TUGAS DASAR SISTEM KENDALI

A. MEKANIK

Persamaan :

a. Fungsi physik :

f ( t )=f m+ f K+ f B=∑ f ( t )=0

¿Md2 xdt

+kx (t )+Bdxdt

b. Fungsi transfer / alih :

F ( s )=M s2+Bs+K

F ( s )=M s2 . x ( s)+Bs x ( s )+kx (s)

F (s )=x ( s )[M s2+Bs+k ]

G (s )=y0(output )R i(input)

=x (s )F (s)

G (s )= 1

M s2+Bs+k

- Sehingga :

R (s) Y0 (s)

Bdxdt

=B .V =f B fK=kx (t) f (m)=Ma=Md2 xdt

B. ELEKTRIKAL

V in V out

a. Fungsi physic - Loop 1 :

-V(t) + VL 1 + VR1 (I1 – I2) = 0 -V(t) + SL1 I1 + (I1 – I2)R1= 0V(t) = (SL1 +R1) I1(s) – I2(t) . R1

- Loop 2 :

VR1(I2-I1) + VR2 +VL2 + Vf(t) = 0

(I2-I1) R1 + I2(t) . R2 + L2didt

+ Vf (t) = 0

-Vf (t) = (R1 +R2 + SL2)I2 – I1 . R1

- Pers tambahan :

VR1 (I2- I1) + VR2 + VL2 + VC2 = 0

(I2 – I1) R1 + I2 . R2 + L2

d i2

dt +

1C

∫ i2dt = 0

(I2 – I1)R1 + I2 . R2 + SL2 . I2 + 1SC

I2 = 0

(R1 +R2 + SL2 +1SC

) I2 – I1 . R1= 0

I1 (t) = (R1+R2+SL2+1SC )I 2

R1

b. Fungsi transfer/alih :

Vf (s)VL (s )

=outputinput

=(R1+R2+SL2 ) I 2−I 1R1

(SL¿¿1+R1) I 1−I2 R1 ¿

Dimana I1 (s) = (R1+R2+SL2+1SC )I 2

R1

Sehingga :

Vf (s)VL (s )

=(R1+R2+SL2+

1sc )R1 . I 2−(R1+R2+SL2)I 2

R1(SL¿¿1+R1)×[(R1+R2+SL2+

1sc ) I 2

R1

]−I 2R1¿

Vf (s)VL (s )

=( 1sc ) . I 2

¿¿

Vf (s)VL (s )

= 1sc ¿¿

Fungsi alih :

VL(s) Vf (s)

VL (s) Vf (s)

VL (s) Vf (s)

VL (s) Vf(s)

G (s)

C. - Root Hurwitz

Bila H(s) = 1 ,maka

K ∙ G (s) = k

s (s2+s+2)(s+5)

Maka persamaannya karakteristik : c

s ( s2+s+2 ) ( s+5 ) = (s3 + s2+ 2s)(s+5)

= S4 + 4s3 +s3 +5s2 + 2s2 + 10 s

= s4 + 6s3 + 7s2 + 10s

Fungsi alih :

c (s )R (s )

=G(s )

1+G(s)=

k

s4+6 s3+7 s2+10 s

1+ ks4+6 s3+7 s2+10 s

Misal A = s4 + 6s3 + 7s2 + 10s , maka :

c (s )R (s )

=

kA

1+kA

=

kA

A+KA

=K

A+K = k

s4+6 s3+7 s2+10 s+k

Menentukan Root Hurwitz :

S4 1 7 k

S3 6 10 0

S2 10−6k

7 0

S1 k

Agar system stabil semua koefisien di kolom 1 positif semua dan k > 0 ,

10−6k

7 > 0

−6k7

> 10

−6k > 70

K < 706

Sehingga system kestabilan untuk root Hurwitz adalah

- Root Locus :Diketahui suatu persamaan :

G (s )= ks (s+4 )(s+1)

Fungsi alih (transfer fungsi) :

F ( s )= k

s3+5 s2+4 s+k

Input Output

Root locus pada sumbu nyata :

706

> K >0

- System ini memiliki , n= 3 yaitu : P1 = 0 P2 = 1P3 = 2

m=0

untuk titik uji 1 :

syarat sudut : ∠ s−∠ (s+4 )−∠ ( s+1 )=0o−0o−0o=0o(tIdak terpenuhi)

untuk titik uji 2 :

syarat sudut : ∠ s−∠ (s+4 )−∠ ( s+1 )=−180−0o−0o=0o( terpenuhi)

- Penentuan asimtot root Locus =

Banyaknya asimtot = banyaknya pole (n) – banyaknya zero (m) = 3 – 0 =3

Sudut asimtot = ±180°(2k+1)

3 , k = 0 , 1, 2 = 600 ,1800,-600

Titik potong asimtot pada sumbu nyata = ∑ p−∑ z

n−m=

0−4−13−0

=−1,67

- Persamaan karakteristik system adalah :

dKds

=0

ks (s+4 )(s+1) +1 = 0 atau K = - (s3+5s2+4s )

Sehingga :

dKds

=−(3 s2+10 s+4) , maka diperoleh akar – akar s1 = - 2,86 (tidak memenuhi)

Dan s2 = - 0,46 (memenuhi)

- Penentuan batas kestabilan system menggunakan criteria routh Hurwitz :

S3 1 4 S2 5 k

S1 4 −k5

0

S0 k

Syarat stabil tercapai bila 20 > K > 0, perpotongan root locus dengan sumbu khayal ini terjadi pada s=± j√4

- Maka gambar root Locus :

- Metode Niquist

Suatu system dengan fungsi alih loop tertutup :

Dimana :

Niquist = s= jω dengan syarat stabil (-1 , j , 0 ) , maka :

|G(s) | ∠ G (s)

∅=tan−1( imajinerreaktif

)

akar persamaan dapat dicari dengan :

s12=−b±√b2−4ac

2a

Jika G (s) = 5¿¿

|G(s) | = (s+1)3

Tanggapan frekuensi untuk system di atas adalah

Plot untuk metode niquist :

Diagram niquist

- Bode plot

suatu persamaan :

G (s) = 6

s (s+1 ) ( s+2 )

Input output

Penyelesaian :

G (s) = 6

s (s+1 ) ( s+2 )

¿6

jω( jω+1)( jω+2)

¿ 6

jω ( jω+1 ) 2(jω2

+1)

¿−20 log3

jω ( jω+1 )( jω2

+1)

¿−20 log3jω

−20 log3

( jω+1 )−20 log

3

(jω2

+1)

¿−20 log|9ω|−20 log| 9

√1+ω2|−20 log| 9

√1+ω2

4 |

Plot untuk persamaan di atas adalah :

Bode diagram