curso introdutÓrio de matemÁtica para...
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Jaime Vinícius Araújo Cirilo - Engenharia de Produção
Rafael Alves da Silva - Engenharia Civil
Geometria Euclidiana PlanaParte II
CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2015.1
Introdução
Desde os egípcios, que procuravam medir edemarcar suas terras, até hoje, quando topógrafos,engenheiros e arquitetos fazem seus mapeamentos eplantas, o cálculo de áreas tem sido umapreocupação constante na história da Matemática.
Na aula de hoje você irá ver como resolverproblemas envolvendo áreas.
Área do quadrado
Particularmente, para o quadrado de lado a, ouseja, b = a e h = a, temos :
A a
aAquadrado = a . a ou Aquadrado = a²
Em que: a é um número real positivo.
Área do Retângulo
Tomando como unidadede área o quadrado de1cm² de área,observamos que cabem12 desses quadradosno retângulo ao lado.Logo, a área doretângulo é 12cm².
1cm²
1 cm
1 cm
3 cm
4 cm
Área do retângulo
Por outro lado, se multiplicarmos a medida docomprimento do retângulo pela medida da sualargura, obtemos o mesmo resultado.
4 cm . 3 cm = 12 cm²
Portanto, a área da superfície de um retângulo é igual aoproduto das medidas da base b e da altura h.
Aretângulo = b . h
Em que: b e h são números reais positivos.
. A h
b
Exercício
O comprimento de um terreno retangular tem28 m a mais do que a frente. Sabendo-se que operímetro desse terreno é de 112 m, determine:
a) As dimensões desse terreno.
b) A área desse terreno.
Resolução
Fazemos um esboço do terreno e suas dimensões
Como o perímetro de umpolígono plano é a soma dasmedidas de todos os seus lados,somamos seus lados eigualamos ao perímetrofornecido pela questão, que é112.
x
x
x + 28x + 28
112)28()28( xxxx
Resolução
144
56564
561124112564
112)28()28(
xxx
xx
xxxx 14
14
14 + 2814 + 28
a) Substituímos o valor encontrado para x nasdimensões do retângulo.
Verificamos que o terreno mede 14 m de frente e 42m de comprimento.
Resolução
b)
Sabemos as dimensões do retângulo e queremos sabersua área. Vimos que a área do retângulo é dada peloproduto das medidas da base e da altura, no caso, a basee a altura valem, respectivamente, 14 m e 42 m. Logo:
²58842.14 mmmA
Exercício
(UFF-RJ) Num terreno retangular com 104 m² deárea, deseja-se construir um jardim, tambémretangular, medindo 9 m por 4 m, contornado poruma calçada de largura L, como indica a figura.Calcule o valor de L.
L
L
CALÇADA
JARDIM
L
L
Resolução
De acordo com
as medidas
fornecidas do
jardim, sabemos
que a área do
terreno pode ser
escrita em
função de L da
seguinte forma:
L
L
4 4
L 9 L
)24).(29( LLA
A = Largura x Altura
Resolução
Como a questão nos fornece o valor da área total,igualamos esse valor dado à equação que montamosanteriormente para determinar L:
03413²2²21334
²42668²42636104
²481836104
)2(2)4(2)2(9)4(9104
104)24).(29(
LLLL
LLLL
LLL
LLLL
LLA
Resolução
Resolvemos a equação de segundo grau e acharemospossíveis valores para L:
5,84
34
4
2113
)2(2
44113''
24
8
4
2113
)2(2
44113'
441272169)34)(2(4²13
03413²2
L
L
LL
Resolução
Depois de resolvermos a equação, achamos 2 e -8,5como possíveis valores para L, porém, o valor L éreferente a medida, dimensão, e como não existemmedidas negativas, desconsideramos o valor de -8,5.Então, o valor de L é de 2 m.
5,84
34
4
2113
)2(2
44113''
24
8
4
2113
)2(2
44113'
L
L
Área do paralelogramo
Cortando um pedaço do paralelogramo, podemosencaixá-lo do outro lado, transformando-o numretângulo. Veja:
hb
Então, podemos definir que a área do paralelogramoé igual à área do retângulo:
Aparalelogramo = b . h
Em que: b e h são números reais positivos.
Área do triângulo
Toda região triangular é metade da região limitadapor um paralelogramo de mesma base e altura.
Como dividimos umparalelogramo em doistriângulos iguais, a área de cadaum dos triângulos é igual àmetade da área doparalelogramo:
h
b
Atriângulo =2
h . b
Exercício
A vela de um barco tem a forma triangular, com4m de base e 5 m de altura. Osmar quer pintar 35%dessa vela de azul, 25% de verde e o restante debranco.
a) Qual a área da parte azul?
b) Qual a área da parte verde? E da branca?
Resolução
Sabemos que a área do triângulo é a metade do produtoda base pela altura. Como temos esses valores, apenasaplicamos a definição:
²102
20
2
5.4
2
.m
hbA
a)
Como 35% dessa área será pintada de azul, multiplicamos35/100 pelo valor da área total para saber a área azul queserá pintada:
²5,3100
35010.
100
35mAazul
Resolução
b) 25% da vela será pintada de verde, então:
²5,2100
25010.
100
25mAverde
Já foi pintada 60% da área da vela (35% de azul e 25% deverde). Como o restante será pintado de branco, esserestante será de 40% da área da vela (100% – 60%):
²4100
40010.
100
40mAbranco
Exercício
Para decorar seu quarto, Carol preparoubandeirinhas de papel. A partir do modelo abaixo, elafez 240 bandeirinhas. Qual a área total de papelutilizado para fazer toda essa decoração no quarto dela?
Resolução
Para calcular a área total, achamos a área de umabandeira, e depois multiplicamos pelo numero n debandeiras.
4 cm
4 cm 4 cm
2 cm
4 cm
Aplicamos o teorema dePitágoras para achar a alturah do triângulo.
3212²12
²416²²2²4
hhh
hh
Resolução
4 cm
2 cm
32 cm
Agora acharemos a área dametade de uma bandeira, já quetemos sua base e altura:
²322
32.2cmA
Como achamos a metade daárea de uma bandeira, aárea da bandeira será odobro dessa área:
²3432.2.2 cmAAbandeira
Resolução
Achamos a área de uma bandeira, a área total será onúmero de bandeiras multiplicado por essa área. Comoo número de bandeiras é 240, multiplicamos esse valorpela área de uma bandeira e acharemos a área total:
²396034.240.240 cmAA bandeiratotal
A área total de papel necessário para Carol fazer suasbandeirinhas foi cm².3960
Área do trapézio
Trapézio é todo quadrilátero com apenas um par delados paralelos, que são suas bases.
Vamos decompor a regiãolimitada por um trapéziopara encontrar sua área.
Área do trapézio
Considere um trapézio de bases b, B e altura a (números
reais positivos).
Primeiro, decompomos aregião traçando uma desuas diagonais.
a
b
B
Observe que temos agora 2 regiões triangulares:
b
a a
B
Área do trapézio
A área de uma região triangular nós já aprendemos acalcular, então temos:
2
).(A
2
..A
2
.
2
.A
AAA
T
T
T
21T
aBb
aBab
aBab
A1
A2
b
B
a
2
)(AT
abB
Resolução
6m
4m
12m
5m
9m
11m
Modelo matemático:
decomposição do terrenoem três regiões.
Como já sabemos calcular a área destas figuras, temos que:
²127A2
4)119(
2
65)612(A
2
)(
2)(A
AAAA
terrenoterreno
terreno
trapéziotriânguloretânguloterreno
m
hbBbhbh
Área do Losango
Todo losango pode ser transformado num retânguloequivalente, com altura D e base d/2.
Assim, a área da região limitada porum losango é dada pela metade doproduto das medidas das diagonais.
2
dD.Alosango
Em que D e d são números reais positivos.
Exercício
(Unicamp-SP) Os vértices de um losango são os pontosmédios dos lados de um retângulo. Qual a razão entre a áreado retângulo (Ar) e a do losango (AL)?
a) ½
b) 2
c) 1/3
d) 4/3
Resolução
Temos a seguinte figura:
A partir disso, calculamos a área de cada figura:
e , logo a razão Ar/AL é:DdAr 2
DdAL
22
1
2
A
A
L
r Dd
Dd
Dd
Dd
Área de um Hexágono regular
Um hexágono regular é formado por seis regiões
triangulares equiláteras.
Como a área de uma região
triangular equilátera é dada por:
4
3²6
4
3²6Ahexágono
ll
2
3²3Ahexágono
l
4
3²A quiláterotriânguloe
l
Ou seja:
A área do hexágono é dada por:
Área de um polígono regular
Um polígono regular é aquele que tem todos os
lados e todos os ângulos internos congruentes. Ele
pode sempre ser inscrito em uma circunferência.
Exemplos:
Área de um polígono regular
Pode-se perceber que se o polígono regular tem n
lados, a região limitada por ele pode ser decomposta
em n regiões limitadas por triângulos isósceles.
Em cada um desses triângulos, abase é o lado (l ) e a altura é o
apótema (a). Logo:
2
anA
l
Em que l : lado
a: apótema
n: número de lados, (valores reais positivos).
Exercício
Na figura, ABCD é um quadrado de
lado a. Tomando-se E e G nos
prolongamentos da diagonal AC e
F e H nos prolongamentos da
diagonal BD, com EA=AC=CG e
FB=BD=DH, determine a área do
octógono AFBGCHDE em função de
a.
Resolução
Podemos perceber que ooctógono é formado por 4triângulos congruentes:
Logo, a área total equivale a somadas áreas de cada triângulo.
Sendo assim, vamos encontrar as
medidas, calcular a área de um
triângulo e multiplicar por 4.
Resolução
Primeiro considere o triânguloisósceles (hachurado), de medidasa, x e x.
E note que o valor de x
corresponde a base dos
triângulos maiores.
Portanto, vamos calcular o valor de x (em função de a),
aplicando o teorema de Pitágoras:
2
ax
2
ax2xaxxa
2222222
Resolução
Sabendo o valor de x, podemosverificar as demais medidas dostriângulos maiores.
Para descobrir a alturado triângulo, voltamospara o enunciado daquestão, que diz queDB=DH, por exemplo.Logo a altura dotriângulo é o triplo desua base.
x3
x
2x
x
Resolução
Como ,a base do triângulo é igual a e a altura é
.2
ax
2
a
2
3a
Por fim a área de cada triângulo é dada por:
E a área do octógono:
4
3a
2
2
3a
2
2
3a
2
a
2
alturaBaseA
2
2
triângulo
22
total 3a4
3a4A
2
3a
2
a