cursul 6_analiza probabilistica a riscului
DESCRIPTION
RiscTRANSCRIPT
-
Analiza probabilistic a
riscului
Conf. dr. Cristian PUN ASE Bucureti, [email protected] www.finint.ase.ro
Cursul 6
-
2
imperfeciunea informaiei;
imposibilitatea unor predicii corecte cu privire la even. viitoare;
incapacitatea de a identifica toate alternativele decizionale;
evenimentele viitoare sunt adesea unice;
profilul investitorilor;
imposibilitatea de a controla toi factorii care pot afecta decizia;
presiunea timpului.
risc mai mare implic un ctig ateptat mai mare
relaia dintre utilitatea ctigului ateptat al unei investiii i ctig nu este una liniar (utilitatea marginal descrescnd u(w)>0 i u(w)
-
n orice situaie investiional putem calcula un randament din investiiile pe care le realizm:
initiala
initialai
Investitie
Investitiefinal ValoareRET
i
t
1tt
i
t
i
1ti
P
DPPRET
De exemplu: o investiie pe piaa de capital va genera urmtorul randament (care poate fi calculat zilnic, lunar, sptmnal):
Unde: P(t+1) este preul la care vindem titlul i ulterior, P(t) preul la care cumprm titlul i, D sunt dividendele ncasate n perioada n care am deinut titlul n portofoliu
-
qk
qk
4k3k
4k3k
2k1k
2k1k
R...
p...
RR
pp
RR
pp. ticeprobabilisRand
Avnd n vedere randamentele observate pentru o perioad istoric, putem asocia probabilitile p(qk) unor randamente probabile pe care le-am putea obine dac ne-am implica ntr-un proiect k de investiii.
Suma acestor probabiliti trebuie s fie 1. Ele reflect diferite scenarii n care noi estimm c o s obinem randamentele Rq dac investim banii n proiectul k.
-
Randamentele pot fi normal distribuite n sensul c cele mai multe randamente sunt poziionate n zona median n jurul randamentului mediu calculat pe o serie de randamente probabilistice.
Funcia aferent distribuie normale este: Unde:
x randamentul i
media seriei de date
dispersia seriei de date
-
S presupunem c ntr-o fabric avem urmtoarele rebuturi determinate lunar:
Luna Rebuturi Producie Pondere
1 106 1500 7.07%
2 109 1805 6.04%
3 105 1682 6.24%
4 105 1249 8.41%
5 108 1140 9.47%
6 108 1687 6.40%
7 107 1037 10.32%
8 101 1321 7.65%
9 108 1905 5.67%
10 104 1886 5.51%
11 106 1009 10.51%
12 103 1967 5.24%
-
Luna Rebuturi Producie Pondere
13 105 1511 6.95%
14 105 1033 10.16%
15 109 1397 7.80%
16 100 1462 6.84%
17 106 1067 9.93%
18 107 1272 8.41%
19 103 1720 5.99%
20 107 1058 10.11%
21 102 1825 5.59%
22 106 1221 8.68%
23 102 1737 5.87%
24 102 1028 9.92%
-
Aceast serie de date are urmtoarea medie i dispersie (pentru rebuturi, pentru producie i pentru ponderea rebuturilor n producie:
Asumnd c distribuia datelor mele este una normal sunt interesat s determin cu ce probabilitate rebuturile n urmtoarea lun vor fi de 109 piese i cu ce probabilitate producia va fi de 1200 de piese:
-
Datele Descrierea
109 Valoarea pentru care dorii s calculm distribuia
105.17 Media aritmetic a distribuiei
2,565 Deviaia standard a distribuiei
Formula n Excel Descrierea formulei
=NORMDIST(A2,A3,A4,FALSE) Probabilitatea pentru valoarea dat
-
Funcia aferent distribuie Poisson este:
Unde:
e baza logaritmului natural (e = 2.71828)
k - este numrul de apariii n cazul unui eveniment a crui probabilitate de apariie este dat de funcia de mai sus
k! este valoarea factorial a lui k (k! = 1 x 2 x 3 x x k)
este un numr real pozitiv egal cu valoarea ateptat a apariiilor n viitor a unui fenomen ntr-un interval dat (de exemplu dac un fenomen apare n medie odat la 4 minute dar noi dorim s lum n calcul un interval de 10 minute atunci = 10/4 = 2.5
-
S presupunem c dorim s calculm probabilitatea de apariie a unui accident de main (aceast distribuie este folosit n sectorul asigurrilor).
Vrem s calculm cu ce probabilitate apare un accident pe zi dac n trecut la fiecare 3 ore s-au produs n localitatea X 6 accidente uoare (adic k = 6) i deci = 24/3 = 8
Conform distribuiei Poisson avem c probabilitatea de apariie a unui accident este:
-
it
1tt
i
t
i
1ti
P
DPPRET
qk
qk
4k3k
4k3k
2k1k
2k1k
ik R...
p...
RR
pp
RR
ppR
Randamentul unui instrument financiar:
Distribuia randamentelor probabilistice:
q
1i iikRp)E(R
Ateptarea de ctig calculat pe aceste randamente probabilistice este:
-
Modelul se bazeaz pe ipoteza c distribuia este una normal
n acest caz putem aproxima probabilitile pi cu numrul de observaii
Ateptarea de ctig devine medie simpl a ateptrilor de ctig din trecut.
-
S presupunem c dorim s investim o sum de bani n proiectul A, B sau n proiectul C care genereaz lunar urmtoarele randamente:
-
Ateptarea de randament (asumnd o distribuie normal a acestora) va fi n acest caz egal cu:
-
Volatilitatea randamentelor lunare se calculeaz cu deviaia standard sau variana (n Excel funcia este STDEV):
)E(RR...
p...
)E(RR)E(RR
pp)E(RR
iqk
qk
i2ki1k
2k1k
iik
2 iii2 RERp
iii RERpMsura riscului n cazul unui proiect individual
Proprietile varianei:
1. var (constant)= 0
2. var (c x z) = c2 x var (z)
3. var (x + y) = var (x) + var (y) + cov (x, y)
-
Pe seria noastr am determinat variana pentru cele trei proiecte de investiii.
Am calculat apoi raportul dintre randamentul ateptat i variana determinnd profilul risc ctig al fiecrui proiect:
Proiectul cu cel mai bun profil risc ctig este PROIECTUL A i dac a decide s investesc tot capitalul de care dispun ntr-un singur proiect a alege proiectul A
-
O combinaie de trei proiecte poate avea un efect pozitiv asupra profilului risc ctig doar dac cele trei proiecte nu sunt perfect corelate ntre ele (o situaie rar).
Diversificarea investiiei n toate cele trei proiecte reduce riscul Notnd cu wi ponderile din capitalul total alocate pentru cele trei proiecte
obinem c:
n1,ini
q1,ii
n
q1,i2iq1,i1i
q1,iiq1,ii
21
port
E(R
p
w
...E(RE(R
...pp
...ww
R
)))
n
1i iiport)E(Rw)E(R
-
Not: am nmulit ctigul ateptat pentru fiecare proiect cu ponderea wi alocat acestuia i apoi am adunat acele valori obinnd c dac a combina capitalul n proporile specificate voi obine acea valoare a ctigului ateptat pentru portofoliul meu de proiecte.
-
Urmtorul pas const n calculare deviaiei standard (sau a varianei combinaiei de cele trei proiecte).
Formula n acest caz folosete i covariana:
)E(RR)E(RRpCov jjxN
1x
ii
xiij
Proprietile covarianei:
1. cov(y, xi)= c1*cov(y,x1)+c2* cov(y,x2)+...cn* cov(y,xn) when
y= c1*x1+c2*x2+...cn*xn
2. cov(x,y) = cov(y,x)
3. cov(c * x, y)=c*cov(x,y)
-
)E(RRp)E(RRp
)E(RR)E(RRp
disp(y)disp(x)
y)cov(x,y)correl(x,
y
i
y
ii
x
i
x
ii
y
i
y
i
x
i
x
ii
Interpretare:
correl(x,y) = 0 x este independent de y
correl(x,y)=1 x corelat pozitiv perfect cu y
correl(x,y) negativ indic relaie de invers proporionalitate ntre cei doi termeni
Spuneam c diversificarea capitalurilor ntre diferitele proiecte duce la reducerea riscului doar dac aceste proiecte nu sunt corelate perfect (nu au corelaia egal cu 1).
Formula corelaiei este:
-
Am calculat n cazul nostru folosind funcia CORREL din Excel corelaia ntre cele trei proiecte (sau Matricea de corelaie):
A este corelat negativ cu B i cu C i B i C sunt corelate ntre ele pozitiv
-
Pentru a determina variana combinaiei de proiecte am folosit MATRICEA VARIAN COVARIAN din Excel:
-
Urmtorul pas: am construit un vector coloan al ponderilor wi fcnd referin direct la ele din foaia de calcul
-
Urmtorul pas: am construit un vector linie al ponderilor wi fcnd referin direct la ele din foaia de calcul si am nmulit matricea cu acest vector:
-
Urmtorul pas: am calculat deviaia standard i profilul risc ctig al combinaiei de trei proiecte
-
Urmtorul pas: am optimizat cu ajutorul solverului Excel aceast combinaie astfel nct s ofere cea mai bun combinaie risc ctig:
-
Rezultatul final este urmtorul:
Obinut pe urmtoarea combinaie a proiectelor de investiii:
Concluzie: o combinaie n proporiile de mai sus asigur cel mai bun profil risc ctig (mai bun dac a investi toi banii n proiecte
individuale, mai exact n proiectul A care avea cel mai bun profil risc ctig).