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SOLUCIONARIO ENSAYO EX CÁTEDRA Nº 1

MATEMÁTICA

1. La alternativa correcta es B

I) -2(-1)-1 = 2 II) -2(-1)-2 = -2 III) -2(-1)-3 = 2

2. La alternativa correcta es D

I) M = 3 3

4 4− = 0

II) M = 34 + K > 0

III) Si K = 0 ⇒ M > 0

3. La alternativa correcta es E

Sea a el menor impar

Entonces: a + a + 2 + a + 4 + a + 6 4a + 12

= 4 4

= 4(a + 3)4

= a + 3

Como a + 3 es par ⇒ múltiplo de 2 4. La alternativa correcta es A

w + 1 = 34w ⇒ 4w + 4 = 3w

w = -4 /-1 w – 1 = -5

Curso: Matemática

2

5. La alternativa correcta es C V1 : V2 : V3 = 3 : 5 : 7 3n + 5n + 7n = 3.600 15n = 3.600 n = 240 ∴ V3 = 7 · 240 = 1.680

6. La alternativa correcta es C

C +150%→

150100

C +20%→

120 150 180 · · C =

100 100 100C

7. La alternativa correcta es A n – 1 → -(n – 1) = 1 – n

8. La alternativa correcta es A

I) 1 – 0,9719 = 0,0281 II) -281 · 10-4 = -0,0281 III) 2,81 · (-10)-2 = 2,81 · 10-2 = 0,0281


10. La alternativa correcta es C [0,02 · (-0,1)]2 = [-2 · 10-2 · 10-1]2 = 22 · 10-6

Gasta Queda

Dividendo Locomoción y Comida Emergencia Gastos Generales

180.000 180.000 108.000 252.000

--- ---

10.800 120.000

--- ---

99.200 132.000

Total 229.200

3

11. La alternativa correcta es E Apr 5 5 Aprob

= = Desap 3 8 Total

→

12. La alternativa correcta es B 4a = 6

a = 32

12b = 6

b = 12

ab-1 = 32 ·

21 = 3


2(a b)−

(a + b)(a b)−

a + b 1 = 9 =

a b 9⇒

−

14. La alternativa correcta es C Sea n la posición del rectángulo Luego, para n = 10, se tiene (10 + 2)(10 + 1) = 12 · 11 = 132

15. La alternativa correcta es D (1 + 1)(4 + 5 + 1) = 2 · 10 = 20

n círculos

1 2 3 �

n

3 · 2 4 · 3 5 · 4 �

(n + 2)(n + 1)

4

16. La alternativa correcta es E A B C D 60 40 80 60

I) Verdadera (A = D = 60)

II) Verdadera 1B + C = 120 = · 240

2

III) Verdadera (C = 80)


En cada camarín se ocupó 18012

= 15 m3 de concreto.

4 camarines ocuparon 60 m3 de concreto y como c 1 =

a 3,

se tiene 4n = 60 ⇒ n = 15 ⇒ 3

3

C = 15 m

A = 45 m

8 camarines ocuparon 120 m3 de concreto y como c 1 =

a 4,

se tiene 4k = 120 ⇒ k = 24 ⇒ C = 24A = 96

∴ 15 m3 + 24 m3 = 39 m3

18. La alternativa correcta es D D U

→ ⇒ 10d + u


I) A = 4(4t2 – 1) /

A = 2 24t 1− II) A2 = [16t2 – 4]2 = 256t4 – 128t2 + 16

III) 12A =

12(16t2 – 4) = 8t2 – 2

u d d u

5

20. La alternativa correcta es A a + b = 2009 / ()2 ⇒ a2 + 2ab + b2 = 20092 ab = 2009 a2 + b2 = 20092 – 2(2009)

2 2a + b 2009

= 2009

(2009 2)2009

−

= 2007


3 2 (3 2 3) 9(2 2) = = 2 2

9 · 2 9(3 2 + 3)(3 2 3)− −

−−−

22. La alternativa correcta es C 150 54−

25 · 6 9 · 6−

5 6 – 3 6 = 2 6


x2 = d2 – a2 ⇒ x = 2 2d a−

Perím = 2(a + 2 2d a− )

24. La alternativa correcta es B 2x – 3 ≤ 3 2x ≤ 6 x ≤ 3 → 1, 2 y 3

2 2d a−

a

x d

6

25. La alternativa correcta es B El gráfico debe corresponder a un gráfico de parte entera, ya que los valores son por tramos recorridos. Por tanto las alternativas A y C se descartan. La D se descarta ya que para x = 0 no corresponde $ 1.500, y la E se descarta porque para x = 5 le corresponde $ 3.500.

26. La alternativa correcta es D ∆ = b2 – 4ac

∆ = 36 – 36 = 0 ⇒ La parábola es tangente al eje x.

27. La alternativa correcta es D 2x + 3y = 72x y = -1−

4y = 8

y = 2

28. La alternativa correcta es A x 21 x

−

− = 0 ⇒ x – 2 = 0

x = 2 ⇒ x = ±2


A) f(x) = x2 B) f(x) = x4

f x x +

2 2

= f x2

+ f x2

f x x +

2 2

= f x2

+ f x2

= 2x

2

+ 2x

2

=

x x2 2 + 4 4

= 2x

2 (no es aditiva) =

x4 (es aditiva)

7


I) f(x) = mx + n para x = y = 0 ⇒ n = 0 y como m = 1 ⇒ f(x) = x (Verdadero)

II) g(x) = ax2 – bx para x = 4 : g(4) = 16a – 4b = 4 4a – b = 1. No se conoce a ni b. Así por ejemplo tanto g(x) = x2 – 3x como g(x) = 4x2 – 15x cumplen con las condiciones de la figura 1. (Falso)

III) f(4) = 4 y g(4) = 4 ∴ f(4) + g(4) = 8 (Verdadero)

31. La alternativa correcta es E f(x – 1) = f(x + 1 – 2) = x – 2 – 1

= x – 3


La distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia es 7 = 49 .

I) d = 16 + 36 = 52 > 49 (Exterior) II) d = 2 · 16 = 32 < 49 (Interior) III) d = 2 · 25 = 50 > 49 (Exterior)


x = 1 + 2a ⇒ 2a = x – 1 ⇒ 2-a = 1

x 1−

z = 1 + 2-a ⇒ z = 1 + 1

x 1−

z = x 1 + 1x 1−

− =

xx 1−

34. La alternativa correcta es A log 10 = 1

∴ 2 · 1 + 10 = 12

7

7

-7

-7 x

y

8

35. La alternativa correcta es E Cf = C(1 + i%)n

Cf = 150.000 4 · 20,4

1 + 100

Cf = 150.000 8100,4

100

= 150.000 (1,004)8

36. La alternativa correcta es B 2k · 22 = a

2k = a4

3k · 3-1 = b 3k = 3b

2k · 3k = 6k = a4 · 3b =

34ab


AB = 2 24 + 4 = 4 2

∴ Área = 4 2 · 4 2 = 32

38. La alternativa correcta es E Sea DC = a ⇒ BF = FG = GB = DE = EC = a

y 1

BE = EG = a = GC = AD2

Luego: AD + GF = DE es falsa ya que a2 + a ≠ a


Se construye el ∆PMR rectángulo en M, en donde M(-1, 1) y R(1, 1). Se rota RM = 2 en 90º y se obtiene RM' = 2, donde las coordenadas de M’ son (1, 3). Luego se copia MP = M'Q = 1, con

MP M'Q⊥ . Se obtienen las coordenadas de Q que son (2, 3).

A B

F

D E

C

G a

a

a

a

a a2

a2

a2

1 2 -1 x

3

2

R

90º

P

M’

Q

M

y

1

9


I) No, ya que α = 150º y no es divisor de 360º. II) No, ya que sus ángulos interiores no son congruentes. III) Pcuad = 4a Pfig = 8a (Verdadera)

41. La alternativa correcta es C PP' ⊥ Eje y; OP = OP' = 4 Ec. de la recta que pasa por (0,2) y (4,0) x x +

4 2 = 1 /·4

x + 2y = 4 x + 2y – 4 = 0

42. La alternativa correcta es D Al girar el cuadrado en 90º en sentido

horario con respecto al punto P (centro de

gravedad) se obtiene el cuadrado de .

43. La alternativa correcta es B La relación PO = OQ no siempre es verdadera, ya que P y Q son puntos cualesquiera de la simetral.


220 L =

A 2L

20 1 =

A 4 ⇒ A = 80

A

B

1 2 3

8 4

7 6 5

A P

B

7

6

5

8

1

4

3

2

L1

-4

2

0 x

y L2

P P’ 4

60º

60º

a

a

α

10

45. La alternativa correcta es A Sea O el centro de las circunferencias y ABCD cuadrado de lado 2a. Radio círculo menor: r = a Radio círculo mayor: R = a 2

Ár menorÁr mayor�

� =

2 2

2 2

· a a 1 = =

2(a 2) 2a

π

π

46. La alternativa correcta es C Área BC = 90º

∴ �BDC = 1290º = 45º


2CD = AD · BD

28 = x(x + 3)

28 = 4 · (4 + 3) ⇒ x = 4


OC AC y AB BO⊥ ⊥ . Como DE EO y EO OB⊥ ⊥

entonces OB // ED ED AB⇒ ⊥ .

Por tanto �DAE = �DEA = 45º y �OEC = �EOC = 45º

∴ EC = OC = 4 = r

49. La alternativa correcta es D r = OF = 16 + 4 = 2 5 ∴ AB = 4 5

D C

A B 2a

r

R O

A O B

C

D

2 7

x x + 3 A B D

C

A D

B

O

C

E 45º

45º

45º

45º

4

r

2

A

D

B O

C

E

F G

4

11

50. La alternativa correcta es E ∆ABC rectángulo en C e isósceles de catetos a, lo que implica que �CAB = �ABC = 45º

I) sen 45º = cos 45º (Verdadero)

II) tg 45º = tg 45º (Verdadero)

III) sen2 45º = cos2 45º (Verdadero) 51. La alternativa correcta es A

Se une B con C.

Área ∆ABC =

1 · 2 15 = 2 5

∆ABC ∼ ∆AOE

⇓

Ár AOE15

∆ = 21

2

Ár ∆AOE = 120

52. La alternativa correcta es B V1 = πr

2 h V2 = π(2r)

2 h

21

22

V r h 1 = =

V 44r h

π

π

53. La alternativa correcta es B V = 10 A = 15 C = 7 C < V < A

a A

B O

C a

45º

45º

A O B

C

D 1

E 15

1

12


I) La suma de las temperaturas positivas es menor que la de las temperaturas negativas. (Verdadero)

II) -12 es la menor temperatura media registrada en el mes de julio. (Verdadero)

III) 2 – (-12) = 14 (Verdadero)

55. La alternativa correcta es D La alternativa D es la falsa, ya que a mayor desviación la curva es más plana.


I) Verdadera. Ambas sufrieron la misma variación porcentual: 15%.

II) x = 847 = 12% (Verdadero)

III) Falso. Ya que la mediana, una vez ordenados los datos, es 12%.

57. La alternativa correcta es A Entre el 5 y el 6 hay un 50% de obtener primero el 5 y después el 6.

Luego p = 12.


Probabilidad de no obtener ningún azul = 51 1 =

2 32

Probabilidad de obtener al menos 1 azul = 1 – 1 31 =

32 32

59. La alternativa correcta es C Cp = 64 Cf = 40

∴ p = 40 5

= 64 8

13


Del gráfico : 80100

n1 = 16 ⇒ n1 = 20 ⇒ niños entre 1 y 3 años = 4

Del gráfico : 80100

n2 = 4 ⇒ n2 = 5 ⇒ niños menores de 1 año = 1

∴ Total de niños: 16 + 4 + 1 = 21

I) p = 425

(Falso)

II) Total de niños = 21 Falso

III) Niños menores de 1 año = 1 (Verdadero)

61. La alternativa correcta es E = 24 El primero puede ser cualquiera de los 4.

El segundo, cualquiera de los 3 restantes.

El tercero, cualquiera de las dos que quedan. El cuarto, el que queda.


m = 32 10 + 12 + x

3

2m – 22 = x

A

B

20%

Niños entre 1 y 3 años

80%

Niños menores de 1 año

20%

Niños mayores de 3 años

80%

Niños entre 1 y 3 años

A B

4 3 2 1

14


Las medias de las columnas respectivas son 61 73 49

, y 4 4 4

I) 73 61

> 4 4

(Verdadera)

II) 61 49

> 4 4

(Verdadera)

III) Desviación estándar = 2 2 2

1 2 n + ... + (x x) + (x x) (x x)n 1

− − −

−

En donde: x1, x2, …xn = datos x = promedio y n = número de datos. Al observar la 1ª fila de las dos primeras columnas,

se tiene: 2 261 73

30 = 33 4 4

− −

ya que 7333

4

−

= 61 1230 + 3

4 4

− −

= 6130

4

−

entonces se deduce que la desviación no varía (Falso).

64. La alternativa correcta es E (1) Insuficiente, ya que y puede ser par o impar y se desconoce el valor de x.

(2) Insuficiente, ya que para (x + y) impar e y impar el resultado sería impar. En cambio si (x + y) es impar e y es par, el resultado sería par.

(1) y (2) Insuficientes, ya que y puede ser par o impar.

65. La alternativa correcta es B Las coordenadas del punto medio son:

x = b + b2

= b

y = a + (-a)

2

(1) Insuficiente, no se conoce b.

(2) Suficiente, pues se conoce b.

15


(1) Suficiente, ya que los 3 son negativos.

(2) Insuficiente, ya que pr puede ser positivo o negativo.

67. La alternativa correcta es D (1) Suficiente, ya que AC // DE .

(2) Suficiente, ya que �BAC = �BDE, lo que implica AC // DE .


(1) Insuficiente, no se conocen datos del curso B.

(2) Insuficiente, no se conocen datos del curso B.

(1) y (2) Insuficientes, por las razones (1) y (2).

69. La alternativa correcta es D (1) Suficiente. Al multiplicar 15 · 60 se obtiene la distancia.

(2) Suficiente. Al conocer el tiempo empleado y la rapidez, se obtiene la distancia aplicando la fórmula d = v · t.


(1) Suficiente. Al conocer las coordenadas de A y B se puede determinar AB , aplicando

Pitágoras.

(2) Insuficiente. Al ser P un punto cualquiera de AB , no se puede determinar la longitud de AB .

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