Universite Lyon 1 Capes Externe Math. 2010–2011

Permutations et cycles

Definition 1 E represente un ensemble fini non vide. On appelle groupe des permuta-tions de E, le groupe des bijections de E sur E, et IdE l’application identique de E.

Definition 2 Soit σ une permutation de E, et x ∈ E. On appelle orbite de x sous l’actiondeσ, l’ensemble

{x, σ(x), σ2(x), . . .

}={σk(x) ; k ∈ N

}, que l’on note parfois Oσ(x).

Proposition 1 Soit E un ensemble fini de cardinal n, σ une permutation de E, et x ∈ E.Il existe un plus petit entier k, 1 ≤ k ≤ n, tel que σk(x) = x. L’orbite de x est l’ensemblede cardinal k

Oσ(x) ={x, σ(x), σ2(x), . . . σk−1(x)

}.

C’est aussi le plus petit sous–ensemble de E contenant x et stable par σ (c’est a dire leplus petit sous–ensemble F de E qui contient x et tel que σ(F ) ⊂ F ).

Definition 3 Soit E un ensemble fini de cardinal n, et σ une permutation de E. On ditque σ est une permuation circulaire de E s’il existe un element x ∈ E dont l’orbite est Etout entier. Dans ce cas, pour tout y ∈ E on a Oσ(y) = E.

Definition 4 Soit E un ensemble fini de cardinal n, k un entier, 1 ≤ k ≤ n, et F unsous–ensemble de E de cardinal k et et x1, x2, . . . xk une enumeration des elements deF , c’est a dire une bijection i 7→ xi de {1, 2, . . . , k} sur F . On note (x1, x2, . . . , xk) lapermutation c de E definie par

c(x) =

x si x 6∈ Fxi+1 si x = xi (i ≤ k − 1)

x1 si x = xk

Cette permutaion est appelee le le cycle (x1, x2, . . . , xk). On appelle longueur de ce cyclel’entier k. La restriction de c a {x1, x2, . . . , xk} est une permutation circulaire de cetensemble. Mais (x1, x2, . . . , xk) n’est une permutation circulaire de E que si k = n.

Definition 5 On dira que les cycles a = (x1, x2, . . . , xp) et b = (y1, y2, . . . , yq) sont dis-joints, si les ensembles {x2, x2, . . . , xp} et {y1, y2, . . . , yq} sont disjoints.

Remarques :

1. Si k = 1 le cycle (x) n’est pas autre chose que l’application IdE .

2. Si k = 2 le cycle (x1, x2) est la transposition qui echange x1 et x2 et preserve tousles autres elements de E.

3. Soit c le cycle (x1, x2, . . . , xk). Pour 1 ≤ i ≤ k, on a Oc(xi) = {x1, x2, . . . , xk}. Six 6∈ {x1, x2, . . . , xk} on a c(x) = x et donc Oc(x) = {x}.

4. Attention : Les k ecritures (x1, x2, . . . , xk), (x2, x3, . . . , xk, x1), . . . , (xk, x1, . . . , xk−1)representent toutes le meme cycle.

Permutations et cycles 1 M. Deleglise

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5. Soit σ une application d’un ensemble quelconque E dans lui meme. On appellesupport de σ l’ensemble supp(σ) = {x ∈ E ; σ(x) 6= x}. Si k ≥ 2, le support ducycle c = (x1, x2, . . . , xk) est donc {x1, x2, . . . , xk}, tandis que, pour k = 1, on ac = IdE et supp(c) = ∅. Dans tous les cas, les supports de deux cycles disjoints sontdonc disjoints.

Theoreme 1 Soit E fini de cardinal n ≥ 1 et σ une permutation de E. Les orbites deselements de E forment une partition F1, F2, . . . , Fk de E, c’est a dire que les Fi sont nonvides, Fi ∩ Fj = ∅ for i 6= j et F1 ∪ F2 ∪ . . . Fk = E.

La restriction de σ a chacune de ces orbites est une permutation circulaire de cette orbite.Pour 1 ≤ i ≤ k, notons ci l’application definie par

ci(x) =

{σ(x) si x ∈ Fix sinon.

Chaque ci est un cycle de E, les ci commutent deux a deux, et σ = c1c2 . . . ck.De plus, a condition de ne pas tenir compte de l’ordre des facteurs, ni des cycles de longueur1 qui sont tous egaux a IdE, cette decomposition est l’unique facon de decomposer σ enun produit de cycles 2 a 2 disjoints.

Exemple : Soit σ la permutation de {1, 2, . . . , 10} donnee par le tableau de ses valeurs(1 2 3 4 5 6 7 8 9 103 10 2 4 7 9 8 5 6 1

)·

Les egalites σ(1) = 3, σ(3) = 2, σ(2) = 10 et σ(10) = 2 donnent Oσ(1) = {1, 3, 2, 10}.L’egalite σ(4) = 4 prouve que l’orbite Oσ(4) est {4}. Les egalites σ(5) = 7, σ(7) = 8,σ(8) = 5 donnent une nouvelle orbite Oσ(5) = {5, 7, 8} et le cycle (5, 7, 8). Enfin σ(9) = 6et σ(6) = 9, donnent la derniere orbite Oσ(6) = (6, 9), et enfin la decomposition

σ = (1, 3, 2, 10) (4) (5, 7, 8) (6, 9).

Attention : Si on n’exige pas que les cycles de la decomposition soient 2 a 2 disjoints,il n’y a pas d’unicite de la decomposition en produit de cycles, et, de plus les facteurs necommutent plus 2 a 2. Par exemple

(1, 2, 3) = (1, 2)(1, 3) 6= (1, 3)(1, 2) = (1, 3, 2).

Definition 6 L’ordre d’une permutation σ de E est le plus petit entier r ≥ 1 tel queσr = IE.

Proposition 2 L’ordre d’un cycle de longueur k est k.

Proposition 3 Soit σ une permutation de E σ = c1c2 . . . cm sa factorisation en produitde cycles de supports disjoints. L’ordre de σ est le plus petit commun multiple des ordresdes ci, pour 1 ≤ e ≤ q.

Exemple : La decomposition en cycle de la permuation σ de l’exemple ci dessus est

σ = (1, 3, 2, 10) (4) (5, 7, 8) (6, 9).

Les cycles sont d’ordres (4, 1, 3, 2). L’ordre de σ est donc ppcm(4, 1, 3, 2) = 12.

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