TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

VIỆN ĐÀO TẠO SAU ĐẠI HỌC

…………………

TIỂU LUẬN

ĐIỀU KHIỂN VÀ NHẬN DẠNG

CÁC HỆ CƠ HỌC

Tên đề tài: Thuật giải khảo sát động lực học thuận-ngược hệ mạch vòng Giáo sư hướng dẫn: GS.TS Đinh Văn Phong

Học viên: Dương Văn Lạc

MSHV: CB140981

Hà Nội, 8/2015

MỤC LỤC

1. Hệ phương trình vi phân đại số của hệ nhiều vật mạch vòng .................................. 1

2. Tính toán động lực học thuận sử dụng phương pháp tách các nhân tử Lagrange . 1

3. Tính toán động lực học ngược cơ cấu dựa trên phương trình vi phân thu gọn ...... 4

4. Phụ lục ........................................................................................................................ 7

4.1. Phương pháp Runge-Kutta giải hệ phương trình phi phân bậc một. ...................... 7

4.2. Phương pháp Runge-Kutta-Nystrom giải hệ phương trình phi phân bậc hai. ......... 7

4.3. Phương pháp Newton-Raphson giải hệ phương trình phi tuyến ............................. 8

5. Tài liệu tham khảo ..................................................................................................... 9

1

1. Hệ phương trình vi phân đại số của hệ nhiều vật mạch vòng

Hệ phương trình vi phân – đại số mô tả chuyển động của hệ nhiều vật hôlônôm

1

( , )

T

s

t

Ms p

f s 0

(1)

Trong đó M là ma trận khối lượng suy rộng, 1 2, , ...,

T

ns s s

s là các toạ độ suy rộng dư,

1 2, , ...,

T

r

là véctơ các nhân tử Lagrange, 1 2, , ..., 0

T

rf f f

f là các điều kiện

ràng buộc, s là ma trận Jacobi cỡ r f .

s

f

s (2)

Các thành phần (1)

jp của véctơ (1) (1) (1)

1 1 2, ,...,

T

np p p

p ở vế phải của phương trình (3.1) có

dạng

2 2

(1) , 1,...,j j

i j j j

T T Tp Q j n

s s t s s

(3)

Trong đó T là động năng của hệ nhiều vật, jQ là các lực suy rộng.

2. Tính toán động lực học thuận sử dụng phương pháp tách các nhân tử Lagrange

2.1. Biến đổi hệ phương trình vi phân – đại số về hệ vi phân thường

Dạng véctơ các phương trình liên kết (1) có thể viết lại dưới dạng hệ các phương trình đại

số phi tuyến như sau

1 2( , , ..., , ) 0 , ( 1,..., )k nf s s s t k r (4)

Đạo hàm theo thời gian các phương trình liên kết (4) ta được

1

0, ( 1,..., )n

k k kk i

i i

df f ff s k r

dt s t

(5)

2 2 2 2

2 21 1 1 1

2 0

( 1,.., )

n n n nk k k k k

k i i j ii j i ii j i i

d f f f f ff s s s s

s s s t sdt t

k r

(6)

2

Từ phương trình (6) ta suy ra

2 2 2

21 1 1 1

2 0

( 1,.., )

n n n nk k k ki i j i

i j i ii j i i

f f f fs s s ss s s t s t

k r

(7)

Các phương trình (7) có thể viết gọn lại dưới dạng ma trận

2( , , )

st f s p s s 0 (8)

Trong đó (2) (2)

2 1,...,

T

rp p

p ,

2 2 2

(2)

21 1 1

2n n n

k k kk i j i

j i ij i i

f f fp s s s

s s t s t

(9)

Kết hợp phương trình (1) và phương trình (8) ta được:

1

2

( , , )

( , , )

T

s

s

t

t

Ms p s s 0

f s p s s 0

(10)

Hay

1

2

T

s

s

s pM

p0

(11)

Hệ phương trình (11) được gọi là hệ phương trình vi phân – đại số mô tả trạng thái chuyển

động của hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vòng.

Nếu ta thực hiện phép đổi biến:

1 2 1 2

, , y s y y s y s

thì hệ phương trình (11) được biến đổi về dạng

1 2

2 1

2

T

s

s

E 0 0 y y

0 M y p

0 0 p

(12)

3

Do ý nghĩa cơ học, M là ma trận đối xứng và xác định dương, det( ) 0M . Do chưa quan

tâm tới các kì dị động học, det( ) 0s . Khi đó,

T

s

s

M

0

là ma trận không suy biến.

Từ hệ phương trình (3.11) ta suy ra

1 1( ,..., , ,..., , ) ( 1,..., )i i n ns h s s s s t i n (13)

1 1( ,..., , ,..., , ) ( 1,..., )j j n ns s s s t j r (14)

Ta dùng phương pháp số giải hệ phương trình vi phân thường(13). Từ đó tính được các

thừa số Lagrange j theo (14).

2.2. Phương pháp ổn định hóa Baumgarte

Sau mỗi bước tích phân, do sai số tính toán, các giá trị ,i is s không còn thỏa mãn các

phương trình ràng buộc vị trí và phương trình ràng buộc vận tốc dẫn đến các sai lệch:

( , ) 1,2,...

( , , ) 1,2,...k k

k k k

t k

t k

f s 0

f s s 0 (15)

Theo phương pháp Baumgarte, thay vì giải phương trình:

f 0 (16)

Ta sẽ tiến hành giải phương trình:

22 f f f 0 (17)

Trong đó các hệ số được chọn thỏa mãn điều kiện sau:

0 (18)

Nhờ việc giải phương trình (17) thay cho giải phương trình (16) ta sẽ khử dần hoặc khử

hoàn toàn được sai số tích lũy trong quá trình tích phân, hay thay vì giải hệ phương trình:

1( , , )

( )

T

st

Ms p s s 0

f s 0

(19)

Ta sẽ tiến hành giải hệ phương trình sau:

4

1

2

( , , )

2

T

st

Ms p s s 0

f f f 0

(20)

Để giải hệ phương trình (20) chúng ta có thể sử dụng phương pháp Runge-Kutta-

Nystrom hoặc hạ bậc rồi sử dụng phương pháp RungeKutta.

Các hằng số , thường được chọn các giá trị trong khoảng từ 1 đến 20. Việc chọn

tối ưu các hằng số này đã được một số tác giả nghiên cứu (Flores et al, 2009, “Investigation

on the Baumgarte Stabilization Method for Dynamic Analysis of Constrained Multibody

Systems”, “A Parametric Study on the Baumgarte Stabilization Method for Forward

Dynamics of Constrained Multibody Systems”; S.-T. Lin and J.-N. Huang, 2002,

“Stabilization of Baumgarte’s Method Using the Runge-Kutta Approach”)

3. Tính toán động lực học ngược cơ cấu dựa trên phương trình vi phân thu gọn

Như đã biết, phương trình vi phân-đại số mô tả chuyển động của hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vòng có dạng:

, Ts M s s C s s s g s τ Φ s λ (21)

f s 0 (22)

Gọi an

aq là véc tơ các tọa độ khớp chủ động, z

nz là véc tơ tọa độ các khớp suy

rộng dư (bao gồm các tọa độ khớp bị động và có thể cả các tọa độ khâu thao tác). Ký hiệu

, , ,sT nT T

a s a zn n n s q z s (23)

Trong các phương trình (21) và (22) ta có

, , ,

, , ,

s s s

s s s s

n n n rr T r

s

n n n n

s

M s f s

fg s C s,s

s

(24)

Bài toán động lực học ngược được phát biểu dưới dạng: Cho biết quy luật chuyển động của

khâu thao tác , mt x x x và phương trình liên kết , f q x 0 , ,n r q f

. Xác định mô men (hay lực) của khâu dẫn động an

a cần thiết để tạo ra chuyển động

mong muốn của khâu thao tác. Ý tưởng của phương pháp giải là khử các tọa độ suy rộng dư z và các nhân tử Lagrange , biến đổi hệ phương trình vi phân đại số về hệ phương trình vi phân thường với các tọa độ là các thành phần của véc tơ

aq , số lượng phương trình bằng số bậc tự do của hệ.

Xét các phương trình liên kết (22)

5

, , , ,z an nr

a a f s f q z 0 f z q (25)

Giả sử số lượng các tọa độ dư bằng số các phương trình liên kết bổ sung z

r n . Từ phương

trình (24) ta suy ra

s

ff s s s 0

s (26)

hay

s a a z s s s q s z 0 (27)

Trong đó :

,a zr n r n

a z

a

f f

q z (28)

Viết lại phương trình(21), ta có

,Ts Φ s λ M s s C s s s g s τ (29)

Chuyển vị hai vế của phương trình (29) và nhân với s ta được

,T

T

s s M s s C s s s g s s (30)

Chú ý đến công thức (27): s s s 0 , từ (29) ta suy ra

, 0T M s s v s s g s τ s (31)

Mặt khác từ phương trình (27) ta có

1z a a z Φ s Φ s q (32)

Suy ra

1

ana

a

z a

Eqs q

z s s (33)

Nếu ta đưa vào ký hiệu

6

1

an

z a

ER s

s s (34)

Thì phương trình (33) có dạng

a s R s q (35)

Từ (35) ta suy ra

as R s q (36)

Thế biểu thức (36) vào phương trình (31) ta được

, 0T

a

M s s C s s s g s R s q (37)

Do 1 2, ,...,

a

Ta a q

nq q q

q là các biến phân độc lập, nên từ phương trình (37), ta suy ra

,T R s M s s C s s s g s 0 (38)

Phương trình (38) có thể viết lại dưới dạng

,T T R s R s M s s C s s s g s (39)

Từ (39) ta có

1 1[ , ( ( ) ( )) ] ( ( ) ( ))aT T T

na z a a z a zz

R s E s s s s

(40)

Thế (40) vào phương trình (39) ta được

1, +( ( ) ( ))T T

a z a z

R s M s s C s s s g s s s (41)

Các bước giải bài toán động lực học ngược dựa trên các phương trình vi phân thu gọn về các tọa độ tối thiểu:

Bước 1 : Giải bài toán động học ngược. Cho biết tx và ,f q x = 0 , tính , ,t t ts s s

Bước 2 : Tính các ma trận 1, ,z a z

s s , s , ( , ), ( )R s ,M s C s s g s

Bước 3 : Tính các mô men (hay lực) của các khâu dẫn động theo công thức (41).

7

4. Phụ lục 4.1. Phương pháp Runge-Kutta giải hệ phương trình phi phân bậc một. Hệ phương trình vi phân được cho dưới dạng sau: ,tx f x

Điều kiện đầu : 0x

Bằng cách chia lưới với bước lưới h 1k kt t h . Áp dụng công thức Runge-Kutta cho hệ

phương trình vi phân cấp một để tính ktx tại các bước lưới như sau:

1 1 2 3 4

12 2

6i i h x x k k k k

Trong đó :

1

2 1

3 2

2 3

,

,2 2

,2 2

,

i i

i i

i i

i i

t

h ht

h ht

t h h

k f x

k f x k

k f x k

k f x k

4.2. Phương pháp Runge-Kutta-Nystrom giải hệ phương trình phi phân bậc hai. Hệ phương trình vi phân bậc hai được cho dưới dạng sau: , ,tx f x x

Điều kiện đầu: 0 , 0x x

Bằng cách chia lưới với bước lưới h 1k kt t h . Áp dụng công thức Runge-Kutta-

Nystrӧm để tính ktx tại các bước lưới như sau:

1 1 2 3

1 1 2 3 4

1 1 1

,3

12 2 ,

3

( , , ).

n n n

n n

n n n n

hh

t h

x x x k k k

x x k k k k

x f x x

8

Trong đó:

1

2 1 1

3 1 2

4 3 3

, , ;2

, , ;2 2 2 4

, , ;2 2 2 4

, , 2 .2

n n n

n n n n

n n n n

n n n n

ht

h h h ht

h h h ht

ht h h h

k f x x

k f x x k x k

k f x x k x k

k f x x k x k

4.3. Phương pháp Newton-Raphson giải hệ phương trình phi tuyến

Để giải hệ phương trình phi tuyến ,f q x = 0 biết quy luật chuyển động

tx x , để tính được quy luật chuyển động của các khâu tq , thường được sử dụng

phương pháp Newton-Raphson. Bằng cách lặp tính gần đúng nghiệm như sau:

1 1 , ,k k k k qq q F q f q x

Với qF được định nghĩa là Jacobian của hàm ,f q x như sau:

,

q

f q xF

q

Trong đó 0x được chọn bất kỳ, nhưng nếu được chọn gần với nghiệm thì sẽ nhanh chóng

hội tụ hơn. Điều kiện dừng là :

, f q x

9

5. Tài liệu tham khảo

[1]. Đinh Văn Phong, Mô phỏng số và điều khiển các hệ cơ học, nhà xuất bản giáo dục.

[2]. Đinh Văn Phong, Phương pháp số trong cơ học, 2007.

[3]. Nguyễn Văn Khang , Động lực học hệ nhiều vật, nhà xuất bản giáo dục, 2010.