cursul - 2 spatii vectoriale euclidiene
DESCRIPTION
Cursul - 2 Spatii vectoriale euclidiene. Fie V un spaţiu vectorial real. Dacă adăugăm noţiunea de produs scalar , atunci putem defini noţiunile : - lungime a unui vector, - unghiul a doi vectori ortogonalitatea a doi vectori - distanta dintre doi vectori - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Cursul - 2
Spatii vectoriale euclidiene
Fie V un spaţiu vectorial real.Dacă adăugăm noţiunea de produs scalar, atunci putem defini noţiunile :
- lungime a unui vector, - unghiul a doi vectori ortogonalitatea a doi vectori- distanta dintre doi vectori
Definiţia 11. Un spaţiu vectorial V pe care s-a definit un produs scalar se numeşte spaţiu vectorial euclidian
V vectorial spatiulpe scalarprodus numeste se
V x 0, = x 0 = >x x,< 0, >x x,< d)
V y x, ,>x y,< = >y x,< c)
R V, y x, ,>y x,< = >y x, < b)
V z y, x, ,z x, < >y x,< = >zy x, < a)
ileproprietatcuy,xyx,gR,VV : g aplicatie O 10. Definitia
Teorema 10. Dacă spaţiul vectorial V este un spaţiu vectorial euclidian atunci avem inegalitatea Cauchy-Schwarz: <x, y>2 <x, x> <y, y>
egalitatea având loc dacă şi numai dacă vectorii x şi y sunt liniar dependenţi . (dem)
Exemplu. Fie spaţiul aritmetic Rn, x=(x1,x2,...,xn) şi y = (y1, y2,..., yn), doii vectori ,atunci operaţia
<x, y> =: x1y1 + x2y2 +...+ xnyn
defineşte un produs scalar pe Rn .
Teorema 11. Într-un spaţiu vectorial euclidian V funcţia || ||: V R+ definită
prin este o normă pe V, adică satisface axiomele: a) || x || > 0, x 0 şi || x || = 0 x = 0
b) || || = | | || x ||, x V, R c) ||x+ y|| ||x|| + ||y|| (inegalitatea triunghiului).
Exemplu:In sp. aritmetic Rn defineste o norma(euc.)
V x , x,x || x ||
222
21 nx...xx || x ||
Folosind iegalitatea lui Couchy – Schwarz obtinem
|| y |||| x ||
x,y θ
cos
Teorema 12. În spaţiul vectorial normat V, funcţia reală d: V V R+, definită prin d(x, y) = || x – y || este o metrică pe V, adică satisface axiomele:
a) d(x, y) 0, d(x, y) = 0 x = y , x, y Vb) d(x, y) = d(y, x) , x, y Vc) d(x, y) d(x, z) + d(z, x) , x, y, z V.
Exemplu:In sp. aritmetic Rn
defineste o distanta (euclidiana).Definiţia 12. In spaţiul vectorial V vectorii x, y V se numesc ortogonali dacă
< x, y > = 0 .
Propoziţia 13. Într-un spaţiu vectorial euclidian V orice mulţime ortogonală, formată din elemente nenule, este liniar independentă.
Consecinţă. Într-un spaţiu vectorial euclidian n-dimensional Vn, orice mulţime ortogonală formată din n vectori este o bază în Vn.
unde - coordonate euclidiene
Definiţia 13. Fie x, y V, doi vectori oarecare.Vectorul , cu y 0 se numeşte proiecţie ortogonală a vectorului x pe vectorul y, iar numărul pryx =
se numeşte mărimea algebrică a proiecţiei ortogonale a lui x pe y .
Definiţia 13. Fie S V o submulţime oarecare a spaţiului euclidian V. Un element y V se zice ortogonal lui S dacă este ortogonal pe fiecare element al lui S, adică <y, x> = 0, x S şi notăm prin y S.
2222
211 )()()( nn -yx... -yx -yx || || x - y d(x, y)
n
iiie x
1
ii
ii , ee
x, eλ
yy, y
x, yxpr y
y
yx ,
Propoziţia 14. Mulţimea tuturor vectorilor y V ortogonali mulţimii S formează un subspaţiu vectorial notat cu S. În plus, dacă S este un subspaţiu vectorial atunci subspaţiul S se numeşte complementul ortogonal al lui S.
Propoziţia 15. Dacă subspaţiul S V este de dimensiune finită, atunci S admite un unic supliment ortogonal S.
Consecinţă. Dacă V = S S şi x = y + y, y S, y S, atunci are loc teorema lui Pitagora, || x ||2 = || y ||2 + || y ||2
Teorema 5.(Gram - Schmidt) Dacă {v1, v2, ..., vn} este o bază în spaţiul vectorial euclidian Vn atunci există o bază ortonormată {e1, e2, ..., en} V astfel încât sistemele de vectori {v1, v2, ..., vp} şi {e1, e2, ..., ep} generează acelaşi subspaţiu Up V, pentru .
Consecinţă. Orice subspaţiu vectorial euclidian admite o bază ortonormatăPropoziţia 16. La o schimbare de bază ortonormată B = tAB, într-un spaţiu vectorial
euclidian Vn,, transformarea de coordonate este dată de X = AX, unde A este o
matrice ortogonală.
,n j , w, ww
, wv v w i
j
i ii
ijjj 1
1
1
,n i , ||||w
we
i
ii 1
SPATII AFINE
Fie multimea nevida de puncte A = {A, B, C, ..., P, Q, R, ...} .Perechea de puncte (A, B) A A va fi numita bipunct al lui A. Vom
spune ca A este originea bipunctului, iar punctul B se va numi extremitatea bipunctului (A, B).
Bipunctele (A, B) şi (B, A) se vor numi bipuncte simetrice.
Definitia 1. Numim spaţiu afin, tripletul (A, V, ) în care A este o mulţime nevidă de puncte, V un K-spaţiu vectorial şi funcţia : A ×A A , care satisface condiţiile:
a1) A, B, C A, (A, B) + (B, C) = (A, C)
a2) A există un punct B A, unic determinat de relaţia Avem :
• A - mulţime suport • V - spaţiul vectorial director → Spatiu afin real (complex) K=R (K=C )
• - funcţia de structură afină → (A, A)= , (A, B) = - (B,A)
Într-un spaţiu afin (A, V, ) funcţia determină o relaţie de echivalenţă pe mulţimea bipunctelor lui A, pe care o vom numi relaţia de echipolenţă.
(A, B) ~ (C, D) (A, B) = (C, D) A ×A/ ~ ≡ V
o
vBA ),(
Spaţiul factor A A/~ este în corespondenţă bijectivă cu spaţiul vectorial V.
Clasa bip. (A,B), va fi numita vector liber
Consecinta 1. Funcţia este surjectivă şi în plus, pentru fiecare punct O A fixat , O :A V , O (A) = (O, A), A A , este bijectivă.
Multimea A° ={O}A = {(O, A)|A A } pote fi identificata cu V A° si poate fi inzestrata cu o structura de spatiu vectorial. Vectorii acestui spatiu vor fi numiti vectori legati sau vectori tangenti in punctul O la A. Pentru un punct fixat O A, vectorul legatva fi numit vector de pozitie. Dimensiune a sp.afin = dim V = n. Notam cu An = (A, V,
) . Daca V este un sp.v. euclidian (A, V, ) – sp.punctual euclidian.
Definitia 4. Se numeste reper cartezian intr-un spatiu afin An o pereche
R = { O; B }, in care O este un punct fixat in A si este o baza a spatiului vectorial director Vn . In baza B, avem pentru P A, exprimarea unica
Astfel, dat fiind un reper cartezian R = { O; B } in spatiul afin An , oricarui punct P A
i se poate asocia in mod unic n-upla (x1,x2,...,xn) , componentele careia se numesc
coordonatele carteziene ale punctului P in reperul R = { O; B }
neee ...,,, 21B
niKxexexexOP inn ,1,,...2211
vABvBAvrrr
_1 B)(A,),()( AA
Exemple: 10 Spatiul afin standard. Kn = (Kn,Kn,) cu (A,B)=(b1-a1,...,bn-an)20 Varietatile liniare sunt spatii afine. , V’ < V
30 Orice spatiu vectorial este un spatiu afin40 Spatiul geometric al vectorilor liberi
'VaL
vwwvVV ),(,),,(
afinspVLvwwava .),',(),('
Varietati iniare
Spatii afine
Spatiivectoriale
Sp.v.euclidiene
Sptiul geometric al vectorilor liberi
Fie E3 spatiul punctual al geometriei euclidiene si V3 spatiul vectorial al vectorilor liberii.
Aplicatia : E3 E3 V3 , (A, B) = satisface proprietăţile :
A1) A, B, C E3 ,
A2) V3, A E3 există un punct B E3 unic determinat de relaţia
Definitia 1. Tripletul A3 = ( E3, V3, ) se numeste spatiul afin al vectorilor liberi .
E3 – multimea suport
V3 - sp. vectorial director
- functia de structura afina( rel. de echipolenta)
Fie O E3 un punct fixat. Aplicaţia o : E3 V3 definită prin
0 (A) = (O, A) este bijectivă E3 V3
Vectorul (O, A) = va fi numit vector de pozitie
Vectori coliniari , R
AB
ACBCAB
vAB v
OAvu
Vectori coplanari: = u,v,w – liniar dependentiTeortema 1. Dim V3 = 3
Orice trei vectori necoplanari sunt liniar C1
independenti si orice patru vectori sunt
liniari dependenti. X
O B1
A1 X1
E3 V3 R3
Coordonatele x1 , x2 , x3 ale vectorului x vor fi numite coordonatele punctului X
Definitia 2. Numim reper cartezian in sp. afin al vectorilor liberi ansamblul
R (O; e1, e2 ,e3), unde O este un punct fix iar {e1, e2 ,e3} o baza a sp. vectorial V3 .
w vu
OCOBOAOX
wvux
wxvxuxx,Rx,x,x,Vx
321
3
32113
Teorema 2. Funcţia :V3 V3 R, definită prin
defineşte un produs scalar pe spaţiul vectorial al vectorilor liberi.
Spatiul vectorial V3 este un spatiu vectorial euclidian, iar spatiul afin
E3 = ( E3, V3, ) va fi numit spatiul punctual euclidian al vectorilor liberi sau pe scurt spatiul geometric al vectorilor liberi. O bază în V3 formată din vesori ortogonali doi câte doi este numită bază ortonormată iar coordonatele unui vector într-o bază ortonormată se numesc coordonate euclidiene.
Fie B = {i , j , k } o baza ortonormata in V3 si doi vectori oarecare
si atunci
,
000 bsi/sauapentru
v,u,v,ucosvuvu
}0{\V3
kajaiaa 321 kbjbibb 321 332211 babababa
23
22
21 aaaa
2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1
332211
bbbaaa
bababab,acos
00332211 bababavuvu
Produsul vectorial Fie vectorii şi V3. Pentru şi , notăm cu [0, ] unghiul
dintre şi .
Definiţia 3. Se numeşte produs vectorial, operaţia binară internă “”:V3 V3 V3 , care asociază perechii ordonate ( , ) vectorul notat cu , caracterizat de
1° || || = || || || || sin 2° este ortogonal pe şi
3° Sensul vectorului este dat de regula mâinii drepte când rotim pe peste sub un unghi ascuţit
Proprietati:
a
a
0 b 0b
a
b
a
b
ba
a
b
ba
bac a
b
bac
a
b
),(,)5
0,0,)4
)()()3
)()2
)1
baAbanormaabpentru
abbabapentru
bababa
cabacba
abba
Daca B = {i, j, k } este o baza ortonormata, iar
atunci
Doi vectori sunt coliniari
Dublul produs vectorial
Produsul mixtDefinitia 4. Se numeşte produsul mixt al vectorilor , , , numărul real
dat de
a
kajaiaa321
kbjbibb321
kbabajbabaibababa )()()( 122131132332
321
321
bbb
aaa
kji
ba
3
3
2
2
1
1
b
a
b
a
b
a
cbabcacba )()()( caba
cbcba )(
b
c
)cb(a:c,b,a
Proprietati:.
321
321
321
,,
3321
2121
,,
,,)5
,,0,,)4
1,,,,,,)3
,,,,)2
,,,,,,)1
)3()2()1(
ccc
bbb
aaa
cba
Volcba
coplanarisuntcbacba
Saaaaaa
cbacba
cbacbacbaa
cba
☻ Itemi fundamentali:
►Spatii vectoriale euclidiene◘ produs scalar
▪ norma ▪ distanta
◘ inegalitatea Cauchy-Schwarz▪ unghiul a doi vectori▪ ortogonalitate
◘ baze ortonormate (Procedeul Gramm-Schmidt)►Spatiu afin
bipunct functia de structura relatia de echipolenta
►Reper cartezian►Produse de vectori in spatiul geometric al vectorilor liberi
produs scalar; conditia n.s.s. de ortogonalitate a doi vectori nenuliprodus vectorial ; conditia n.s.s. de coliniaritate a doi vectori nenuliprodus mixt; conditia n.s.s. de coplanaritate a trei vectori nenuli