da escola pÚblica paranaense 2009 - … · a matemática financeira e sua aplicação no cotidiano...

O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE

2009

Produção Didático-Pedagógica

Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE

VOLU

ME I

I

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL - PDE

ANGELA BERNADETE BORIM

MATEMÁTICA FINANCEIRA NO COTIDIANO

LONDRINA 2010

ANGELA BERNADETE BORIM

MATEMÁTICA FINANCEIRA NO COTIDIANO

Projeto de pesquisa, elaborado e apresentado como um dos requisitos necessários na participação do Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE – idealizado e mantido pela Secretaria de Estado da Educação – SEED/PR - em convênio com a Universidade Estadual de Londrina – UEL. Orientador: Professor Nelson Fernando Inforzato.

LONDRINA 2010

SUMÁRIO

1. IDENTIFICAÇÃO .................................. .........................................................5

2. TEMA DE ESTUDO DA IMPLEMENTAÇÃO DO MATERIAL DIDÁ TICO.....5

3. TÍTULO ..........................................................................................................5

4. INTRODUÇÃO ..............................................................................................5

5. OBJETIVO ....................................... .............................................................6

6. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA .......................... ..........................................6

7. CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS ........................ .......................................7

7.1 PORCENTAGEM ..........................................................................................7

7.1.1 ACRÉSCIMOS E DESCONTOS SUCESSIVOS ......................................8

7.1.2 OPERAÇÕES COMERCIAIS ...................................................................9

7.2 JUROS SIMPLES .........................................................................................12

7.2.1 ASPECTOS HISTÓRICOS E CONCEITUAIS ..........................................12

7.2.2 CAPITALIZAÇÃO DOS JUROS ...............................................................13

7.2.3 REGIME DE CAPITALIZAÇÃO ................................................................13

7.2.4 FLUXO DE CAIXA ....................................................................................16

7.2.5 CÁLCULO DOS JUROS SIMPLES ..........................................................16

7.2.6 MONTANTE SIMPLES .............................................................................17

7.3 JUROS COMPOSTOS ..................................................................................18

7.3.1 PERÍODO DE CAPITALIZAÇÃO ..............................................................18

7.3.2 ELEMENTOS ENVOLVIDOS NO CÁLCULO DE JUROS COMPOSTOS 18

7.3.3 RELAÇÃO ENTRE AS GRANDEZAS ......................................................19

7.3.4 CÁLCULO DOS JUROS COMPOSTOS ..................................................19

7.3.5 PROCEDIMENTOS QUE PODEM SER UTILIZADOS NA RESOLUÇÃO

DE PROBLEMAS .....................................................................................19

7.3.6 PROVOCAÇÕES .....................................................................................21

7.4 CONHECENDO A CALCULADORA HP-12C ...............................................23

7.4.1 DESCRIÇÃO DO TECLADO ....................................................................23

7.4.2 JUROS SIMPLES .....................................................................................24

7.4.3 JUROS COMPOSTOS .............................................................................25

7.4.4 PARÂMETROS DE PORCENTAGEM .....................................................25

7.5 RENDAS .......................................................................................................25

7.5.1 SITUAÇÕES PRÁTICAS ..........................................................................26

7.5.2 CLASSIFICAÇÃO .....................................................................................26

7.5.3 AMORTIZAÇÃO POSTECIPADA .............................................................26

7.5.4 AMORTIZAÇÃO ANTECIPADA ...............................................................32

7.5.5 FATOR PARA CALCULAR O VALOR DE CADA PRESTAÇÃO ..............35

7.5.6 AMORTIZAÇÃO PELO SISTEMA PRICE ................................................38

7.5.7 AMORTIZAÇÃO PELO SISTEMA SAC ...................................................40

8. SITUAÇÕES-PROBLEMAS ............................ ..............................................41

8.1 SITUAÇÃO-PROBLEMA ENVOLVENDO: PORCENTAGEM, JUROS

SIMPLES E COMPOSTO .............................................................................42

8.2 SITUAÇÃO PROBLEMA ENVOLVENDO OS SISTEMAS PRICE E SAC .....45

8.3 SITUAÇÃO-PROBLEMA ENVOLVENDO O SOFTWARE – MICROSOFT

EXCEL .......................................................................................................... 51

9. ESTRATÉGIAS DE AÇÃO ............................ ................................................53

10. CRONOGRAMA DE ATIVIDADES ...................... .........................................54

11. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................... .........................................56

5

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO

SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO

DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL PDE

PLANO DE TRABALHO

1. IDENTIFICAÇÃO

1.1 PROFESSORA PDE: Ângela Bernadete Borim

1.2 ÁREA PDE: Matemática

1.3 NRE: Apucarana

1.4 PROFESSOR ORENTADOR IES: Nelson Fernando Inforzato

1.5 IES VINCULADA: Universidade Estadual de Londrina – UEL

1.6 ESCOLA DE IMPLEMENTAÇÃO: Colégio Estadual Nilo Cairo – Ensino

Fundamental e Médio – Apucarana – PR

1.7 PÚBLICO OBJETO DA INTERVENÇÃO: Terceiro ano do Ensino Médio

2. TEMA DE ESTUDO DA IMPLEMENTAÇÃO DO MATERIAL DIDÁ TICO

A Matemática Financeira e sua aplicação no cotidiano

3. TÍTULO

Aplicações da Matemática Financeira com auxílio da calculadora e do

computador

4. INTRODUÇÃO

6

O projeto de Intervenção Pedagógica na escola apresentado no Programa de

Desenvolvimento Educacional, pretende-se introduzir conceitos sobre amortização,

capitalização simples e composta que são partes integrantes de determinados

cursos profissionalizantes e superiores como os de Economia, Ciências Contábeis e

Administração.

Objetiva-se fazer com que os alunos de Ensino Médio tenham um

conhecimento maior sobre esses conceitos para que possa até influenciar em suas

decisões futuras: pessoais e profissionais, podendo optar por um dos cursos acima

citados.

A finalidade é que o aluno possa adquirir um olhar mais curioso, matemático,

científico e crítico sobre as necessidades que devem ser atendidas nas aulas de

matemática.

5. OBJETIVO

O principal objetivo é demonstrar a importância da Matemática Financeira no

cotidiano, sendo um auxílio para que os estudantes se desenvolvam dentro das

exigências da atual sociedade, a qual pede-se um profissional cada vez mais ativo,

criativo e competente, capaz de atuar nos meios de produção e de serviços de modo

eficiente.

6. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Para dominar os fundamentos básicos da Matemática Financeira, bem como

conhecer e utilizar as ferramentas adequadas para a solução de situações-

problemas e a aplicação da mesma no cotidiano dos alunos, serão necessários

alguns pré-requisitos:

• Sabe-se que o crescimento do capital inicial a juros simples é linear, e a juros

compostos é exponencial para isso necessita ter conhecimento de:

- Fórmula da soma dos termos da progressão geométrica;

- Conceitos sobre juros e porcentagens;

7

- Fórmula do Montante;

- Progressão Aritmética;

- Logaritmo;

- Regra de três simples

- Razão e proporção

- Progressão geométrica

- Função exponencial

• A diferenciação dos sistemas de amortização, mais utilizados, Price (sistema

francês) e SAC (sistema de amortização constante). Em resumo, o sistema

Price as prestações são iguais entre si e calculadas de tal modo que uma

parte paga os juros e a outra o principal. Em contraponto, o sistema SAC as

parcelas de amortização são iguais entre si, os juros são calculados a cada

período, multiplicando-se a taxa de juros contratada (na forma unitária) pelo

saldo devedor existente no período anterior.

• Conhecer os princípios básicos da calculadora HP-12C.

• Conhecimentos básicos de Microsoft Excel.

Para cada assunto diferente teremos uma seqüência de análise dos conteúdos:

• Motivação

• Fundamentação teórica

• Procedimentos algébricos

• Exploração das ferramentas disponíveis na informática.

7. CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS

7.1 PORCENTAGEM

8

• IDÉIA: é o resultado que se obtém ao aplicar a taxa de porcentagem sobre

um dado valor.

• TAXA DE PORCENTAGEM: é uma fração decimal ou razão centesimal que

pode representar a parte de um todo absoluto.

• FORMAS DE APRESENTAÇÃO DA TAXA DE PORCENTAGEM:

a) unitária ou centesimal: EX: 0,02 (dois centésimos ou dois por cem ou dois por

cento)

b) porcentual: EX: 2%( dois por cento)

• PROCEDIMENTO PARA CÁLCULO DE PORCENTAGEM: basta multiplicar a

fração pelo valor principal.

• VALOR PRINCIPAL ou CAPITAL: é o valor em relação ao qual se aplica a

taxa de porcentagem.

• IMPORTANTE: a relação entre a porcentagem, o valor principal e a taxa de

porcentagem é sempre uma proporção, portanto, conhecidas duas

grandezas, pode-se determinar a terceira, sempre por regra de três simples.

RESUMINDO:

c

pi =100

i = taxa de porcentagem

p = porcentagem

c = valor principal

7.1.1 ACRÉSCIMOS E DESCONTOS SUCESSIVOS:

9

• IDÉIA BÁSICA: sabe-se que 100% de uma grandeza é a mesma grandeza,

portanto, para produzir um acréscimo ou um desconto é necessário somar ou

subtrair a taxa de porcentagem que se deseja como acréscimo ou como

desconto.

• PROVOCAÇÃO: Um produto que é oferecido por R$120,00 deve ter um

acréscimo de 20% e, em seguida, um desconto de 5%. Qual o novo preço?

Primeira Parte: acréscimo

R$120,00( 100% + 20%) =

R$120,00(120%) = R$144,00

Segunda Parte: desconto:

R$144,00(100% - 5%) =

R$144,00(95%) = R$136,80

Ou fazendo um raciocínio direto:

R$120,00(100% + 20%)(100% - 5%) =

R$120,00(120%)(95%)=R$136,80

Generalizando: PV=inicial e FV=final

PV.(1+i)(1+j)(1-k)(1-r)

FV=PV(1+i)(1+j)(1-k)(1-r)

i, j = taxas

r.k = descontos

7.1.2 OPERAÇÕES COMERCIAIS

• IDÉIA BÁSICA: são operações de compra e venda, realizadas com o objetivo

de obter lucro.

• RELAÇÃO MATEMÁTICA

10

LUCRO = VENDA - CUSTO

OU

L = V - C ------------------- LUCRO

P = C - V -------------------- PREJUÍZO

• MODALIDADES DE LUCRO

A) SOBRE A COMPRA

- Lucro sobre a compra, significa que o lucro deve ser calculado, tomando-se

como base, o preço de custo, logo, o preço de custo corresponde a 100% e, o

preço de venda é igual, a soma entre 100% e a taxa de lucro, ou seja, 100% +

+i%. De modo simplificado tem-se:

Basta completar os dados e escrever uma regra de três simples, 20% sobre

custo:

20 = 120 – 100

B) SOBRE A VENDA

Lucro sobre a venda, significa que o lucro deve ser calculado, tomando-se como

base, o preço de venda, logo, o preço de venda corresponde a 100% e, o preço de

custo é igual, a diferença entre 100% e a taxa de lucro, ou seja, (100% - i%).

De modo simplificado tem-se:

L = V – C

..... = ..... – 100%

11

• PROVOCAÇÃO

Um produto foi adquirido por R$ 240,00. Por quanto deverá ser vendido para que

se tenha 20% de lucro:

A) SOBRE A COMPRA

240 --------------------100% V = R$288,00

V --------------------120%

B) SOBRE A VENDA

240 ---------------------80% V = R$300,00

V ---------------------100%

• PROVOCAÇÃO ESPECIAL

L = V – C

..... = 100% - .....

L = V – C

20% = 120% - 100%

L = V – C

20% = 100% - 80%

12

Um produto foi adquirido por R$240,00. Por quanto deverá ser vendido para que

se tenha 20% de lucro sobre o custo e se possa recolher 18% de impostos sobre o

valor da nota fiscal?

L = VS - C

20% = 120% - 100%

VS = venda sonegada

I = imposto

240 -----------------------100% VS = R$288,00

VS -----------------------120%

I = V - VS

18% = 100% - 82%

288 ------------------------ 82% V = 351,22

V -----------------------100%

7.2 JUROS SIMPLES

7.2.1 ASPECTOS HISTÓRICOS E CONCEITUAIS

ORIGEM: Tudo deve ter começado com esta frase do homem primitivo:”Muito bem,

você pode usar minha lança e, quando voltar, devolve a lança mais uma parte

daquilo que conseguiu caçar”.

Os juros e os impostos existem desde a época dos primeiros registros de

civilizações. Um dos primeiros indícios apareceu na já Babilônia no ano de 2000aC.

Nas citações descrevem o uso de sementes ou de outras conveniências

13

emprestadas, estas práticas existentes originaram-se os empréstimos e o cálculo

dos juros através da devolução de sementes e de outros produtos agrícolas.

Na sociedade moderna, indica os primeiros fatores de produção considerados

em economia e pressupõe uma forma de remuneração a cada um destes fatores:

• Trabalho : o salário

• Terra : o aluguel

• Capacidade administrativa : o lucro

• Técnica : o royalty

• Capital : os juros.

Os fatores que interferem no cálculo dos juros:

• Capital: valor aplicado em unidades monetárias.

• Taxa: razão entre o juro produzido e o capital aplicado(i=j/c), por unidade de

tempo.

• Tempo: número de unidades de tempo(período).

A contagem do número de períodos:

• Tempo comercial: 1 ano=12 meses=360 dias e mês=30 dias.

• Tempo civil ou exato: - Ano normal 365 dias e bissexto 366 dias.

- Meses: janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e

dezembro(31 dias); abril, junho, setembro e novembro(30 dias) e fevereiro(28 ou 29

dias).

7.2.2 CAPITALIZAÇÃO DOS JUROS

Forma de crescimento do capital (como adicionar os juros ao capital).

7.2.3 REGIME DE CAPITALIZAÇÃO

De acordo com a função de crescimento do capital, o regime de capitalização

pode ser classificado como: simples, composto ou misto.

14

• CAPITALIZAÇÃO SIMPLES

O capital cresce em progressão aritmética, ou seja, o acréscimo é constante

em cada unidade de tempo.

Exemplo: Analise o crescimento de R$100,00 durante 6 meses à taxa de 10%

ao mês, pelo regime de capitalização simples.

Resolução

Taxa: 10%

0 1 2 3 4 5 6

100

160

150

140

130

120

110

• CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

O capital cresce em progressão geométrica, ou seja, o acréscimo é variável.

Em cada unidade de tempo os juros são somados ao capital para render novos

juros.

Exemplo: Analise o crescimento de R$100,00 durante 6 meses à taxa de 10%

ao mês, pelo regime de capitalização composta.

15

Resolução

Taxa: 10% sobre o anterior

0 1 2 3 4 5 6

121,00

110,00

132,10

145,31

159,84

175,82

100,00

Comparando os dois tipos de capitalização, num gráfico, vê-se a diferença

entre uma função linear e outra exponencial.

• GRÁFICO COMPARATIVO

1200

0

100

Montante

133,1

130

121

110

Períodos (n)

Juro composto

Juro simples

1 32

16

7.2.4 FLUXO DE CAIXA

É um procedimento utilizado para indicar, ao longo do tempo, a entrada ou a

saída de capital de uma organização.

7.2.5 CÁLCULO DOS JUROS SIMPLES

Se em cada período i = J/C, então o juro deste período é: J = C X i.

Numa série de “n” períodos, tem-se:

J = J1 + J2 + J3 + ... + Jn

Então:

J = (C X i)1 + (C X i)2 + (C X i)3 + ... + (C X i)n

J = “n vezes” (C X i)

J = C X i X n

Resumindo : J = C X i X n, onde:

• J = juros

• i = taxa

• C = capital

• N = tempo

IMPORTANTE: com esta relação e, conhecendo-se três grandezas, sempre é

possível calcular a quarta.

CUIDADO: a taxa deve ser unitária e sua unidade não pode ser diferente da unidade

de tempo.

CLASSIFICAÇÃO DA TAXA

1) Quanto à forma:

a) Unitária: expressa por uma fração ou número decimal.

Ex: 3/100 = 0,03

17

b) Porcentual: corresponde a 100 vezes a taxa unitária e escreve-se acompanhada

pelo símbolo de porcentagem (%).

Ex: 3%, 25%.

2) Quanto à natureza

a) Nominal: é a taxa que está nominada, denominada, escrita, expressa no

documento.

b) Proporcional: quando é diretamente proporcional ao tempo a que se refere.

Ex: 2% ao mês=4% ao bimestre=12% ao semestre=24% ao ano.

Provocações:

1 – Qual é o rendimento de R$1.800,00 a 10% aa em 2 anos e 6 meses?

C = 1.800,00 J = C X I X n

N = 2,5 J = 1800 X 2,5 X 0,10

T = 10% = 0,10 J = 450

R: O rendimento será de R$450,00.

2 – Qual o capital que, à taxa de 18% aa produz R$1.485,80 em um ano e oito

meses?

3 – Qual deveria ser a taxa anual para que um capital qualquer rendesse, em 3

anos, 3/5 do seu valor?

4 – Em quanto tempo R$120,00 aplicados a 15% aa produziriam juros de R$80,00?

7.2.6 MONTANTE SIMPLES

É o resultado da adição entre o capital aplicado e os juros produzidos no final

do período de realização do investimento, ou seja:

M = C + J

Como: J = C X i X n, tem-se:

M = C + C X i X n(fatorando C)

Escreve-se:

18

M = C(1 + i X n)

PROVOCAÇÕES

1 – Calcule o montante produzido na aplicação de R$2.650,00 à taxa de 18% aa, no

final de 10 meses.

2 – Calcule o tempo necessário para que um capital, aplicado à taxa de 3% ao mês,

dobre o seu valor.

3 – Um capital de R$1.200,00, eleva-se a R$1.840,00, durante um ano, 2 meses e

20 dias. Calcule a taxa mensal de juros.

7.3 JUROS COMPOSTOS

• IDÉIA:o montante cresce em progressão geométrica, ou seja, no final de cada

período os juros são somados ao capital e passam a render novos juros.

7.3.1 PERÍODO DE CAPITALIZAÇÃO

É o tempo necessário para que os juros sejam somados ao capital para

render novos juros.

Se esse período não estiver expresso, acompanha-se a unidade indicada pela

taxa.

7.3.2 ELEMENTOS ENVOLVIDOS NO CÁLCULO DE JUROS COMPOSTOS

• Capital ou valor presente(C ou PV)

• Taxa(i)

• Número de períodos(n)

• Montante(M)

• Juros(J)

19

• Capitalização

7.3.3 RELAÇÃO ENTRE AS GRANDEZAS

Co = C

C1 = C(1+i)

C2 = C(1+i)(1+i) = C(1+i)2

C3 = C(1+i)(1+i)(1+i) = C(1+i)3

…

Cn = C(1+i)n-1(1+i) = C(1+i)n

Como Cn é o montante tem-se:

M = C(1+i)n

IMPORTANTE: conhecendo-se três das grandezas é sempre possível calcular a

quarta.

CUIDADO: a taxa deve ser unitária e na mesma unidade que o tempo, de acordo

com a capitalização. Caso a forma de capitalização seja omissa. Utilizar a unidade

expressa pela taxa.

7.3.4 CÁLCULO DOS JUROS COMPOSTOS

• Através do montante: J = M – C

• Através do capital: J = M – C

J = C(1+i)n – C

J = C[(1+i)n – 1]

Não esquecer: taxa unitária concordando com o tempo e com a forma de

capitalização.

7.3.5 PROCEDIMENTOS QUE PODEM SER UTILIZADOS NA RESOLUÇÃO DE

PROBLEMAS

• Tabela financeira: apresenta os valores do coeficiente(1+i)n previamente

calculados:na primeira linha estão os valores da taxa porcentual e na primeira

20

coluna os valores do tempo na mesma unidade que a taxa. Ex:

(1+3%)2=(1+0,03)2=(1,03)2=1,061.

21

• Calculadora científica: substitui-se na fórmula os valores conhecidos e isola-

se algebricamente a grandeza que se quer encontrar, utilizando as

propriedades operatórias.

Importante: Para o cálculo do número de períodos é necessário o emprego de

logaritmos, ou seja:

Se An = B, então n = (log B)/(log A).

• Calculadora HP-12C: esta calculadora está preparada para realizar

automaticamente os procedimentos operacionais através das teclas:

PV = Capital ou Valor presente

FV = Montante ou Valor futuro

N = Número de períodos

i = Taxa porcentual.

Importante: a) A taxa deve ser porcentual.

b) A entrada de um dos valores monetários, deve ser precedida pelo

dígito CHS para atender à convenção do fluxo de caixa.

c) No cálculo do número de períodos não exatos ocorre sempre

arredondamento para cima.

7.3.6 PROVOCAÇÕES

a) Aplica-se R$800,00 em uma instituição que paga 2% ao mês, durante 6 meses.

Calcule o montante.

M = C(1+i)n

Tabela Financeira Calculadora científica Calculadora HP-12C

M = 800(1+2%)6 M = 800(1+0,02)6 800 CHS PV

M = 800 X 1,126162 M = 800(1,02)6 2 I

M = R$900,93 M = 800 X 1,13 6 N

M = R$900,93 FV R$900,93

R: O montante é de R$900,93.

b) Quanto devo aplicar hoje a taxa de 2% ao mês com capitalização bimestral para

que daqui a um ano e meio possa retirar R$2.277,30?

I = 2% a.m.(nominal) = 4% a.b.

22

N = 1,5 anos

M = 2.277,30

T = 9 bimestres

Calculadora HP-12C Tabela Financeira

2277,30 CHS FV M = C(1+i)n

9 N 2277,30 = C(1+4%)9

4 I 2277,30 = C X 1,423312

PV = 1600,00 423312,1

30,2277=C

C = 1600,00

R: Devo aplicar R$1600,00.

c) Calcule a taxa necessária para que investindo R$800,00 durante um ano,

capitalizado mensalmente tenha de juros R$340,61.

C = 800,00 Tabela Financeira e calculadora HP-12C

J = 340,61 1140,61 = 800(1+i)12

M = 1140,61 12)1(

800

61,1140i+=

T = 12 meses 1,425761 CHS FV

800 PV

12 n

I 3% a.m.

R: A taxa necessária será de 3% ao mês.

d) Durante quanto tempo deve-se investir R$5.800,00 à taxa de 4% ao mês para que

se possa retirar R$10.445,48?

T = ? M = C(1+i)n

C = 5800,00 10445,48 = 5800(1+4%)t

I = 4% a.m. t)04,01(

5800

48,10445 +=

23

M = 10.445,48 1,80094483 = (1,04)t

04,1log

80094483,1log=T

04,1

80094483,1

L

LN =

039220713,0

588310972,0=N

N = 15

R: Deve-se investir por 15 meses.

7.4 CONHECENDO A CALCULADORA HP-12C

7.4.1 DESCRIÇÃO DO TECLADO

ON – LIGADO

24

ENTER – ENTRAR

BEGIN – COMEÇO

END – FIM

CLX – CLEAR X – APAGAR X (do visor)

CLEAR : - PRGM = APAGAR PROGRAMA

- FIN = APAGAR REGISTROS(financeiros)

- REG = APAGAR REGISTROS

- PREFIX = APAGAR FIXADO(registros)

STO – STORE = ARMAZENAR

RCL – RECALL = RECUPERAR

RND – ROUND = ARREDONDAR

EEX – ENTRAR EXPOENTE

FRAC – FRACTION = FRAÇÃO

INTEG – INTEGER = INTEIRO

CHS – CHANGE SIGN = MUDAR SINAL

7.4.2 JUROS SIMPLES

INT – INTEREST = JUROS

DATE – DATA

M.DY – MONTH DAY YEAR

25

D.MY – DAY MONTH YEAR

DYS – DIFERENÇA DE DIAS

7.4.3 JUROS COMPOSTOS

N – NÚMERO DE PERÍODOS

I – TAXA

PV – VALOR PRESENTE(capital)

FV – VALOR FUTURO( montante)

PMT – PRESTAÇÕES(playment)

AMORT – AMORTIZAÇÃO

7.4.4 PARÂMETROS DE PORCENTAGEM

% - TAXA DE PORCENTAGEM EM RELAÇÃO AO PRINCIPAL “C”

▲% - TAXA DE ACRÉSCIMO OU DESCONTO EM RELAÇÃO A “VP”, DADOS “VP”

E “VF”

% T – TAXA QUE UMA PARCELA REPRESENTA EM RELAÇÃO AO TOTAL “C”.

7.5 RENDAS

• IDÉIA: é o conjunto de dois ou mais pagamentos realizados com o objetivo de

amortizar uma dívida ou constituir um capital.

7.5.1 SITUAÇÕES PRÁTICAS

26

• Compra pelo crediário

• Poupança programada

• Financiamento estudantil

• Consórcio de imóveis

• Contribuição previdenciária

7.5.2 CLASSIFICAÇÃO

A) PÉRPETUAS

B) TEMPORÁRIA:

b.1) NÃO PERIÓDICA

b.2) PERIÓDICA:

b.2.1) VARIÁVEIS

b.2.2) CONSTANTE: POSTECIPADA, ANTECIPADA E DIFERIDA

7.5.3 AMORTIZAÇÃO POSTECIPADA:

- IDÉIA – o primeiro pagamento ocorre no final do primeiro período.

- VALOR PRESENTE DE UMA RENDA POSTECIPADA: pode-se trazer as

prestações para o valor presente, obtendo-se uma equivalência de capitais:

PV = T(1+i)-1+T(1+i)-2+...+T(1+i)-n

PV = T[(1+i)-1+(1+i)-2+...+(1+i)-n]

Nesta PG tem-se:(de trás para frente)

A1 = (1+i)-n

27

Q = (1+i)1

N = n

Substituindo estes valores na fórmula da soma dos termos da PG, tem-se:

1

)1(1

−−=

q

qaS n

n

n

n

n ii

iS

)1(1)1(

+−+=

Substituindo na relação anterior obtém-se o valor presente em função do termo

da taxa e do número de termos, assim:

n

n

ii

iTPV

)1(

]1)1[(

+−+=

- USO DA CALCULADORA HP-12C.

Para operar com prestações postecipadas, basta acionar os comandos:

G END

Para operar com prestações antecipadas , os dígitos são:

G BEG

- USO DA TABELA FINANCEIRA

A tabela apresenta possíveis valores do coeficiente:

n

n

in ii

iA

)1(1)1(

+−+=¬

Deste modo o valor presente para vendas postecipadas será:

28

inaTPV ¬= .

¬ Ângulo ou cantoneira(separar)

5

5

%35 03,103,0

103,1

×−=¬A

1,03 enter 5 yx 1 –

034778,0159274,0

%35 =¬A

57973,4%35 =¬A

- PROVOCAÇÕES:

A) Qual o valor à vista de um computador que foi adquirido pagando-se doze

prestações mensais postecipadas de R$180,00 à taxa de 1% ao mês?

+×−+×=

N

N

ii

iTPV

)1(1)1(

×−×= 12

12

)01,1(01,01)01,1(

180PV

1,01 ENTER

12 YX

0,01 X

STO 1

1,01 ENTER

12 YX

1 _

29

RCL 1

: 180

X

2.025,91

R: O valor à vista será de R$2.025,91.

B)O preço à vista de um carro popular é R$28.000,00. Calcule o valor da prestação

mensal postecipada, se for financiado em 24 meses à taxa de 2% ao mês.

Cálculo feito com o auxílio da calculadora HP-12C

F REG

G END

28000 CHS

PV 2

I 24

N PMT

1.480,39

R: O valor da prestação será de R$1.480,39.

Cálculo feito com o auxílio da calculadora HP científica

+×−+×=

N

N

ii

iTPV

)1(1)1(

30

×−×= 24

24

)02,1(02,0

1)02,1(28000 T

1,02 ENTER

24 YX

1 _

STO 1

1,02 ENTER

24 YX

0,02 X

28000 X

RCL 1

:

1480,00

R: O VALOR DA PRESTAÇÃO SERÁ DE R$1.480,00.

C) Uma geladeira cujo preço a vista é R$1.200,00 foi adquirida em seis prestações

mensais postecipadas de R$210,00. Calcule a taxa de financiamento.

Cálculo na HP financeira:

F REG

G END

1200 CHS

PV 210

PMT 6

31

N I

1,412

R : A taxa de financiamento foi de 1,412%.

Este mesmo cálculo na calculadora científica fica inviável.

+×−+×= N

N

ii

iTPV

)1(1)1(

+×−+×= 6

6

)1(

1)1(2101200

ii

i

D) Quantas prestações mensais postecipadas de R$200,00, a taxa de 2% am serão

necessárias para amortizar a dívida de R$2.157,37?

Cálculo feito na HP financeira:

F REG

G END

200 CHS

PMT 2157,37

PV 2

I N

13

R: Serão necessárias 13 prestações.

7.5.4 AMORTIZAÇÃO ANTECIPADA

32

- IDÉIA: o primeiro pagamento ocorre no início do primeiro período.

- VALOR PRESENTE DE UMA RENDA ANTECIPADA: o cálculo do valor presente é

semelhante aquele utilizado nas prestações postecipadas, porém, é necessário

antecipar em uma unidade de tempo o pagamento de cada parcela.

Esta correção se faz, multiplicando o coeficiente (PG), por (1+i).

Desse modo a fórmula que permite calcular valor presente de uma renda

antecipada, será :

+×−+×= −1)1(

1)1(N

N

ii

iTPV

OBS: Na prática essa situação acontece quando a primeira prestação se paga como

uma “entrada”.

- USO DA TABELA FINANCEIRA

+×−+×= −1)1(

1)1(N

N

ii

iTPV

Deste modo o valor presente para rendas antecipadas será:

)1( 1 inaTPV ¬−+=

- PROVOCAÇÕES:

A) Qual o valor a vista de um computador que foi adquirido pagando-se doze

prestações mensais antecipadas de R$180,00, à taxa de 1% ao mês?

Cálculo pela HP financeira

F REG

G BEG

33

180 CHS

PMT 12

N 1

I PV

2.046,17

R: O valor à vista será de R$ 2.046,17.

Cálculo na HP científica

×−×= 11

12

)01,1(01,0

1)01,1(180P

1,01 ENTER

11 YX

0,01 X

STO 1

1,01 ENTER

12 YX

1 -

RCL1 :

180 X

2.046,17

R: O valor à vista será de R$2.046,17.

34

B) O preço à vista de um carro popular é R$28.000,00. Calcule o valor da prestação

mensal antecipada, se for financiado em 24 meses à taxa de 2% ao mês.

Cálculo na HP financeira:

G BEG

28000 CHS

PV 24

N 2

I PMT

1.451,36

R: O valor da prestação será de R$1.451,36.

Cálculo na HP científica:

×−×=

23

24

)02,1(02,0

1)02,1(28000 T

1,02 ENTER

23 YX

0,02 X

STO 1

1,02 ENTER

24 YX

1 -

RCL 1

35

: 28000

: 1/X

1.451,36

C) Quantas prestações mensais antecipadas de R$200,00, a taxa de 2% ao mês

serão necessárias para amortizar a dívida de R$2.157,37?

Cálculo pela HP financeira:

F REG

G BEG

200 CHS

PMT 2157,37

PV 2

I N

12

R: Serão necessárias 12 prestações.

O cálculo da taxa é inviável através da calculadora científica.

7.5.5 FATOR PARA CALCULAR O VALOR DE CADA PRESTAÇÃO

É um coeficiente pelo qual se multiplica o valor presente de uma dívida para

calcular a prestação.

Para obtê-la basta substituir o PV pela unidade e calcular o valor do termo na

fórmula.

36

+×−+×=

n

N

ii

iTP

)1(

1)1(

Assim:

+×−+×=

n

N

ii

iFa

)1(

1)1(1

Caso a renda seja antecipada , a primeira prestação é a entrada:

+×−+×= −1)1(

1)1(1

n

N

ii

iFa

- PROVOCAÇÃO

A) Uma loja vende a prazo com juros de 4% ao mês. Para facilitar o trabalho dos

vendedores deve-se construir uma tabela cujos fatores permitem calcular o valor da

prestação nos casos:

a) 30,60 90 dias

Sem entrada: Na HP financeira:

N = 3 G END

i = 4% am 1 CHS

+×−+×=

3

3

)04,01(04,0

1)04,01(1 Fa PV 3

×−×=

3

3

)04,1(04,0

1)04,1(1 Fa N 4

i PMT

37

R: 0,36

Fa = 0,360348

b) Entrada mais duas prestações:

G BEG

1 CHS

PV 3

N 4

I PMT

Fa = 0,346489

c) Seis vezes sem entrada:

G END

1 CHS

PV 6

N 4

I PMT

Fa = 0,1907619

d) Seis vezes com entrada:

G BEG

1 CHS

38

PV 6

N 4

I PMT

Fa = 0,1834249

e) Doze vezes com 25% de entrada:

G END

0,75 CHS

PV 12

N 4

I PMT

Fa = 0,079914

7.5.6 AMORTIZAÇÃO PELO SISTEMA PRICE

• IDÉIA: é um sistema onde o valor da prestação permanece constante.

• PLANO DE AMORTIZAÇÃO: é uma tabela formada por seis colunas e n+2

linhas, onde a primeira é um cabeçalho e as demais enumeram as prestações

de zero até n.

• DESCRIÇÃO DAS COLUNAS:

1ª - Ordem das prestações de zero a n.

2ª – Prestações: valor das prestações calculado através da fórmula utilizada para se

obter o valor do termo de uma renda postecipada.

39

3ª – Juros: calculado sobre o saldo devedor imediatamente anterior.

4ª – Quota Amortizada: é a diferença entre a prestação e os juros.

5ª – Dívida Amortizada: é o valor acumulado da quota amortizada.

6ª – Saldo Devedor: é a diferença entre o saldo devedor anterior e a quota.

• SITUAÇÃO PRÁTICA

Elaborar, pelo sistema PRICE, um plano de amortização de um financiamento

de R$20.000,00 em seis prestações mensais à taxa de 2% ao mês.

a) Cálculo da prestação:

G END

20000 CHS

PV 6

N 2

I PMT

3.570,52

40

b) PLANO DE AMORTIZAÇÃO - PRICE

n Termo Juros Q amort D amort S devedor

0 - - - - 20000,00

1 3570,52 400,00 3170,52 3170,52 16829,48

2 3570,52 336,59 3233,93 6404,45 13595,56

3 3570,52 271,91 3298,61 9703,06 10296,95

4 3570,52 205,94 3364,58 13067,86 6932,37

5 3570,52 138,65 3431,87 16499,73 3500,51

6 3570,52 70,04 3500,51 20000,02 0,02

7.5.7 AMORTIZAÇÃO PELO SISTEMA SAC

• IDÉIA: é um sistema onde o valor da amortização permanece constante.

• PLANO DE AMORTIZAÇÃO: é uma tabela formada por cinco colunas e n+2

linhas, onde a primeira é um cabeçalho e as demais enumeram as prestações

de zero até n.

• DESCRIÇÃO DAS COLUNAS:

1ª – Ordem das prestações de zero a n.

2ª – Quota Amortizada: não há amortização no decorrer do tempo.

3ª – Juros: calculado sobre o valor principal.

4ª – Prestação: é igual a soma dos juros e a quota amortizada.

5ª – Saldo Devedor: é o valor presente da dívida até a penúltima prestação.

41

• SITUAÇÃO PRÁTICA:

Elaborar pelo Sistema SAC, um plano para amortizar um financiamento de

R$20.000,00 em cinco prestações mensais à taxa de 2% ao mês.

a) Cálculo da quota amortizada:

20000 ENTER

5 I

Quota amortizada = R$4.000,00.

b) PLANO DE AMORTIZAÇÃO - SAC

n Q amort juros Prestação S devedor

0 - - - 20000,00

1 4000,00 400,00 4400,00 16000,00

2 4000,00 320,00 4320,00 12000,00

3 4000,00 240,00 4240,00 8000,00

4 4000,00 160,00 4160,00 4000,00

5 4000,00 80,00 4080,00 0,00

8 SITUAÇÕES-PROBLEMAS

42

8.1 SITUAÇÃO-PROBLEMA ENVOLVENDO: PORCENTAGEM, JUROS SIMPLES E

COMPOSTO

O Sr. Resposta é uma pessoa que está a procura de uma solução para

seu problema, que é a aquisição da casa própria.

Antes de ir à uma Instituição Financeira ele quer ter conhecimentos

básicos sobre porcentagens, juros simples, compostos, capitalização e

principalmente as rendas.

Ele tem feito várias pesquisas para tomar conhecimento de tudo que

envolve a Matemática Financeira, que ele sabe muito bem que só depois de se

informar a respeito do assunto e ter um grande embasamento poderá entender

melhor sobre os Sistemas de Financiamento, e decidir sobre o que fazer.

Primeiramente ele foi a uma loja para melhor entender como se

procede a porcentagem. E o Sr. Simpático o atendeu e lhe explicou sobre a taxa de

porcentagem.

Disse a ele que é o número que mede, em relação ao prazo da

capitalização, a velocidade de crescimento do capital, completou dizendo que ela é

fornecida na forma percentual, ou seja, se refere a cem unidades de capital.

Explicando que a taxa de juros está na forma percentual e deve ser dividida por 100

para que tenha base centesimal.

E lhe propôs um pequeno problema para exercitar um pouco mais

sobre a questão da porcentagem e dos juros simples.

Qual o juro proporcionado por uma aplicação de R$1.500,00 à taxa de

2,6% a.m. durante 6 meses?

J = juro j = PV X i X n

PV = valor presente = 1.500 j = 1.500 X 0,026 X 6

I = taxa = 2,6% = 0,026 j = 234,00

N = prazo = 6

Aplicando a fórmula ficou fácil, não é mesmo?

O Sr. Resposta quis saber como calcular o valor futuro, e o Sr.

Simpático continuou a explicação.

O valor futuro é o valor do capital investido, acrescido dos juros após o

vencimento.

O valor futuro é obtido usando a fórmula:

43

FV = PV + J

Substituindo a fórmula do juro fica:

FV = PV + PV X i X n

FV = PV (1 + i X n)

Vamos ver um exemplo prático:

Uma pessoa toma emprestado em um Banco R$ 21.000,00 à taxa de

3,25%a.m. Qual será o valor de sua dívida após 8 meses?

FV = ? FV = PV (1 + i X n)

PV = 21.000 FV = 21.000 (1 + 0,0325 X 8)

I = 3,25% = 0,0325 FV = 21.000 (1,26)

N = 8 FV = 26.460,00

O Sr. Resposta ficou satisfeito quanto a explicação e perguntou sobre a

maneira de como calcular juros compostos, se havia muita diferença.

O Sr. Simpático não poderia deixá-lo em dúvida e acrescentou, primeiramente

uma definição de capitalização composta: é aquela em que a taxa de juros incide

sempre sobre o capital inicial, acrescido dos juros acumulados até o período

anterior. Nesse regime de capitalização a taxa varia exponencialmente em função do

tempo.

Isso quer dizer que os juros são incorporados ao capital para receber juros no

mês subseqüente, diz o Sr. Resposta.

Exatamente é isso que vou mostrar ao Sr., neste momento:

VALOR

PRESENTE

TAXA N JUROS VALOR

FUTURO

1.000.00 O,10 01 100,00 1100,00

1100,00 0,10 02 110,00 1210,00

1210,00 0,10 03 121,00 1331,00

E a fórmula para calcular o Valor futuro neste tipo de capitalização?

44

FV = PV (1 + i)n

Vamos a um exemplo prático?

Qual o valor futuro que teremos daqui a 15 meses, se aplicarmos um capital

de R$ 12.000,00 a uma taxa de juros de 3,5% ao mês?

FV = 12.000 (1 + 0,035) 15

FV = 12.000 (1,035)15

FV = 12.000 (1,6753)

FV = 20.103,60

Podemos fazer este cálculo com a calculadora HP-12C, também, o Sr. a

conhece? Diz o Sr. Simpático.

Conheço pois tenho uma calculadora dessa, só que não sei usá-la muito bem,

diz o Sr. Resposta.

Podemos então fazer um teste com algumas das teclas usadas para calcular

os juros compostos, é bem simples, veja as teclas que teremos que usar:

F CLX FIN 12.000 CHS PV

3,5 I

15 N

Digite FV 20.104,19

Notou como é mais fácil fazer os cálculos com a calculadora HP-12C? Diz o

Sr. Simpático.

Agora estou começando a entender melhor como se usa a minha calculadora,

mas tenho uma dúvida, diz o Sr. Resposta.

Porque o valor futuro nos dois cálculos não ficaram idênticos?

O que pode acontecer é o arredondamento na calculadora científica, ter

alguns centavos de diferença, mas isto varia muito de calculadora para calculadora,

diz o Sr. Simpático.

45

Completando o Sr. Simpático ainda disse, depois de fazermos estes cálculos,

poderemos completar com mais alguns, como por exemplo: calcular o valor

presente, a prestação, e tantos outros.

Depois de todos estes esclarecimentos já poderei ver como será o

financiamento através dos Sistemas de Amortização, qual será mais vantajoso para

mim, disse o Sr. Resposta.

8.2 SITUAÇÃO PROBLEMA ENVOLVENDO OS SISTEMAS PRICE E SAC

Para melhor visualizar a aplicação da matemática financeira no cotidiano, abaixo

seguem duas situações-problemas, utilizando em primeiro o sistema PRICE e

posteriormente o sistema SAC, sempre com o auxílio da calculadora HP-12C:

O Sr. Resposta foi até a uma instituição bancária com interesse de fazer um

empréstimo de R$ 100.000,00 para ser pago em 5 anos, com objetivo da

realização do grande sonho da casa própria. Foi atendido pelo gerente o Sr.

Cálculo que prontamente demonstrou como funciona o sistema PRICE de

amortização, relatando algumas características:

- Amortizações aumentam mês a mês;

- Juros iniciam-se com valores altos e vão reduzindo mês a mês;;

- Valores das prestações são constantes;

O Sr. Cálculo alertou que a taxa de juros é de 15% a.a.

O Sr. Resposta perguntou:

- Como calcular as prestações? Os juros, amortização e o saldo devedor?

O Sr. Cálculo respondeu:

- É através da calculadora HP-12C que iremos construir uma planilha e

demonstrar todos os cálculos. Alguns dados serão importantes:

DESCRIÇÃO HP-12C

Valor Financiado PV

Prestação PMT

Taxa i

46

Número de prestação n

Juros 1 f amort

Amortização x< > y

Saldo Devedor RCL PV

PRESTAÇÕES: CALCULANDO PASSO A PASSO ATRAVÉS DA

CALCULADORA HP-12C

PASSO TECLAS VISOR SIGNIFICADO

1 f CLEAR FIN 0,00 Limpa os registros financeiros

2 Clx 0,00 Limpa o visor

3 100000 100.000, Digite o valor do bem

4 PV 100.000,00 Armazene o valor do bem

5 5 5, Digite o prazo

6 n 5,00 Armazene o prazo

7 15 15, Digite a taxa

8 i 15,00 Armazene a taxa

9 PMT - 29.831,56 Tecle PMT para calcular a prestação

10 CHS 29.831,56 Tecle CHS para ficar sinal contrário

JUROS: CALCULANDO PASSO A PASSO ATRAVÉS DA CALCULAD ORA

HP-12C

11 1 1, Digite 1

12 F f Função secundária

13 Amort -15.000,00 Valor dos juros


AMORTIZAÇÃO: CALCULANDO PASSO A PASSO ATRAVÉS DA

CALCULADORA HP-12C

15 x < > y - 14.831,56 Exibir o valor do juro

47


SALDO DEVEDOR: CALCULANDO PASSO A PASSO ATRAVÉS DA

CALCULADORA HP-12C

17 Clx 0,00 Limpa o visor

18 RCL PV 85.168,44 Exibi o saldo devedor

PLANILHA FINAL PELO SISTEMA PRICE: CALCULANDO PASSO A PASSO

ATRAVÉS DA CALCULADORA HP-12C

PERÍODOS PRESTAÇÕES JUROS AMORT. SALDO DEV.

0 - - - 100.000,00

1 29.831,56 15.000,00 14.831,56 85.168,44

2 29.831,56 12.775,27 17.056,29 68.112,16

3 29.831,56 10.216,82 19.614,73 48.497,42

4 29.831,56 7.274,61 22.556,94 25.940,48

5 29.831,56 3.891,07 25.940,48 - 1,24

TOTAL 149.157,80 49.157,77 100.000,00 -

No final de toda a explicação, o Sr. Resposta compreendeu o sistema PRICE, e o

Sr. Cálculo como é um gerente muito competente, também quis explicar para o

Sr. Resposta como funciona o sistema de amortização constante (SAC)

relatando algumas características:

- Amortizações periódicas, sucessivas;

- Juros decrescentes;

- Valor das prestações composto por uma parcela de juros e outra parcela do

capital (amortização).

O Sr. Cálculo alertou que a taxa de juros é de 15% a.a.

O Sr. Resposta perguntou:

- Como calcular as prestações?

Imediatamente respondeu o gerente:

48

- Primeiro: Amortização - dividir o valor do financiamento pelo número de

prestações (prazo do contrato).

- Segundo: Juros - multiplicar a taxa de juros pelo saldo devedor existente no

período anterior.

- Terceiro: Prestação – somam-se a amortização mais juros.

Acrescentou ainda, que o saldo devedor será sempre igual ao saldo devedor do

período anterior menos a amortização.

Concluindo o gerente falou:

- Vamos construir uma planilha do financiamento para ficar mais claro:

CÁLCULO DO VALOR DA AMORTIZAÇÃO: (ATRAVÉS DA CALCUL ADORA HP-

12C), PASSO A PASSO:

PASSO TECLA VISOR PASSO TECLA VISOR

1 ON 0,00 5 ENTER 100.000,00

2 f REG 0,00 6 5 5,

3 f 2 0,00 7 : 20.000,00

4 100000 100.000,

RESULTADO AMORTIZAÇÃO: R$ 20.000,00

PLANILHA

PERÍODOS SALDO

DEVEDOR

AMORTIZAÇÕES JUROS PRESTAÇÕES

0 - - -

1 20.000

2 20.000

3 20.000

4 20.000

5 20.000

TOTAL

CÁCULO DO SALDO DEVEDOR: (ATRAVÉS DA CALCULADORA HP -12C),

PASSO A PASSO:

49


1 ON 0,00 6 1 1

2 f CLEAR

REG

0,00 7 ENTER 1,00

3 f 2 0,00 8 20000 20.000,

4 100000 100.000, 9 X 20.000,00

5 ENTER 100.000,00 10 - 80.000,00

RESULTADO SALDO DEVEDOR: R$ 80.000,00

CÁLCULO DOS JUROS: (ATRAVÉS DA CALCULADORA HP-12C), PASSO A

PASSO:


1 ON 0,00 8 1 1,

2 f REG 0,00 9 - 1,00

3 f 2 0,00 10 20000 20.000,00

4 100000 100.000, 11 X 20.000,00

5 ENTER 100.000,00 12 - 80.000,00

6 2 2,00 13 .15 0,15

7 ENTER 2,00 14 X 15.000,00

RESULTADO DOS JUROS: R$ 15.000,00

PLANILHA

PERÍODO SALDO

DEVEDOR

AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÕES

0 100.000,00 - - -

1 100.000,00 20.000,00 15.000,00

2 80.000.00 20.000,00 12.000,00

3 60.000,00 20.000,00 9.000,00

4 40.000,00 20.000,00 6.000,00

5 20.000,00 20.000,00 3.000,00

TOTAL

50

CALCULO DO VALOR DA PRESTAÇÃO: (ATRAVÉS DA CALCULAD ORA HP-

12C), PASSO A PASSO:


1 ON 0,00 10 1 1,

2 F CLEAR

REG

0,00 11 - 0,00

3 F 2 0,00 12 20000 20.000,

4 20000 20.000, X 0,00

5 ENTER 20.000,00 14 - 100.000,00

6 100000 100.000, 15 0,15 0,15

7 ENTER 100.000,00 16 X 15.000,00

8 1 1, 17 + 35.000,00

9 ENTER 1,00

RESULTADO DO VALOR DA PRESTAÇÃO R$ 35.000,00

PLANILHA

PERÍODO SALDO

DEVEDOR

AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÕES

0 100.000,00 - - -

1 100.000,00 20.000,00 15.000,00 35.000,00

2 80.000,00 20.000,00 12.000,00 32.000,00

3 60.000,00 20.000,00 9.000,00 29.000,00

4 40.000,00 20.000,00 6.000,00 26.000,00

5 20.000,00 20.000,00 3.000,00 23.000,00

TOTAL - 100.000,00 45.000,00 145.000,00

Depois de demonstrar todos os cálculos possíveis para o Sr. Resposta, tanto

pelo sistema PRICE como pelo SAC, perguntou:

- E agora Sr. Resposta qual tipo de empréstimo o senhor gostaria de fazer?

O Sr. Resposta disse:

- Sem duvidas pelo sistema SAC. Pelo fato de que o valor dos juros é bem menor.

51

E ainda complementou:

- Enfim, poderei realizar meu sonho e da minha família.

8.3 SITUAÇÃO-PROBLEMA ENVOLVENDO O SOFTWARE – MICROSOFT EXCEL

O Sr. Resposta foi a uma outra instituição financeira que lhe mostrou como

fazer os mesmos cálculos, de uma outra maneira, através de uma planilha do

Microsoft Excel.

Com o uso deste software, ele pode ver que existem várias maneiras de se

fazer os mesmos cálculos.

Os mesmos dados foram usados, um financiamento de R$100.000,00, pago

em 5 anos, a uma taxa de 15% a.a.

Pelo Sistema PRICE tem a seguinte fórmula:

]1)1[(

].)1.[(

−++=n

n

i

iiPVprestação

Usando a planilha do Excel, usam-se as seguintes fórmulas:

Prestação: ***=B1*(1+B2)^B3*B2)/((1+B2)^B3-1), a qual será calculada na

célula B4. Todos os outros valores serão substituídos no momento que digitar a

fórmula e clicar, esta é a tabela no EXCEL:

A B C D E F G

1 Financ 100000 AMORT JUROS PRESTAÇÃO S.DEVEDOR

2 Taxa 0,15 1 =F2-E2 =B1*B2 =$B$4 =B1-D2

3 Tempo 5 2 =F3-E3 =G2*B2 =$B$4 =G2-D3

4 Prestação =*** 3 =F4-E4 =G3*B2 =$B$4 =G3-D4

5 4 =F5-E5 =G4*B2 =$B$4 =G4-D5

6 5 =F6-E6 =G5*B2 =$B$4 =G5-D6

7

52

Esta é a tabela com os referidos valores:

Financiam 100000 Amort Juros Prestação Saldo Dev

Taxa 0,15 1 14831,56 15000 29831,56 85168,44475

Tempo 5 2 17056,29 12775,27 29831,56 68112,15622

Prestação 29831,56 3 19614,73 10216,82 29831,56 48497,42441

4 22556,94 7274,614 29831,56 25940,48282

5 25940,48 3891,072 29831,56 -2,91038E-11

Pelo Sistema SAC da tabela no Microsoft Excel, tem a seguinte forma e a

fórmula da Amortização é C/5, que foi substituída por $B$2.

H I J K L

1 AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO SALDO DEVEDOR

2 1 =100000/5 =B1*$B$2 =J2+I2 =B1-I2

3 2 =100000/5 =L2*$B$2 =J3+I3 =L2-I3

4 3 =100000/5 =L3*$B$2 =J4+I4 =L3-I4

5 4 =100000/5 =L4*$B$2 =J5+I5 =L4-I5

6 5 =100000/5 =L5*$B$2 =J6+I6 =L5-I6

7

Depois de todos os cálculos, a tabela pelo sistema SAC, fica da seguinte maneira:

Amort Juros Prestação

Saldo

Dev

1 20000 15000 35000 80000

2 20000 12000 32000 60000

3 20000 9000 29000 40000

4 20000 6000 26000 20000

5 20000 3000 23000 0

53

Com todas estas opções ficou detalhado como se processa todos os cálculos,

de várias maneiras, pela calculadora HP-12C, pelo Microsoft Excel, tudo feito com o

uso da calculadora simples, científica e o uso de fórmulas.

O Sr. Resposta têm como optar pelo Sistema de financiamento que mais lhe

satisfazer.

9. ESTRATÉGIAS DE AÇÃO

A implementação do material didático pretende utilizar como produção

didático-pedagógica o da unidade didática, ou seja, na utilização de material

composto por abordagem de uma única unidade de um mesmo tema, contendo texto

de fundamentação com as respectivas atividades a serem desenvolvidas.

O projeto será implementado no Colégio Estadual Nilo Cairo, Apucarana/PR,

em uma turma de terceiro ano do Ensino Médio.

Num primeiro momento, serão trabalhadas situações-problema, e

posteriormente, conceitos sobre juros, capitalização, rendas e amortização, ou seja,

conceitos que envolvem e estão presentes no dia-a-dia do aluno.

A atividade que foi desenvolvida no capítulo anterior, com o auxílio da

calculadora HP-12C, também será realizada na prática com os alunos, utilizando a

calculadora científica e planilhas do Microsoft Excel.

Pretende-se ainda, através de panfletos de propagandas de lojas, calcular os

juros de mercadorias a serem vendidas, comparando o preço à vista e a prazo,

demonstrando os cálculos simples e também os cálculos obtidos por meio da

calculadora científica.

Num segundo plano, pesquisar no comércio local e verificar como os

comerciantes de lojas de vestuários, sapatos, entre outros, fazem seus cálculos de

juros, tanto os juros simples como o composto. E diante das diversas situações que

os próprios alunos trarão por meio dessa pesquisa no comércio, resolver esses

problemas e os enumerados pelo professor, utilizando as calculadoras científica e

HP-12C, podendo inclusive transformar tudo em uma planilha no Microsoft Excel.

Esta atividade também se estenderá para um terceiro plano, fixando e aprimorando

melhor o conteúdo e a prática do mesmo.

54

No quarto período as pesquisas serão feitas em instituições financeiras,

fazendo-se uma comparação entre os sistemas de amortização postecipada, PRICE

e SAC. Depois de estudadas e analisadas será construídas outras situações-

problemas e resolvidas com o auxílio do programa da calculadora HP-12C e através

das planilhas do Microsoft Excel.

E num último momento, será feita uma avaliação em grupo e outra individual,

de todos os conteúdos desenvolvidos através do projeto.

Lembrando-se que em todos os períodos das atividades serão trabalhados

os conceitos e definições referentes a todo conteúdo desenvolvido, para que

relacionem a teoria com a situação-problema, ou seja, com a prática. E que a

calculadora HP-12C será trabalhada num programa específico no computador, não

sendo necessário os alunos adquirirem a mesma.

10. CRONOGRAMA DE ATIVIDADES

Prevê-se a realização deste plano de implementação ocupando 2 horas

semanais disponibilizadas pelo Programa de Desenvolvimento Educacional nos

meses de junho a novembro:

Mês

Atividades

agos set out nov

1.Situação Problema

e pré-requisitos

* * * *

2. Uso de panfletos

de propaganda no

comércio local

*

3. Pesquisa no

Comércio

* * *

*

4.Uso do programa

da calculadora HP-

12Cpelo computador

* *

5. Construção de

planilha

* *

55

6. Uso da

calculadora científica * * * *

E será feita também uma avaliação para averiguar que conclusão os alunos

chegaram com o desenvolvimento do tema em sala de aula, ou seja, se houve

aprendizagem do conteúdo proposto e também habilidade no manuseio da

calculadora científica HP-12C pelo programa específico no computador.

56

11. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ALMEIDA, César Guilherme de; LEITE, Leone Alves. Modelagem de Problemas de

Matemática Financeira e suas Resoluções utilizando Técnicas Matemáticas e

Computacionais. UFU – Universidade Federal de Uberlândia – MG. Uberlândia:

Setembro/2005.

BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma

nova estratégia. São Paulo: Contexto, 2002.

BIEMBERBENGUT, Maria Salett; HEIN, Nelson. Modelagem Matemática no

Ensino. 4. ed. São Paulo: Contexto, 2005.

BRASIL, Ministério da Educação, Secretaria de Educação Média e Tecnológica.

Parâmetros curriculares nacionais: ensino médio. Brasília: Ministério da

Educação, 1999.

BRASIL, Secretaria de Educação Básica. Ciências da natureza,matemática e suas

tecnologias. Brasília: Ministério da Educação, 2006 (Orientações curriculares para o

ensino médio,v. II).

BRITO, Márcia Regina F. de. Psicologia da Educação Matemática: teoria e

pesquisa. Florianópolis: Insular, 2005.

D’ AMBROSIO, Ubiratan. Como ensinar Matemática hoje . In: Temas &

Debates. Sociedade Brasileira de Educação Matemática, nº 2. Brasília: SBEM,

1989.

____________________. Etnomatemática: elo entre as tradições e a

modernidade. 2. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2005.

FERREIRA, Roberto G. Matemática Financeira Aplicada: mercado de capitais ,

administração financeira, finanças pessoais. 6. Ed. São Paulo: Atlas, 2008.

57

GIMENES, Cristiano Marchi. Matemática Financeira com hp 12C Excel uma

abordagem descomplicada. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.

HORTA, André Rodrigues; SANTOS, Monica Bertoni. A compreensão da

Matemática Financeira a partir do Estudo de Funções . Disponível em:

http://revistaseletronicas.pucrs.br/ojs/index.php/graduacao/article/view/2780/2122.

Acesso em: 19 mai. 2009.

KRULIK, Stephen; REYS, Robert E. Tradução de CORBO, Olga; DOMINGUES,

Hygino H. A resolução de Problemas na matemática escolar. São Paulo: Atual,

1997.

SOUZA, Eduardo de. Shopping Center Financeiro. Cascavel: E. Souza, 2000.

VIEIRA, S., DUTRA, J. Matemática Financeira. São Paulo: Atlas, 2000.

da escola pÚblica paranaense 2009 - … · a matemática financeira e sua aplicação no cotidiano...

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