data envelopment analysis (dea) dan terapannya ( …eprints.undip.ac.id/10551/1/bab_i-ii.pdf ·...
TRANSCRIPT
DATA ENVELOPMENT ANALYSIS (DEA) DAN TERAPANNYA
( Studi Kasus Pada Bank Perkreditan Rakyat (BPR)
di Kota Semarang Tahun 2009 )
SKRIPSI
Disusun Oleh :
Nama : Hendi Septianto
NIM : J2E 003 240
PROGRAM STUDI STATISTIKA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS DIPONEGORO
SEMARANG
2009
DATA ENVELOPMENT ANALYSIS (DEA) DAN TERAPANNYA
( Studi Kasus Pada Bank Perkreditan Rakyat (BPR)
di Kota Semarang Tahun 2009 )
Disusun Oleh :
Nama : Hendi Septianto
NIM : J2E 003 240
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program
Studi Statistika
PROGRAM STUDI STATISTIKA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS DIPONEGORO
SEMARANG
2009
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 LATAR BELAKANG
Sektor keuangan, terutama industri perbankan, berperan sangat penting bagi
aktivitas perekonomian. Bank merupakan lembaga keuangan terpenting dan sangat
mempengaruhi perekonomian suatu bangsa baik secara mikro maupun makro. Peran
strategis bank tersebut sebagai wahana yang mampu menghimpun dan menyalurkan
dana masyarakat secara efektif dan efisien kearah peningkatan taraf hidup rakyat. Di
Indonesia, perbankan mempunyai pangsa pasar sebesar 80 persen dari keseluruhan
sistem keuangan yang ada.
Krisis ekonomi dan keuangan yang melanda Amerika Serikat berdampak pada
perekonomian negara-negara ASEAN, tak terkecuali Indonesia. Kondisi bank-bank di
Indonesia semakin memprihatinkan dengan adanya krisis ekonomi global tersebut.
Hal ini terbukti dengan dilikuidasinya Bank IFI pada tanggal 17 April 2009
(Purnomo,2009). Bank Perkreditan Rakyat Tripanca Setiadana juga terlikuidasi pada
24 maret 2009 (Qomariyah,2009). Kemudian ada juga Bank Century yang hampir
dilikudasi tetapi akhirnya dapat membaik setelah diambil alih oleh pemerintah
(Purnomo,2009). Kondisi sektor real yang sangat lemah, proporsi kredit bermasalah
yang semakin besar, dan likuiditas yang semakin rendah menyebabkan kondisi bank
yang makin sulit untuk meneruskan kegiatan usahanya.
Bank khususnya Bank Perkreditan Rakyat (BPR) dituntut untuk dapat
bertahan menghadapi krisis ekonomi global yang terjadi saat ini karena BPR berperan
penting dalam memberikan pembiayaan pada sektor UMKM (Usaha Mikro, Kecil
dan Menengah) di seluruh daerah. BPR memiliki prosedur pelayanan yang sederhana,
proses yang cepat dan skema kredit yang lebih mudah disesuaikan serta lokasi
tersebar di seluruh daerah baik perkotaan maupun pedesaan dibandingkan dengan
bank umum. Bank umum juga berperan dalam memberikan pembiayaan tetapi
dengan bentuk kredit yang baku (tidak dapat disesuaikan) serta lokasinya yang hanya
ada di perkotaan. Mengingat begitu besarnya peranan Bank Perkreditan Rakyat
(BPR), para pengambil keputusan (manajer) perlu melakukan evaluasi kinerja bank
yang memadai.
Untuk mengukur kinerja bank diperlukan suatu teknik perhitungan yang dapat
mengetahui seluruh produktifitas suatu bank. Teknik tersebut disebut juga sebagai
metode analisis efisiensi. Metode analisis efisiensi terbagi menjadi dua pendekatan
yaitu pendekatan parametrik dan pendekatan non parametrik. Pendekatan parametrik
diantaranya Stochastic Frontier Approach dan Distribution Free Approach
(Hussein,2006). Pendekatan non parametrik diantaranya Data Envelopment Analysis
dan Free Disposable Hull (Hussein,2007). Dengan adanya metode analisis efisiensi
maka dapat mengetahui bank-bank mana yang telah efisien dalam hal penggunaan
input dan pengeluaran output. Metode analisis efisiensi yang paling banyak dipakai
adalah metode Data Envelopment Analysis (DEA) karena pendekatan DEA tidak
membutuhkan banyak informasi sehingga lebih sedikit data yang dibutuhkan dan
lebih sedikit asumsi yang diperlukan.
Data Envelopment Analysis (DEA) dikembangkan sebagai model dalam
pengukuran tingkat kinerja atau produktifitas dari sekelompok unit organisasi.
Pengukuran dilakukan untuk mengetahui kemungkinan-kemungkinan penggunaan
sumber daya yang dapat dilakukan untuk menghasilkan output yang optimal.
Produktifitas yang dievaluasi dimaksudkan adalah sejumlah penghematan yang dapat
dilakukan pada faktor sumber daya (input) tanpa harus mengurangi jumlah output
yang dihasilkan, atau dari sisi lain peningkatan output yang mungkin dihasilkan tanpa
perlu dilakukan penambahan sumber daya.
Pengukuran efisiensi secara DEA dilakukan dengan mengidentifikasi unit-unit
yang digunakan sebagai referensi yang dapat membantu untuk mencari penyebab dan
jalan keluar dari ketidakefisienan.
1.2 PERMASALAHAN
Berdasarkan argumen di atas yang menjadi permasalahan dalam tugas akhir
ini yaitu :
1. Bagaimana prosedur penerapan metode Data Envelopment Analysis (DEA).
2. Bagaimana mengukur tingkat efisiensi pada Bank Perkreditan Rakyat (BPR)
di kota Semarang tahun 2009 dengan Metode Data Envelopment Analysis
(DEA).
1.3 PEMBATASAN MASALAH
Penggunaan Metode Data Envelopment Analysis (DEA) sangatlah luas. Oleh
karena itu dalam tugas akhir ini dibatasi pada penggunaan Metode Data Envelopment
Analysis (DEA) Constant Return to Scale (CRS) khususnya mengukur tingkat
efisiensi pada Bank Perkreditan Rakyat (BPR) di kota Semarang tahun 2009.
1.4 TUJUAN PENULISAN
Tujuan penulisan dalam tugas akhir ini adalah :
1. Mengkaji tentang Metode Data Envelopment Analysis (DEA).
2. Menerapkan Metode Data Envelopment Analysis (DEA) pada Bank
Perkreditan Rakyat (BPR) di kota Semarang tahun 2009.
1.5 SISTEMATIKA PENULISAN
Sistematika penulisan pada Tugas Akhir dengan judul “Data Envelopment
Analysis (DEA) dan Studi Kasus Pada Bank Perkreditan Rakyat (BPR)” yaitu :
BAB I Pendahuluan, bab ini membahas mengenai latar belakang masalah,
permasalahan, pembatasan masalah, tujuan, dan sistematika penulisan. BAB
II Teori Penunjang, bab ini membahas mengenai konsep aljabar matrik yang berisi
tentang matrik, vektor dan operasi elementer matrik. Kemudian juga membahas
konsep riset operasi yang berisi tentang pengertian riset operasi, model riset operasi
dan langkah-langkah riset operasi dan juga membahas bahas konsep program linear
dan pemecahan masalah program linear dengan metode grafik, metode simpleks dan
metode Big M . BAB III Data Envelopment Analysis (DEA), bab ini membahas
mengenai teori tentang Data Envelopment Analysis (DEA), model DEA Constant
Return to Scale (CRS) dan aplikasinya dengan studi kasus pada Bank Perkreditan
Rakyat (BPR) di Kota Semarang pada Tahun 2009. BAB IV Kesimpulan, bab ini
membahas mengenai kesimpulan yang dapat diambil berdasarkan bab-bab
sebelumnya.
BAB II
TEORI PENUNJANG
2.1 Konsep Aljabar Matrik
2.1.1. Vektor
Definisi 1
Vektor adalah bilangan riil yang dapat disusun dalam bentuk kolom atau
baris. Vektor dapat dinyatakan secara geometris sebagai segmen–segmen garis
terarah. Vektor mempunyai panjang dan arah. Vektor dinotasikan dengan huruf kecil
bergaris bawah.
),,,( 21~
pxxxx
px
x
x
x2
1
~
Definisi 2
Suatu vektor U dikatakan kombinasi linier dari vektor ),,,( 21~
mxxxx bila
terdapat skalar miRai ,2,1, sedemikian sehingga mm xaxaxa 2211U .
2.1.2. Matriks
Matriks didefinisikan sebagai suatu himpunan angka, variabel atau parameter
dalam bentuk suatu persegi panjang, yang tersusun didalam baris dan kolom. Pada
umumnya matriks dinotasikan dalam huruf besar, sedangkan elemen-elemennya
dalam huruf kecil. Matrik berukuran km ditulis dengan huruf tebal adalah daftar
bilangan dengan m baris dan k kolom. Ukuran suatu matrik dapat dilihat di bawah
huruf yang merupakan simbol dari matriknya. Matrik A berukuran km ditulis
mxkA .
Sembarang matrik mxkA ditulis mxkA =
mkm2m1
2k2221
1k1211
aaa
aaa
aaa
atau dengan lebih singkat mxkA = {aij}; i menyatakan indek baris dan j menyatakan
indek kolom dengan i = (1,2,...,m) dan j = (1,2,...,k). aij menyatakan elemen baris ke-i
dan kolom ke-j dari matrik A.
Matrik 1m merupakan vektor kolom ukuran m dan matrik k1 merupakan
vektor baris ukuran k yang dinotasikan dengan huruf kecil yang dicetak tebal
(Pudjiastuti, 2006).
2.1.3. Operasi Elementer Matriks
1. Penjumlahan atau Pengurangan Matriks
Dua buah matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan “jika dan hanya jika”
kedua matriks tersebut berordo sama. Pada proses penjumlahan atau pengurangan ini
yang dijumlahkan atau dikurangkan adalah elemen-elemen dari matriks yang
bersesuaian (seletak) (Pudjiastuti, 2006).
Contoh :
A B C
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
333231
232221
131211
bbb
bbb
bbb
=
333231
232221
131211
ccc
ccc
ccc
Jadi nilai dari elemen-elemen matriks C merupakan penjumlahan atau pengurangan
dari elemen-elemen pada matriks A dan B yang bersesuaian sebagai berikut :
c11 = a11 b11 c12 = a12 b12 c13 = a13 b13
c21 = a21 b21 c22 = a22 b22 c23 = a23 b23
c31 = a31 b31 c32 = a32 b32 c33 = a33 b33
Sifat-sifat penjumlahan matriks :
Komutatif : A +B = B+ A
Asosiatif : A + B + C = A + (B + C) = (A + B) + C
Identik : A + 0 = 0 + A = A
2. Perkalian Matriks Dengan Skalar
Skalar adalah suatu bilangan riil (matriks 1x1). Perkalian matriks dengan
suatu skalar berarti mengalikan setiap elemen dari matriks dengan skalar tersebut
sebagai berikut :
A =
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
Sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar k :
k(A+B) = kA + kB
(k1 + k2)A = k1A + k2A
k1(k2A) = (k1 k2)A
3. Perkalian Matriks Dengan Matriks
Dua buah matriks dapat dikalikan “jika dan hanya jika” jumlah kolom pada matriks
pertama sama dengan jumlah baris pada matriks kedua (Pudjiastuti, 2006).
Perhatikan matriks berikut ini :
A X B = C
32
22
12
31
21
11
a
a
a
a
a
a
23
13
2221
1211
b
b
bb
bb =
333231
232221
131211
ccc
ccc
ccc
Hasil perkalian matriks A dengan matriks B adalah matriks C. Perhitungan elemen-
elemennya adalah sebagai berikut :
c11 = a11b11 + a12b21 c12 = a11b12 + a12b22 c13 = a11b13 + a12b23
c21 = a21b11 + a22b21 c22 = a21b12 + a22b22 c23 = a21b13 + a22b23
c31 = a31b11 + a32b21 c32 = a31b12 + a32b22 c33 = a31b13 + a32b23
Sifat-sifat perkalian matriks dengan matriks :
Asosiatif : ABC = (AB)C = A(BC)
Distributif : A(B+C) = AB + AC (Dengan syarat (B+C) ada)
Dengan syarat (B+C) ada.
2.2 Konsep Riset Operasi
2.2.1 Pengertian Riset Operasi
Pengertian Riset Operasi menurut Miller dan M.K.Star adalah peralatan
manajemen yang menyatukan ilmu pengetahuan, matematika, dan logika dalam
rangka memecahkan masalah yang dihadapi sehari-hari sehingga dapat dipecahkan
secara optimal (Aminudin,2005). Secara umum dapat diartikan bahwa Riset Operasi
berkaitan dengan proses pengambilan keputusan yang optimal dalam penyusunan
model dari sistem-sistem, baik deterministik maupun probabilistik, yang berasal dari
kehidupan nyata.
Sejalan dengan perkembangan dunia industri dan didukung dengan kemajuan
di bidang komputer. Riset Operasi semakin banyak diterapkan di berbagai bidang
untuk menangani masalah yang cukup kompleks. Berikut ini adalah contoh
penggunaan Riset Operasi dalam berbagai bidang :
Akuntansi dan Keuangan
Penentuan jumlah kelayakan kredit.
Alokasi modal investasi.
Peningkatan efektivitas akuntansi biaya.
Pemasaran :
Penentuan kombinasi produk terbaik berdasarkan permintaan pasar.
Alokasi iklan di berbagai media.
Penugasan tenaga penjual ke wilayah pemasaran secara efektif.
Operasi Produksi :
Penentuan bahan baku paling ekonomis untuk kebutuhan pelanggan.
Meminimumkan persediaan atau inventori.
Peningkatan kualitas operasi manufaktur.
2.2.2 Model-Model dalam Riset Operasi
Dalam Riset Operasi dikenal bentuk model yang menggambarkan
karakteristik dan bentuk sistem suatu permasalahan. Macam-macam model tersebut
diantaranya :
1. Model Ikonik
Merupakan tiruan fisik seperti bentuk aslinya dengan skala yang lebih kecil.
Contoh : maket gedung, model automotif dan model pesawat.
2. Model Analog
Merupakan model fisik tapi tidak memiliki bentuk yang mirip dengan yang
dimodelkan. Contoh : alat ukur termometer yang menunjukkan model tinggi
rendahnya suatu temperatur.
3. Model Simbolik
Merupakan model yang menggunakan simbol-simbol (huruf, angka, bentuk,
gambar dan lain-lain) yang menyajikan karakteristik dan properti dari suatu
sistem. Contoh : jaringan kerja (network diagram), diagram alit dan
flowchart.
4. Model Matematik
Mencakup model-model yang mewakili situasi riil sebuah sistem yang berupa
fungsi matematik. Contoh : Pn = an . Pn yang menyatakan model populasi
makluk hidup.
2.2.3 Langkah-langkah Analisa dalam Riset Operasi
Dalam proses pemecahan masalah Riset Operasi berikut ini langkah-langkah
yang perlu dilakukan :
Definisi Masalah
Pada langkah ini terdapat tiga unsur utama yang diidentifikasi :
1. Fungsi Tujuan : Penerapan tujuan untuk membantu mengarahkan upaya
memenuhi tujuan yang akan dicapai. Ada dua macam fungsi tujuan/sasaran
yaitu minimasi dan maximasi. Sasaran yang diminimalkan misalnya ongkos,
resiko, jarak tempuh, totsl berat beban. Sasaran yang dimaximalkan misalnya
keuntungan, jumlah produksi, jumlah pelayanan, luasnya cakupan.
2. Fungsi Bantuan / Kendala : Batasan-batasan yang mempengaruhi persoalan
terhadap tujuan yang akan dicapai. Kendala biasanya merupakan pemakaian
sumber daya yang ada atau juga berupa ungkapan prasyarat yang harus
dipenuhi dalam pengambilan keputusan. Kendala akan berupa
pertidaksamaan, maka bentuknya akan ditandai oleh lima lambang hubungan
yaitu (=, <, >, , ).
3. Variabel Keputusan : Variabel-variabel yang mempengaruhi persoalan dalam
pengambilan keputusan. Variabel ini yang akan dicari harganya dan dipilih
mana yang akan memberikan hasil terbaik sesuai sasarannya. Contoh : Merk
mobil yang akan dibeli, besarnya uang yang didepositokan dan lama mesin A
harus beroperasi dalam masa produksi.
Pengembangan Model
Mengumpulkan data untuk menaksir besaran parameter yang berpengaruh
terhadap persoalan yang dihadapi. Taksiran ini digunakan untuk membangun
dan mengevaluasi model matematis dari persoalannya. Parameter adalah
konstanta-konstanta pasti yang terkait dengan variabel keputusan yang
menyusun fungsi sasaran. Konstanta ini sering disebut juga sebagai koefisien
fungsi sasaran.
Pemecahan Model
Dalam memformulasikan persoalan ini biasanya digunakan model analistis,
yaitu model matematis yang menghasilkan persamaan sehingga dicapai
pemecahan yang optimum.
Pengujian Keabsahan Model
Menentukan apakah model yang dibangun telah menggambarkan keadaan
nyata secara akurat. Jika belum, perbaiki atau buat model baru.
Implementasi Hasil Akhir
Menerjemahkan hasil studi atau perhitungan ke dalam bahasa sehari-hari agar
mudah dimengerti.
2.3 Konsep Program Linear
Program linear merupakan model matematik untuk mendapatkan alternatif
penggunaan terbaik atas sumber-sumber organisasi. Kata sifat linear digunakan untuk
menunjukkan fungsi-fungsi matematik yang digunakan dalam bentuk linear dalam
arti hubungan langsung dan persis proporsional. Program menyatakan penggunaan
teknik matematik tertentu. Jadi pengertian program linear adalah suatu teknik
perencanaan yang bersifat analistis yang analisanya menggunakan model matematis,
dengan tujuan menemukan beberapa kombinasi alternatif pemecahan optimum
terhadap persoalan (Aminudin,2005).
2.3.1 Bentuk Umum Program Linear
1. Bentuk umum program linear untuk kasus memaksimalkan fungsi sasaran :
Maksimumn
j
jj xcZ1
Dengan batasan :
j
n
j
ij xa1
ib , untuk i = 1,2,…,m
jx 0 untuk j = 1,2,…,n
Atau dapat juga ditulis lengkap sebagai berikut :
Optimumkan
nn xcxcxcZ ...2211
Dengan batasan :
nn xaxaxa 1212111 ... 1b
nn xaxaxa 2222121 ... 2b
…. …. …. …
nmnmm xaxaxa ...2211 3b
x1, x2,…, xn 0
2. Bentuk umum program linear untuk kasus meminimumkan fungsi sasaran :
Minimumn
j
jj xcZ1
Dengan batasan :
j
n
j
ij xa1
ib , untuk i = 1,2,…,m
jx 0 untuk j = 1,2,…,n
Atau dapat juga ditulis lengkap sebagai berikut :
Optimumkan
nn xcxcxcZ ...2211
Dengan batasan :
nn xaxaxa 1212111 ... 1b
nn xaxaxa 2222121 ... 2b
…. …. …. …
nmnmm xaxaxa ...2211 3b
x1, x2,…, xn 0
Keterangan :
Z = Fungsi Tujuan yang dicari nilai optimalnya (maksimal, minimal).
cj = Kenaikan nilai Z apabila ada pertambahan tingkat kegiatan xj dengan
satu satuan unit atau sumbangan setiap satuan keluaran kegiatan j
terhadap Z.
n = Macam kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas yang tersedia.
m = Macam batasan sumber atau fasilitas yang tersedia.
xj = Tingkat kegiatan ke-j.
aij = Banyaknya sumber i yang diperlukan untuk menghasilkan setiap unit
keluaran kegiatan j.
bi = Kapasitas sumber i yang tersedia untuk dialokasikan ke setiap unit
kegiatan.
Terminologi umum untuk model program linear diatas dapat dirangkum
sebagai berikut :
1. Fungsi yang akan dicari nilai optimalnya (Z) disebut sebagai fungsi tujuan
(objective function).
2. Fungsi-fungsi batasan dapat dikelompokan menjadi dua macam, yaitu :
Fungsi batasan fungsional, yaitu fungsi-fungsi batasan sebanyak m.
Fungsi batasan non negatif (non-negative contrains) yaitu variabel xj
0.
3. Variabel-variabel xj disebut sebagai variabel keputusan (decision variable).
4. Parameter model yaitu masukan konstan aij, bi, cj.
2.3.2 Asumsi Program Linear
Agar pengunaan program linear diatas memuaskan tanpa terbentur pada
berbagai hal, maka diperlukan asumsi-asumsi dasar program linear (Aminudin,2005)
sebagai berikut :
1. Proportionality, asumsi ini berarti naik turunnya nilai Z dan penggunaan
sumber atau fasilitas yang tersedia akan berubah secara sebanding dengan
perubahan tingkat kegiatan.
Misal : nn xcxcxcZ ...2211
Setiap pertambahan satu unit x1 akan menaikkan Z sebesar c1. Setiap
pertambahan satu unit x2 akan menaikkan Z sebesar c2 dan seterusnya.
2. Additivity, berarti nilai tujuan tiap kegiatan tidak saling mempengaruhi, atau
dalam program linear dianggap bahwa kenaikan suatu kegiatan dapat
ditambahkan tanpa mempengaruhi bagian nilai Z yang diperoleh dari kegiatan
lain.
Misal : Z = 4x1 + 7x2
Dimana x1 = 30 ; x2 = 20 sehingga Z = 120 + 140 = 260
Andaikan x1 bertambah satu unit maka sesuai dengan asumsi pertama nilai Z
menjadi 260 + 4 = 264. Jadi nilai 4 karena kenaikan x1 dapat langsung
ditambahkan pada nilai Z mula-mula tanpa mengurangi bagian Z yang
diperoleh dari kegiatan ke-2 (x2). Dengan kata lain, tidak ada korelasi antara
x1 dan x2.
3. Divisibility, berarti keluaran yang dihasilkan oleh setiap kegiatan dapat berupa
bilangan pecahan.
Misal : Z = 17.5 ; x1 = 6.1
4. Deterministic (Certainty), berarti bahwa semua parameter (aij, bi, cj) yang
terdapat pada program linear dapat diperkirakan dengan pasti, meskipun
dalam kenyataanya tidak sama persis.
2.4 Pemecahan Program Linear Menggunakan Metode Grafik
Metode grafik merupakan salah satu teknik pemecahan model program linear
yang hanya memuat dua variabel keputusan (Aminudin,2005).
Langkah-langkah pemecahan masalah program linear dengan metode grafik
adalah sebagai berikut :
1. Gambarkan sebuah bidang koordinat dengan kedua variabel sebagai sumbu-
sumbu koordinat.
2. Gambarkan garis-garis fungsi batasan dengan menganggap batasannya
sebagai persamaan.
3. Tentukan daerah dalam bidang koordinat yang memenuhi semua batasan,
daerah ini disebut sebagai daerah layak (feasible region).
4. Tentukan koordinat titik sudut disebut juga sebagai titik ekstrim.
5. Hitung harga fungsi tujuan untuk semua titik sudut, kemudian pilih harga
yang optimal sebagai pemecahan masalah.
Contoh Kasus :
PT. Dimensi adalah sebuah perusahaan furnitur produsen meja dan kursi yang
harus diproses melalui perakitan dan pemolesan. Tabel berikut ini adalah data proses
perakitan dan pemolesan PT. Dimensi yaitu :
Tabel 2.1 Data Proses Perakitan dan Pemolesan PT. Dimensi
Waktu yang
dibutuhkan untuk satu
unit produk (jam)
Total jam tersedia
Meja Kursi
Perakitan
Pemolesan
4
2
2
4
60
48
Laba/unit $8 $6
Bagaimana menentukan kombinasi terbaik dari jumlah meja dan kursi yang harus
diproduksi agar menghasilkan laba maksimal?
Jawab :
Formulasi persoalan :
Misalkan :
x = jumlah meja yang dibuat.
y = jumlah kursi yang dibuat.
Z = jumlah kontribusi laba seluruh meja dan kursi.
Model program linearnya adalah :
Maksimumkan laba : Z = 8x + 6y (fungsi tujuan)
Dengan batasan :
4x + 2y 60 (fungsi batasan proses perakitan)
2x + 4y 48 (fungsi batasan proses pemolesan)
x dan y 0
Gambarkan batasan-batasan pada bidang koordinat :
y
E(0,12) F = daerah layak
D(12,6)
F x 0 x
A(0,0) C(15,0)
y 0
Dari grafik di atas titik sudut yang diketahui adalah A, E, dan C sedangkan titik sudut
D dapat dicari dengan eliminasi antara persamaan satu dan dua, yaitu :
4x + 2y = 60 kalikan dengan (2) ; 8x + 4y = 120
2x + 4y = 48 2x + 4y = 48
6x = 72, maka x = 12
Subtitusikan x = 12 ke dalam persamaan kedua :
2(12) + 4y = 48
4x + 2y 60
2x + 4y 48
4y = 24, sehingga y = 6
Jadi titik D adalah (12,6).
Langkah berikutnya, hitung empat titik sudut tersebut dengan cara mensubtitusikan
ke dalam fungsi tujuan untuk melihat kombinasi mana yang menghasilkan laba
terbesar.
Titik A (0,0) : Z = 8(0) + 6(0) = 0
Titik E (0,12) : Z = 8(0) + 6(12) = 72
Titik C (15,0) : Z = 8(15) + 6(0) = 120
Titik D (12,6) : Z = 8(12) + 6(6) = 132
Ternyata titik yang menghasilkan laba terbesar adalah titik D(12,6) dengan laba
sebesar $132. Jadi titik inilah yang paling optimal. Keputusannya meja dibuat
sebanyak 12 buah dan kursi sebanyak 6 buah.
2.5 Pemecahan Program Linear Menggunakan Metode Simpleks
Apabila suatu persoalan program linear hanya mengandung dua kegiatan
(variabel keputusan) saja, maka akan dapat dipecahkan dengan metode grafik. Tetapi
bila mengandung tiga atau lebih varabel keputusan maka metode grafik tidak dapat
digunakan lagi, sehingga diperlukan alternatif yaitu metode simpleks.
Metode simpleks adalah merupakan prosedur aljabar yang bersifat iteratif,
dimana pada setiap iterasi mencari penyelesaian suatu sistem persamaan.
Penyelesaian ini kemudian digunakan menguji keoptimalan dari program linear yang
akan diselesaikan (Aminudin,2005).
2.5.1 Bentuk Baku Program Linear
Sebelum menggunakan metode simpleks dalam memecahkan persoalan
program linear perlu dipelajari bagaimana mengubah suatu bentuk program linear
menjadi bentuk bakunya. Karena bentuk baku ini digunakan dalam metode simpleks.
Beberapa aturan bentuk program linear baku :
1. Semua batasan/ kendala adalah persamaan (dengan sisi kanan yang non-
negatif).
2. Semua variabel keputusan adalah non-negatif.
3. Fungsi tujuan berupa maksimasi dan minimasi.
Bentuk standar program linear dapat dirumuskan sebagai berikut :
Maks / Min j
n
j
j xcZ1
Dengan kendala :
j
n
j
ij xa1
= ib ; untuk i = 1,2,…,m
jx 0 ; untuk j = 1,2,…,n
Karena semua kendala harus berbentuk persamaan (=) maka jika ada kendala
yang berbentuk pertidaksamaan harus dikonversikan menjadi persamaan dengan cara
sebagai berikut :
1. Jika pada kendala berbentuk ( ) maka persamaan kendala dirubah dengan
manambah variabel kelonggaran (slack variable) pada ruas kiri. Misal sebuah
kendala :
x1 + 2x2 6 maka diubah x1 + 2x2 + s1 = 6 ; s1 0
2. Jika kendala berbentuk ( ) maka persamaan kendala diubah dengan
mengurangkan dengan variabel surplus pada ruas kiri. Misalkan sebuah
kendala :
x1 + 2x2 6 maka diubah x1 + 2x2 – s2 = 6 ; s2 0
3. Jika ruas kanan berharga negatif diubah menjadi positif dengan mengalikan
kedua arus dengan (-1). Misalkan sebuah kendala :
2x1 – x2 -5 maka diubah dengan mengalikan kedua ruas dengan (-1)
menjadi -2x1 + x2 5.
2.5.2 Prosedur Metode Simpleks
Prosedur pemecahan masalah program linear dengan menggunakan metode
simpleks (Irawanto et al, 2004) adalah sebagai berikut :
1. Langkah Awal (Step 1) : Persiapan untuk memulai iterasi.
2. Langkah Iterasi (Step 2) : Proses melakukan iterasi.
3. Uji Optimalitas (Step 3) : Langkah dimana apakah hasil yang digunakan
telah tercapai atau belum, jika pada langkah ini belum sesuai yang
dikehendaki (optimal) maka proses kembali ke langkah iterasi, dan
sebaliknya jika telah sesuai yang dikehendaki (optimal) maka berhenti.
Untuk lebih memudahkan pemahaman prosedur metode simpleks diberikan
skema/ gambar alur dari langkah-langkah yang ada.
Alur/Flowchart Metode Simpleks
False True
Langkah Awal
Langkah Iterasi
Uji Optimal S T O P
Kemudian dilanjutkan dengan hal-hal apa yang dikerjakan pada setiap langkah pada
metode simpleks adalah yaitu :
1. Langkah Awal :
Langkah ini adalah untuk mempersiapkan iterasi, yaitu dengan membentuk
masalah program linear kedalam bentuk bakunya, dengan cara menambahkan
variabel kelonggaran (slack) pada fungsi tujuan dan fungsi kendala. Pada
fungsi tujuan koefisien variabel kelonggaran sama dengan nol dan
pindahkan/pisahkan variabel-variabel disebelah kiri dari konstanta disebelah
kanan. Bentuk tabel awal simpleks berdasarkan informasi model diatas yaitu
sebagai berikut :
Tabel 2.2 Bentuk Tabel Simpleks Awal
Iterasi Variabel
Dasar (BV)
Z x1 x2 … xn s1 s2 … sm Nilai kanan
(NK)
0
Z
s1
s2
…
sm
1
0
0
0
0
-c1 -c2 … -cn 0 0 … 0
a11 a12 … a1n 1 0 … 0
a21 a22 … a2n 0 1 … 0
… … … … … … … …
am1 am2 … amn 0 0 … 1
0
b1
b2
…
bm
2. Langkah Iterasi
Langkah ini terdiri dari 5 bagian, yaitu :
Bagian 1 : Bagian ini menentukan kolom kunci berdasarkan nilai yang
berada pada baris fungsi tujuan Z. Nilai yang dipilih adalah harga negatif
terbesar untuk masalah maksimum dan harga positif terbesar untuk
masalah minimum. Variabel yang berada pada kolom kunci ini akan
menjadi Entering Variable (EV) menggantikan salah satu variabel dasar
sebelumnya. Variabel dasar mana yang akan digantikan oleh Entering
Variable ini ditentukan pada bagian berikutnya.
Bagian 2 : Bagian ini menentukan baris kunci berdasarkan nilai
perbandingan antara harga nilai kanan (bi) dengan nilai pada kolom kunci
pada setiap baris, kecuali baris fungsi obyektif. Perbandingan tersebut
dinamakan indeks. Baris dengan perbandingan nilai positif terkecil akan
berperan sebagai baris kunci. Variabel dasar yang berada pada baris kunci
akan menjadi Leaving Variable (LV) yang akan digantikan oleh Entering
Variable (EV).
Indeks ke-i = positif yang kunci kolomunsur
ib ; i= 1,2,…,m
Bagian 3 : Bagian ini menentukan baris kunci baru dengan cara
melakukan perubahan pada baris kunci dengan cara membagi setiap
elemen dari baris kunci dengan angka kunci. Nilai angka kunci ini adalah
perpotongan antara baris kunci dengan kolom kunci.
Baris kunci baru = kunci angka
lama kunci baris
Bagian 4 : Bagian ini merubah variabel dasar, yang berarti Entering
Variable (EV) masuk menggantikan Leaving Variable (LV).
Bagian 5 : Bagian ini merubah semua nilai pada baris selain baris kunci
dengan cara sebagai berikut :
Baris Baru = Baris Lama – (Nilai Kolom Kunci x Nilai Baris Kunci
Baru).
3. Langkah Optimal
Pada langkah ini kita periksa pada baris fungsi tujuan Z apakah pada setiap
variabel berharga 0 (masalah maksimal) dan 0 (untuk masalah minimal),
kalau ini terpenuhi maka penyelesaian sudah optimal jika belum lanjutkan
kelangkah iterasi.
Contoh Kasus :
Kasus yang digunakan adalah kasus yang sama pada contoh kasus diatas yaitu
pemecahan persoalan maksimasi laba PT. Dimensi.
Masalah program linearnya adalah :
Maksimumkan laba : Z = 8x1 + 6x2 (fungsi tujuan)
Dengan kendala :
4x1 + 2x2 60 (fungsi kendala proses perakitan)
2x1 + 4x2 48 (fungsi kendala proses pemolesan)
x1 dan x2 0
Jawab :
Langkah Awal
Membentuk masalah program linear kedalam bentuk baku dengan cara
menambahkan variabel kelonggaran (slack) pada fungsi tujuan dan fungsi kendala.
Fungsi Tujuan :
Z = 8x1 + 6x2 + 0s1 + 0s2 Z - 8x1 - 6x2 - 0s1 - 0s2 = 0
Kendala :
4x1 + 2x2 + 1s1 + 0s2 = 60
2x1 + 4x2 + 0s1 + 1s2 = 48
x1 , x2 , s1 , s2 0
Kemudian menyusun bentuk baku program linear diatas dalam tabel simpleks
awal. Bentuk program linear di atas apabila disusun dalam tabel awal simpleks
ditunjukkan pada tabel berikut ini.
Tabel 2.3 Bentuk Tabel Simpleks Awal Persoalan PT. Dimensi
Iterasi Variabel
Dasar (BV)
Z x1 x2 s1 s2 Nilai kanan
(NK)
0
Z
s1
s2
1
0
0
-8 - 6 0 0
4 2 1 0
2 4 0 1
0
60
48
Langkah Iterasi
1 . Menentukan kolom kunci
Karena kasusnya adalah maksimal maka pemilihan kolom kunci adalah nilai
pada fungsi obyektif Z dengan nilai paling negatif terbesar. Pada tabel simpleks awal
diatas kolom kuncinya adalah kolom x1 dimana nilainya adalah - 8.
Iterasi Variabel
Dasar (BV)
Z x1 x2 s1 s2 Nilai kanan
(NK)
0
Z
s1
s2
1
0
0
-8 - 6 0 0
4 2 1 0
2 4 0 1
0
60
48
Keterangan :
Kolom x1 = kolom kunci (warna hijau)
2. Menentukan baris kunci
Kriteria baris kunci dipilih pada baris yang nilai indeksnya adalah positif terkecil.
Tabel tersebut baris kuncinya adalah baris s1 karena nilai indeksnya adalah 15.
Nilai indeks s1 = 60/4 = 15 ; Nilai indeks s2 = 48/2 = 24
Iterasi Variabel
Dasar (BV)
Z x1 x2 s1 s2 Nilai kanan
(NK)
Indeks
0
Z
s1
s2
1
0
0
-8 - 6 0 0
4 2 1 0
2 4 0 1
0
60
48
60:4 = 15
48:2 = 24
Keterangan :
Kolom x1 = kolom kunci (warna hijau)
Baris s1 = baris kunci (warna biru)
Perpotongan antara kolom kunci dan baris kunci = angka kunci (warna abu-abu)
3. Menentukan baris kunci baru
Karena yang terpilih kolom kunci adalah kolom x1, maka variabel dasar s1
(sebagai leaving variable) digantikan oleh variabel x1 (sebagai entering variable)
sedangkan nilai-nilai baris kunci baru diperoleh dengan cara membaginya dengan
angka kunci = 4 sehingga diperoleh baris kunci yang baru seperti terlihat pada tabel
dibawah ini.
Baris x1 = 4
60) 0 1 2 (4 = (1 1/2 1/4 0 15)
Iterasi Variabel
Dasar (BV)
Z x1 x2 s1 s2 Nilai kanan
(NK)
0
Z
x1
s2
1
0
0
-8 - 6 0 0
1 1/2 1/4 0
2 4 0 1
0
15
48
4. Merubah semua nilai pada baris selain baris kunci dengan cara sebagai berikut :
Baris Baru = Baris Lama – (Nilai Kolom Kunci x Nilai Baris Kunci Baru)
Baris Z akan berubah menjadi :
Baris Z baru =120) 0 2 2- (0
15) 0 1/4 1/2 (1 8-
0) 0 0 6- (-8
Baris s2 akan berubah menjadi :
Baris s2 baru = 18) 1 1/2- 3 (0
15) 0 1/4 1/2 (1 2
48) 1 0 4 (2
Nilai – nilai baru tersebut disusun kembali ke dalam tabel berikutnya sebagai hasil
iterasi pertama seperti berikut ini.
Iterasi Variabel
Dasar (BV)
Z x1 x2 s1 s2 Nilai kanan
(NK)
1
Z
x1
s2
1
0
0
0 - 2 2 0
1 1/2 1/4 0
0 3 -1/2 1
120
15
18
Langkah Optimal
Karena masih ada nilai pada baris fungsi obyektif Z yang bernilai negatif
yaitu pada x2 = -2 maka dilanjutkan ke arah iterasi lagi.
Pertama tentukan kolom x2 sebagai kolom kunci di mana nilainya adalah -2 (negatif
terbesar) sedangkan baris kuncinya adalah baris s2 di mana nilai indeks positif
terkecil.
Iterasi Variabel
Dasar (BV)
Z x1 x2 s1 s2 Nilai kanan
(NK)
indeks
1
Z
x1
s2
1
0
0
0 - 2 2 0
1 1/2 1/4 0
0 3 -1/2 1
120
15
18
15:1/2 =30
18:3 = 6
Keterangan :
Kolom x2 = kolom kunci (warna hijau)
Baris s2 = baris kunci (warna biru)
Perpotongan antara kolom kunci dan baris kunci = angka kunci (warna abu-abu)
Baris kunci baru variabel dasarnya (LV) s2 digantikan oleh x2 sebagai variabel
pendatang (EV), sedangkan nilai-nilai lainnya dibagi dengan angka kunci = 3
sehingga diperoleh :
Baris x2 = 3
18) 1 1/2- 3 (0= (0 1 -1/6 1/3 6)
Iterasi Variabel
Dasar (BV)
Z x1 x2 s1 s2 Nilai kanan
(NK)
1
Z
x1
x2
1
0
0
0 - 2 2 0
1 1/2 1/4 0
0 1 -1/6 1/3
120
15
6
Merubah semua nilai pada baris selain baris kunci dengan cara sebagai berikut :
Baris Baru = Baris Lama – (Nilai Kolom Kunci x Nilai Baris Kunci Baru)
Baris Z akan berubah menjadi :
Baris Z baru =132) 2/3 5/3 0 (0
6) 1/3 1/6- 1 (0 2-
120) 0 2 2- (0
Baris x1 akan berubah menjadi :
Baris x1 baru = 12) 1/6- 1/3 0 (1
6) 1/3 1/6- 1 (0 1/2
15) 0 1/4 1/2 (1
Nilai – nilai baru tersebut disusun kembali ke dalam tabel berikutnya sebagai hasil
iterasi kedua seperti berikut ini.
Iterasi Variabel
Dasar (BV)
Z x1 x2 s1 s2 Nilai kanan
(NK)
2
Z
x1
x2
1
0
0
0 0 5/3 2/3
1 0 1/3 -1/6
0 1 -1/6 1/3
132
12
6
Dari tabel diatas tampak bahwa nilai pada baris Z sudah tidak ada lagi variabel yang
bernilai negatif, artinya tabel sudah optimal. Sebagai hasilnya terlihat bahwa nilai
maksimum laba (Z) adalah 132 dengan masing - masing variabel x1 = 12 dan x2 = 6.
2.6 Pemecahan Masalah Program Linear Dengan Kendala Berbentuk
Pertidaksamaan ( ) dan Persamaan (=)
Penyelesaian masalah program linear dengan metode simpleks menghendaki
adanya pemecahan awal yang fisibel/layak yaitu setiap kendala memiliki variabel
basis. Jika kendala memiliki pertidaksamaan berbentuk , misal 2x1 + 3x2 30
dengan menambahkan dengan variabel surplus 2x1 + 3x2 – s1 30, kendala inipun
tidak memiliki variabel basis. Untuk itu kendala masih perlu ditambah dengan
variabel artificial/semu (ri) sehingga kendala menjadi 2x1 + 3x2 – s1 + r1 = 30. Begitu
pula dengan kendala berbentuk persamaan misal 2x1 + 4x2 = 20 diubah menjadi 2x1 +
4x2 + r2 = 20.
Meskipun semua kendala telah memiliki variabel artificial tersebut bukan
berarti penyelesaian yang fisibel/layak bagi masalah aslinya. Sehingga variabel
artificial/semu harus dikurangi nilainya sehingga menjadi nol. Untuk membuat nilai
variabel artificial menjadi nol dengan menggunakan metode Big M (Irawanto et al,
2004).
2.7 Metode Big M
Metode Big M digunakan bila pada kendala ditemui pertidaksamaan atau
=, atau dengan kata lain apabila ditemui variabel artificial (ri) (Irawanto et al, 2004).
Pada fungsi tujuan, variabel artificial diberi suatu koefisien berupa konstanta M yang
berarti bilangan yang sangat besar. Konstanta M ini diberikan agar pada solusi
optimal tidak terdapat lagi variabel artificial, sehingga solusi yang diperoleh layak
(Irawanto et al, 2004). Dalam metode ini koefisien fungsi tujuan untuk variabel
artificial diberi harga sebagai berikut :
Negatif M (-M) untuk masalah maksimum, M dimana adalah bilangan positif
terbesar.
Positif M untuk masalah minimum.
Contoh kasus untuk penggunaan metode Big M sebagai berikut :
Memaksimalkan Z = 3x1 + 5x2
Kendala :
x1 4
2x2 12
3x1 + 2x2 = 18
x1, x2 0
Dengan menambahkan variabel slack pada persamaan (1) dan (2) yaitu s1 dan
s2 serta variabel artificial pada persamaan (3) yaitu r3, sehingga solusi baris awal yaitu
(x1, x2, s1, s2,r3) dengan persamaan bentuk baku model seperti dibawah ini.
x1 + s1 = 4
2x2 + s2 = 12
3x1 + 2x2 + r3 = 18 r3 = 18 - 3x1 - 2x2
Pada fungsi tujuan yaitu persamaan (0) untuk harga koefisien pada variabel
slack sama dengan nol dan untuk variabel artificial dengan harga –M (karena kasus
maksimal), sehingga diperoleh fungsi tujuan sebagai persamaan sebagai berikut :
Z = 3x1 + 5x2 + 0s1 + 0s2 – Mr3
= 3x1 + 5x2 + 0s1 + 0s2 – M(18 - 3x1 – 2x2)
= (3+3M)x1 + (5+2M)x2 + 0s1 + 0s2 – 18M
Z - (3+3M)x1 - (5+2M)x2 - 0s1 - 0s2 = -18M
Tabel dari simplek program linear diatas dapat dilihat sebagai berikut :
Iterasi BV Z x1 x2 s1 s2 r3 Nilai Kanan indeks
0
Z 1 -(3M+3) -(2M+5) 0 0 0
s1 0 1 0 1 0 0
s2 0 0 2 0 1 0
r3 0 3 2 0 0 1
- 18M
4
12
18
4:1= 4
12:0= ~
18:3= 6
1
Z 1 0 -(2M+5) (3M+3) 0 0
x1 0 1 0 1 0 0
s2 0 0 2 0 1 0
r3 0 0 2 -3 0 1
-6M+12
4
12
6
4:0= ~
12:2= 6
6:2= 3
2
Z 1 0 0 -9/2 0 (M+5/2)
x1 0 1 0 1 0 0
s2 0 0 0 3 1 -1
x2 0 0 1 -3/2 0 1/2
27
4
6
3
4:1= 4
6:3= 2
3:-3/2= -2
3
Z 1 0 0 0 3/2 (M+1)
x1 0 1 0 0 -1/3 1/3
s1 0 0 0 1 1/3 -1/3
x2 0 0 1 0 1/2 0
36
2
2
6
Dari tabel iterasi ke-3 terlihat bahwa tidak ada nilai variabel didalam fungsi Z yang
bernilai negatif maka penyelesaian sudah optimal. Hasil yang didapatkan adalah
sebagai berikut :
Z = 36 ; x1 = 2 ; x2 = 6 ; s1 = 2