da escola pÚblica paranaense 2009 · o projeto resultou em uma unidade didática direcionada ao...
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O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE
2009
Versão Online ISBN 978-85-8015-054-4Cadernos PDE
VOLU
ME I
A METODOLOGIA DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS COMO PROPOS TA DE
ENSINO PARA AUXILIAR O PROCESSO DE RESOLUÇÃO DOS PR OBLEMAS
DA OBMEP NA 5ª SÉRIE (OU 6º ANO) DO ENSINO FUNDAMEN TAL
Autor: Kátia Andreia Finatto Ansbach 1
Orientador: Rogério Luis Rizzi 2
Resumo
Este artigo apresenta um estudo sobre as dificuldades na resolução de problemas da OBMEP encontradas pelos alunos de 5ª série (6º ano) do Ensino Fundamental, na disciplina de Matemática. Foi realizada uma discussão sobre a atividade da resolução de problemas nessa disciplina no ensino fundamental, assim como foi questionada a relevância do emprego da metodologia de Resolução de Problemas no ensino de matemática. Após o emprego dessa metodologia foi possível verificar se existem mudanças no processo de resolução dos problemas da OBMEP pelos alunos. Os resultados sugerem que os participantes da implementação do projeto de intervenção pedagógica obtiveram progresso com relação à resolução de problemas da OBMEP, o que, consequentemente, contribui em muito para a inserção social dos estudantes, bem como para o seu desenvolvimento intelectual.
Palavras-chave : Resolução de problemas. OBMEP. Metodologia de Ensino de
Matemática.
1 Introdução
Este artigo tem como objetivo apresentar um projeto de intervenção
pedagógica que foi desenvolvido durante o ano de 2009 e primeiro semestre de
2010 e aplicado no segundo semestre de 2010 a estudantes de 5ª série (6º ano) do
Colégio Estadual "Wilson Joffre", na cidade de Cascavel, no Estado do Paraná.
Trata-se de um trabalho produzido para o Programa de Desenvolvimento
Educacional (PDE), que faz parte da política de formação continuada dos
professores da rede pública de ensino do Paraná, política essa proposta pela
Secretaria de Estado da Educação em parceria com a Secretaria de Estado da
1 Especialista em Matemática pela UEPG, Licenciada em Matemática pela UNIOESTE - campus
Cascavel, Professora do Colégio Estadual "Wilson Joffre". 2 Doutor em Ciência da Computação ela UFRGS, Mestre em Matemática pela UFRJ, Licenciado em
Matemática pela UNIOESTE – campus Cascavel, Professor Associado “A” na UNIOESTE – campus Cascavel.
2
Ciência, Tecnologia e Ensino Superior.
O projeto resultou em uma Unidade Didática direcionada ao ensino da
matemática através da metodologia da Resolução de Problemas, com foco na
resolução dos problemas propostos pela OBMEP3, a fim de servir como material de
apoio ao professor de Matemática. A intenção da Unidade Didática foi, pois, de
apresentar um roteiro que viesse a auxiliar os professores no estudo e na aplicação
da metodologia da Resolução de Problemas nas turmas de 5ª série do ensino
fundamental, envolvendo as questões da OBMEP.
A proposta se justifica diante do fato de que a prática docente mostra a
grande dificuldade dos alunos de 5ª série na resolução dos problemas propostos da
OBMEP e isso ficou evidente desde a primeira edição, em 2005, quando esta
pesquisadora era professora de uma turma de 5ª série. Todos os anos procurava
trabalhar com o banco de questões e preparar, de alguma forma, os alunos para
enfrentarem a prova com êxito. Ocorre que os resultados nem sempre foram os
esperados. Percebeu-se que os alunos tinham dificuldades de interpretação e de
construir uma estratégia de resolução para os problemas, ou seja, eles não
conseguiam “matematizar”4, dificuldade que gerava desconforto e frustração diante
do problema. Conversando com outros professores, concluiu-se que essa
dificuldade não era exclusiva de uma turma, nem ainda de uma única escola, e sim
fazia parte de uma realidade de maior abrangência regional, estadual e nacional.
Nesse contexto surgiu a questão: -- Será que a Metodologia de Resolução
de Problemas pode auxiliar na melhoria da aprendizagem de Matemática e nos
resultados obtidos na prova da OBMEP, pelos alunos de uma turma de 5ª série (6º
ano) do ensino fundamental?
Apresento, neste trabalho, o resultado de duas pesquisas realizadas para
analisar o impacto e a análise do custo-benefício da OBMEP em relação à melhoria
de qualidade da educação pública brasileira.
Neste artigo apresento também um retrato parcial do que encontrei em
minha busca pelo conhecimento das pesquisas já desenvolvidas no âmbito da
3 OBMEP (Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas). 4 Matematizar: construir (determinar) um modelo matemático para uma situação concreta, real ou
figurada.
3
chamada resolução de problemas. A revisão bibliográfica relacionada a esse tema
trouxe à tona alguns aspectos que procurarei destacar no item 3 deste trabalho.
Com a pesquisa logo se percebem, então, algumas diferentes formas de se
conceber a metodologia da resolução de problemas: como sendo um novo
conteúdo, ou seja, ensinar sobre resolução de problemas; como sendo aplicação de
conteúdos, ou seja, ensinar para a resolução de problemas; e como sendo um meio
de ensinar Matemática, ou seja, ensinar através da resolução de problemas.
Na sequência tratarei de algumas questões voltadas mais especificamente à
implementação da Unidade Didática em sala de aula, sobre a metodologia utilizada
e da importância dos trabalhos em grupo.
Por fim, nas considerações finais, teço alguns comentários a respeito do
trabalho desenvolvido, bem como apresento as conclusões a que se chegou a partir
desta pesquisa.
2 O impacto da OBMEP na Educação Matemática no Bras il
A Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP) é
promovida pelo Ministério da Ciência e Tecnologia (MCT) e pelo Ministério da
Educação (MEC), com realização do Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA)
e a Sociedade Brasileira de Matemática (SBM).
Sua primeira edição foi em 2005 com pouco mais de 10,5 milhões de
inscritos e ,a cada ano, o número de inscritos é superado. Em 2010 alcançou um
pouco mais de 19,6 milhões de alunos inscritos, como vemos nas tabelas a seguir:
OBMEP 2010 - Inscrições 1ª fase
Escolas 44.717
Alunos 19.665.928
Municípios 99,16%
Tabela 1: Número de alunos inscritos em 2010 Fonte: Dados do site OBMEP 2010
4
OBMEP 2010 - Inscrições 2ª fase
Escolas 39.929
Alunos 863.000
Municípios 98,3%
Tabela 2: Número de alunos inscritos em 2010 Fonte: Dados do site OBMEP 2010
As metas da OBMEP são melhora da qualidade da educação pública,
especialmente no ensino de matemática, assim como, influenciar, de forma positiva,
o resultado médio das escolas públicas nas avaliações de larga escala promovidas
pelo governo para medir a qualidade da educação, como, por exemplo, a Prova
Brasil.
A OBMEP tem como principais objetivos5:
• Estimular e promover o estudo da matemática entre alunos das escolas
públicas.
• Contribuir para a melhoria da qualidade da Educação Básica.
• Identificar jovens talentos e incentivar seu ingresso nas áreas científicas e
tecnológicas.
• Incentivar o aperfeiçoamento dos professores das escolas públicas,
contribuindo para a sua valorização profissional.
• Contribuir para a integração das escolas públicas com as universidades
públicas, os institutos de pesquisa e sociedades científicas.
• Promover a inclusão social por meio da difusão do conhecimento.
Alves (2010) afirma que, para um estudante obter sucesso em um desafio
matemático, é necessário que tenha motivos para buscar soluções. Assim, portanto,
além de medalhas de ouro, prata, bronze e menções honrosas para os alunos, a
OBMEP incentiva os estudantes com dois programas de iniciação científica. São
eles:
5 Site oficial da OBMEP: <www.obmep.org.br>.
5
• Programa de Iniciação Científica Júnior (PIC), para os medalhistas da
OBMEP estudarem Matemática por 1 ano, com bolsa de estudos do
Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq).
• Programa de Iniciação Científica – Mestrado (PICME), para medalhistas
da OBMEP que estejam cursando graduação com bolsas do CNPq (IC) e
CAPES (Mestrado).
Com esses dois programas espera propiciar o acesso a uma sólida
formação matemática que enriqueça o desenvolvimento profissional desses
estudantes.
Para que os alunos possam se preparar para a OBMEP, todas as escolas
inscritas recebem um “Banco de Questões” e uma apostila com questões de
matemática e suas respectivas soluções elaboradas pela equipe do IMPA. Essa
apostila é encaminhada aos professores responsáveis pela OBMEP na escola e o
uso desse material é facultativo. Alves (2010) diz que:
Participar da olimpiada é um motivo de ordem social que é determinado pela história de vida de cada aluno e pelos momentos vivenciados na escola. O desenvolvimento pessoal, o bem-estar serve como motivo para o aluno aprender que pode ser explorado pela OBMEP estimulando-o por meio de suas premiações. Conforme Cedro (2008) aponta, os alunos não nasceram com o objetivo de querer aprender, mas necessitam ser mobilizados para que isso ocorra. (ALVES, 2010, p. 81).
A intenção dessa apostila é, portanto, que o uso, por parte dos professores e
dos alunos, incentive o estudo de matemática nas escolas inscritas e melhore o
desempenho dos alunos nas avaliações educacionais em larga escala.
Em relação à qualidade da educação no Brasil, as últimas avaliações
educacionais promovidas pelo INEP mostraram variações positivas nos testes de
proficiência. Não obstante esse avanço, o desempenho dos estudantes brasileiros
nas avaliações internacionais, como o PISA (Programme for International Student
Assessmet), evidencia a baixa qualidade do ensino no país. O Brasil ocupou o 53º
lugar geral entre os 65 países participantes do PISA 2009.
Mesmo com esse desempenho baixo no PISA, o Brasil aparece entre os três
países que mais evoluíram na educação nesta década. A informação foi extraída do
6
relatório de avaliação publicado em dezembro de 2010, pela OCDE6, em Paris, que
tornou público o resultado do PISA 2009. De 2006 para 2009, o Brasil subiu 16
pontos em Matemática, que valeu destaque por parte da OCDE, como vemos na
tabela abaixo:
PISA 2000 PISA 2003 PISA 2006 PISA 2009
Número de alunos participantes
4.893 4.452 9.295 20.127
Leitura 396 403 393 412
Matemática 334 356 370 386
Ciências 375 390 390 405
Tabela 3: Comparação das quatro aplicações do Pisa Fonte: www.inep.gov.br
As avaliações do PISA incluem cadernos de prova e questionários e
acontecem a cada três anos, com ênfases distintas em três áreas: leitura,
matemática e ciências. Em cada edição, o foco recai principalmente sobre uma
dessas áreas. Em 2000, o foco era na leitura. Em 2003, a área principal foi a
matemática. Em 2006, a avaliação teve ênfase em ciências. Em 2009, o foco foi
novamente em leitura.
Com o objetivo de melhorar a qualidade do ensino e dos resultados de
avaliações como a do PISA, foi encomendada uma pesquisa para analisar a
contribuição da OBMEP nas notas médias de matemática das escolas públicas na
Prova Brasil (Inep/MEC) analisando o custo-benefício do programa.
Biondi, Vasconcelos e Menezes (2007) mostraram, através da pesquisa, que
os estudantes do 9º ano do ensino fundamental que participaram da olimpíada
tiveram médias 2,14 pontos superiores no teste de matemática da Prova Brasil, que
avalia as habilidades em leitura e em solução de problemas matemáticos, em
relação a alunos de escolas que não aderiram à iniciativa. O impacto é mais
significativo nos colégios que participaram mais vezes das edições anuais da
olimpíada, assim como na fração de alunos com rendimento escolar mais elevado.
A análise de retorno econômico trouxe resultados positivos, o que os levou a
concluir que a realização da OBMEP proporciona benefícios para a qualidade da
6 Organização para Cooperação e Desenvolvimento Econômico.
7
educação pública do país, com impacto direto nas avaliações educacionais e ganhos
futuros em termos de rendimento no mercado de trabalho dos participantes.
Alves (2010) conclui, após pesquisa, que há interesse do próprio estudante
em adquirir novos conhecimentos para participar da OBMEP, e a Olimpíada
representa um meio favorável para promover um ambiente de redescoberta dos
saberes matemáticos tanto para o estudande como para o professor.
Suely Druck, diretora acadêmica da OBMEP, diz que “[...] é importante ter
em mente que a OBMEP é apenas uma ferramenta para melhorar o ensino da
Matemática, e não a solução dessa questão tão dramática. O sucesso da OBMEP
tem feito que muitos confundam o lugar da OBMEP na educação".
Essas pesquisas positivas em relação à OBMEP nos dão argumentos mais
que suficientes para que os educadores, sejam eles professores, pedagogos ou
diretores, apoiem e incentivem essa proposta.
3 Algumas concepções sobre a resolução de problemas
Pode-se dizer que resolver problemas sempre foi um desafio tanto para
alunos quanto para professores. Onuchic (1999) cita que os problemas de
matemática têm ocupado um lugar central no currículo da matemática escolar desde
a Antiguidade, pois há registros de problemas matemáticos na história antiga do
Egito, da China, da Grécia, além de os problemas matemáticos serem encontrados
em livros-texto dos séculos XIX e XX.
Para muitos educadores, ensinar a resolver problema significa apresentar
um exemplo, resolver e, em seguida, passar uma lista de problemas parecidos para
serem resolvidos. Geralmente os métodos mais utilizados na resolução dos
problemas são os que enfatizam a repetição e a mecanização.
Não se quer aqui explicitar a história da “Resolução de Problemas”, mas,
sim, citar alguns fatos entendidos como essenciais para a discussão do tema, bem
como citar alguns autores e suas concepções.
George Polya lançou um livro sobre resolução de problemas intitulado “How
8
to Solve It”7 e isso ocorreu no ano de 1945. Esse livro muito influenciou professores
da época, como também influencia até hoje. O autor propõe, nesse livro, um método
em quatro etapas para a resolução de problemas: a primeira etapa consiste em
compreender o problema; a segunda, em elaborar um plano de resolução; na
terceira deve-se executar o plano elaborado; e, na quarta e última etapa, deve-se
fazer o retrospecto ou a verificação da solução do problema original.
Antes do trabalho de Polya, existem registros de estudos e de experiências
enfatizando a resolução de problemas entre os anos de 1896 e 1904. Os mais
significativos são de autoria de Dewey, um renomado psicólogo que estava
preocupado em desenvolver o espírito crítico das crianças e em capacitá-las para
colaborar para o desenvolvimento de uma sociedade democrática, através de
projetos que reproduziam as situações socioeconômicas dos alunos.
Décadas depois, segundo Gazire (apud ONUCHIC, 1999), nos Estados
Unidos, nos anos 1950, foram realizados alguns estudos sobre Resolução de
Problemas, estudos os quais indicavam que a criança precisava exercitar-se na
resolução de uma grande quantidade de problemas para desenvolver a sua
capacidade de resolução. Essa pesquisa foi questionada na mesma década e o
questionamento recaiu sobre a ênfase que era dada aos produtos das soluções em
vez de valorizar os processos criativos da resolução.
Nas décadas de 1960 e 1970 houve um movimento chamado de Matemática
Moderna. Esse movimento apresentava uma matemática estruturada e apoiada nas
propriedades algébricas. Era complexa e usava muitos símbolos, o que comprometia
o aprendizado. Esse ensino se distanciou das questões práticas e se deteve no
formalismo matemático, deixando o ensino sem significado.
A proposta de Resolução de Problemas passou por várias modificações,
sendo que, nos anos 1980, o Conselho Nacional de Professores de Matemática
(NCTM), entidade norte-americana, apresentou um documento intitulado “An
Agenda for Action” (Uma Agenda para Ação), afirmando que a resolução de
problemas deveria ser o foco da matemática escolar naquela década.
Durante a década de 1980 foram desenvolvidos muitos recursos em
7 “How to Solve It” (1945) é um pequeno volume, escrito pelo matemático George Polya descrevendo os métodos de resolução de problemas.
9
resolução de problemas, como coleções de problemas (problemoteca), listas de
estratégias, sugestões de atividades, entre outros, todos com o intuito de auxiliar os
professores na sala de aula. Mesmo dando grande ênfase ao processo de solução
do problema, é importante ressaltar que o processo ficou preso à busca da solução
do problema.
Para Mendonça (1999), a Resolução de Problemas pode ser interpretada de
três maneiras diferentes:
1. Como um objetivo: Nesse caso a matemática é ensinada para resolver
problemas e a meta final é a resolução de problemas matemáticos.
2. Como um processo: Aqui a resolução de problemas é um meio para
desenvolver o potencial heurístico do aluno e trabalha-se para o
desempenho do indivíduo como resolvedor.
3. Como um ponto de partida: A resolução de problemas serve de elemento
que pode disparar um processo de construção do conhecimento
matemático.
Temos ainda três modos diferentes de abordar resolução de problemas,
como descrito por Schroeder e Lester (1989 apud ONUCHIC, 1999) e já explicitado
mais acima. São eles:
• Ensinar sobre resolução de problemas.
• Ensinar para a resolução de problemas.
• Ensinar através da resolução de problemas.
É pertinente a este trabalho apresentar e analisar as características de cada
uma delas, separadamente, para melhor compreensão.
3.1 Ensinar “sobre” a Resolução de Problemas
Nessa concepção, o professor trabalha com variações do modelo de Polya,
preocupa-se com as heurísticas, ou seja, com as estratégias de resolução.
George Polya, como já dito, é o autor How to Solve It (1945), livro que
exerceu grande influência sobre as orientações para a implementação da resolução
de problemas em sala de aula. O livro de Polya (1945) tornou-se referência nesse
10
tema e possui uma tradução em português, relativamente recente, intitulada A Arte
de Resolver Problemas (1994). Foi nesse trabalho que Polya apresentou seu
conhecido "roteiro" com orientações sobre como resolver um problema. Dividido em
quatro partes, ele indica que devem ser seguidas as seguintes etapas, assim
traduzidas para o nosso idioma: compreender o problema, estabelecer um plano,
executar o plano e fazer um retrospecto para examinar a solução obtida.
Thompsom (1989 apud ALLEVATO, 2005, p. 50) sugere que a resolução de
problemas deva ser mais um conteúdo a ser ensinado e que, para ter sucesso na
resolução de um problema, é preciso saber e lembrar o que fazer. Para saber e
lembrar o que fazer é preciso aprender antes a fazê-lo. Esse trabalho, entre outros
desenvolvidos e escritos nesse período, traz, em suas entrelinhas, a expressão da
frustração que resultou do ensino de Matemática nos moldes da Matemática
Moderna. Além disso, a orientação no sentido de fazer da resolução de problemas o
foco da Matemática (NCTM, 1980) escolar também não produziu os bons resultados
esperados.
Alevatto (2005) observa que o quadro de insucesso configurado levou
pesquisadores e educadores matemáticos a buscar alternativas para o ensino de
Matemática e, assim, foi sedimentada a crença de que era preciso ensinar os
estudantes a resolver problemas ou, o que é o mesmo, ensinar sobre resolução de
problemas.
Em seu livro, Dante (2000) afirma que "[...] ensinar a resolver problemas é
uma tarefa mais difícil do que ensinar conceitos, habilidades e algoritmos
matemáticos" (p. 30). Assim, considera que resolver problemas é uma das coisas,
entre outras, que o professor deve ensinar aos alunos, ou que os alunos devem
aprender. Essas outras coisas incluem ensinar conceitos, habilidades e algoritmos.
Com isso, o autor deixa claro que a habilidade de resolver problemas não se
fará presente nem se desenvolverá como consequência natural da aprendizagem de
conteúdos matemáticos, conforme muitos acreditam. Ou seja, o aluno que domina
os conteúdos não é, necessariamente, um bom resolvedor de problemas. Ele
ressalta essa crença acrescentando que a resolução de problemas não constitui "[...]
um mecanismo direto de ensino, mas uma variedade de processos de pensamento
que precisam ser cuidadosamente desenvolvidos".
11
Desse modo, a resolução de problemas foi considerada como algo peculiar a
ser ensinado, ou seja, que o professor deve também ensinar a resolver problemas.
E, dentro dessa linha, os autores de livros didáticos recomendam a adoção das
estratégias que devem ser ensinadas.
Um dos problemas que se observou no ensino de Matemática, em que a
resolução de problemas era baseada na adoção e domínio de estratégias, é o fato
de que muitos entenderam que esse domínio seria atingido somente pela repetição.
No ensino por repetição, o aluno é submetido a longas listas de problemas, estes
semelhantes uns aos outros, através dos quais o aluno treina uma determinada
técnica ou estratégia de resolução.
Allevato (2005) enfatiza que as listas são constituídas de problemas do
mesmo tipo e podem ser resolvidos de modo semelhante. têm por objetivo promover
a fixação do caminho adotado para se chegar à solução e, se o aluno repetir, nas
avaliações, o que o professor fez, conclui-se que o aluno aprendeu. Ainda sobre
esse aspecto, vale lembrar que a repetição de uma estratégia ou de uma técnica
operatória, mesmo que realizada corretamente, não garante a compreensão do
conceito ou do conteúdo matemático envolvido.
3.2 Ensinar “para” a Resolução de Problemas
Nessa concepção, o professor concentra-se no modo como a matemática
que está sendo ensinada pode ser aplicada na resolução de problemas. Ele se
preocupa com a habilidade dos alunos de transferirem o que aprenderam num
contexto para problemas em outros contextos, ou seja, ele ensina para a resolução
para o aluno resolver problemas.
Essa é a visão que considera a matemática como utilitária, de modo que,
embora a aquisição de conhecimento matemático seja de primordial importância, o
propósito principal do ensino é ser capaz de utilizá-lo e, nesse caso, para resolver
problemas. A maioria dos professores apresenta os problemas depois de
desenvolvida a parte teórica referente a um determinado tópico, como aplicação de
conteúdos.
O risco da adoção dessa concepção é configurar a resolução de problemas
12
como uma atividade que os alunos só poderão realizar após a introdução de um
novo conceito, ou após o treino de alguma habilidade de cálculo ou de algum
algoritmo (SCHROEDER e LESTER, 1989; GAZIRE, 1988 apud ALEVATTO, 2005,
p. 53).
Assim sendo, a Matemática passa a ser ensinada separada de suas
aplicações. Isso faz com que esse modelo seja mais bem aplicado a problemas
rotineiros, uma vez que problemas não rotineiros exigem mais do que um único
conceito, operação ou estratégia para a sua resolução. Eles, em geral, requerem
interpretação, transferência de conhecimentos e elaboração de conjecturas.
É possível perceber que a teoria que ora se descreve se refere à tendência
que Contreras e Carrillo (1998 apud ALLEVATO, 2005) denominaram tendência
tecnológica na resolução de problemas. Nela, os problemas apresentam-se como
questões propostas ao final dos temas e como aplicação da teoria desenvolvida, ou
seja, a resolução de problemas é utilizada para dotar a teoria de um significado
prático. Nesse contexto, o aluno capta, repete estilos e aceita processos e
resultados. Sua atividade se limita a tentar assimilar os conceitos teóricos aplicando-
os e reconstruindo processos. O professor propõe e contextualiza o problema,
espera e corrige as respostas dos alunos.
Nessa abordagem, o professor frequentemente inicia explicando um novo
conteúdo, mostrando, em seguida, algumas aplicações através de exemplos. Na
sequência, o aluno deverá aplicar o novo conhecimento resolvendo uma bateria de
exercícios, chamados exercícios de fixação.
Ao analisar o papel que os exercícios de manipulação desempenham na
resolução de problemas, podemos reconhecer que o manuseio eficiente de
expressões numéricas e símbolos favoreça a formação de hábitos mentais
desejáveis a quem faz Matemática. Tais exercícios são indispensáveis, entretanto
precisam ser, entre outras coisas, controlados e, sempre que possível, úteis ao
emprego posterior, ou seja, passíveis de aplicação.
Com certeza, os usos e as aplicações da Matemática merecem a atenção do
professor e dos alunos, entretanto a Matemática não pode ser ensinada como um
acessório e subordinada aos seus campos de aplicação. Os conceitos, as relações
entre eles e os princípios que os unificam devem ser compreendidos (ONUCHIC,
13
1999, 2003a; ONUCHIC e ALLEVATO, 2004).
Entende-se que essa forma de considerar a resolução de problemas torna o
ensino de Matemática mais interessante e dotado de sentido para os alunos. Pode,
porém, também favorecer, nos alunos, a formação de uma concepção de
Matemática limitada: a de que a Matemática é "utilitária", ou seja, de que ela sempre
tem aplicação imediata.
Allevato (2005) diz, em seu trabalho, que limitações dessa visão a respeito
da Matemática podem ocorrer por duas razões:
• Porque limita a atividade do aluno à resolução de problemas rotineiros,
uma vez que os problemas devem exigir a aplicação da teoria matemática
já supostamente aprendida pelos alunos.
• Porque ignora o potencial formador da Matemática, no tocante ao
desenvolvimento do raciocínio, da capacidade de abstrair, de relacionar,
de representar, de tomar decisões e, por que não, de criar.
Resumindo, nessa concepção os problemas são apresentados como
questões propostas ao final da explicação de cada conteúdo, ou seja, a resolução de
problemas é utilizada para dar à teoria um significado prático. O aluno capta, repete
estilos e aceita processos e resultados. Sua atividade se limita a tentar assimilar os
conceitos teóricos aplicando-os e reconstruindo os processos. O professor propõe e
contextualiza o problema, espera e corrige as respostas dos alunos e, finalmente,
expõe seu processo de resolução como o mais correto.
3.3 Ensinar “através” da Resolução de Problemas
Nessa metodologia, o problema é o ponto de partida e os professores,
através da resolução de problemas, devem fazer conexões entre os diferentes
ramos da matemática, gerando novos conceitos e novos conteúdos. Nesse sentido,
a aprendizagem será uma consequência do processo de resolução de problemas.
Essa metodologia tem por meta ajudar os alunos a se tornarem investigadores
diante de uma situação desafiadora, um problema, de forma a compreender e a
questionar os conceitos de que irão necessitar.
Abordando essa concepção de ensino, que chamam "ensino via resolução
14
de problemas" (SCHROEDER e LESTER, 1989 apud ALLEVATO, 2005) reforçam
que ela seja considerada não somente como um dos objetivos de se ensinar
Matemática, mas, principalmente, como um meio de fazê-lo.
Ao analisar os aspectos relevantes das diferentes maneiras de abordar esse
assunto, os autores ressaltam que o ensino via Resolução de Problemas é a
abordagem mais coerente com as recomendações do NCTM, segundo as quais as
habilidades e os conceitos matemáticos devem ser aprendidos no contexto da
Resolução de Problemas. Nessa abordagem, o desenvolvimento de processos de
pensamento de ordem superior deve ser estimulado através de experiências e o
ensino de Matemática deve ocorrer por investigação orientada.
Allevato (2005) cita, como exemplo típico, o das longas listas de problemas
propostas pelos professores aos alunos sobre um determinado assunto matemático.
Muitas vezes se verifica que os alunos automatizam procedimentos de tal modo que,
se, entre tantos, um determinado problema exigir deles um encaminhamento
diferente, eles não são capazes de perceber. Os alunos simplesmente repetem,
naquele problema, os mesmos procedimentos que vinham utilizando nos anteriores
e produzem resultados incorretos. Não param para pensar sobre cada problema
individualmente, não atribuem sentido ao que leem e ao que fazem.
Exercícios prévios de cálculo podem ser realizados a fim de que os alunos
desenvolvam competências necessárias à compreensão de certos conteúdos. O
problema é realizá-los tanto que se tornem um fim em si mesmos, a ponto de se
configurarem aos alunos como, verdadeiramente, sem sentido. Assim, portanto,
fazer Matemática é dar sentido às coisas, é tomar elementos e estruturas que, na
aparência, estão matematicamente separados e perceber como se relacionam.
Pensar matematicamente é um dos aspectos destacados também no estudo
apresentado por Schroeder e Lester (1989). O ensino para a Resolução de
Problemas, segundo entendem, limita a atividade matemática do aluno à resolução
de problemas, pois as soluções são encontradas simplesmente seguindo o modelo
de um problema resolvido como exemplo pelo professor. Vários problemas
semelhantes são resolvidos, na maior parte das vezes, corretamente, bastando,
para isso, que o aluno escolha os números no enunciado e aplique uma determinada
operação ou técnica operatória já conhecida. Esse tipo de atividade nem sempre
exige do aluno pensamento matemático.
15
No ensino de Matemática através da resolução de problemas, os
conhecimentos estão em construção, isto é, novos conteúdos e processos
matemáticos estão sendo aprendidos ao mesmo tempo em que são confrontados
com conhecimentos já adquiridos. Nele, os alunos têm a oportunidade de
vivenciarem experiências mais ricas de aprendizagem da Matemática.
Santos (2002) explica que a estratégia consiste em colocar o aluno diante de
um obstáculo que gerará um conflito. Esse conflito, por sua vez, é gerado pela
constatação de insuficiência e/ou de contradições entre antigos conhecimentos e a
situação que lhe é apresentada, situação que chama situação-problema. Ele será
incentivado a criar mecanismos, a construir conhecimento para resolver a situação.
Assim, a responsabilidade pela construção de novos conhecimentos é também do
aluno.
Assim sendo, os alunos deveriam ser conduzidos a fazer Matemática, a
construir definições e resultados a partir de conhecimentos anteriores e das
discussões entre eles, ao invés de recebê-los prontos.
Tais considerações conduzem à compreensão de Onuchic (1999, p. 207) de
que a resolução de problemas deve ser adotada como uma metodologia de ensino,
onde o problema é visto como um elemento que pode disparar um processo de
construção do conhecimento. Sob esse enfoque, problemas são propostos ou
formulados de modo a contribuírem para a formação dos conceitos antes mesmo de
sua apresentação em linguagem matemática.
Allevato (2005) explica que o ensino de Matemática deve ocorrer em um
ambiente caracterizado pela investigação, e que essa investigação deve ser
orientada pela resolução de problemas. O ponto de partida das atividades
matemáticas deixa de ser a definição e passa a ser o problema, de forma que a
Resolução de Problemas não é uma atividade para ser desenvolvida em paralelo ou
como aplicação da aprendizagem, mas como orientação para a aprendizagem.
Além disso, favorecendo um trabalho mais autônomo, o conhecimento
construído fará mais sentido para o aluno. Ele perceberá, por si só, suas reais
condições e dificuldades. Isso aumenta a confiança em suas próprias capacidades
e, tanto por parte dos alunos como do professor, possibilita uma avaliação mais
efetiva e individualizada (ALLEVATO, 2005, p. 62).
16
4 Metodologia utilizada na implementação do projeto
Vale salientar, aqui, que a Resolução de Problemas como metodologia de
ensino não exclui as demais concepções. Isso significa que, quando o professor
adota essa metodologia, os alunos podem aprender tanto sobre resolução de
problemas, quanto aprendem Matemática para resolver novos problemas, enquanto
aprendem Matemática através da resolução de problemas.
Levando em consideração as concepções sobre a Resolução de Problemas,
percebemos que as três visões não se separam e, algumas vezes, se
complementam. Nosso desafio é utilizar as concepções aqui apresentadas e
estruturar atividades que levem ao aluno a aprender a resolver problemas, bem
como ter uma aprendizagem significativa em matemática.
Para que isso aconteça, aluno deve participar ativamente no processo de
ensino-aprendizagem. Só poderá haver sucesso se ele se envolver no processo
fazendo as atividades propostas, interagindo, aceitando as provocações e as
intervenções, porque o problema é o princípio para o “fazer matemática”.
O professor deverá interrogar o aluno, para ajudá-lo a buscar os possíveis
caminhos para organizar a solução do problema dado. Também deverá observar
com cuidado as diferentes propostas de resolução elaboradas pelos alunos, corretas
ou não, e realizar intervenções que auxiliem os alunos a justificá-las.
Desse modo, a participação, as atitudes, as estratégias e os procedimentos
utilizados são avaliados constantemente, pois é a partir da avaliação das ações dos
alunos e das dificuldades que eles apresentam que o professor conduz a aula,
apresentando os conteúdos, sempre que necessário, e colocando perguntas que
favoreçam o pensamento matemático (SECON, 2009).
George Polya, em seu citado livro “A Arte de Resolver Problemas”,
apresenta quatro passos necessários, como também já dito, para que haja sucesso
na resolução de problemas e cabe ao professor auxiliar os alunos nesse processo,
utilizando-se de diversas estratégias. O primeiro passo consiste em ler o problema e
entendê-lo, pois ninguém conseguiria aplicar qualquer processo de resolução de
problemas sem entender o problema, esse é o primeiro e fundamental passo para
que os demais sejam aplicados. O segundo passo é o estabelecimento de um plano,
17
ou seja, é a tradução do problema para a linguagem simbólica da matemática. O
terceiro passo é a execução do plano elaborado, os cálculos matemáticos, e o
quarto passo é examinar a solução obtida, ou seja, analisar, testar a solução, para
verificar se faz sentido ao problema. Assim sendo, os alunos devem conhecer os
passos para resolver um problema, segundo Polya, bem como devem ser orientados
a utilizá-los.
Segundo Pereira (2001), as etapas de resolução de problemas propostas
por Polya não se estabelecem numa ‘poção mágica’ para resolver todo e qualquer
problema matemático, mas podem ajudar bastante quem quer se tornar um bom
resolvedor de problemas. Esses passo auxiliam também no sentido de organizar as
ideias do aluno. Quando temos ideias organizadas, a solução de um problema se
torna uma tarefa mais simples em comparação a uma situação onde as ideias não
estão organizadas, ficando mais fácil ter criatividade para fazer novas descobertas.
A aprendizagem matemática pelos alunos ocorre quando interpretam e
internalizam os princípios associados à disciplina e reconhecem que, ao encontrar a
solução de um problema matemático, este se torna o ponto inicial para encontrar
outras soluções, extensões e generalizações de problemas.
O movimento ou dinâmica de trabalho exige que o professor atue como
mediador nas discussões dos alunos sobre os problemas, assim como intervenha
nas ideias apresentadas pelos alunos, ampliando a discussão.
Os estudantes precisam discutir suas ideias, negociar seus pontos de vista,
indagar sobre os possíveis resultados e usar diversos exemplos e contraexemplos
que ajudem a aprovar ou a ajustar as suas opiniões.
Schoenfeld (1987 apud SOUZA, ARAGÃO e PESSOA) recomenda que as
atividades sejam realizadas em pequenos grupos e justifica sua proposta com o fato
de que as discussões em grupos pequenos proporcionam uma oportunidade única
de intervenção do professor. Além disso, o ambiente de proximidade provoca
discussões sobre os vários caminhos para a resolução do problema, recurso
vantajoso em face da situação em que o estudante enfrenta um problema sozinho e
fica limitado às suas próprias estratégias.
Assim sendo, inicialmente, dividir a turma em grupos pequenos de dois ou
três alunos, lembrando sempre que deverão seguir os passos de Polya para resolver
18
os problemas propostos. Os problemas deverão ser resolvidos sem a ajuda do
professor. Este, ao passar pelos grupos, questionará sobre as maneiras que
estiverem desenvolvendo para lidar com o problema.
4.1 Problemas propostos durante intervenção
As atividades foram divididas em duas etapas. Na primeira, foram usados
problemas da OBMEP8 para ensinar um determinado conteúdo para os alunos, ou
seja, foi “ensinado” através da Metodologia de Resolução de Problemas. Na
segunda etapa, os alunos foram instigados a resolver problemas da OBMEP
seguindo os passos de Polya.
4.2 Primeira etapa
Problema 1
Objetivos:
• Diferenciar perímetro de área.
• Calcular área de quadrados.
• Resolver problemas matemáticos que envolvam o cálculo de área de quadrados.
Duração da Atividade:
• Previsão de 3 aulas.
Conteúdos Programáticos:
• Área do quadrado.
Materiais e Métodos de Ensino:
• Distribuir as folhas da Atividade 1 para os alunos organizados em trios.
• Acompanhar as discussões sobre as perguntas apresentadas.
• Fazer perguntas para auxiliar no desenvolvimento das questões.
8 Todos os problemas utilizados neste trabalho estão disponíveis em: <http://www.obmep.org.br>.
19
• Solicitar que cada grupo construa um quadrado de 10 cm de lado,
quadriculando e recortando os 100 quadradinhos de 1 cm2 para fazer as
comparações necessárias.
• Utilizar o material quadriculado para demonstrar aos alunos as construções e
as conclusões do grupo.
Em grupos de 2 ou 3 colegas, leia com atenção o problema e responda as
seguintes questões:
A figura é formada por três quadrados, um deles com área de 25 cm2 e o outro com 9 cm2. Qual é o perímetro da figura? (A) 20 cm
(B) 22 cm
(C) 24 cm
(D) 26 cm
(E) 38 cm
a) Converse, discuta com seus colegas e escreva o que você acha que é perímetro e área.
b) O que é um quadrado? O que é necessário acontecer para ter um quadrado? c) Sabendo que 1 cm2 é um quadradinho com 1 cm em cada lado, desenhe a
figura do problema em tamanho real (no verso da folha) e quadricule-o. d) Quantos cm tem cada lado do quadrado maior? e) Quantos cm tem cada lado do quadrado médio? f) Quantos cm tem cada lado do quadrado menor? g) Desenhe cada quadrado em tamanho real separadamente e compare suas
áreas e seus perímetros. Qual é o perímetro de cada quadrado? h) Agora, responda à questão do problema proposto.
Avaliação:
• Análise dos registros efetuados pelos alunos durante as aulas.
Relatório da execução do plano de aula:
• Desde o início os alunos estavam agitados e, ao mesmo tempo, entusiasmados com a atividade.
20
• Falam alto e se dispersam do assunto principal com muita facilidade, conversando sobre outros assuntos. Em todo tempo, tive que intervir e fazê-los voltar ao objetivo principal.
• Apresentaram dificuldade em diferenciar área de perímetro. Só conseguiram visualizar essa diferença quando solicitei que construíssem um quadrado usando 25 quadradinhos de 1 cm2 cada.
• Quando fizeram essa construção, automaticamente identificaram perímetro e área.
• Muitos alunos apresentam dificuldade em registrar as descobertas realizadas e precisam de auxílio para fazê-lo.
• Foram necessárias três aulas para finalizar a atividade.
• Na última aula realizamos um fechamento, discutindo e organizando as conclusões, que foram registradas no caderno.
Problema 2
Objetivos:
• Calcular a área de retângulos.
• Criar estratégia para resolução do problema.
Duração da Atividade:
• Previsão de 2 aulas.
Conteúdos Programáticos:
• Área do retângulo.
Materiais e Métodos de Ensino:
• Distribuir as folhas da Atividade 2 para os alunos organizados em trios.
• Acompanhar as discussões sobre as perguntas apresentadas.
• Fazer perguntas para auxiliar no desenvolvimento das questões e mediar as possíveis descobertas.
Em grupos de 2 ou 3 alunos, encontre e descreva uma estratégia para
resolver o seguinte problema. Não esqueça de detalhar a solução, pois vocês irão
apresentá-la para a sala.
Priscila tem uma folha de papel quadrada de 20 cm de lado, branca de um lado e cinza do outro. Ela dobrou essa folha duas vezes, como indicado abaixo. Qual foi a área da parte branca que ficou visível? A) 18 cm2
21
B) 32 cm2
C) 36 cm2
D) 72 cm2
E) 84 cm2
Avaliação:
• Análise dos registros efetuados pelos alunos durante as aulas.
Relatório da execução do plano de aula:
• Desde o início os alunos estavam entusiasmados com a atividade em grupo e se organizaram rapidamente.
• Quase todos os grupos usaram a estratégia de construir um quadrado de 20 cm de lado para fazer as dobraduras necessárias e obter o resultado esperado.
• Como na atividade anterior, os alunos apresentam dificuldade em registrar detalhadamente as descobertas realizadas e precisaram de auxílio para fazê-lo.
• Foram necessárias duas aulas para finalizar a atividade.
• Na última aula, os grupos apresentaram suas descobertas e conclusões, que foram organizadas e registradas no caderno.
Problema 3
Objetivos:
• Concluir que a área do triângulo é a metade da área do retângulo.
• Calcular a área de triângulos.
• Criar estratégia para a resolução do problema.
Duração da Atividade:
• Previsão de 2 aulas.
Conteúdos Programáticos:
• Área do triângulo.
• Frações equivalentes.
Materiais e Métodos de Ensino:
• Distribuir as folhas da Atividade 3 para os alunos organizados em trios.
• Acompanhar as discussões sobre as perguntas apresentadas.
• Fazer perguntas para auxiliar no desenvolvimento das questões e mediar as possíveis descobertas.
22
Antes de resolver o problema, responda às questões abaixo:
a) O que é um triângulo? b) Desenhe um quadrado numa folha e recorte-o. c) Trace uma diagonal desse quadrado. d) Agora dobre o quadrado na linha da diagonal. O que aconteceu? O que você
observou? e) A que conclusão se pode chegar sobre a área do triângulo em relação à área
do quadrado? f) Experimente recortar um retângulo e fazer a mesma experiência que foi feita
com o quadrado. O que você observou? Chegou a alguma conclusão? g) Agora, observe a figura do problema. Quantos triângulos pretos há no
desenho? Quantos quadradinhos é possível formar com esses triângulos? h) Resolva o problema dado.
A figura mostra um quadrado dividido em 16 quadradinhos iguais. A área em preto corresponde a que fração da área do quadrado? A) 1/2
B) 1/3
C) 1/4
D) 1/8
E) 1/16
Avaliação:
• Analise dos registros efetuados pelos alunos durante as aulas.
• Observação das discussões realizadas nos grupos.
Relatório da execução do plano de aula:
• Os alunos estavam menos agitados e um pouco mais organizados. Compor os grupos foi mais fácil do que nas outras aulas.
• Alguns alunos não tinham certeza do que era diagonal, então a intervenção foi necessária.
• Logo na primeira dobradura, os alunos perceberam que a área do triângulo equivale à metade da área do quadrado inicial.
• Foram necessárias duas aulas para finalizar a atividade.
• Na última aula realizamos um fechamento discutindo e organizando as conclusões que foram registradas no caderno.
23
4.3 Segunda etapa
Lembra-se que, na segunda etapa, os alunos serão incentivados a resolver
os problemas utilizando as etapas de Polya, que deverão ser previamente
trabalhadas. São elas:
1. Ler o problema e entendê-lo,
2. Estabelecer um plano de resolução.
3. Executar o plano elaborado.
4. Examinar a solução obtida.
Problema 1
O quadriculado da figura é feito com quadradinhos de 1 cm de lado. Qual é a área da região sombreada? A) 16 cm2
B) 18 cm2
C) 20 cm2
D) 24 cm2
E) 30 cm2
Existem várias maneiras de apresentar a solução para este problema.
Assim, é possível que os alunos utilizem uma das duas apresentadas a seguir:
a) A figura pode ser decomposta em 20 quadradinhos e 8 triângulos, de
acordo com o quadriculado. Juntando dois desses pequenos triângulos
formamos um quadradinho. Temos, assim, um total de 20+8/2=20+4 = 24
quadradinhos.
b) Outra maneira de resolver a questão é mover os quatro triângulos
destacados como indicado na figura. A área sombreada permanece a
mesma e podemos contar diretamente 24 quadradinhos sombreados, à
direita. Alternativamente, temos dois quadrados, um de lado 7 cm e outro
de lado 5 cm, e a área da região sombreada é a diferença entre as áreas
24
desses quadrados, ou seja, 72 – 52 = 49 – 25 = 24 cm.
Além de ensinar os passos para a resolução de problemas e aplicá-los, o
professor precisa também incentivar constantemente seus alunos, questionando-os
a fim de ajudá-los a buscar os possíveis caminhos para elaborar a solução do
problema dado.
Secon (2009) comenta que toda ação do docente deve ser no sentido de
fazer o aluno “pensar matematicamente”, ou seja, propor atividades que sirvam
como convites para ler, compreender, selecionar informações, levantar hipóteses,
testá-las e refutá-las.
Problema 2
O jogo de dominó tem 28 peças diferentes. As peças são retangulares e cada uma é
dividida em dois quadrados, e em cada quadrado aparecem de 0 a 6 bolinhas. Em
quantas peças o numero total de bolinhas é impar?
(A) 9
(B) 10
(C) 12
(D) 21
(E) 24
A turma, dividida em grupos pequenos de dois ou três alunos, deverá
apresentar duas propostas de resolução para esse problema. Lembra-se sempre
que as respostas devem ser justificadas, isto é, os alunos devem ser incentivados a
redigir as respostas explicando a solução ou a proposta de solução.
O professor deve, de antemão, ter elaborado as possíveis soluções e
analisar quais os possíveis conteúdos que poderão ser abordados com esse
problema. Nesse caso, as possíveis soluções apresentadas podem ser:
a) O número total de bolinhas de uma peça é ímpar quando um dos
quadrados tiver um número ímpar de bolinhas e o outro tiver um número
25
par de bolinhas. São 3 possibilidades para números ímpares (1, 3 e 5) e 4
possibilidades (0, 2, 4 e 6) para números pares. Logo o número de peças
que apresentam um número ímpar de bolinhas é 3×4=12.
Observação: Nesse problema pode ser abordado o conteúdo do Princípio
Multiplicativo.
b) Outra solução é fazer uma listagem ordenada de todas as peças,
marcando aquelas que têm um número ímpar de bolinhas:
0-0 0-1 1-1 0-2 1-2 2-2 0-3 1-3 2-3 3-3 0-4 1-4 2-4 3-4 4-4 0-5 1-5 2-5 3-5 4-5 5-5 0-6 1-6 2-6 3-6 4-6 5-5 6-6
Problema 3
Um quadrado de lado 3 cm é cortado ao longo de uma diagonal em dois triângulos,
como na figura. Com esses triângulos formamos as figuras dos itens (a), (b) e (c),
nas quais destacamos, em cinza, a região em que um triângulo fica sobre o outro.
Em cada item, calcule a área da região cinza.
a)
26
b)
c)
Que conteúdos podemos abordar através da resolução desse problema?
Possivelmente, os conteúdos que precisam ser ensinados ou retomados são:
• Geometria plana.
• Medida de comprimento.
• Área do quadrado e do triângulo.
• Semelhança de triângulos.
Os alunos devem estar organizados em pequenos grupos e o professor
apresenta o problema. Em seguida, o professor faz algumas perguntas pertinentes
que possam ajudar o aluno a resolver o problema.
a) Provavelmente os alunos irão perceber que, se completarmos na primeira
figura, formará um quadrado, vejam:
Completando o quadrado, podemos observar que a região cinza representa 1/4 da região total.
27
Temos que A = L x L. Então = 3 cm x 3 cm, logo A = 9 cm2.
Então, a área da região cinza é ¼ de 9 cm2, isto é, 9/4 cm2.
b) No segundo item, os alunos podem observar que a região cinza é um
triângulo de base 1 cm e podemos também formar um quadrado de lado igual
a 1 cm. Caso os alunos não consigam sozinhos enxergar essa opção, o
professor poderá auxiliar fazendo perguntas que medeiam o processo.
c) Como AB = CD = 3 cm e AD = 5 cm, vemos que BC = 1 cm, e podemos então
marcar os comprimentos indicados na figura.
A região cinza é a união de um retângulo de base 1 cm e altura 2 cm com um
triângulo cuja área já foi calculada no item anterior. Logo a área da região cinza é a
área do retângulo mais a área do triângulo. Ou seja, A = (2 x 1) + 0,25 = 2,25 cm2.
Problema 4
Joãozinho coleciona números naturais cujo algarismo das unidades é a soma dos
outros algarismos. Por exemplo, ele colecionou 10023, pois 1+0+0+2 = 3
A área da região cinza é exatamente ¼ da área
do quadrado. A área do quadrado é 1 cm2,
portanto:
A = ¼ x1cm2 = 0,25 cm2.
28
(a) Na coleção de Joãozinho há um numero que tem 4 algarismos e cujo algarismo
das unidades é 1. Que número é esse?
Aqui, nesse problema, o professor deve fazer perguntas que encaminhem o
pensamento do aluno a chegar à conclusão correta. Por exemplo: -- Quais são os
números que, somados, resultam 1? -- Que algarismos vamos utilizar então?
O professor deve ficar atento às conversar e aos comentários dos alunos,
pois pode surgir a dúvida de qual seja a diferença entre número e algarismo. Todas
as dúvidas que surgem durante a resolução são ótimas oportunidades para construir
ou reconstruir o conhecimento.
Há apenas três maneiras de escrever 1 como soma de três números
naturais:
1 = 1+ 0 + 0, 1 = 0 + 1+ 0 e 1 = 0 + 0 + 1, que nos dão as possibilidades 1001, 0101
e 0011. Os números 0101 e 0011 devem ser descartados, pois não têm quatro
algarismos significativos. Logo, na coleção do Joãozinho aparece o número 1001.
(b) Qual é o maior número sem o algarismo 0 que pode aparecer na coleção?
Primeiro notamos que, se um número com algarismos não nulos está na
coleção, então ele tem no máximo 10 algarismos. De fato, se ele tivesse 11 ou mais
algarismos não nulos, então a soma de todos os seus algarismos, exceto o das
unidades, seria, no mínimo 10, o que não é possível, pois o maior algarismo é o 9.
Logo todos os números com algarismos não nulos na coleção têm no
máximo 10 algarismos, o que mostra que existe um maior número sem o 0 na
coleção.
Vamos supor que a coleção do Joãozinho está completa. O número 2316
está na coleção. Trocando o 3 por 111 obtemos 211116, que também está na
coleção e é maior que 2316, pois tem mais algarismos. Em geral, se um número
sem o algarismo 0 está na coleção e tem algum algarismo que não o das unidades
diferente de 1, podemos “espichar” o número, trocando esse algarismo por uma
sequência de 1s e obtendo um novo número, que está na coleção e é maior que o
primeiro.
Logo o maior número com algarismos não nulos na coleção deve ter todos
29
os seus algarismos iguais a 1, com exceção do algarismo das unidades, que é igual
ao número de 1s que o precedem. Como o maior algarismo das unidades possível é
9, segue que o número procurado é 1111111119, pois 1+1+ 1+1+ 1+1+ 1+1+ 1 = 9.
Notamos que a coleção pode ter números arbitrariamente grandes com o
algarismo 0, como (por exemplo) 101, 1001, 10001 e assim por diante.
(c) Qual é o maior número sem algarismos repetidos que pode aparecer na coleção?
Um número da coleção não pode ter seis algarismos distintos, pois, nesse
caso, a soma dos cinco algarismos à esquerda do algarismo das unidades seria, no
mínimo, 0 + 1+ 2 + 3 + 4 = 10. Por outro lado, a coleção pode ter números de cinco
algarismos distintos, como, por exemplo, 25108. Se um desses números tem o
algarismo das unidades diferente de 9, podemos “aumentá-lo”, adicionando 1 ao
algarismo das unidades e 1 ao algarismo das dezenas de milhares (que, claramente,
não pode ser 9), sem sair da coleção. Por exemplo, o número 43108 pode ser
“aumentado” para 53109, que também está na coleção.
Logo o maior número de cinco algarismos distintos na coleção deve ter 9
como algarismo das unidades. Basta agora escrever 9 como soma de quatro
parcelas distintas em ordem decrescente para “montar“ nosso número. Segue
imediatamente que a decomposição procurada é 9 = 6 + 2 + 1+ 0 e obtemos o
número 62109.
O professor deve ter sempre em mente quais os conteúdos que poderão ser
abordados ou revisados com a resolução do problema. O problema deve ser
escolhido criteriosamente, sempre de acordo com a necessidade atual dos alunos
e/ou do conteúdo a ser trabalhado.
A avaliação teve caráter formativo, diagnóstico e contínuo e os alunos forão
avaliados da seguinte forma:
• Desempenho na resolução dos problemas propostos.
• Discussão em sala de aula sobre os problemas propostos, assim como o
envolvimento na resolução desses problemas.
• Apresentação para a turma das soluções encontradas pelos grupos.
30
5 Considerações finais
Ensinar Matemática exige do professor, além de esforço, também
planejamento. Uma aula bem planejada envolve vários fatores, como, por exemplo,
a metodologia, os recursos utilizados, como será organizado o ambiente, etc. As
tarefas, os exercícios complementares e as avaliações precisam ser planejados ou
selecionados de forma contínua, considerando a compreensão dos alunos e as
necessidades do currículo escolar.
Já sabemos que trabalhar com resolução de problemas em sala de aula não
é uma tarefa fácil, e não seria diferente durante a implementação do projeto. Os
alunos ficam agitados quando fazem trabalho em grupos, se exaltam e falam alto.
Antes de iniciar a atividade e fazer os grupos, é necessário expor aos alunos a
metodologia utilizada para que eles saibam a dinâmica da aula e fiquem menos
ansiosos.
Entretanto, observou-se que os alunos sentiam-se instigados e motivados a
querer resolver os problemas, já que, segundo Dante:
[...] buscar a solução de um problema que os desafia é mais dinâmica e motivadora do que a que segue o clássico esquema de explicar e repetir. O real prazer de estudar matemática está na satisfação que surge quando o aluno por si só resolve um problema. Quanto mais difícil, maior a satisfação em resolvê-lo. Um bom problema sucinta a curiosidade e desencadeia no aluno um comportamento de pesquisa, diminuindo sua passividade e conformismo. (DANTE, 2000, p.13 e 14).
Lorenzato (2006a, p. 01 apud Alves, 2010, p. 12) destaca que o sucesso dos
estudantes diante dos desafios matemáticos depende da relação estabelecida entre
a matemática e o aluno. Essa relação pode ser gerada com a mediação do
professor, pois o papel que o professor desempenha é fundamental na
aprendizagem e a metodologia de ensino adotada é determinante para o
comportamento dos estudantes. E o ambiente mais adequado para a discussão de
conhecimentos e de descobertas dos saberes para o desenvolvimento de desafios
matemáticos é a sala de aula.
Assim sendo, entende-se que a resolução de problemas constitui-se em um
conjunto de processos de pensamentos que devem ser desenvolvidos pelos alunos
31
com o auxílio do professor. E foi exatamente o que aconteceu com os alunos
participantes das aulas no decorrer da implementação, já que se podem observar
resultados significativos, uma vez que houve progresso dos alunos no que se refere
à resolução de problemas, pois que, depois de algumas aulas, os alunos já tinham
condições de interpretar por si próprios, bem como de criar maneiras e estratégias
para a resolução das questões apresentadas.
Quanto às concepções que envolvem a resolução de problemas, cito:
Ensinar sobre Resolução de Problemas, Ensinar para Resolver Problemas e Ensinar
através da Resolução de Problemas. Percebe-se que não há uma única proposta
correta, ou que seja a mais eficiente. As três concepções são aplicáveis e
necessárias e até mesmo se completam: "[...] embora na teoria as três concepções
de ensinar resolução de problemas matemáticos possam ser separadas, na prática
elas se superpõem e acontecem em várias combinações e seqüências” (ONUCHIC,
1999, p. 207).
Um professor que se utiliza de várias metodologias tem maior chance de
atingir o objetivo principal da educação, pois consegue provocar mudanças no saber
dos estudantes.
Durante minha caminhada acadêmica e profissional, sempre fui favorável e
adepta dos trabalhos em grupos, trabalhos tais como resolver problemas em duplas
ou em trios. Durante o processo, isso ficou evidente. O trabalho em grupo colabora
para a interpretação e a discussão do problema proposto, bem como para as suas
estratégias de resolução. Assim, os alunos não ficam limitados às suas próprias
interpretações e estratégias.
Embora não tendo muito material de estudo a respeito da OBMEP, pelas
pesquisas analisadas e pela entrevista da Professora Suely Druck, ficou clara a
importância da Olimpíada e do impacto causado por ela nas avaliações de larga
escala promovidas pelo governo para medir a qualidade do ensino público no Brasil.
Por esse motivo, é de bom senso, por parte dos professores, promover um ambiente
de redescoberta dos saberes matemáticos por parte dos alunos e incentivá-los a
participar desse evento.
32
6 Referências
ALLEVATO, N. S. G. Associando o computador à resolução de problemas fechados: análise de uma experiência. 2005. 36 f. Tese de doutorado – Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 2005.
BIONDI, Roberta Loboda; VASCONCELOS, Lígia; MENEZES FILHO, Naercio Aquino de. Avaliando o impacto da Olimpíada Brasileira de Mate mática das Escolas Publicas (OBMEP) no desempenho de Matemátic a nas avaliações educacionais. Disponível em: <http://bibliotecadigital.fgv.br/ocs/index.php/sbe/ EBE09/paper/viewFile/1092/315>. Acesso em: maio 2011.
BRASIL, L. A. S. Estudo dirigido de matemática no ginásio . São Paulo: Fundo de Cultura, 1964. 98 p.
DANTE, L. R. Didática da resolução de problemas de matemática . 12. ed. São Paulo: Ática, 2000.
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ONUCHIC, L. de la R. Ensino-aprendizagem de matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, M. A. V. (Org.). Pesquisa em educação matemática: concepções e perspectivas. São Paulo: Editora UNESP, 1999. p. 199-218.
ONUCHIC, L. R.; ALLEVATO, N. S. G. Novas reflexões sobre o ensino-aprendizagem de matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, M. A. V.; BORBA, M. C. (Org.). Educação matemática - pesquisa em movimento. São Paulo: Cortez, 2004. p. 213-231.
PARANÁ. Secretaria de Estado de Educação. Superintendência de Educação. Diretrizes curriculares da rede pública de educação básica do Estado do Paraná . Curitiba, 2009. PEREIRA, Antônio Luiz. Motivação para a disciplina MAT450 – Seminários de Resolução de Problemas. São Paulo, IME-USP, agosto de 2001. Problemas matemáticos: caracterização, importância e estratég ias de resolução. Disponível em: <http://www.esev.ipv.pt/mat1ciclo/Resolucao%20probs/mat450-2001242-seminario-8-resolucao_problemas.pdf>. Acesso em: abril 2011.
33
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