dart - discrete analytical ridgelet transform
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DART - Discrete Analytical Ridgelet Transform. Laboratoire IRCOM-SIC. Eric Andres et Philippe Carré David Helbert. Sommaire. Introduction Contexte DART 2D Exemple d’application 2D DART 3D Exemples d’applications Conclusion. Introduction. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Eric Andres et Philippe Carré
David Helbert
DART - Discrete Analytical Ridgelet Transform
Laboratoire IRCOM-SIC
Sommaire
IntroductionContexteDART 2DExemple d’application 2DDART 3DExemples d’applicationsConclusion
Introduction
Une nouvelle implantation de la transformée Ridgelet avec des droites discrètes analytiques est proposée : DART
But de la transformation Ridgelet : permettre une analyse « optimale » des ruptures linéaires dans une image.
Problème : peu d’implantations discrètes, pas forcément efficaces ou simples à mettre en œuvre.
Notre but : Proposer une transformation ridgelet aisée à implanter et inversible (à propriétés contrôlées).
Un des domaines d’applications privilégié semble être le débruitage
Contexte : transformationTransformation d’un signal nD : changement de base permettant d’obtenir une autre représentation des données (démarche non structurelle)
1. Définition de fonctions (formes) constituant la base
2. Mesures de ressemblances entre les données et les fonctions de bases Transformée (produit scalaire)
Fourier
But de la nouvelle représentation
Extraire d’une façon optimale l’information présente dans les données
Contexte : continue vs. discret
Transformation continue
Fonctions de base continues Discrétisation de l’intégrale
Application aux données discrètes •Non respect des propriétés de la base
•Complexité algorithme
•Opération adjointe absente
Transformation discrete
Fonctions de base discrètes
•Représentation orthogonale
•Algorithme rapide
•Opération adjointe parfaite
Contexte : ondelette
-20 0 20-0.05
0
0.05
0.1
Fréquence : 0.15, Longueur : 21
-20 0 20-0.05
0
0.05
0.1
Fréquence : 0.05, Longueur : 61
Idée•Définir des fonctions de bases localisées spatialement et associées à
une fréquence d ’oscilation précise
•Adapter la taille des fenêtres en fonction de la fréquence étudiée
Construction de bases discrètes orthogonales avec reconstruction
Sommaire
IntroductionContexteDART 2DExemple d’application 2DDART 3DExemples d’applicationsConclusion
Définition de la transformation Ridgelet 2D
Signal Représentation ondelettes
Contrairement à Fourier, les ondelettes sont très efficaces pour représenter / analyser des singularités ponctuelles
Mais nettement moins efficace pour représenter des singularités linéaires
[Candès98]
bord
ImageDomaine de
Radon
Point
Transformée ondelette
Transformée de Radon
Domaine des
RidgeletsDomaine de
Radon
Idée : en 2D, les points et les droites sont liées via la transformation de Radon
La transformation Ridgelet a été créé spécifiquement pour représenter efficacement les arêtes dans une image.
Définition de la transformation Ridgelet 2D
Les coefficients ridgelet sont donnés par une transformation ondelette 1D des projections de Radon
Définition de la transformation Ridgelet 2D
La transformée de Radon
Définir les lignes radiales
passant par l’origine de
l’image
Transformée de Fourier
2D de l’image
Transformée de Fourier 1D
inverse le long des lignes
Somme des pixels le long d’un ensemble de lignes
Définition de la transformation Ridgelet 2D
Stratégie classique Stratégie de Fourier
1. Calcul de la transformée de Radon discrète : Difficile à
réaliser.
2. Appliquer une transformée discrète en ondelettes sur chaque
projection : facile à implanter, stable et inversible avec les
bancs de filtres.
Stratégie pour la transformation Ridgelet 2D discrète
Stratégie de Lausanne
[Do&Vetterli2001][Do&Vetterli2001]
Somme des pixels le long d’un ensemble de lignes
Décomposition du domaine Décomposition du domaine de Fourier 3D en 3 cônesde Fourier 3D en 3 cônes
Stratégie de Stanford
Conversion de la grille cartésienne en une grille Conversion de la grille cartésienne en une grille pseudo-polairepseudo-polaire
[Averbuch Coifman Donoho Israeli Waldén2000][Averbuch Coifman Donoho Israeli Waldén2000]
iFFT 1D le long des lignes définies dans le domaine de Fourier
Sommaire
IntroductionContexteDART 2DExemple d’application 2DDART 3DExemples d’applicationsConclusion
Stratégie de Poitiers
Stratégie de calcul de la DART 2D :
Coefficients de Fourier
iFFT
FFT 2D Définition des
droites discrètes
Projection de l’image
Extraction des coefficients de Fourier
Transformée ondelette 1D le long des projections
Ridgelet
[Carré&Andres2002][Carré&Andres2002]Extraction des coefficients de Fourier
16
Transformation de Radon analytique discrète
DART : Stratégie de Fourier pour la transformation de Radon
Droites L[p,q] sont définies à l’aide de géométrie analytique discrète
Nous avons besoin d’une droite discrète avec : • une symétrie centrale, • formant une « bonne » approximation de la
droite euclidienne.
0
0
f1
f2
Domaine de FourierDomaine de Fourier
17
Les droites analytiques discrètes que nous avons utilisées sont définies par :
avec [p,q] la direction de projection de Radon et , une fonction de (p,q), l’épaisseur arithmétique
Droites naïves fermées (8-connexes)
Droites supercouvertures (4-connexes)
Droites pythagoriciennes fermées (8-connexes)
Transformation de Radon analytique discrète
0
0
Nous avons besoin d’un ensemble de directions [p,q] qui permettent une représentation complète (une couverture du domaine de Fourier)
Transformation de Radon analytique discrète
Le facteur de redondance varie avec l’épaisseur arithmétique de la droite
(par exemple 2.05 pour les droites naïves fermées et 3.05 pour les droites supercouvertures)
Naïf Supercouverture
Transformation de Radon analytique discrète
Coefficients de Fourier
iFFT 1D
FFT 2D
Définition des
droites discrètes
Projection de l’image
Ridgelet
DART Inverse
Coeffs ridgelets modifiés
Traitements (débruitage)
FFT 1D
iFFT 2D
Remise en place des coeffs de Fourier
Extraction des coefficients de Fourier
Transformée ondelette 1D le long des projections
SommaireIntroductionContexteDART 2DExemple d’application 2DDART 3DExemples d’applicationsConclusion
Pourquoi la DART est performante en débruitage
La transformée Ridgelet code efficacement les contours rectilignes
Droite discrète 1
Droite discrète 2
Pixels couverts par les deux
droites discrètes
Domaine de Fourier 2D couverts par deux droites analytiques discrètes
La DART est une transformée redondante
Répétition des informations dans le domaine des Ridgelets
Stratégie pour le débruitageStratégie pour le débruitage
• Seuillage des coefficients Ridgelet• Calcul de la DART inverse.
Le seuillage utilise une décomposition en ondelettes non-décimée
La variance du bruit est estimée par la valeur médiane absolue des coefficients de la première échelle
d ’ondelette pour chaque projection radiale
Paramètre de DonohoParamètre de Donoho
24
Influence de l’épaisseur analytique sur le débruitage
(a) (b) (SNR=15 dB)
naïve pythagoricienne supercouverture
Image Femme + bruit (=60)
NoisyNoisy Fwt : ondelettes orthoFwt : ondelettes ortho Uwt : ondelettes redondUwt : ondelettes redond
EPFLEPFL DARTDART LDARTLDART
Image Maison + bruit (=70)
NoisyNoisy Classical WaveletClassical Wavelet Undecimated WaveletUndecimated Wavelet
EPFLEPFL DARTDART LDARTLDART
DART pas efficace pour toutes les applications
Reconstruction partielle d ’une image artificielle à partir des 512 plus grands coefficients
OndeletteOndelette EPFLEPFL DARTDART
La redondance de la DART n’est pas un avantage ici
SommaireIntroductionContexteDART 2DExemple d’application 2DDART 3DExemples d’applicationsConclusion
Définition de la DART 3D
La transformée Radon 3D de s est définie par :
321321321 sinsincoscoscos,,,,3
dxdxdxtxxxxxxstRR
s
La transformée de Radon 3D
Définir les lignes radiales passant par l’origine de l’image
Transformée de Fourier 3D de
l’image
Transformée de Fourier 1D
inverse le long des lignes
Définition de la transformée Ridgelet 3DDéfinition de la transformée Ridgelet 3D
),,()(),,(²
,dttRtbar
R
sba
ondelettefonction et de 3DRadon de ée transformla avec ba,sRs bord
Image 3DDomaine de
Radon
Point
Transformée ondelette
Transformée de Radon 3D
Domaine des
RidgeletsDomaine de Radon
La transformée de Radon discrète 3D
1. Calcul de la transformée de Fourier 3D de l'image
3. Calcul de la transformée de Fourier 1D inverse pour chaque droite
Stratégie de calcul de la transformée de Radon discrète 3D :
2. Définition des droites discrètes 3D passant par l'origine pour chaque paramètre angulaire θ et
La transformée de Radon discrète 3D
rqprqprqpL ozxoyzoxyrqp ,,,,,,321 ,,,,
2/,,,, 13 pyqxZzyxrqpoxy
2/,,,, 23 qzryZzyxrqpoyz
2/,,,, 33 rxpzZzyxrqpozx
Définition d’une droite analytique discrète 3D
Droite naïve Droite supercouvertureDroite pythagoricienne
La transformée de Radon discrète 3DCouverture du volume par les droites
discrètes 3D
=> Domaine de Fourier 3D couvert par des droites supercouvertures
=> Domaine de Fourier 3D non couvert par des droites naïves et pythagoriciennes
Autre approche pour la Radon discrète 3D
1. Calcul de la transformée de Fourier 3D de l'image
4. Calcul de la transformée de Fourier 1D inverse pour chaque droite
3. Couvrir le plan par des droites analytiques discrètes 2D passant par l’origine et définies pour chaque paramètre angulaire
2. Définir des plans discrets passant par l’origine pour chaque paramètre angulaire
Définition des objets analytiques discrets
Les plans discrets :
Autre approche pour la Radon discrète 3D
x
yz, t
naïf pythagoricien supercouverture
Définition des objets analytiques discrets
Les droites discrètes 3D au final :
Autre approche pour la Radon discrète 3D
La projection du plan est pavé de droites 2D
xz
y
SommaireIntroductionContexteDART 2DExemple d’application 2DDART 3DExemples d’applicationsConclusion
Débruitage d’une image synthétique
Image originale Image bruitée
Image débruitée par une transformée en ondelette
Image débruitée par une DART
SNR=13,45 dB SNR=18,62 dB
SNR=9,62 dB
Débruitage d’une Image à Résonance Magnétique (1/2)
Image débruitée par une DART
Image originale Image bruitée
Image débruitée par une transformée ondelette
Débruitage d’une Image à Résonance Magnétique (2/2)
Image débruitée par une DART
Image originale Image bruitée
Image débruitée par une transformée en ondelette
Débruitage de la vidéo 1 (1/2)
SNR=0.051 dB
Vidéo originale Vidéo bruitée
Débruitage de la vidéo 1 (2/2)
SNR=6.17 dB SNR=7.47 dB
Vidéo débruitée par une DART
Vidéo débruitée par une transformée en ondelette redond.
Conclusion (1/3)
• La DART est facile à mettre en œuvre
• facile à inverser
• paramétrable avec l ’épaisseur arithmétique
• illustre l’intérêt de la géométrie discrète
• et constitue un bon outil de débruitage en 2D, 3D et ? 4D
Conclusion (2/3)Les perspectives
- Droites analytiques discrètes 3D plus fines pour limiter la redondance de la DART et ainsi obtenir de meilleurs résultats en reconstruction partielle
- Droites analytiques discrètes 3D plus épaisses pour augmenter la redondance de la DART et ainsi obtenir de meilleurs résultats en débruitage
- Loi d’interpolation pour pallier la non-couverture du domaine de Fourier par les droites 3D naïves et pythagoriciennes
Conclusion (3/3)La DART à fenêtres
DART 3D sur toutes les fenêtres
TraitementDART 3D inverse
sur toutes les fenêtres
Image 3D reconstruite