da escola pÚblica paranaense 2008 - … · a descoberta das geometrias não-euclidianas colocou...
TRANSCRIPT
O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE
2008
Produção Didático-Pedagógica
Versão Online ISBN 978-85-8015-040-7Cadernos PDE
VOLU
ME I
I
1
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO
DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA
MARLENE RODRIGUES RISSI
TOPOLOGIA: UMA PROPOSTA METODOLÓGICA
PARA O ENSINO FUNDAMENTAL
MARINGÁ – PR.
2008
2
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO
DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
UNIDADE DIDÁTICA
MARLENE RODRIGUES RISSI
Desenvolvida por meio do Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE, na área de Matemática, com o tema de intervenção – Topologia: uma proposta metodológica para o ensino fundamental. Orientador: Prof. Dr. Valdeni Soliani Franco
MARINGÁ– PR.
2008
3
TOPOLOGIA: UMA PROPOSTA METODOLÓGICA PARA O
ENSINO FUNDAMENTAL
Marlene Rodrigues Rissi1
Valdeni Soliani Franco2
INTRODUÇÃO
O conteúdo de geometria no ensino fundamental fundamenta-se
principalmente nos conhecimentos geométricos que se restringem aos saberes
advindos da geometria estabelecida na Grécia. A obra Elementos de Euclides
foi um importante marco na história da geometria e tornou-se referência. Nos
Elementos, formado por 13 livros, Euclides, por meio de um sistema de
conceitos e definições, postulados e axiomas, construiu o que hoje é conhecida
como geometria Euclidiana.
Euclides buscou o ideal de uma organização axiomática para a
geometria, ou seja, um sistema formado por noções primitivas, definições,
axiomas e teoremas. Os axiomas são o começo dessa cadeia dedutiva e são
as afirmações não demonstradas que Euclides chamou de postulado (aquilo
que não se pode). Euclides procurou escolher como postulados e afirmações
que, por sua simplicidade, seriam aceitas por qualquer pessoa de bom senso e
que eram, em um certo sentido, evidentes por si mesmas. (FRANCO &
GERÔNIMO,2004.p.1).
Para melhor entender o que segue, lembramos os 5 postulados de
Euclides.
1. Dois pontos determinam uma reta.
2. A partir de qualquer ponto de uma reta dada é possível marcar um
segmento de comprimento arbitrário.
3. É possível obter uma circunferência com qualquer centro e
qualquer raio.
1 Professora da Rede Pública de Ensino do Estado do Paraná e-mail:[email protected] 2 Professor Drº do Departamento de Matemática da Universidade Estadual de Maringá e-mail: [email protected]
4
4. Todos os ângulos retos são iguais
5. Se uma reta r corta duas outras retas s e t (no mesmo plano) de
modo que a soma dos ângulos interiores (α e β) de um mesmo lado
de r é menor que dois retos, então s e t, quando prolongadas
suficientemente, se cortam daquele lado de r.
O próprio Euclides deve ter considerado o quinto postulado pouco
evidente, tanto que retardou o quanto possível o uso deste postulado. A maior
parte das tentativas de demonstração do quinto postulado admitia fatos que, ou
equivalentes a ele, ou não podiam ser demonstrados usando unicamente os
outros quatro postulados.
Na tentativa de demonstrar o quinto postulado de Euclides, os
matemáticos sempre se esbarravam em outras afirmações, que também eram
logicamente equivalentes ao quinto postulado.
Mas a revolução definitiva no modo de encarar a própria natureza do
conhecimento geométrico ocorreu no início de século XIX quando
pesquisadores como Nikolai Lobachevski, János Bolyai e Carl Gauss
resolveram investigar o que ocorreria se eles desprezassem o quinto postulado
de Euclides, já que pesquisadores anteriores a eles, tentaram não negá-lo, mas
demonstrá-lo, utilizando os quatro primeiros postulados.
Eles descobriram que tinham uma nova geometria com várias
características interessantes e únicas, hoje denominadas Geometrias Não-
Euclidianas.
As teorias desenvolvidas no decorrer dos séculos encontram
aplicações em diversas áreas do conhecimento e proporcionam meios bem
mais completos para se compreender o mundo que nos cerca. Muitos
problemas do cotidiano do homem e do mundo científico que não eram
resolvidos pela geometria Euclidiana, hoje são solucionados pelas geometrias
não-Euclidianas.
A descoberta das Geometrias não-Euclidianas colocou por terra a
crença na geometria como uma descrição exata do espaço físico e após estas
descobertas abriu-se caminho para criação de muitas outras geometrias. O
século XX foi marcado por avanços no campo da Topologia. Os estudos de
Topologia abriram caminhos para a moderna teoria dos Grafos. Esses podem
5
ser aplicados para planejar desde as redes de serviços urbanos, como água e
eletricidade, até as de computadores.
Historicamente a resolução do problema das sete pontes de
Konigsberg por Leonard Euler em 1736 é considerada como sendo um dos
primeiros resultados topológicos estudados. A topologia embora seja
amplamente explorada no ensino superior, pode também ser explorada na
Educação Básica.
Topologia (do grego (topos, lugar, e logos, estudo) é o ramo da
matemática que estuda os espaços topológicos, sendo considerado uma
extensão da geometria. Essa geometria estuda as transformações contínuas.
Tomemos como exemplo um desenho de um triângulo, podemos medir sua
área, seu comprimento, ângulo, mas se o desenho fosse feito em uma
borracha, há a possibilidade de deformá-lo continuamente, o que não varia são
pontos interiores e exteriores. Este processo é o invariante de uma geometria
que mede a elasticidade, que trabalha com transformações contínuas. É o
estudo da geometria em que comprimento, ângulos e formas podem ser
alterados por transformações contínuas e reversíveis. Nesta Geometria um
quadrado pode ser transformado em um círculo, um círculo em um triângulo e
assim por diante sem perder suas características Topológicas. Em Topologia
todas as formas Geométricas são uma só, porque ela estuda somente as
propriedades que não se alteram com as transformações, ou seja, as que estão
presentes na continuidade. Por isso ela é também chamada de Geometria da
borracha, pois trata das propriedades de posição que não são afetadas por
mudanças de tamanho e forma, quando movidos. Assim, a topologia é o estudo
das propriedades geométricas que permanecem inalteradas mesmo que se
estique, que se encolha, que se torça, que se corte, torça e cole novamente no
mesmo sentido do corte.
A Topologia geométrica é a geometria cuja relação de equivalência
entre os objetos é dada por homeomorfismos, isto é, pelas transformações
contínuas que podem ser continuamente desfeitas. Devido a isso os objetos na
topologia podem ser representados por objetos feitos de um material
perfeitamente deformável. Qualquer polígono é homeomorfo a um círculo.
Portanto na Topologia só existem dois objetos unidimensionais (sem bordo), a
linha fechada representada pelo circulo e a linha aberta.
6
Os objetos bidimensionais, isto é as superfícies, que segundo Sampaio
(2008. p.29),são objetos geométricos que não existem no mundo real, mas
apenas em nossa imaginação platônica, também são classificados sob a ótica
topológica. Podemos construir um modelo de uma superfície fazendo uso de
uma película de material elástico. Bolas de plástico são modelos físicos de
superfícies esféricas enquanto que modelos de câmara de ar são modelos de
uma superfície denominada toro bidimensional. Se esticarmos ou encolhermos,
parte ou o todo de uma superfície, certas propriedades dela se mantém
inalteradas. Tais propriedades são denominadas de topologia da superfície.
Sampaio enumera quatro deformações que não afetam a topologia de
uma superfície;
1-Esticar ou inflar o objeto, ou algumas de suas partes;
2-encolher o objeto, ou algumas de suas partes; retorcer o objeto, ou
algumas de suas partes;
3-Entortar a superfície ou partes dela.
4-Cortar o objeto segundo uma linha suave nele demarcado e,
posteriormente, colar uma na outra as duas bordas que foram geradas por
esse corte, resgatando a superfície com a linha nela originalmente demarcada
(considerando a mesma orientação).
Assim Topologia de uma superfície é definida como o conjunto de
aspectos geométricos dessa superfície que não se alteram quando a ela
aplicamos qualquer uma das quatro deformações.
A topologia em atividades práticas parece estar dissociada da realidade
do aluno de Ensino Fundamental e não aparece em livros didáticos, excluindo-
se assim um saber matemático necessário ao desenvolvimento do estudante.
Em virtude da importância desta área para o ensino de matemática que está
incluída nos Diretrizes Curriculares para o Ensino de matemática do Estado do
Paraná, destacamos nesta produção a possibilidade de inclusão de uma
geometria mais intuitiva envolvendo Topologia em turmas de Educação Básica.
Pretende-se por meio desta Unidade Didática sob a orientação do
Professor Valdeni Soliani Franco, apresentar uma seqüência de atividades,
para auxiliar o aluno a construir algumas noções topológicas, bem como
mostrar alguns conceitos utilizados na Topologia que são a base para qualquer
aprendizado que envolva tal conteúdo. A apresentação destes conceitos
7
envolve atividades práticas, buscando oferecer aos alunos: aspectos históricos,
introdução ao conhecimento de Topologia, atividades lúdicas, resolução de
problemas transformações topológicas, exemplos de estruturas topológicas, e
diversas noções inerentes à Topologia.
Nas atividades busca-se viabilizar o desenvolvimento lógico das
crianças em determinados tipos de problemas, valorizando as atividades de
resolução de problemas por meio de questões investigativas e históricas
visando proporcionar ao aluno fazer conjecturas, testar as hipóteses iniciais,
comunicar descobertas e fazer justificativas. A intervenção será realizada com
turmas do Ensino Fundamental no Colégio Estadual Cruzeiro do Oeste.
O estudo de Topologia no Ensino Fundamental é um dos objetivos
desta proposta de trabalho pretendendo-se desta forma, enriquecer com
atividades das mais simples até as algumas relativamente mais sofisticadas,
que serão abordadas através de problemas de maneira que a inserção deste
conhecimento no Ensino Fundamental seja possível de ser empregada.
8
O QUE É TOPOLOGIA?
Você já ouviu falar de uma folha de um lado só? Quando é que um
quadrado é a mesma coisa que uma circunferência? É possível transformar um
pé direito do sapato em um pé esquerdo dando uma volta no espaço? Vamos
conhecer este fantástico mundo da Topologia tão cheio de truques, quebra-
cabeças e problemas muito interessantes. Será divertido aprender mais sobre
ela.
ATIVIDADE 1
a) O desenho da figura 1 foi feito em bexiga e apresenta um quadrado de
2cm de cada lado com um ponto no seu interior. Ao encher a bexiga
conforme figura 2 e 3 observe o que acontece com o quadrado.
Figura 1 Figura 2 Figura 3
Fonte: autores
Permanece com as mesmas medidas?
Permanece com os mesmos ângulos?
Permanece com o ponto no interior dele?
Orientações didáticas
Professor, esta observação pode ser feita solicitando que os alunos realizem
esta atividade prática, desenhando o quadrado e enchendo as bexigas.
9
Conclua com os alunos que das três observações, as duas primeiras se
caracterizam pelas suas propriedades métricas e é estudada pela geometria
Euclidiana, enquanto que a última não é uma propriedade métrica, ela não
pode ser medida. Apesar das deformações o ponto se manteve no interior da
figura, propriedade topológica que permanece com as deformações.
ATIVIDADE 2
Observe as duas figuras. Pode ser feitas no Geoplano ou com o metro de
carpinteiro. Uma é um quadrado e a outra é um triângulo retângulo. Tente
esticar ou Deformar o quadrado. É possível transformá-lo no triângulo?
Justifique.
Figura 4
Orientações didáticas
Professor, esta observação pode ser feita solicitando que os alunos realizem
esta atividade prática. Informar aos alunos que apesar das figuras serem
diferentes pelo número de lados, comprimento e ângulos, elas podem ser
transformadas em figuras iguais. Em topologia dizemos que elas são
equivalentes ou homeomorfas
10
ATIVIDADE 3 3
Tente responder as perguntas.
Qual é o comprimento desta sala de aula?
Qual a medida do ângulo feito por duas paredes?
Qual área desta sala?
Qual à distância da sua escola até a sua casa?
Você é vizinho de Paulo?
Maria derramou o café fora da xícara?
O móvel já está dentro da sala?
Qual a divisa (fronteira) entre o Paraná e São Paulo?
José é um cara aberto?
Já temos direção para caminhar ?
a) Compare as quatro primeiras perguntas com as demais. Quais são suas
conclusões?
b) Vocês conhecem alguma “parte da Matemática” que permite responder as
quatro primeiras questões? E as demais questões?
Orientações didáticas
Professor, concluir junto com os alunos que entre os dois grupos de perguntas ,
há uma diferença notável: o primeiro grupo está relacionado à quantidade do
objeto, do fenômeno etc. enquanto o segundo grupo se relaciona com a
qualidade. O primeiro grupo refere aos conceitos de Geometria Euclidiana
enquanto que o segundo grupo refere-se aos conceitos de Geometria
Topológica. Portanto, noções de vizinhança, fora, dentro, interior-exterior,
aberto-fechado, longe-perto, separado-unido, contínuo-descontínuo, são
noções topológicas.
3 Atividade adaptada de Carloman Carlos Borges
11
ATIVIDADE 4 4
Considere as duas figuras:
Figura 5
O que você observa em comum entre elas. Justifique.
Orientações Didáticas: Apesar de toda a deformação apresentada pela segunda figura em relação a primeira, algumas propriedades permanecem invariantes pela distorção.
• Ambas dividem o plano em duas partes -o interior e o exterior. • O contorno da figura é denominado fronteira • Ambas são constituídas de uma única parte, ou seja, é possível
percorrer o interior de ambas sem precisar passar pelo exterior • Pontos que são vizinhos no quadrado, permanece vizinhos após a
deformação
PROBLEMAS ENVOLVENDO CONCEITOS DE TOPOLOGIA
A idéia de interior e exterior ajuda resolver interessantes problemas. A
primeira situação é apresentada através da velha história do Califa Persa que
4 Atividade adaptada de Carloman Carlos Borges
12
usou um problema de Topologia para selecionar um marido para sua filha. Na
segunda situação usa-se a Idéia de interior e exterior por meio da curva de
Jordan, matemático que muito contribuiu no avanço da Topologia.
ATIVIDADE 5
CALIFA PERSA E OS NAMORADOS DE SUA FILHA
A filha do Rei Califa possuía tantos
admiradores que ele decidiu escolher
aquele que fosse o melhor
solucionador de problemas. O primeiro
problema proposto aos namorados é
ilustrado na figura abaixo. Consistia
em ligar números iguais por curvas
que não se cruzassem, nem
cruzassem quaisquer outras curvas na
figura. Aquele que resolvesse
satisfatoriamente esse problema
poderia, então, falar com a filha do
Califa.
Se você fosse um dos pretendentes,
conseguiria a permissão para
namorar a filha do Califa? Mostre
como faria para resolver este
problema.
Porém para casar com a filha do Rei
teria que resolver um segundo
problema, que consistia, novamente,
em ligar números iguais com curvas
que não se cruzassem, entre si, nem
cruzassem quaisquer outras curvas.
Observe a figura ao lado, o desenho
agora se modificou. Você pode resolver este problema? Será que a filha do Rei
casou-se?
Figura 6
Fonte: autores
Figura 7
Fonte:autores
13
Orientações Didáticas
Uma solução para o primeiro problema tem este aspecto
Figura 8
Fonte:autores
Para o segundo problema pode ser apresentado por meio de uma curva simples fechada com o interior sombreado como mostra a figura. Como o número 3 está no interior da curva e o outro número 3 está no exterior da curva, e de acordo com o que acabamos de estudar, não podemos ir do interior para o exterior de uma curva fechada simples sem cruzar uma fronteira podemos concluir utilizando a topologia que é impossível traçar as curvas sem que haja cruzamento.
Figura 9
Fonte:autores
14
ATIVIDADE 6
PROBLEMA DA ESCOLA SUÍÇA
Quatro meninos suíços vivem nas casas A,B,C e D. Eles vão à mesma escola
e devem entrar nas portas A,B,C e D. O menino A e vai para a porta A; o
menino B vai da casa B, e assim por diante. Como podem ir até a escola sem
que seus caminhos se cruzem?
Orientações didáticas
Esta situação apresenta as mesmas idéias da anterior, porém é possível sua
solução. As trajetórias tem que passar por fora das casas.
ATIVIDADE 7
TEOREMA DE JORDAN
Observando o labirinto abaixo você é capaz de dizer se os pontos P e Q estão
do lado de dentro ou de fora da curva? Sugestão: Trace uma linha reta a partir
Figura 10
15
de cada um deles até uma área situada fora da curva. Verifique o número de
vezes que a reta cruza a curva. Você consegue estabelecer alguma
relação?Justifique.
Figura 11
Fonte:autores
Orientações Didáticas
Uma grande contribuição para o avanço da Topologia foi o Teorema enunciado
pelo Matemático Francês Jordan no século XIX. Segundo o Teorema de Jordan
quando eu tenho uma paridade me mantenho aonde estou. È preciso ter tudo
par para manter o invariante topológico. Segundo o Teorema de Jordan é fácil
perceber se um ponto está dentro ou fora de uma curva. Se traçarmos uma
linha reta unindo o ponto Q até a parte exterior da curva, ele corta esta curva 4
vezes ou seja número par. Como chegamos no exterior cortando a curva um
número par de vezes isto significa que o ponto Q está no exterior da curva, já o
ponto P corta a curva 9 vezes , número ímpar. Isto significa que se chegamos
no exterior então saímos do interior , ou seja o ponto P está no interior da
curva.
16
PROBLEMAS INTERESSANTES ENVOLVENDO A ORIGEM DA
TOPOLOGIA.
DIVERTINDO-SE COM A FAIXA DE MOEBIUS
Augusto Moebius foi um matemático que contribuiu muito para o
desenvolvimento da Topologia. Seus trabalhos foram impulsionados a partir da
descoberta que existe superfícies de um lado só. Em virtude de tal descoberta
surge a faixa de Moebius. Ela tem sido um brinquedo para muitos matemáticos
desde a sua descoberta e inspirou muitas obras de arte. Uma mosca pode
andar de qualquer ponto desta faixa para outro sem cruzar nenhuma aresta.
Ela não tem frente e costas, ou parte superior e inferior.
ATIVIDADE 8
FAIXA DE MOEBIUS
Tome uma fita de papel retangular (30 cmx5cm) como mostra a figura e
marque os pontos conforme figura.
Com uma meia volta(180º), junte A com B’ e B com A’.Cole as extremidades e
você obterá a faixa de Moebius.
A A’ B B’
17
Figura 12
Fonte: imagem capturada do vídeo da TV Escola-Matemática nº 20- Forma que se transforma
Realize as atividades e preencha a tabela para ver o que acontece quando
você muda o número de torções e a maneira de cortar a faixa de Moebius.
Número
de torções
Número
de lados
Espécie
de corte
Resultados do Corte
0 Centro
da faixa
1 Centro
da faixa
1 Um terço
da borda
Orientações didáticas
Marcando um ponto inicial em qualquer parte da faixa e percorrendo com o
lápis descobre-se que a faixa possui apenas um lado. A Faixa de Mobius
contém muitos paradoxos. Cortando longitudinalmente ao meio ela se
transforma numa faixa duas vezes mais longa que a original.. No entanto se
cortamos em 1/3 da largura, você obterá duas faixas interligadas Embora ela
apareça apenas recreativa, esta propriedade de possuir apenas um lado tem
18
aplicação prática pelos engenheiros. Um exemplo é para aumentar a duração
das correias de transmissão onde o desgaste se dá de forma equilibrada.
Número
de torções
Número
de lados
Espécie
de corte
Resultados do Corte
0 2 Centro
da faixa
Duas voltas separadas
1 1 Centro
da faixa
Uma volta e duas torções
1 1 Um terço
da borda
Duas voltas interligadas
O PROBLEMA DA PONTES
Bem vindos a Köenigsberg, cidade encantadora da Prússia, instalada as
margens do Rio Pregel a sombra de sua Catedral. Estamos no século 18, ano
de 1736. Tudo parece muito tranqüilo nesta cidade. No entanto há uma
questão que preocupa todos os habitantes. Como é possível percorrer a cidade
atravessando as 7 pontes mas passando por elas apenas uma vez. O senhor
Euler (Le-se ÓiIler) matemático renomado conseguiu responder esta pergunta
e graças a isso ele criou o ponto de partida de uma nova disciplina matemática,
a Topologia. Vamos conhecer esta fantástica história e sua aplicação em
problemas interessantes resolvendo as próximas atividades.
ATIVIDADE 9
PROBLEMA DAS PONTES DE KONIGSBERG
a)No rio Pregel, na cidade Konigsberg (hoje Kaliningrad, cidade da Rússia)
existem duas ilhas formando quatro regiões distinguíveis de Terra. Há um total
de sete pontes interligando as ilhas e as margens do rio, conforme figura. Os
moradores se perguntavam se era possível fazer um passeio pela cidade
passando exatamente uma vez em cada uma das sete pontes.
19
Figura 13
Fonte: http://matemateca.incubadora.fapesp.br/portal/matemateca/exposicao /koenigsberg
Observe a figura abaixo que permite uma melhor visualização da situação
proposta e tente traçar um caminho que consiste em partir de uma das
regiões e realizar o trajeto atravessando cada ponte somente uma vez e
terminar na região de partida.Justifique sua resposta.
Figura 14
Fonte: imagem capturada do vídeo da TV Escola-Matemática nº 20-Forma que se transforma
20
Para resolver este problema o
matemático suíço, Leonhard Euler
em 1736, desenhou um diagrama
transformando a margem num ponto
e cada ilha num ponto, conforme
figura ao lado. Agora o passeio pela
cidade estava reduzido ao ato de
percorrer o diagrama em um único
movimento do lápis sobre o papel.
A)Tente realizar este movimento. É
possível?
Justifique.
b) E se removêssemos uma ponte da cidade de Koenigsberg? Seria possível
então um passeio cruzando cada ponte exatamente uma vez? Veja o desafio
na cidade fictícia de Queensberg.
Figura 16
Figura 15
Fonte: imagem capturada do vídeo da TV Escola nº 20-Forma que se transforma.
21
Fonte:http://matemateca.incubadora.fapesp.br/portal/matemateca/exposicao/koenigsberg/
c)Tente traçar o caminho percorrendo
todas as pontes em um único movimento.
È possível? Justifique? Tente ainda traçar
todo o caminho em um único movimento
terminando o trajeto no ponto de partida.
É possível? Justifique.
Figura 17
Fonte: imagem capturada do vídeo da TV Escola nº 20-Forma que se transforma.
22
d) Euler resolveu acrescentar uma
ponte que liga direto as duas margens
conforme figura. É possível traçar um
caminho que liga todas as pontes
partindo de uma das regiões e realizar
todo o trajeto atravessando cada ponte
somente uma vez e terminar na região
de partida.Justifique sua resposta.
e) Ao resolver os problemas das pontes de Koenigsberg por meio de
diagramas, Euler inventou as redes, hoje chamada Teoria dos Grafos e
descobriu relações de muito valor em Topologia. O diagrama da ponte de
Koenigsberg é chamado de rede. Os pontos onde as curvas se cruzam são
chamados de vértices e as curvas que representam as pontes são chamados
de arcos. Uma rede é traçada, ou percorrida, passando-se através de todos os
arcos somente uma vez. Observe o diagrama do problema a. O números de
arcos do primeiro vértice é 3, de modo que este vértice é chamado vértice
ímpar.Da mesma maneira, o outro vértice é ímpar, pois cinco arcos chegam
até ele. Faça esta análise com os demais diagramas. A que conclusões você
chega?
f)- Observando o resultado dos problemas que vocês acabaram de resolver
responda as perguntas sobre as relações entre vértices e arcos, justificando
sua resposta.
Uma rede pode ser percorrida de uma só vez , quando possui :
a) somente dois vértices ímpares?
b) somente vértices ímpares?
c) mais de dois vértices ímpares?
d) somente dois vértices pares?
e) Mais de dois vértices pares?
Figura 18
Fonte: imagem capturada do vídeo da TV Escola nº 20-Forma que se transforma
23
f) Todos os vértices pares?
Orientações didáticas
RESULTADO DOS PROBLEMAS DE EULER
• O número de vértices ímpares em uma rede deve ser sempre par, para que ela possa ser percorrida de uma só vez;
• Uma rede que tem somente vértices pares pode ser percorrida de uma só vez. É possível partir de qualquer vértice, percorrer toda a rede e voltar ao mesmo vértice, sem passar por qualquer arco mais de uma vez;
• Uma rede que tem exatamente 2 vértices ímpares, ela pode ser percorrida de uma só vez, mas é impossível voltar ao ponto de partida. Neste caso, seria necessário começar em um dos vértices ímpares, e terminar no outro;
• Se uma rede tem 4, 6, 8 ou qualquer número par maior, de vértices ímpares, é impossível percorrê-la de uma só vez.
O problema das pontes mostra idéias referentes a uma nova geometria. O
traçado usado por Euler não dependia do tamanho e nem da forma. Dessas
idéias, desenvolveu-se então um novo ramo da matemática que é chamado de
Topologia. As redes apresentadas na resolução do problema não dizem
respeito a comprimento, área, ângulos ou formas. Em lugar disso os fatores
importantes são os lugares e a forma pelas quais os lugares são ligados por
arcos. Na geometria Euclidiana, estudamos as propriedades de figuras que
permanecem inalteradas quando são deslocadas. Exemplo: um círculo tem
determinado raio, diâmetro, área que não se altera quando é deslocado de um
lugar para outro. Em Geometria Euclidiana, as figuras permanecem rígidas
quando são movimentadas, não modificando nem seu tamanho e nem sua
forma. Em Topologia, podemos mover figuras e modificar suas formas,
torcendo-as ou esticando-as, esquecendo-nos de comprimentos, distâncias,
ângulos. Estudamos as propriedades das figuras que permanecem inalteradas
sob efeitos destas distorções.
24
ATIVIDADE 10
TESTE COM REDES DE PERCURSO
Euler após resolver o enigma do problema das sete pontes de
Koenigsberg, descobriu leis importantes para as redes de percurso. Usando o
mesmo raciocínio dos problemas acima estude os vértices e trace as redes,
para ver se você descobre as relações entre vértices de redes fechadas.
Sugestão: para cada rede das figuras abaixo, tabele o números de vértice
pares e o número de vértices ímpares e veja então se a rede pode ser
percorrida sem tirar o lápis do papel e retornando ao ponto de partida.
Figura 19
Fonte:http://www.dm.ufscar.br/~sampaio/PasseiosdeEuler.
25
ATIVIDADE 11
PROBLEMAS ENVOLVENDO GRAFOS
a) AGUA, LUZ E TELEFONE
É possível conectar os 3 serviços em cada uma das casas sem haver
cruzamento de tubulação?
Figura 20
FIGURAS VÉRTICES
PARES
VÉRTICES
ÍMPARES
PODE SER
TRAÇADA
1
2
3
4
26
b) O PROBLEMA DA CASA DE 5 CÔMODOS E MUITAS PORTAS
Passeie pelos cômodos e por fora da casa, cuja planta é descrita na figura,
passando por cada porta somente uma vez. Isto é possível? Sugestão: Associe
a cada cômodo e ao quintal externo um vértice.
Figura 21
Orientações Didáticas
No primeiro problema, é possível fazer um grafo de 6 vértices e 9 arestas
representando um mapa da situação. Pelas relações já citadas referente as
descobertas de Euler, percebe-se que é impossível resolver este problema
numa superfície plana. O mesmo ocorre com o segundo problema. Construindo
um grafo de todas as passagens, de um cômodo para outro e de cada cômodo
ao quintal, por meio das portas disponíveis, verifica-se de acordo com as
descobertas de Euler, que é impossível resolver a situação.
27
ATIVIDADE 12 5
FALTANDO PEÇAS NO JOGO DE DOMINÓ
É possível terminar uma partida de dominó, com um jogo faltando peças? Veja
as peças do jogo que temos.:
0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 5
2
3
5
6
1
3
4
5
6
2
3
5
4
5
6
5
Conte quantas vezes aparece cada número. O zero aparece 4 vezes, o um
aparece 6 vezes, o dois aparece 5 vezes, o três aparece 6 vezes, o quatro
aparece 2 vezes, o cinco aparece 6 vezes e, o seis aparece 3 vezes. Observe
que o dois e seis aparecem 3 vezes e os demais sempre aparecem um
número par de vezes. Usando o mesmo raciocínio do problema das pontes é
possível terminar este jogo? Quais as peças que ficarão nas extremidades.
Justifique.
Orientações didáticas:
Solicitar aos alunos que, com um dominó incompleto:
- Joguem em duplas, respeitando as regras tradicionais do dominó.
- Anotem o acontecido, isto é, se foi possível terminar o jogo, colocando todas
as peças.
- Desenhem numa folha a seqüência formada pelas peças e ao lado as peças
que sobraram, caso isso tenha acontecido.
- Anotem os números que aparecem nas extremidades da seqüência formada.
Nos grupos onde não foi possível colocar todas as peças, apresente um
desafio para que realizem algumas alterações na seqüência formada com o
objetivo de colocar todas as peças numa outra seqüência; se conseguirem,
solicite que façam o desenho.
-Perguntar quais os números que aparecem um número par de vezes e quais
aparecem um número ímpar de vezes.
5Atividade adaptada do Projeto Fundão- IM/UFRJ; UBM
28
Na seqüência completa, peça para relacionarem este fato com os números que
aparecem nas extremidades.
No caso das extremidades serem diferentes, pedir que verifiquem se esses são
os únicos números que apareceram um número ímpar de vezes. Solicite que
anotem esse fato.
-Pedir para examinarem as seqüências onde não foram colocadas todas as
peças, e anotar a observação comum a todas.
-Se todos os vértices de um grafo são de grau par, percursos poderão ser
traçados saindo e voltando de qualquer vértice, percorrendo todas as arestas
uma única vez. Se existirem exatamente dois vértices de grau ímpar, tal
percurso somente poderá ser feito iniciando em um dos vértices de grau ímpar
e terminando exatamente no outro vértice de grau ímpar.
ATIVIDADE 13 6
REDES , REGIÕES E UMA FÓRMULA IMPORTANTE
Já conhecemos o matemático Leonard Euler. Dentre suas inúmeras
contribuições, ele nos revelou uma fórmula surpreendente, que vamos
descobrir resolvendo as próximas atividades.
Para entendê-la , observe a figura abaixo. Ela é denominada Grafo.
Os quatro pontos (A,B,C,D) são denominados
vértices. As quatro linhas são chamadas de
arcos. A figura se divide em duas regiões:
interior e exterior.
O que Euler fez foi descobrir uma relação
entre essas três quantidades, vértice, arcos e
regiões. Este grafo apresenta 4 vértices, 4 arcos
e 2 regiões(uma interior e outra exterior).
6 Atividade adaptada de Fausto A. Sampaio
A B
C D
29
Figura 22
Complete a tabela de acordo com as ilustrações para cada uma das redes e
veja se você pode estabelecer uma fórmula que relacione as variáveis V, A e
R.
REDE ou GRAFO NÚMERO DE
VÉRTICES - V
NÚMERO DE
ARCOS- A
NÚMERO DE
REGIÕES- R
A
B
C
D
E
F
30
Orientações Didáticas
Nas figuras A e B a subtração do número de arcos menos vértices é igual a
zero e o número de regiões é 2. Na figura D, temos cinco vértices, pois
contamos o ponto central que une os dois triângulos, e seis arcos, pois cada
triângulo tem três arcos. Incentive os alunos a perceberem que a subtração de
arcos menos vértices é igual a um, e o número de regiões é três, pois temos
duas regiões dentro dos grafos, e uma região do lado de fora. Analisando
agora as figuras E e F, temos arcos menos vértices igual a dois e o número de
regiões igual a quatro (Três regiões internas e uma externa).
Professor, com esta atividade os alunos generalizam a fórmula de Euler, onde
o número de regiões é sempre dois a mais que a subtração ( arcos – vértices ).
Nesta atividade o importante é proporcionar aos alunos esta descoberta.
ATIVIDADE 14
UM OLHAR DE EULER PARA A TERCEIRA DIMENSÃO
POLIEDROS E A FÓRMULA DE EULER. .A relação de Euler para as redes ,
pode ser aplicada a figuras tridimensionais chamadas Poliedros. Preencha a
tabela a seguir, observando a planificação dos poliedros .
NOME NÚMEROS
DE FACES-
F
Número de
arestas
Número de
vértices
V+F=A+2
1-Cubo ou
Hexaedro
2-Tetraedro
3-Prisma de
base triangular
3-dodecaedro
4-Pirâmide de
base quadrada
31
Orientações Didáticas
Nesta atividade é importante estabelecer a equivalência entre os entes do
plano e do espaço , ou seja:
Vértices= vértices
Regiões=faces
Arcos=arestas
Quando formamos o sólido geométrico, a relação pode reescrita em notação
dos entes espaciais: Vértices – Faces + Arestas= 2
Esta atividade tem o intuito de mostrar que não existem apenas relações que
são válidas no espaço e outras no plano, e sim que elas recebem outro nome
quando mudam de dimensão.
ATIVIDADE 15
MAPA DAS 4 CORES
Um dos mais famosos
problemas da matemática não
resolvidos, relacionado com
redes e regiões, é o do mapa
das quatro cores. Suponha
que desejamos fazer um mapa
no qual os países que tenham
uma fronteira comum sejam
coloridos diferentemente. De
quantas cores diferentes
precisamos para fazer essa
espécie de mapa?
Até hoje foi possível colorir
todos os mapas existentes, usando-se apenas quatro cores diferentes. Já se
provou que cinco cores são suficiente para colorir qualquer mapa e até o
Figura 23
Fonte:www.guiageografico.com/mapas/mapabrasil.htm
32
presente momento não há uma demonstração do teorema das quatro cores
feita sem o uso de computadores, que possa ser lida e apreciada pela
comunidade matemática internacional.
Os desenhos abaixo ilustram alguns mapas possíveis. Pinte-os com quatro
cores diferentes de modo que não haja Estados , com fronteira comum, que
tenham a mesma cor.
Figura 24
33
TOPOLOGIA DAS SUPERFÍCIES
Para tornar os conceitos de topologia das superfícies mais claro
apresentaremos uma situação no sentido de que habitantes fictícios de uma
superfície se movem com apenas dois graus de liberdade. Eles podem mover-
se para frente, para trás, para a direita e para a esquerda, mas não podem
mover-se para cima e para baixo, movimentos possíveis num ambiente
tridimensional, pois para isso teria que sair da superfície.
ATIVIDADE 16 7
UM OLHAR TOPOLÓGICO A NOSSO MUNDO TRIDIMENSIONAL
Alguns cientistas de um planeta bidimensional denominados Quadrado,
Triângulo e Círculo resolveram conhecer melhor o mundo que viviam. Para
isso, organizaram uma expedição científica.
Figura 25
Fonte: autores
7 Atidade adaotada de João Carlos Vieira Sampaio
34
Quais são as possíveis formas deste planeta?
Figura 26
Fonte:autores
Em uma nova expedição científica, os mesmos cientistas resolveram fazer
uma nova rota. Ao invés de percorrer no sentido oeste-leste, caminharam no
sentido sul-norte. Deixaram agora uma marca verde.
35
Figura 27
Fonte: autores
Após este retorno, eles observaram que não haviam cruzado a linha vermelha
nenhuma vez, ou seja, o único lugar de cruzamento das linhas vermelha e
verde foi no início do percurso. E agora?
Quais são as possíveis formas deste planeta?
36
Figura 28
Fonte: autores
Figura 29
Fonte:autores
37
Orientações Didáticas
Para obter o toro, os lados são identificados, ou seja, existe uma
correspondência biunívoca entre eles. Na verdade o retângulo desenhado é
topologicamente igual ao toro no espaço tridimensional.
Se tomarmos um retângulo de material suficientemente maleável e elástico,
e também fino o bastante para que possa ser considerado de espessura
zero, e então colarmos sua aresta b superior na aresta inferior e sua aresta
esquerda na aresta direita, obtemos o toro bidimensional.
Figura 30
Fonte:autores
ATIVIDADE 17
Que representa geometricamente cada uma das áreas sombreadas no toro
plano?
38
Figura 31
ATIVIDADE 18
Quais dos seguintes jogos-da-velha no toro plano o jogador do X ganha se for
o próximo a jogar? Como ele deve jogar para ganhar?
Figura 32
39
Orientações Didáticas:
Estas atividades são para estimular os alunos a visualização de um espaço
bidimensional no nosso mundo tridimensional. Sempre lembrando que o
contorno quadrado de cada diagrama representa esquematicamente um toro
plano.
Respostas da atividade 17.
1º diagrama= um círculo
2º diagrama=um triângulo
3º diagrama=dois quadrados pequenos e dois quadrados grandes
Respostas da atividade 18
Figura 33
40
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Apresentamos alguns conceitos básicos e algumas das aplicações da
Topologia que podem ser tratadas em nível de Ensino Fundamental.
Compreendemos que o ensino de Topologia deve estar presente no Ensino
Fundamental através de material manipulativo, questões investigativas,
resolução de problemas bem como valorizando aspectos históricos
proporcionando aos estudantes comparar conhecimentos de Topologia e
Geometria Euclidiana.
Concluímos, afirmando que a Topologia, embora sendo um dos ramos mais
recentes da Matemática, assume uma importância muito grande na ciência e
tecnologia. Portanto, temos, no estudo de topologia, mais uma oportunidade
de articular o ensino de Matemática com temas relevantes para os dias atuais.
41
REFERÊNCIAS
BORGES,C.C. A topologia: considerações teóricas e simplicaç ões para o ensino da matemática - Núcleo de Educação Matemática Omar Catunda – UEFS. Disponível em: < htttp://www2.uefs.br/depfis/caderno/vol3n2/CBorges.pdf> Acesso em 05 jun.2008. BRASIL, Ministério da Educação e Secretaria de Educação a Distância. TV Escola - Matemática nº 20. Brasília: Videolar S/A, 2005. 1 DVD (10 min), son., color. COUTINHO, Lázaro. Convite às geometrias não-euclidianas .Rio de Janeiro. Interciência, 2001. EVES, H. História da Geometria . Tradução de Higino H. Domingues. Tópicos de história da Matemática para o uso em sala de aula. São Paulo: Atual, 1992. FRANCO, Valdeni S. Curso de Geometria não-euclidiana. Maringá, Pr: 2008. 1 CD-ROM. GERÔNIMO, José Roberto; FRANCO, Valdeni Soliani. Geometria Plana e Espacial- Um estudo axiomático. Maringá-PR. UEM, 2004. JOHNSON, Donovan A; GLENN, William H. Topologia. In:_____. Matemática sem problemas. Trad. Adalberto F.Bergamasco, et al. Vol .5. Editora José Olympio, edições Melhoramentos, 1972.
LORENZATO, Sérgio (Org.). O Laboratório de Ensino de Matemática na formação de professores. Campinas, SP: Autores Associados, 2006. Coleção Formação de Professores.
OLIVEIRA, H. M.; SEGURADO, M. I.; PONTE, J. P. Investigações Matemáticas na sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2003. OLIVEIRA, Jacqueline B. P; ABRANTES ,Carlos A. F; RIBEIRO, Lêda M. Grafos: Do Lúdico A Questões Atuais . Anais do IX ENEM- Encontro Nacional de Educação Matemática. Belo Horizonte, MG: 2007.
42
PARANÁ. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO. Diretrizes Curriculares de Matemática. Versão preliminar.SEED,Curitiba:2006. SAMPAIO, Fausto A. Matemágica, Histórias, aplicações e Jogos Matemáticos. Campinas,SP:Papirus,2005 SAMPAIO,João C.V. Tópicos de Topologia Intuitiva . Anais do X Encontro Brasileiro de Topologia. São Carlos,S.P: 1996. ________. Uma introdução à Topologia Geométrica . São Carlos,SP: Edufscar, 2008. SÂNDALO, Patrícia ; SCHEMMER, Janaina. Uma Aproximação Entre A Educação Básica E O Ensino Superior Por Meio De Apl icações Topológicas. Unioeste,PR: Campus de Foz do Iguaçu.Disponível em: <http://ccet.ucs.br/eventos/outros/egem/cientificos/cc81.pdf> Acesso em 01. jul.2008.