Bài 1: Cho đa thức 2 3 2013 2014 2 3 2013 2014( ) (1 ... )(1 ... )P x x x x x x x x x x x . Sau khi khai

triển và thu gọn đa thức ta được: 2 40280 1 2 4028( ) ...P x a a x a x a x . Tính 2013a

và 2014a Lời giải: Đặt 2 3 2013 20141 ...x x x x x A ; 2 3 2013 20141 nx x x x x B

2( 1). ( ) ( 1). .( 1).x P x x A x B 2015 2015( 1)( 1)x x 2 2015( ) 1x

4028 4026 2( 1)( 1)( ... 1)x x x x x 4028 4026 2( ) ... 1P x x x x

2013

2014

1

1

a

a

Bài 2: Cho đa thức ( )P x là đa thức bậc 3 với hệ số của 3x là số nguyên dương. Biết (1) 2P ; (2) 3P . Cmr: (3) (0)P P là một hợp số. Lời giải: Đặt 3 2( )P x ax bx cx d ( )a Ta có: +) P(1)=a+b+c+d=2 ) (2) 8 4 2 3P a b c d (2) (1) 7 3 1P P a b c Do 7a

(3 )b c (1) +) (3) (0) 27 9 3 27 9 3P P a b c d d a b c Từ (1) 9 3b c Mà 27a

( (3) (0))P P Mà (3) (0) 3(9 3 ) 3(2 7 3 ) 3(2 1) 3 6 3P P a b c a a b c a a Và (3) (0) 3(9 3 )P P a b c chia hết cho 3 Vậy (3) (0)P P là một hợp số. Bài 3: Tính tổng các hệ số của đa thức sau khi khai triển:

2 2013 2 2014( ) (1 3 3 ) .(1 3 3 )f x x x x x Lời giải: Gọi đa thức ( )f x sau khi khai triển ra có dạng:

11 1 0( ) ...n n

n nf x a x a x a x a

2013 2014

1 1 0(1) ... 1 .1 1n nf a a a a Vậy tổng hệ số của đa thức là 1. Bài 4: Xác định đa thức 4 2( ) 2P x x ax bx c biết ( )P x chia hết cho ( 2)x và ( )P x chia cho 2( 1)x dư x . Lời giải: Đặt 2

1 2( ) ( 2) ( ) ( 1) ( )P x x q x x q x x *) Cho 2 (2) 32 4 2 0x P a b c *) Cho 1 (1) 2 1x P a b c *) Cho 1 ( 1) 2 1x P a b c

324 2 32 4 2 32 5

1 1 1

3 2 42

5

aa b c a b c

a b c b b

a b c a cc

Vậy 4 232 42( ) 2

5 5P x x x x

Bài 5: Tồn tại hay không đa thức ( )P x có bậc 2013 thỏa mãn: 2( 2012)P x chia hết cho ( )P x . Lời giải: Đặt 2013( ) ( )P x x a

2 2 2013 2 2 2013( 2012) ( 2012) [( ) 2 ( ) 2012]P x x a x a a x a a a Để 2( 2012)P x chia hết cho ( )P x thì:

2 2 2013[( ) 2 ( ) 2012]x a a x a a a chia hết cho 2013( )x a Do 2( ) 2 ( ) ( )( )x a a x a x a x a chia hế cho ( )x a

2 2012 0a a 4025 1

2a

Vậy có tồn tại đa thức ( )P x Bài 6: Xác định đa thức ( )P x thỏa mãn: . ( 1) ( 2). ( )x P x x P x với mọi x .

Lời giải: *) Cho 0 0. ( 1) 2. (0)x P P

(0) 0 ( )P P x x *) Cho 2 2. (1) 0. (2) (1) 0 ( ) ( 1)x P P P P x x

( ) ( 1)P x x x k (với k là hằng số) Bài 7: Xác định đa thức ( )P x thỏa mãn: ( 1).( 1) ( 2). ( )x x x P x với mọi x . Lời giải: *) Cho 1 0 3 (1) (1) 0 ( ) ( 1)x P P P x x *) Cho 2 0 3 ( 1) ( 1) 0 ( ) ( 2)x P P P x x

( ) ( 1)( 1)P x x x k (với k là hằng số) Bài 8: Cho 4 3 2( ) 3 (2 )f x x x a x x a . Cmr: Với mọi số nguyên a thì

( )f x không có nghiệm nguyên lẻ. Lời giải: Giả sử ( )f x có nghiệm nguyên lẻ x m thì ( ) 0f m .

4 3 23 (2 ) 0m m a m m a 4 3 2 23 2 ( 1) 0m m m m a m (1)

Do m lẻ 4 3 23 2m m m m lẻ và 2( 1)a m chẵn mọi a nguyên. 4 3 2 23 2 ( 1)m m m m a m lẻ (vô lý do (1) )

Suy ra điều giả sử sai Vậy ta có đpcm. Bài 9: Xác định đa thức ( )P x với các hệ số nguyên sao cho (5) 4; (2) 2P P Lời giải: Gọi đa thức có dạng: 1

1 0( ) ) 1 ...n nnP x a x a n x a x a

1 02 (5) (2) [ (5 2 ) ... (5 2) ] 3n nnP P a a a

(vô lý) Vậy không tìm được đa thức thỏa mãn đề bài. Bài 10: Cho đa thức bậc 6 thỏa mãn: (1) ( 1)f f ; (2) ( 2)f f ; (3) ( 3)f f . Cmr với mọi x ta luôn có ( ) ( )f x f x . Lời giải:

Gọi đa thức bậc 6 đó là: 6 5 4 3 2( )f x ax bx cx dx ex fx g *) Cho 1 0x b d f *) Cho 2 32 8 2 0 16 4 0x b d f b d f *) Cho 3 243 27 3 0 81 9 0x b d f b d f Giải hệ 3 pt trên ta được: 0b d f Vậy 6 4 2( )f x ax cx ex g suy ra ( ) ( )f x f x Bài 11: Cho đa thức ( )f x xác định với mọi x thỏa mãn:

2

(1) 25

(1) (2) ... ( 1) . ( ) ( )

f

f f f n n f n f n

( )n

Tính (2014)f

Lời giải:

2

(1) 25

(1) (2) ... ( 1) . ( ) ( )

f

f f f n n f n f n

2

2

(1) (2) ... ( 1) ( 1) . ( 1)

(1) (2) ... ( 1) . ( ) ( )

f f f n n f n

f f f n n f n f n

2 2( 1) . ( 1) . ( ) ( )n f n n f n f n 2

2

( ) ( 1) 1

( 1) 1 1

f n n n

f n n n

.Vậy ta có: (2014) (2013) (2) 2013 2012 1

(2014) . ... . (1) . . .25(2013) (2012) (1) 2015 2014 3

f f ff f

f f f

1. Công thức nội suy NEWTON: Với các đa thức có bậc không quá n thỏa mãn:

1 1 2 2 1 1( ) ; ( ) ;...; ( )n nP x y P x y P x y Khi đó đa thức ( )P x được xác định như sau:

1 2 1 3 1 2 1 1 2( ) ( ) ( )( ) ... ( )( )...( )n nP x x x x x x x x x x x x x *) Cho 1x x ta tìm được 1

*) Cho 2x x ta tìm được 2 … *) Cho 1nx x ta tìm được 1n 2. Công thức nội suy LagRang: Với các đa thức ( )P x có bậc không quá n thỏa mãn:

1 1 2 2 1 1( ) ; ( ) ;...; ( )n nP x y P x y P x y Khi đó đa thức ( )P x được xác định như sau:

2 3 1 1 3 1 1 21 2 1

1 2 1 3 1 1 2 1 2 3 2 1 1 1 1 2 1

( )( )...( ) ( )( )...( ) ( )( )...( )( ) . . ... .

( )( )...( ) ( )( )...( ) ( )( )...( )n n n

nn n n n n n

x x x x x x x x x x x x x x x x x xP x y y y

x x x x x x x x x x x x x x x x x x

Bài 12: Xác định đa thức bậc 2 ( )f x thỏa mãn: (1) 2f ; (2) 5f ; (3) 12f .

Lời giải:

Cách 1: Xét đa thức bậc 2: 2( )P x ax bx c ( 0)a có: (1) 2 2 2

(2) 5 4 2 5 3

(3) 12 9 3 12 3

P a b c a

P a b c b

P a b c c

Vậy 2( ) 2 3 3P x x x

Cách 2: Áp dụng công thức nội suy Newton ta có: 1 2 3( ) ( 1) ( 1)( 2)P x x x x

*) Cho 11 2x

*) Cho 22 3x

*) Cho 33 2x

Vậy 2( ) 2 3( 1) 2( 1)( 2) 2 3 3P x x x x x x (Không nhân ra vẫn được

điểm tối đa)

Cách 3: Áp dụng công thức nội suy Langrang ta có: ( 2)( 3) ( 1)( 3) ( 1)( 2)

( ) 2. 5. 12. ( 2)( 3) 5( 1)( 3) 6( 1)( 2)(1 2)(1 3) (2 1)(2 3) (3 1)(3 2)

x x x x x xP x x x x x x x

Vậy 2( ) ( 2)( 3) 5( 1)( 3) 6( 1)( 2) 2 3 3P x x x x x x x x x (Không nhân ra vẫn được điểm tối đa)

Bài 13: Xác định đa thức bậc 2 ( )f x thỏa mãn: ( ) ( 1)f x f x x

Lời giải:

Gọi đa thức bậc 2 có dạng: 2( )f x ax bx c ( 0)a

*) Cho 1 (1) (0) 1 1x f f a b

*) Cho 0 (0) ( 1) 0x f f a b

Từ 2 pt trên suy ra: 1

2a b (thỏa mãn)

Vậy 21 1( )

2 2f x x x c ( c là hằng số)

Bài 14: Xác định đa thức bậc 2 ( )f x thỏa mãn: ( ) ( 1) 2 1f x f x x Lời giải:

Gọi đa thức bậc 2 đó là 2( )f x ax bx c ( 0)a

*) Cho 1 (1) (0) 1 1x f f a b

*) Cho 2 (2) (1) 3 3 3x f f a b Từ 2 pt trên suy ra: 1a (thỏa mãn) và 0b .

Vậy 2( )f x x c ( c là hằng số)

Bài 15: Xác định đa thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng 4 thỏa mãn:

(1) 1f ; (2) 4f ; (3) 9f ; (4) 16f ; (5) 25f

Lời giải: Áp dụng công thức nội suy Newton ta có:

1 2 3 4 5( ) ( 1) ( 1)( 2) ( 1)( 2)( 3) ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)f x x x x x x x x x x x x *) Cho 11 1x *) Cho 22 3x *) Cho 33 2x *) Cho 44 1x *) Cho 55 0,5x Vậy đa thức

( ) 1 3( 1) 2( 1)( 2) ( 1)( 2)( 3) 0,5( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)f x x x x x x x x x x x x Bài 16: Xác định đa thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng 4 thỏa mãn:

(1) 1f ; (2) 1f ; (3) 2f ; (4) 3f ; (5) 5f Lời giải: Áp dụng công thức nội suy Lagrang ta có:

( 2)( 3)( 4)( 5) ( 1)( 3)( 4)( 5) ( 1)( 2)( 4)( 5)( ) 1. 1. 2.

(1 2)(1 3)(1 4)(1 5) (2 1)(2 3)(2 4)(2 5) (3 1)(3 2)(3 4)(3 5)

x x x x x x x x x x x xf x

( 1)( 2)( 3)( 5) ( 1)( 2)( 3)( 4)3. 5.

(4 1)(4 2)(4 3)(4 5) (5 1)(5 2)(5 3)(5 4)

x x x x x x x x

3 4

1 1

1 5[ ( )]( 5) ( )

24 24i i

x i x x i

Bài 17: Xác định đa thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng 4 thỏa mãn:

(1) 2f ; (2) 4f ; (3) 6f ; (4) 8f ; (5) 10f Lời giải: Áp dụng công thức nội suy lagrang ta có:

( 2)( 3)( 4)( 5) ( 1)( 3)( 4)( 5)( ) 2. 4.

(1 2)(1 3)(1 4)(1 5) (2 1)(2 3)(2 4)(2 5)

x x x x x x x xf x

( 1)( 2)( 4)( 5) ( 1)( 2)( 3)( 5)6. 8.

(3 1)(3 2)(3 4)(3 5) (4 1)(4 2)(4 3)(4 5)

x x x x x x x x

( 1)( 2)( 3)( 4)10. ...

(5 1)(5 2)(5 3)(5 4)

x x x x

Bài 18: Xác định đa thức ( )P x biết khi chia ( )P x cho ( 1);( 2);( 3)x x x đều

dư 6 và ( 1) 18P

Lời giải:

Từ

( ) ( 1). ( ) 6

( ) ( 2). ( ) 6 (1) (2) (3) 6

( ) ( 3). ( ) 6 ( 1) 18

( 1) 18

P x x A x

P x x B x P P PGT

P x x C x P

P

Áp dụng công thức nội suy Newton ta có:

1 2 3 4( ) ( 1) ( 1)( 2) ( 1)( 2)( 3)P x x x x x x x

*) Cho 1

2

3

1 6

2 0

3 0

x

x

x

*) Cho 4 41 ( 1) 6 24 18 1x P Vậy ( ) 6 ( 1)( 2)( 3)P x x x x

Bài 19: Xác định đa thức bậc 4 ( )f x thỏa mãn: ( 1) 0f ; ( ) ( 1) ( 1)( 2)f x f x x x x

Lời giải: *) Cho 1 ( 1) ( 2) 0x f f

*) Cho 0 (0) ( 1) 0x f f

(0) ( 1) ( 2) 0f f f

Áp dụng công thức nội suy Newton ta có: 1 2 3( ) ( 1)f x x x x

*) Cho 2 ( 3) 0x f ( ) ( 1)( 2)( 3)f x x x x x a ( 0)a

*) Cho 1x ta có:

(1) 24f a và (1) (0) 1.2.3 6f f

Mà 1(0) 0 (1) 6

4f f a

Vậy 1( ) ( 1)( 2)( 3)

4f x x x x x

Bài 20: Tìm dư trong phép chia 5( ) 1f x x x cho 3( )g x x x Lời giải: Ta có: 3 2( ) ( )( 1) 2 1f x x x x x

( )f x chia ( )g x dư 2 1x Bài 21: Xác định đa thức 10 3( )f x x ax b biết ( )f x chia cho 2( 1)x còn dư

2 1x Lời giải: Gọi thường phép chia là ( )q x

10 3 2( ) ( 1). ( ) 2 1f x x ax b x q x x *) Cho 1 1 3 2x a b a b *) Cho 1 1 1 2x a b b a Từ 2 pt trên suy ra : 2a và 0b Vậy 10 3( ) 2f x x x Bài 22: Cho đa thức ( ); ( )P x Q x thỏa mãn: ( ) ( ) (1 )P x Q x Q x với mọi x . Biết các hệ số của ( )P x là các số nguyên không âm và (0) 0P . Tính

( (2014))P P Lời giải: *) Cho 0 (0) (0) (1)x P Q Q *) Cho 1 (1) (1) (0)x P Q Q

(0) (1) 0P P Tổng hệ số trong ( )P x bằng 0 Mà theo GT thì tổng hệ số lớn hơn hoặc bằng 0 Vậy tổng hệ số bằng 0

( ) 0 ( (2014)) 0P x P P Bài 23: Cho ( )P x là đa thức với các hệ số nguyên thỏa mãn: | ( ) | | ( ) | | ( ) | 1P a P b P c Trong đó a;b;c đôi một khác nhau.

Cmr: ( )P x không có nghiệm nguyên. Lời giải: Giả sử ( )P x có nghiệm nguyên x d ( d )

( ) ( ). ( )P x x d g x ( ( )g x có hệ số nguyên) | ( ) | | | . | ( ) | 1P x a d g x

Do a;d và ( )g a | | 1a d

Tương tự: | | 1b d và | | 1c d | | | | | | 1a d b d c d

; ; 1;1a d b d c d

Tồn tại ít nhất 2 trong 3 số nhận giá trị bằng nhau. Không mất tổng quát giả sử: a d b d a b (trái với giả thiết) Vậy điều giả sử sai. Bài 24: Cho | | | | | | 17a b c

Cmr: Hệ sau có nghiệm: 2| | 1

0 1

ax bx c

x

Lời giải:

Giả sử hệ vô nghiệm

2

(0)

0 | | 1 14 ( ) 3 (0) (1)

20 11

2 (1) 2 (0) 4 ( )2

f c

ax bx cb f f f

x

a f f f

| | | | | |a b c 1 1

| (0) | | 4 ( ) 3 (0) (1) | | 2 (1) 2 (0) 4 ( ) |2 2

f f f f f f f

16 | (0) | 8 | ( ) | 3 | (1) | 17

2f f f

(do ( ) 1f x với 0 1x )

Vậy điều giả sử sai.

Bài 25: Cho đa thức 2( )f x ax bx c thỏa mãn: | ( ) | 1f x mọi [ 1;1]x

Cmr: 2| | 2cx bx a

Lời giải:

Có:

(1) ( 1))(0)

2(1) ( 1)

2(0)

f fa f

f fb

c f

2| |cx bx a 2 (1) ( 1)

| (0) (1). ( 1) (0) |2 2 2 2

x x f ff x f f f

2 21 1 1 1| (0)( 1) (1). ( 1). | | (0)( 1) | | (1). | | ( 1). |

2 2 2 2

x x x xf x f f f x f f

2 1 1| (0) | . | 1| | (1). | | | ( 1) | . | |

2 2

x xf x f f

2 1 1| 1| | | | |

2 2

x xx

(Do ( ) 1f x mọi [ 1;1]x )

2 2 21 11 1 1 2 2

2

x xx x x

(Do [ 1;1]x nên phá dấu giá trị tuyệt

đối )

Bài 26: Cho 2( )f x ax bx c thỏa mãn: | (0) | 1f ; | ( 1) | 1f ; | (1) | 1f .

Cmr: 5| ( ) |

4f x mọi [ 1;1]x

Lời giải:

Có:

(1) ( 1))(0)

2(1) ( 1)

2(0)

f fa f

f fb

c f

2| ( ) | | |f x ax bx c 2 2

2| (1). ( 1). (0). (1). ( 1). (0) |2 2 2 2

x x x xf f f x f f f

2 22| (1). ( 1). (0).(1 ) |

2 2

x x x xf f f x

2 22| | | | |1 |

2 2

x x x xx

(Do ( ) 1f x mọi [ 1;1]x )

2| | . | 1| | | . | 1| |1 |2 2

x xx x x

2| | ( 1) | | .(1 ) 12 2

x xx x x (Do [ 1;1]x nên phá dấu giá trị tuyệt đối)

2 25 1 5| | 1 ( | |)

4 2 4x x x

Bài 27: Cho 2| ( ) | | |f x ax bx c h mọi [ 1;1]x

Cmr: | | | | | | 4a b c h

Lời giải:

Có:

(1) ( 1))(0)

2(1) ( 1)

2(0)

f fa f

f fb

c f

(1) ( 1) 2 (0) (1) ( 1)| | | | | | | | | | | (0) |

2 2

f f f f fa b c f

(1) ( 1) 2 (0) (1) ( 1)| | | | | | | | | | | (0) |

2 2 2 2 2

f f f f ff

2 | (0) | | (1) | | ( 1) | 4f f f h mọi [ 1;1]x

Bài 28: Tìm a;b;c biết 2( )f x ax bx c thỏa mãn: | ( ) | 1f x mọi [ 1;1]x và

biểu thức 2 28

3A a b đạt Max.

Lời giải:

Có:

(1) ( 1))(0)

2(1) ( 1)

2(0)

f fa f

f fb

c f

Lại có: | (1) | | (0) | | (1) (0) | | |f f f f a b

Và | ( 1) | | (0) | | ( 1) (0) | | |f f f f a b

2 2 2 2 2 2 2 2 2 28 8 32 8 8 8 32| | | | 8 4

3 3 3 3 3 3 3a b a b a b a b a b a b

Dấu = có khi: 0b và 2a

Bài 29: Cho 2| | 1ax bx c mọi [ 1;1]x

Cmr: | 2 | 4ax b

Lời giải:

Có:

(1) ( 1))(0)

2(1) ( 1)

2(0)

f fa f

f fb

c f

1 1 1 1| 2 | | (1)( ) ( 1).( ) 2 (0). | | | | | 2 | |

2 2 2 2ax b f x f x f x x x x

Tới đây vẽ đồ thị hoặc lập bảng phá dấu.

Bài 30: Cho 2( )f x x ax b

Cmr: Tồn tại 1 trong 3 số: | ( 1) |f ; | (0) |;| (1) |f f không nhỏ hơn 1

2

Lời giải:

Giả sử cả 3 số đều bé hơn 1

2

1| (0) |

21

| (1) |21

| ( 1) |2

f

f

f

1| |

21

|1 |21

|1 |2

b

a b

a b

1 1

2 21

121

12

b

a b

a b

1 1

2 21

2 2 12

b

b b

(Vô lý)

Vậy điều giả sử sai.

Bài 31: Cho 3 2( )f x ax bx cx d nhận 0x là nghiệm, biết:

; 0

| |;| |;| |

| |;| |;| |

a d

b c dmax

a a a

a b cmax

d d d

Cmr: 0

1| | 1

1x

Lời giải: *) Do 0x là nghiệm của pt:

3 2 3 20 0 0 0 0 00 ( 0)

b c dax bx cx d x x x a

a a a

3 20 0 0| | | |

b c dx x x

a a a

20 0| | . | | . | |

b c dx x

a a a

20 0( | | 1)x x (Do | |;| |;| |

b c dmax

a a a

)

3 3 20 0 0 0 0 0| | 1 | | ( | | 1) | | 1 | | 1x x x x x x

*) Do 0x là nghiệm của đa thức ( )f x nên: 3 20 0 0 0ax bx cx d

Do 0 0d x

Pt trở thành:

3 20 0 0 3

0

11 ( . . . ) | |

a b cx x x

d d d x

20 0

1 1| . . |

a b c

d d x d x

20 0

1 1| | | | . | | | | .

a b c

d d x d x

20 0

1 1(1 )

| |x x (Do | |;| |;| |

a b cmax

d d d

)

00

1 11 | |

| | 1x

x

Bài 32: Cho 2| | 1ax bx c mọi [ 1;1]x

Cmr: 2 2 2 5a b c

Lời giải:

Có:

(1) ( 1))(0)

2(1) ( 1)

2(0)

f fa f

f fb

c f

Lại có: | (1) | | (0) | | (1) (0) | | |f f f f a b

Và | ( 1) | | (0) | | ( 1) (0) | | |f f f f a b

2 2 2 2 2 2 2| | | | 8 4 5a b a b a b a b c (Do 2 1c )

Bài 33: Cho đa thức 4 3 2( ) 1f x x ax bx ax có nghiệm là 0x . Cmr:

a) 2 2 16( 2)

5a b

b) 2 2 4

5a b

Lời giải:

a)Do 0x là nghiệm của pt

4 3 20 0 0 1 0x ax bx (1)

*) Nếu 0 0x Vô lý

*) Nếu 0 0x

20 0 2

0 0

1 1(1) . 0x ax b a

x x

Đặt 00

1x t

x

2 2 0t at b 4 2 2 2 2 2(2 ) ( 2 ) [( 2) ]( 1)t at b at b b a t

42 2

2( 2)

1

ta b

t

(Áp dụng BĐT BCS)

Vậy ta cần cm: 4

2

16

1 5

t

t

Biến đổi tương đương ta được: 2t (Luôn đúng)

b)Ở ý a ta đã có: 2 2 2 2 2 2 22 (2 ) ( ) ( )( 1)t b at t b at a b t

2 22 2

2

(2 )

1

ta b

t

(Áp dụng BĐT BCS)

Vậy ta cần cm: 2 2

2

(2 ) 4

1 5

t

t

Biến đổi tương đương ta được:

2 2( 4)(5 4) 0t t (Luôn đúng do 2 4t )

Bài 34: Cho đa thức 4 3 2( ) 1f x x ax x ax có nghiệm là 0x . Cmr: 2 2a

Lời giải: Có: 4 3 2

0 0 0 0 1 0x ax x ax

*) Nếu 0 0x Vô lý

*) Nếu 0 0x

20 0 2

0 0

1 11 . 0x ax a

x x

Đặt 00

1x t

x ( | | 2t )

2 2 22

1 11 0 2 2t at a t a t

t t (Do | | 2t )

2 2a

Bài 35: Cho đa thức 4 3 2( ) 1f x x ax bx cx có nghiệm 0x . Cmr:

2 2 2 4

3a b c

Lời giải:

Có: 4 3 2 4 2 3 2 2 2 2 2 6 4 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 ( 1) ( ) ( )( )x ax bx cx x ax bx cx a b c x x x

*) Nếu 0 0x Vô lý

*) Nếu 0 0x

....4 2

2 2 2 06 4 20 0 0

( 1)xa b c

x x x

Cần cm: 4 20

6 4 20 0 0

( 1) 4

3

x

x x x

Biến đổi tương đương ta được:

2 20( 1) 0x (Luôn dúng)

Bài 36: Cho$f(x)$ là đa thức bậc 98 thỏa mãn: 1

( )f KK

với 1,99K . Tính

(100)f

Lời giải:

Do ( )f x là đa thức có bậc 98

. ( ) 1x f x là đa thức có bậc 99

Với 1,99K

( ) . ( ) 1 0g K K f K

( )g x có 99 nghiệm phân biệt là 1,99x

( ) ( 1)( 2)...( 99)g x x x x

Có: (0) 1 ( 1).( 2)...( 99)g

1

99!

1( ) .( 1)( 2)...( 99)

99!g x x x x

1(100) (100 1)(100 2)...(100 99)

99!g

1(100) .99! 1

99!g

100 (100) 1 (100) 1f g

1(100)

50f

Bài 37: Cho 3 2( )f x ax bx cx d .

Cmr: Nếu ( )f x nhận giá trị nguyên tại mọi giá trị nguyên của x thì: 6 ;2 ; ;a b a b c d nguyên.

Lời giải:

3 2( )f x ax bx cx d mọi x

Với ( )x f x

*) Cho 0 (0)x f d

*) Cho 1 (1)x f a b c d

Từ 2 pt trên suy ra a b c (1)

*) Cho 1 ( 1)x f b c a d b c a (2)

Từ (1) và (2) suy ra 2b

*) Cho 2 (2) 8 4 2 6 2( ) 2x f a b c d a a b c b d

6a

Bài 38: Cho đa thức 2( )f x ax bx c thỏa mãn:

a b và ( ) 0f x mọi x . Tìm Min a b cA

b a

Lời giải:

Cách 1:

Do $ ( ) 0f x mọi x

( 2) 0f

3( )a b c b a 3A (do b a )

Xét đa thức 2( ) 4 4f x x x

Ta thấy: a b (1<4) và ( ) 0f x ( 2( 2) 0x )

1 4 43

4 1A

Vậy Min 3A khi 2( ) 4 4f x x x

Cách 2:

Do ( ) 0f x mọi x nên 2

00

04

aa

bc

a

Khi đó:

2

2 24 444 ( )

ba b a ab baA

b a a b a

Đặt 0b a t b t a

2 2 2 24 4 ( ) ( ) 9 6 6 63

4 4 4

a a t a t a a at t at atA

at at at

(Áp dụng BĐT

Cauchy)

Dấu = có khi: 2

3

4

4

t a

b c abb t a c

a

Bài 39: Cho đa thức 2( )P x ax bx c ( 0a ) thỏa mãn: 2 2( 2) ( ) 2P x P x mọi x .

Cmr: ( ) ( )P x P x mọi x

Lời giải: *) Cho 2 21 ( 1) (1) 2 (1) ( 1) 2x P P P P

*) Cho 21 ( 1) ( 1) 2x P P

2 2(1) ( 1)P P

2 2( ) ( )a b c a b c

( )( ) 0a b c a b c a b c a b c

0ab bc (1)

*) Cho 22 (2) (2) 2x P P *) Cho 22 ( 2) (2) 2x P P

2 2(2) ( 2)P P

2 2(4 2 ) (4 2 )a b c a b c

(4 2 4 2 )(4 2 4 2 ) 0a b c a b c a b c a b c

2 0ab bc (2)

Từ (1) và (2) 0ab

Mà 0 0a b

Có: 2 2( ) .( ) ( )P x a x c ax c P x

Bài 40: Cho đa thức với hệ số thực 3 2( )P x x ax bx c và 2( ) 2007Q x x x . Biết rằng P(x) có ba nghiệm thực phân biệt và đa thức

P(Q(x)) vô nghiệm. CMR: 1(2007)

64P

Lời giải:

Do ( )P x có 3 nghiệm thực nên 1 2 3( ) ( )( )( )P x x x x x x x 2 2 2

1 2 3( ( )) ( 2007 ).( 2007 ).( 2007 )P Q x x x x x x x x x x x x x vô nghiệm nên

1 2 3( ) ; ( ) ; ( ) 0Q x x Q x x Q x x x Hay phương trình 2

1 1( ) 0 2007 0Q x x x x x vô nghiệm

11 4(2007 ) 0x

Nên 1

12007

4x

Tương tự với 2 biểu thức còn lại

Vậy 1 2 3

1(2007) (2007 )(2007 )(2007 )

64P x x x . (đpcm)