15 de mayo de 2019

Curso – Resistencia de materiales [15153]

Santiago de Chile, Mayo 2019

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Clase 9 – Def lexión en vigas

Plan de estudios - Ingeniería Civil en Mecánica

Profesores: Matías Pacheco Alarcón (matias.pacheco@usach.cl)

Aldo Abarca Ortega (aldo.abarca@usach.cl)

Ayudante: Estéfano Muñoz (estefano.munoz@usach.cl)

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Re s u m e n c l a s e a n te r i o r

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Re s u m e n c l a s e a n te r i o r

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D e f l ex i ó n d e u n a v i g a

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D e f l ex i ó n d e u n a v i g a

Punto de inflexión

Punto de inflexión

Re l a c i ó n m o m e n to f l e c to r - E l á s t i c a

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Antes de deformación

Después de deformación

Considere una viga con su largo mucho más grande que su ancho y espesor, de tal modo que sudeformación sea causada por deflexión a través de las fuerzas externas a la cual está siendosometida. Se calculó anteriormente la relación entre el ángulo de giro 𝑑𝜃 y su radio 𝜌 desde sucentro 𝑂′ hasta 𝑑𝑥.

𝜖 =𝑑𝑠′ − 𝑑𝑠

𝑑𝑠→ 𝑑𝑠 = 𝑑𝑥 = 𝜌𝑑𝜃, 𝑑𝑠′ = 𝜌 − 𝑦 𝑑𝜃

𝜖 =𝜌 − 𝑦 𝑑𝜃 − 𝜌𝑑𝜃

𝜌𝑑𝜃→

1

𝜌= −

𝜖

𝑦 𝜎 = −𝑀𝑦

𝐼

Ecuación de Navier para esfuerzo normal en flexión

1

𝜌=

𝑀

𝐸𝐼

Re l a c i ó n m o m e n to f l e c to r - E l á s t i c a

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Considere una viga con su largo mucho más grande que su ancho y espesor, de tal modo que sudeformación sea causada por deflexión a través de las fuerzas externas a la cual está siendosometida. Se calculó anteriormente la relación entre el ángulo de giro 𝑑𝜃 y su radio 𝜌 desde sucentro 𝑂′ hasta 𝑑𝑥.

𝜖 =𝑑𝑠′ − 𝑑𝑠

𝑑𝑠→ 𝑑𝑠 = 𝑑𝑥 = 𝜌𝑑𝜃, 𝑑𝑠′ = 𝜌 − 𝑦 𝑑𝜃

𝜖 =𝜌 − 𝑦 𝑑𝜃 − 𝜌𝑑𝜃

𝜌𝑑𝜃→

1

𝜌= −

𝜖

𝑦 𝜎 = −𝑀𝑦

𝐼

Ecuación de Navier para esfuerzo normal en flexión

1

𝜌=

𝑀

𝐸𝐼→ 𝐸𝐼

1

𝜌= 𝑀 𝑥 → 𝐸𝐼

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= 𝑀(𝑥)

𝐸𝐼𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= 𝑀 𝑥 → 𝐸𝐼

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝐸𝐼 𝜃 𝑥 = න𝑀 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐1 → 𝐸𝐼 𝑦 𝑥 = නන𝑀 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐1𝑥 + 𝑐2

Método de la doble integración para deflexión en vigas

C o n d i c i o n e s d e c o n to r n o y c o n t i n u i d a d

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Usando el método de doble integración en vigas para flexión encontramos constantes propias de unaecuación diferencial, las cuales estarán en función del corte, momentos flectores, pendientes 𝜃 , odeflexiones. Se deben evaluar éstas constantes en base a las condiciones de borde o continuidad del problemaparticular.

Apoyo simple: Δ = 0 ;𝑀 = 0 Articulación: Δ = 0 ;𝑀 = 0 Apoyo simple: Δ = 0 Articulación: Δ = 0

Empotramiento: 𝜃 = 0 ; Δ = 0 Extremo libre: V = 0 ;𝑀 = 0 Unión interna: 𝑀 = 0

Fu n c i o n e s d i s c o n t i n u a s

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El método de la doble integración es conveniente cuando la carga o momento interno puede ser expresadocomo una función continua a lo largo de toda la viga. En muchos casos éste método se vuelve dificultoso a lahora de desarrollar las distintas ecuaciones, debido a que distintas cargas y momentos son aplicados endistintas áreas de la viga. A partir de las funciones discontinuas se puede encontrar una sola ecuación quedetermine el comportamiento de la viga sometida a múltiples cargas y momentos.

𝑥 − 𝑎 𝑛 = ቊ0

𝑥 − 𝑎 𝑛para 𝑥 < 𝑎para 𝑥 ≥ 𝑎

Funciones de Macaulay

Fu n c i o n e s d i s c o n t i n u a s

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El método de la doble integración es conveniente cuando la carga o momento interno puede ser expresadocomo una función continua a lo largo de toda la viga. En muchos casos éste método se vuelve dificultoso a lahora de desarrollar las distintas ecuaciones, debido a que distintas cargas y momentos son aplicados endistintas áreas de la viga. A partir de las funciones discontinuas se puede encontrar una sola ecuación quedetermine el comportamiento de la viga sometida a múltiples cargas y momentos.

𝑥 − 𝑎 𝑛 = ቊ0

𝑥 − 𝑎 𝑛para 𝑥 < 𝑎para 𝑥 ≥ 𝑎

Funciones de Macaulay

Ejemplo:Considere la viga de la figura con todas sus cargas. Calcula la función de la deformada en toda la viga.

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Ejemplo:Considere la viga de la figura con todas sus cargas. Calcula la función de la deformada en toda la viga.

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M é to d o d e l a s u p e r p o s i c i ó n

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Ejemplo:Considere la viga de la figura con todas sus cargas. Calcula la función de la deformada en toda la viga.

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C u r s o – Re s i s te n c i a d e M a te r i a l e s [ 1 5 1 5 3 ]

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