· daniel jatobÁ de holanda cavalcanti anÁlise da interaÇÃo solo-estrutura atravÉs do emprego...
TRANSCRIPT
DANIEL JATOBÁ DE HOLANDA CAVALCANTI
ANÁLISE DA INTERAÇÃO SOLO-ESTRUTURA ATRAVÉS DO EMPREGO CONJUNTO DOS MÉTODOS DOS ELEMENTOS
DE CONTORNO E ELEMENTOS FINITOS
ORIENTADOR: Prof. Dr. João Carlos Cordeiro Barbirato
CO-ORIENTADOR: Prof. Dr. Francisco Patrick Araujo Almeida
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil – PPGEC
Centro de Tecnologia – CTEC
Universidade Federal de Alagoas – UFAL
Maceió/AL, Junho de 2006.
DANIEL JATOBÁ DE HOLANDA CAVALCANTI
ANÁLISE DA INTERAÇÃO SOLO-ESTRUTURA ATRAVÉS DO EMPREGO CONJUNTO DOS MÉTODOS DOS ELEMENTOS
DE CONTORNO E ELEMENTOS FINITOS
ORIENTADOR: Prof. Dr. João Carlos Cordeiro Barbirato
CO-ORIENTADOR: Prof. Dr. Francisco Patrick Araujo Almeida
Maceió/AL, Junho de 2006.
Dissertação de mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil – PPGEC da Universidade Federal de Alagoas – UFAL, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Engenharia Civil.
Dedico este trabalho aos meus pais
Alexandre e Eliana que iluminados pelo
Espírito Santo me deram todo o apoio e
estímulo necessário para a sua conclusão.
AGRADECIMENTOS
Ao professor e amigo Dr. João Carlos Cordeiro Barbirato, pela orientação, serenidade e
equilibrio durante a preparação deste trabalho.
Ao professor e amigo Dr. Francisco Patrick Araujo Almeida, pela orientação e dedicação.
Aos meus irmãos Diogo Jatobá e Lívia Jatobá pelo apoio e estímulo dispensados durante a
preparação deste trabalho.
Aos amigos do PPGEC/UFAL, em especial a Antônio Carlos, Edvaldo Lisboa, Alexandre
Machado, Edson Pessoa, Fábio Martins, João Gilberto, Luciana Correia e Rodrigo Mero pela
convivência agradável, apoio e amizade.
À Renata, pela paciência durante este período de muita luta e dedicação.
Ao professor Dr. Severino Pereira Cavalcante Marques, pela sua competência e
compreensão no desenvolvimento de suas atividades.
A todo corpo docente do Programa de Pós Graduação em Engenharia Civil - PPGEC da
Universidade Federal de Alagoas pelos ensinamentos transmitidos ao longo do curso de Mestrado.
A DEUS que em todos os momentos, de alegrias e tris tezas, sempre está ao lado do ser
humano buscando ajudá- lo e incentivá- lo a superar todas as dificultades e problemas, iluminando-o
da melhor forma possível.
À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior – CAPES, pelo
financiamento da pesquisa.
RESUMO
CAVALCANTI, D.J.H. (2006). Análise da interação solo-estrutura através do emprego conjunto
dos Métodos dos Elementos de Contorno (MEC) e Elementos Finitos (MEF). 137p. Dissertação
(mestrado) – Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil, Universidade Federal de Alagoas.
Maceió. 2006.
Neste trabalho, propõe-se a análise do comportamento mecânico da interação solo -estrutura
a partir do desenvolvimento de um código computacional utilizando-se uma formulação estática
conjunta do Método dos Elementos de Contorno (MEC) e do Método dos Elementos Finitos
(MEF) para o cálculo de deslocamentos e tensões em estruturas em contato com o meio semi-
infinito.
Assim sendo, pretende-se modelar a estrutura a partir de elementos finitos de placa DKT
(discrete Kirchhoff triangle) e utilizar o conceito da formulação do Método dos Elementos de
Contorno (MEC) para modelar o solo, considerando-o como um espaço semi- infinito e/ou infinito
e utilizando a solução fundamental de Kelvin. O acoplamento entre os meios é feito aplicando-se a
técnica de sub-regiões.
A partir do desenvolvimento de um código computacional são processados alguns
exemplos de engenharia tais como: análise da interação solo -estrutura em fundações de placa
superficiais e enterradas e outras estruturas de engenharia, estudo do comportamento de um espaço
semi- infinito a partir da aplicação de um carregamento distribuído e carga concentrada, análise de
corpos submetidos à flexão e à tração, entre outras aplicações.
Palavras–chave: Interação Solo-Estrutura ; Método dos Elementos de Contorno; Método dos
Elementos Finitos; Acoplamento MEC/MEF.
ABSTRACT
CAVALCANTI, D.J.H. (2006). Soil-structure interaction analysis by the coupling of Boundary
Element Method (BEM) and Finite Element Method (FEM). 137p. M.Sc. Thesis – Programa de
Pós-Graduação em Engenharia Civil, Universidade Federal de Alagoas. Maceió. 2006.
In this work, it is proposed a mechanical behavior analysis of the soil-structure interaction
from the development of a computational code using a coupling static formulation of Boundary
Element Method (BEM) and Finite Element Method (FEM) for the displacements and stress
calculation in structures in contact to the half space.
Thus, it is intended to model the structure using the bending plate finite element DKT
(discrete Kirchhoff triangle) and applying the concepts of the Boundary Element Method (BEM)
formulation to model the soil, considered as a half- infinite and/or infinite space and using Kelvin’s
fundamental solution. The coupling between the media is done using the sub-regions technique.
From the computational code development some practical examples of engineering are
implemented, such as: soil-structure interaction analysis in superficial and buried plate foundations
and others engineering structures, study on the behavior of a half- infinite space from the
application of a distributed and concentrated load, analysis of bodies submitted to bend and
traction, among others applications.
Keywords: Soil-Structure Interaction; Bo undary Element Method; Finite Element Method;
BEM/FEM Coupling.
SUMÁRIO
Lista de Símbolos .................................................................................................. i
Lista de Figuras ..................................................................................................... iv
Lista de Tabelas ..................................................................................................... ix
1 – Considerações Iniciais ..................................................................................... 1
1.1 – Introdução. .............................................................................................. 1
1.2 – Estado da Arte ........................................................................................ 4
2 – Fundamentos Matemáticos............................................................................. 10
2.1 – Notação Indicial ...................................................................................... 10
2.2 – Delta de Krönecker ................................................................................. 11
2.3 – Delta de Dirac ......................................................................................... 12
2.4 – Teorema da Reciprocidade de Betti ....................................................... 14
2.5 – Teoremas de Green ................................................................................. 15
3 – Formulação do Método dos Elementos de Contorno ................................... 18
3.1 – Introdução ............................................................................................... 18
3.2 – Equações Básicas da Elastostática Linear ............................................... 18
3.3 – Solução Fundamental .............................................................................. 22
3.3.1 – Solução Fundamental de Kelvin ..................................................... 25
3.4 – Equações Integrais de Contorno ............................................................. 27
3.4.1 – Equação Integral para Pontos do Domínio ...................................... 27
3.4.2 – Equação Integral para Pontos do Contorno ..................................... 28
3.5 – Método dos Elementos de Contorno ...................................................... 31
3.5.1 – Discretizações .................................................................................. 31
3.5.2 – Elementos de Contorno ................................................................... 35
3.5.2.1 – Elemento de Interpolação Linear .............................................. 36
3.5.3 – Integrações Numéricas ..................................................................... 39
3.5.3.1 – Integração Singular ou Semi-Analítica .................................... 40
3.5.3.2 – Integração Numérica ................................................................. 46
3.5.4 – Deslocamentos e Tensões em Pontos do Domínio ......................... 47
3.5.5 – Tensões em Pontos do Contorno .................................................... 48
3.6 – Exemplos ............................................................................................... 52
3.6.1 – Exemplo 3.1 .................................................................................... 52
3.6.2 – Exemplo 3.2 .................................................................................... 58
3.6.3 – Exemplo 3.3 .................................................................................... 62
4 - Formulação do Elemento Finito DKT ........................................................... 69
4.1 – Introdução ............................................................................................... 69
4.2 – Estudo da Teoria de Placas e Definição do Elemento DKT .................. 70
4.2.1 – Considerações Iniciais .................................................................... 70
4.2.2 – Teoria de Placas Considerando Pequenos Deslo camentos ............. 72
4.2.3 – Matriz de Rigidez do Elemento DKT .............................................. 75
4.2.4 – Vetor de Forças Nodais Equivalentes do Elemento DKT ............... 80
4.2.5 – Definição dos Esforços Internos no Elemento ................................. 81
4.3 – Exemplos ............................................................................................... 81
4.3.1 – Exemplo 4.1 .................................................................................... 81
5 – O Acoplamento Entre o Método dos Elementos de Contorno (MEC) e o
Método dos Elementos Finitos (MEF) .................................................................. 88
5.1 – Introdução ............................................................................................... 88
5.2 – Representação Algébrica do MEC e do MEF ......................................... 89
5.3 – Aproximação para o Acoplamento entre o MEC e o MEF .................... 89
6 – Implementações Computacionais ................................................................... 96
6.1 – Introdução .............................................................................................. 96
6.2 – Algoritmo do MEC a partir da Formulação Elastostática ....................... 97
6.3 – Algoritmo do MEF a partir do Elemento DKT ....................................... 100
6.4 – Algoritmo do Acoplamento entre os Métodos ....................................... 102
7 – Aplicações ....................................................................................................... 105
7.1 – Exemplo 7.1 ............................................................................................ 105
7.2 – Exemplo 7.2 ............................................................................................ 113
7.3 – Exemplo 7.3 ............................................................................................ 118
7.4 – Considerações sobre os resultados .......................................................... 122
8 – Considerações finais ........................................................................................ 125
9 – Referências ....................................................................................................... 127
Anexo A ................................................................................................................... 134
Anexo B ................................................................................................................... 136
LISTA DE SÍMBOLOS
iu – Componentes do vetor de deslocamentos.
ip – Componentes do vetor de forças de superfície.
ib – Componentes do vetor de forças volumétricas.
ijσ – Componentes do tensor de tensões.
ijε – Componentes do tensor de deformações.
δij – Delta de Krönecker.
δ (x-d) – Distribuição Delta de Dirac
Ω – Domínio de um corpo qualquer em estado de equilíbrio.
Γ – Contorno de um corpo qualquer em estado de equilíbrio.
∇ – Operador gradiente.
2∇ – Operador Laplaciano.
µλ e – Constantes elásticas de Lamé.
E – Módulo de elasticidade longitudinal.
ν – Coeficiente de Poisson.
G – Módulo de elasticidade transversal ou módulo de elasticidade ao
cisalhamento.
s – Ponto fonte.
q – Ponto campo.
q)s,(u *ij
–
Componentes de deslocamentos para o problema fundamental de Kelvin
(3D).
q)s,(*ijkε
– Tensor de deformações para o problema fundamental de Kelvin (3D).
q)s,(*ijkσ
– Tensor de tensões para o problema fundamental de Kelvin (3D).
q)s,(p *ij
– Forças de superfície para o problema de Kelvin tridimensional.
r – Distância entre o ponto fonte s e o ponto de campo q.
ijk*S –
Tensor de 3ª ordem definido através da derivação dos tensores de
deslocamentos e forças de superfície do problema fundamental.
i
ijk*D –
Tensor de 3ª ordem definido através da derivação dos tensores de
deslocamentos e forças de superfície do problema fundamental.
ε – Raio da superfície esférica de domínio Ωε.
ijc –
Matriz dos coeficientes em função da localização do ponto a ser estudado
(fora do domínio do sólido, no contorno do sólido ou interno ao domínio do
mesmo).
ρ – Raio da esfera que faz analogia à região que representa um espaço semi-
infinito ou infinito (espaço de Kelvin), situação do problema a ser estudado.
nr
– Vetor normal ao contorno da superfície do elemento.
φ – Funções interpoladoras
jj P e U – Deslocamentos e forças de superfície aproximadas por seus valores nodais
para cada elemento j a ser discretizado.
jB – Valores nodais das forças volumétricas aplicadas nos nós funcionais.
*p – Matriz com as forças de superfície q)s,(p *ij .
*u – Matriz com os deslocamentos q)s,(u *ij .
jX – Coordenadas cartesianas dos pontos nodais da célula tridimensional para
discretização do domínio.
jcX –
Coordenadas cartesianas dos pontos geométricos da célula tridimensional
para discretização do domínio.
U – Vetor com os valores nodais dos deslocamentos.
P – Vetor com os valores nodais das forças de superfície.
H – Matriz definida pelo somatório das integrais que formam um produto com o
vetor dos valores nodais de deslocamentos.
G – Matriz definida pelo somatório da integral que forma um produto com o
vetor dos valores nodais das forças de superfície.
A – Matriz cheia e não simétrica que contém os elementos das matrizes H e G
após aplicação das condições de contorno.
X – Vetor misto que contém as incógnitas (deslocamentos e forças de
superfície).
ii
F – Vetor obtido da multiplicação da matriz G modificada pelo vetor de valores
prescritos.
iξ – Coordenadas de área para o elemento triangular linear descontínuo.
ji n e n – Vetores normais nas direções cartesianas i e j.
iX – Eixos cartesianos.
iη – Co-senos diretores da normal em relação aos eixos cartesianos.
ijm – Co-senos diretores no ponto em análise em relação ao eixo xi.
J – Jacobiano de transformação de coordenadas.
kw – Peso de Gauss no ponto k.
PGN – Número de pontos de Gauss a ser utilizado no elemento.
yx e ββ – Rotações da normal ao plano médio indeformado do elemento DKT.
yx e w, θθ – Graus de liberdade do elemento DKT.
zyx e , σσσ – Tensões normais atuantes no elemento finito DKT.
τxy, τxz e τyz – Tensões de cisalhamento atuantes no elemento finito DKT.
Mx e My – Momentos fletores atuantes em torno dos eixos x e y.
Mxy – Momento de torção.
Qx e Qy – Esforços cortantes segundo os eixos x e y.
bε – Matriz com o campo de deformações.
κ – Vetor de curvaturas
D – Rigidez a flexão da placa.
Dk – Matriz que relaciona esforços solicitantes e curvaturas.
UK – Energia interna de deformação.
ηξ e – Coordenadas adimensionais de área para o elemento DKT.
B – Matriz de transformação deformação x deslocamento.
KDKT – Matriz de rigidez do elemento DKT
En – Erro residual.
iii
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.3.1 – Pulso retangular unitário (dois exemplos) ............................................. 13
Figura 2.4.1 – Corpo em equilíbrio: (Contorno) e (Domínio) ΓΩ ............................... 14
Figura 2.4.2 – Definição de ** e ΓΩ do corpo virtual (Fundamental) .......................... 14
Figura 3.2.1 – Sólido tridimensional de domínio Ω e contorno Γ ............................. 18
Figura 3.2.2 – Elemento infinitesimal de volume ......................................................... 19
Figura 3.2.3 – Elemento infinitesimal de superfície (Tetraedro de Cauchy) ................ 20
Figura 3.2.4 – Valores prescritos de contorno ............................................................. 22
Figura 3.3.1 – Definição do problema fundamental .................................................... 23
Figura 3.3.2a – Definição geométrica do problema fundamental. (Fonte: BREBBIA
& DOMINGUEZ, 1989) ....................................................................... 23
Figura 3.3.2b – Componentes dos deslocamentos da solução fundamental da
superfície .............................................................................................. 24
Figura 3.3.2c – Componentes de forças de superfície da solução fundamental da
superfície ............................................................................................... 24
Figura 3.3.3 – Definição do vetor r para cálculo de suas derivadas ............................. 26
Figura 3.3.4 – Definição do problema fundamental de Kelvin ................................... 26
Figura 3.4.1 – Corte do contorno expandido no ponto suave ....................................... 29
Figura 3.4.2 – Corte do contorno expandido no ponto S (não suave ) .......................... 30
Figura 3.4.3 – Região infinita – espaço de Kelvin ....................................................... 31
Figura 3.5.1 –
(a) elementos de contorno constantes, (b) elementos de contorno
lineares e (c) elementos de contorno quadráticos (Fonte: Brebbia &
Dominguez, 1989) .................................................................................
32
Figura 3.5.2 – Tipos de elemento linear: (a) contínuo; (b) e (c) de transição; e (d)
descontínuo ........................................................................................... 36
iv
Figura 3.5.3 – Elemento triangular linear descontínuo ................................................. 37
Figura 3.5.4 – Definição da integração singular ........................................................... 40
Figura 3.5.5 – Representação do elemento unidimensional linear e integração no
contorno fictício do elemento triangular (Fonte: Barbirato, 1999) ....... 44
Figura 3.6.1 – Viga engastada com carregamento transversal na extremidade livre.... 52
Figura 3.6.2 –
Discretizações do contorno por elementos triangulares planos
descontínuos: (a) M40, 40 elementos, (b)M72, 72 elementos e
(c)M176, 176 elementos .......................................................................
53
Figura 3.6.3 – Representação gráfica da geometria da viga mostrando as
discretizações utilizadas: M40, M72 e M176 ....................................... 54
Figura 3.6.4 – Linha elástica da viga obtida pela teoria de vigas e pela discretização
M40 ....................................................................................................... 56
Figura 3.6.5 – Linha elástica da viga obtida pela teoria de vigas e pela discretização
M72 ....................................................................................................... 56
Figura 3.6.6 – Linha elástica da viga obtida pela teoria de vigas e pela discretização
M176...................................................................................................... 57
Figura 3.6.7 – Linha elástica da viga: comparativo de resultados ................................ 58
Figura 3.6.8 – Definição do sólido e suas condições de contorno ................................ 58
Figura 3.6.9a – Malhas de discretização: (a) e (b) M12 com 12 elementos e (c) e (d)
M44 com 44 elementos ......................................................................... 59
Figura 3.6.9b – Malhas de discretização: (e) e (f) M76 com 76 elementos ................ 60
Figura 3.6.10 – Área retangular (solo) na superfície livre do semi- infinito,
carregamento uniformemente distribuído ............................................. 62
Figura 3.6.11a– Discretizações utilizadas: (a) 16 elementos e (b) 64 elementos ............ 63
Figura 3.6.11b– Discretizações utilizadas: (c) 156 elementos ........................................ 64
Figura 3.6.12 –
Deslocamentos em X3 ao longo de X1 (em cm) – comparação entre a
sol. fund. de Kelvin utilizada nesse trabalho e as sol. fund. de Mindlin
e Kelvin utilizadas em BARBIRATO (1999)........................................
65
Figura 3.6.13 –
Deslocamentos em X3 ao longo de X2 (em cm) – comparação entre a
sol. fund. de Kelvin utilizada nesse trabalho e as sol. fund. de Mindlin
e Kelvin utilizadas em BARBIRATO (1999)........................................
65
v
Figura 3.6.14 – Visualização gráfica do meio semi- infinito – malha com16 elementos. 66
Figura 3.6.15 –
Deslocamentos em X3 ao longo de X1 (em cm) – comparação entre a
sol. fund. de Kelvin utilizada nesse trabalho e a sol. fund. de Mindlin
utilizada em BARBIRATO (1999)........................................................
66
Figura 3.6.16 –
Deslocamentos em X3 ao longo de X2 (em cm) – comparação entre a
sol. fund. de Kelvin utilizada nesse trabalho e a sol. fund. de Mindlin
utilizada em BARBIRATO (1999)........................................................
67
Figura 3.6.17 – Visualização gráfica do meio semi- infinito - malha com 64 elementos 67
Figura 4.1.1 – Definição do elemento finito DKT ........................................................ 70
Figura 4.2.1 – Tensões que agem em um elemento diferencial de uma placa. ............. 71
Figura 4.2.2 – Direções positivas de yx e ββ .............................................................. 73
Figura 4.2.3 – Coordenadas adimensionais de área r. e ,ηξ ........................................ 76
Figura 4.2.4 – Geometria do elemento finito DKT (Fonte: Batoz et al., 1980) ............ 78
Figura 4.2.5 – Carregamento uniformemente distribuído no elemento mostrando a
transformação para carregamento nodal equivalente............................. 81
Figura 4.3.1 – Exemplo 4.1: discretização da placa utilizando as malhas M1, M2,
M4 e M5............................................................................................... 83
Figura 4.3.2 –
Exemplo 4.1: discretização da placa utilizando as malhas: M10 (lado
da discretização dividida em 10 partes iguais e M20 (lado da
discretização dividida em 20 partes iguais) ..........................................
84
Figura 4.3.3 – Comparação de resultados para diversos tipos de carregamento aplicado .................................................................................................
85
Figura 4.3.4a – Comparativo de resultados para o exemplo 4.1 .................................... 86
Figura 4.3.4b – Comparativo de resultados para o exemplo 4.1 .................................... 87
Figura 5.3.1 –
Representação das sub-regiões ( 21 e ΩΩ ) modeladas por Elementos
de Contorno e Elementos Finitos (Fonte: Brebbia & Dominguez,
1989) .....................................................................................................
90
Figura 5.3.2 – Esquema de uma viga para utilização da técnica de sub-regiões: duas
sub-regiões Ω1 e Ω2 .............................................................................. 91
Figura 5.3.3 – Sub-região de domínio Ωf discretizada pelo MEF e sub-região de
domínio Ωc discretizada pelo MEC, no acoplamento ........................... 94
Figura 6.2.1 – Roteiro do algoritmo computacional para problemas estáticos ............ 97
vi
Figura 6.2.2a –
Leitura de dados para processamento do programa (Exemplo 3.3:
Malha com 16 elementos) ..................................................................... 98
Figura 6.2.2b – Leitura de dados para processamento do programa (Exemplo 3.3:
Malha com 16 elementos) ..................................................................... 99
Figura 6.2.3a –
1ª parte do arquivo com a entrada de dados referente as coordenadas
dos nós (linhas 7 a 19) e condições de contorno (linhas 20 a 30):
Exemplo 4.1 – Malha M2 com 9 nós e 8 elementos .............................
101
Figura 6.2.3b –
2ª parte do arquivo com a entrada de dados referente as propriedades
do material (linhas 32 a 46) e conectividade dos elementos (linhas 48
a 60): Exemplo 4.1 – Malha M2 com 9 nós e 8 elementos ..................
102
Figura 6.2.3c –
3ª parte do arquivo com a entrada de dados referente ao carregamento
prescrito: carga concentrada e carregamento distribuído (linhas 62 a
83): Exemplo 4.1 – Malha M2 com 9 nós e 8 elementos .....................
102
Figura 7.1.1 – Exemplo 7.1: Discretização da interface placa-solo por 49 nós e 72
elementos .............................................................................................. 105
Figura 7.1.2 – Exemplo 7.1: Discretização estendida com 109 nós e 160 elementos .. 106
Figura 7.1.3 – Visualização gráfica dos valores da tabela 7.1 para a discretização
estendida ............................................................................................... 107
Figura 7.1.4 – Visualização gráfica dos valores da tabela 7.2 para discretização com
49 nós e 72 elementos .......................................................................... 107
Figura 7.1.5 – Resultados para a solução fundamental de Kelvin: comparativo entre
as duas discretizações utilizadas ......................................................... 108
Figura 7.1.6 – Comparativo de Resultados .................................................................. 109
Figura 7.1.7 – Comportamento da placa h=20cm para a discretização estendida,
(valores em mm) ................................................................................... 110
Figura 7.1.8 – Comportamento da placa h=20cm para a discretização estendida em
escala cinemática, (valores em mm) .................................................... 110
Figura 7.1.9 – Comportamento da placa h=350cm para a discretização estendida,
(valores em mm) ................................................................................... 111
Figura 7.1.10 – Comportamento da placa h=350cm para a discretização estendida em
escala cinemática, (valores em mm) ..................................................... 111
vii
Figura 7.2.1 – Carga concentrada ‘P’ no centro da placa ............................................. 113
Figura 7.2.2 – Discretização estendida ......................................................................... 114
Figura 7.2.3 – Discretização da interface de contato placa-solo .................................. 114
Figura 7.2.4 – Variação do deslocamento em função da espessura da placa ............... 115
Figura 7.2.5 – Comportamento da placa (h=20cm): Discretização estendida ............. 115
Figura 7.2.6 – Comportamento da placa (h=20cm): Discretização estendida .............. 116
Figura 7.2.7 – Comportamento da placa (h=250cm): Discretização estend ida ............ 117
Figura 7.2.8 – Comportamento da placa (h=250cm): Discretização estendida ............ 117
Figura 7.3.1 – Carregamento distribuído parcialmente aplicado em 8 elementos da
discretização........................................................................................... 118
Figura 7.3.2 – Comparativo de resultados: Elemento de Placa DKT ........................... 119
Figura 7.3.3 – Carregamento distribuído parcialmente aplicado em 32 elementos da
discretização ......................................................................................... 120
Figura 7.3.4 – Comparativo de resultados: Elemento de Placa DKT .......................... 121
Figura 7.3.5 – Comparativo de resultados para a discretização estendida da análise
sujeita a diversos tipos de carregamento ............................................... 122
Figura 7.3.6 – Comparativo de resultados para a discretização da interface placa-
solo da análise sujeita a diversos tipos de carregamento ...................... 123
viii
LISTA DE TABELAS
Tabela 3.1 – Linha elástica da viga analisada (valores em cm): Discretização
M40 .................................................................................................... 55
Tabela 3.2 – Linha elástica da viga analisada (valores em cm): Discretização
M72 .................................................................................................... 56
Tabela 3.3 – Linha elástica da viga analisada (valores em cm): Discretização
M176 .................................................................................................. 57
Tabela 3.4a – Valores do deslocamento da viga analisada à tração para a
discretização M12, (valores em cm) .................................................. 60
Tabela 3.4b – Valores do deslocamento da viga analisada à tração para as
discretizações M40 e M76, (valores em cm) ..................................... 61
Tabela 3.5 – Deslocamentos em X3 ao longo de X1 (em cm), representados
graficamente na figura 3.6.12 ............................................................ 65
Tabela 3.6 – Deslocamentos em X3 ao longo de X2 (em cm), representados
graficamente na figura 3.6.13 ............................................................ 65
Tabela 3.7 – Deslocamentos em X3 ao longo de X1 (em cm), representados
graficamente na figura 3.6.15 ............................................................ 66
Tabela 3.8 – Deslocamentos em X3 ao longo de X2 (em cm), representados
graficamente na figura 3.6.16 ............................................................. 67
Tabela 4.1 – Deslocamento transversal (U) para placa quadrada ......................... 84
Tabela 7.1 – Valores de deslocamento no centro da placa em função da
espessura para a discretização estendida ............................................ 107
Tabela 7.2 – Valores de deslocamento no centro da placa em função da
espessura para a discretização com 49 nós e 72 elementos ............... 107
Tabela 7.3 – Valores do deslocamento da placa h=20cm (em mm) para a
discretização estendida ..................................................................... 110
Tabela 7.4 – Valores do deslocamento da placa h=350cm (em mm) para a
discretização estendida ...................................................................... 111
Tabela 7.5 – Discretização estendida ...................................................................... 113
Tabela 7.6 – Discretização da interface de contato placa-solo ............................... 114
ix ix ix
Tabela 7.7 – Valores do deslocamento da placa (h=20cm) (em mm):
Discretização estendida ......................................................................
116
Tabela 7.8 – Valores do deslocamento da placa (h=250cm) (em mm):
Discretização estendida ...................................................................... 117
Tabela 7.9 –
Resultados para as duas modelagens: comparação entre o
carregamento distribuído intermediário q8 e a carga concentrada
equivalente .........................................................................................
118
Tabela 7.10 –
Resultados para a duas modelagens: comparação entre o
carregamento distribuído intermediário q32 e a carga concentrada
equivalente .........................................................................................
121
Tabela A.1 – Valores das coordenadas naturais e dos pesos de Gauss ................... 135
x
1
1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS 1.1 - INTRODUÇÃO:
O Método dos Elementos de Contorno (MEC) vem se destacando entre os pesquisadores de
diversos centros de estudo como um importante método de simulação numérica, onde a solução
dos problemas físicos é calculada em pontos discretos (nós) que são definidos sobre o contorno
para os casos em que a solução fundamental é conhecida. Nesse método as equações diferenciais
que regem o domínio são transformadas em equações integrais aplicáveis à superfície ou contorno
do mesmo, reduzindo assim de uma unidade as dimensões de problemas lineares analisados e
facilitando a sua aplicação em extensões infinitas ou semi- infinitas, já que satisfazem a condição
de radiação e regiões com alta concentração de tensões. Por outro lado, a matriz do sistema é
geralmente cheia e não-simétrica.
Para obter-se a equação integral de contorno que possibilite a análise do problema, o MEC
necessita de uma solução fundamental. Esta representa a resposta em um ponto do domínio infinito
devido à aplicação de força unitária em outro ponto do mesmo domínio. “A utilização de uma
solução fundamental, que genericamente pode ser classificada como uma desvantagem, na verdade
proporciona precisão ao método” (BARBIRATO, 1999).
Em problemas de interação solo-estrutura o MEC têm-se mostrado eficiente e confiável. O
solo, considerado neste trabalho como um meio elástico e estático passa a ser discretizado pelo
MEC já que se trata de um domínio estendido ao espaço infinito (ou semi-infinito). Esse método
possui modelagem própria para tal domínio, uma vez que a solução fundamental utilizada no
método já contempla a influência do infinito (ou semi- infinito). O Método dos Elementos Finitos
(MEF), por ser uma técnica de domínio, pode trazer algumas implicações em análises que
envolvam domínios infinitos, pois estes devem ser interrompidos para que se gere uma
discretização finita, ocasionando a formação de um contorno fictício, podendo causar erros na
implementação numérica.
O MEF teve um crescimento extremamente rápido com os avanços tecnológicos no campo
da computação atingindo praticamente todos os problemas de engenharia. O MEF tem a
característica de aproximar a solução da equação diferencial que rege o problema físico, utilizando
valores do domínio de validade do problema, ou seja, valores das variáveis básicas do problema
associados a pontos internos e de contorno do espaço em análise. Esse método é caracterizado por
dividir fisicamente o contínuo em uma série de elementos, equacionando-os como sub-regiões
contínuas de forma individual e juntando-os para a solução do problema como um todo. A
2
formulação do MEF é, na maioria das vezes, baseada na técnica dos resíduos ponderados que
permite uma generalização maior do método. Porém seu equacionamento pode ainda ser
apresentado a partir dos princípios variacionais através da minimização de um funcional (COOK et
al., 1989 e SHAMES & DYM, 1985).
Para a discretização da estrutura em contato com o solo pode-se utilizar a formulação do
elemento finito DKT (discrete Kirchhoff triangle) que utiliza discretamente a teoria das placas de
Kirchhoff, também conhecida como teoria de pequenos deslocamentos de placas delgadas, onde as
deformações por esforço cortante e a energia de deformação causada por esse esforço são
desprezadas (BATHE, 1982 e COOK et al., 1989).
O estudo com problemas de interação solo-estrutura utilizando o emprego conjunto do
MEC e MEF a ser desenvolvido neste trabalho visa à obtenção de resultados mais precisos
(tensões e deslocamentos), como também aproveitar as vantagens e características distintas de cada
método, já que diversas são as simplificações utilizadas até hoje para se fazer tal tipo de análise.
Os programas computacionais com os quais se poderiam tentar tais simulações estão elaborados
em elementos finitos, o que limita muito o seu emprego devido ao volume de informações que se
precisa gerar e aos problemas relacionados à simulação de meios infinitos ou semi- infinitos. O
acoplamento dos dois métodos é bastante utilizado justamente por levar em conta as vantagens e
desvantagens que existem entre eles e objetivar o estudo mais complexo de casos de engenharia
onde existem, por exemplo, materiais com propriedades complexas e não-homogêneas, altas
concentrações de tensões e potenciais (BREBBIA & DOMINGUEZ, 1989).
Sendo assim, a abordagem da interação solo -estrutura através do acoplamento MEC e
MEF, objeto deste trabalho, é de grande interesse para solucionar muitos problemas e está presente
nas discussões sobre o desenvolvimento tecnológico atual.
O presente trabalho apresenta-se, portanto, no contexto da análise da interação solo-
estrutura através do emprego conjunto do Método dos Elementos de Contorno (MEC) e Método
dos Elementos Finitos (MEF). O objetivo principal é o estudo da interação solo-estrutura para
problemas de engenharia utilizando-se uma formulação conjunta do MEC e do MEF para analisar
o comportamento mecânico dos meios envolvidos.
A partir do objetivo principal surgem os objetivos específicos, que subsidiam o primeiro
com suas formulações. São eles: o desenvolvimento de um código computacional para o estudo de
exemplos de engenharia; o desenvolvimento de estudos para o acoplamento de dois métodos
numéricos MEC e MEF, onde o primeiro utilizará a formulação de Kelvin para o meio infinito
(solo) e o segundo utilizará o elemento de placa DKT (discrete Kirchhoff triangle) para discretizar
3
a estrutura da superfície; o estudo sobre computação ligada à análise estrutural – desenvolvimento
de software a partir da plataforma Matlab; a contribuição para a formação de recursos humanos
especializados para o desenvolvimento regional.
O trabalho final apresentado como parte dos requisitos para obtenção do título de mestre
em estruturas contempla as considerações iniciais do presente capítulo, bem como os demais
capítulos que fazem parte do escopo deste trabalho, organizados da seguinte forma:
No capítulo 2 são apresentados e definidos os fundamentos matemáticos necessários e
utilizados para o desenvolvimento da formulação do Método dos Elementos de Contorno.
No capítulo 3 é desenvolvida a formulação tridimensional elastostática do Método dos
Elementos de Contorno (MEC), utilizando os fundamentos matemáticos, representações integrais,
soluções fundamentais, bem como as correspondentes equações algébricas para a discretização do
solo em elementos de contorno. Neste capítulo também são apresentados e analisados exemplos de
estruturas de engenharia discretizadas através de elementos de contorno.
Em seguida, no capítulo 4, é apresentada a formulação do MEF utilizando-se o elemento
triangular de placa DKT para a discretização da estrutura. Neste capítulo é realizado um estudo
sobre placas: conceitos, hipóteses e equações para a apresentação da matriz de rigidez do elemento
finito DKT, tensões, deslocamentos, bem como do seu vetor de cargas nodais equivalentes para
carregamento uniformemente distribuído. São apresentados ainda exemplos de estruturas de
engenharia estudadas através do MEF.
O acoplamento do MEC e MEF é o objeto de estudo do capítulo 5. São definidas as
soluções para a compatibilização das equações governantes dos dois métodos, levando-se em
consideração que após o acoplamento dos dois métodos, a estrutura computacional de dados
(tensões e deformações) será disposta em MEC e MEF. Serão descritas as duas metodologias para
o acoplamento dos métodos para problemas de análise da interação solo-estrutura, bem como
apresentadas e discutidas algumas dificuldades do processo.
No capítulo 6 são apresentadas as implementações computacionais utilizadas, apresentando
as rotinas de implementação mais importantes. O sétimo capítulo é referente aos exemplos finais.
Nas conclusões gerais são apresentadas algumas considerações finais sobre os assuntos
abordados. Para finalizar são apresentadas as referências utilizadas em todo o desenvolvimento do
trabalho, bem como os anexos com o desenvolvimento e apresentação de equações importantes
para o completo entendimento dos diversos assuntos abordados.
4
1.2 - ESTADO DA ARTE:
Na última metade do século passado com o desenvolvimento da tecnologia da computação,
diversas técnicas numéricas de resolução de equações ou de sistemas de equações diferenciais
deram origem a eficientes ferramentas de cálculo possibilitando a análise dos mais variados
problemas de engenharia através dos métodos numéricos.
As técnicas de resolução de equações integrais de contorno surgem, neste contexto, com
procedimentos numéricos alternativos promissores para a resolução dos diversos problemas físicos
usuais das engenharias. Mais particularmente, o Método dos Elementos de Contorno (MEC ) vêm
ganhando espaço entre os pesquisadores dos mais conceituados centros de pesquisa. O método
teve seu início e evolução baseados nos esquemas de resolução de equações integrais, até então
vistos como um tipo de método analítico, embora aproximações das variáveis sobre o contorno
fossem usualmente adotadas.
A idéia básica do MEC consiste em transformar as equações diferenciais que regem o
domínio de um determinado problema em equações integrais aplicáveis à superfície ou contorno
do mesmo. Em seguida, é possível discretizar o contorno da região considerada, dividindo-o em
elementos – daí o nome elementos de contorno – como também relacionar as variáveis em pontos
do contorno através da solução fundamental.
Segundo ELLIOT1 apud VENTURINI (1988), foi Abel, em 1823, quem primeiro deduziu
uma equação integral para o tratamento de um problema físico, o pêndulo isócrono.
A obtenção matemática das equações integrais para problemas de elastostática surgiu no
século XIX, notadamente no trabalho de SOMIGLIANA2 (1886) apud BARBIRATO (1999)
denominada como Identidade Somigliana. Diversos trabalhos deram continuidade a esse contexto,
utilizando equações integrais, principalmente no campo da mecânica dos fluidos e potencial; pode-
se relacionar: FREDHOLM (1903), MUSKHELISHVILI (1953), VOLTERRA (1956) e
MIKHLIN3 (1957) apud BARBIRATO (1999).
1 ANDERSEN, R. S. et al. (1980). The application and numerical solution of integral equations. Alphen aan den Rijn, The Netherlands, Sijthoff & Noordhoff. 2 SOMIGLIANA, C. (1886). Sopra 1’equilibrio di um corpo elástico isótropo. 1I Nuovo cimento. Ser. 3, v. 17-20. 3 MIKHLIN, S.G. (1957). Integral equations. London. Pergamon Press (International series of monographs in pure and applied mathematics).
5
A formulação do método em uma primeira fase de sua história era mostrada a partir de
aproximações de equações integrais obtidas com o emprego de algum princípio clássico, como o
teorema de Betti. A utilização de equações integrais no contorno tornou-se uma alternativa para
também representar aproximadamente as equações governantes de problemas de valor de
contorno.
O trabalho de RIZZO (1967) foi o primeiro em que o tratamento das equações integrais
toma uma forma de técnica numérica similar à dos demais métodos – Método das Diferenças
Finitas e Método dos Elementos Finitos. O método proposto por Rizzo foi chamado de método das
equações integrais de contorno, já que era uma técnica alternativa das equações integrais em
problemas de elasticidade bi-dimensional, que usou elementos retilíneos para discretizar o
contorno onde as funções (deslocamentos e forças de superfície) assumiam valores constantes em
cada elemento. Segundo BECKER (1992), este trabalho é também o primeiro a propor a
abordagem direta para o tratamento das equações integrais, onde as incógnitas que aparecem nos
integrandos são as variáveis físicas do problema.
Visando um maior entendimento e aperfeiçoamento do método proposto e uma maior
divulgação do Método das Equações Integrais de Contorno, diversos trabalhos foram publicados
após o trabalho de RIZZO (1967). Pode-se citar os trabalhos de CRUSE (1969; 1973) que
mostraram o uso do método em problemas gerais de elasticidade tri-dimensional, RIZZO &
SHIPY (1968) onde foi sugerido o uso de sub-regiões para o tratamento de domínios não-
homogêneos, além de CRUSE & RIZZO (1968) e CRUSE & VAN BUREN (1971) que fizeram
uma análise para problemas não- lineares.
O grande avanço nos chamados métodos de contorno tem sua origem na tese de LACHAT
(1975), onde mostra-se bem mais abrangente que os trabalhos citados anteriormente. Neste
trabalho foi dada uma generalidade maior ao método, introduzindo em sua formulação as
representações paramétricas para a representação dos elementos de superfície e das funções
aproximadoras de deslocamentos e de forças de superfície. A técnica das sub-regiões aparece nesse
trabalho, não só para modelar corpos não homogêneos, mas como um recurso para facilitar a
resolução do sistema final de equações.
Após a tese de Lachat, as técnicas de resolução das equações integrais começaram a ser
interpretadas como um método numérico. Essa nova interpretação fica demonstrada no trabalho de
BREBBIA (1978) que formula as equações integrais a partir do método dos resíduos ponderados,
com uma conveniente escolha da função ponderadora. Esse novo enfoque dado à técnica permite
uma generalização ainda maior ao método.
6
Os problemas práticos de engenharia passaram a ser equacionados agora de uma forma
bastante consistente, utilizando-se para isso as respectivas formulações em termos de resíduos
ponderados e funções de forma tão utilizadas no Método dos Elementos Finitos. Brebbia foi o
primeiro a denominar a técnica de “Método dos Elementos de Contorno”, em 1978.
A partir de então, várias formulações foram propostas para análise dos mais variados
problemas de engenharia, podendo-se destacar aqui os relativos a não- linearidade física,
plasticidade, viscoelasticidade, viscoplasticidade, não-linearidade geométrica, mecânica da fratura,
contato, mecânica das rochas e dos solos, adensamento, percolação e efeitos dinâmicos, vibrações,
propagação de ondas, radiação, acústica, placas, cascas, concentração de tensão, interações solo-
estrutura, fluido-estrutura e acústica-estrutura, e outros.
No campo das engenharias, uma solução apropriada ao estudo de problemas relativos a
escavações, interação solo -estrutura e outros, foi publicada logo após o surgimento do Método dos
Elementos de Contorno, de autoria de NAKAGUMA (1979) que utilizou a solução fundamental de
Mindlin na formulação do método para análise de tensões em sólidos tridimensionais.
NAKAGUMA (1979), SÁ & TELLES (1986) e BARBIRATO (1991) utilizaram formulações do
MEC para análise tridimensional com as soluções fundamentais de Kelvin e Mindlin.
A aplicação do MEC para o estudo de problemas tridimensionais tem como precursores os
trabalhos de CRUSE (1969), LACHAT (1975) e NAKAGUMA (1979), já citados. Este tema
também é abordado em CUROTTO (1981), SILVA (1989), BARBIRATO (1991), CODA (1993),
entre outros.
KOCAK & MENGI (2000) apresenta um estudo de um modelo simples para analisar a
interação solo e estruturas tridimensionais. Neste trabalho, a região do solo, analisada em
elementos de contorno, foi dividida em camadas e cada camada representada por um modelo
paramétrico. Os parâmetros deste modelo foram determinados em termos da espessura e das
propriedades elásticas do subleito.
Além da possibilidade de combinarem-se regiões com quaisquer propriedades mecânicas,
lineares ou não, os problemas práticos exigem também a combinação entre partes estruturais de
diferentes naturezas, em muitos casos tratados por métodos numéricos diferentes.
Alguns algoritmos numéricos que combinam o Método dos Elementos de Contorno com
outras técnicas, já foram propostos por diversos autores.
7
Os trabalhos de ZIENKIEWICZ et al. (1977), SHAW & FALBY (1977) e OSIAS et al.
(1977)4 apud VENTURINI (1988) foram os primeiros a tratar sólidos onde uma parte é analisada
via Elementos de Contorno e o restante do domínio é discretizado e analisado pelo Método dos
Elementos Finitos.
A solução encontrada na combinação de ambas as técnicas numéricas é muito relevante em
diversos problemas práticos, tais como: domínios infinitos ou regiões de altas concentrações de
tensões são melhores representados por soluções com integrais no contorno e domínios com
comportamento não linear ou anisotrópico por soluções com integrais no domínio.
Um dos trabalhos a estudar as combinações de diferentes naturezas foi desenvolvido por
BANERJEE & BUTTERFIELD (1977) que estudou a interação solo -estrutura para analisar o
comportamento de grupos de estacas. WOOD & CREED (1982) também utilizaram combinações
do MEC e MEF para analisar interação solo-estrutura. Nesse caso particular, os autores mostraram
resultados obtidos na análise de uma plataforma off-shore apoiada em fundação composta por
estacas.
Atualmente existem diversos trabalhos na literatura que estudam a interação solo-estrutura
através do acoplamento entre o MEF e o MEC demonstrando desta forma a importância e o
crescimento desta ferramenta para o estudo dos problemas de engenharia.
KOMATSU (1995) desenvolveu um estudo de problemas de escavação através da
combinação Elementos de Contorno e Elementos Finitos. Foi apresentada uma combinação do
MEF com o MEC no acoplamento de uma estrutura reticulada em um domínio bidimensional. Para
o caso em análise, os elementos uniaxiais são tratados através do MEF, enquanto que o MEC é
utilizado na modelagem do meio contínuo que pode ser homogêneo ou não-homogêneo.
FERRO (1999) em seu trabalho, utilizou a combinação do MEC com o MEF para a análise
da interação entre estacas e o solo, considerado como um meio infinito tridimensional e
homogêneo. O meio contínuo tridimensional de domínio infinito é modelado pelo MEC, enquanto
as estacas consideradas como elementos reticulares são tratadas pelo MEF. Finalmente, uma
formulação para a análise do comportamento não- linear do solo na interface com a estaca é
desenvolvida, tornando o modelo mais abrangente.
MESQUITA & CODA (1999) formularam um novo estudo sobre escavações reforçadas
através da combinação entre o MEC e o MEF.
4 OSIAS, J.R.; WILSON, R.B. & SEITELMAN, L.A. (1977). Combined boundary integral equation finite element analysis of solids. In: Symposium on innovative numerical analysis in applied engineering science, 1 st, Versailles, CETIM.
8
No artigo publicado por VON ESTORFF & FIRUZIAAN (2000) é desenvolvida uma
formulação acoplada do MEF e MEC para a investigação da interação dinâmica solo estrutura
incluindo não linearidades, analisando uma resposta inelástica transiente de estruturas acopladas
com um meio semi- infinito. A estrutura e o solo circunvizinho no campo próximo são modelados
com Elementos Finitos. Neste trabalho verifica-se o uso de materiais elastoplásticos e não-
homogêneos e com efeitos de endurecimento. A radiação na região do solo em meio elástico é
discretizada através de Elementos de Contorno.
A análise da interação solo -estrutura através do acoplamento da equação de Somigliana
para discretizar o meio elástico e o sistema que vem dos elementos finitos para discretizar a
estrutura é desenvolvida no trabalho de GUARRACINO et al. (1992). Neste trabalho, algumas
características particulares do MEC aplicado para o meio elástico são analisadas, estas são
derivadas da escolha de uma solução fundamental. É possível encontrar uma matriz definida
positiva e simétrica que permitem com facilidade o acoplamento simples do MEF e MEC.
Como já foi dito no tópico anterior, a discretização da estrutura em contato com o solo será
desenvolvida através do MEF pela formulação do elemento finito DKT (discrete Kirchhoff
triangle) que faz parte do grupo de elementos discretos de Kirchhoff e é conhecido como um
elemento finito de placas à flexão, COOK et al. (1989).
As estruturas a serem estudadas são discretizadas como placas finas submetidas a
carregamentos ortogonais ao plano médio, ou superfície média. A teoria de Kirchhoff é utilizada
onde seções planas permanecem planas após a deformação da estrutura, ou seja, qualquer reta
perpendicular à superfície média antes do carregamento, permanece perpendicular à superfície
média deformada após o carregamento. Toda a formulação de discretização da estrutura através do
MEF terá como fundamento básico os trabalhos de BATHE (1982), COOK et al. (1989),
ZIENKIEWICZ & TAYLOR (1989) e RAO (1999).
BATOZ et al. (1980) faz uma avaliação dos elementos triangulares para discretização de
placas à flexão com o objetivo de identificar o elemento finito mais eficiente para a análise de
placas finas. Baseado numa revisão dos elementos disponíveis na literatura com 9 graus de
liberdade foi desenvolvido um estudo com os elementos DKT (discrete Kirchhoff triangle), HSM
(hybrid stress model) e SRI (selective reduced integration). São discutidas as novas e eficientes
formulações desses elementos e os resultados de diversos exemplos práticos analisados são
disponíveis. Foi concluído que os mais eficientes são os elementos DKT e HSM.
9
BATOZ (1982) desenvolve em um outro trabalho, uma nova expressão explícita da matriz
de rigidez do elemento DKT. Alguns resultados numéricos interessantes avaliando o
comportamento deste elemento são apresentados e discutidos.
No trabalho de JEYACHANDRABOSE et al. (1985) a matriz de rigidez para o elemento
DKT é formulada explicitamente num sistema de coordenadas globais. Esta aproximação faz com
que não seja necessária a transformação da rigidez e propriedades dos elementos de coordenadas
local para global na qual é solicitada em diversos outros artigos e trabalhos. É adicionado um
código computacional em FORTRAN 77 para montagem da matriz de rigidez do elemento em
coordenadas globais.
Um outro trabalho bastante interessante foi desenvolvido por BATOZ & LARDEUR
(1989), onde é desenvolvida a formulação de um novo elemento triangular de 3 nós e 9 graus de
liberdade válido para a análise de placas finas. A formulação é baseada na generalização da técnica
discreta de Kirchhoff incluindo os efeitos cortantes transversais. O elemento é conhecido como
DST (discrete shear triangle).
OSHIMA (2004) apresenta uma formulação mista do MEC e do MEF. Nessa formulação,
as estacas são modeladas através do MEF como elementos de barra e o solo através do MEC,
como um meio contínuo, elástico linear, isótropo e homogêneo, utilizando as soluções
fundamentais de Mindlin. A seguir, apresentam-se alguns exemplos numéricos obtidos a partir da
formulação proposta e compara-se com modelos de outros autores.
No trabalho de RIBEIRO (2005), que estuda a interação do solo com a estrutura, o solo é
modelado pelo MEC tridimensional, aplicando a solução fundamental de Kelvin. Neste trabalho, é
possível analisar problemas onde o solo é composto por camadas de diferentes características
físicas, apoiadas em uma superfície de deslocamento nulo e enrijecidas por elementos de fundação,
também modelados pelo MEC tridimensional.
Podem-se citar ainda os trabalhos de PAIVA & BUTTERFIELD (1997) que apresenta uma
formulação do Método dos Elementos de Contorno para analisar problemas de interação placa –
solo e MENDONÇA & PAIVA (2000), onde é desenvolvida uma análise elastostática de radiers
estaqueados pelo método dos elementos de contorno.
Outros trabalhos importantes e utilizados para o desenvolvimento da pesquisa são: CODA
(1993), BERNAT & CAMBOU (1998), CODA & VENTURINI (2000), KARINSKI et al. (2003)
e ALMEIDA (2003).
10
2 - FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
Os fundamentos matemáticos utilizados no desenvolvimento do trabalho e que servem de
auxílio para uma melhor compreensão das teorias apresentadas são descritos neste tópico.
2.1 - NOTAÇÃO INDICIAL
A notação indicial é uma forma compacta de se representar e manipular sistemas de
equações, combinações lineares e somatórios através de índices, possuindo uma grande utilidade
em diversas situações, como por exemplo, ao se trabalhar com as relações constitutivas dos
materiais. Esta notação é feita através do emprego de índices repetidos e livres combinada com
operações empregando estes índices, objetivando uma forma sucinta e elegante de escrita.
Por exemplo, um conjunto de variáveis x1 , x2 , x 3 será denotado por xi , representando
desta forma, o sistema de coordenadas cartesianas, onde as direções cartesianas são definidas pelos
índices 1, 2 e 3. Nesta notação, os índices podem ser denotados como um subscrito ou sobrescrito,
ou seja, x i ou x i são ambos válidos. Algumas variáveis encontradas no trabalho são:
deslocamentos, iu ; forças de superfície, ip ; forças de volume, ib ; tensor de tensões, ijσ ; tensor de
deformações, ijε ; dentre outras.
Durante o desenvolvimento deste trabalho são apresentadas expressões na forma de
somatório. A convenção é a seguinte: a repetição de um índice em um termo representará um
somatório com respeito a esse índice no seu intervalo de variação. Em geral, é utilizada uma
variação de 1 a 3 para problemas tridimensionais. Por exemplo,
bij c j⋅
1
3
j
bij c j⋅∑=
bi1 c1⋅ bi2 c2⋅+ bi3 c3⋅+ ai
, i = j = 1,2,3. (2.1.1)
ou seja,
b ij c j =
=++=++
=++
3. i para 2, i para
1, i para
333232131
323222121
313212111
cbcbcbcbcbcb
cbcbcb
(2.1.2)
e
11
a
1
n
i
wi∑= 1
3
j
bij c j⋅∑=
⋅ wi bij cj⋅( )⋅
(2.1.3)
As operações de derivação também podem ser representadas via notação indicial. Observe -
se o seguinte exemplo para a derivada parcial de u e v,
lil
i,u
xu
=∂∂
(2.1.4)
kijk
ij,v
x
v=
∂
∂ (2.1.5)
lkijkl
ij,
2
wxx
w=
∂∂
∂ (2.1.6)
Pode-se ainda, aplicar a regra da cadeia para encontrar a derivada de uma função composta,
como por exemplo u = u(bj(xi)), ou seja
ij,j,i, b u u = (2.1.7)
Existem alguns trabalhos onde se pode obter mais informações sobre a notação indicial tais
como MASE (1970), BREBBIA & DOMINGUES (1989), KANE, J.H. (1994), entre outros.
2.2 – DELTA DE KRÖNECKER
O símbolo ijδ (i,j = 1,2,3) é denominado delta de Krönecker e definido como:
=,0,1
ijδ
(2.2.1)
Como i e j são índices livres no termo ijδ e ambos variam de 1 a 3, tem-se um total de 9
valores dados segundo a definição de ijδ por
1332211 === δδδ (2.2.2)
0323123211312 ====== δδδδδδ (2.2.3)
se i = j
se i ≠ j
12
Em notação matricial, tem-se
=
100010001
333231
232221
131211
δδδδδδδδδ
, (2.2.4)
ou seja, o delta de Krönecker se reduz a matriz identidade de ordem 3, podendo ser denotado como
[ ]ijδ = [ ]I .
Utilizando-se ainda, a notação indicial, tem-se
.
,
332211 ,3
injnmjim
jjiiijij
ijij
ii
TTT
aa
δδδδ
δ
δδδδδ
=
==
==++=
(2.2.5a-d)
2.3 – DELTA DE DIRAC
O conceito da distribuição Delta de Dirac é muito importante para a formulação do Método
dos Elementos de Contorno (MEC). A distribuição Delta de Dirac é uma função geral que pode ser
definida como o limite de uma função normal, a qual é zero para todos os pontos do domínio,
exceto para o ponto em que o argumento da função é nulo. Neste ponto o limite tende para um
valor infinito, como definido na função abaixo:
∫Ω
ρ=Ωδρ
=∞=δ≠=δ
(s). q)d- (s(q)
e s; q se , q) - (s
s; q se ,0)q- s(
(2.3.1)
onde p e q são pontos do domínio Ω , e ρ (q) uma função qualquer.
Com o objetivo de elaborar uma descrição matemática do ponto de excitação da fonte, será
definida a função pulso retangular unitário, definida por F(x,d,a).
13
A função F(x,d,a), representada na figura 2.3.1, tem como característica o valor unitário de
sua integral qualquer que seja o domínio. É definida da seguinte forma:
F(x,d,a) =
+>
+≤≤
<
2a
d x se ,0
22a - d se ,1
2a
- d x se ,0
adxa
(2.3.2)
x
F
d
1/a
a
d
1/a
F a
x
Denomina-se de distribuição Delta de Dirac o limite da função pulso unitário quando a
largura “a” do retângulo tende para a zero, ou seja, tende ao infinito.
δ x d−( )
0aF x d, a,( )lim
→ (2.3.3)
A distribuição Delta de Dirac é muito utilizada em diversos problemas de engenharia onde
as excitações são idealizadas como se acontecessem de forma pontual. Cargas concentradas em
mecânica dos sólidos e fontes concentradas de energia interna em análises térmicas são dois
exemplos de aplicação. No MEC, esta função será utilizada para o desenvolvimento das soluções
diferenciais.
Figura 2.3.1 – Pulso retangular unitário (dois exemplos).
14
A
2.4 – TEOREMA DA RECIPROCIDADE DE BETTI
Seja o corpo definido por Ω + Γ que está em estado de equilíbrio sob a ação de forças e
deslocamentos prescritos.
Este estado de equilíbrio é representado por ijσ , ijε , ip e ib .
Agora, será considerada a existência de um domínio *Ω com contorno *Γ que contém o
corpo Ω + Γ já definido na figura 2.4.1.
Esta nova região definida na figura 2.4.2 também está em estado de equilíbrio representado
por *ijσ , *
ijε , *ip e *
ib .
Figura 2.4.1 – Definição do corpo de interesse: ( ) .(Contorno) e Domínio ΓΩ
Figura 2.4.2 – Definição de ** e ΓΩ do corpo virtual (Fundamental).
15
Aplicando a definição da lei de Hooke para um material elástico isotrópico, para os dois
estados de tensão anteriormente definidos, tem-se:
ijσ = ijklC klε
*ijσ = ijklC *
klε (2.4.1a-b)
onde:
ijklC = νν 21
2−G
)(G ik jkiljlklij δδδδδδ ++ (2.4.2)
sendo G o módulo de elasticidade transversal ou módulo de elasticidade ao cisalhamento do
material e ν o coeficiente de Poisson.
Então, pode-se escrever:
) (C C *ijklkl
*klijkl
*ijijijij εεεεεσ == (2.4.3)
Por simetria, tem-se que:
klijijkl C C = (2.4.4)
logo:
*kl
*klijkl
* ) (C klijijij σεεεεσ == (2.4.5)
Utilizando as propriedades de notação indicial e integrando os dois membros, pode-se
escrever a expressão (2.4.5) da seguinte forma
∫ ∫Ω Ω
Ω=Ω d d *ij
*ijijij εσεσ (2.4.6)
A expressão acima define o teorema da reciprocidade de Betti, ou seja, o trabalho realizado
pelas tensões no corpo ** e ΓΩ sobre as deformações no corpo Ω + Γ é igual ao trabalho
realizado pelas tensões no corpo Ω + Γ sobre as deformações no corpo ** e ΓΩ .
2.5 – TEOREMAS DE GREEN
Os operadores gradiente e laplaciano, no espaço tridimensional, serão chamados de 2 e ∇∇
respectivamente e definidos por:
z
ky
jx ∂
∂+∂∂+
∂∂=∇
→→→
i (2.5.1a)
16
22
2
2
22
x .
zy ∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇∇=∇ (2.5.1b)
onde k e j ,→→→
i representam os versores nas direções x, y e z respectivamente.
Considere-se, agora, um domínio consistindo de um volume Ω limitado por um contorno
Γ , suave por partes, onde as funções F(x,y), escalar, e →
G (x,y), vetorial, têm primeira derivada
contínua em relação às coordenadas cartesianas. Neste caso, valem os seguintes teoremas:
∫∫ ∫ΓΩ Ω
Γ=Ω∇=Ω Fdn Fd grad(F).d (2.5.2a)
conhecido como o Teorema do Gradiente, e
∫ ∫ ∫Ω Ω Γ
→Γ=Ω∇=Ω d G.n dG. d)Gdiv( (2.5.2b)
conhecido como o Teorema da Divergência, onde o ponto, (.), representa o produto escalar de
vetores, →
n representa o versor normal externo ao contorno Γ . Em três dimensões, as equações
acima são equivalentes a
Γ++=Ω∂∂
+∂∂
+∂∂ →→→
Γ
→→→
Ω∫∫ Fd)nnni( d)i( zyx kj
zF
kyF
jxF
(2.5.3a)
e
Γ++=Ω∂
∂+
∂
∂+
∂∂ ∫∫
ΓΩ
d)GnGnGn( d)( zzyyxxzG
y
G
xG zyx
(2.5.3b)
Respectivamente, e )G e G ,G(n e n ,n zyxzyx são os componentes cartesianos de )G(n→→
.
A partir dos teoremas definidos anteriormente, pode-se demonstrar algumas identidades
que são utilizadas nas formulações apresentadas no decorrer do trabalho, tais como:
∫∫ ∫ΓΩ Ω
Γ+Ω∇=Ω∇ FHd n H)Fd(- Hd)F( (2.5.4a)
∫ ∫ ∫Ω Ω Γ
→→Γ+Ω∇=Ω∇ dGF.n dG).F(- d)G.F( (2.5.4b)
17
∫ ∫ ∫∫Ω Γ ΓΩ
Γ∂∂=Γ∇=Ω∇∇+Ω∇ HdnF F)Hd(n Hd.F F)Hd( 2
(2.5.4c)
H(x,y) representa uma função escalar com as mesmas propriedades de F(x,y).
O teorema da divergência pode ser utilizado para relacionar duas variáveis no volume Ω .
Assumindo-se a existência de duas variáveis, λφ e , com primeiras e segundas derivadas contínuas
no volume Ω , e empregando-se as eqs. (2.5.1b) e (2.5.3), é possível demonstrar a que a seguinte
identidade, conhecida como o Teorema de Green, é válida:
∫ ∫Ω Γ
Γ∂∂
∂∂
=Ω∇∇ d)n
- n
( d) - ( 22 φλ
λφφλλφ (2.5.5)
.
18
3 - FORMULAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE
CONTORNO
3.1- INTRODUÇÃO
A formulação estática do Método dos Elementos de Contorno (MEC) para sólidos elásticos
tridimensionais é apresentada neste capítulo. As representações integrais mostradas são
equacionadas a partir do teorema de Betti, embora também seja comum a utilização do método dos
resíduos ponderados para essa finalidade. As características da formulação para problemas
elastostáticos são aplicadas no equacionamento das representações integrais, na discretização do
sólido e geração dos sistemas algébricos.
O capítulo inicia-se com uma revisão das equações básicas da elastostática linear que são
utilizadas para gerar as referidas integrais de contorno. Em um próximo tópico é apresentada a
solução fundamental de Kelvin que é utilizada para deduzir as representações integrais para pontos
do domínio e especificamente para o contorno. Em seguida, é apresentada a discretização do
contorno do corpo através do elemento de contorno triangular linear descontínuo, determinando-se
as equações matriciais do MEC propriamente dito, bem como os procedimentos utilizados para a
integração numérica. As expressões algébricas para o cálculo de deslocamentos e tensões em
pontos do contorno e do domínio também são mostradas.
3.2 - EQUAÇÕES BÁSICAS DA ELASTOSTÁTICA LINEAR Seja um sólido tridimensional elástico- linear, isotrópico e homogêneo em equilíbrio
estático definido por um domínio Ω e contorno Γ , sobre o qual atuam forças de superfície
ip (atuam apenas sobre a superfície do corpo) e forças volumétricas ib (atuam sobre o volume do
corpo), de acordo com a figura 3.2.1.
Figura 3.2.1 – Sólido tridimensional de domínio Ω e contorno Γ .
19
A equação diferencial de equilíbrio estático no interior do domínio Ω de um corpo é dada
por
0 (s)b (s)s ijij, =+ , i,j = 1,2,3 (3.2.1)
onde s)(jij,σ representa a derivada das componentes do tensor de tensão, bi(s) é o vetor com as
componentes das forças volumétricas e “s” representa o ponto material analisado, conforme mostra
a figura 3.2.2.
Levando-se em consideração que o tensor de tensões s)(ijσ é simétrico, pode-se ainda
escrever
s)(ijσ = s)(jiσ (3.2.2)
Após a análise do equilíbrio estático no domínio, precisa-se representar a equação
diferencial que rege o equilíbrio de forças atuantes no contorno do corpo, logo, é tomado um
elemento infinitesimal situado no contorno do sólido.
As componentes das forças de superfície ( )p i atuantes em um ponto “s” localizado em
qualquer superfície Γ do corpo são expressas através das seis componentes do tensor de tensões.
Essa expressão é conhecida como fórmula de Cauchy e é definida fazendo-se equilíbrio nas três
direções cartesianas, conforme mostra a figura 3.2.3.
Figura 3.2.2 - Elemento infinitesimal de volume.
20
Considerando o equilíbrio nas três direções encontra-se
jiji n)s( )s(p σ= (3.2.3)
onde jn são os co-senos diretores dos ângulos entre a normal n e os eixos 3 21 xe x,x .
Além do tensor de tensões s)(ijσ , das forças de superfície )(p i s e das forças
volumétricas )(b i s e considerando regime de pequenas deformações, pode-se definir ainda o tensor
de deformações s)(ijε - que depende do vetor deslocamento (s)u i - vetor este que representa a
mudança de posição de cada ponto do sólido
s))(u s)(u(21
(s) ij,ji,ij +=ε (3.2.4)
A eq. (3.2.4) define as relações entre deformação e deslocamento, também chamadas de
cinemáticas.
A partir das equações até então mostradas, descreve-se a relação constitutiva conhecida
como Lei de Hooke da teoria da elasticidade que relaciona os tensores de tensão e deformação de
um corpo homogêneo, isotrópico e elástico-linear, conforme mostrado abaixo
ijkkijij 2 s)( µεελδσ += (3.2.5)
onde ijδ é o delta de Kronecker já definido no tópico 2.2.
A equação inversa de (3.2.5) pode ser escrita como
Figura 3.2.3 – Elemento infinitesimal de superfície (Tetraedro de Cauchy).
21
ijkkij
ij 21
)2 (32
- σµ
σµλµ
λδε +
+= (3.2.6)
As constantes elásticas de Lamé ( ) e µλ , utilizadas em (3.2.5) e (3.2.6), podem ser
expressas em termos do módulo de elasticidade longitudinal ou módulo de Young (E), do
coeficiente de Poisson ( )ν e do módulo de elasticidade transversal ou módulo de elasticidade ao
cisalhamento (G)
)2 - )(1 (1
E e
) 2(1E
G νν
νλ
νµ
+=
+== (3.2.7a-b)
Outros detalhes sobre a Lei de Hooke podem ser encontrados em BREBBIA &
DOMINGUEZ (1989), SHAMES & COZZARELLI (1992) e LOPES JR. (1996).
O valor do tensor de tensão encontrado em (3.2.5) pode também ser expresso em termos de
deslocamentos. Assim, substituindo-se a eq. (3.2.4) na eq. (3.2.5), obtém-se:
s))(u s)((u s)(u2 - 1
2 s)( ij,ji,kk,ijij ++= µδ
νµν
σ (3.2.8)
Pode-se obter ainda o vetor de forças de superfície expresso em função dos deslocamentos
substituindo a eq. (3.2.8) na eq. (3.2.3), como indicado abaixo:
iji,jij,ikk,i ))s(u s)((u s)(u2 - 1
2 s)(p η+ηµ+η
νµν
= (3.2.9)
onde iji, s)(u η é a derivada de s)(u i em relação à direção normal à superfície definida em ‘s’.
Fazendo agora a substituição da eq. (3.2.8) na eq. (3.2.1) encontra-se a equação diferencial
do problema elástico em termos de deslocamentos conhecida como equação de Navier-Cauchy
para a estática definida como :
0s)(b
s)(u2 - 1
1 s)(u i
ijj,jji, =++µν
(3.2.10)
As equações até aqui analisadas contêm as relações necessárias para o estudo de um
problema elástico qualquer tridimensional, porém é necessário que se conheçam as condições de
contorno do corpo.
No estudo da mecânica dos sólidos, os valores prescritos de contorno são os deslocame ntos
iu e as forças de superfície ip . Logo, as condições de contorno são apresentadas a partir dessas
variáveis definidas no contorno do corpo. Desde já, para proceder esse tipo de análise, é necessário
dividir o contorno do sólido Γ em dois contornos distintos 21 e ΓΓ , ou seja 21 Γ+Γ=Γ . Os trechos
22
21 e ΓΓ são apenas ilustrativos, já que os mesmos podem ter tanto condições prescritas de
deslocamento como de forças de superfície.
Como mostrado na figura (3.2.4), no contorno 1Γ a variável deslocamento prescrita
representa a condição de contorno, isto é
)essenciais (condições de ponto um s para , s)(u q)(u 1ii Γ=
naturais) (condições de ponto um s para , s)(p s)(p 2ii Γ= (3.2.11a-b)
Vale lembrar que as condições de contorno não necessariamente são aplicadas em partes
separadas do contorno e a barra sobre as variáveis indica valores prescritos.
3.3 - SOLUÇÃO FUNDAMENTAL A formulação das equações integrais de contorno para problemas elastostáticos a ser
descrita no tópico 3.4 requer o conhecimento da solução fundamental para sólidos tridimensionais
elásticos, homogêneos e isótropos que pode ser escolhida de acordo com o problema a ser
solucionado.
Nesse trabalho é utilizada a solução fundamental de Kelvin que considera a influência em
um domínio infinito ocasionada pela aplicação de uma carga concentrada e unitária.
Visando um maior esclarecimento na definição do problema fundamental, pode-se
considerar um domínio infinito *Ω cujo contorno é denotado por *Γ . O sólido que se pretende
estudar possui domínio Ω e contorno Γ e está contido no domínio *Ω , conforme mostrado na
figura 3.3.1.
Figura 3.2.4 – Valores prescritos de contorno.
23
A solução fundamental do problema a ser analisado consiste em estudar os efeitos causados
pela aplicação de uma força unitária estática em um ponto s do domínio (ponto fonte), nas direções
cartesianas, em um outro ponto q no infinito (ponto de campo).
Esses efeitos causados no ponto de campo são definidos através dos deslocamentos *iju e
forças de superfície *ijp , onde o primeiro índice representa a direção cartesiana de aplicação da
força e o segundo a direção do efeito medido, conforme figuras 3.3.2a, 3.3.2b e 3.3.2c.
Figura 3.3.1 – Definição do problema fundamental.
Figura 3.3.2a – Definição geométrica do problema fundamental. (Fonte: BREBBIA & DOMINGUEZ, 1989)
24
Figura 3.3.2b – Componentes dos deslocamentos da solução fundamental da superfície.
Figura 3.3.2c – Componentes de forças de superfície da solução fundamental da superfície.
25
Aplicando a distribuição Delta de Dirac e Delta de Krönecker, já definida nos fundamentos
matemáticos, na força unitária aplicada no ponto fonte s, pode-se definir as forças volumétricas no
domínio do sólido como sendo
kii q)(s, q)(b δδ= (3.3.1)
Substituindo a expressão (3.3.1) nas eqs. (3.2.1) e (3.2.10), tem-se
0 q)(s, q)(s, kijkij,* =+ δδσ (3.3.2a)
0 q)s,(1
q)(s,u q)(s,u21
1ki jjki,
*jikj,
* =++−
δδµν
(3.3.2b)
que representam as expressões analíticas da solução fundamental desenvolvida a partir dos
deslocamentos e forças de superfície.
3.3.1 – SOLUÇÃO FUNDAMENTAL DE KELVIN
Existem diferentes soluções das equações acima que podem ser igualmente empregadas.
Estas soluções dependem da região *Ω + *Γ que se está trabalhando e das respectivas condições
de contorno.
A partir da resolução das eqs. (3.3.2a) e (3.3.2b) encontram-se as expressões de
deslocamentos para o problema de Kelvin tridimensional, que considera o domínio do sólido *Ω
estendendo-se ao infinito,
rr )43()r-(116
1 q)s,(u j,i,ij*
ij +−= δνµνπ
(3.3.3)
onde, q-s rr r ii ==
s)( x- q)( x r iii =
rr
r ii, =
(3.3.4a-c)
Pode-se encontrar ainda a expressão das deformações aplicando-se a eq. (3.2.4)
]rr3r r - )r r)(21[()r-(116
1- q)s,( k,j,i,ijk,jki,ikj,2
*ijk ++−= δδδν
νπµε (3.3.5)
e pela Lei de Hooke, o respectivo tensor de tensões,
)(21[()r-(18
1- q)s,( 2
*ijk ν
νπσ −= ]rr3r )r - r r k,j,i,ijk,jki,ikj, ++ δδδ (3.3.6)
26
As variáveis envolvidas na eq. (3.3.3) podem ser visualizadas na figura 3.3.3, a seguir:
E finalmente, a partir da eq. (3.3.6) e da eq. (3.2.3) encontra-se a expressão da força de
superfície para o problema fundamental, mostrada na eq. (3.3.7):
)nr - n)(r2-(1 - r]r3r )21[()r-(18
1- q)s,(p ij,ji,n,j,i,ij2
*ij νδν
νπ+−= (3.3.7)
Para facilitar o entendimento da solução fundamental de Kelvin e visualizar alguns
parâmetros das equações mostradas, tem-se a figura 3.3.4.
Figura 3.3.3 – Definição do vetor r para cálculo de suas derivadas.
Figura 3.3.4 – Defin ição do problema fundamental de Kelvin
u ij*, pij
*
27
3.4- EQUAÇÕES INTEGRAIS DE CONTORNO As equações integrais de contorno relacionam os deslocamentos de um ponto qualquer
localizado no domínio com deslocamentos e esforços no contorno de um corpo tridimensional
utilizando integrais que envolvem a solução fundamental de Kelvin utilizada neste trabalho. Essas
equações são muito importantes e auxiliam no desenvolvimento da formulação do Método dos
Elementos de Contorno (MEC) e podem ser obtidas através da utilização da técnica dos resíduos
ponderados ou do teorema da reciprocidade de Betti. A técnica dos resíduos ponderados possui
uma grande vantagem, pois, facilita a associação do MEC a outros métodos numéricos, como por
exemplo, o Método das Diferenças Finitas (MDF) e o Método dos Elementos Finitos (MEF).
3.4.1 – EQUAÇÃO INTEGRAL PARA PONTOS DO DOMÍNIO
As equações integrais para pontos do domínio mostradas neste tópico são baseadas na
figura (3.2.4) e eqs. (3.2.11a-b) já mostradas neste trabalho, onde são definidas as condições de
contorno e o espaço infinito que definem o problema.
Utilizando o teorema da reciprocidade de Betti, ver tópico 2.4, encontra-se a representação
integral de deslocamento, conhecida como identidade Somigliana e apresentada da seguinte forma:
∫ ∫ ∫Γ Γ Ω
Ω+Γ+Γ= (q)q)d(q)bs,(u (Q)Q)d(Q)ps,(u (Q)Q)d(Q)us,(p - s)(u j*
ijj*
ijj*
iji (3.4.1)
A eq. (3.4.1) fornece o deslocamento no ponto ‘s’ do domínio na direção cartesiana i, a
partir dos valores de deslocamentos e forças de superfície no ponto ‘Q’ do contorno e, na presença
de forças de volume, das componentes jb no ponto ‘q’ do domínio.
A eq. (3.4.1) é uma representação contínua de deslocamentos em pontos do interior do
corpo. Sendo assim, as componentes das tensões internas podem ser determinadas aplicando a
relação cinemática (3.2.4) na eq. (3.4.1), fazendo assim uma derivação da eq. (3.4.1) em relação às
coordenadas de s, com isso obtém-se as deformações específicas e então substituindo o resultado
na Lei de Hooke, encontra-se:
∫∫∫ΩΓΓ
Ω+Γ+Γ=σ (q)q)d(q)bs,(D (Q)Q)d(Q)ps,(D (Q)Q)d(Q)us,(S - s)( kijk*
kijk*
kijk*
ij
(3.4.2)
28
É importante salientar que as derivadas são aplicadas diretamente nos integrandos.
A eq. (3.4.2) fornece os valores das tensões no ponto interno s a partir dos valores de
deslocamentos e forças de superfície do ponto Q do contorno, acrescidos da parcela relativa às
forças de volume, ponto q do domínio, quando considerada.
ijk*S e ijk
*D são tensores de 3ª ordem para um problema tridimensional definidos através
da derivação dos tensores de deslocamentos e forças de superfície do problema fundamental, cujas
componentes para a solução fundamental de Kelvin, são
kjj,i,kk,i,jk,j,i
k,j,i,ikj,jki,ijk,n,3ijk*
)n4-(1 - )n n rr)(3n2-(1 )rrn rr(n3
]rr5r - )r (r r)21[(r3)r-(14
S
ijikjki δνδδνν
δδνδννπ
µ
++++
+++−= (3.4.3)
rr3r )r - r r)(21()r-(18
1 D k,j,i,ijk,jki,ikj,2ijk
* ++−= δδδννπ
(3.4.4)
3.4.2 – EQUAÇÃO INTEGRAL PARA PONTOS DO CONTORNO
A identidade Somigliana (3.4.1) fornece os deslocamentos em qualquer ponto contido no
interior do sólido em estudo desde que os valores das forças de superfície e deslocamentos em
todos os pontos do contorno sejam conhecidos. No Método dos Elementos de Contorno é
necessário o conhecimento da expressão correspondente para pontos que pertençam ao contorno
Γ , contudo nesses pontos tais integrais apresentam singularidade. Deve-se utilizar um artifício que
transforma esses pontos do contorno em pontos do domínio.
O objetivo é aumentar o domínio e o contorno do sólido em estudo, acrescentando a este o
contorno de uma superfície esférica de domínio εΩ , com centro no ponto de contorno e de raio ε ,
conforme ilustrado na figura (3.4.1). A partir de então, o domínio e o contorno do corpo passam a
ser respectivamente εΩ+Ω e ΓΓ+Γ - ε . Desta forma, um ponto S do contorno passa a ser um
ponto s do domínio e a identidade Somigliana passa a valer para o novo domínio e contorno do
corpo.
29
A identidade Somigliana passa a ser definida para domínio e contorno diferentes,
como mostrado a seguir
∫
∫∫
ε
εε
Ω+Ω
Γ+ΓΓΓ+ΓΓ
Ω+
Γ+Γ=
j*
ij
-
j*
ij
-
j*
iji
(q)q)d(q)bs,(u
(Q))dQ(Q)ps,(u (Q)Q)d(Q)us,(p - s)(u
(3.4.5)
Pode-se estudar separadamente o limite de cada integral quando 0 →ε o que faz com que
o ponto volte a ser de contorno. Pode-se encontrar todos os detalhes de tais demonstrações em
BREBBIA & DOMINGUEZ (1989) e ROCHA (1988). Logo, a expressão resultante da equação
integral (3.4.5) para pontos do contorno é reduzida a:
∫
∫∫
Ω
ΓΓ
Ω+
Γ+Γ=
(q)q)d(q)bS,(u
(Q)Q)d(Q)pS,(u (Q)Q)d(Q)uS,(p - (S)S)u(c
j*
ij
j*
ijj*
ijiij
(3.4.6)
onde, para pontos de contorno suaves ( sem angulosidades), tem-se o termo livre
1,2,3 ji, 2
S)(c ijij ==
δ (3.4.7)
Nota-se, que a eq. (3.4.6) é semelhante à eq. (3.4.1) definida para pontos no domínio e de
uma forma geral, pode-se afirmar que tal expressão também é válida para pontos localizados fora
do domínio do corpo. Visando a definição de uma forma geral de representação desta equação,
define-se os valores para o coeficiente ijc , como mostrado abaixo:
Figura 3.4.1 – Corte do contorno expandido no ponto suave.
lim ε → 0
30
Ω
Γ
Ω
=
. domínio ao internos pontos para 1,
; contorno do pontos para ,21
; domínio do fora pontos para 0,
. (S)c ijij δ (3.4.8)
Para pontos do contorno não suaves, conforme mostrado na figura (3.4.2), o limite das
forças de superfície da solução fundamental fornece um resultado diferente, de forma que
1,2,3 ji, I (S) S)(c ijijij =+=δ (3.4.9)
pode-se encontrar mais detalhes sobre a matriz ijI em LOPES JR. (1996).
A expressão resultante da equação integral (3.4.6) mostrada é definida para sólidos
tridimensionais em que o vetor normal ao seu contorno tem sentido para fora do domínio, ver
figura (3.4.1), ou seja, é utilizada para estudar regiões internas ao sólido, cujo domínio é finito.
Desta forma, precisa-se estender essa equação para o caso de regiões infinitas que são estudadas
neste trabalho através da solução fundamental de Kelvin para modelar o solo, admitido como um
domínio infinito.
Logo, seja uma esfera de raio ρ , superfície Γ , domínio Ω com centro em um ponto S,
ponto este que envolve uma cavidade definida pelo contorno Γ (vide figura 3.4.3). Esta nova
região entre Γ e Γ está contida em um espaço infinito *Ω . Para representar a nova região e
chegar na situação do problema analisado, deve-se fazer com que o raio da esfera tenda ao infinito
( ∞→ ρ ), e nota-se que a expressão resultante é a mesma (3.4.6), a representação integral para
problemas de domínio finito também é válida para problemas cujo domínio é infinito.
Figura 3.4.2 – Corte do contorno expandido no ponto S (não suave).
31
3.5- MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO
No capítulo anterior são definidas as equações integrais de contorno para a análise de
sólidos elásticos, homogêneos, isotrópicos tridimensionais. Nesta seção, é definido e mostrado a
transformação dessas equações em equações algébricas visando a formulação do Método dos
Elementos de Contorno (MEC).
3.5.1 – DISCRETIZAÇÕES
A princípio, precisa-se resolver as equações integra is numericamente, discretizando o
contorno em uma série de elementos nos quais os deslocamentos e força de superfície são escritos
em termos dos próprios valores de uma série de pontos nodais (valores dos nós funcionais). A
forma discretizada da eq. (3.4.6) para todos os pontos nodais implica em um sistema de equações
algébricas lineares. Aplicando-se as condições de contorno ao problema, o sistema pode ser
resolvido encontrando-se todos os valores desconhecidos e conseqüentemente uma solução
aproximada para os valores no contorno do problema.
Para tal discretização, divide-se o contorno do sólido em um número finito de elementos,
cuja geometria pode ser plana ou curva, triangular ou quadrangular, etc. (vide figura 3.5.1). Neste
Figura 3.4.3 – Região infinita – espaço de Kelvin
32
trabalho são utilizados os elementos triangulares lineares contínuo e descontínuo na discretização
do sólido pelo MEC.
Agora pode-se definir as funções u e p (deslocamentos e forças de superfície em algum
ponto do contorno) aplicadas para cada elemento j a ser discretizado, como mostrado a seguir
jT
jT
P p
U u
φ
φ
=
= (3.5.1a-b)
onde φ são as funções interpoladoras e jj P e U são os deslocamentos e forças de
superfície aproximados por seus valores nodais de dimensões 3xN para problemas tridimensionais,
sendo N o número de nós do elemento.
=
3
2
1
p
pp
p
=
3
2
1
u
uu
u
(3.5.2a-b)
Figura 3.5.1 – (a) elementos de contorno constantes, (b) elementos de contorno lineares e (c) elementos de contorno quadráticos (Fonte: Brebbia & Dominguez, 1989).
33
A matriz função de interpolação φ com dimensões 3x3N é constituída de funções de forma
[ ]n21
N21
21
N21T ...
0 0 ... 0 0 0 00 0 ... 0 0 0 0
0 0 ... 0 0 0 0
φφφφφφ
φφφ
φφφ
φ =
= N (3.5.3)
A discretização do domínio do corpo é feita, de uma forma mais direta, dividindo-o em
células tridimensionais, geralmente na forma de hexaedros e tetraedros. Esta discretização também
poderia ser feita através de outras técnicas, onde seriam utilizados apenas elementos de contorno,
como, por exemplo, a técnica da Reciprocidade Dual e a Integração Direta. Porém, neste trabalho o
domínio do sólido não é modelado, ou seja, as forças volumétricas são desprezadas.
Desta forma, pode-se também definir as forças de volume b em algum ponto do domínio
Ω na forma de um vetor tridimensional através de funções interpoladoras φ e valores nodais jB
(aplicada nos nós funcionais)
=
3
2
1
b
bb
b (3.5.4)
Os coeficientes da solução fundamental de Kelvin podem ser expressos como
=
=
33*
32*
31*
23*
22*
21*
13*
12*
11*
*
33*
32*
31*
23*
22*
21*
13*
12*
11*
*
u u u
u u u
u u u
u
p p p
p p p
p p p
p
(3.5.5a-b)
onde *p é a matriz em que os coeficientes ij*p são as forças de superfície na direção j devidas a
uma força unitária em S agindo na direção i e *u é a matriz em que os coeficientes ij*u são os
deslocamentos na direção j devido a uma força unitária em S agindo na direção i.
A partir das notações mostradas, a eq. (3.4.6) pode ser reescrita para cada ponto S como
mostrado a seguir :
∫
∫∫
Ω
ΓΓ
Ω+
Γ+Γ=
(q)q)d(q)bS,(u
(Q)Q)d(Q)pS,(u (Q)Q)d(Q)uS,(p - S)u(S)(c
*
**
(3.5.6)
34
onde os coeficientes c(S) já foram definidos neste trabalho.
As coordenadas cartesianas do contorno e as coordenadas cartesianas da célula podem ser
escritas em termos das coordenadas nodais para a definição dos elementos, conforme mostrado
abaixo
jc
Tcc
jT
X X
X X
φ
φ
=
= (3.5.7a-b)
onde φ são as mesmas funções de interpolação isoparamétrica utilizadas para os
deslocamentos e forças de superfície, jX são as coordenadas cartesianas de seus pontos nodais e j
cX as coordenadas cartesianas dos pontos geométricos da célula tridimensional para discretização
do domínio.
Considerando a mudança do sistema de coordenadas cartesianas, substituindo as eqs.
(3.5.1a-b) e aproximando o contorno do sólido em “L” elementos, com “J” pontos nodais (nós
funcionais) e o seu domínio em “M” células, a representação integral discretizada para
deslocamentos, a eq. (3.5.6), passa a ser:
(q)]B)dq(q)S,(u[
(Q)]PQ)d(Q)S,(u[ (Q)]UQ)d(Q)S,(p[ - S)u(S)(c
M
1 m
jTc
*
L
1 l
jT*L
1 l
jT*
m
ll
∑ ∫
∑ ∫∑ ∫
= Ω
= Γ= Γ
Ωφ+
Γφ+Γφ=
(3.5.8)
Aplicando integração numérica (ver tópico 3.5.3) para as eqs. integrais (3.5.8) em todos os
pontos S, tem-se a representação algébrica:
DB GP UH - cu ++= ˆ (3.5.9)
onde as matrizes de influência D eG ,H são definidas, respectivamente, pelos somatórios das
integrais mostrados na eq. (3.5.8).
Analisando-se a eq. (3.5.9), nota-se que é possível agrupar as matrizes que formam um
produto com a matriz dos valores nodais de deslocamentos U, ou seja ( H = c + H ) e a equação
passa a ser
HU = GP + DB (3.5.10)
Note que os elementos c(S) são encontrados como uma série de sub-matrizes 3x3 na
diagonal de H e não são simplesmente calculados de forma analítica devido, principalmente, a
singularidade da solução fundamental em pontos de canto.
35
Os vetores U e P representam todos os valores de deslocamentos e forças de superfície
após a aplicação das condições de contorno. Essas condições podem ser introduzidas fazendo-se
uma troca de colunas de H e G de modo que todos os valores desconhecidos passam para a matriz
X no lado esquerdo da igualdade. Isto resulta num sistema de equações algébricas, como mostrado
abaixo:
AX = F (3.5.11)
onde:
A é uma matriz cheia e não simétrica que contém elementos das matrizes H e G
devidamente trocados (troca de colunas) para agrupar todas as incógnitas do lado esquerdo da
igualdade, sejam elas deslocamentos ou forças de superfície, X é o vetor misto que contém as
incógnitas (deslocamentos e forças de superfície) e F é o vetor independente, obtido da
multiplicação dos coeficientes das matrizes H e G relativos às componentes prescritas de
deslocamentos e forças de superfície, note-se ainda que a matriz B passa a ser incorporada em F.
Em geral, utiliza-se o Método de Eliminação de Gauss para a resolução do sistema acima,
desta forma encontra-se a solução elastostática do problema.
Após a resolução do sistema acima, as variáveis contidas no vetor das incógnitas devem ser
reorganizadas em deslocamentos e forças de superfície, antes de serem utilizadas
computacionalmente.
3.5.2 – ELEMENTOS DE CONTORNO
Como dito anteriormente, nesse trabalho é utilizado o elemento triangular plano para a
discretização do contorno do sólido tridimensional. Existem diversas referências onde pode ser
encontrado este tipo de elemento, que a princípio, foi desenvolvido para ser utilizado no Método
dos Elementos Finitos (MEF), como por exemplo, em COOK et al. (1989), ZIENKIEWICZ &
TAYLOR (1989) e BATHE (1982).
Precisa-se definir a geometria deste elemento e em seguida aplicar as funções de
interpolação que são utilizadas para as variáveis da representação do Método dos Elementos de
Contorno: forças de superfície e deslocamentos. As funções de interpolação servem para
aproximar os campos das variáveis envolvidas no problema. Essa aproximação é aplicada nos
pontos nodais do elemento e são definidas através de polinômios. Essas funções podem ser
constantes, lineares, quadráticas, cúbicas ou de ordens mais elevadas, ver COOK et al. (1989) pp.
153.
36
Nesse trabalho é utilizada apenas a função de interpolação linear que permite uma melhor
aproximação das variáveis do problema do que a função constante, no caso do elemento plano
triangular, essa interpolação consiste em interpolar linearmente entre os três valores nodais do
elemento.
3.5.2.1 – ELEMENTO DE INTERPOLAÇÃO LINEAR
Visando uma aproximação das variáveis através das funções interpoladoras de forma
linear, encontram-se na literatura três tipos de elementos, elemento linear contínuo, descontínuo e
de transição, conforme mostrados a seguir:
O elemento linear contínuo, ou isoparamétrico linear, possui os nós funcionais coincidentes
com os nós geométricos, ou seja, não se podem modelar diretamente contornos descontínuos
através desse elemento.
O elemento linear descontínuo, não conforme ou de colocação não nodal, possui os três nós
de colocação deslocados de seus nós geométricos que estão associados a um único elemento, esse
elemento permite a modelagem de contornos onde existem descontinuidades de forças de
superfície ou de geometria.
E, por fim, o elemento linear de transição possui alguns de seus pontos de colocação
coincidentes com os seus nós geométricos. Esse elemento é muito interessante, pois permite uma
Figura 3.5.2 – Tipos de elemento linear: (a) contínuo; (b) e (c) de transição; e (d) descontínuo.
37
discretização mais lógica, já que se podem definir os nós deslocados apenas em regiões onde há
descontinuidade. Sua formulação é baseada numa combinação das formulações dos elementos
contínuos e descontínuos.
A seguir, mostra-se a caracterização e definição do elemento triangular linear descontínuo.
Como já definido, este elemento possui os três pontos de colocação deslocados de seus nós
geométricos, desta forma pode-se discretizar contornos descontínuos (com angulosidades). Nesse
elemento é feita uma interpolação nos valores das variáveis (deslocamentos e forças de superfície)
devido a nova posição dos pontos de colocação (internos ao elemento), ver figura 3.5.3.
As componentes de deslocamentos e forças de superfície na direção i para qualquer nó
( ii p e u ) podem ser encontradas em função das componentes nodais na mesma direção, como :
Figura 3.5.3 –Elemento triangular linear descontínuo
38
=
=
33
32
31
23
22
21
13
12
11
321
321
321
3
2
1
33
32
31
23
22
21
13
12
11
321
321
321
3
2
1
P
P
P
P
P
P
P
P
P
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0
p
pp
U
U
U
U
U
U
U
U
U
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0
u
uu
ξξξ
ξξξξξξ
ξξξ
ξξξξξξ
(3.5.12a-b)
Sendo assim, a matriz c definida na eq. (3.5.8) para o elemento triangular linear
descontínuo é encontrada
=
321
321
321
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
21
0 0
0 21
0
0 0 21
c(S)
ξξξ
ξξξ
ξξξ
(3.5.13)
onde as coordenadas de área iξ são definidas nos pontos de colocação S deslocado para o
interior do elemento sobre a mediana do lado oposto ao vértice do triângulo relacionado ao ponto.
Chamando de f , a distância entre o vértice do triângulo e o seu centróide, o deslocamento do ponto
nodal que é aqui chamado de ω , fica definido como
0,65fou 0,525f =ω (3.5.14)
39
onde, estes percentuais são medidos a partir do vértice do triângulo. Tomando como
exemplo o percentual referente a 0,525f, segundo BARBIRATO (1999), e utilizando as técnicas
para determinação das coordenadas de área, encontram-se os seguintes valores em um dado ponto
de colocação S: 0,65. e 0,175 321 === ξξξ
Após a realização de diversos testes para diversos pontos de colocação encontram-se
resultados mais precisos em pontos localizados no intervalo em que os extremos inferior e superior
são os valores definidos em (3.5.14).
3.5.3 – INTEGRAÇÕES NUMÉRICAS
A partir das equações já definidas, devem-se obter as soluções analíticas das mesmas,
porém, vale ressaltar que as funções integradas são bastante complexas gerando uma grande
dificuldade na obtenção destas equações. Desta forma, são aplicados métodos numéricos de
integração para a resolução das equações previamente apresentadas.
Fazendo uma simplificação da eq. (3.5.8), sem considerar o termo que se refere as forças de
volume, verifica-se a existência de uma soma de integrais aplicadas sobre cada elemento do
contorno, onde essas integrais são chamadas a partir de agora de g e h, conforme mostrado a seguir
∫
∫
Γ
Γ
Γφ=
Γφ=
l
l
(Q)Q)dQ)(S,u g
(Q)Q)dQ)(S,p h
T*
T*
(
(
(3.5.15a-b)
No estudo dos Elementos de Contorno, como já foi mencionado, pode-se encontrar dois
tipos de situações para sua integração dependendo da posição do ponto de colocação S. Neste
trabalho, quando este ponto encontra-se no elemento a ser integrado, a integração numérica a ser
realizada chama-se integração singular ou semi-analítica; caso o mesmo esteja situado fora do
elemento chama-se de integração numérica. A análise destas duas integrações é mostrada a seguir.
40
3.5.3.1 – INTEGRAÇÃO SINGULAR OU SEMI-ANALÍTICA
Como mencionado no parágrafo anterior, a integração singular é utilizada quando o ponto
de colocação pertence ao elemento estudado L, neste caso aparecerá uma singularidade devido à
solução fundamental de Kelvin em que as expressões ** p e u são escritas em função da
coordenada esférica r apresentando singularidades nas vizinhanças do ponto S.
Nesse trabalho é utilizado um procedimento que consiste em fazer uma transformação no
sistema de coordenadas que passa a ser chamado de ( z e y ,x ))) ), onde o plano yx)) contém o
elemento L, conforme mostrado na figura (3.5.4).
A partir desta análise, define-se o contorno do elemento em função das coordenadas
polares r e θ e a integração singular é efetuada através de integração analítica em r e numérica em
θ .
Fazendo a substituição das expressões (3.3.3) e (3.3.7) nas eqs. (3.5.15a-b), encontra-se:
Figura 3.5.4 – Definição da integração singular.
41
e dr
n)r2-(1B'
dr
n)r2-(1B' - d
r
rrr3B' d
r
r)2-(1B' h
l
lll
T2
ij,
T2
ji,T2
n,j,i,T2
n,ij
;∫
∫∫∫
Γ
ΓΓΓ
Γφν
+
Γφν
Γφ+Γφδν
=
(3.5.16a)
dr
rrA' d
r
)4-(3A' g
ll
Tj,i,Tij ∫∫ΓΓ
Γφ+Γφδν
= (3.5.16b)
onde
e ;)-(116
1 A'µνπ
= (3.5.17a)
)-(181-
B'νπ
= (3.5.17b)
Utilizando notação indicial para a solução das integrais e fazendo um rearranjo, pode-se
encontrar a expressão final para g e h
e dr
r3B'
dnr
r dn
r
r)(-2-(1B' d
r
r)2-(13B' h
l
lll
Ti
2
j,
Ti2
j,Tj2
i,T2i,
∫
∫∫∫
Γ
ΓΓΓ
Γφη+
Γφ+Γφν+Γφν=
;
)
(3.5.18a)
dr
rrA' d
r)4-(3 A' g
ll
Tj,i,Ti j ∫∫
ΓΓ
Γφ+Γφδν=1
(3.5.18b)
onde ji n e n são, respectivamente, os vetores normais nas direções cartesianas “i” e “j” e ni,i X =η
ou seja, são os co-senos diretores da normal em relação aos eixos cartesianos iX .
Visando diminuir o tamanho das expressões apresentadas, a integração analítica em r pode
ser dividida em três parcelas distintas e gerais para a solução fundamental de Kelvin,
∫
∫
∫
Γ
Γ
Γ
Γξ=
Γξ=
Γξ=
l
l
l
dr
r f)p3(i,
dr
rr f) j,p2(i,
dr1
p1(f)
f2i,
fj,i,
f
(3.5.19a-c)
42
Observando a figura (3.5.4), precisa-se definir a relação linear existente entre as
coordenadas cartesianas (x,y) e as coordenadas de área ( fξ ) expressa pelas seguintes equações
[ ]
=
−
2
11
3
2
1
xx1
A ξξξ
(3.5.20)
onde jiijjiij y - y y e x- x x == e
[ ] [ ] .y x- y x Adet 2A onde ,
y y y x- yx
y y y x- yx xy y x- yx
2A1 A 21313121
21121221
13313113
322323321 ==
=− (3.5.21)
Representando as expressões acima na forma de notação indicial, tem-se
y], x [2A1
ffff γβαξ ++= (3.5.22)
onde
======
===
=
=
=
3 fp/ 2 k 1, j2 fp/ 1 k 3, j
1 fp/ 3 k 2, j
e ; x- x
;y - y
;y x- y x
jkf
kjf
jkkjf
γ
β
α
(3.5.23a-d)
Fazendo-se a mudança para o novo sistema yx)) , tem-se
e ;senr y;cosr x
θθ
==
))
(3.5.24a-b)
.
z
yx
z
yx
1 0 0
0 cos sen -0 sen cos
z
yx
o
o
o
+
=
)
))
ϕϕϕϕ
(3.5.25)
Desta forma,
],yC xB A[2A1
ffff)) ++=ξ (3.5.26)
onde
ϕγϕβϕγϕβ
γβα
cos sen C;sen - cos B
;y x A
fff
fff
ofofff
+==
++=
(3.5.27a-c)
43
A partir das coordenadas adimensionais de área, as integrais analíticas em r definidas em
(3.5.19a-c) podem ser facilmente determinadas. Considerando ainda θrdrd d =Γ , encontram-se as
parcelas p1(f) e p2(i, j, f)
θθθ
θθθ
θ
θ
rd)senr 2
C cosr 2
B A(rr2A1 f) j,p2(i,
rd)senr 2
C cosr 2
B A( A21 p1(f)
fffj,i,
fff
++=
++=
∫
∫ (3.5.28a-b)
Ao resolver a integral definida na parcela f)p3(i, verifica-se que a mesma é singular
quando r = 0, desta forma a análise desta parcela precisa ser melhor detalhada. A integração pode
ser definida por
∫ ∫→++=
θ θε
θεθθθ d)rln(Alim - )dsenr C cosr B ln(r)A(r2A1
f)p3(i, i,f0fffi, (3.5.29)
Analisando-se o integrando da parcela do limite indicado em (3.5.29), pode-se ver que a
derivada da variável r em relação à direção cartesiana i pode ser representada por:
,sen m cos m r i2i1i, θθ += (3.5.30)
onde ijm são os co-senos diretores no ponto em análise em relação a xi.
Levando-se em consideração que o ângulo θ tem uma variação de 0 a 2π , a integral
definida no limite tem valor nulo e o limite tende a zero, ou seja,
0. d)sen m cos )(mln(A lim2
0i2i1f0
=+∫→
π
εθθθε (3.5.31)
Desta forma, a parcela f)p3(i, é definida de forma resumida como
∫ ++=θ
θθθ )dsenr C cosr B ln(r)A(r2A1 f)p3(i, fffi, (3.5.32)
Vale ressaltar, que para o elemento linear descontínuo, o ponto de colocação S é deslocado
para dentro do elemento j em estudo. Sendo assim, pode-se utilizar a expressão (3.5.32), pois, os
extremos inferior e superior para o ângulo θ são sempre 0 e 2π .
Após encontrar as expressões para as três parcelas, deve -se agora, utilizar um procedimento
numérico para a integração em θ . Neste trabalho é realizada uma transformação de cada elemento
triangular plano em um domínio cujo contorno Γ)
possui três elementos unidimensionais retos,
conforme mostrado a seguir
44
Fazendo-se uma simples análise trigonométrica do elemento triangular definido na figura
(3.5.5) visando uma relação diferencial entre Γ)
d e dθ para representar o elemento de superfície
através de três elementos lineares de contorno, tem-se
Γ∂∂
=)
) dnr
rdθ (3.5.33)
Desta forma, as expressões (3.5.28a-b) e (3.5.32) podem ser reescritas e representadas da
seguinte forma
Γ∂∂++=
Γ∂∂++=
Γ∂∂
++=
∫
∫
∫
Γ
Γ
Γ
))
))
))
)
)
)
dnr
r1)senr C cosr B ln(r)A(r
2A1 f)p3(i,
dnr)senr
2C
cosr 2
B A(rr
2A1 f) j,p2(i,
dnr
)senr 2
C cosr
2B
(A A21
p1(f)
fffi,
fffj,i,
fff
θθ
θθ
θθ
(3.5.34a-c)
Figura 3.5.5 –Representação do elemento unidimensional linear e Integração no contorno fictício do elemento triangular (Fonte: Barbirato, 1999).
45
A partir das relações anteriormente definidas em (3.5.23a-d), (3.5.24a-b) e (3.5.25), tem-se
ainda
Γ∂∂
++++=
Γ∂∂
++++=
Γ∂∂
++++=
∫
∫
∫
Γ
Γ
Γ
))
))
))
)
)
)
dnr
1)] - (ln(r)y [y 1)] - (ln(r)x[x ln(r)r
r
2A1
f)p3(i,
dnr
)) x(x ) x(x 2(rr4A1
f) j,p2(i,
dnr
)) x(x ) x(x (2 A41
p1(f)
ofoffi,
ofoffj,i,
ofoff
γβα
γβα
γβα
(3.5.35a-c)
Após as definições das expressões (3.5.35a-c) pode-se reescrever as expressões referentes a
g e h calculadas numericamente através da quadratura Gaussiana, ver anexo A. A figura (3.5.5)
acima, define o elemento utilizado no contorno fictício do elemento triangular, bem como os seus
parâmetros importantes.
∑
∑
=
=
=
=
PG
PG
N
1 k kh
N
1 k kg
)w(hJ h
)w(hJ g
ξ
ξ (3.5.36a-b)
onde J é o jacobiano de transformação de coordenadas para o elemento unidimensional
reto, ver COOK et al. (1989), definido como 2L , onde L é o comprimento do elemento; kw é o
peso de Gauss no ponto k, ver anexo A; hg h e h são os integrandos (3.5.18a-b) utilizando as
expressões (3.5.35a-c), conforme mostrado nas expressões (3.5.37a-b); e PGN representa o número
de pontos de Gauss a ser utilizado no elemento.
e ;dnr
)) x(x ) x(x 2(rrA4
A'
dnr
)) x(x ) x(x (2A4
)4-(3A' h
Tofoffj,i,
Tofoff
ijg
Γ∂∂
+++++
Γ∂∂
++++=
∫
∫
Γ
Γ
))
))
)
)
φγβα
φγβαδν
(3.5.37a)
Γ∂∂
+++++
+Γ∂∂
++++
+Γ∂∂
++++=
∫
∫
∫
Γ
Γ
Γ
))
))
))
)
)
)
dnr
1)] - (ln(r)y [y 1)] - (ln(r)x[x ln(r)r
r
2A3B'
dnr
n1)] - (ln(r)y [y 1)] - (ln(r)x[x ln(r)r
r
A2)2-(1B'
dnr
1)] - (ln(r)y [y 1)] - (ln(r)x[x ln(r)r
r
A)2-(1B'
h
Tiofoff
j,
Tiofoff
j,
Tofoff
i,h
φηγβα
φγβαν
φγβαν
(3.5.37b)
46
Vale lembrar que as expressões (3.5.35a-c) são válidas para a solução fundamental de
Kelvin que está sendo utilizada neste trabalho para a discretização do solo pela formulação
elastostática do Método dos Elementos de Contorno (MEC).
3.5.3.2 – INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
A integral numérica ocorre quando o ponto de colocação não pertence ao elemento a ser
integrado.
Esta integração é a forma mais direta de se calcular a integral sobre um elemento. No caso
utilizado neste trabalho de aproximações lineares, esta integração é feita através da quadratura de
Hammer, podendo ser facilmente encontrada em diversas tabelas (ver BREBBIA et al., 1984),
onde é utilizado o Jacobiano de transformação G em relação às coordenadas adimensionais de
área.
As integrais (3.5.15a-b) são obtidas através da integração sobre cada elemento do contorno,
já que o ponto de colocação não pertence ao elemento a ser integrado, sendo realizada uma
transformação de coordenadas globais para coordenadas de área, conforme mostrado abaixo:
∫ ∫
∫ ∫
=
=
1
0
-1
02121h
1
0
-1
02121g
2
2
,d]d),(h[G h
d]d),(h[G g
ξ
ξ
ξξξξ
ξξξξ
(3.5.38a-b)
Aplicando-se a integração numérica de Hammer através da quadratura na forma de
somatório, tem-se:
,w),(hG h
w),(hG g
n
1kk
k2
k1h
n
1kk
k2
k1g
∑
∑
=
=
=
=
ξξ
ξξ
(3.5.39a-b)
onde n representa o número de pontos de Hammer, G é o jacobiano de transformação e
vale 2A, k2
k1 e ξξ são as coordenadas de área do ponto a ser considerado, kw é o valor do peso
associado ao ponto de integração k e hh e h g são os integrandos das integrais definidas nas
expressões (3.5.15a-b).
Sabe-se que as funções envolvidas nas integrações são singulares, desta forma, a precisão
da integração de Hammer é prejudicada pela distância “r” entre os pontos de colocação S e de
47
campo Q. Em casos onde essa distância é relativamente grande comparada com o tamanho dos
lados dos elementos triangulares o procedimento de Hammer fornece ótimos resultados, caso
contrário, a alternativa utilizada consiste em subdividir o elemento l qualquer em sub- elementos e
aplica-se a integração de Hammer em cada elemento separadamente, ocasionando em um número
maior de pontos de integração, objetivando a obtenção de resultados mais precisos.
Neste trabalho, quando o ponto S está bem próximo do elemento a ser integrado, divide-se
esse elemento em 25 partes iguais gerando 25 sub-elementos conforme pode ser observado no
trabalho de KANE, 1994.
3.5.4 – DESLOCAMENTOS E TENSÕES EM PONTOS DO DOMÍNIO
A identidade de Somigliana, eq. (3.4.1), fornece os deslocamentos em pontos internos
(pontos do domínio) em termos dos deslocamentos u e forças de superfície p no contorno.
Considerando novamente esta representação de integral como em (3.5.8) tem-se
(3.5.40)
onde lΓ é a superfície correspondente ao elemento l e “S” é agora um ponto interno.
A forma matricial da eq. (3.5.40) é definida como
DB GP HU - u ++= (3.5.41)
onde, o vetor com as componentes de deslocamentos é
=
3
2
1
uuu
u(s) (3.5.42)
Vale ressaltar que as integrais da eq. (3.5.40) são calculadas através do procedimento de
integração numérica, adotando-se a divisão do elemento triangular em sub-elementos objetivando
desta forma, a otimização dos resultados encontrados para os deslocamentos em pontos internos.
Para um sólido isotrópico, homogêneo e tri-dimensional, as tensões em pontos do domínio
podem ser calculadas da mesma forma que os deslocamentos, ou seja, a partir da eq. (3.4.2) tem-
se:
(q)]B)dq(q)s,(u[
(Q)]PQ)d(Q)s,(u[ (Q)]UQ)d(Q)s,(p[ - u(s)
M
1 m
jTc
*
L
1 l
jT*L
1 l
jT*
m
ll
∑ ∫
∑ ∫∑ ∫
= Ω
= Γ= Γ
Ωφ+
Γφ+Γφ=
48
, (q)]B)dq(q)s,(D[
(Q)]PQ)d(Q)s,(D[ (Q)]UQ)d(Q)s,(S[ - (s)
M
1 m
jTc
*
L
1 l
jT*L
1 l
jT*
m
ll
∑ ∫
∑ ∫∑ ∫
= Ω
= Γ= Γ
Ωφ+
Γφ+Γφ=σ
(3.5.43)
A forma matricial da eq. (3.5.43) é definida como
BD PG UH - ++=σ (3.5.44)
onde, o vetor com as componentes de deslocamentos é
=
=
333231
232221
131211
33
23
22
13
12
11
(s) aindaou (s)
σσσ
σσσσσσ
σ
σ
σ
σσ
σ
σ
σ (3.5.45a-b)
O traço utilizado sobre as matrizes H, G e D serve apenas para diferenciar das matrizes
envolvidas na eq. (3.5.41) e os tensores de terceira ordem ** D e S já foram definidos em (3.4.3) e
(3.4.4).
As integrais envolvidas na eq. (3.5.43) são resolvidas utilizando-se a integração numérica
de Hammer.
3.5.5 – TENSÕES EM PONTOS DO CONTORNO
A eq. (3.5.43) pode ser utilizada para o cálculo das tensões em pontos do contorno, mas,
vale ressaltar que esta equação pode gerar singularidades nestes pontos. Para problemas
tridimensionais, os termos dos tensores de terceira ordem ** S e D contêm singularidades do tipo
32 r1
,r1
respectivamente, exigindo considerações especiais .
Desta forma, de acordo com BREBBIA et al. (1984), um caminho mais simples e eficiente
de se determinar tensões em pontos do contorno consiste em utilizar uma aproximação para as
deformações a partir dos valores dos deslocamentos nos nós dos elementos.
A partir de um ponto nodal definido no elemento, pode-se representar as componentes do
tensor de tensão através de um elemento infinitesimal, onde as componentes de tensão na direção 3
são as próprias forças de superfície neste nó, ou seja, podemos definir primeiramente as expressões
49
das componentes do tensor de tensão. Utilizando a expressão que define forças de superfície e,
ainda, a Lei de Hooke, pode-se escrever
333
232
131
33112222
1212
33221111
P P
P ) ( ) (2
2 ) ( ) (2
==
=+++=
=+++=
σσ
σεελελµσ
µεσεελελµσ
(3.5.46a-f)
Conhecendo-se a expressão de 33σ através da Lei de Hooke e igualando ao valor da força
de superfície nesta direção, é possível encontrar o valor da componente de deformação 33ε , como
mostrado a seguir
), ( ) (2 P 221133333 εελελµσ +++== (3.5.47)
Colocando o valor de 33ε em função da força de superfície, tem-se
)] ( - P[) 2(
1 2211333 εελ
λµε +
+= (3.5.48)
Substituindo a eq. (3.5.48) em (3.5.46a-c), encontra-se
333
232
131
22113112222
1212
22113221111
P
P
P
)]) ( - P[) 2(
1 ( ) (2
2
)]) ( - P[) 2(
1 ( ) (2
=
=
=
++
+++=
=
++
+++=
σ
σ
σ
εελλµ
ελελµσ
µεσ
εελλµ
ελελµσ
(3.5.49a-f)
As componentes de deslocamento em coordenadas locais podem ser representadas como: jT U u φ= (3.5.50)
ou em termos de componentes, pode-se escrever:
.U ) U- (U ) U- (U U ),(u
ainda,ou )U - - 1( U U U ),(u
3i
3i
2i2
3i
1i1
ki
T21i
3i21
2i2
1i1
ki
T21i
++==
++==
ξξφξξ
ξξξξφξξ
(3.5.51a-b)
onde kiU são os valores nodais dos deslocamentos nodais nas coordenadas locais, Tφ as
funções interpoladoras já definidas anteriormente que podem ser polinomiais. As derivadas dos
deslocamentos em relação às coordenadas de área são
50
) U- U( u
) U- U( u
3i
2i
2
i
3i
1i
1
i
=∂∂
=∂∂
ξ
ξ (3.5.52a-b)
Vale ressaltar que, no caso de se conhecer os deslocamentos nas coordenadas globais,
pode-se fazer a transformação das coordenadas para o sistema local através de uma matriz de
transformação de coordenadas.
Assim como as componentes de deslocamentos, as coordenadas cartesianas também são
expressas em função de seus valores nodais, como:
.x ) x- (x ) x- (x x ),(x
ainda,ou
)x - - 1( x x x ),(x
3j
3j
2j2
3j
1j1
kj
T21j
3j21
2j2
1j1
kj
T21j
++==
++==
ξξφξξ
ξξξξφξξ
(3.5.53a-b)
Derivando a expressão (3.5.53a-b) encontra-se
3j
2j
2
j
3j
1j
1
j
x- x x
x- x x
=∂
∂
=∂
∂
ξ
ξ (3.5.54a-b)
Verificando a expressão que define o tensor de deformações apresentado em (3.2.4)
verifica-se que os deslocamentos são derivados em relação às coordenadas cartesianas, desta forma
aplicando-se a regra da cadeia, encontra-se
j
i
k
j
k
i
xux
u
∂∂
∂
∂=
∂∂
ξξ (3.5.55)
Por exemplo, tem-se
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
2
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
1
1
1
1
1
xux
xux
u
xux
xux
u
xux
xux
u
xux
xux
u
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=∂∂
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=∂∂
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=∂∂
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=∂∂
ξξξ
ξξξ
ξξξ
ξξξ
(3.5.56a-d)
ou, na forma matricial, pode-se representar
51
∂∂∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
∂∂∂∂
2
i
1
i
2
2
2
1
1
2
1
1
2
i
1
i
xuxu
. x
x
x
x
u
u
ξξ
ξξ
ξ
ξ (3.5.57)
Representando a forma matricial (3.5.57) na forma inversa, encontra-se
∂∂∂∂
∂∂
∂∂
−
∂∂
∂∂
=
∂∂∂∂
2
i
1
i
1
1
2
1
1
2
2
2
2
i
1
i
u
u
. x
x
x-
x
A21
xuxu
ξ
ξ
ξξ
ξξ (3.5.58)
Substituindo a equação matricial (3.5.58) em (3.5.49a- f) e fazendo
)2 - )(1 (1
E e ) 2(1
E G νν
νλν
µ+
=+
== , encontram-se as tensões em pontos do contorno de forma
aproximada, conforme mostrado a seguir:
333
232
131
31
1
2
222
1
2
2
112
32
2
1
111
P
P P
]P )xu
xu
(2[ - 1
1
)xu
xu
(
]P )xu
xu
(2[ - 1
1
=
==
+∂∂
+∂∂
=
∂∂
+∂∂
=
+∂∂
+∂∂
=
σ
σσ
ννµν
σ
νµσ
ννµν
σ
(3.5.59a-f)
52
3.6 – EXEMPLOS Nesta seção são apresentados alguns exemplos utilizando a formulação do
Método dos Elementos de Contorno objetivando a aplicação do método em diversas
análises em engenharia, bem como demonstrar a funcionalidade do programa
desenvolvido no ambiente MatLab para o cálculo de deslocamentos e tensões.
No exemplo 3.1 é analisada a equação da linha elástica para uma viga engastada
solicitada à flexão. Em seguida, no exemplo 3.2, mostra-se um paralelepípedo sólido
elástico solicitado por uma força estática de tração, onde são analisados os valores do
deslocamento na direção axial. Por fim, aplica-se um carregamento uniformemente
distribuído sobre a superfície livre do semi- infinito visando à análise de deslocamentos
a partir da solução fundamental de Kelvin.
3.6.1 – Exemplo 3.1 Nesse exemplo é feita uma análise de uma viga engastada em uma das
extremidades e livre na outra, solicitada por uma força perpendicular ao seu eixo
aplicada na extremidade livre, definindo o problema de uma viga à flexão. A figura
3.6.1 apresenta a viga em questão cujos parâmetros elásticos são E = 2100 2cm
kN e ν =
0,3.
P = 0,3kN E = 2100 kN/cm2 ν = 0,3
80cm
20cm
P=0,3kN
20cm
X2
X3
X1
Figura 3.6.1 – Viga engastada com carregamento transversal na extremidade livre.
53
Na discretização da superfície de contorno da viga através de elementos
triangulares planos descontínuos são utilizados três tipos de malhas denominadas de
M40, M72 e M176, conforme figuras 3.6.2 e 3.6.3.
(a) M40 (b) M72
(c) M176
Figura 3.6.2 – Discretizações do contorno por elementos triangulares planos descontínuos: (a) M40, 40 elementos, (b)M72, 72 elementos e (c)M176, 176 elementos.
54
Figura 3.6.3 – Representação gráfica da geometria da viga mostrando as discretizações utilizadas: M40, M72 e M176.
(a) M40
(c) M176
(b) M72
55
Na formulação implementada nesta análise, o carregamento a ser aplicado no
corpo passa a ser tratado por nó, desta forma, para o problema estudado neste exemplo,
toma-se uma carga distribuída P = 0,3kN/cm2 como sendo uma carga aplicada no nó
central da superfície livre de contorno, como já mostrado na figura 3.6.1.
Sabe-se que o carregamento aplicado varia linearmente ao longo dos lados do
elemento de contorno, logo, a carga aplicada no nó central resulta em um carregamento
de forma piramidal. Esse carregamento possui intensidade de 0,3kN/cm2 no nó central e
é nulo nos demais nós da superfície de contorno.
Sendo a área da seção transversal da viga em análise igual a AS = 400 cm2, o
problema implica em uma força resultante perpendicular ao eixo do corpo de módulo
igual ao volume da pirâmide formada, ou seja, 40kN.
A malha M40 utiliza 40 elementos triangulares planos com aproximação linear
com 120 pontos de colocação e 360 graus de liberdade. A malha M72 apresenta 216
pontos de colocação e 648 graus de liberdade e a malha M176 possui 528 pontos de
colocação e 1584 graus de liberdade.
Conforme verificado na figura 3.6.1, a viga possui seção transversal de 20cm x
20cm com 80cm de comprimento. Aplicando-se a equação da linha elástica a partir da
teoria de vigas, pode-se calcular o deslocamento transversal da mesma ao longo de seu
comprimento e comparar com os valores encontrados para as discretizações postas no
presente trabalho.
Nas tabelas 3.1, 3.2 e 3.3 são comparados os valores dos deslocamentos na
direção X2 ao longo do eixo X3 da viga utilizando as discretizações M40, M72 e M176
com a solução analítica da teoria de vigas utilizando o código computacional obtido
utilizando-se a formulação do MEC com a solução fundamental de Kelvin, apresentada
nesse capítulo.
coord. X3 (cm) Teoria de Vigas Discretização M40
80 0,0000 0,0000
60 0,0210 0,0213
40 0,0762 0,0736
20 0,1543 0,1468
0 0,2438 0,2311
Tabela 3.1 – Linha elástica da viga analisada (valores em cm): Discretização M40.
56
Linha elástica da viga - estudo comparativo
0,0000
0,0250
0,0500
0,0750
0,1000
0,1250
0,1500
0,1750
0,2000
0,2250
0,2500
05101520253035404550556065707580
Eixo X3 (cm)
Des
loca
men
to e
m X
2 (c
m)
Teoria de vigas M40
Linha elástica da viga - estudo comparativo
0,0000
0,0250
0,0500
0,0750
0,1000
0,1250
0,1500
0,1750
0,2000
0,2250
0,2500
05101520253035404550556065707580
Eixo X3 (cm)
Teoria de vigas M72
Figura 3.6.4 – Linha elástica da viga obtida pela teoria de vigas e pela discretização M40.
coord. X3 (cm) Teoria de vigas Discretização M72
80 0,0000 0,0000
70 0,0055 0,0059
60 0,0210 0,0212
50 0,0450 0,0520
40 0,0762 0,0783
30 0,1131 0,1192
20 0,1543 0,1582
10 0,1983 0,2040
0 0,2438 0,2481
Tabela 3.2 – Linha elástica da viga analisada (valores em cm): Discretização M72.
Figura 3.6.5 – Linha elástica da viga obtida pela teoria de vigas e pela discretização M72.
57
Linha elástica da viga - estudo comparativo
0,0000
0,0250
0,0500
0,0750
0,1000
0,1250
0,1500
0,1750
0,2000
0,2250
0,2500
05101520253035404550556065707580
Eixo X3 (cm)
Des
loca
men
to e
m X
2 (c
m)
Teoria de vigas 176 elementos
Os resultados obtidos, representados graficamente nas figuras 3.6.4 a 3.6.6,
permitem dizer que a formulação do Método dos Elementos de Contorno apresentada é
coerente com o problema analisado. Observa-se ainda que, à medida que a discretização
envolve mais elementos, os valores obtidos na análise se aproximam daqueles
utilizando-se a teoria clássica de vigas.
Visando uma verificação ainda melhor dos resultados obtidos nesse trabalho e a
sua confiabilidade fez-se uma comparação gráfica entre tais valores e os encontrados no
trabalho de BARBIRATO (1999), conforme verificado na figura 3.6.7. Verifica-se que
existe uma boa convergência entre os gráficos dos resultados encontrados nos dois
trabalhos.
coord. X3 (cm) Teoria de Vigas Discretização M176
80 0,0000 0,0000 72 0,0035 0,0056 64 0,0137 0,0155
56 0,0296 0,0319 48 0,0507 0,0523 40 0,0762 0,0778 32 0,1053 0,1060 24 0,1374 0,1377
16 0,1716 0,1710 8 0,2074 0,2062
0 0,2438 0,2417
Tabela 3.3 – Linha elástica da viga analisada (valores em cm): Discretização M176
Figura 3.6.6 – Linha elástica da viga obtida pela teoria de vigas e pela discretização M176.
58
Linha elástica da viga - estudo comparativo
0,0000
0,0250
0,0500
0,0750
0,1000
0,1250
0,1500
0,1750
0,2000
0,2250
0,2500
05101520253035404550556065707580
Eixo X3 (cm)
Des
loca
men
to e
m X
2 (c
m)
Teoria de vigas 176 elementos
40 elementos, BARBIRATO (1999) 72 elementos, BARBIRATO (1999)
40 elementos
3.6.2 – Exemplo 3.2
O segundo caso a ser processado é um paralelepípedo sólido elástico engastado
na base, solicitado por uma força estática de tração, conforme apresentado na figura
3.6.8, definindo o problema de um sólido à tração.
Figura 3.6.7 – Linha elástica da viga: comparativo de resultados
P = 1 Pa E = 100000 Pa ν = 0,25
X1
X3
X2
P
P
P
P P
Figura 3.6.8 – Definição do sólido e suas condições de contorno
2m
4m
2m
59
A formulação do Método dos Elementos de Contorno apresentada neste exemplo
foi implementada utilizando-se três discretizações, com 12 elementos triangulares
descontínuos (36 pontos de colocação), com 44 elementos (132 pontos de colocação) e
com 76 elementos (228 pontos de colocação), denominadas de malhas M12, M44 e
M76. Os nós de canto são avaliados através do nó deslocado da definição do elemento
triangular plano descontínuo.
(a) M12
(b) M12
(d) M44
(c) M44
Figura 3.6.9a – Malhas de discretização: (a) e (b) M12 com 12 elementos e (c) e (d) M44 com 44 elementos.
60
Os resultados obtidos são comparados com a equação analítica que define o
deslocamento axial de uma viga engastada, mostrada a seguir:
EAPL
u 3 = (3.6.1)
onde P é a força axial de tração, L é o comprimento do corpo analisado, E é o módulo
de elasticidade longitudinal do material e A é a área da seção transversal.
Aplicando a equação acima para o problema analisado nesse exemplo, encontra-
se o deslocamento axial de 4x10-5 m. A seguir são apresentados os valores encontrados
para o deslocamento axial utilizando-se as discretizações definidas para esse exemplo:
Valor do deslocamento em metros (*10 -5) Nós
Discretização M12 Valor analítico em
metros (*10-5)
Erro (%)
5 4,042 4,000 1,050 6 3,985 4,000 -0,375 7 3,978 4,000 -0,550
8 4,042 4,000 1,050
Figura 3.6.9b – Malhas de discretização: (e) e (f) M76 com 76 elementos.
(e) M76 (f) M76
Tabela 3.4a – Valores do deslocamento da viga analisada à tração para a discretização M12, (valores em cm).
61
Embora o exemplo processado seja bastante simples, os resultados obtidos
mostram que a formulação apresentada é adequada para sólidos elásticos
tridimensionais solicitados à tração. O elemento triangular plano com aproximação
linear, de fácil implementação, possibilita uma representação coerente do problema
analisado.
A aproximação linear descontínua adotada elimina os problemas surgidos na
análise de nós de canto. As integrações utilizadas, tanto a numérica quanto a semi-
analítica mostram-se eficientes junto à formulação.
A análise desse exemplo foi realizada utilizando-se um programa escrito no
pacote MatLab, a partir de uma máquina Pentium(R) 4, CPU 2.80GHz, 496 MB de
RAM, onde verificou-se que o tempo de processamento para a discretização com 76
elementos, por exemplo, foi de 18 minutos e 46 segundos.
Valor do deslocamento em metros (*10 -5) Nós
Discretização M76 Valor analítico em
metros (*10-5)
Erro (%)
6 3,982 4,000 -0,443 7 3,939 4,000 -1,530 8 3,982 4,000 -0,443 9 3,998 4,000 -0,048 10 3,882 4,000 -2,943 39 3,917 4,000 -2,073 40 3,895 4,000 -2,638 41 3,895 4,000 -2,638
42 3,917 4,000 -2,073
Valor do deslocamento em metros (*10 -5) Nós
Discretização M44 Valor analítico em
metros (*10-5)
Erro (%)
5 3,950 4,000 -1,260 6 3,970 4,000 -0,740 7 3,981 4,000 -0,487 8 3,950 4,000 -1,260 22 3,999 4,000 -0,028 23 3,957 4,000 -1,080 24 3,919 4,000 -2,015 25 3,919 4,000 -2,015 26 3,957 4,000 -1,080
Tabela 3.4b – Valores do deslocamento da viga analisada à tração para as discretizações M44 e M76, (valores em cm).
62
3.6.3 – Exemplo 3.3
Neste exemplo, uma carga uniformemente distribuída é aplicada sobre uma área
retangular localizada na superfície do semi- infinito. A área a ser estudada é um
retângulo de lados 9,15m e 18,30m, com uma carga distribuída de compressão, módulo
de elasticidade longitudinal (característica do material, no caso o solo) e coeficiente de
Poisson descritos abaixo:
.
O problema apresentado nesse exemplo foi resolvido no trabalho de
BARBIRATO (1999), utilizando-se as soluções fundamentais de Kelvin e Mindlin,
porém, nesse trabalho é abordada apenas a solução fundamental de Kelvin para o estudo
do semi- infinito. Os resultados encontrados no presente trabalho são comparados com
os encontrados no trabalho supracitado, conforme mostrado nas tabelas 3.5 a 3.8.
Para estudar o problema proposto são utilizadas três discretizações com 16, 64 e
156 elementos triangulares planos descontínuos com aproximação linear.
Para a aplicação da solução fundamental de Kelvin define-se uma determinada
região externa à área retangular em análise, visando a discretização da região de forças
de superfície nulas do espaço semi- infinito através de uma malha estendida. Desta
Figura 3.6.10 – Área retangular (solo) na superfície livre do semi- infinito, carregamento uniformemente distribuído.
q = 0,0956 kPa
E = 44,42 kPa
ν = 0,3
63
forma, foi considerada uma nova região com 8,0m de largura para discretização
caracterizando a terceira malha estendida com 156 elementos, conforme figura 3.6.11b.
O objetivo dessa análise é calcular os deslocamentos segundo o eixo X3 no
espaço semi- infinito ao longo dos eixos X2 e X1, devido a aplicação do carregamento
distribuído verificando o comportamento do mesmo através de uma análise estática.
(a) Malha com 16 elementos
(b) Malha com 64 elementos
Figura 3.6.11a – Discretizações utilizadas: (a) 16 elementos e (b) 64 elementos.
64
Na análise desse problema, faz-se uma comparação entre os resultados
encontrados utilizando-se as discretizações mostradas na figura 3.6.11 para a solução
fundamental de Kelvin com os resultados de BARBIRATO (1999) que utilizou as
soluções fundamentais de Mindlin e Kelvin.
É importante salientar que para problemas que envolvem domínios semi-
infinitos com carregamentos e escavações próximos à superfície livre, a solução
fundamental de Mindlin é bastante utilizada. Com esta formulação, apenas as
superfícies escavadas e/ou carregadas precisam ser discretizadas, como é o caso do
presente exemplo e das discretizações apresentadas. Já para a solução fundamental de
Kelvin, adequada para o espaço infinito, é necessário discretizar, além das superfícies
escavadas e/ou carregadas, a superfície livre de trações do semi- infinito.
Porém, uma grande facilidade que existe na utilização da solução fundamental
de Kelvin é que as equações e as matrizes que envolvem tal solução são pequenas, de
rápida solução e em quantidades menores, quando comparadas com as equações que
envolvem a solução fundamental de Mindlin. Portanto, Kelvin é mais facilmente
programável.
(c) Malha com 156 elementos
Figura 3.6.11b – Discretizações utilizadas: (c) 156 elementos.
65
Discretização: Malha com 16 elementos
Kelvin:
eixo X1 (m) desl. X3 (cm)
ponto a: 0,0000 2,7517
ponto d: 4,5750 2,2198
Barbirato Kelvin (1999):
eixo X1 (m) desl. X3 (cm)
ponto a :0,0000 2,7420
ponto d :4,5750 2,2480
Barbirato Mindlin (1999):
eixo X1 (m) desl. X3 (cm)
ponto a :0,0000 2,8290
ponto d :4,5750 2,4160
Discretização: Malha com 16 elementos
Kelvin:
eixo X2 (m) desl. X3
(cm) ponto a: 0,0000 2,7517 ponto b: 4,5750 2,6509 ponto c: 9,1500 1,8100 Barbirato Kelvin (1999):
eixo X2 (m) desl. X3
(cm) ponto a: 0,0000 2,7420 ponto b: 4,5750 2,7480 ponto c: 9,1500 1,8270 Barbirato Mindlin (1999):
eixo X2 (m) desl. X3
(cm) ponto a: 0,0000 2,8290 ponto b: 4,5750 2,7800 ponto c: 9,1500 2,0200
Deslocamentos em X3 ao longo de X1 (em cm) - comparação entre a solução fundamental de Kelvin utilizada no trabalho e as soluções fundamentais de Mindlin e
Kelvin (BARBIRATO, 1999).
2,0000
2,2000
2,4000
2,6000
2,8000
3,0000
0,0000 0,5000 1,0000 1,5000 2,0000 2,5000 3,0000 3,5000 4,0000 4,5000 5,0000
Eixo X1 (m)
Deslocamentos em X3 ao longo de X1 (em cm) - S. F. de Kelvin.
Deslocamentos em X3 ao longo de X1 (em cm) - S. F. de Kelvin Barbirato (1999).
Deslocamentos em X3 ao longo de X1 (em cm) - S. F. de Mindlin Barbirato (1999)
Tabela 3.5 – Deslocamentos em X3 ao longo de X1 (em cm), representados graficamente na figura 3.6.12.
Figura 3.6.12 – Deslocamentos em X3 ao longo de X1 (em cm) – comparação entre a sol. fund. de Kelvin utilizada nesse trabalho e as sol. fund. de Mindlin e Kelvin utilizadas em BARBIRATO (1999).
Deslocamentos em X3 ao longo de X2 (em cm) - comparação entre a solução fundamental de Kelvin utilizada no trabalho e as soluções fundamentais de Mindlin e
Ke lv in (BARBIRATO, 1999 ) .
1,5000
1,7000
1,9000
2,1000
2,3000
2,5000
2,7000
2,9000
0,0000 1,0000 2,0000 3,0000 4,0000 5,0000 6,0000 7,0000 8,0000 9,0000 10,0000
Eixo X2 (m)
Deslocamentos em X3 ao longo de X2 (em cm) - S. F. de Kelvin.
Deslocamentos em X3 ao longo de X2 (em cm) - S. F. de Kelvin Barbirato (1999).
Deslocamentos em X3 ao longo de X2 - S. F. de Mindlin Barbirato (1999).
Tabela 3.6 – Deslocamentos em X3 ao longo de X2 (em cm), representados graficamente na figura 3.6.13.
Figura 3.6.13 – Deslocamentos em X3 ao longo de X2 (em cm) – comparação entre a sol. fund. de Kelvin utilizada nesse trabalho e as sol. fund. de Mindlin e Kelvin utilizadas em BARBIRATO (1999).
66
Discretização: M alha com 64 elementos
Kelvin:
eixo X1 (m) desl. X3 (cm)
ponto a: 0,0000 2,7130
ponto f: 2,2875 2,5345
ponto g: 4,5750 1,9938
Barbirato Mindlin (1999):
eixo X1 (m) desl. X3 (cm)
ponto a: 0,0000 2,7900
ponto g: 4,5750 2,2210
Deslocamentos em X3 ao longo de X1 (em cm) - comparação entre a solução fundamental de Kelvin utilizada no trabalho e a solução fundamental de Mindlin
(BARBIRATO, 1999).
1,5000
1,7000
1,9000
2,1000
2,3000
2,5000
2,7000
2,9000
0,0000 0,5000 1,0000 1,5000 2,0000 2,5000 3,0000 3,5000 4,0000 4,5000 5,0000
Eixo X1 (m)
Des
loc.
em
X3
(cm
)
Deslocamentos em X3 ao longo de X1 (em cm) - S. F. de Kelvin.
Deslocamentos em X3 ao longo de X1 (em cm) - S. F. de Mindlin Barbirato (1999).
Tabela 3.7 – Deslocamentos em X3 ao longo de X1 (em cm), representados graficamente na figura 3.6.15.
Figura 3.6.15 – Deslocamentos em X3 ao longo de X1 (em cm) – comparação entre a sol. fund. de Kelvin utilizada nesse trabalho e a sol. fund. de Mindlin utilizada em BARBIRATO (1999).
0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00 16.00 18.000.00
2.00
4.00
6.00
8.00
-2.70
-2.60
-2.50
-2.40
-2.30
-2.20
-2.10
-2.00
-1.90
-1.80
-1.70
-1.60
-2.70
-2.60
-2.50
-2.40
-2.30
-2.20
-2.10
-2.00
-1.90
-1.80
-1.70
Figura 3.6.14 – Visualização gráfica do meio semi- infinito – malha com16 elementos.
67
Discretização: Malha com 64 elementos
Kelvin:
eixo X2 (m) desl. X3 (cm)
ponto a: 0,0000 2,7130
ponto b: 2,2875 2,6477
ponto c: 4,5750 2,5567
ponto d: 6,8625 2,3211
ponto e: 9,1500 1,7606
Barbirato Mindlin (1999):
eixo X2 (m) desl. X3 (cm)
ponto a: 0,0000 2,7900
ponto c: 4,5750 2,6530
ponto e: 9,1500 1,9700
Deslocamentos em X3 ao longo de X2 (em cm) - comparação entre a solução fundamental de Kelvin utilizada no trabalho e a solução fundamental de Mindlin
(BARBIRATO, 1999).
1,5000
1,7000
1,9000
2,1000
2,3000
2,5000
2,7000
2,9000
0,0000 1,0000 2,0000 3,0000 4,0000 5,0000 6,0000 7,0000 8,0000 9,0000 10,0000
Eixo X2 (m)
Des
loc.
em
X3
(cm
)
Deslocamentos em X3 ao longo de X2 (em cm) - S. F. de Kelvin.
Deslocamentos em X3 ao longo de X2 (em cm) - S. F. de Mindlin Barbirato (1999).
Tabela 3.8 – Deslocamentos em X3 ao longo de X2 (em cm), representados graficamente na figura 3.6.16.
Figura 3.6.16 – Deslocamentos em X3 ao longo de X2 (em cm) – comparação entre a sol. fund. de Kelvin utilizada nesse trabalho e a sol.
fund. de Mindlin utilizada em BARBIRATO (1999).
-2.70
-2.60
-2.50
-2.40
-2.30
-2.20
-2.10
-2.00
-1.90
-1.80
-1.70
-1.60
-1.50
-1.40
Figura 3.6.17 – Visualização gráfica do meio semi- infinito - malha com 64 elementos.
0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00 16.00 18.000.00
2.00
4.00
6.00
8.00
-2.70
-2.60
-2.50
-2.40
-2.30
-2.20
-2.10
-2.00
-1.90
-1.80
-1.70
-1.60
-1.50
-1.40
-1.30
68
Para a discretização com 64 elementos, após a comparação entre a solução
fundamental de Kelvin e a solução fundamental de Mindlin de BARBIRATO (1999),
verifica-se que a diferença em relação ao deslocamento da superfície carregada é muito
pequena o que demonstra a eficiência da formulação e da análise realizada.
A discretização estendida com 156 elementos é utilizada apenas para o cálculo
do deslocamento no ponto ‘a’ localizado no centro da área retangular onde está sendo
aplicado o carregamento distribuído. O deslocamento encontrado foi de 2,743cm no
centro da placa e, como já era esperado, este valor é muito próximo do encontrado por
BARBIRATO (1999) que encontrou um deslocamento no centro da placa de 2,742cm.
Existem diversos exemplos de obras de engenharia que envolvem meios semi-
infinitos e/ou infinitos, onde se podem utilizar a formulação desenvolvida no exemplo
6.3. Pode-se citar como exemplo, a execução de um empreendimento sobre um meio
semi- infinito (solo), com fundação em radier protendido, onde o solo está sujeito a um
carregamento distribuído devido a estrutura de engenharia e aos esforços solicitantes
aplicados.
Desta forma, encontram-se os deslocamentos em cada ponto do meio, os
esforços solicitados, como também as tensões mobilizadas, verificando ainda a
estabilidade da estrutura quanto à resistência a estes esforços. Pode-se também fazer
uma análise a uma determinada profundidade em relação à superfície em estudo.
69
4 – FORMULAÇÃO DO ELEMENTO FINITO DKT 4.1- INTRODUÇÃO Neste capítulo é apresentada a formulação do elemento finito DKT (discrete Kirchhoff
triangle) bem como, as suas tensões e o vetor de cargas nodais equivalentes para carregamento
uniformemente distribuído, baseado no trabalho de BATOZ et al. (1980).
Na análise de estruturas de placas e cascas através do Método dos Elementos Finitos vários
elementos finitos triangulares já foram estudados na literatura e um dos mais eficientes e
confiáveis destes elementos trata-se do elemento DKT que possui 3 nós com 9 graus de liberdade,
sendo 3 por vértice: 1 translação em z(w) e 2 rotações em x ( )xθ e em y ( )yθ , ver figura (4.1.1).
Para a obtenção deste elemento, deve-se utilizar a teoria de pequenos deslocamentos de
placas com deformações por esforço cortante incluídos, também conhecida como teoria de placas
de Reissner ou Mindlin, onde é utilizada discretamente a generalização das hipóteses de Kirchhoff,
onde seções planas permanecem planas após a deformação da estrutura, ou seja, qualquer reta
perpendicular à superfície média antes do carregamento, permanece perpendicular à superfície
média deformada após o carregamento.
Sendo assim, desenvolve-se as expressões referentes a energia de deformação do elemento
e para se chegar à expressão da matriz de rigidez do elemento, admite-se que este é utilizado na
análise de placas finas e assim, as deformações causadas pelos esforços cortantes e sua respectiva
energia de deformação são consideradas nulas discretamente nos nós do elemento, considerando-se
apenas as deformações e a energia de deformação devidas aos esforços de flexão.
Na formulação do elemento DKT deve-se considerar primeiramente algumas hipóteses
como por exemplo, as rotações da normal ao plano médio indeformado do elemento, yx e ββ , são
interpoladas através das rotações nodais utilizando um polinômio quadrático e completo segundo
os planos x-z e y-z, respectivamente; ao longo dos lados do elemento, em seus pontos nodais, as
rotações são relacionadas com as primeiras derivadas dos deslocamentos transversais, através de
uma variação cúbica dos deslocamentos w; a rotação normal ( )nβ varia linearmente ao longo de
cada lado.
70
4.2 - ESTUDO DA TEORIA DE PLACAS E DEFINIÇÃO DO ELEMENTO DKT 4.2.1 – CONSIDERAÇÕES INICIAIS
Uma lâmina é uma estrutura caracterizada por apresentar uma das dimensões muito
pequena quando comparada com as outras duas, considerando um sistema cartesiano de referência.
As placas são lâminas com carregamento ortogonal ao plano sendo elementos estruturais muito
importantes já que podem fornecer maior rigidez e maior economia em relação a outros elementos
estruturais, tais como: vigas, barras, entre outros.
A placa, assim como a viga, está submetida a esforços de flexão, provocados por
carregamentos transversais ao seu plano. A Figura (4.2.1) ilustra as tensões atuantes na seção
transversal de uma placa constituída por um material homogêneo e elástico linear, submetida a
uma carga distribuída q. Verifica-se que as tensões normais yx e σσ variam linearmente com a
direção z e estão associadas aos momentos fletores yx M e M . A tensão cisalhante xyτ varia
linearmente com z e está associada ao momento de torção xyM . As tensões de cisalhamento
transversais yzxz e ττ variam de forma quadrática em relação à direção z e a tensão normal zσ é
considerada desprezível em relação à intensidade das tensões xyyx e , τσσ .
Figura 4.1.1– Definição do elemento finito DKT.
71
No estudo de placas submetidas à flexão simples, as cargas externas não possuem
componentes paralelas ao plano xy e, na superfície média (z = 0) as tensões de membrana
xyyx e , τσσ são nulas. Segundo COOK et al. (1989), com exceção da tensão xyτ , o estado de
tensões característico do problema de placas pode ser visto como uma extensão da teoria de vigas
unidimensional para o caso bidimensional.
A partir das tensões definidas na figura (4.2.1), pode-se escrever as expressões dos
momentos fletores M e das forças cortantes transversais Q, conforme mostrado a seguir:
∫
∫
∫
∫
∫
=
=
=
=
=
2
t
2t- yzy
2t
2
t- zxx
2t
2t- xyxy
2t
2
t- yy
2t
2t- xx
dz Q
dz Q
dz z M
dz z M
dz z M
τ
τ
τ
σ
σ
(4.2.1)
onde yx M e M são os momentos fletores por unidade de comp rimento atuantes em torno dos eixos
x e y, respectivamente; xyM refere-se ao momento de torção por unidade de comprimento;
Figura 4.2.1. – Tensões que agem em um elemento diferencial de uma placa.
72
yx Q e Q são esforços cortantes, também por unidade de comprimento, segundo os eixos x e y,
respectivamente.
4.2.2 – TEORIA DE PLACAS CONSIDERANDO PEQUENOS DESLOCAMENTOS.
Como já foi comentado no início deste capítulo, é utilizada no trabalho a teoria clássica de
Kirchhoff que despreza os efeitos de cisalhamento transversal que são geralmente utilizados para
placas finas. A teoria de flexão de placas proposta por Kirchhoff considera as seguintes hipóteses:
1) as deflexões são pequenas, quando comparadas com a espessura da placa;
2) as seções ortogonais à superfície média indeformada permanecem ortogonais à
superfície média deformada;
3) a tensão normal zσ é desprezada no cálculo das deformações.
A segunda hipótese é equivalente a desconsiderar o efeito de forças cisalhantes na deflexão
de placas. Essa hipótese é usualmente satisfatória, mas, em alguns casos (por exemplo, placa com
orifícios), o efeito de cisalhamento torna-se importante e algumas correções na teoria de placas
delgadas devem ser introduzidas.
A partir da análise da figura (4.2.2) e considerando pequenos ângulos de rotação y,x, we w ,
definem-se as expressões dos deslocamentos e as relações cinemáticas deformação-deslocamento
para a formulação baseada na teoria de Kirchhoff, conforme mostrado abaixo:
y) w(x, w
),(z vy)x,(z u
y
x
=
==
yxββ
(4.2.2)
onde w é o deslocamento transversal e yX e ββ são rotações de seção, ver figura (4.2.2), para a
teoria de placas de Kirchhoff são definidas como:
y,y
x,x
w-
w-
=
=
β
β (4.2.3)
Desta forma, pode-se determinar as expressões das deformações lineares na forma
matricial, como mostrado a seguir:
κε z b = (4.2.4)
onde κε e b são as matrizes com o campo de deformações e o vetor de curvaturas, definidos
respectivamente, como:
73
=
β+β
β
β
=κ
γ
εε
=ε
xy,
yy,
xx,
xy,yx,
yy,
xx,
xy
y
x
b
2w-
w-
w-
e
(4.2.5a-b)
A partir das equações já definidas e utilizando a Lei de Hooke para tensões planas com
0 z =σ , escreve-se as relações constitutivas (tensão x deformação) para materiais isótropos:
xyxy
xy2y
yx2x
) (12E
) () - (1
E
) () - (1
E
γν
τ
νεεν
σ
νεεν
σ
+=
+=
+=
(4.2.6a-c)
sendo E o módulo de elasticidade e ν o coeficiente de Poisson do material que compõem a placa.
Na forma matricial, as equações acima podem ser escritas como:
ε=σ E (4.2.7)
onde:
Figura 4.2.2 – Direções positivas de yx e ββ
74
ν
νν
ν−=
γ
εε
=ε
τ
σ
σ
=σ
2 - 1
0 0
0 1 0 1
)1(
E E
2
xy
y
x
xy
y
x
(4.2.8a-c)
Substituindo a eq. (4.2.4) na eq. (4.2.6a-c), encontra-se:
zw2-
z)w w() - (1
E-
z)w w() - (1
E-
xy,xy
xx,yy,2y
yy,xx,2x
µτ
νν
σ
νν
σ
=
+=
+=
(4.2.9a-c)
Agora, pode-se encontrar as expressões dos esforços solicitantes que atuam ao longo da
espessura da placa, já desprezando os esforços cortantes, em função dos deslocamentos, como:
xy,xy
xx,yy,y
yy,xx,x
)w - D(1- M
)w D(w- M
)w D(w- M
ν
ν
ν
=
+=
+=
(4.2.10a-c)
onde ) - 12(1
Et D 2
3
ν= é a rigidez à flexão da placa.
Na forma matricial, as equações acima podem ser escritas como:
κkD M = (4.2.11)
onde D k é a matriz que relaciona esforços solicitantes e curvaturas, dada por:
=
2D) - (1
0 0
0 D D0 D D
D k
νν
ν (4.2.12)
Como já foi definido anteriormente a teoria de placas de Kirchhoff é aplicada a placas finas
e é utilizada discretamente neste trabalho , nos nós do elemento finito, para a discretização da
75
estrutura através de elementos DKT. A energia de deformação na placa, para esse caso, é definida
através de deformações planas xyyx e , γεε que são funções da deformação lateral da placa.
4.2.3 – MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO DKT
A partir da definição da energia de deformação, pode-se obter a matriz de rigidez do
elemento de placa. Esta energia depende do campo de deformações mostrado na eq. (4.2.4) e da
matriz E mostrada em (4.2.2.7c) que relaciona tensão x deformação e é definida como:
∫ ∫=A
2t
2t-
TK dA dz E
21 U εε (4.2.13)
Fazendo a integração ao longo da espessura do elemento, encontra-se:
∫=A
kT
K dA D21
U κκ (4.2.14)
Vale ressaltar que a deformação causada pelas contribuições devidas aos esforços cortantes
é desprezada, sendo considerada apenas a energia referente aos esforços à flexão.
As rotações de seção yx e ββ variam quadraticamente no elemento e são definidas como:
265
24321y
265
24321x
y xy x y x y)(x,
y xy x y x y)(x,
ρρρρρρβ
ααααααβ
+++++=
+++++= (4.2.15a-b)
Analisando as equações acima, pode-se verificar a necessidade de 3 nós por lado do
elemento, ou seja, cria-se um terceiro nó localizado no meio de cada lado do elemento. Fazendo a
transformação para coordenadas homogêneas de área, ver figura (4.2.3), as eqs. (4.2.15a-b) passam
a ser:
265
24321y
265
24321x
),(
),(
ηρξηρξρηρξρρηξβ
ηαξηαξαηαξααηξβ
+++++=
+++++= (4.2.16a-b)
ou ainda,
76
),( 1 ),(
),( 1 ),(
T
6
5
4
3
2
1
22y
T
6
5
4
3
2
1
22x
ρηξφ
ρρ
ρρ
ρρ
ηξηξηξηξβ
αηξφ
αα
αα
αα
ηξηξηξηξβ
=
=
=
=
(4.2.17a-b)
Fazendo as devidas substituições matriciais nas equações e aplicando os valores das
coordenadas de área nos 6 nós do elemento, pode-se escrever as rotações yββ e x em cada nó, em
função das funções de forma, da seguinte maneira:
y654321y
x654321x
N N N N N N ),(
N N N N N N ),(
βηξβ
βηξβ
=
= (4.2.18)
As funções de forma são dadas por:
P23r
1P2
1P3
área A
área A
área A
∆=
∆=
∆=
η
ξ
1 r
1 AA
A
A
A
A
A A A A
r
r
=++
=++
++=
ηξ
ηξ
ηξ
Figura 4.2.3 – Coordenadas adimensionais de área r. e ,ηξ
77
) - 1(4 N) - - (14 N
4 N - 2 N
- 2 N
) 2( ) 3( - 1 N
6
5
4
23
22
21
ηξξηξη
ξηηη
ξξ
ηξηξ
−==
==
=
+++=
(4.2.19)
e
=
=
y6
y5
y4
y3
y2
y1
y
x6
x5
x4
x3
x2
x1
x
β
β
β
β
β
β
β
β
ββ
β
ββ
β
(4.2.20a-b)
A teoria de Kirchhoff é imposta discretamente nos nós do elemento:
Para os nós 1, 2 e 3, tem-se:
0 w
w
y,y
x,x
yz
xz =
+
+=
=β
β
γγ
γ (4.2.21)
Para os nós 4, 5 e 6, tem-se:
0 w sk,sk =+β (4.2.22)
onde we sk,skβ são a rotação na direção tangente ao lado do elemento e a diferencial de w em
relação a s, respectivamente.
Vale ainda ressaltar que a variação de w ao longo dos lados é cúbica, conforme mostrado a seguir:
sj,jij
si,iij
sk, w41 - w
2L3 w
41 - w
2L3- w += (4.2.23)
com k referindo-se ao nó do meio do lado ij e ijL igual ao comprimento do lado ij.
Ao longo dos lados do elemento é imposta uma variação linear de nβ , como mostrado a seguir:
78
) (21
njnink βββ += (4.2.24)
onde k = 4, 5, 6 significa o nó do meio dos lados 23, 31 e 12, respectivamente.
A geometria do elemento DKT pode ser verificada através da figura abaixo:
Para a obtenção de yx e ββ em termos dos graus de liberdade nodais, definidos através da
matriz U abaixo, tem-se:
[ ]333222111T w w w U yxyxyx θθθθθθ= (4.2.25)
A seguir são apresentadas as relações geométricas necessárias e aplicadas em cada lado do
elemento triangular através da rotação dos eixos x e y:
jiij
jiij
21
2ij
2ijij
y - y y
x- x x
)y (x L
=
=
+=
ij
ijij
ij
ijij
iji
iji
ij
ijij
L
x )sen( s
L
y- )cos( c
y - y y
x - xx
LS
)n , x(
==
==
=
=
=
=
γ
γ
ξ
ξ
ξ
γrr
Figura 4.2.4 – Geometria do elemento finito DKT (Fonte: Batoz et al., 1980).
79
.c- s
s c
w
w
e;c ss- c
y
x
n,
s,
s
n
y
x
=
=
θ
θ
ββ
ββ
(4.2.26a-b)
onde x,yy,xijij w- e w ),n ,xsen( s ),n ,xcos( c ==== θθrrrr
, ver figura (4.2.4). A partir da utilização das eqs. (4.2.15a-b) até (4.2.26a-b), pode-se obter as expressões para
: e yx ββ
U.),(H
eU;),(H Tyy
Txx
ηξβ
ηξβ
=
= (4.2.27a-b)
onde yx H e H são as nove componentes aplicadas às funções de forma, definidas a seguir:
x2y3
66551y2
5566y1
66551x3
6655x2
5566x1
H- H
Ne Ne N- H
)Nd - N1.5(d H
Nc - Nc - N HNb Nb H
)Na - N1.5(a H
=
++=
=
=+=
=
(4.2.28a-f)
As funções y6y5y4x6x5x4 H e H ,H ,H ,H ,H são obtidas a partir das expressões acima,
fazendo-se apenas as trocas de mente.respectiva 6, e 4por 5 e 6 índices dos e Npor N 21 As funções
y9y8y7x9x8x7 H e H ,H ,H ,H ,H são obtidas a partir das expressões acima, fazendo-se apenas as
trocas de mente.respectiva 4, e 5por 5 e 6 índices dos e Npor N 31 Pode-se definir ainda:
2ij
ijk
2ij
2ij
2ij
k
2ij
ijijk
2ij
ijk
L
y- d
L
)y21
- x41
( c
L
yx
43
b
L
x- a
=
=
=
=
(4.2.29a-d)
2
12
ij2
ij2
ij
2ij
2ij
2ij
k
)y (x L
L
)x21
- y41
( e
+=
= (4.2.29e-f)
onde k = 4, 5, 6 para os lados 23, 31, 12 respectivamente.
80
O desenvolvimento da matriz de rigidez do elemento segue os procedimentos definidos no
Método dos Elementos Finitos através do método dos deslocamentos, sendo assim, deve -se utilizar
as eqs. (4.2.2.4b) e (4.2.27a-b) para chegar na expressão:
BU =κ (4.2.30) onde B é a matriz de transformação deformação x deslocamento, definida como:
y x- y x2A
e;
Hy Hy H x- Hx-
H x- Hx-
Hy Hy
2A1
B
31121231
Ty,12
Ty,31
Tx,12
Tx,31
Ty,12
Ty,31
Tx,12
Tx,31
=
++
+
=
ηξηξ
ηξ
ηξ
(4.2.31a-b)
As derivadas de yx H e H com relação a ηξ e podem ser verificadas no Anexo B deste trabalho. A matriz de rigidez do elemento DKT pode, enfim, ser calculada através da seguinte expressão:
∫ ∫=1
0
- 1
0 kT
DKT dBdDB2A Kη
ηξ (4.2.32)
A partir das eqs. (4.2.1.1a-c) e (4.2.30) e após o cálculo dos deslocamentos nodais,
encontra-se as expressões dos momentos fletores em um ponto do elemento:
y)UB(x,D y)M(x, k= (4.2.33) onde
.x y y e;x x xx
31211
31211
ηξηξ
++=++=
y (4.2.34)
Pode-se observar que os momentos fletores (M) dependem dos graus de liberdade nodais
do elemento, desta forma, em casos gerais onde se tem dois ou mais elementos compartilhados, os
momentos fletores não terão o mesmo va lor no contorno entre estes elementos.
Após o cálculo da matriz de rigidez do elemento, calcula-se a matriz de rigidez global e
através da equação que define o MEF as deformações e tensões nos nós do elemento.
4.2.4 – VETOR DE FORÇAS NODAIS EQUIVALENTES DO ELEMENTO DKT
Considerando um carregamento uniformemente distribuído sobre o elemento triangular
plano, pode-se substituir esse carregamento pela aplicação de cargas concentradas agindo nos nós.
O vetor de cargas nodais equivalentes correspondente a um carregamento distribuído q constante
aplicado por unidade de superfície de área do elemento, ver figura (4.2.5), poderia ter sido
calculado de forma simplificada, e dado por:
81
[ ]0 0 1 0 0 1 0 0 13
qA f T =
(4.2.35)
Todavia, admitindo-se uma aproximação linear para o carregamento distribuído transversal
aplicado ao elemento finito de placa, e também se considerando (como aproximação coerente) os
deslocamentos transversais médios com comportamento linear, a matriz G do elemento de placa,
conhecida como Gplaca em coordenadas locais para esse elemento pode ser escrita da seguinte
forma:
=
2 0 0 1 0 0 1 0 00 2 0 0 1 0 0 1 0
0 0 2 0 0 1 0 0 11 0 0 2 0 0 1 0 00 1 0 0 2 0 0 1 00 0 1 0 0 2 0 0 1
1 0 0 1 0 0 2 0 00 1 0 0 1 0 0 2 0 0 0 1 0 0 1 0 0 2
12A
G placa (4.2.36)
onde A é a área do elemento de placa.
4.2.5 – DEFINIÇÃO DOS ESFORÇOS INTERNOS NO ELEMENTO A partir das eqs. (4.2.1.1a-c) e (4.2.9a-c) encontra-se o vetor dos esforços internos de
flexão, como sendo:
BUD M k= (4.2.36) onde:
Figura 4.2.5 – Carregamento uniformemente distribuído no elemento mostrando a transformação para carregamento nodal equivalente.
82
=
xy
y
x
M
MM
M (4.2.37)
4.3 - EXEMPLOS
Nesta seção são apresentados os exemplos estudados no presente trabalho utilizando
exclusivamente a formulação do Método dos Elementos Finitos utilizando elementos de placa
DKT (discrete Kirchhoff triangle) para problemas elastostáticos bi-dimensionais.
4.3.1 - Exemplo 4.1
O primeiro exemplo a ser estudado consiste na análise estática de uma placa quadrada
submetida a carregamento uniformemente distribuído e carga concentrada, onde são considerados
os seguintes casos:
1º) placa simplesmente apoiada nas bordas submetida a carregamento uniformemente distribuído
em toda a área;
2º) placa engastada nas bordas submetida a carregamento uniformemente distribuído em toda a
área;
3º) placa simplesmente apoiada nas bordas submetida à carga concentrada no centro;
4º) placa engastada nas bordas submetida à carga concentrada no centro;
5º) placa simplesmente apoiada nas bordas submetida a carregamento uniformemente distribuído e
carga concentrada; e
6º) placa engastada nas bordas submetida a carregamento uniformemente distribuído e carga
concentrada no centro.
Vale ressaltar que os 5º e 6º casos são implementados no programa computacional visando
apenas à influência da superposição dos efeitos (carga concentrada + carregamento distribuído) no
valor do deslocamento no centro da placa.
83
Para estudar o referido problema são utilizadas diversas discretizações denominadas de
malhas M1, M2, M4, M5, M10 e M20, conforme as figuras 4.3.1 e 4.3.2. Verifica-se ainda, que
apenas um quarto da placa necessita ser discretizado, devido à simetria da mesma. Para os lados
AB e AD são impostas as condições de contorno de rotação tangente nula e, para a aplicação da
carga concentrada, deve ser utilizado um quarto do seu valor aplicado no ponto A.
A tabela 4.1 apresenta os valores do deslocamento transversal no centro da placa (ponto
‘A’), bem como os erros a ele associados para os diversos casos de carregamento e condições de
contorno. Os valores analíticos foram extraídos de MARTINS e SABINO (1997). Observa-se que
os graus de liberdade (gdl) referidos na tabela são apenas aqueles dos elementos finitos DKT
(translação em z, rotação em torno do eixo x e rotação em torno do eixo y), sem se considerar os
outros graus de liberdade do sistema total, uma vez que esse possui 6 graus de liberdade por nó
visando futuras implementações de outros tipos de elementos finitos.
Nesse trabalho foi utilizado o programa m-tool, do pacote mat-lab, para a geração das
malhas M10 e M20, onde são utilizadas as coordenadas dos nós e conectividade dos elementos
conforme mostrado a seguir:
Figura 4.3.1 – Exemplo 4.1: discretização da placa utilizando as malhas M1, M2, M4 e M5.
84
aplicação do carregamento distribuído aplicação da carga concentrada no meio da placa
apoiada engastada apoiada engastada malha elem. nós gdl
Valor analítico *1000
U*1000 erro (%) Valor analítico *1000
U*1000 erro (%) Valor analítico *1000
U*1000 erro (%) Valor analítico *1000
U*1000 erro (%)
M1 2 4 12 7,098 4,086 -42,436 2,211 1,811 -18,091 20,269 24,516 20,952 9,805 10,866 10,821
M2 8 9 27 7,098 6,422 -9,524 2,211 2,122 -4,025 20,269 22,432 10,672 9,805 11,112 13,330
M4 32 25 75 7,098 6,941 -2,215 2,211 2,198 -0,588 20,269 20,966 3,436 9,805 10,327 5,324
M5 50 36 108 7,098 6,999 -1,400 2,211 2,203 -0,362 20,269 20,744 2,344 9,805 10,171 3,733
M10 326 184 552 7,098 7,088 -0,148 2,211 2,217 0,271 20,269 20,286 0,085 9,805 9,828 0,235
M20 1298 690 2070 7,098 7,095 -0,042 2,211 2,212 0,045 20,269 20,274 0,025 9,805 9,812 0,071
aplicação do carregamento distribuído e da carga concentrada no meio da placa
apoiada engastada malha elem. nós gdl
Valor analítico *1000
U*1000 erro (%) Valor analítico *1000
U*1000 erro (%)
M1 2 4 12 27,367 28,602 4,511 12,016 12,677 5,501
M2 8 9 27 27,367 28,854 5,434 12,016 13,234 10,136
M4 32 25 75 27,367 27,906 1,971 12,016 12,525 4,236
M5 50 36 108 27,367 27,743 1,373 12,016 12,374 2,979 M10 326 184 552 27,367 27,374 0,024 12,016 12,046 0,250
M20 1298 690 2070 27,367 27,369 0,007 12,016 12,024 0,067
Figura 4.3.2 – Exemplo 4.1: discretização da placa utilizando as malhas: M10 (lado da discretização dividida em 10 partes iguais e M20 (lado da discretização dividida em 20 partes iguais).
M10: M20 A B A B
C D D C
Tabela 4.1 – Deslocamento transversal (u3) para placa quadrada.
85
Observa-se na tabela 4.1 que os valores encontrados para o deslocamento transversal no
centro da placa (u3) estão sendo comparados com os valores analíticos para todas as discretizações
M1, M2, M4, M5, M10 e M20.
Verifica-se ainda que o valor do deslocamento transversal no centro da placa devido à
aplicação dos dois carregamentos é igual a soma dos valores encontrados para o deslocamento
causado pela aplicação das cargas separadamente, como já era esperado devido ao princípio da
superposição dos efeitos.
A partir do traçado do gráfico que mostra a variação do erro no deslocamento no centro da
placa (%) em função dos graus de liberdade da discretização, ver figura 4.3.3, verifica-se a boa
convergência do elemento finito DKT e a coerência dos valores encontrados.
Nas figuras 4.3.4a-d mostram-se os gráficos com a comparação dos resultados dos
deslocamentos encontrados nesse trabalho com o trabalho de ALMEIDA (1999) para os diversos
tipos de carregamento e condições de contorno.
Exemplo 4.1
-43,00
-38,00
-33,00
-28,00
-23,00
-18,00
-13,00
-8,00
-3,00
2,00
7,00
12,00
17,00
22,00
0 150 300 450 600 750 900 1050 1200 1350 1500 1650 1800 1950 2100
gdl
Err
o n
o d
eslo
cam
ento
no
cen
tro
da
pla
ca (
%)
placa engastada/carga concentrada placa engastada/carga distribuída
placa apoiada/carga concentrada placa apoiada/carga distribuída
placa apoiada/carga concentrada e distribuída placa engastada/carga concentrada e carga distribuída
Figura 4.3.3 – Comparação de resultados para diversos tipos de carregamento aplicado.
86
Exemplo 4.1
3,000
3,500
4,000
4,500
5,000
5,500
6,000
6,500
7,000
7,500
0 20 40 60 80 100 120
gdl
valo
r do
des
loca
men
to n
o ce
ntro
da
plac
a (*
1000
) (m
m)
placa apoiada/carga distribuída, ALMEIDA (1999) placa apoiada/carga distribuída
Exemplo 4.1
20,000
20,500
21,000
21,500
22,000
22,500
23,000
23,500
24,000
24,500
25,000
0 20 40 60 80 100 120
gdl
placa apoiada/carga concentrada, ALMEIDA (1999) placa apoiada/carga concentrada
Exemplo 4.1
10,000
10,500
11,000
11,500
0 20 40 60 80 100 120
gdl
placa engastada/carga concentrada, ALMEIDA (1999)
placa engastada/carga concentrada
(a.1) placa apoiada com carregamento distribuído.
a.2) placa apoiada com carga concentrada.
a.3) placa engastada com carga concentrada
Figura 4.3.4a – Comparativo de resultados para o exemplo 4.1
87
a.4) placa engastada com carregamento distribuído
Figura 4.3.4b – Comparativo de resultados para o exemplo 4.1
Exemplo 4.1
0,000
0,500
1,000
1,500
2,000
2,500
0 20 40 60 80 100 120
gdl
valo
r d
o d
eslo
cam
ento
no
ce
ntr
o d
a p
laca
(*1
000)
(m
m)
placa engastada/carregamento distribuído
placa engastada/carregamento distribuído, ALMEIDA (1999)
88
5 – O ACOPLAMENTO ENTRE O MÉTODO DOS ELEMENTOS
DE CONTORNO (MEC) E O MÉTODO DOS ELEMENTOS
FINITOS (MEF) 5.1 - INTRODUÇÃO O Método dos Elementos de Contorno (MEC) e o Método dos Elementos Finitos (MEF)
são bastante utilizados para a solução numérica de equações diferenciais parciais que regem
problemas de engenharia . Esses métodos possuem vantagens e desvantagens e existem diversas
situações em que o uso de um método pode ser mais vantajoso do que o outro.
O acoplamento entre o MEC e o MEF é uma boa alternativa para o tratamento da interação
solo-estrutura. O MEC apresenta propriedades apropriadas para o tratamento de meios contínuos
tridimensionais com características semi- infinitas e/ou infinitas. O MEF é apropriado para se
modelar estruturas de placa, tais como as que podem existir em: fundações, túneis, lajes, entre
outros.
Neste trabalho descreve-se um procedimento para analisar a interação solo-estrutura através
do acoplamento entre o Método dos Elementos Finitos (MEF) e o Método dos Elementos de
Contorno (MEC). O MEF é utilizado para modelar a estrutura, composta por elementos de placa
DKT, cuja formulação encontra-se no capítulo 4. O solo é modelado pelo MEC tridimensional,
utilizando a solução fundamental de Kelvin, cuja formulação é descrita no capítulo 3.
O acoplamento entre os métodos é realizado utilizando-se a técnica de sub -regiões a partir
da utilização das condições de compatibilidade geométrica e de equilíbrio aplicadas na superfície
de contato entre os meios, que nesse trabalho é a superfície do radier.
Os sistemas de equações produzidos pelo MEF e MEC são expressos em termos de
diferentes variáveis e implicam em algumas considerações resolvidas para então serem acopladas.
O acoplamento entre os métodos tem sido estudado com muito interesse ao longo das duas últimas
décadas. Dentre alguns trabalhos e artigos consultados, pode-se citar: BREBBIA & DOMINGUEZ
(1989), INOUE (1998), KOCAK & MENGI (2000), VON ESTORFF & FIRUZIAN (2000),
CODA & VENTURINI (2000) e ALMEIDA (2003).
89
5.2 - REPRESENTAÇÃO ALGÉBRICA DO MEC E DO MEF A equação que representa a formulação do Método dos Elementos de Contorno (MEC)
definida em (3.5.10) pode ser escrita, desprezando-se a parcela referente a forças de volume, da
seguinte forma:
HU = GP, (5.2.1)
onde U e P são as matrizes contendo os valores nodais no contorno para os deslocamentos e forças
de superfície respectivamente, H e G são as matrizes com os seus respectivos coeficientes de
influência.
O Método dos Elementos Finitos (MEF), conforme descrito no capítulo 4, possui o sistema
de equações algébricas, dado por:
KU = F, (5.2.2)
onde K representa a matriz de rigidez para o sistema que define o MEF, U e F são os vetores que
definem os deslocamentos nodais e as forças nodais equivalentes, respectivamente.
5.3 - APROXIMAÇÃO PARA O ACOPLAMENTO ENTRE O MEC E O MEF
Uma formulação aproximada para o acoplamento da interação solo-estrutura a ser utilizada
nesse trabalho visa à combinação das equações que regem as matrizes definidas para o Método dos
Elementos de Contorno e para o Método dos Elementos Finitos, eqs. (5.2.1) e (5.2.2). Estas
expressões são de naturezas diferentes e apesar de envolverem características de rigidez K e H
respectivamente, não podem ser combinadas diretamente.
Para analisar a interação solo-estrutura pretende-se transformar o sistema algébrico da parte
do domínio discretizada por elementos finitos em um sistema cuja forma é análoga à dos
elementos de contorno, sendo o sistema resultante resolvido por um processo de resolução que seja
próprio para a solução de análises de sistemas gerados pelo método dos elementos de contorno.
Dessa forma, objetiva-se condensar a expressão (5.2.2) na forma da expressão (5.2.1)
utilizando um procedimento analítico de transformação que implicará em resultados numéricos
exatos sem a necessidade de se inverter a matriz G, que se trata de uma matriz singular, já que,
devido ao problema de canto, os vetores normais são indefinidos nesses pontos causando
descontinuidade na distribuição das forças e tornando-a uma matriz singular. Essa aproximação foi
proposta por BREBBIA & GEORGIOU (1980).
90
Para equacionar e representar a técnica da combinação, considera-se as duas regiões
descritas na figura (5.3.1), onde a região 1Ω é discretizada em elementos de contorno, a região 2Ω
é tratada via elementos finitos e entre as duas regiões é definida uma interface iΓ .
Para a sub-região Ω1 pode-se escrever as equações governantes como mostrado a seguir:
[ ] [ ]
=
1i
11i
11i
11i
1
P
PG G
U
U H H , (5.2.3)
onde o índice subscrito i define a sub-região de interface entre as sub-regiões 1 e 2.
A eq. (5.2.2) que define a matriz de rigidez para o Método dos Elementos Finitos (MEF)
deve ainda ser remodelada, considerando-se a transformação dos valores das forças de superfície
(definida pela matriz P) em uma matriz de forças nodais equivalentes utilizada em Elementos
Finitos (definida por F). Essa transformação é realizada através da multiplicação das forças de
superfície por uma matriz de transformação GF, assim, a matriz de forças de superfície passa a ser:
Figura 5.3.1– Representação das sub-regiões ( 21 e ΩΩ ) modeladas por Elementos de Contorno e Elementos Finitos (Fonte: Brebbia & Dominguez, 1989).
91
F = GFP (5.2.4)
onde GF é a matriz de transformação que depende das mesmas funções de interpolação
definidas para os deslocamentos utilizadas para representar as forças de superfície na interface das
regiões.
Substituindo a equação acima na eq. (5.2.2), encontra-se
[ ] [ ]
=
2i
2F2i
F22i
22i
2
P
PG G
U
UK K . (5.2.5)
Aplicando-se as condições de equilíbrio e de compatibilidade na interface, conforme
definidas abaixo
2i
1ii
2i
1ii
U U U
P- P P
==
== (5.2.6a-b)
e rearrumando as eqs. (5.2.3) e (5.2.5) pode-se definir
=
2
1
F2
1
2
i
i
1
2F2i
2i
1i
1i
1
P
P
G 0
0 G
U
PUU
K G K 0
0 G- H H (5.2.7)
As equações representadas na forma matricial em (5.2.7) precisam ser organizadas de
acordo com as condições de contorno. É importante salientar que esta aproximação não requer a
inversão de nenhuma matriz e ambos os deslocamentos e forças de superfície ficam desconhecidos
ao longo da interface, sendo as incógnitas encontradas através das equações apresentadas.
Com o objetivo de facilitar o entendimento da técnica de sub-regiões, mostra-se a seguir o
exemplo de uma viga engastada em uma extremidade e sujeita a um carregamento de tração Q
concentrado na extremidade livre, conforme mostrado na figura 5.3.2. Para esse problema a viga
foi dividida em duas sub-regiões de domínios Ω1 e Ω2, denotadas sub-região 1 e sub-região 2,
respectivamente.
Figura 5.3.2 – Esquema de uma viga para utilização da técnica de sub-regiões: duas sub-regiões Ω1 e Ω2.
92
A partir da eq. (5.2.1) definem-se as equações matriciais que definem o problema mostrado
para cada sub-região que podem ser representadas como:
1 1 1 1 1 1 111 12 1 11 12 1 1
1 1 1 1 1 1 121 22 2 21 22 2 2
h h U g g P Q = +
h h U g g P Q
(5.2.8)
e
2 2 2 2 2 2 211 12 1 11 12 1 1
2 2 2 2 2 2 221 22 2 21 22 2 2
h h U g g P Q = +
h h U g g P Q
(5.2.9)
Pode-se observar que as eqs. (5.2.8) e (5.2.9) referem-se as sub-regiões 1 e 2,
respectivamente.
Sabendo-se que o deslocamento no engaste é nulo, ou seja, 11U = 0 , a equação matricial
referente a sub-região 1 pode ser escrita da seguinte forma:
1 1 1 1 1 1 111 12 1 11 12 1 1
1 1 1 1 1 1 121 22 2 21 22 2 2
-g h P -h g U Q = +
-g h U -h g P Q
(5.2.10)
Dessa forma, deve-se aplicar as condições de compatibilidade geométrica ou cinemática e
as condições de equilíbrio ao problema, partindo do princípio de que os nós pertencentes às duas
sub-regiões ao mesmo tempo (nós conectados ou ligados) devem ter o mesmo deslocamento e
forças de contato de mesmo módulo, mesma direção e sentidos contrários, conforme mostrado a
seguir: 1 2 1 22 1 2 1U = U e P = -P (5.2.11)
Visando o acoplamento numérico das eqs. (5.2.9) e (5.2.10) aplicam-se as condições
mostradas na eq. (5.2.11), encontrando-se as seguintes equações matriciais:
1 1 1 1 1 1 1 1 111 1 12 2 11 1 12 2 1
1 1 1 1 1 1 1 1 121 1 22 2 21 1 22 2 2
2 1 2 2 2 1 2 2 211 2 12 2 11 2 12 2 1
2 1 2 2 2 1 2 2 221 2 22 2 21 2 22 2 2
g P + h U = -h U + g P + Q
-g P + h U = -h U + g P + Q
h U + h U = -g P + g P + Q
h U + h U = -g P + g P + Q
−
(5.2.12a-d)
Considerando-se a existência de forças externas aplicadas no contato entre as sub-regiões 1
e 2, pode-se escrever: 11 122 21
22 211 12
P = P + P
ou
P = P + P
(5.2.13a-b)
93
onde:
12
1 121 2
21
P é a força externa aplicada no nó 2 da sub-região 1 (prescrita);
P é a força de contato entre as sub-regiões 1 e 2 (antes conhecido como P );
P é a força externa aplicada no nó 1 da sub-região 2 2
12 1
2 (prescrita); e
P é a força de contato entre as sub-regiões 2 e 1 (antes conhecido como P ).
A equação de equilíbrio pode ser escrita agora, como: 1 21 22 121 12P = -P ou ainda P = -P (5.2.14)
Aplicando-se a eq.(5.2.13a), considerando agora forças externas no contato entre as duas
sub-regiões nas expressões encontradas na eq. (5.2.12) tem-se: 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1211 1 12 2 12 21 11 1 12 1
11 1 1 1 1 1 1 1 1 1221 1 22 2 22 21 21 1 22 2
22 1 2 2 2 1 2 2 2 2111 2 12 2 11 21 11 12 2 1
2 1 2 2 2 121 2 22 2 21 21 21
g P + h U - g P = -h U + g P + Q
-g P + h U - g P = -h U + g P + Q
h U + h U + g P = g P + g P + Q
h U + h U + g P = g
−
22 2 2 21 22 2 2P + g P + Q
(5.2.15a-d)
Na forma matricial as eqs. (5.2.15a-d) passam a ser:
1 1 1 1 1e i i e i
1 1 111 12 12
1 1 121 22 22
2 2 212 11 11
222 21
H H -G G G
-g 0 h -g
-g 0 h -g
0 h h g
0 h h
11 1 111 11 1222 1 122 21 2211 2 222 12 11
2 2 1 2 2 221 21 22 21 1
UP -h 0 g 0PU -h 0 g 0
= U 0 g 0 g P
g P 0 g 0 g P
11
12
21
22
2 2 2 2 2e i i e i
Q
Q +
Q
Q
H H G G G
, (5.2.16)
ou ainda:
ffee
cf f f f fc fee i i e iefc c c c c cfie i i e ii
f ci i
UPPH 0 H -G G 0 G 0U Q
= + 0 H H G 0 G 0 G QU P
P P
, (5.2.17)
onde os índices ‘e’ e ‘i’ referem-se a ‘externo’ e ‘interno’, respectivamente, ou a ‘não- ligado’ e
‘ligado’, ou ainda a ‘não-conectado’ e ‘conectado’. Considerando-se que a sub-região 1 é
discretizada por elementos finitos e que a sub-região 2 é discretizada por elementos de contorno,
trocam-se os índices superiores ‘1’ e ‘2’ por ‘f’ e ‘c’ para facilitar o entendimento, já que nesse
trabalho é tratado apenas o acoplamento entre o MEC/MEF.
94
A eq. (5.2.17) pode ainda ser escrita da seguinte forma:
HU = GP + F (5.2.18)
onde, pode-se observar que os vetores P e F e a matriz G possuem todos os valores conhecidos
após a aplicação das condições de equilíbrio e de compatibilidade, resultando em um sistema:
AX = B (5.2.19)
De forma análoga pode-se considerar as duas sub-regiões apresentadas a seguir na figura
5.3.3
Pode-se escrever as equações matriciais para as duas sub-regiões: f f f f f
f
c c c c cc
H U = G P + Q
H U = G P + Q
Ω →
Ω →
De forma explícita:
(5.2.20a-b)
ffeef f f f f
e i e i ff fii i
cceec c c c c
e i e i cc cii i
PUH H = G G + Q
U P + P
PUH H = G G + Q
U P + P
Procedendo as multiplicações de matrizes, tem-se:
(5.2.21a-b)
ff f f f f f f f f fie e i i e e i i i
cc c c c c c c c c cie e i i e e i i i
H U + H U = G P + G P + G P + Q
H U + H U = G P + G P + G P + Q (5.2.22a-b)
Aplicando-se as condições de compatibilidade geométrica e de equilíbrio na superfície de
contato, tem-se:
Figura 5.3.3 – Sub-região de domínio Ωf discretizada pelo MEF e sub-região de domínio Ωc discretizada pelo MEC, no acoplamento.
95 ff f f f f f f f f fie e i i e e i i i
cc c c f c c c f c cie e i i e e i i i
H U + H U = G P + G P + G P + Q
H U + H U = G P - G P + G P + Q (5.2.23a-b)
Na forma matricial:
ffeecf f f f fc fee i i e iefc c c c c cfie i i e ii
f ci i
PUPH 0 H -G G 0 G 0U Q
= + 0 H H G 0 G 0 G QU P
P P
(5.2.24)
Para o acoplamento entre os métodos utilizado nesse trabalho, a formulação do Método dos
Elementos de Contorno (MEC) foi analisada através de elementos de contorno triangulares planos
contínuos, diferentemente do tipo de elemento utilizado para a análise de estruturas e meios semi-
infinitos apenas pelo MEC como mostrado, por exemplo, nos exemplos do capítulo 3.
O elemento de contorno contínuo, conforme mostrado na seção 3.5.2 desse trabalho, possui
os nós funcionais coincidentes com os nós geométricos, ou seja, não se permite a modelagem
direta de contornos descontínuos através desse elemento.
Para esse elemento, considera-se a utilização de nó duplo para os nós que pertencem a dois
ou mais elementos ao mesmo tempo e/ou pertença a duas sub-regiões distintas.
96
6- IMPLEMENTAÇÕES COMPUTACIONAIS:
6.1 – INTRODUÇÃO:
Com base nas formulações e desenvolvimentos apresentados nos capítulos
anteriores, elaborou-se programas computaciona is visando à implementação e a
validação dos desenvolvimentos teóricos do presente trabalho. Este sexto capítulo tem
como finalidade descrever as principais características do código computacional
desenvolvido, em termos gerais, e suas sub-rotinas mais importantes, bem como
comentar a respeito da entrada e saída de dados.
Neste trabalho são elaborados três programas computacionais utilizando a
linguagem do ambiente do MatLab, pacote bastante utilizado em resolução de
problemas de engenharia.
O primeiro utiliza toda a formulação do Método dos Elementos de Contorno
(MEC), onde foi criada uma interface em que o usuário pode simular diversos casos de
engenharia com facilidade, como os mostrados, por exemplo, no capítulo 3. Esse
programa utiliza a solução fundamental de Kelvin para o desenvolvimento da
formulação e cálculo das matrizes G e H visando fornecer os deslocamentos e as
reações de apoio de corpos bi e tridimensionais. O elemento de contorno utilizado é o
elemento triangular plano.
O segundo programa utiliza a formulação do Método dos Elementos Finitos
(MEF), onde também foi criada uma interface utilizando o programa MatLab. Esse
programa lê os arquivos com a entrada de dados do problema a ser analisado e a partir
da formulação do elemento de placa DKT, calcula a matriz de rigidez global do sistema
determinando, em seguida, os deslocamentos e reações de apoio para o problema a ser
estudado.
Por fim, faz-se o acoplamento entre os dois primeiros programas utilizando
também a linguagem MatLab, criando-se um terceiro programa que processa problemas
de engenharia que envolvem as duas formulações. Esse terceiro programa recebe as
matrizes GC e H e o vetor de forças de superfície FS do programa em elementos de
contorno, bem como, as matrizes K e GF e os vetores com a carga concentrada e
carregamento distribuído do programa em elementos finitos. Em seguida, é realizada a
alocação destes parâmetros para o devido acoplamento entre os métodos.
97
6.2 – ALGORITMO DO MEC A PARTIR DA FORMULAÇÃO
ELASTOSTÁTICA
O algoritmo a ser apresentado desenvolve computacionalmente a formulação
apresentada no capítulo 3 deste trabalho.
No programa é utilizada uma discretização em elementos triangulares planos
descontínuos, onde fica evidenciado que quanto maior o número de elementos da malha
de discretização, melhores são os resultados encontrados.
A interface do programa que trata da análise do problema em estudo processa o
arquivo de entrada dos dados geométricos da estrutura e gera um gráfico com a forma
geométrica do corpo, executando, em seguida, os cálculos dos deslocamentos e forças
de reação a partir da formulação implementada.
Visando uma melhor análise da confiabilidade dos resultados obtidos para os
diversos exemplos implementados, são fornecidas algumas aplicações com diferentes
discretizações para o mesmo problema. Para a geração do programa são fornecidas
algumas características do material como: módulo de elasticidade longitudinal e
coeficiente de Poisson.
Quanto às características geométricas, é necessário fornecer o número de nós
geométricos com suas respectivas coordenadas dentro de um sistema global, o número
de elementos triangulares e suas respectivas conectividades, bem como informar para
cada elemento as forças e deslocamentos (valores prescritos ou incógnitos).
O desenvolvimento do algoritmo é feito a partir de cinco módulos, na tentativa
de dividir tarefas para não repeti- las, conforme mostrado na figura 6.2.1.
Módulo I:
Figura 6.2.1 - Roteiro do algoritmo computacional para problemas estáticos.
98
A seguir, os módulos que constituem o código do MEC para problemas
elastostáticos são comentados.
a) Módulo I
No módulo I é realizada a leitura dos dados geométricos e característicos do
problema a ser analisado, tais como: conectividade, forças, características físicas,
definição dos valores das coordenadas dos pontos e pesos para a integração de Gauss
para elementos triangulares, além de outros dados necessários para a sua formulação.
Também, nesse módulo são definidas as coordenadas dos pontos onde são escritas as
integrais de deslocamentos e montagem da matriz de conectividade para estes novos
pontos (Load Points).
a.1) Leitura de dados: Permite a entrada dos parâmetros elásticos e geométricos do
problema. Na figura 6.2.2, mostra-se os arquivos de entrada de dados do programa:
(a) conectividade dos elementos (nó 1, nó 2 e nó 3) para o exemplo 3.3 – malha com 16 elementos.
(b) condições de contorno: 9 graus de liberdade por elemento.
Figura 6.2.2a – Leitura de dados para processamento do programa (Exemplo 3.3: Malha com 16 elementos).
99
a) Módulo II
No módulo II é feita a montagem das matrizes H e G, através das integrais
numéricas (singular ou regular). A sequência das rotinas envolvidas é mostrada a seguir:
b.1) Inicialização de variáveis: Nesta sub-rotina definem-se as matrizes do tipo
ponteiro obedecendo o limite estabelecido para o número máximo de elementos e de
nós, definindo ainda as variáveis simples para o programa.
b.2) Pontos de Colocação: define as coordenadas dos pontos para os quais são escritas
as equações integrais de contorno de deslocamento. Sub-rotina onde os pontos dos
vértices do elemento são deslocados para o seu interior (elemento descontínuo).
b.3) Montagem do vetor índice: estabelece a ordem em que as componentes de H e G
devem ser arranjadas para que o particionamento das matrizes aconteça de forma direta.
É utilizado o vetor “cod” que define a característica dos graus de liberdade: se 1 (um), o
deslocamento é prescrito; se 0 (zero), a força de superfície é prescrit a.
(c) coordenadas dos nós (x1, x2 e x3).
(d) valores dos carregamentos prescritos.
Figura 6.2.2b – Leitura de dados para processamento do programa (Exemplo 3.3: Malha com 16 elementos).
100
b.4) Montagem das matrizes H e G: efetua as integrações mostradas na formulação do
MEC, mostrado no capítulo 3, que resulta nas componentes das matrizes citadas.
b) Módulo III
No módulo III é efetuada a montagem das sub-matrizes G e H. Na formulação
do MEC tem-se valores de forças de superfícies e deslocamentos em um único vetor
misto, podendo os mesmos serem prescritos ou não-prescritos. Logo, é necessário criar
alguma particularização quanto a estes valores. Portanto são criados códigos que
informam se o nó está ou não conectado com o valor conhecido. Se esse código for 1
(um) o valor é prescrito (conhecido), podendo este ser força de superfície ou
deslocamento, se for 0 (zero) o valor é não-prescrito (incógnito). A partir desses códigos
montam-se as sub-matrizes H e G.
d) Módulo IV
Utilizando-se o algoritmo de Gauss resolve-se facilmente o sistema de equações
encontrado, utilizando também as condições de contorno, ou seja:
X = A-1F
e) Módulo V
No Módulo V, após a resolução do sistema de equações, é fornecido um
relatório com os resultados dos deslocamentos e forças de superfície para cada
elemento. É necessário fazer uma associação da matriz de conectividade dos elementos
com os respectivos valores para cada nó geométrico.
101
6.3 – ALGORITMO DO MEF A PARTIR DO ELEMENTO DKT:
O algoritmo a ser apresentado desenvolve computacionalmente a formulação
apresentada e desenvolvida no capítulo 4 deste trabalho e é dividido em algumas sub-
rotinas conforme discriminado a seguir.
a) Leitura de dados – dados de entrada: Nessa sub-rotina, o programa processa a
leitura dos dados de entrada a partir de um ‘arquivo.nf’, conforme mostrado a seguir nas
figura 6.2.3a,b,c.
Figura 6.2.3a – 1ª parte do arquivo com a entrada de dados referente as coordenadas dos nós (linhas 7 a 19) e cond ições de contorno (linhas 20 a 30): Exemplo 4.1 – Malha M2 com 9 nós e 8 elementos.
102
Figura 6.2.3b – 2ª parte do arquivo com a entrada de dados referente as propriedades do material (linhas 32 a 46) e conectividade dos elementos (linhas 48 a 60): Exemplo 4.1 – Malha M2 com 9 nós e 8 elementos.
Figura 6.2.3c – 3ª parte do arquivo com a entrada de dados referente ao carregamento prescrito: carga concentrada e carregamento distribuído (linhas 62 a 83): Exemplo 4.1 – Malha M2 com 9 nós e 8 elementos
103
Foi utilizado também o programa m-tool, do pacote MatLab para a geração de
malhas de discretização, visando a determinação das coordenadas dos nós e
conectividade dos elementos.
b) Desenvolvimento do programa
Em seguida é desenvolvida toda a formulação do Método dos Elementos Finitos
através da definição da matriz constitutiva do material, da matriz que relaciona
deslocamentos com deformações para, na seqüência, definir a matriz de rigidez do
elemento DKT.
O programa computacional na linguagem MatLab baseado na formulação do
elemento finito DKT lê os arquivos de dados de entrada que contém os parâmetros: E
(módulo de elasticidade longitudinal), ν (coeficiente de Poisson), h (espessura da placa),
Nnos (número de nós da discretização), Nelem (número de elementos da discretização),
Pnos (matriz com as coordenadas dos nós), cod (matriz com as condições de contorno),
conect (matriz com a conectividade dos elementos), Cconc (vetor com as cargas
concentradas) e Ao (vetor com os carregamentos distribuídos).
Admitindo-se a aproximação linear para o carregamento distribuído e transversal
aplicado ao elemento finito de placa, e também se considerando (como aproximação
coerente) os deslocamentos transversais médios com comportamento linear, é definida a
matriz G, eq. (4.2.36), em coordenadas locais.
Em seguida, é realizada a alocação da matriz de rigidez K e da matriz GC do
elemento finito DKT em coordenadas locais, na matriz de rigidez do sistema em
coordenadas globais através da criação de um vetor de alocação.
Por fim, montam-se os vetores das ações, aplicam-se as condições de contorno e
resolve-se o sistema de equações determinando os deslocamentos globais e as reações
de apoio.
Vale ressaltar que o programa em elementos finitos DKT foi desenvolvido no
presente trabalho, considerando-se 6 graus de liberdade por nó, logo, fica muito simples
adaptar o programa para futuras implementações de elementos de chapa e/ou casca, por
exemplo.
104
6.4 – ALGORITMO DO ACOPLAMENTO ENTRE OS MÉTODOS:
Para o acoplamento entre os métodos foi criado um terceiro programa em
MatLab que recebe algumas informações e dados dos programas de MEC e MEF
separadamente, fazendo, em seguida uma alocação de acoplamento desses dados e
matrizes a partir da técnica de sub-regiões.
Vale ressaltar que, neste trabalho, são estudados apenas problemas que
envolvam 2 (duas) sub-regiões, ou seja, 1 (uma) interface de contato entre os meios, não
sendo permitida, desta forma, a análise de problemas que envolvam o acoplamento de
duas ou mais de duas sub-regiões.
No processo de acoplamento, as contribuições da matriz de rigidez do elemento
DKT referentes a forças transversais e forças rotacionais são acopladas no sistema
matricial global, analisar a eq. (5.2.24).
Porém, é muito importante salientar que, por se tratar de elementos finitos de
placa, apenas o grau de liberdade referente ao deslocamento transversal é acoplado
através das condições de equilíbrio e de compatibilidade geométrica.
Para visualizar com mais facilidade o processo de acoplamento utilizado no
código computacional, pode-se verificar a formulação apresentada na seção 5.3.
105
7 - APLICAÇÕES No final dos capítulos 3 e 4 deste trabalho, são mostrados exemplos de
aplicações de engenharia estudados e analisados pelo Método dos Elementos de
Contorno (MEC) e Método dos Elementos Finitos (MEF), respectivamente. Nesses
exemplos, encontram-se resultados satisfatórios e coerentes quando comparados com
resultados analíticos e encontrados em outros trabalhos, demonstrando a adequação de
cada método individualmente.
Nesse capítulo de aplicações, quatro problemas são estudados com o objetivo
principal de mostrar a aplicação dos desenvolvimentos descritos nos capítulos
anteriores, bem como a potencialidade do código computacional desenvolvido na
pesquisa e a eficiência do acoplamento entre os métodos para a análise da interação
solo-estrutura.
As aplicações aqui mostradas são estudadas utilizando-se o acoplamento dos
dois métodos a partir da técnica de sub-regiões, onde para o MEC são utilizados
elementos contínuos para o acoplamento utilizando-se a definição de nó duplo para a
modelagem.
7.1 – EXEMPLO 7.1
Neste exemplo é feita uma análise do comportamento do solo em contato com
uma estrutura através de algumas condições de modelagem. Trata-se de uma placa
quadrada de lado ‘L’ apoiada sobre um semi-espaço infinito (solo) sujeita a um
carregamento distribuído ‘q’ em todo o seu domínio.
O solo é modelado inicialmente pelo MEC e a placa, pelo MEF, através de
elementos de placa DKT. A discretização utilizada nesse tipo de análise para a placa e
para o solo, bem como os demais dados envolvidos no problema podem ser vistos na
figura 7.1.1 mostrada a seguir. O elemento de placa DKT foi implementado de tal forma
que possibilita uma adequação futura para elementos de casca e/ou barra, pelo fato de
que são considerados 6 graus de liberdade por nó para este elemento.
1) Dados do Solo: E = 2,1E+9 kgf/m2. ν = 0,13. 2) Dados da Estrutura: E = 2,1E+10 kgf/m2. ν = 0,25. 3) Dados Gerais: L =20m. q = 300000 kgf/m2.
Figura 7.1.1 – Exemplo 7.1: Discretização da interface placa-solo por 49 nós e 72 elementos.
106
O objetivo dessa aplicação é encontrar o deslocamento transversal ‘u3’ no ponto
’P’ localizado no centro da placa. Para tal análise são utilizadas duas discretizações: a
primeira, já mostrada na figura 7.1.1, trata a discretização da interface solo-estrutura
utilizando-se a malha com 49 nós e 72 elementos, já a segunda, trata o meio semi-
infinito através de uma discretização estendida, ver figura 7.1.2, onde é utilizada uma
malha com 109 nós e 160 elementos.
A discretização estendida é caracterizada por modelar não apenas a região de
aplicação do carregamento aplicado mas também uma região externa de forças de
superfície nulas. Esse tipo de discretização é recomendada para a formulação da solução
fundamental de Kelvin, conforme já explicado na seção 3.3.1.
Vale ressaltar que a análise estática com a discretização estendida foi feita
utilizando elementos de contorno para a modelagem do solo (109 nós e 160 elementos)
e elementos finitos para a modelagem da placa (49 nós e 72 elementos), onde a área
total é um quadrado de lado igual a 200m.
Em resumo, trata-se de uma região quadrada de lado 200m x 200m discretizada
pelo MEC com uma placa quadrada sujeita a um carregamento distribuído ‘q’, de lado
20m x 20m discretizada pelo MEF, localizada no meio do semi- infinito.
Nas figuras 7.1.3 e 7.1.4 são apresentados graficamente os resultados para os
deslocamentos transversais do ponto ‘P’, mostrados nas tabelas 7.1 e 7.2,
respectivamente para as duas discretizações, onde a espessura ‘h’ da placa varia de zero
Figura 7.1.2 – Exemplo 7.1: discretização estendida com 109 nós e 160 elementos
107
a oito metros na análise. Vale ressaltar que para ‘h = 0’, apenas a sub-região do MEC
foi considerada e a carga foi aplicada diretamente no solo.
Verifica-se, após a análise dos resultados que para a espessura da placa variando
de ‘h=0m’ a ‘h=1,5m’, o deslocamento do ponto P é praticamente constante. Porém, a
partir de ‘h=1,5m’, verifica-se que à medida que se aumenta a espessura da placa, o
deslocamento diminui, o que já era esperado devido a influência da rigidez da placa.
Observa-se também que as estabilidades numéricas obtidas para as diversas análises são
bastante satisfatórias.
espessura da placa (h), em
m. deslocamento no
centro da placa, em mm.
0,00 3,1202
0,20 3,1201
0,50 3,1192
1,00 3,1231
1,50 3,1290
2,50 3,0417
3,50 2,8660
4,50 2,6900
5,00 2,6146
6,50 2,4490
8,00 2,3544
Tabela 7.1 – Valores de deslocamento no centro da placa em função da espessura para a discretização estendida.
Figura 7.1.3 – Visualização gráfica dos valores da tabela 7.1 para a discretização estendida.
espessura da placa (h), em
m.
deslocamento no centro da placa, em
mm.
0,00 2,9613
0,20 2,9614
0,50 2,9627
1,00 2,9709
1,50 2,9734
2,50 2,8505
3,50 2,6294
4,50 2,4190
5,00 2,3309
6,50 2,1399
8,00 2,0319
Tabela 7.2 – Valores de deslocamento no centro da placa em função da espessura para a discretização com 49 nós e 72 elementos.
Figura 7.1.4 – Visualização gráfica dos valores da tabela 7.2 para a discretização com 49 nós e 72 elementos.
Deslocamento transversal x Espessura da placa
2,2000
2,3000
2,4000
2,5000
2,6000
2,7000
2,8000
2,9000
3,0000
3,1000
3,2000
0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 5,50 6,00 6,50 7,00 7,50 8,00
Espessura da placa (m)
Deslocamento transversal x Espessura da placa
2 , 0 0 0 0
2 , 1 0 0 0
2 , 2 0 0 0
2 , 3 0 0 0
2 , 4 0 0 0
2 , 5 0 0 0
2 , 6 0 0 0
2 , 7 0 0 0
2 , 8 0 0 0
2 , 9 0 0 0
3 , 0 0 0 0
0 ,00 0,50 1,00 1,50 2 ,00 2,50 3 ,00 3,50 4,00 4,50 5,00 5,50 6,00 6,50 7,00 7,50 8,00
Espessura da p laca (m)
108
Em uma análise comparativa, figura 7.1.5, verifica-se que a solução fundamental
de Kelvin utilizada nesse trabalho fornece resultados coerentes quando se utiliza uma
discretização estendida, onde a superfície livre de forças de superfície do semi- infinito
também é modelada. Para essa situação observa-se que os valores dos deslocamentos
encontrados são maiores que os encontrados para a discretização com 49 nós.
Comparativo de resultados
1,9000
2,1000
2,3000
2,5000
2,7000
2,9000
3,1000
3,3000
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00espessura da placa (m)
Discretização estendida, sol. fund. de Kelvin Discretização 49 nós, sol.fund. de Kelvin
Outra consideração muito importante a ser feita é que, para a análise utilizada
nesse trabalho através de elementos finitos de placa DKT, apenas o grau de liberdade
referente ao deslocamento transversal é acoplado, logo não é considerado os efeitos de
membrana para esse tipo de elemento.
Desta forma, faz-se uma comparação entre os resultados encontrados nesse
trabalho para o elemento de placa DKT (discrete Kirchhoff triangle) com os obtidos por
programa na linguagem FORTRAN 77 desenvolvido pelo co-orientador desse trabalho,
onde foi utilizado o elemento de casca obtido da superposição do elemento de placa
DKT com o elemento de chapa CST (constant strain triangle) que permite a aplicação
de carregamento cisalhante na superfície do elemento, como também o elemento de
placa, ver figura 7.1.6.
Figura 7.1.5 – Resultados para a solução fundamental de Kelvin: comparativo entre as duas discretizações utilizadas.
109
A análise da figura 7.1.6 é muito importante pelos seguintes aspectos:
1) Utilizando-se o elemento de casca para a modelagem da estrutura, à medida
que a espessura da placa aumenta o deslocamento sempre diminui, já que os efeitos de
membrana estão sendo considerados, ou seja, são acoplados os três graus de liberdade
referente aos deslocamentos nas três direções. Nessa análise, a espessura da placa variou
até 5,00 metros.
2) A formulação e análise implementada neste trabalho obteve resultados
bastante satisfatórios, a partir do momento de que se verifica que os resultados são
exatamente os mesmos obtidos pelo programa em FORTRAN 77 de ALMEIDA,
considerando-se a modelagem através de elementos de placa.
Utilizando-se os programas MatLab e Surfer32, encontram-se os deslocamentos
para todos os nós da placa sujeita ao carregamento ‘q’ para a discretização estendida e
faz-se uma visualização do comportamento estático da estrutura, ver figuras 7.1.7 a
7.1.10 e tabelas 7.3 a 7.4.
Figura 7.1.6 – Comparativo de Resultados.
Comparativo de resultados: Elemento de Placa x Elemento de Casca
2,0000
2,2000
2,4000
2,6000
2,8000
3,0000
3,2000
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
Espessura da Placa (em m).
Des
loca
men
to n
o C
entr
o d
a P
laca
(em
m
m).
Elementos de Casca: Discretização estendida (ALMEIDA).
Elementos de Placa: Discretização estendida (ALMEIDA).
Elementos de Placa: Discretização estendida.
Elementos de Placa: Discretização com 49 nós e 72 elementos.
110
Nó Coordenada x (m)
Coordenada y (m)
deslocamento (mm)
1 110 90 -1,5616
2 90 90 -1,5559
3 106,6667 90 -1,9277
4 103,3333 90 -2,0816
5 100 90 -2,1279
6 96,66666 90 -2,0797
7 93,33334 90 -1,9235
8 110 110 -1,5595
9 110 106,6667 -1,922
10 110 103,3333 -2,0797
11 110 100 -2,1279
12 110 96,66666 -2,0815
13 110 93,33334 -1,9291
14 90 110 -1,5616
15 93,33334 110 -1,9277
16 96,66666 110 -2,0816
17 100 110 -2,1279
18 103,3333 110 -2,0797
19 106,6667 110 -1,9235
20 90 93,33334 -1,922
21 90 96,66666 -2,0797
22 90 100 -2,1279
23 90 103,3333 -2,0815
24 90 106,6667 -1,9291
25 106,6667 106,6667 -2,5021
26 106,6667 103,3333 -2,7224
27 106,6667 100 -2,7845
28 106,6667 96,66666 -2,7245
29 106,6667 93,33334 -2,5079
30 103,3333 106,6667 -2,7225
31 103,3333 103,3333 -2,9752
32 103,3333 100 -3,0463
33 103,3333 96,66666 -2,9761
34 103,3333 93,33334 -2,7245
35 100 106,6667 -2,7845
36 100 103,3333 -3,0463
37 100 100 -3,1201
38 100 96,66666 -3,0463
39 100 93,33334 -2,7845
40 96,66666 106,6667 -2,7245
41 96,66666 103,3333 -2,9761
42 96,66666 100 -3,0463
43 96,66666 96,66666 -2,9752
44 96,66666 93,33334 -2,7225
45 93,33334 106,6667 -2,5079
46 93,33334 103,3333 -2,7245
47 93,33334 100 -2,7845
48 93,33334 96,66666 -2,7224
49 93,33334 93,33334 -2,5021
Tabela 7.3 – Valores do deslocamento da placa h=20cm (em mm), para a discretização estendida.
-3.10
-3.00
-2.90
-2.80
-2.70
-2.60
-2.50
-2.40
-2.30
-2.20
-2.10
-2.00
-1.90
-1.80
-1.70
Figura 7.1.8 – Comportamento da placa h=20cm para a discretização estendida em escala cinemática, (valores em mm).
90.00 92.00 94.00 96.00 98.00 100.00 102.00 104.00 106.00 108.00 110.0090.00
92.00
94.00
96.00
98.00
100.00
102.00
104.00
106.00
108.00
110.00
-3.10
-3.00
-2.90
-2.80
-2.70
-2.60
-2.50
-2.40
-2.30
-2.20
-2.10
-2.00
-1.90
-1.80
-1.70
-1.60
Figura 7.1.7 – Comportamento da placa h=20cm para a discretização estendida, (valores em mm).
111
Nó Coordenada x (m)
Coordenada y (m)
deslocamento (mm)
1 110 90 -1,7086
2 90 90 -1,7179
3 106,6667 90 -2,0059
4 103,3333 90 -2,2053
5 100 90 -2,2728
6 96,66666 90 -2,2004
7 93,33334 90 -1,9972
8 110 110 -1,7179
9 110 106,6667 -1,997
10 110 103,3333 -2,2002
11 110 100 -2,2727
12 110 96,66666 -2,2055
13 110 93,33334 -2,0061
14 90 110 -1,7086
15 93,33334 110 -2,0059
16 96,66666 110 -2,2053
17 100 110 -2,2728
18 103,3333 110 -2,2004
19 106,6667 110 -1,9972
20 90 93,33334 -1,9969
21 90 96,66666 -2,2002
22 90 100 -2,2728
23 90 103,3333 -2,2055
24 90 106,6667 -2,0061
25 106,6667 106,6667 -2,2845
26 106,6667 103,3333 -2,4938
27 106,6667 100 -2,5697
28 106,6667 96,66666 -2,4997
29 106,6667 93,33334 -2,2943
30 103,3333 106,6667 -2,4938
31 103,3333 103,3333 -2,7102
32 103,3333 100 -2,7883
33 103,3333 96,66666 -2,7137
34 103,3333 93,33334 -2,4996
35 100 106,6667 -2,5697
36 100 103,3333 -2,7883
37 100 100 -2,866
38 100 96,66666 -2,7883
39 100 93,33334 -2,5697
40 96,66666 106,6667 -2,4996
41 96,66666 103,3333 -2,7137
42 96,66666 100 -2,7883
43 96,66666 96,66666 -2,7102
44 96,66666 93,33334 -2,4938
45 93,33334 106,6667 -2,2943
46 93,33334 103,3333 -2,4997
47 93,33334 100 -2,5697
48 93,33334 96,66666 -2,4938
49 93,33334 93,33334 -2,2845
Tabela 7.4 – Valores do deslocamento da placa h=350cm (em mm) para a discretização estendida.
Figura 7.1.9 – Comportamento da placa h=350cm para a discretização estendida, (valores em mm).
90.00 92.00 94.00 96.00 98.00 100.00 102.00 104.00 106.00 108.00 110.0090.00
92.00
94.00
96.00
98.00
100.00
102.00
104.00
106.00
108.00
110.00
-2.85
-2.75
-2.65
-2.55
-2.45
-2.35
-2.25
-2.15
-2.05
-1.95
-1.85
-1.75
Figura 7.1.10 – Comportamento da placa h=350cm para a discretização estendida em escala cinemática, (valores em mm).
-2.80
-2.70
-2.60
-2.50
-2.40
-2.30
-2.20
-2.10
-2.00
-1.90
112
Sendo assim verifica-se que a solução fundamental de Kelvin apresenta
resultados maiores para o deslocamento para a formulação do MEC utilizada em
discretizações estendidas, onde a superfície de forças de superfície nulas do meio semi-
infinito também é discretizada. Verifica-se ainda que os deslocamentos encontrados
para a espessura da placa ‘h=350cm’ são menores que os encontrados para ‘h=20cm’, o
que já era esperado pelo fato de que quanto maior a espessura da placa maior a sua
rigidez.
113
7.2 – EXEMPLO 7.2
Nesse exemplo é feita uma análise do comportamento do solo sob aplicação de
uma carga concentrada ‘P’ aplicada no centro da placa quadrada de lado L = 20 metros
já mostrada e modelada no exemplo 7.1.
O principal objetivo dessa aplicação é estudar o comportamento do
deslocamento transversal do conjunto placa-solo a partir do aumento da rigidez da placa
à flexão. Desta forma, considera-se uma carga concentrada ‘P’ de módulo equivalente
ao carregamento distribuído implementado no exemplo anterior, aplicada no centro da
placa, ou seja, no nó 37, ver figura 7.2.1.
Na leitura dos arquivos de entrada de dados pelo programa de acoplamento em
MatLab é conveniente observar que a carga concentrada deve ser aplicada diretamente
no nó 37 da discretização da placa na rotina de programação em elementos finitos.
Logo, a carga concentrada é aplicada diretamente sobre a placa e não no semi- infinito,
como acontece para o caso de carregamento distribuído.
Nas tabelas 7.5 e 7.6 e figuras 7.2.2 e 7.2.3 mostra-se a variação do
deslocamento transversal no centro da placa em função da espessura para as mesmas
discretizações já definidas nas figuras 7.1.1 e 7.1.2 da seção anterior.
1)Dados do Solo: E = 2,1E+9 Kgf/m2. ν = 0,13. 2)Dados da Estrutura: E = 2,1E+10 Kgf/m2. ν = 0,25. 3)Dados Gerais: L =20metros. P = 120000000 Kgf.
Figura 7.2.1 – Carga concentrada ‘P’ no centro da placa.
espessura da placa (em m)
deslocamento no centro da placa (em mm)
0,20 25,5215
0,50 23,7510
1,50 12,2695
2,50 7,5063
4,00 4,8129
4,50 4,3145
5,00 3,9224
Tabela 7.5 – Discretização estendida.
114
Variação do deslocamento transversal no centro: Discretização estendida
0,8000
5,8000
10,8000
15,8000
20,8000
25,8000
30,8000
0,20 0,70 1,20 1,70 2,20 2,70 3,20 3,70 4,20 4,70
espessura da placa (em m).
Carga concentrada: Elemento de placa
Variação do deslocamento transversal no centro.
0,8000
5,8000
10,8000
15,8000
20,8000
25,8000
30,8000
35,8000
0,20 0,70 1,20 1,70 2,20 2,70 3,20 3,70 4,20 4,70
espessura da placa (em m).
des
loca
men
to (
em m
m).
Carga concentrada: Elemento de placa
Analisando os resultados encontrados para as duas discretizações verifica-se que
o deslocamento transversal no centro da placa sempre é inversamente proporcional à
rigidez da mesma, ou seja, com o aumento da rigidez, o deslocamento diminui.
Figura 7.2.2 – Discretização estendida.
espessura da placa (em m)
deslocamento no centro da placa (em mm)
0,20 30,8537
0,50 28,2426
1,50 13,1340
2,50 7,5739
4,00 4,6012
4,50 4,0670
5,00 3,6508
Tabela 7.6 – Discretização da interface de contato placa-solo.
Figura 7.2.3 – Discretização da interface de contato placa-solo. .
115
Na figura 7.2.4 mostra-se a variação do deslocamento transversal no centro da
placa para as duas discretizações em função da espessura da estrutura:
Comparativo de resultados para as duas modelagens
0,200,50
1,50
2,502,714,00 4,50 5,00
0,0000
5,0000
10,0000
15,0000
20,0000
25,0000
30,0000
35,0000
0,20 0,70 1,20 1,70 2,20 2,70 3,20 3,70 4,20 4,70 5,20
espessura da placa (em m).
des
loca
men
to (
em m
m).
Discretização estendida Discretização da interface placa-solo
Para a espessura ‘h=2,71m’, observa-se que os valores encontrados para o
deslocamento nas duas modelagens são os mesmos e que a partir dessa espessura, a
modelagem estendida passa a fornecer deslocamentos maiores do que a modelagem
apenas da interface placa-solo.
Utilizando-se os programas MatLab e Surfer32, encontram-se os deslocamentos
para todos os nós da placa sujeita a carga concentrada equivalente ‘P’ para a
discretização estendida e faz-se uma visualização do comportamento estático da placa,
ver figuras 7.2.5 a 7.2.8 e tabelas 7.7 a 7.8.
Figura 7.2.4 – Variação do deslocamento em função da espessura da placa.
-26.00
-24.00
-22.00
-20.00
-18.00
-16.00
-14.00
-12.00
-10.00
-8.00
-6.00
-4.00
-2.00
Figura 7.2.5 – Comportamento da placa (h=20cm): Discretização estendida.
116
Nó Coordenada x (m)
Coordenada y (m)
deslocamento (mm)
1 110 90 -1,2445
2 90 90 -1,2581
3 106,6667 90 -1,3748
4 103,3333 90 -1,6203
5 100 90 -1,7767
6 96,66666 90 -1,6852
7 93,33334 90 -1,4804
8 110 110 -1,2581
9 110 106,6667 -1,4769
10 110 103,3333 -1,6835
11 110 100 -1,7762
12 110 96,66666 -1,6215
13 110 93,33334 -1,3783
14 90 110 -1,2445
15 93,33334 110 -1,3748
16 96,66666 110 -1,6203
17 100 110 -1,7767
18 103,3333 110 -1,6852
19 106,6667 110 -1,4804
20 90 93,33334 -1,4769
21 90 96,66666 -1,6835
22 90 100 -1,7762
23 90 103,3333 -1,6215
24 90 106,6667 -1,3783
25 106,6667 106,6667 -1,9152
26 106,6667 103,3333 -2,334
27 106,6667 100 -2,5806
28 106,6667 96,66666 -2,7346
29 106,6667 93,33334 -2,062
30 103,3333 106,6667 -2,3344
31 103,3333 103,3333 -4,2682
32 103,3333 100 -4,7656
33 103,3333 96,66666 -2,0075
34 103,3333 93,33334 -2,7344
35 100 106,6667 -2,5807
36 100 103,3333 -4,7657
37 100 100 -25,5215
38 100 96,66666 -4,7657
39 100 93,33334 -2,5807
40 96,66666 106,6667 -2,7344
41 96,66666 103,3333 -2,0075
42 96,66666 100 -4,7656
43 96,66666 96,66666 -4,2682
44 96,66666 93,33334 -2,3344
45 93,33334 106,6667 -2,062
46 93,33334 103,3333 -2,7346
47 93,33334 100 -2,5806
48 93,33334 96,66666 -2,334
49 93,33334 93,33334 -1,9152
90.00 92.00 94.00 96.00 98.00 100.00 102.00 104.00 106.00 108.00 110.0090.00
92.00
94.00
96.00
98.00
100.00
102.00
104.00
106.00
108.00
110.00
-24.00-23.00-22.00-21.00-20.00-19.00-18.00-17.00-16.00-15.00-14.00-13.00-12.00-11.00-10.00-9.00-8.00-7.00-6.00-5.00-4.00-3.00-2.00
Tabela 7.7 – Valores do deslocamento da placa (h=20cm) (em mm): Discretização estendida.
Figura 7.2.6 – Comportamento da placa (h=20cm): Discretização estendida.
117
Nó Coordenada x (m)
Coordenada y (m)
deslocamento (mm)
1 110 90 -1,048
2 90 90 -1,0837
3 106,6667 90 -1,4453
4 103,3333 90 -1,7859
5 100 90 -1,8747
6 96,66666 90 -1,7468
7 93,33334 90 -1,4843
8 110 110 -1,0837
9 110 106,6667 -1,4826
10 110 103,3333 -1,7454
11 110 100 -1,8745
12 110 96,66666 -1,7872
13 110 93,33334 -1,4472
14 90 110 -1,048
15 93,33334 110 -1,4453
16 96,66666 110 -1,7859
17 100 110 -1,8747
18 103,3333 110 -1,7468
19 106,6667 110 -1,4843
20 90 93,33334 -1,4826
21 90 96,66666 -1,7454
22 90 100 -1,8745
23 90 103,3333 -1,7872
4 90 106,6667 -1,4472
25 106,6667 106,6667 -2,252
26 106,6667 103,3333 -2,9551
27 106,6667 100 -3,2861
28 106,6667 96,66666 -2,95
29 106,6667 93,33334 -2,1868
30 103,3333 106,6667 -2,9555
31 103,3333 103,3333 -4,4244
32 103,3333 100 -5,4103
33 103,3333 96,66666 -4,4864
34 103,3333 93,33334 -2,9496
35 100 106,6667 -3,2862
36 100 103,3333 -5,4103
37 100 100 -7,5063
38 100 96,66666 -5,4103
39 100 93,33334 -3,2862
40 96,66666 106,6667 -2,9496
41 96,66666 103,3333 -4,4864
42 96,66666 100 -5,4103
43 96,66666 96,66666 -4,4244
44 96,66666 93,33334 -2,9555
45 93,33334 106,6667 -2,1868
46 93,33334 103,3333 -2,95
47 93,33334 100 -3,2861
48 93,33334 96,66666 -2,9551
49 93,33334 93,33334 -2,252
Figura 7.2.7 – Comportamento da placa (h=250cm): Discretização estendida.
90.00 92.00 94.00 96.00 98.00 100.00 102.00 104.00 106.00 108.00 110.0090.00
92.00
94.00
96.00
98.00
100.00
102.00
104.00
106.00
108.00
110.00
-7.00
-6.50
-6.00
-5.50
-5.00
-4.50
-4.00
-3.50
-3.00
-2.50
-2.00
-1.50
-7.00
-6.50
-6.00
-5.50
-5.00
-4.50
-4.00
-3.50
-3.00
-2.50
-2.00
Figura 7.2.8 – Comportamento da placa (h=250cm): Discretização estendida.
Tabela 7.8 – Valores do deslocamento da placa (h=250cm) (em mm): Discretização estendida.
118
7.3 – EXEMPLO 7.3 Esse exemplo tem o objetivo de analisar o comportamento da estrutura em
contato com o solo, modelada por elementos de placa e sujeita a um carregamento
distribuído ‘q’ parcialmente em sua área.
Em uma primeira análise, esse carregamento distribuído é aplicado em uma área
interna da placa constituída de 8 elementos e possui o valor equivalente a carga
concentrada ‘P’ estudada no exemplo 7.2. Ou seja, trata-se da mesma placa quadrada
20mx20m já estudada nos exemplos 7.1 e 7.2, sujeita a um carregamento distribuído
equivalente aplicado nos nós 31, 32, 33, 36, 37, 38, 41, 42 e 43 que discretizam uma
área interna de 6,66m x 6,66m = 44,44m2. Esse novo carregamento distribuído ‘q8’
aplicado na área de 44,44m2 é igual a q8= 2,7E+06 kgf/m2 que resulta em uma carga
concentrada equivalente ‘P’ aplicada no centro da placa no valor de P= 1,2E+08 kgf,
ver exemplo 7.2.
Para esse novo carregamento distribuído verifica-se o comportamento da placa e
os resultados são comparados aos resultados encontrados no exemplo 7.2. As
discretizações utilizadas são as mesmas já abordadas nos exemplos 7.1 e 7.2.
Figura 7.3.1 – Carregamento distribuído parcialmente aplicado em 8 elementos da discretização.
1)Dados do Solo: E = 2,1E+9 kgf/m2. ν = 0,13. 2)Dados da Estrutura: E = 2,1E+10 kgf/m2. ν = 0,25.
Deslocamento transversal (mm)
espessura da placa (m) Situação 1 Situação 2 Situação 3 Situação 4
0,20 13,6899 13,0929 25,5215 30,8537
0,50 13,7127 13,0867 23,7510 28,2426
1,50 12,8215 12,1387 12,2695 13,1340
2,50 10,9026 10,1655 7,5063 7,5739
5,00 7,4259 6,5448 3,9224 3,6508
Situação 1: Discretização estendida com carregamento distribuído intermediário ‘q8’
Situação 2: Discretização da interface placa-solo com carregamento distribuído intermediário ‘q8’
Situação 3: Discretização estendida com carga concentrada equivalente ‘P’
Situação 4: Discretização da interface placa-solo com carga concentrada equivalente ‘P’
Tabela 7.9 – Resultados para as duas modelagens: comparação entre o carregamento distribuído intermediário q8 e a carga concentrada equivalente.
119
Exemplo 7.3
2,00004,00006,00008,0000
10,000012,000014,000016,000018,000020,000022,000024,000026,000028,000030,000032,0000
0,20 0,70 1,20 1,70 2,20 2,70 3,20 3,70 4,20 4,70
espessura da placa (m)
Des
loca
men
to t
ran
sver
sal n
o
cen
tro
(mm
)
Discretização estendida com carregamento distribuído intermediário q8Discretização da interface placa-solo com carregamento distribuído intermediário q8Discretização estendida com carga concentrada equivalenteDiscretização da interface placa-solo com carga concentrada equivalente
Quando a placa está sujeita ao carregamento distribuído intermediário ‘q8’
atuando na área pintada de azul, ver figura 7.3.1, a análise da figura 7.3.2 mostra que o
valor do deslocamento no ponto central da placa é sempre um pouco maior para a
discretização estendida e, observa-se, que seus valores diminuem à medida que se
aumenta a espessura/rigidez da placa. Comparando-se o comportamento gráfico desse
exemplo com o do exemplo 7.1 verifica-se que até a espessura ‘h=0,50m’ o
deslocamento central da placa praticamente não se altera.
Já no exemplo 7.1, onde o carregamento distribuído ‘q’ é aplicado em toda a
área da placa, esse fenômeno ocorreu até uma espessura ‘h=1,50m’, ou seja, para
modelagens a partir de elementos finitos de placa DKT, onde apenas o grau de liberdade
referente ao deslocamento transversal é acoplado, verifica-se que até uma determinada
espessura, o aumento da rigidez da placa não altera o comportamento estático do
deslocamento.
Como já era esperado, quanto maior a área de atuação/aplicação do
carregamento distribuído ‘q’, maior é a espessura da placa a partir da qual os
deslocamentos da mesma começam a diminuir.
Quando a placa está sujeita a carga concentrada ‘P’ equivalente ao carregamento
distribuído ‘q’, aplicada no ponto central da placa, constata-se que os valores dos
deslocamentos para espessuras pequenas da placa são bem maiores que os encontrados
quando a mesma está sujeita ao carregamento distribuído.
Figura 7.3.2 – Comparativo de resultados: Elemento de Placa DKT
120
Verifica-se ainda que à medida que se aumenta a rigidez da estrutura, os valores
dos deslocamentos no ponto central da estrutura sempre diminuem, diferentemente do
que ocorre para o carregamento distribuído que apresenta um patamar de mudanças
constante.
Da mesma forma que já foi observado no exemplo 7.2, para a espessura
‘h=2,71m’, verifica-se que os valores encontrados para o deslocamento nas duas
modelagens são os mesmos e que a partir dessa espessura, a modelagem estendida passa
a fornecer deslocamentos maiores do que a modelagem apenas da interface placa-solo.
Após os resultados encontrados para a primeira análise, o carregamento
distribuído intermediário agora é aplicado em uma área interna da placa constituída de
32 elementos e também possui o valor equivalente à carga concentrada ‘P’ estudada no
exemplo 7.2. Ou seja, trata-se da mesma placa quadrada 20mx20m já estudada nos
exemplos 7.1 e 7.2, sujeita a um carregamento distribuído equivalente aplicado em 25
nós (nós 25 ao 49) que discretizam uma área interna de 13,33m x 13,33m = 177,78m2.
Esse novo carregamento distribuído ‘q32’ aplicado na área de 177,78m2 é igual a q32=
6,75E+05 kgf/m2 que resulta em uma carga concentrada equivalente ‘P’ aplicada no
centro da placa no valor de P= 1,2E+08 kgf, ver exemplo 7.2.
Para esse novo carregamento distribuído verifica-se o comportamento da placa e
os seus resultados são comparados àqueles encontrados nos exemplos anteriores. As
discretizações utilizadas são as mesmas já abordadas nos exemplos 7.1 e 7.2.
Figura 7.3.3 – Carregamento distribuído parcialmente aplicado em 32 elementos da discretização.
1)Dados do Solo: E = 2,1E+9 kgf/m2. ν = 0,13. 2)Dados da Estrutura: E = 2,1E+10 kgf/m2. ν = 0,25.
121
Exemplo 7.3
2,00004,00006,00008,0000
10,000012,000014,000016,000018,000020,000022,000024,000026,000028,000030,000032,0000
0,20 0,70 1,20 1,70 2,20 2,70 3,20 3,70 4,20 4,70
espessura da placa (m)
Des
loca
men
to t
ran
sver
sal n
o
cen
tro
(m
m)
Discretização estendida com carregamento distribuído intermediário q32Discretização da interface placa-solo com carregamento distribuído intermediário q32Discretização estendida com carga concentrada equivalenteDiscretização da interface placa-solo com carga concentrada equivalente
Quando a placa está sujeita ao carregamento distribuído intermediário ‘q32’
atuando na área pintada de laranja, ver figura 7.3.3, é possível proceder uma análise da
figura 7.3.4 onde verifica-se que o valor do deslocamento no ponto central da placa é
sempre um pouco maior para a discretização estendida e, observa-se que seus valores
diminuem à medida que se aumenta a espessura/rigidez da placa. Comparando-se o
comportamento gráfico desse exemplo com o do exemplo 7.1 verifica-se que até a
espessura ‘h=1,50m’ o deslocamento central da placa praticamente não se altera,
idêntico ao que ocorreu para o exemplo 7.1, onde o carregamento distribuído ‘q’ é
Deslocamento transversal (mm)
espessura da placa (m) Situação 1 Situação 2 Situação 3 Situação 4
0,20 5,8197 5,5251 25,5215 30,8537
0,50 5,8199 5,5285 23,7510 28,2426
1,00 5,8310 5,5427 17,1510 19,4736
1,50 5,8246 5,5237 12,2695 13,1340
2,50 5,5428 5,1767 7,5063 7,5739
5,00 4,4347 3,9247 3,9224 3,6508
Situação 1: Discretização estendida com carregamento distribuído intermediário ‘ q32’
Situação 2: Discretização da interface placa-solo com carregamento distribuído intermediário ‘q32’
Situação 3: Discretização estendida com carga concentrada equivalente ‘P’
Situação 4: Discretização da interface placa-solo com carga concentrada equivalente ‘P’
Tabela 7.10 – Resultados para a duas modelagens: comparação entre o carregamento distribuído intermediário q32 e a carga concentrada equivalente.
Figura 7.3.4 – Comparativo de resultados: Elemento de Placa DKT
122
aplicado em toda a área da placa. Nas figuras 7.3.5 e 7.3.6 mostra-se a variação do
deslocamento transversal no ponto ‘P’ localizado no centro da placa para os 4(quatro)
tipos de carregamento apresentados nesse capítulo, respectivamente para as
discretizações estendida e da interface placa-solo.
7.4 – CONSIDERAÇÕES SOBRE OS RESULTADOS
De posse dos resultados obtidos do processamento dos exemplos neste capítulo
apresentados, pode-se determinar gráficos comparativos na intenção de verificar a
tendência do comportamento estrutural na iteração solo-estrutura proposta. As figuras
7.3.5 e 7.3.6 trazem os gráficos comparativos com os resultados das discretizações
escolhidas, visualizando os valores de deslocamentos transversais no ponto central da
placa estudada.
Discretização estendida
2,00003,00004,00005,00006,00007,00008,00009,0000
10,000011,000012,000013,000014,000015,000016,000017,000018,000019,000020,000021,000022,000023,000024,000025,000026,0000
0,20 0,70 1,20 1,70 2,20 2,70 3,20 3,70 4,20 4,70
espessura da placa (m)
Carregamento distribuído aplicado em toda a área da placa Carga concentrada equivalente 'P' aplicada no centro da placaCarregamento distribuído intermediário 'q8' Carregamento distribuído intermediário 'q32'
Figura 7.3.5 – Comparativo de resultados para a discretização estendida da análise sujeita a diversos tipos de carregamento.
123
Discretização da interface placa-solo
2,00003,00004,00005,00006,00007,00008,00009,000010,000011,000012,000013,000014,000015,000016,000017,000018,000019,000020,000021,000022,000023,000024,000025,000026,000027,000028,000029,000030,000031,000032,0000
0,20 0,70 1,20 1,70 2,20 2,70 3,20 3,70 4,20 4,70
espessura da placa (m)
Carregamento distribuído aplicado em toda a área da placa Carga concentrada equivalente 'P' aplicada no centro da placaCarregamento distribuído intermediário 'q8' Carregamento distribuído intermediário 'q32'
A análise dos gráficos mostrados nas figuras 7.3.5 e 7.3.6 leva a algumas
conclusões importantes para a análise solo-estrutura modelada a partir de elementos
finitos de placa:
1) Verifica-se que o deslocamento transversal no centro da placa possui uma
variação muito grande quando da aplicação da carga concentrada equivalente à medida
que se aumenta a espessura da placa. Devido ao aumento da rigidez da placa no
processo de acoplamento, à medida que se aumenta a espessura da mesma, o
deslocamento transversal da placa diminui consideravelmente variando de 25,5mm para
‘h=0,2m’ até 3,9mm para ‘h=5m’.
2) Após uma comparação entre os gráficos da figura 7.3.5 para a discretização
estendida com os gráficos da figura 7.3.6 para a discretização da interface placa-solo,
observa-se, ainda, que apenas para a carga concentrada equivalente aplicada no centro
da placa os valores dos deslocamentos para a discretização estendida são menores que
os valores para a discretização da interface placa-solo.
3) Para as duas discretizações, verifica-se que à medida que o carregamento
aplicado passa a ser distribuído na área da placa, desde o carregamento ‘q8’ atuando em
apenas 8 elementos até o carregamento ‘q’ atuando na área total da mesma, os valores
Figura 7.3.6 – Comparativo de resultados para a discretização da interface placa-solo da análise sujeita a diversos tipos de carregamento.
124
dos deslocamentos transversais passam a ter uma variação cada vez menor no seu
comportamento.
Para o carregamento distribuído intermediário ‘q8’, ver exemplo 7.3, o
deslocamento praticamente permanece constante até a espessura da placa de ‘h=0,5m’.
A partir dessa espessura os valores do deslocamento transversal começam a diminuir
com o aumento da rigidez da estrutura.
Para o carregamento distribuído intermediário ‘q32’, ver exemplo 7.3, o
deslocamento praticamente não varia até a espessura da placa de ‘h=1,5m’.
Já para o carregamento distribuído ‘q’, ver exemplo 7.1, o deslocamento
permanece constante também até a espessura da placa de ‘h=1,5m’. Porém, verifica-se
que à medida que se aumenta a rigidez da estrutura, a variação do deslocamento para
esse carregamento é muito menor quando comparada com a variação do deslocamento
transversal para o carregamento intermediário ‘q32’.
4) Por fim, pode-se concluir que, para os três tipos de aplicação do carregamento
distribuído ‘q8’, ‘q32’ e ‘q’ os valores dos deslocamentos são inversamente
proporcionais à área de atuação do carregamento. Ou seja, quanto menor a área de
aplicação do carregamento, se aproximando de uma carga concentrada, maior são os
valores encontrados para o deslocamento da placa.
Conforme já comentado no capítulo 5, para o acoplamento entre os métodos
utilizado nesse trabalho, a formulação do Método dos Elementos de Contorno (MEC)
foi analisada através de elementos de contorno triangulares planos contínuos,
diferentemente do tipo de elemento utilizado para a análise de estruturas e meios semi-
infinitos apenas pelo MEC como mostrado, por exemplo, nos exemplos do capítulo 3.
O elemento de contorno contínuo, conforme mostrado na seção 3.5.2 desse
trabalho, possui os nós funcionais coincidentes com os nós geométricos, ou seja, não se
permite a modelagem direta de contornos descontínuos através desse elemento.
Para esse elemento, considera-se a utilização de nó duplo para os nós que
pertencem a dois ou mais elementos ao mesmo tempo e/ou pertença a duas sub-regiões
distintas.
125
8 – CONSIDERAÇÕES FINAIS
O principal objetivo do trabalho foi o estudo da interação solo -estrutura para problemas de
engenharia utilizando-se uma formulação conjunta do MEC e do MEF para analisar o
comportamento mecânico dos meios envolvidos, como também o desenvolvimento de códigos
computaciona is para o estudo de exemplos de engenharia e o desenvolvimento de estudos para o
acoplamento dos dois métodos.
A partir do desenvolvimento da formulação tridimensional elastostática do Método dos
Elementos de Contorno (MEC) caracterizada pela utilização da solução fundamental de Kelvin e
das equações integrais de contorno apresentadas no trabalho, pode-se analisar o solo como um
meio elástico e estático caracterizado por um domínio estendido ao espaço infinito ou semi-
infinito. Desta forma, foi elaborado um programa computacional, utilizando o MatLab para
analisar o comportamento mecânico do solo a partir da aplicação de diversos tipos de
carregamento sobre a superfície do mesmo, como também estruturas solicitadas à tração e flexão
utilizando a formulação do MEC.
A formulação utilizada, bem como as discretizações, trazem resultados coerentes, próprias
para análises de problemas de engenharia.
Um outro código computacional definido a partir da formulação do MEF, discretizado por
elementos finitos DKT (discrete Kirchhoff triangle) que utiliza discretamente a teoria de placas de
Kirchhoff foi desenvolvido para analisar estruturas de placa a partir do cálculo da matriz de rigidez
do elemento em coordenadas locais e globais, visando o estudo dos deslocamentos da estrutura.
Os exemplos processados e analisados pela formulação do MEF demonstram a adequação
do elemento de placa DKT.
A análise da interação solo -estrutura pode ser definida a partir do acoplamento dos dois
modelos computacionais já implementados, utilizando a técnica de sub -regiões e a aplicação de
compatibilidade geométrica e condições de equilíbrio sobre toda a superfície de contato entre os
meios (solo e estrutura).
Alguns exemplos numéricos foram processados visando a validação dos códigos
computacionais e dos resultados encontrados. Foram processados problemas de engenharia
envolvendo apenas a utilização das formulações do MEF e do MEC separadamente e, em seguida,
foram analisados problemas do acoplamento MEC/MEF para estudo de placas em contato com o
solo.
126
A partir dos exemplos processados, verifica-se que, para a placa em contato com o solo
sujeita a carregamento distribuído em toda a sua área, os deslocamentos transversais permanecem
inalterados quando se aumenta a espessura da placa até ‘h=1,5m’. Quando da aplicação da carga
concentrada equivalente atuando no centro da placa constata-se que tal fato não ocorre, ou seja, os
deslocamentos sempre diminuem à medida que se aumenta a rigidez da estrutura.
Após os resultados analisados para os exemplos 7.1 e 7.2, fez-se simulação mostrada no
exemplo 7.3, onde a estrutura passa a ser solicitada por dois tipos de carregamento distribuído
intermediário ‘q8’ e ‘q32’. O objetivo dessa aplicação foi verificar o comportamento da placa em
uma situação intermediária de carregamento, à medida que se aumenta a área de atuação desse
carregamento. Após as análises, observa-se que os deslocamentos transversais permanecem
constantes até a espessura de ‘h=0,5m’ para o carregamento ‘q8’ e ‘h=1,5m’ para o carregamento
‘q32’.
Após todas as análises, observa-se que os resultados encontrados nesse trabalho foram
coerentes e satisfatórios, onde fica bem claro o comportamento do elemento de placa na análise da
interação solo-estrutura estática e linear.
Sugere-se para próximas pesquisas o desenvolvimento de estudos de problemas de análise
solo-estrutura com a utilização de elementos de casca, onde os efeitos de membrana são
considerados a partir da existência de carregamentos cisalhantes originando deslocamentos axiais
na placa, o estudo de análises dinâmicas e não-lineares para o meio semi- infinito (solo), bem como
a utilização da solução fundamental de Mindlin na formulação do Método dos Elementos de
Contorno também são propostas para futuros trabalhos de continuidade da presente pesquisa.
127
9 - REFERÊNCIAS
ALMEIDA, F.P.A. (1999). Análise comparativa de resultados de diferentes discretizações para as
lajes de pavimentos utilizando os elementos finitos DKT e P15N. 126p. Dissertação
(Mestrado) - Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos.
1999.
ALMEIDA, F.P.A. (2003). Aplicação do acoplamento entre o MEC e o MEF para o estudo da
interação dinâmica elastoplástica entre o solo e estruturas. Tese (Doutorado) – Escola de
Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo.
ALMEIDA, F.P.A., CODA, H. B. & MESQUITA, E. (2004). Soil- structure interaction by
TDBEM-FEM coupling: a stable procedure. Iberian Latin-American Congress on
Computational Methods in Engineering.
BANERJEE, P.K. & BUTTERFIELD, R. (1977). Boundary eleme nt in geomechanics. In:
GUDEHUS, G., ed. Finite elements in geomechanics. London, John Wiley & Sons. c. 6.
BARBIRATO, J.C.C. (1991). Formulação do método dos elementos de contorno para sólidos
elásticos tridimensionais baseada na solução fundamental de Mindlin. São Carlos. Dissertação
(Mestrado) – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo.
BARBIRATO, J.C.C. (1999). Método dos elementos de contorno com a reciprocidade dual para a
análise transiente tridimensional da mecânica do fraturamento. São Carlos. 245p. Tese
(Doutorado) – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo.
BATHE, K.J. (1982). Finite element procedures in engineering analysis. Englewood Cliffs,
Prentice Hall.
BATOZ, J.L. (1982). An explicit formulation for an efficiente triangular plate-bending element.
International Journal for Numerical Methods in Engineering, v. 18, p. 1077-1089.
BATOZ, J.L., BATHE, K.J. & HO, L.W. (1980). A study of three-node triangular plate bending
elements. International Journal for Numerical Methods in Engineering, v. 15, p. 1771-1812.
128
BATOZ, J.L. & LARDEUR, P. (1989). A discrete shear triangular nine d.o.f. element for the
analysis of thick to very thin plates. International Journal for Numerical Methods in
Engineering, v. 28, p. 533-560.
BECKER, A.A. (1992). The boundary element method in engineering. London, McGraw-Hill.
BERNAT, S. & CAMBOU, B. (1998). Soil-structure interaction in shield tunneling in soft soil. In:
Computers and Geotechnics. v. 22, pp. 221-242.
BREBBIA, C.A. & DOMINGUEZ, J. (1989). Boundary elements – an introductory course.
London. Computational Mechanics Publications.
BREBBIA, C.A. & GEORGIOU, P. (1980). Combination of boundary and finite elements for
elastostatics. Appl. Math. Modelling, 3: 212-220.
BREBBIA, C.A. (1978). The boundary element method for engineers, London, Pentech Press.
BREBBIA, C.A., TELLES, J.C.F. & WROBEL, L.C. (1984). Boundary element techniques.
Spring- Verlag, Berlin.
CODA, H. B. & VENTURINI, W. S. (2000). Interação estática solo-estrutura através do
acoplamento entre o MEC e o MEF. In: SIMPÓSIO INTERAÇÃO ESTRUTURA - SOLO EM
EDIFÍCIOS, 1., 2000, São Carlos.
CODA, H. B. (1993). Análise tridimensional transiente de estruturas pela combinação entre o
método dos elementos de contorno e o método dos elementos finitos. São Carlos. Tese
(Doutorado) – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo.
COOK, R. D., MALKUS, D.S. & PLESHA, M.E. (1989). Concepts and applications of finite
element analysis. 3a. ed. John Wiley & Sons Ed., New York.
CRUSE, T.A. & RIZZO, F.J. (1968) A direct formulation and numerical solution of the general
transient elastodynamics problem I. J. Math. Anal. Appl., v. 22.
129
CRUSE, T.A. & Van BUREN (1971). Three dimensional elastic stress analysis of a fracture
specimen with an edge crack. Int. J. Fract. Mech., v. 7, p. 1-15.
CRUSE,T.A. (1969). Numerical solutions in three dimensional elastostatics. Int. J. Solids and
Structures, v. 5, p. 1259-1274.
CRUSE,T.A. (1973). Application of the boundary integral method to three-dimensional stress
analysis. Computers and Structures, v. 3, p. 509-527.
CUROTTO, C.L. (1981). Método dos elementos de contorno para elasticidade tridimensional. Rio
de Janeiro. Dissertação (Mestrado), COPPE – UFRJ.
FERRO, N. C. P. (1999). Uma combinação MEC/MEF para análise de interação solo -estrutura.
São Carlos. Tese (Doutorado) – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São
Paulo.
FREDHOLM, I. (1903). Sur une classe d’equations functionelles. Acta Math., v. 27, pp. 365-390.
GUARRACINO, F., MINUTOLO, V. & NUNZIANTE, L. (1992). A simple analysis of soil-
structure interaction by BEM-FEM coupling. Engineering Analysis with Boundary Elements.
v. 10, pp. 283-289.
INOUE, N. (1998). Implementação numérica considerando o acoplamento dos métodos de
elementos de contorno e elementos finitos. Rio de Janeiro. 115p. Dissertação (Mestrado) –
Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
JEYACHANDRABOSE, C., KIRKHOPE, J. & RAMESH BABU, C. (1985). An alternative
explicit formulation for the DKT plate-bending element. International Journal for Numerical
Methods in Engineering, v.21, p.1289-93.
KANE, J.H. (1994). Boundary Element Analysis in Engineering Continuum Mechanics. Prentice-
Hall International. New Jersey.
130
KARINSKI, Y.S., DANCYGIER, A.N. & LEVIATHAN, I. (2003). An analytical model to
evaluate the static soil pressure on a buried structure. In: Engineering Structures. v. 25, pp. 91-
101.
KOCAK, S. & MENGI, Y. (2000). A simple soil-structure interaction model. Applied
Mathematical Modelling, v. 24, pp. 607-635.
KOMATSU, J. S. (1995). Estudo de problemas de escavação através da combinação elementos de
contorno e elementos finitos. São Carlos. Tese (Doutorado) – Escola de Engenharia de São
Carlos, Universidade de São Paulo.
LACHAT, J.C. (1975). A further development of the boundary integral technique for elastostatics.
Ph.D. Thesis, University of Southampton.
LOPES JR., M.C. (1996). Modelagem numérica do crescimento de fraturas através do método dos
elementos de contorno. São Carlos. 261p. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de
São Carlos, Universidade de São Paulo.
MAGRAB, E.B. et al. (2005). An Engineer's Guide to MATLAB, 2e: with Applications from
Mechanical, Aerospace, Electrical, and Civil Engineering. Prentice Hall.
MARTINS, R.A.F. & SABINO, J. (1997). A simple and efficient triangular finite element for plate
bending. Engineering Computations, v.14, n.8, p.883-900.
MASE, G.E. (1970). Theory and problems of continuum mechanics. McGraw-Hill Companies,
New York.
MATSUMOTO, E.Y. (2002). MATLAB 6.5: Fundamentos de Programação. Editora Érica Ltda.
MENDONÇA, A. V. & PAIVA, J. B. (2000). Análise elastostática de radiers estaqueados pelo
método dos elementos de contorno. In: SIMPÓSIO INTERAÇÃO ESTRUTURA-SOLO EM
EDIFÍCIOS, São Carlos, 14p.
131
MESQUITA, A.D. & CODA, H.B. (1999). Estudos sobre escavações reforçadas através da
combinação entre o MEC e o MEF. In: ENCONTRO SOBRE PESQUISAS DE
DOUTORADO DA ÁREA DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS (ENDOSET), 1999, São
Carlos.
MUSKHELISHVILI, N. I. (1953). Some basic problems of the mathematical theory of elasticity.
Groningen Holland, Noordhoff.
NAKAGUMA, R.K. (1979). Three dimensional elastostatics using the boundary element method.
Southampton. Tese (Phd) – University of Southampton.
OSHIMA, S. T. (2004). Uma combinação MEC/MEF para análise da interação de estacas
inclinadas e o solo. São Carlos. 84p. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de São
Carlos, Universidade de São Paulo.
PAIVA, J.B. & BUTTERFIELD, R. (1997). Boundary Element Analysis of plate-soil interaction.
Computers & Structures, v.64, p.319-328.
RAO, S.S. (1999). The finite element method in engineering. 3a. ed. Boston, Butterworth-
Heinemann.
RIBEIRO, D.B. (2005). Análise da interação solo- estrutura via acoplamento MEC- MEF. São
Carlos. 121p. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de
São Paulo.
RIZZO, F.J. & SHIPPY, D.J. (1968). A formulation and solution procedure for the general non-
homogeneus elastic inclusion problem. Int. J. Solids Structures, v. 4, pp. 1161-1179.
RIZZO, F.J. (1967). An integral approach to boundary value problems of classical elastostatics.
Quartely of Applied Mathematics, v. 25 (1), pp. 83-92.
ROCHA, F.S. (1988). Análise de descontinuidades pelo método dos elementos de contorno. São
Carlos. Tese (Doutorado) – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo.
132
SÁ, P.A.C.O. & TELLES, J.C.F.(1986). Análise de problemas de elasticidade linear tridimensional
pelo método dos elementos de contorno utilizando as soluções fundamentais de Kelvin e
Mindlin. In: Congresso Latino- Americano sobre Métodos Computacionais para Engenharia, v.
7, pp. 43-60. São Carlos.
SHAMES, I.H. & COZZARELLI, F.A. (1992). Elastic and inelastic stress analysis. Prentice-Hall
International. New York.
SHAMES, I.H. & DYM, C.L. (1985). Energy and finite element methods in structural mechanics.
Hemisphere Publishing Corporation, United States of America.
SHAW, R.P. & FALBY, W. (1977). A combined finite element-boundary integral equations
method. In: Symposium on innovative numerical analysis in applied engineering science, 1st,
Versailles, Cetim, - Proc.
SILVA, J.J.R. (1989). MEC3DE – Um programa para análise elástica tridimensional com o
método dos elementos de contorno. Rio de Janeiro. Dissertação (Mestrado), COPPE – UFRJ.
VENTURINI, W.S. (1988). Um estudo sobre o método dos elementos de contorno e suas
aplicações em problemas de engenharia. São Carlos. 345p. Tese (Livre Docência) – Escola de
Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo.
VOLTERRA, V. (1956). Opere mathematiche. Acad. Naz. Lincei, 2: 216-275, Rome.
VON ESTORFF, O. & FIRUZIAN, M. (2000). Coupled BEM/FEM approach for nonlinear
soil/structure interaction. Engineering Analysis with Boundary Elements, v. 24, pp. 715-725.
WOOD, L.A. & CREED, S.G. (1982). The application of boundary elements in offshore
engineering. In: BREBBIA, C.A., ed. Boundary element methods in engineering. Springer-
Verlag.
ZIENKIEWICZ, O. C. & TAYLOR, R.L. (1989). The Finite Element Method, 4 ed. v. 1, Basic
Formulation and Linear Problems. London, McGraw Hill.
133
ZIENKIEWICZ, O.C., KELLY, D.W. & BETTESS, P. (1977). The coupling of the finite element
method and boundary solution procedures. International Journal for Numerical Methods in
Engineering, v.11, p.355-75.
134
ANEXO A
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
A integração numérica é utilizada quando o cálculo de integrais é difícil, ou mesmo
impossível de se resolver analiticamente. Desta forma, este cálculo é resolvido numericamente,
através do desenvolvimento da integral através de uma soma ponderada em diversos pontos de
integração Gaussiana. Existem diversos métodos de integração numérica na literatura, porém neste
trabalho é utilizado o método da Quadratura Gaussiana. Este método é baseado na escolha de n
pontos adequados e eqüid istantes, onde cada ponto possui um peso correspondente que
chamaremos de kw , de modo que a fórmula para a quadratura seja exata para o polinômio de
maior grau 2n –1. Na quadratura de Gauss-Legendre a integração é efetuada no intervalo de
variação das coordenadas naturais, ou seja, de -1 a 1, ver figura (3.5.5).
Para o caso de elementos retos unidimensionais, as integrais podem ser escritas através da
utilização das coordenadas naturais, conforme mostrado a seguir
∫ ∑=
+==1
1-
n
1k nkk E )f(Jw dJ)f( I ξξξ (A.1)
onde n é o número de pontos de integração, kξ é a coordenada natural do ponto de integração k,
kw é o peso de Gauss no referido ponto, J o jacobiano da transformação de coordenadas e nE o
erro residual, que pode ser encontrado em BREBBIA & DOMINGUEZ (1989).
As coordenadas naturais para o elemento unidimensional reto depende das funções de
interpolação. Neste trabalho estão sendo utilizadas funções de interpolação lineares, desta forma,
as coordenadas naturais podem ser definidas como:
2 1
2 - 1
2
1
ξφ
ξφ
+=
= (A.2a-b)
135
Os valores de kk we ξ são listados na tabela A.1. Pode-se notar que os valores de kξ são
simétricos com relação a 0 =ξ e, para dois valores simétricos o valor do peso de Gauss é o
mesmo, ver a tabela abaixo.
k ξ± kw
n =2
0.577350269189626 1.000000000000000
n = 3
0.000000000000000 0.888888888888888
0.774596669241483 0.555555555555555
n = 4
0.339981043584856 0.652145154862546
0.861136311594053 0.347854845137454
n = 5
0.000000000000000 0.568888888888889
0.538469310105683 0.478628670499366
0.906179845938664 0.236926885056189
n = 6
0.238619186083197 0.467913934572691
0.661209386466265 0.360761573048139
0.932469514203152 0.171324492379170
n = 7
0.000000000000000 0.417959183673469
0.405845151377397 0.381830050505119
0.741531185599394 0.279705391489277
0.949107912342759 0.129484966168870
n = 8
0.183434642495650 0.362683783378362
0.525532409916329 0.313706645877887
0.796666477413627 0.222381034453374
0.960289856497536 0.101228536290376
n = 9
0.000000000000000 0.330239355001260
0.324253423403809 0.312347077040003
0.613371432700590 0.26061069 6402935
0.836031107326636 0.180648160694857
0.968160239507626 0.081274388361574
n =10
0.148874338981631 0.295524224714753
0.433395394129247 0.269266719309996
0.679409568299024 0.219086362515982
0.865063366688985 0.149451349150581
0.973906528517172 0.066671344308688
Tabela A.1 – Valores das coordenadas naturais e dos pesos de Gauss.
136
ANEXO B
CONSIDERAÇÕES PARA O ELEMENTO DKT
As funções de forma para o elemento DKT, como já definidas na equação (4.2.3.7), são
) - 1(4 N) - - (14 N
4 N
- 2 N
- 2 N
) 2( ) 3( - 1 N
6
5
4
23
22
21
ηξξηξη
ξη
ηη
ξξ
ηξηξ
−===
=
=
+++=
(B.1)
onde ηξ e são as coordenadas de área já mostradas no capítulo 4 deste trabalho.
As derivadas das funções yx H e H em relação a ηξ e são encontradas a partir da equação
(4.2.3.16a-f) encontrando os seguintes resultados:
+
++
++++
+++
=
+
+++
++++++
+
+
=
η
η
ηηξ
ηξ
ηξηξ
ηξηξ
ηη
η
ηξξηξ
ηξηξηξ
ηξ
ηξ
ξ
ξ
)q - (q -
)r - (r
) t (t -)q - (q - )2 - (1q -
)r - (r )2 - (1r 1-
) t (t )2 - (1t-)q (q )2 - (1q -
)r (r - )2 - (1r 1) t- (t )2 - (1t
H
)r - (r -)q - (q
)P (P -
)r - (r )2 - (1r 6 2-)q - (q - )2 - (1q
)P (P )2 - (1P-)r (r - )2 - (1r ) 6( 4-
)q (q - )2 - (1q
)P - (P )2 - (1P
H
54
54
45
646
646
646
656
656
656
y,
45
54
45
646
466
646
656
656
656
x,
(B.2a-b)
137
++
+
+++
++
=
++++−
+
+++++
+
=
ξη
ξη
ξηξ
ξ
ξξη
ξηξη
ξηηξη
ξη
ξξ
ξξηηξ
ξη
ξη
η
η
)q - (q - )2 - 1(q -
)r - (r )2 - 1(r 1-
) t (t - )2 - (1 t)q - (q -
)r - (r
) t (t )q (q )2 - (1q -
)r (r - )2 - (1r 1) t- (t - )2 - (1t-
H
)r - (r )2 - (1r 6 2 -)q - (q )2 1(q
)P (P - )2 - (1P
)r - (r )q - (q
)P (P )r (r - )2 - (1r ) 6( 4-
)q (q - )2 - (1q
)P - (P - )2 - (1P-
H
545
545
545
64
64
64
655
655
565
y,
545
545
455
64
64
64
655
655
565
x,
(B.3a-b)
onde:
;L
3y r
e;d6L
6y- t
;4b L
y3x q
;6a L
6x- P
2ij
ijk
k2ij
ijk
k2ij
ijijk
k2ij
ijk
=
==
==
==
(B.4a-d)
sendo k = 4, 5, 6 para ij = 23, 31, 12, respectivamente.
Utilizando as expressões acima e a equação (4.2.3.19a-b), a matriz B é encontrada e
conseqüentemente a matriz de rigidez do elemento DKT e os momentos fletores em qualquer
ponto do elemento.