de kettinglijn en gelijkvormige grafieken...de factor kennen we nog niet en noemen we =. figuur 6...
TRANSCRIPT
Spinnenweb
8 | Uitwiskeling winter 2017
De kettinglijn en gelijkvormige grafieken
Michel Roelens
In het zesde jaar (6 uur wiskunde) wou ik mijn
leerlingen, als toepassing op exponentiële func-
ties, kennis laten maken met de kettinglijn. Ons
handboek (Deloddere e.a., 2014) besteedt hier
een paragraafje aan, maar ik startte los van het
boek. Precies dankzij de start los van het boek,
ontdekten wij een fout in het handboek en
daardoor zullen mijn leerlingen niet gauw verge-
ten hoe het zit met gelijkvormige grafieken.
Hieronder vertel ik in de paragrafen 1 en 2 wat in
de les aan bod kwam. In paragraaf 3 ga ik in op de
kettinglijn als oplossing van een differentiaal-
vergelijking. Dit laatste is in de les niet ter sprake
gekomen want op dat moment (in oktober) had-
den de leerlingen nog geen kennis van integralen.
1. De cosinushyperbolicus-grafiek aanpassen aan een echte ketting
De gouden ketting die ik ooit van mijn grootmoe-
der gekregen heb en die nog altijd rond mijn nek
hangt, kan goed dienstdoen als didactisch mate-
riaal. Ik hou die ketting in twee punten vast en
laat die voor het witte projectiescherm hangen. Ik
vraag aan de leerlingen welke vorm ze herken-
nen. Op een enkeling na die vooraf in het
handboek heeft gekeken, zijn ze unaniem: dit is
duidelijk een parabool! We nemen de proef op de
som. Met GeoGebra laat ik de grafiek van een
parabool op het scherm komen. Ik vraag een
Spinnenweb
Uitwiskeling winter 2017 | 9
leerling om mijn ketting in twee punten vast te
houden en ze te laten samenvallen met (een stuk
van) deze parabool. Dit lukt slechts bij benade-
ring: de parabool is ‘iets meer V’ en de ketting is
‘iets meer U’ (figuur 1).
Figuur 1 Parabool en ketting. De foto is nadien gemaakt
met mijn computerscherm in plaats van het projectie-
scherm.
De kettinglijn (Engels: catenary) is een andere
kromme dan de parabool. Ik leg uit wanneer je
een kettinglijn krijgt en wanneer een parabool:
Als je in het zwaartekrachtveld een touw of
ketting laat hangen waarbij even lange stuk-
jes, gemeten langs de ketting zelf, even zwaar
zijn, dan neemt die de vorm aan van een
kettinglijn. Dit is het geval bij mijn gouden
ketting.
Als je in het zwaartekrachtveld een touw of
ketting laat hangen waarbij stukjes met even
lange horizontale projecties, even zwaar zijn,
dan neemt die de vorm aan van een parabool.
Dit is het geval bij een hangbrug (figuur 2).
Het gewicht van de kabel zelf is te verwaar-
lozen ten opzichte van het gewicht van het
wegdek dat eraan hangt. Het wegdek is op ge-
lijke horizontale afstanden opgehangen aan
de kabel en elk even lang horizontaal stuk
van het wegdek is even zwaar.
Terwijl ik het vertel, neem ik mij voor om tegen
een volgende keer twee touwtjes klaar te maken,
één met gelijke gewichtjes (parels) op gelijke
horizontale afstanden en één met gelijke gewicht-
jes op gelijke afstanden langs het touw gemeten
(figuur 3).
Figuur 2 Parabool fysisch bekeken (bron: Ghione
(2009), p. 15)
Figuur 3 Kettinglijn versus parabool
De vorm van een kettinglijn is die van de grafiek
van de cosinushyperbolicusfunctie
= cosh =+
2.
Ik vertel er ook bij dat dit bewezen kan worden
steunend op de zwaartekracht, maar dat dit leidt
tot een differentiaalvergelijking die zij zonder
integralen nog niet kunnen oplossen (zie tweede
deel van dit artikel).
We tekenen deze grafiek met GeoGebra (in een
orthonormaal assenstelsel) en stellen inderdaad
vast dat we er de ketting mooi mee kunnen laten
samenvallen (figuur 4).
Figuur 4 de kettinglijn sluit perfect aan bij de hangende
ketting
Spinnenweb
10 | Uitwiskeling winter 2017
We vragen ons af: hoe kunnen we de functie zo
aanpassen dat de grafiek een gegeven hangende
ketting beschrijft. Een leerling mag beslissen
welke coördinaten de top moet hebben en welk
ander punt ook op de kettinglijn moet liggen.
Deze leerling is vriendelijk: hij kiest de top op de
-as: het punt (0, 2). Als tweede punt kiest hij
(3, 4).
Figuur 5 Twee gegeven punten waardoor een kettinglijn
moet gaan
De basisgrafiek = cosh moeten we nog ver-
groten. Met een schets op het bord stuur ik in de
richting van een homothetie met centrum (0, 0).
De factor kennen we nog niet en noemen we .
Figuur 6 Grafiek vergroten
Een punt ( , ) ligt op de vergrote grafiek als en
slechts als het punt , op de basisgrafiek ligt
(zie figuur 6). Het nieuwe voorschrift is dus
= cosh
of nog = cosh .
Als ik dit voorschrift intyp in GeoGebra, ontstaat
een schuifbalk voor de parameter (de vergro-
tingsfactor). Maar we moeten de grafiek nog
verticaal verschuiven want geen enkele van deze
grafieken gaat door beide punten en . We
voegen dus nog een term toe:
= cosh + .
Er komt een tweede schuifbalk bij. Door te
‘mikken’ met beide schuifbalken krijgen we de
kromme door de gewenste punten (figuur 7).
Figuur 7 Goed gemikt
Dit moet systematischer kunnen. Mijn leerlingen
vinden dit ‘mikken’ geen echte wiskunde. Zij dic-
teren mij de twee voorwaarden:
door het punt (0, 2), dus 2 = + ;
door het punt (3, 4) dus 4 = cosh + .
In de tweede gelijkheid kunnen we = 2
invullen. Blijft op te lossen uit de vergelijking
4 = cosh3
+ 2 .
Dit is een vergelijking waarvan de onbekende
zowel ‘binnen’ als ‘buiten’ de functie cosh voor-
komt. Een dergelijke ‘transcendente vergelijking’
kan alleen numeriek worden opgelost. Met de
grafische rekenmachine of GeoGebra kunnen we
het nulpunt bepalen van de functie
cosh3
2.
Spinnenweb
Uitwiskeling winter 2017 | 11
We vinden 2,527 en dus 0,527. Dit
klopt met de (ruwere) benadering van het
‘mikken’ met de schuifbalken.
Als de leerling de top van de ketting niet op de -
as had geplaatst, was er ook nog een horizontale
verschuiving nodig geweest. De vergelijking van
de kettinglijn zou van de vorm
= cosh +
zijn. Het zou geen extra problemen opleveren:
is de -coördinaat van de top en de rest verloopt
zoals hierboven.
2. In het handboek
We nemen er het handboek bij. De leerlingen
lezen hoe in de architectuur de kettinglijnen ook
ondersteboven worden gebruikt, als stabiele
bogen waarbij de drukkrachten in de richting van
de kromme zelf werken. Eén van de leerlingen
heeft in dit verband in Barcelona de hangende
touwtjes van Gaudì in de spiegel gezien (figuur 8).
Figuur 8 Hangende kettingen bekeken in een spiegel,
Barcelona, Casa Mila
Onder de uitleg over architectuur staat een oefe-
ning, helemaal analoog aan wat we zopas gedaan
hebben. Een dikke ketting opgehangen aan twee
even hoge paaltjes moet worden gemodelleerd.
De paaltjes zijn 0,5 m hoog en staan 2 m van el-
kaar. Het laagste punt hangt 0,2 m boven de
grond. De leerlingen moeten de ketting beschrij-
ven met een functie van de vorm
= cosh .
Het assenstelsel is getekend op de foto: de -as op
de grond en de -as in het midden tussen de
paaltjes. De oplossing achteraan in het boek, =
0,2 en = 0,638, is eenvoudig te vinden. Er is
helemaal geen transcendente vergelijking voor
nodig. Verdacht...
Ik vertel aan de leerlingen dat dit volgens mij fout
is. Wij hebben daarnet een homothetie toegepast,
en dus in de - en in de -richting met eenzelfde
factor vergroot. In het handboek vergroten ze
met factor in de -richting en met factor in de
-richting. Als , bewaart deze transformatie
de vorm niet! Als het waar is dat een kettinglijn
de vorm van de cosinushyperbolicusgrafiek moet
hebben, is dit geen kettinglijn meer!
Die avond heb ik meteen een e-mailbericht ge-
stuurd naar bevriende auteurs van het handboek:
is het mogelijk dat er een foutje in staat? Na het
weekend kon ik aan de leerlingen aankondigen
dat in de volgende druk van het boek de formule
= cosh vervangen zal zijn door ‘onze’ for-
mule = cosh + , een homothetie gevolgd
door een verschuiving, en niet een combinatie
van een horizontale vermenigvuldiging en een
(andere) verticale vermenigvuldiging. In figuur 9
zie je het verschil tussen de oplossing van het
boek en de echte kettinglijn voor hetzelfde
vraagstuk.
Figuur 9 De kettinglijn in volle lijn; de oplossing van het handboek in stippellijn
Spinnenweb
12 | Uitwiskeling winter 2017
Vreemd genoeg: om een parabool gelijkvormig te
vergroten (of te verkleinen), is enkel een verticale
vermenigvuldiging of enkel een horizontale ver-
menigvuldiging wél voldoende. Het beeld van de
parabool = door de homothetie met cen-
trum (0, 0) en factor is, geheel analoog met wat
we met de kettinglijn deden (zie figuur 6):
= =1
= .
Dus: vergroten (of verkleinen) met factor kan
ook door verticaal te vermenigvuldigen met fac-
tor , ofwel door horizontaal te vermenigvuldigen
met factor . Alle parabolen zijn gelijkvormig!
Door de exponent 2 door een ander getal te
vervangen kunnen we overigens hetzelfde
zeggen van elke machtsfunctie. Er geldt:
= = .
Dus: om = te vergroten met factor volstaat
ofwel een verticale vermenigvuldiging met factor ofwel een horizontale vermenigvuldiging
met factor .
Een sinusgrafiek bewaart zijn vorm niet als je overgaat van = sin naar = sin , maar
daar heeft de vorm meestal geen belang. Bij het
modelleren van bv. getijden, komt de tijd op de
horizontale as en de hoogte op de verticale as,
waardoor het geen zin heeft om gelijke eenheden
op de assen te nemen...
3. Parabool versus kettinglijn vanuit een differentiaal-vergelijking.
Er bestaan verschillende versies van de afleiding
van de formule voor de kettinglijn. Ik baseer mij
vooral op Steur (1980), waarbij geen gebruik
wordt gemaakt van infinitesimale stukjes ketting.
Ik vond deze redenering het gemakkelijkst te
volgen, al blijft dit natuurlijk een paragraafje
‘voor gevorderden’.
Bij een ketting in evenwicht kun je vaststellen dat
de vorm ‘stabiel’ is: wanneer je twee punten van
de hangende ketting vasthoudt (op de plaats
waar ze zijn), dan blijft het stuk ketting tussen
deze punten op zijn plaats hangen. Een stuk van
een grotere ketting gedraagt zich dus als een
aparte ketting.
We beschouwen een ketting die vastgemaakt is in
twee punten en in evenwicht hangt in het zwaar-
tekrachtveld. Het assenstelsel kiezen we zo dat de
top de oorsprong is. We zijn op zoek naar de
functie waarvan deze ketting de grafiek is. We
beschouwen een stuk van deze ketting, boven het
interval [0, ], waarbij variabel is (zie figuur
10). De eindpunten van dit stuk zijn de top (0, 0)
en punt ( , ). Ons stuk wordt op zijn plaats ge-
houden door drie krachten: het gewicht ( ), de
trekkracht in en de trekkracht ( ) in A. De
krachten en ( ) trekken rakend aan de
kromme. is horizontaal en onafhankelijk van .
Dit heeft te maken met de evenwichtsvorm die we
zoeken: de horizontale trekkracht verandert niet
als we een groter of kleiner stuk ketting beschou-
wen, anders zou de kromme ‘zich aanpassen’
wanneer verandert. De kracht ( ) hangt
natuurlijk wel af van want een groter stuk
ketting weegt zwaarder en moet harder omhoog-
gehouden worden...
We ontbinden ( ) in een horizontale compo-
nent ( ) en een verticale component ( ).
Omdat de ketting in evenwicht hangt, is de som
van de krachten nul. Dit geeft voor de groottes van
de krachten:
( ) =
( ) = ( )
Nu moeten we een verband leggen met de functie waarvan deze kromme de grafiek is. Omdat
( ) raakt aan de kromme, geldt
( ) =( )
( )=
( ). (1)
Vanaf hier maken we het onderscheid tussen het
geval waarbij het gewicht evenredig is met de
lengte van de horizontale projectie (zoals bij de
hangbrug) en het geval waarbij het gewicht
evenredig is met de lengte gemeten langs de
ketting (zoals bij mijn gouden ketting). Zoals
aangekondigd zullen we in het eerste geval een
parabool uitkomen en in het tweede geval een
cosinushyperbolicus-grafiek.
Spinnenweb
Uitwiskeling winter 2017 | 13
Eerste geval: het gewicht is evenredig met de horizontale lengte
In dit geval is
( ) =
met een constant getal.
We hebben
( ) = .
Merk op dat constant is. Door te integreren
vinden we
( ) =2
+ .
Door (0, 0) in te vullen, vinden we de parabool
=2
.
Tweede geval: het gewicht is evenredig met de lengte langs de kromme
In dit geval is
( ) = 1 + ( )
met een constante. Invullen in (1) geeft
( ) = 1 + ( ) .
We leiden af om de integraal weg te werken:
( ) = 1 + ( ) .
Stel ( ) = ( ). Dan hebben we
( ) = 1 + ( ) .
We lossen deze differentiaalvergelijking op met
de methode ‘scheiding der veranderlijken’:
d ( )
1 + ( )
= d .
Voor het linkerlid gebruiken we de formule
= ln | + 1 + | + die in veel hand-
boeken wordt vermeld (maar die ikzelf niet van
buiten ken):
ln ( ) + 1 + ( ) = + (2)
De constante zullen we later bepalen. Eerst
merken we op dat ln + 1 + gelijk aan
argsinh , waarbij argsinh de inverse functie is
van de sinushyperbolicusfunctie.
Figuur 10
Spinnenweb
14 | Uitwiskeling winter 2017
Immers:
ln + 1 + =
+ 1 + =
1 + =
1 + = 2 +
=1
2
=2
= sinh .
We passen dit toe op (2):
( ) = sinh + .
We mogen niet vergeten dat ( ) = ( ):
( ) = sinh + .
Integreren geeft
( ) = cosh + + .
Omdat een even functie moet zijn, is gelijk aan
0. Door de top (0, 0) in te vullen krijgen we =
. De oplossing is dus
( ) = cosh .
Stel = en je herkent ‘onze’ vergrote of ver-
kleinde cosinushyperbolicus-grafiek met als top
de oorsprong:
( ) = cosh .
Bronnen
Deloddere, N. e.a. (2014). Delta Nova 6 Analyse deel 1 6/8 lesuren. Mechelen: Plantyn.
Ghione, F. (2009). Una non-parabola: la catenaria con qualche cenno al calcolo della sua equazione,
http://crf.uniroma2.it/quaderni/catenaria/Catenaria.pdf
Steur, H. (1980). Levende wiskunde. Toepassingen geordend naar wiskundig onderwerp. Culemborg:
Educaboek.