Vérification des hypothèses•Synthèse collective, communication
Problème ouvert classe de SIFPRO – IME F Huon de Quimperlé
http://dpernoux.free.fr/ouverts.htm
Kangourou au pays des contes
http://rustrel.free.fr/enigmes.htmhttp://www.recreomath.qc.ca/banque_prob.htm
http://www.pedagonet.com/other/enigme.html http://carresmagiques.free.fr/index.html
UneUne résolution Evelyne Clément
réussie ne permet pas d’inférerne permet pas d inférer
sur les stratégiesacquises
Fonction cognitiveFonction cognitiveLa fonction exécutivea o ct o e écut ve
L f i é iLa fonction exécutive
Élaboration de stratégies et planification des g ptâches à accomplir.
Flexibilité cognitive (adaptation aux imprévus, correction des erreurs, passage d’une tâche à p gl’autre)
Stratégies de résolution de problèmeStratégies de résolution de problème
Une heuristique est une
HeuristiqueL’algorithme est une règle
Algorithme
Une heuristique est une règle générale d’action,
applicable à toute situation, qui permet la plupart du
qui permet d’arriver à la solution dans tous les cas.
qui permet la plupart du temps d’aboutir plus
rapidement à la solution.
E l d’ l i hExemple d’algorithme
Recherche par dichotomieRecherche par dichotomiePierre propose à Paul le jeu suivant : « choisis en secret un nombre compris entre 0 et 100 ; je vais essayer de le deviner le« choisis en secret un nombre compris entre 0 et 100 ; je vais essayer de le deviner le plus rapidement possible, en ne pouvant que te poser des questions auxquelles tu réponds par oui ou par non ».
Paul choisit 66 et attend les questions de Pierre :
Algorithme de résolution : Toujours proposer la moitié de la valeurAlgorithme de résolution : j p p
Cette méthode itérative permet à Pierre de trouver le nombre en posant en moyenne moins de questions que s'il procédait par des questions du type « Est‐ce que le nombre est égal à 30 ? ».
E l d’h i iExemple d’heuristique
http://javaboy.free.fr/tourdehanoi/La tour de Hanoï
variantes Les 2 tours de hanoï
3 t d t té i3 types de stratégies
La recherche par essai ‐ erreur
Stratégie du hill climbing Éli i éd i l
Analyse moyens‐fin
Appliquer au hasard les opérateurs légaux
essai erreur
Appliquer les opérateurs légaux et évaluer l'état
g Éliminer ou réduire la différence entre l’état initial et l’état final en
construisant des sous butsopérateurs légaux jusqu'à atteindre un but.
légaux et évaluer l état obtenu à chaque étape.
construisant des sous buts jusqu’à l'élimination de la différence de départ.
Beaucoup d'actions inutilesA ti d tibl
Ne permet pas toujours d' tt i d l b t
Stratégie reproductible.C ité à ’él i d b tActions non reproductibles d'atteindre le but Capacité à s’éloigner du but
pour l’atteindre.
é fIllustration de la stratégie fin-moyens
Loup, chèvre, choux
http://jeux.lulu.pagesperso‐orange.fr/html/loupChe/loupChe1.htm
Missionnaires etMissionnaires et cannibales
http://www.novelgames.com/flashgames/game.php?id=54
Aid à l’él b i d é iAides à l’élaboration de stratégies
Définition du but à atteindre
Le réexamen ll if d
L’anticipation collective du
à atteindreRaisonnement à
voix haute
collectif du cheminement
résultat précède la recherche de la
solution.R t éfl if
Verbalisation en groupe des stratégies
Retour réflexif, à caractère
métacognitif .
individuelles.
Fl ibili é Flexibilité -Test de Wisconsin
nombreformecouleur
2 types de flexibilitéEvelyne Clément
Flexibilité spontané Flexibilité réactive
Évaluation des problèmes ouverts
Sphère affectiveSphère affective
Sphère instrumentale
Sphère sociale
Sphère cognitive
Une mise en place des situations complexes
selon 3 phasesselon 3 phases
Une ambition internationale
Ph 1Phase 1 : On demande aux élèves d'accomplir une tâche complexe sans aucun étayage.
Phase 2 : On propose à nouveau aux élèves la même tâche. Mais cette fois, la tâche complexe est découpée en tâches élémentaires dont les consignes sonttâche complexe est découpée en tâches élémentaires dont les consignes sont explicites et qui sont présentées dans l'ordre où elles doivent être accomplies.
Phase 3 : On propose aux élèves une série de tâches simples décontextualisées dont les consignes sont celles qui sont utilisées ordinairementdécontextualisées, dont les consignes sont celles qui sont utilisées ordinairement dans l'apprentissage des procédures élémentaires qu'on propose à l'école.
« Cible » de compétences
Pour résoudrePour résoudreun problème mathématiquep q
1S’approprier le texte de l’énoncé
25Valider le Organiser
les données
Valider le résultat, critiquer
Métacognition
3Se donner une représentation
( mentale ou schématisée)
4Déterminer une stratégie de résolution schématisée)de résolution