de la mécanique classique à la mécanique...

De la mécanique classique à lamécanique quantique:

pourquoi et comment quantifier?

Charles-Michel Marle

Université Pierre et Marie Curie

Paris, France

De la mécanique classique à la mécanique quantique: – p. 1/34

Origines de la mécanique quantiqueVers la fin du XIXème siècle, on pensait que l’évolution dessystèmes physiques pouvait être décrite dans le cadre de lamécanique classique. Cependant, certains faits restaientmal compris et allaient conduire à remettre en questioncette croyance.



La non-invariance des équations de Maxwell par le groupede Galilée amenait à admettre l’existence de repèresprivilégiés, ceux dans lesquels l’hypothétique éther(support des ondes électromagnétiques) est fixe; l’espaceabsolu postulé par Newton, dont les mécaniciens avaienteu tant de mal à se débarrasser, ressurgissait.



La non-invariance des équations de Maxwell par le groupede Galilée amenait à admettre l’existence de repèresprivilégiés, ceux dans lesquels l’hypothétique éther(support des ondes électromagnétiques) est fixe; l’espaceabsolu postulé par Newton, dont les mécaniciens avaienteu tant de mal à se débarrasser, ressurgissait. Or lemouvement de la Terre par rapport à l’éther n’a pas pu êtremis en évidence expérimentalement (A.A. Michelson etE.W. Morley, vers 1880). Cela allait conduire à l’abandon duconcept de temps absolu (Relativité, A. Einstein, 1905).


Origines de la mécanique quantique (2)D’autre part, les principes de la mécanique statistiqueclassique, appliqués par Rayleigh au rayonnement du corpsnoir (1900), conduisaient à une densité d’énergie infinie. Enlaissant de côté ces principes et en admettant que pourchaque fréquence ν, la valeur de l’énergie du rayonnementde fréquence ν ne pouvait être qu’un multiple entier de hν(h étant une constante universelle aujourd’hui appeléeconstante de Planck), M. Planck parvint à établir uneformule conduisant à une densité totale d’énergie finie, enexcellent accord avec l’expérience.


Origines de la mécanique quantique (2)D’autre part, les principes de la mécanique statistiqueclassique, appliqués par Rayleigh au rayonnement du corpsnoir (1900), conduisaient à une densité d’énergie infinie. Enlaissant de côté ces principes et en admettant que pourchaque fréquence ν, la valeur de l’énergie du rayonnementde fréquence ν ne pouvait être qu’un multiple entier de hν(h étant une constante universelle aujourd’hui appeléeconstante de Planck), M. Planck parvint à établir uneformule conduisant à une densité totale d’énergie finie, enexcellent accord avec l’expérience.

La découverte de M. Planck a conduit à modifier la formuleempirique donnant la chaleur spécifique des solides,découverte par P.L. Dulong et A.T. Petit (1819), et d’obtenirun bien meilleur accord avec l’expérience aux bassestempératures (A. Einstein et P. Debye, 1906).


Origines de la mécanique quantique (3)Autre succès de la découverte de M. Planck: A. Einsteinmontre (1905) qu’elle fournit une explication satisfaisantede l’effet photoélectrique, découvert en 1902 parJ.J. Thomson et P. Lenard.



En 1911, E. Rutherford découvre expérimentalement lastructure de l’atome: un noyau doté d’une charge électriquepositive, autour duquel gravitent des électrons chargésnégativement (la découverte de l’électron, la mesure de samasse et de sa charge, sont dues à J.J. Thomson, 1897).Mais pourquoi ces chargent en mouvement ne perdent pasleur énergie en émettant un rayonnement? Et commentexpliquer les spectres d’émission des atomes?



En 1911, E. Rutherford découvre expérimentalement lastructure de l’atome: un noyau doté d’une charge électriquepositive, autour duquel gravitent des électrons chargésnégativement (la découverte de l’électron, la mesure de samasse et de sa charge, sont dues à J.J. Thomson, 1897).Mais pourquoi ces chargent en mouvement ne perdent pasleur énergie en émettant un rayonnement? Et commentexpliquer les spectres d’émission des atomes?

En 1913, N. Bohr montre que l’idée, initialement due àM. Planck, de “quantifier” les échanges d’énergie, permetde répondre à ces questions.


Origines de la mécanique quantique (4)N. Bohr admet que dans l’atome d’hydrogène, l’électrongravite autour du noyau en étant soumis aux forcesélectrostatique, selon les lois de la mécanique classique,sans rayonner, en gardant une énergie constante. Il admet:


Origines de la mécanique quantique (4)N. Bohr admet que dans l’atome d’hydrogène, l’électrongravite autour du noyau en étant soumis aux forcesélectrostatique, selon les lois de la mécanique classique,sans rayonner, en gardant une énergie constante. Il admet:– les seules orbites possibles sont celles correspondant àune valeur du moment cinétique multiple entier de h/(2π).


Origines de la mécanique quantique (4)N. Bohr admet que dans l’atome d’hydrogène, l’électrongravite autour du noyau en étant soumis aux forcesélectrostatique, selon les lois de la mécanique classique,sans rayonner, en gardant une énergie constante. Il admet:– les seules orbites possibles sont celles correspondant àune valeur du moment cinétique multiple entier de h/(2π).– l’atome émet un rayonnement lorsque l’électron passed’une orbite où son énergie est E1 à une orbite où cetteénergie est E2; le rayonnement est émis de manièrediscrète, sous forme d’un “photon”, dont la fréquence est

ν = (E1 − E2)/h .


Origines de la mécanique quantique (4)N. Bohr admet que dans l’atome d’hydrogène, l’électrongravite autour du noyau en étant soumis aux forcesélectrostatique, selon les lois de la mécanique classique,sans rayonner, en gardant une énergie constante. Il admet:– les seules orbites possibles sont celles correspondant àune valeur du moment cinétique multiple entier de h/(2π).– l’atome émet un rayonnement lorsque l’électron passed’une orbite où son énergie est E1 à une orbite où cetteénergie est E2; le rayonnement est émis de manièrediscrète, sous forme d’un “photon”, dont la fréquence est

ν = (E1 − E2)/h .

Cela permet de rendre compte de manière trèssatisfaisante du spectre de rayonnement de l’hydrogène, etd’autres atomes plus complexes.


Principes de la mécanique quantiqueMalgré ces succès, l’emploi de “règles de quantification” etde la mécanique classique restait peu satisfaisant.W. Heisenberg et E. Schrödinger, indépendamment, ont en1925 formulé deux théories quantiques plus systématiques,en apparence différentes mais qui se sont révéléeséquivalentes.


Principes de la mécanique quantiqueMalgré ces succès, l’emploi de “règles de quantification” etde la mécanique classique restait peu satisfaisant.W. Heisenberg et E. Schrödinger, indépendamment, ont en1925 formulé deux théories quantiques plus systématiques,en apparence différentes mais qui se sont révéléeséquivalentes.

Sur cette base, grâce aux efforts de ces deux savants, deP. Dirac, J. von Neumann, N. Bohr, M. Born et d’autres, unenouvelle Mécanique a été créée: la Mécanique quantique.


Principes de la mécanique quantique (2)

Cette nouvelle Mécanique– admet la Mécanique classique comme cas limite, pour lessystèmes de grande dimension et de grande masse,



Cette nouvelle Mécanique– admet la Mécanique classique comme cas limite, pour lessystèmes de grande dimension et de grande masse,– conduit à des règles de quantification précises, nonimposées a priori, mais conséquences de la théorie ,



Cette nouvelle Mécanique– admet la Mécanique classique comme cas limite, pour lessystèmes de grande dimension et de grande masse,– conduit à des règles de quantification précises, nonimposées a priori, mais conséquences de la théorie ,– “explique” pourquoi la matière et le rayonnementélectromagnétique peuvent se comporter tantôt comme desparticules et tantôt comme des ondes.



Cette nouvelle Mécanique– admet la Mécanique classique comme cas limite, pour lessystèmes de grande dimension et de grande masse,– conduit à des règles de quantification précises, nonimposées a priori, mais conséquences de la théorie ,– “explique” pourquoi la matière et le rayonnementélectromagnétique peuvent se comporter tantôt comme desparticules et tantôt comme des ondes.La Mécanique quantique a permis d’expliquer denombreuses propriétés physiques jusqu’alors mystérieuses,telles que, par exemple, les propriétés chimiques deséléments, la formation des liaisons chimiques.


Principes de la mécanique quantique (3)En Mécanique statistique classique, on utilise, pourreprésenter un système, un espace des phases qui est unevariété symplectique. Un état du système est une mesurede probabilité µ sur l’espace des phases. Une observableest une fonction f , à valeurs réelles, définie sur l’espacedes phases. La valeur prise par l’observable f lorsque l’étatdu système est µ est une variable aléatoire dont la loi deprobabilité est la mesure image f∗µ.


Principes de la mécanique quantique (3)En Mécanique statistique classique, on utilise, pourreprésenter un système, un espace des phases qui est unevariété symplectique. Un état du système est une mesurede probabilité µ sur l’espace des phases. Une observableest une fonction f , à valeurs réelles, définie sur l’espacedes phases. La valeur prise par l’observable f lorsque l’étatdu système est µ est une variable aléatoire dont la loi deprobabilité est la mesure image f∗µ.

En Mécanique quantique, on utilise encore les notionsd’état et d’observable, et lorsque le système est dans unétat donné, la valeur prise par l’observable est encore unevariable aléatoire. Mais sa loi de probabilité n’est plus lamesure image, par une fonction, définie sur un espace desphases, représentant l’observabe, d’une mesurereprésentant l’état du système.



En Mécanique quantique, à un système physique estassocié un espace de Hilbert complexe H.




Un état pur du système est un sous-espace vectoriel dedimension 1 de H; un représentant de cet état est unélément non nul Ψ de ce sous-espace vectoriel, qu’on peuttoujours choisir de norme 1.





Une observable est un opérateur auto-adjoint A, pasnécessairement borné, sur H.





Une observable est un opérateur auto-adjoint A, pasnécessairement borné, sur H.

Le théorème spectral permet d’associer à chaqueopérateur auto-adjoint A sur H une mesure à valeursprojections PA sur la tribu de Borel de R qui associe, àchaque partie borélienne E de R, un opérateur deprojection dans H noté PAE .



La probabilité pour que la mesure de l’observable A,lorsque le système est dans l’état pur représenté par levecteur unitaire Ψ de H, donne un résultat appartenant auborélien E de R, est

〈PAE (Ψ)

∣∣ Ψ〉,

où (Φ, Ψ) 7→ 〈Φ|Ψ〉 est la forme sesquilinéaire qui définit lastructure hilbertienne de H.



La probabilité pour que la mesure de l’observable A,lorsque le système est dans l’état pur représenté par levecteur unitaire Ψ de H, donne un résultat appartenant auborélien E de R, est

〈PAE (Ψ)

∣∣ Ψ〉,

où (Φ, Ψ) 7→ 〈Φ|Ψ〉 est la forme sesquilinéaire qui définit lastructure hilbertienne de H.L’évolution de l’état du système au cours du temps estdéterminée par la donnée d’un opérateur autoadjoint H, leHamiltonien du système.



Dans le schéma de Schrödinger, l’élément de H quireprésente l’état du système, noté Ψt, dépend du temps t,tandis que les observables qui représentent les diversespropriétés physiques du système sont indépendants dutemps. On a

Ψt = exp(−itH)Ψ0 ,



Dans le schéma de Schrödinger, l’élément de H quireprésente l’état du système, noté Ψt, dépend du temps t,tandis que les observables qui représentent les diversespropriétés physiques du système sont indépendants dutemps. On a

Ψt = exp(−itH)Ψ0 ,

et par suite t 7→ Ψt est solution de l’équation de Schrödingerabstraite

dΨtdt

= −iHΨt .



Dans le schéma de Heisenberg, l’état du système estreprésenté par un élément fixe Ψ0 de H, ne dépendant pasdu temps, tandis que les observables correspondant auxgrandeurs physiques du système dépendent du temps. SiA0 est l’opérateur autoadjoint représentant une grandeurphysique donnée à l’instant 0, l’opérateur qui représentecette même grandeur physique à l’instant t est

At = exp(−itH) ◦ A0 ◦ exp(itH) ,



Dans le schéma de Heisenberg, l’état du système estreprésenté par un élément fixe Ψ0 de H, ne dépendant pasdu temps, tandis que les observables correspondant auxgrandeurs physiques du système dépendent du temps. SiA0 est l’opérateur autoadjoint représentant une grandeurphysique donnée à l’instant 0, l’opérateur qui représentecette même grandeur physique à l’instant t est

At = exp(−itH) ◦ A0 ◦ exp(itH) ,

et t 7→ At est solution de l’équation différentielle

dAtdt

= −i[H,At] = −i(H ◦ At − At ◦ H) .


Quantification d’un système classiqueLa Mécanique quantique n’est pas une théorie physiqueautonome: elle s’appuie nécessairement sur la Mécaniqueet l’électromagnétisme classiques, car elle ne fait quefournir des prévisons sur des résultats de mesures. Orchaque mesure résulte d’une interaction du système étudiéavec un appareil de mesure, dont le comportement est régipar la Physique classique.


Quantification d’un système classiqueLa Mécanique quantique n’est pas une théorie physiqueautonome: elle s’appuie nécessairement sur la Mécaniqueet l’électromagnétisme classiques, car elle ne fait quefournir des prévisons sur des résultats de mesures. Orchaque mesure résulte d’une interaction du système étudiéavec un appareil de mesure, dont le comportement est régipar la Physique classique.

D’autre part, la description d’un système classique aumoyen de la Mécanique classique doit être une premièreapproximation d’une description plus fine de ce mêmesystème au moyen de la Mécanique quantique. Commentfaire, lorsqu’on connaît les équations qui régissentl’évolution d’un système dans le cadre de la Mécaniqueclassique, pour trouver les équations quantiquescorrespondantes? C’est le problème de la quantification.


Quantification d’un système classique (2)Rappelons l’équation qui, dans le schéma de Heisenberg,décrit l’évolution d’une observable quantique en fonction dutemps:

dAtdt

= −i[H,At] = −i(H ◦ At − At ◦ H) .



dAtdt

= −i[H,At] = −i(H ◦ At − At ◦ H) .

Cette équation ressemble beaucoup à celle qui régitl’évolution d’une observable classique, pour un systèmehamiltonien, que nous allons rappeler.



dAtdt

= −i[H,At] = −i(H ◦ At − At ◦ H) .

Cette équation ressemble beaucoup à celle qui régitl’évolution d’une observable classique, pour un systèmehamiltonien, que nous allons rappeler.

Soit (M,ω) une variété symplectique et E ∈ C∞(M, R) unefonction, le hamiltonien classique (dont la significationphysique est l’énergie du système). Soit XE le champ devecteurs hamiltonien associé à E, défini par

i(XE)ω = −dE .


Quantification d’un système classique (3)L’équation différentielle déterminée par XE, appeléeéquation de Hamilton, s’écrit

dϕ(t)

dt= XE

(ϕ(t)

),

ou, en coordonnées canoniques (x1, . . . , xn, p1, . . . , pn),

dxi

dt=

∂H

∂pi,

dpidt

= −∂H

∂xi, 1 ≤ i ≤ n .


Quantification d’un système classique (4)

Soit f ∈ C∞(M, R) une observable classique. Sit 7→ ϕ(t) =

(xi(t), pi(t)

)est une solution de l’équation de

Hamilton, on a

df(ϕ(t)

)

dt=

n∑

i=1

(∂f

∂xi∂E

∂pi−

∂f

∂pi

∂E

∂xi

) (ϕ(t)

).



Soit f ∈ C∞(M, R) une observable classique. Sit 7→ ϕ(t) =

(xi(t), pi(t)

)est une solution de l’équation de

Hamilton, on a

df(ϕ(t)

)

dt=

n∑

i=1

(∂f

∂xi∂E

∂pi−

∂f

∂pi

∂E

∂xi

) (ϕ(t)

).

Cela s’écrit aussi, en utilisant le crochet de Poisson,

df(ϕ(t)

)

dt= {E, f}

(ϕ(t)

).



On peut mettre cette dernière équation sous une formeencore plus voisine de celle de l’équation quantique enfaisant intervenir le flot réduit Φt du champ de vecteurs XE.On peut alors écrire

d(Φ∗t f)

dt= Φ∗t{E, f} = {E, Φ

∗

t f} ,

car Φ∗t E = E (l’énergie est une intégrale première de XE),et le tenseur de Poisson est aussi invariant par le flot Φt,



On peut mettre cette dernière équation sous une formeencore plus voisine de celle de l’équation quantique enfaisant intervenir le flot réduit Φt du champ de vecteurs XE.On peut alors écrire

d(Φ∗t f)

dt= Φ∗t{E, f} = {E, Φ

∗

t f} ,

car Φ∗t E = E (l’énergie est une intégrale première de XE),et le tenseur de Poisson est aussi invariant par le flot Φt,

à comparer à l’équation quantique

dAtdt

= −i[H,At] = −i(H ◦ At − At ◦ H) .


Quantification d’un système classique (6)Cette comparaison conduit à penser que la quantificationd’un système classique devrait permettre d’associer, à unsystème hamiltonien classique (M,ω,E), un espace deHilbert complexe H, et d’associer à chaque observableclassique f ∈ C∞(M, R), une observable quantique,c’est-à-dire un opérateur autoadjoint F sur H, de manièretelle que l’application f 7→ F soit un homomorphisme del’algèbre de Lie C∞(M, R) (munie du crochet de Poisson)dans une algèbre de Lie d’opérateurs autoadjoints sur H(avec, pour loi de composition, le produit du commutateurpar une constante imaginaire pure convenablement choisie.


Quantification d’un système classique (6)Cette comparaison conduit à penser que la quantificationd’un système classique devrait permettre d’associer, à unsystème hamiltonien classique (M,ω,E), un espace deHilbert complexe H, et d’associer à chaque observableclassique f ∈ C∞(M, R), une observable quantique,c’est-à-dire un opérateur autoadjoint F sur H, de manièretelle que l’application f 7→ F soit un homomorphisme del’algèbre de Lie C∞(M, R) (munie du crochet de Poisson)dans une algèbre de Lie d’opérateurs autoadjoints sur H(avec, pour loi de composition, le produit du commutateurpar une constante imaginaire pure convenablement choisie.En fait, la loi de composition de l’algèbre de Lie desobservables quantiques est (avec -h = h/(2π)):

(A,B) 7→ {A,B} =i

-h(A ◦ B − B ◦ A) .


La quantification canonique formelleLe procédé de quantification traditionnellement employé estla quantification canonique formelle. Il s’applique auxsystèmes hamiltoniens classiques de N particulesponctuelles, de masses mi, dont l’énergie potentielle V nedépend que des positions de ces particules. On notera xi

(avec 1 ≤ i ≤ n = 3N ) les coordonnées de ces particulesdans un repère cartésien orthonormé, et on posera

pi = midxi

dt,

mi désignant la masse de la particule i.


La quantification canonique formelleLe procédé de quantification traditionnellement employé estla quantification canonique formelle. Il s’applique auxsystèmes hamiltoniens classiques de N particulesponctuelles, de masses mi, dont l’énergie potentielle V nedépend que des positions de ces particules. On notera xi

(avec 1 ≤ i ≤ n = 3N ) les coordonnées de ces particulesdans un repère cartésien orthonormé, et on posera

pi = midxi

dt,

mi désignant la masse de la particule i. L’énergie dusystème est

E =1

2

n∑

i=1

p2imi

+ V (x1, . . . , xn) .


La quantification canonique formelle (2)

On prend pour espace de Hilbert H l’espace L2(Rn) des(classes de) fonctions de carré intégrable des n variablesx1, . . . , xn. On associe aux observables classiques xi et piles opérateurs

µxi , multiplication par la coordonnée xi ,

et

Pi =-hi

∂

∂xi.



L’énergie quantique, encore notée E comme l’énergieclassique, s’obtient en remplaçant dans celle-ci les pi parles opérateurs quantiques correspondants et enconsidérant V (x1, . . . , xn) comme opérateur demultiplication par V (x1, . . . , xn). On a donc, si Ψ ∈ L2(Rn)appartient au domaine de définition de l’opérateur E,

E(Ψ) = −-h2

2

n∑

j=1

1

mj

∂2Ψ

∂xi2

+ V Ψ .



L’énergie quantique, encore notée E comme l’énergieclassique, s’obtient en remplaçant dans celle-ci les pi parles opérateurs quantiques correspondants et enconsidérant V (x1, . . . , xn) comme opérateur demultiplication par V (x1, . . . , xn). On a donc, si Ψ ∈ L2(Rn)appartient au domaine de définition de l’opérateur E,

E(Ψ) = −-h2

2

n∑

j=1

1

mj

∂2Ψ

∂xi2

+ V Ψ .

Le hamiltonien quantique H est lié à l’énergie quantique Epar la relation très simple

E = -hH .


La quantification canonique formelle (4)Les applications de la quantification canonique formelle àdes systèmes physiques ont conduit à de nombreuxsuccès. Cependant, on peut se poser, à propos de ceprocédé, diverses questions. Par exemple:



Pourquoi employer des coordonnées cartésiennesorthonormées, plutôt que des coordonnéess curvilignesplus générales? Peut-on mettre le procédé de quantificationcanonique formelle sous une forme plus intrinsèque?



Pourquoi employer des coordonnées cartésiennesorthonormées, plutôt que des coordonnéess curvilignesplus générales? Peut-on mettre le procédé de quantificationcanonique formelle sous une forme plus intrinsèque?

Comment trouver l’expression de l’énergie quantique dansdes cas plus généraux, par exemple lorsque l’énergieclassique comporte des termes de la forme pi xi? Si l’ontransforme ces termes en remplaçant pi par l’opérateur Piet xi par l’opérateur de multiplication par xi, dans quel ordredoit-on placer ces deux opérateurs, qui ne commutent pas?


La quantification géométriqueLa théorie de la quantification géométrique (qui a étédéveloppée principalement par B. Kostant et J.-M. Souriau,pour des motivations autant mathématiques que physiques)tente de répondre à ces questions. On distingue en généraldeux étapes.


La quantification géométriqueLa théorie de la quantification géométrique (qui a étédéveloppée principalement par B. Kostant et J.-M. Souriau,pour des motivations autant mathématiques que physiques)tente de répondre à ces questions. On distingue en généraldeux étapes.Première étape: la préquantification. Cette étape permet,étant donné une variété symplectique (M,ω) vérifiantcertaines conditions, dite préquantifiable, d’associer àchaque fonction différentiable sur M un opérateur surl’espace des sections d’un certain espace fibré ayant pourbase M . Cette correspondance est un homomorphismed’algèbres de Lie.


La quantification géométriqueLa théorie de la quantification géométrique (qui a étédéveloppée principalement par B. Kostant et J.-M. Souriau,pour des motivations autant mathématiques que physiques)tente de répondre à ces questions. On distingue en généraldeux étapes.Première étape: la préquantification. Cette étape permet,étant donné une variété symplectique (M,ω) vérifiantcertaines conditions, dite préquantifiable, d’associer àchaque fonction différentiable sur M un opérateur surl’espace des sections d’un certain espace fibré ayant pourbase M . Cette correspondance est un homomorphismed’algèbres de Lie.Deuxième étape: la quantification. A partir de l’espace dessections de l’espace fibré précédent, on construit l’espacede Hilbert utilisé en Mécanique quantique.


La préquantificationSoit (M,ω) une variété symplectique. La préquantificationde cette variété est présentée, par B. Kostant etJ.-M. Souriau, de deux manières légèrement différentes,mais équivalentes.


La préquantificationSoit (M,ω) une variété symplectique. La préquantificationde cette variété est présentée, par B. Kostant etJ.-M. Souriau, de deux manières légèrement différentes,mais équivalentes.B. Kostant étudie l’existence d’un fibré en droitescomplexes π : L → M de base M , muni d’une structurehermitienne H : (u, v) 7→ H(u, v) = 〈u|v〉 et d’une connexionpour laquelle cette structure hermitienne est invariante,dont la courbure est égale à ω.


La préquantificationSoit (M,ω) une variété symplectique. La préquantificationde cette variété est présentée, par B. Kostant etJ.-M. Souriau, de deux manières légèrement différentes,mais équivalentes.B. Kostant étudie l’existence d’un fibré en droitescomplexes π : L → M de base M , muni d’une structurehermitienne H : (u, v) 7→ H(u, v) = 〈u|v〉 et d’une connexionpour laquelle cette structure hermitienne est invariante,dont la courbure est égale à ω.J.-M. Souriau étudie l’existence d’un fibré en cercles̟ : U → M , de base M , et d’une 1-forme de contact α sur Utelle que dα = ̟∗ω.


La préquantificationSoit (M,ω) une variété symplectique. La préquantificationde cette variété est présentée, par B. Kostant etJ.-M. Souriau, de deux manières légèrement différentes,mais équivalentes.B. Kostant étudie l’existence d’un fibré en droitescomplexes π : L → M de base M , muni d’une structurehermitienne H : (u, v) 7→ H(u, v) = 〈u|v〉 et d’une connexionpour laquelle cette structure hermitienne est invariante,dont la courbure est égale à ω.J.-M. Souriau étudie l’existence d’un fibré en cercles̟ : U → M , de base M , et d’une 1-forme de contact α sur Utelle que dα = ̟∗ω.Ces deux problèmes sont équivalents, le fibré en cercles Us’identifiant à l’ensemble des éléments u de L tels que〈u|u〉 = 1, et la forme de contact α à la forme de connexion.


La préquantification (2)

La forme de connexion est une 1-forme α, définie sur L∗ =complémentaire dans L de la section nulle, invariante parl’action de C∗ = C − {0} par multiplication, et vérifiant, pourtout isomorphisme σ de C∗ sur une fibre de L∗:

σ∗α =1

2πi

dz

z.



La forme de connexion est une 1-forme α, définie sur L∗ =complémentaire dans L de la section nulle, invariante parl’action de C∗ = C − {0} par multiplication, et vérifiant, pourtout isomorphisme σ de C∗ sur une fibre de L∗:

σ∗α =1

2πi

dz

z.

B. Kostant et J.-M. Souriau montrent que le problème qu’ilsétudient (existence d’un fibré en droites complexes, ou d’unfibré en cercles, vérifiant les propriétés indiquées) a unesolution si et seulement si la classe de cohomologie de laforme symplectique ω est entière (ce théorème est parfoisaussi attribué à A. Weil).


La préquantification (3)Lorsque c’est le cas, ils montrent que l’ensemble desclasses d’isomorphisme de fibrés solutions du problème estun espace homogène principal du groupe Π̂1(M) (groupedes caractères du groupe fondamental Π1(M)).


La préquantification (3)Lorsque c’est le cas, ils montrent que l’ensemble desclasses d’isomorphisme de fibrés solutions du problème estun espace homogène principal du groupe Π̂1(M) (groupedes caractères du groupe fondamental Π1(M)).

Une fois choisi un fibré en droites complexes π : L → Mayant les propriétés voulues, on peut associer, à chaquefonction f ∈ C∞(M, R), un opérateur δ(f) agissant surl’espace des sections différentiables de ce fibré, selon laformule

δ(f)s = ∇Xf s − 2πifs ,

où Xf est le champ de vecteurs hamiltonien sur M associéà f , et ∇ l’opérateur de dérivation covariante de laconnexion.



L’opérateur δ(f) peut aussi être considéré comme unchamp de vecteurs sur le fibré L∗ (ou, dans le formalismede J.-M. Souriau, sur le fibré en cercles U ), projetable surM et ayant Xf pour projection. Dans le formalisme deSouriau, c’est le champ hamiltonien associé à ̟∗f sur lavariété de contact (U, α).



L’opérateur δ(f) peut aussi être considéré comme unchamp de vecteurs sur le fibré L∗ (ou, dans le formalismede J.-M. Souriau, sur le fibré en cercles U ), projetable surM et ayant Xf pour projection. Dans le formalisme deSouriau, c’est le champ hamiltonien associé à ̟∗f sur lavariété de contact (U, α).

L’application δ : f 7→ δ(f) est un homomorphisme del’algèbre de Lie C∞(M, R) (munie du crochet de Poisson)dans une algèbre de Lie d’opérateurs sur l’espace dessections différentiables de L, avec le commutateur pour loide composition:

δ({f, g}

)= δ(f) ◦ δ(g) − δ(g) ◦ δ(f) .


La préquantification (5)On peut munir l’espace des sections différentiables et àsupport compact du fibré L d’une structure préhilbertienne,et considérer l’espace de Hilbert obtenu en le complétant.


La préquantification (5)On peut munir l’espace des sections différentiables et àsupport compact du fibré L d’une structure préhilbertienne,et considérer l’espace de Hilbert obtenu en le complétant.En prolongeant (lorsque c’est possible) les opérateurs δ(f)en opérateurs anti-adjoints sur cet espace de Hilbert, et enmultipliant les opérateurs obtenus par une constanteimaginaire pure (pour transformer les opérateursanti-adjoints en opérateurs autoadjoints), on obtient unhomomorphisme d’une sous-algèbre de Lie de C∞(M, R)dans une algèbre de Lie d’opérateurs autoadjoints sur unespace de Hilbert.


La préquantification (5)On peut munir l’espace des sections différentiables et àsupport compact du fibré L d’une structure préhilbertienne,et considérer l’espace de Hilbert obtenu en le complétant.En prolongeant (lorsque c’est possible) les opérateurs δ(f)en opérateurs anti-adjoints sur cet espace de Hilbert, et enmultipliant les opérateurs obtenus par une constanteimaginaire pure (pour transformer les opérateursanti-adjoints en opérateurs autoadjoints), on obtient unhomomorphisme d’une sous-algèbre de Lie de C∞(M, R)dans une algèbre de Lie d’opérateurs autoadjoints sur unespace de Hilbert.Appliquée à la variété des mouvements de certainssystèmes hamiltoniens, la préquantification explique, parexemple, le caractère discret de l’ensemble des valeurs del’énergie pour des systèmes tels que l’atome d’hydrogène.



Pourtant, la préquantification n’est qu’une première étape.Appliquée à la variété symplectique R2n (coordonnéesx1, . . . , xn, p1, . . . , pn), munie de la forme symplectiqueusuelle

∑nj=1 dpj ∧ dx

j, la préquantification conduit à utiliserL2(R2n) comme espace de Hilbert, et à associer

– à xj l’opérateur i-h∂

∂pj+ xj,

– à pj l’opérateur −i-h∂

∂xj.



Pourtant, la préquantification n’est qu’une première étape.Appliquée à la variété symplectique R2n (coordonnéesx1, . . . , xn, p1, . . . , pn), munie de la forme symplectiqueusuelle

∑nj=1 dpj ∧ dx

j, la préquantification conduit à utiliserL2(R2n) comme espace de Hilbert, et à associer

– à xj l’opérateur i-h∂

∂pj+ xj,

– à pj l’opérateur −i-h∂

∂xj.

Cela ne correspond pas à ce que donne la quantificationcanonique formelle, dans laquelle l’espace de Hilbert estL2(Rn). La représentation obtenue au moyen de lapréquantification n’est pas irréductible.


La quantificationLa seconde étape a pour but de construire, à partir du fibrépréquantique et de l’homomorphisme d’algèbres de Lief 7→ δ(f), un sous-espace de l’espace des sections du fibréL permettant d’obtenir une représentation irréductible d’unesous-algèbre de l’algèbre de Lie C∞(M, R).


La quantificationLa seconde étape a pour but de construire, à partir du fibrépréquantique et de l’homomorphisme d’algèbres de Lief 7→ δ(f), un sous-espace de l’espace des sections du fibréL permettant d’obtenir une représentation irréductible d’unesous-algèbre de l’algèbre de Lie C∞(M, R).

On utilise pour cela une polarisation de la variétésymplectique (M,ω), c’est-à-dire un feuilletage de M dontles feuilles sont des sous-variétés lagrangiennes. Dans lescas les plus favorables, les feuilles de cette polarisationsont simplement connexes, leur ensemble est une variétédifférentiable N et la projection de M sur N est unesubmersion. On ne considère plus que les sections de Lqui sont covariantes constantes le long des feuilles de lapolarisation, et on montre qu’elles s’identifient aux sectionsd’un fibré réduit, de base N .


La quantification (2)Si une fonction f ∈ C∞(M, R) est telle que δ(f), considérécomme champ de vecteurs sur L∗, laisse, par son flot, lapolarisation invariante, on peut considérer δ(f) commeopérant sur l’espace des sections du fibré réduit de base N .


La quantification (2)Si une fonction f ∈ C∞(M, R) est telle que δ(f), considérécomme champ de vecteurs sur L∗, laisse, par son flot, lapolarisation invariante, on peut considérer δ(f) commeopérant sur l’espace des sections du fibré réduit de base N .En utilisant des demi-densités, on peut construire, à partirde l’espace des sections différentiables à support compactdu fibré réduit de base N , un espace préhilbertien. Encomplétant cet espace on obtient une représentation d’unesous-algèbre de l’algèbre de Lie C∞(M, R) dans cet espacede Hilbert. Il reste à s’assurer que cette représentation estirréductible.


La quantification (2)Si une fonction f ∈ C∞(M, R) est telle que δ(f), considérécomme champ de vecteurs sur L∗, laisse, par son flot, lapolarisation invariante, on peut considérer δ(f) commeopérant sur l’espace des sections du fibré réduit de base N .En utilisant des demi-densités, on peut construire, à partirde l’espace des sections différentiables à support compactdu fibré réduit de base N , un espace préhilbertien. Encomplétant cet espace on obtient une représentation d’unesous-algèbre de l’algèbre de Lie C∞(M, R) dans cet espacede Hilbert. Il reste à s’assurer que cette représentation estirréductible.Appliquée à R2n avec la polarisation verticale, cetteméthode permet de retrouver les formules données par laquantification canonique formelle pour les opérateurscorrespondant aux xj et pj.


La quantification (3)

Malheureusement, les fonctions f telles que δ(f) soitcompatible avec la polarisation verticale sont lespolynômes de degré au plus 1 en les pj, à coefficientsfonctions de x1, . . . , xn. La plupart des hamiltoniens usuelssont quadratiques en les pj, donc ne peuvent pas êtrequantifiés par ce procédé!


La quantification (3)

Malheureusement, les fonctions f telles que δ(f) soitcompatible avec la polarisation verticale sont lespolynômes de degré au plus 1 en les pj, à coefficientsfonctions de x1, . . . , xn. La plupart des hamiltoniens usuelssont quadratiques en les pj, donc ne peuvent pas êtrequantifiés par ce procédé!On est donc conduit à transporter la polarisation au moyendu flot des champs de vecteurs δ(f). Ce qui conduit àdevoir définir des isomorphismes entre les espaces deHilbert construits avec deux polarisations différentes. Ondoit encore remplacer les demi-densités par desdemi-formes, afin de gérer les singularités qui apparaissentlorsque les deux polarisations considérées ne sont pastransverses . . .


RéférencesS. Bates and A. Weinstein, Lectures on Geometric Quantization,Berkeley Mathematics Lecture Notes 8, Amer. Math. Soc.,Providence, 1997.R. J. Blattner, Quantization and Representation Theory, inHarmonic Analysis on Homogeneous Spaces, Proceedings ofSymposia in Pure Mathematics 26, American MathematicalSociety, Providence, 1973.P. A. M. Dirac, Lectures on Quantum Mechanics, Belfer graduateSchool of Science, Yeshiva University, New York, 1964.W. Heisenberg, The Physical Principles of the Quantum Theory,Dover, New York 1949 (first published by the University ofChicago Press, 1930).B. Kostant, Quantization and Unitary Representations, part 1,Prequantization, Lecture Notes in Mathematics 170 (1970),87–208.


Références (2)

L. Landau et E. Lifchitz, Mécanique quantique, Éditions Mir,Moscou, 1967.G. W. Mackey, The Mathematical Foundations of QuantumMechanics, W. A. Benjamin, Inc., New York, 1963.D. J. Simms and N. M. J. Woodhouse, Lectures on GeometricQuantization, Lecture Notes in Physics 53, Springer, Berlin1976.J.-M. Souriau, Structure des systèmes dynamiques, Dunod, Paris,1970.N. Woodhouse, Geometric Quantization, Clarendon Press,Oxford, 1980.


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