DASAR TRIGONOMETRIJika kita membahas masalah trigonometri pastilah tidak akan terlepas dari yang namanya Sudut. Untuk itu alangkah baiknya sebelum belajar lebih dalam mengenai trigonometri, kita terlebih dahulu mengetahui apa itu sudut. Sudut didefinisikan sebagai rotasi sinar garis misalkan OB yang diputar dengan pusat O sampai pada suatu kedudukan tertentu sehingga terbentuk sebuah sinar garis OB yaitu OC. Dengan ilustrasi sebagai berikut. C

OGambar.1 Sinar Garis OB

B

Sudut seringkali dinamakan dengan berbagai cara seperti 1. Dinamakan dari proses terbentuknya sinar garis seperti pada gambar 1, sudutnya diberi nama sudut AOB atau BOA 2. Bisa juga hanya menggunakan titik sudutnya. Misalnya Sudut O, Sudut A dan sebagainya 3. Sering juga dipakai menggunakan abjad yunani seperti , , Berdasarkan pengetahuan tentang sudut diatas maka munculah konsep segitiga didalam perbandingan trigonometri. Kenapa segitiga? Perhatikan kembali gambar 1. Dapat kita lihat beberapa hal sebagai berikut 1. Garis AB merupakan hasil proyeksi atau bayangan dari garis AC 2. Proyeksi titik A adalah titik A dan Proyeksi titik C adalah titik B 3. Apabila masing masing titik proyeksi dihubungkan maka akan terbentuk sebuah bangun segitiga siku - siku. Atas dasar itulah pada sejarah trigonometri penemu dan pengembangnya banyak sekali menggunakan prinsip segitiga siku-siku pada trigonometri. Contoh untuk mengetahui sudut pandang pengelihatan seseorang terhadap puncak sebuah bangunan.menggunakan segitiga

Dasar Trigonometri

Hal. 1

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUATU SEGITIGA SIKU - SIKU B

CGambar 1.1 Segitiga siku-siku ABC

A

Diketahui segitiga ABC di atas merupakan segtiga siku siku dimana garis AC tegak lurus terhadap garis CB. Dengan definisi sebagai berikut : = = dimisalkan sebagai sudut

AC = b = sisi samping sudut CB = a = sisi depan sidut Sedangkan AB = c = sisi miring atau disebut Hipotenusa Nah setelah anda mengetahui beberapa definisi tersebut maka dapat saya tuliskan secara ringkas perbandingan trigonometri Sin Cos Tan = = = = = = =

Untuk sudut kebalikannya adalah sebagai berikut : Cosec Sec = =

= Cotan =

=

=

Dasar Trigonometri

Hal. 2

PERBANDINGAN SUDUT SUDUT ISTIMEWA 00, 300, 450, 600, 900

Gambar 2. Segitiga sama sisi dan persegi

Untuk mengetahui perbandingan dari sudut istimewa 300, 450, 600. Perhatikanlah gambar 2. Mengapa harus gambar 2 ? hal ini dilakukan untuk mempermudah proses penemuan sudut istimewa tersebut. menggunakan pengetahuan kita yang telah ada mengenai bangun datar khususnya bangun datar pada gambar 2. 1. Untuk segitiga sama sisi, pada pokok bahasan bangun datar kita telah mengetahui bahwa sudut-sudut segitiga sama sisi adalah sama yaitu 600 karena jumlah sudut sebuah segitiga adalah 1800. 2. Sehingga apabila kita perhatikan segitiga CAD atau segitiga CBD. Dapat kita urai seperti gambar 3 dibawah ini. C 300

600 DGambar 2.1

B

3. Diperoleh = 60

= 90 =

= 30 3 = 3

4. Panjang DB = a , BC = 2a , panjang CD dengan mengunakan teorema phytagoras kita peroleh CD = = (2 ) = 5. Sesuai dengan yang kita pelajari sebelumnya maka

Dasar Trigonometri

Hal. 3

Sin 600 = Cos 600= Tan 600=

= = =

= = = 3

3

Sin 300 = Cos 300= Tan 600=

= = =

= = = 3 3

6. Untuk sudut 450 perhatikanlah persegi pada gambar 2. Kita ketahui bahwa jumlah sudut dalam sebuah persegi adalah 3600. 7. Maka masing masing sudut nya adalah 900. 8. Apabila kita tarik garis diagonal pada persegi tersebut maka akan terbentuk dua buah segitiga siku siku yang masing masung sudutnya adalah seperti pada gambar berikut ini. R

PGambar 2.2

Q

9. Dengan rincian = 90 , = (2 ) + (2 ) = 2 11. Maka diperoleh Sin 450 = Cos 450= Tan 450= = = = = = = = = =1 2 2 2

= 45 , = 45 = + =

10. PQ = 2a, QR = 2a, dengan phytagoras kita peroleh

Untuk sudut 00 dan 900 kita akan menggunakan konsep dasar/ Konsep pengertian sudut. Seperti yang kita ketahui bahwa sudut merupakan berkas sinar yang terbentuk dari suatu rotasi garis. Perhatikan kembali gambar 1, gambar tersebut berkas sinarnya membentuk sudut . Nah, sekarang kita akan merotasi suatu garis AB hingga membentuk beras sinar dengan sudut 00 dan 900.

Dasar Trigonometri

Hal. 4

Untuk lebih memahami perhatikan ilustrasi dibawah ini. B1

AGambar 3.

B dengan hasil rotasi atau

Gambar 3 diatas, adalah suatu rotasi garis AB dengan sudut siku siku ABB1.

proyektum adalah AB1 (A di proyeksikan ke A, B diproyeksikan ke B1). Terbentuk segitiga Dengan ilustrasi yang sama dapat kita gunakan untuk sudutnya 00 dan 900.

Gambar 3.1 ilustrasi untuk sudut 900

Dari gambar 3.1 diketahui bahwa AB = p, BB1 = p , AB1 = 0 sehingga diperoleh Sin 900 = Cos 900= Tan 900= = = = =1 =0 =~

Sudut 00

Gambar 3.2 ilustrasi untuk sudut 00

Dari gambar 3.2 diketahui bahwa AB = p, ABI = p, BBI = 0 sehingga diperoleh

Dasar Trigonometri

Hal. 5

Sin 00 = Cos 00= Tan 00=

= = =

=0 =1 =0

Sehingga dari perolehan di atas dapat kita ringkas Perbandingan sudut sudut istimewa seperti berikut ini : No 1 2 Sudut 00 3000

SIN 0 1 2 2 1 3 2 1

COS 1 1 3 2 1 2 2 0

TAN 0 1 3 3 1 3 ~

3

45

4 5

60

0

900

SUDUT PADA KUADRAN ( SUDUT PADA AREA Cartesius 2 Dimensi) Kuadran sebuah sudut adalah Area atau posisi suatu sudut pada diagram Cartesius 2 Dimensi. Untuk lebih jelas perhatikan gambar 4 dibawah ini :

Gambar 4. Kuadran Suatu Sudut

Dasar Trigonometri

Hal. 6

Dari gambar 4. Dapat kita jabarkan posisi suatu sudut secara rinci. Perhatikan gambar 4.1

Gambar 4.1 rincian kuadran

Dari gambar 4.1 diperoleh bahwa : Dengan menggunakan konsep perbandingan trigonometri segitiga siku siku yang telah kita pelajari sebelumnya, diperoleh, Pada Kuadran II, Sin Cos0

Pada Kuadran I = = Sin Cos0

=0

=0

= =

=

=

Tan

0

=

=

Tan

0

=

=

Pada Kuadran III, Sin Cos0

Pada Kuadran IV = = Sin Cos0

=0

=0

= =

=

=

Tan

0

=

=

Tan

0

=

=

Dasar Trigonometri

Hal. 7

Oleh karena itu didapat suatu fakta bahwa 1. 2. 3. 4. Pada kuadran I, nilai sudut semuanya positif Pada kuadran ke II nilai sudut yang positif hanya Sin Pada kuadran ke III nilai sudut yang positif hanya Tan Pada kuadran ke IV nilai sudut yang positif hanya Cos

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT BERELASI Sudut berelasi adalah hubungan yang terdapat pada dua buah sudut. Contohnya, dua buah sudut yang saling berpelurus atau saling berpenyiku. Apa itu saling berpelurus atau saling berpenyiku. Perhatikan gambar dan penjelasan dibawah ini.Gambar 5. Ilustrasi dua buah sudut saling berpelurus

Gambar 5. Disamping merupakan ilustrasi dua buah dan dikatakan saling berpelurus

sudut yang dikatakan saling berpelurus. Dimana sudut apabila + = 180

Bagaimana pula dengan dua buah sudut yang dikatakan sudut yang saling berpenyiku? Utnuk lebih jelas mari kita perhatikan ilustrasi dibawah ini.

Gambar 6. Ilustrasi dua buah sudut saling berpenyiku

Gambar 6. Diatas merupakan ilustrasi dua buah sudut yang dikatakan saling berpenyiku. Dimana sudut dan dikatakan saling berpelurus apabila + = 90 Secara umum dapat diilustrasikan sebagai berikut :

Dasar Trigonometri

Hal. 8

Hubungan atau relasi dua buah sudut pada Kuadrannya Perhatikan kembali gambar 4.1, jika kita lukiskan kembali mengaitkannya dengan relasi 2 buah sudut akan kita dapatkan ilustrasi masing masing sebagai berikut : 1.

Pada gambar di atas perhatikan dua buah segitiga POA dan POB. Pada segitiga masing masing memiliki dua buah sudut yang saling berpenyiku yakni dan . Menggunakan perbandingan trigonometri pada segitiga siku siku kita peroleh bahwa : A. Pada segitiga POB diperoleh Sin Cos Tan0

=0 0

= = =

=

=

B. Pada segitiga POA diperoleh Sin (90 Cos (90 Tan (90 )= )= )= = = = = = = dengan 90 adalah sebagai

C. Dari A dan B diperoleh hubungan sudut berikut :

Dasar Trigonometri

Hal. 9

2. Dengan cara yang yang sama untuk kuadran II, III dan IV akan kita peroleh hubungan sebagai berikut. A. Kuadran II

Dengan hubungan sudutnya sebagai berikut

B. Kuadran III

Dasar Trigonometri

Hal. 10

Dengan hubungan sudutnya sebagai berikut

C. Kuadran IV

Dengan hubungan kedua sudutnya sebagai berikut :

Dasar Trigonometri

Hal. 11